有理函数的不定积分

4 2 3 2
例5. 求
( x 2 x 2) (2 x 2) d x 解: 原式 2 2 ( x 2 x 2)
dx d( x 2 x 2) 2 2 2 ( x 1) 1 ( x 2 x 2)
2
2
1 C arctan(x 1) 2 x 2x 2
2
2
例11. 求 解: 为去掉被积函数分母中的根式, 取根指数 2, 3 的最小公倍数 6, 令 x t , 则有 5 1 2 6 t d t 原式 3 2 6 ( t t 1 ) dt 1 t t t
6
6
2 1t 3 1 ln 1 t t t 3 2
2
例3. 求 解: 原式
x 2x 3 2 d( x 1) 1 d( x 2 x 3) 3 2 2 x 2x 3 ( x 1) 2 ( 2 ) 2 3 x 1 1 2 arctan C ln x 2 x 3 2 2 2
1 ( 2 x 2) 3 2
例2. 求 解: 已知 1 1 4 2x 1 2 2 (1 2 x)(1 x ) 5 1 2 x 1 x 1 x 2
2 d(1 2 x) 1 d(1 x ) 1 dx 原式 2 2 5 5 1 2x 5 1 x 1 x 2 1 1 2 ln 1 2 x ln (1 x ) arctan x C 5 5 5
1 Bx C A 2 (1 2 x)(1 x ) 1 2 x 1 x 2
A(1 x 2 ) ( Bx C )(1 2 x) 2 (1 2 x)(1 x ) 2 1 A(1 x ) ( Bx C)(1 2x), 1 4 1 取x 得A , 取x 0得1 A C, C , 5 5 2 2 取x 1得1 2 A 3( B C), B
(2) 用赋值法 x3 A B x3 2 x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
A( x 3) B( x 2) ( x 2)( x 3)
x 3 A( x 3) B( x 2)
取x 2得A -5, 取x 3得B 6 5 6 故 原式 x2 x 3
2
1
2t 1t
2
dt
1t
2
1 1 t 2 dt 2 t
1 1 2 t 2t ln 2 2
t C
1 2x x x 1 tan tan ln tan C 4 2 2 2 2
例8. 求
1 d tan x 解: 原式 2 2 2 2 2 2 b a tan x b a tan x ( a ) 1 a arctan( tan x ) C ab b
dx 例6. 求 4 x 1
1 解: 原式 2
注意本题技巧 按常规方法较繁
2 2
( x 1) ( x 1) dx 4 x 1 1 1 1 1 1 1 x2 x2 2 dx 2 dx 2 x 12 2 x 12
1 1 2 2 ( x 1 )2 2 x 1 1 2 x x 1 1 1 x x ln arctan C 1 x x 2 2 2 2 22 2
cos x
2
1
dx
说明: 通常求含 sin x , cos x 及 sin x cos x 的有理式的积分时, 用代换 t tan x 往往更方便.
2
2
1 d x ( a b 0 ) 例9. 求 2 (a sin x b cos x) 解: dx 原式 2 2 (a tan x b) cos x 令 t tan x 1 dt C 2 a ( a t b) ( a t b) cos x C a(a sin x b cos x)
2. 简单无理函数的积分 被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根 根式代换化为有理函数的积分. 例如:
n n ax b 令 t R ( x , ax b ) d x ,
n m R ( x , ax b , ax b ) d x ,
a x b R ( x , n c x d ) dx ,
第四节 有理函数的不定积分
直接积分法; 换元积分法; 分部积分法 本节内容: 一、有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分举例
一、 有理函数的积分 有理函数: n n1 a0 x a1x an P( x) R( x) Q( x) m n 时, 为假分式; m n时, 为真分式 有理函数
3
cos x dx sin x cos x d x d x 3 2. 原式 3 sin x cos x sin x sin x cos x 1 1 d sin x d tan x C 3 ln tan x 2 2 tan x sin x sin x
有理函数
分解
万能代换 根式代换
三角函数有理式
三角代换
多项式及部分分式之和
简单无理函数
2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, 但不一定简便, 要注意综合使用基本积分法, 简便计算.
思考与练习 如何求下列积分更简便?
3 3 1 dx 1 1 x a 解: 1. 原式 3 ln 3 3 C 3 2 3 2 3 ( a ) ( x ) 6a a x
2x 1 1 4 原式 = 2 5 1 2 x 1 x
5
四种典型部分分式的积分:
1.
2.
3. 4.
A A ln x a C d x xa A A 1 n (n 1) ( x a ) C d x ( x a) n 1 n Mx N 因为分母的导数为2x＋p x 2 p x q dx 变分子为 Mp M N 2 Mx N 2 (2 x p) ( x 2 p x q) n dx 再分项积分
cos x
2x 2 cos 2 sin 2 2 x sin 2 cos x 2 x 2 2x 1 tan 2 2x 1 tan 2
1 t 2 1 t
2
2 d t dx 2 1 t
1 sin x d x sin x(1 cos x)

1t
2 2 1 t 2 2t 1 t (1 )
除法
多项式 + 真分式
分解
其中部分分式的形式为 若干部分分式之和 A MxN 2 ( k N , p 4 q 0 ) ; k 2 k ( x a) ( x p x q)
例1. 将下列真分式分解为部分分式 :
解:(1) 用拼凑法 1 1 1 x ( x 1 ) 2 x ( x 1) 2 2 ( x 1) x( x 1) x( x 1) 1 x ( x 1 ) 2 x( x 1) ( x 1) 1 1 1 2 x 1 x ( x 1)
2 2
C
1 1 x dx . 例12. 求 x x 1 x ,则 解: 令 t x
2
2t 原式 (t 1) t 2 d t 2 (t 1) 2 t 1 t 2 2 dt 2 t ln C t 1 t 1
内容小结 1. 可积函数的特殊类型
1 d( x x ) 2 1 (x x) 2
x
d( x 1 ) x来自x二 、可化为有理函数的积分举例
1. 三角函数有理式的积分 设 表示三角函数有理式, 则
R(sin x , cos x) dx
令t

x tan 2 万能代换
t 的有理函数的积分
1 sin x dx . 例7. 求 sin x(1 cos x) x 解: 令 t tan , 则 2 x x cos x 2 tan 2 sin 2 2t 2 2 sin x 2 2 2x 2x x sin 2 cos 2 1 tan 2 1 t
a x b 令t n c xd
令 t p a x b , p 为m , n 的最小公倍数 .
dx . 例10. 求 3 1 x 2 3 解: 令 u x 2 , 则
( u 1 ) 1 3 u 原式 du 3 du 1 u 1 u 1 3 ( u 1 ) du 1 u 1 u 2 u ln 1 u C 3 2
2
dx
说明: 将有理函数分解为部分分式进行积 分虽可行, 但不一定简便, 因此要注意根据被 积函数的结构寻求简便的方法.
例4. 求
2x 5 2 x 5x d x d x 解: I 4 4 2 2 x 5x 4 x 5x 4
2 2 1 d( x 5 x 5) ( x 1) ( x 4) 4 d x 2 x 5 x 2 4 ( x 2 1)( x 2 4) 1 1 x 4 2 ln x 5 x 4 arctan arctan x C 2 2 2