免费北京高考文科数学试题及答案Word版
2024年北京高考数学真题(纯答案版)
参考答案
绝密★本科目考试启用前
2024年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学
本试卷共12页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.A
2.C
3.C
4.B
5.A
6.B
7.C
8.D
9.A 10.C
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11.() 4,0
12.
1
2
-
##0.5
-
13.
1 2±
14.115
mm,23mm 2
15.①③④
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.（1）
2π
3
A=
；
（2）选择①无解；选择②和③△ABC面积均为153 4.
17.（1）证明见解析（2）
30
18.（1）1
10
（2）(i)0.122万元 (ii)0.1252万元
19.（1）2221,4
2x y e +== （2）2t =
20.（1）单调递减区间为(1,0)-，单调递增区间为(0,)+∞.
（2）证明见解析 （3）2
21.略。
普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(北京卷,解析版)
普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（北京卷，解析版）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1） 已知全集U=R ，集合{}21P x x =∣≤，那么UP =(A)(,1-∞-) (B)(1,+∞) (C)（-1，1) (D)()()11-∞,-,+∞【答案】D【解析】：2111x x ≤⇒-≤≤，UP =()()11-∞,-,+∞，故选D（2）复数212i i-=+ (A)i (B )i - (C)4355i -- (D)4355i -+ 【答案】A【解析】：22i 2(i 2)(12i)2242(1)2412i (12i)(12i)1414(1)i i i i ii i ---------+====++----，选A 。
（3）如果1122log log 0x y <<，那么（A ）1y x << (B)1x y << (C)1x y << (D)1y x << 【答案】D【解析】：1122log log x y x y <⇒>，12log 01y y <⇒>，即1y x <<故选D（4）若p 是真命题，q 是假命题，则（A ）p q ∧是真命题 (B)p q ∨是假命题 (C)p ⌝是真命题 (D)q ⌝是真命题 【答案】D 【解析】：或（∨）一真必真，且（∧）一假必假，非（⌝）真假相反，故选D （5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是(A)32(B)16+162 (C)48 (D)16322+【答案】B 【解析】：由三视图可知几何体为底面边长为4，高为2的正四棱锥，则四棱锥的斜高为22，表面积2142244161622⨯⨯⨯+=+故选B 。
（6）执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值为(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 【答案】C【解析】执行三次循环，12S A =≤=成立，112p =+=，1131122S P =+=+=，322S A =≤=成立，213p =+=，3131112236S P =+=+=，1126S A =≤=成立，314p =+= 1111112566412S p =+=+=，25212S A =≤=不成立，输出4p =，故选C （7）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元。
2024 年北京高考数学含答案
2024年北京高考数学一、单选题1．已知集合{|31}M x x =−<<，{|14}N x x =−≤<，则M N ∪=（ ） A ．{}11x x −≤< B ．{}3x x >− C ．{}|34x x −<< D ．{}4x x <【答案】C【详解】根据题意得{}|34M x x N ∪=−<<. 故选C. 2．已知1i iz=−−，则z =（ ）． A ．1i −−B ．1i −+C ．1i −D ．1i +【答案】C【详解】根据题意得()i 1i i 1z =−−=−. 故选C.3．圆22260x y x y +−+=的圆心到直线20x y −+=的距离为（ ） A B ．2 C ．3D ．4．在(4x 的展开式中，3x 的系数为（ ）5．设 a ，b 是向量，则“()()·0a b a b +−=”是“a b =−或a b =”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B6．设函数()()sin 0f x x ωω=>.已知()11f x =−，()21f x =，且12x x −的最小值为π2，则ω=（ ）7．生物丰富度指数 1ln S d N−=是河流水质的一个评价指标，其中,S N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由1N 变为2N ，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ） A ．2132N N =B ．2123N N =C ．2321N N = D ．3221N N = 为（ ）.,AB CD ,E F 9．已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+10．已知()()2,|,12,01M x y y x t xx x t ==+−≤≤≤≤是平面直角坐标系中的点集.设d 是M 中两点间距离的最大值，S 是M 表示的图形的面积，则（ ）A ．3d =，1S <B ．3d =，1S >C ．d 1S <D ．d =，1S >【答案】C可知任意两点间距离最大值故选C.二、填空题11．抛物线216y x =的焦点坐标为 ． 12．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于原点对称.若ππ,63α∈，则cos β的最大值为 ．13．若直线()3y k x =−与双曲线2214x y −=只有一个公共点，则k 的一个取值为 ．可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 65mm,325mm,325mm ，且斛量器的高为230mm ，则斗量器的高为 mm ，升量器的高为 mm ． 15．设{}n a 与{}n b 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合{}*|,N kk M k a b k ==∈，给出下列4个结论：①若{}n a 与{}n b 均为等差数列，则M 中最多有1个元素； ②若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则M 中最多有2个元素； ③若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，则M 中最多有3个元素； ④若{}n a 为递增数列，{}n b 为递减数列，则M 中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是 .【答案】①③④【详解】①，因为{}{},n n a b 均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上， 而两条直线至多有一个公共点，故M 中至多一个元素，①正确. ②，取()112,2,n n n n a b −−==−−则{}{},n n a b 均为等比数列，但当n 为偶数时，有()1122n n n n a b −−===−−，此时M 中有三、解答题16．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B =． (1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．(1)若F 为线段PE 中点，求证：//BF 平面PCD ．(2)若AB ⊥平面PAD ，求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值． 【答案】(1)见解析因为2ED =，故1AE =，故故四边形AECB 为平行四边形，故而,PE ED ⊂平面PAD ，故故建立如图所示的空间直角坐标系，则()()0,1,0,1,1,0,A B C −−则()(0,1,2,1,PA PB −−整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：赔偿次数 0 1 2 3 4单数800 100 60 30 10假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i ）记X 为一份保单的毛利润，估计X 的数学期望()E X ；（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i ）中()E X 估计值的大小．（结论不要求证明）19．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点()(0,t t >且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和()0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；从而设(:,AB y kx t k =+联立22142x y y kx t += =+ ，化简并整理得(22Δ168k t =−20．设函数()()()ln 10f x x k x k =++≠，直线l 是曲线()y f x =在点()()(),0t f t t >处的切线． (1)当1k =−时，求()f x 的单调区间. (2)求证：l 不经过点()0,0.(3)当1k =时，设点()()(),0A t f t t >，()()0,C f t ，()0,0O ，B 为l 与y 轴的交点，ACO S 与ABO S 分别表示ACO △与ABO 的面积．是否存在点A 使得215ACO ABO S S =△△成立？若存在，这样的点A 有几个？（参考数据：1.09ln31.10<<，1.60ln51.61<<，1.94ln71.95<<）21．已知集合(){}{}{}{},,,1,2,3,4,5,6,7,8,M i j k w i j k w i j k w =∈∈∈∈+++且为偶数．给定数列128:,,,A a a a ，和序列12:,,s T T T Ω ，其中()(),,,1,2,,t t t t t T i j k w M t s =∈= ，对数列A 进行如下变换：将A 的第1111,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到的数列记作()1T A ；将()1T A 的第2222,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到数列记作()21T T A ；……；以此类推，得到()21s T T T A ，简记为()A Ω．(1)给定数列:1,3,2,4,6,3,1,9A 和序列()()():1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7Ω，写出()A Ω；(2)是否存在序列Ω，使得()A Ω为123456782,6,4,2,8,2,4,4a a a a a a a a ++++++++，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；(3)若数列A 的各项均为正整数，且1357a a a a +++为偶数，求证：“存在序列Ω，使得()A Ω的各项都相等”的充要条件为“12345678a a a a a a a a +=+=+=+”．【答案】(1)():3,4,4,5,8,4,3,10A Ω(2)不存在符合条件的Ω，理由见解析(3)见解析【分析】解法一：利用反证法，假设存在符合条件的Ω，由此列出方程组，进一步说明方程组无解即可；解法二：对于任意序列，所得数列之和比原数列之和多4，可知序列Ω共有8项，可知：()()2122128,1,2,3,4n n n n b b a a n −−+−+==，检验即可；解法一：分充分性和必要性两方面论证；解法二：若12345678a a a a a a a a +=+=+=+，分类讨论1357,,,a a a a 相等得个数，结合题意证明即可；若存在序列Ω，使得()ΩA 为常数列。
北京高考文科数学试题含答案(Word版)
普通高等学校招生全国统一考试北京卷文科数学本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟，。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则AB =（ ）A.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}3 2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.xy e -= B.y x = C.ln y x = D.y x = 3.已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9 4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A.1 D.15输出5.设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分不必要条件6.已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞7.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.48.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）学 科网满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图 记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟第2部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2024年北京市高考数学试卷含答案解析
绝密★启用前2024年北京市高考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M={x|−4<x≤1}，N={x|−1<x<3}，则M∪N=( )A. {x|−4<x<3}B. {x|−1<x≤1}C. {0,1,2}D. {x|−1<x<4}=i−1，则z=( )2.已知ziA. 1−iB. −1C. −1−iD. 13.求圆x2+y2−2x+6y=0的圆心到x−y+2=0的距离( )A. 2√ 3B. 2C. 3√ 2D. √ 64.(x−√ x)4的二项展开式中x3的系数为( )A. 15B. 6C. −4D. −135.已知向量a⃗，b⃗⃗，则“(a⃗⃗+b⃗⃗)⋅(a⃗⃗−b⃗⃗)=0”是“a⃗=b⃗⃗或a⃗⃗=−b⃗⃗”的()条件．A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件C. 充分且必要条件D. 既不充分也不必要条件，则ω=( )6.已知f(x)=sinωx，f(x1)=−1，f(x2)=1，|x1−x2|min=π2A. 1B. 2C. 3D. 4，并且d越大，水质量越好.若S不变，且d1=2.1，d2=2.2，则n1与n2的关系为( ) 7.记水的质量为d=S−1lnnA. n1<n2B. n1>n2C. 若S<1，则n1<n2；若S>1，则n1>n2D. 若S<1，则n1>n2；若S>1，则n1<n28.已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为4,4,2√ 2,2√ 2，求该四棱锥的高为( )A. √ 22B. √ 32C. 2√ 3D. √ 39.已知(x1,y1)，(x2,y2)是函数y=2x图象上不同的两点，则下列正确的是( )A. log2y1+y22>x1+x22B. log2y1+y22<x1+x22C. log2y1+y22>x1+x2 D. log2y1+y22<x1+x210.若集合{(x,y)|y=x+t(x2−x)，0≤t≤1，1≤x≤2}表示的图形中，两点间最大距离为d，面积为S，则( )A. d=3，S<1B. d=3，S>1C. d=√ 10,S<1D. d=√ 10,S>1第II卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高考北京卷文数试题和答案
2021年高考北京卷文数试题和答案2021年高考北京卷文数试题一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)已知，集合，则(A) (B)(C) (D)(2)若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是(A) (B)(C) (D)(3)执行如图所示的程序框图，输出的值为(A)2 (B)(C) (D)(4)若满足则的最大值为(A)1 (B)3(C)5 (D)9(5)已知函数，则(A)是偶函数，且在R上是增函数(B)是奇函数，且在R上是增函数(C)是偶函数，且在R上是减函数(D)是奇函数，且在R上是增函数(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(A)60 (B)30(C)20 (D)10(7)设m, n为非零向量，则“存在负数，使得m=λn”是“m·n<0”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(8)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(参考数据：lg3≈0.48)(A)1033 (B)1053(C)1073 (D)1093第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分(9)在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin=，则sin=_________.(10)若双曲线的离心率为，则实数m=__________.(11)已知，，且x+y=1，则的取值范围是__________.(12)已知点P在圆上，点A的坐标为(-2,0)，O为原点，则的最大值为_________.(13)能够说明“设a，b，c是任意实数.若a>b>c，则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为______________________________.(14)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(ⅰ)男学生人数多于女学生人数;(ⅱ)女学生人数多于教师人数;(ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________.②该小组人数的最小值为__________.三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
2024年北京市高考数学卷含答案 .
2024年北京市高考数学卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合M ={x|−4<x ≤1} N ={x|−1<x <3} 则M ∪N =（ ）。
A ．{x|−4<x <3}B ．{x|−1<x ≤1}C ．{0,1,2}D ．{x|−1<x <4}2．已知zi =i −1，则z =（ ）。
A ．1−iB ．−iC ．−1−iD ．13．求圆x 2+y 2−2x +6y =0的圆心到x −y +2=0的距离（ ）。
A ．2√3B ．2C ．3√2D ．√64．(x −√x)4的二项展开式中x 3的系数为（ ）。
A ．15B ．6C ．−4D ．−13 5．已知向量a ⃗ 和b ⃗ ，则(a +b ⃗ )·(a −b⃗ )=0是a ⃗ =b ⃗ 或a ⃗ =−b ⃗ 的（ ）条件。
A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知f(x)=sinωx(ω>0) f(x 1)=−1 f(x 2)=1 |x 1−x 2|min =π2则ω=（ ）。
A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．记水的质量为d =S−1lnn并且d 越大水质量越好。
若S 不变 且d 1=2.1 d 2=2.2 则n 1与n 2的关系为（ ）。
A ．n 1<n 2 B ．n 1>n 2C ．若S <1，则n 1<n 2；若S >1，则n 1>n 2；D ．若S <1，则n 1>n 2；若S >1，则n 1<n 2；8．已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥。
四条侧棱分别为4 4 2√2 2√2。
则该四棱锥的高为（ ）。
A ．√22B ．√32C ．2√3D ．√39．已知(x 1,y 1)，(x 2,y 2)是函数y =2x 图象上不同的两点，则下列正确的是（ ）。
2024年北京市高考数学试卷[含答案]
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2024年北京市高考数学试卷一、选择题。
共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合，，则 {|31}M x x =-<<{|14}N x x =-< (M N = )A ．B ．C ．D ．{|11}x x -< {|3}x x >-{|34}x x -<<{|4}x x <2．若复数满足，则 z 1zi i=--(z =)A ．B ．C ．D ．1i --1i -+1i -1i +3．圆的圆心到的距离为 22260x y x y +-+=20x y -+=()A B ．2C ．3D ．4．在的展开式中，的系数为 4(x 3x ()A ．6B ．C ．12D ．6-12-5．设，是向量，则“”是“或”的 ab ()()0a b a b +⋅-= a b =- a b = ()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．设函数．已知，，且的最小值为，则 ()sin (0)f x x ωω=>1()1f x =-2()1f x =12||x x -2π(ω=)A ．1B ．2C ．3D ．47．生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生1S d lnN-=S N 物个体总数．生物丰富度指数越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个d S 体总数由变为，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则 1N 2N ()A ．B ．C ．D ．2132N N =2123N N =2321N N =3221N N =8．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该P ABCD -ABCD 4PA PB ==PC PD ==棱锥的高为 ()A ．1B ．2C D9．已知，，，是函数的图象上两个不同的点，则 1(x 1)y 2(x 2)y 2x y =()A ．B ．12122log 22y y x x ++<12122log 22y y x x ++>C ．D ．12212log 2y y x x +<+12212log 2y y x x +>+10．已知，，，是平面直角坐标系中的点集．设是中两点{(M x =2)|()y y x t x x =+-12x 01}t d M 间的距离的最大值，是表示的图形的面积，则 S M ()A ．，B ．，C ．D ．3d =1S <3d =1S >1d S =<1d S =>二、填空题。
2024年北京高考数学真题(详解版)
2024年北京⾼考数学真题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________⼀、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【分析】直接根据并集含义即可得到答案.【详解】由题意得，故选：A.2．已知，则（）．A．B．C．D．1【答案】C【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.【详解】由题意得，故选：C.3．求圆的圆⼼到的距离（）A．B．2C．D．【答案】C【分析】求出圆⼼坐标，再利⽤点到直线距离公式即可.【详解】由题意得，即，则其圆⼼坐标为，则圆⼼到直线的距离为，故选：C.4．的⼆项展开式中的系数为（）A．15B．6C．D．【答案】B【分析】写出⼆项展开式，令，解出然后回代⼊⼆项展开式系数即可得解.【详解】的⼆项展开式为，令，解得，故所求即为.故选：B.5．已知向量，，则“”是“或”的（）条件．A．必要⽽不充分条件B．充分⽽不必要条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为，可得，即，可知等价于，若或，可得，即，可知必要性成⽴；若，即，⽆法得出或，例如，满⾜，但且，可知充分性不成⽴；综上所述，“”是“且”的必要不充分条件.故选：A.6．已知，，，，则（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根据三⻆函数最值分析周期性，结合三⻆函数最⼩正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：为的最⼩值点，为的最⼤值点，则，即，且，所以.故选：B.7．记⽔的质量为，并且d越⼤，⽔质量越好．若S不变，且，，则与的关系为（）A．B．C．若，则；若，则；D．若，则；若，则；【答案】C【分析】根据题意分析可得，讨论与1的⼤⼩关系，结合指数函数单调性分析判断.【详解】由题意可得，解得，若，则，可得，即；若，则，可得；若，则，可得，即；结合选项可知C正确，ABD错误；故选：C.8．已知以边⻓为4的正⽅形为底⾯的四棱锥，四条侧棱分别为4，4，，，则该四棱锥的⾼为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平⾯平⾯，可知平⾯，利⽤等体积法求点到⾯的距离.【详解】如图，底⾯为正⽅形，当相邻的棱⻓相等时，不妨设，分别取的中点，连接，则，且，平⾯，可知平⾯，且平⾯，所以平⾯平⾯，过作的垂线，垂⾜为，即，由平⾯平⾯，平⾯，所以平⾯，由题意可得：，则，即，则，可得，所以四棱锥的⾼为.当相对的棱⻓相等时，不妨设，，因为，此时不能形成三⻆形，与题意不符，这样情况不存在.故选：D.9．已知，是函数图象上不同的两点，则下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，对于选项AB：可得，即，根据函数是增函数，所以，故A正确，B错误；对于选项C：例如，则，可得，即，故C错误；对于选项D：例如，则，可得，即，故D错误，故选：A.10．若集合表示的图形中，两点间最⼤距离为d、⾯积为S，则（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平⾯区域，结合图形分析求解即可.【详解】对任意给定，则，且，可知，即，再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平⾯区域，如图阴影部分所示，其中，可知任意两点间距离最⼤值；阴影部分⾯积.故选：C.【点睛】⽅法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到⼼中有图，⻅数想图，以开拓⾃⼰的思维．使⽤数形结合法的前提是题⽬中的条件有明确的⼏何意义，解题时要准确把握条件、结论与⼏何图形的对应关系，准确利⽤⼏何图形中的相关结论求解．⼆、填空题11．已知抛物线，则焦点坐标为．【答案】【分析】形如的抛物线的焦点坐标为，由此即可得解.【详解】由题意抛物线的标准⽅程为，所以其焦点坐标为.故答案为：.12．已知，且α与β的终边关于原点对称，则的最⼤值为．【答案】/【分析】⾸先得出，结合三⻆函数单调性即可求解最值.【详解】由题意，从⽽，因为，所以的取值范围是，的取值范围是，当且仅当，即时，取得最⼤值，且最⼤值为.故答案为：.13．已知双曲线，则过且和双曲线只有⼀个交点的直线的斜率为．【答案】【分析】⾸先说明直线斜率存在，然后设出⽅程，联⽴双曲线⽅程，根据交点个数与⽅程根的情况列式即可求解.【详解】联⽴与，解得，这表明满⾜题意的直线斜率⼀定存在，设所求直线斜率为，则过点且斜率为的直线⽅程为，联⽴，化简并整理得：，由题意得或，解得或⽆解，即，经检验，符合题意.故答案为：.14．已知三个圆柱的体积为公⽐为10的等⽐数列．第⼀个圆柱的直径为65mm，第⼆、三个圆柱的直径为325mm，第三个圆柱的⾼为230mm，求前两个圆柱的⾼度分别为．【答案】【分析】根据体积为公⽐为10的等⽐数列可得关于⾼度的⽅程组，求出其解后可得前两个圆柱的⾼度.【详解】设第⼀个圆柱的⾼为，第⼆个圆柱的⾼为，则，故，，故答案为：.15．已知，，不为常数列且各项均不相同，下列正确的是.①，均为等差数列，则M中最多⼀个元素；②，均为等⽐数列，则M中最多三个元素；③为等差数列，为等⽐数列，则M中最多三个元素；④单调递增，单调递减，则M中最多⼀个元素.【答案】①③④【分析】利⽤两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利⽤反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误.【详解】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，⽽两条直线⾄多有⼀个公共点，故中⾄多⼀个元素，故①正确.对于②，取则均为等⽐数列，但当为偶数时，有，此时中有⽆穷多个元素，故②错误.对于③，设，，若中⾄少四个元素，则关于的⽅程⾄少有4个不同的正数解，若，则由和的散点图可得关于的⽅程⾄多有两个不同的解，⽭盾；若，考虑关于的⽅程奇数解的个数和偶数解的个数，当有偶数解，此⽅程即为，⽅程⾄多有两个偶数解，且有两个偶数解时，否则，因单调性相反，⽅程⾄多⼀个偶数解，当有奇数解，此⽅程即为，⽅程⾄多有两个奇数解，且有两个奇数解时即否则，因单调性相反，⽅程⾄多⼀个奇数解，因为，不可能同时成⽴，故不可能有4个不同的正数解，故③正确.对于④，因为为单调递增，为递减数列，前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，两者⾄多⼀个交点，故④正确.故答案为：①③④【点睛】思路点睛：对于等差数列和等⽐数列的性质的讨论，可以利⽤两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等⽐数列的公⽐可能为负，此时要注意合理转化.三、解答题16．在△ABC中，，A为钝⻆，．(1)求；(2)从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择⼀个作为已知，求△ABC的⾯积．①；②；③．注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第⼀个解答计分．【答案】(1)；(2)选择①⽆解；选择②和③△ABC⾯积均为.【分析】（1）利⽤正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利⽤正弦定理得，结合（1）问答案即可排除；选择②，⾸先求出，再代⼊式⼦得，再利⽤两⻆和的正弦公式即可求出，最后利⽤三⻆形⾯积公式即可；选择③，⾸先得到，再利⽤正弦定理得到，再利⽤两⻆和的正弦公式即可求出，最后利⽤三⻆形⾯积公式即可；【详解】（1）由题意得，因为为钝⻆，则，则，则，解得，因为为钝⻆，则.（2）选择①，则，因为，则为锐⻆，则，此时，不合题意，舍弃；选择②，因为为三⻆形内⻆，则，则代⼊得，解得，,则.选择③，则有，解得，则由正弦定理得，即，解得，因为为三⻆形内⻆，则，则，则17．已知四棱锥P-ABCD，，，，，E是上⼀点，．(1)若F是PE中点，证明：平⾯．(2)若平⾯，求平⾯与平⾯夹⻆的余弦值．【答案】(1)证明⻅解析(2)【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平⾏四边形，由线⾯平⾏的判定定理可得平⾯.（2）建⽴如图所示的空间直⻆坐标系，求出平⾯和平⾯的法向量后可求夹⻆的余弦值.【详解】（1）取的中点为，接，则，⽽，故，故四边形为平⾏四边形，故，⽽平⾯，平⾯，所以平⾯.（2）因为，故，故，故四边形为平⾏四边形，故，所以平⾯，⽽平⾯，故，⽽，故建⽴如图所示的空间直⻆坐标系，则，则设平⾯的法向量为，则由可得，取，设平⾯的法向量为，则由可得，取，故，故平⾯与平⾯夹⻆的余弦值为18．已知某险种的保费为万元，前3次出险每次赔付万元，第4次赔付万元赔偿次数01234单数在总体中抽样100单，以频率估计概率：(1)求随机抽取⼀单，赔偿不少于2次的概率；(2)（i）⽑利润是保费与赔偿⾦额之差．设⽑利润为，估计的数学期望；（ⅱ）若未赔偿过的保单下⼀保险期的保费下降，已赔偿过的增加．估计保单下⼀保险期⽑利润的数学期望．【答案】(1)(2)(i)0.122万元(ii)万元【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率;（2）（ⅰ）设为赔付⾦额，则可取，⽤频率估计概率后可求的分布列及数学期望，从⽽可求.（ⅱ）先算出下⼀期保费的变化情况，结合（1）的结果可求.【详解】（1）设为“随机抽取⼀单，赔偿不少于2次”，由题设中的统计数据可得.（2）（ⅰ）设为赔付⾦额，则可取，由题设中的统计数据可得，，，，故故（万元）.（ⅱ）由题设保费的变化为，故（万元）19．已知椭圆⽅程C：，焦点和短轴端点构成边⻓为2的正⽅形，过的直线l与椭圆交于A，B，，连接AC交椭圆于D．(1)求椭圆⽅程和离⼼率；(2)若直线BD的斜率为0，求t．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意得，进⼀步得，由此即可得解；（2）说明直线斜率存在，设，，联⽴椭圆⽅程，由⻙达定理有，⽽，令，即可得解.【详解】（1）由题意，从⽽，所以椭圆⽅程为，离⼼率为；（2）显然直线斜率存在，否则重合，直线斜率不存在与题意不符，同样直线斜率不为0，否则直线与椭圆⽆交点，⽭盾，从⽽设，，联⽴，化简并整理得，由题意，即应满⾜，所以，若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设，所以，在直线⽅程中令，得，所以，此时应满⾜，即应满⾜或，综上所述，满⾜题意，此时或.20．已知在处切线为l．(1)若切线l的斜率，求单调区间；(2)证明：切线l不经过；(3)已知，，，，其中，切线l与y轴交于点B时．当，符合条件的A的个数为？（参考数据：，，）【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为.(2)证明⻅解析(3)2【分析】（1）直接代⼊，再利⽤导数研究其单调性即可；（2）写出切线⽅程，将代⼊再设新函数，利⽤导数研究其零点即可；（3）分别写出⾯积表达式，代⼊得到，再设新函数研究其零点即可.【详解】（1），当时，；当，；在上单调递减，在上单调递增.则的单调递减区间为，单调递增区间为.（2），切线的斜率为，则切线⽅程为，将代⼊则，即，则，，令，假设过，则在存在零点.，在上单调递增，，在⽆零点，与假设⽭盾，故直线不过.（3）时，.，设与轴交点为，时，若，则此时与必有交点，与切线定义⽭盾.由（2）知.所以，则切线的⽅程为，令，则.，则，，记，满⾜条件的有⼏个即有⼏个零点.，当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减；因为，，所以由零点存在性定理及的单调性，在上必有⼀个零点，在上必有⼀个零点，综上所述，有两个零点，即满⾜的有两个.【点睛】关键点点睛：本题第⼆问的关键是采⽤的是反证法，转化为研究函数零点问题. 21．设集合．对于给定有穷数列，及序列，，定义变换：将数列的第项加1，得到数列；将数列的第列加，得到数列…；重复上述操作，得到数列，记为．若为偶数，证明：“存在序列，使得为常数列”的充要条件为“”．【答案】证明⻅解析【分析】分充分性和必要性两⽅⾯论证.【详解】我们设序列为，特别规定.必要性：若存在序列，使得为常数列.则，所以.根据的定义，显然有，这⾥，.所以不断使⽤该式就得到，，必要性得证.充分性：若.由已知，为偶数，⽽，所以也是偶数.我们设是通过合法的序列的变换能得到的所有可能的数列中，使得最⼩的⼀个.上⾯已经证明，这⾥，.从⽽由可得.同时，由于总是偶数，所以和的奇偶性保持不变，从⽽和都是偶数.下⾯证明不存在使得.假设存在，根据对称性，不妨设，，即.情况1：若，则由和都是偶数，知.对该数列连续作四次变换后，新的相⽐原来的减少，这与的最⼩性⽭盾；情况2：若，不妨设.情况2-1：如果，则对该数列连续作两次变换后，新的相⽐原来的⾄少减少，这与的最⼩性⽭盾；情况2-2：如果，则对该数列连续作两次变换后，新的相⽐原来的⾄少减少，这与的最⼩性⽭盾.这就说明⽆论如何都会导致⽭盾，所以对任意的都有.假设存在使得，则是奇数，所以都是奇数，设为.则此时对任意，由可知必有.⽽和都是偶数，故集合中的四个元素之和为偶数，对该数列进⾏⼀次变换，则该数列成为常数列，新的等于零，⽐原来的更⼩，这与的最⼩性⽭盾.综上，只可能，⽽，故是常数列，充分性得证.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义的理解，以及对其本质的分析.。
高考文科数学北京卷试题与答案word解析版
普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(北京卷)17．(2013北京，文17)(本小题共14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥AD .E 和F 分别是CD 和PC 的中点．求证：(1)PA ⊥底面ABCD ；(2)BE ∥平面PAD ；(3)平面BEF ⊥平面PCD .19．(2013北京，文19)(本小题共14分)直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：24x ＋y 2＝1相交于A ，C 两点，O 是坐标原点． (1)当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长；(2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形．20．(2013北京，文20)(本小题共13分)给定数列a 1，a 2，…，a n ，对i ＝1,2，…，n －1，该数列的前i 项的最大值记为A i ，后n －i 项a i ＋1，a i ＋2，…，a n 的最小值记为B i ，d i ＝A i －B i .(1)设数列{a n }为3,4,7,1，写出d 1，d 2，d 3的值；(2)设a 1，a 2，…，a n (n ≥4)是公比大于1的等比数列，且a 1＞0.证明：d 1，d 2，…，d n －1是等比数列；(3)设d 1，d 2，…，d n －1是公差大于0的等差数列，且d 1＞0.证明：a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(北京卷)第一部分(选择题 共40分)17．证明：(1)因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且PA 垂直于这两个平面的交线AD ，所以PA ⊥底面ABCD .(2)因为AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点，所以AB ∥DE ，且AB ＝DE .所以ABED 为平行四边形．所以BE ∥AD .又因为BE ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以BE ∥平面PAD .(3)因为AB ⊥AD ，而且ABED 为平行四边形，所以BE ⊥CD ，AD ⊥CD .由(1)知PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD .所以CD ⊥平面PAD .所以CD ⊥PD .因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点，所以PD ∥EF .所以CD ⊥EF .所以CD ⊥平面BEF .所以平面BEF ⊥平面PCD .18．解：由f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x ，得f ′(x )＝x (2＋cos x )．(1)因为曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，所以f ′(a )＝a (2＋cos a )＝0，b ＝f (a )．解得a ＝0，b ＝f (0)＝1.(2)令f ′(x )＝0，得x ＝0.f (x )与f ′(x )所以函数f (x )在区间(＝1是f (x )的最小值． 当b ≤1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 最多只有一个交点；当b ＞1时，f (－2b )＝f (2b )≥4b 2－2b －1＞4b －2b －1＞b ，f (0)＝1＜b ，所以存有x 1∈(－2b,0)，x 2∈(0,2b )，使得f (x 1)＝f (x 2)＝b . 因为函数f (x )在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，所以当b ＞1时曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有且仅有两个不同交点．综上可知，如果曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，那么b 的取值范围是(1，＋∞)． 19．解：(1)因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设A 1,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得21144t +=，即t =所以|AC |＝(2)假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0.由2244,x y y kx m⎧+=⎨=+⎩消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则1224214x x km k +=-+，121222214y y x x m k m k ++=⋅+=+.所以AC 的中点为M 224,1414km m k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0，所以直线OB 的斜率为14k -. 因为k ·14k ⎛⎫- ⎪⎝⎭≠－1，所以AC 与OB 不垂直． 所以四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形． 20．解：(1)d 1＝2，d 2＝3，d 3＝6.(2)因为a 1＞0，公比q ＞1，所以a 1，a 2，…，a n 是递增数列．所以，对i ＝1,2，…，n －1，A i ＝a i ，B i ＝a i ＋1.于是对i ＝1,2，…，n －1，d i ＝A i －B i ＝a i －a i ＋1＝a 1(1－q )q i －1.所以d i ≠0且1i id q d +=(i ＝1,2，…，n －2)， 即d 1，d 2，…，d n －1是等比数列．(3)设d 为d 1，d 2，…，d n －1的公差．对1≤i ≤n －2，因为B i ≤B i ＋1，d ＞0，所以A i ＋1＝B i ＋1＋d i ＋1≥B i ＋d i ＋d ＞B i ＋d i ＝A i .又因为A i ＋1＝max{A i ，a i ＋1}，所以a i ＋1＝A i ＋1＞A i ≥a i .从而a 1，a 2，…，a n －1是递增数列．所以A i ＝a i (i ＝1,2，…，n －1)．又因为B 1＝A 1－d 1＝a 1－d 1＜a 1，所以B 1＜a 1＜a 2＜…＜a n －1.所以a n ＝B 1.所以B 1＝B 2＝…＝B n －1＝a n .所以a i ＝A i ＝B i ＋d i ＝a n ＋d i .所以对i ＝1,2，…，n －2都有a i ＋1－a i ＝d i ＋1－d i ＝d ，即a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．。
北京市高考数学卷(文科)
普通高等学校招生全国统一考试数学(文科)〔北京卷〕 第Ⅰ卷一.选择题:本大题共8小题,每题5分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题要求的. (1) 设M=x {－2x≤2}, N=x {x ＜1}, 则M∩N 等于 (A) x {1＜x ＜2} (B) x {－2＜x ＜1} (C) x {1＜x≤2} (D) x {－2≤x ＜1}(2) 满足条件i z 43+=的复数z 在复平面上对应点的轨迹是(A) 一条直线 (B) 两条直线 (C) 圆 (D) 椭圆(3) 设 m, n 是两条不同的直线,r ,,βα是三个不同的平面.给出以下四个命题: ①假设m ⊥α,n ∥α,则m ⊥n;② 假设α∥β, β∥r, m ⊥α,则m ⊥r; ③ 假设m ∥α,n ∥α,则m ∥n; ④ 假设α⊥r, β⊥r,则α∥β. 其中正确命题的序号是(A)①和② (B)②和③ (C)③和④ (D)①和④(4)已知a,b,c 满足c ＜b ＜a,且ac ＜0,那么以下选项是一定成立的是 (A)ab ＞ac (B) c(b －a)＜0 (C) cb 2＜ab 2 (D) ac(a －c)＞0(5)从长度分别为1,2,3,4的四条线段中,任取三条的不同取法有n 种.在这些取法中,以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m,则nm等于 (A) 0 (B) 41 (C) 21 (D) 43(6) 如图,在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,P 是侧面BB 1C 1C 内一动点,假设P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等,则动点P 的 轨迹所在的曲线是 (A) 直线 (B) 圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线(7)函数32)(2--=ax x x f 在区间[1,2]上存在反函数的充分必要条件是 (A))1,(-∞∈a (B) [)+∞∈,2a(C) [)+∞-∞∈,2)1,( a (D) ]2,1[∈a(8)函数⎩⎨⎧∈∈-=,,,,)(P x x M x x x f 其中P,M 为实数集R 的两个非空子集,又规定}.),({)(},),({)(M x x f y y M f P x x f y y P f ∈==∈==给出以下四个判断:① 假设P∩M=φ,则;)()(φ=M f P f ②假设P∩M≠φ,则;)()(φ≠M f P f ③假设P ∪M=R,则 ;)()(R M f P f = ④假设P ∪M≠R ,则R M f P f ≠)()( 其中正确判断有(A) 3个 (B)2个 (C)1个 (D) 0个第Ⅱ卷 (非选择题 共110分)二.填空题:本大题共6小题,每题5分,共30分.把答案填在题中横线上. (9) 函数xcox x f sin )(=的最小正周期是 . (10) 方程3lg lg )2lg(2+=+x x 的解是 .(11)圆1)1(22=++y x 的圆心坐标是 ,如果直线x+y+a=0与该圆有公共点,那么实数a 的取值范围是 . (12) 某地球仪上北纬30°纬线的长度为12πcm,该地球仪的半径是 cm, 外表积是 cm 2.(13) 在函数c bx ax x f ++=2)(中,假设a,b,c 成等数列且f(0)=－4,则f(x)有最 值(填“大”或“小”),且该值为 .(14)定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{}n a 是等和数列, 且a 1=5, 公和为5,那么a 18的值为 ,且这个数列的前21项和S 21的值为 .三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题总分值14分) 在中, 22cos sin =+A A ,AC=2, AB=3, 求tgA 的值和△ABC 的面积.(16) (本小题总分值14分)如图,在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,AB=2,AA 1=2,由顶点B 沿棱柱侧面经过棱AA 1到顶点C 1的最短路线与AA 1的交点记为M.求: (Ⅰ)三棱柱的侧面展开图的对角线长; (Ⅱ)该最短路线的长及AMMA 1的值; (Ⅲ)平面C 1MB 与平面ABC 所成二面角(锐角)的大小.(17) (本小题总分值14分)如图,抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点, 点P(1,2), A(x 1, y 1), B(x 2,y 2)均在直线上.(Ⅰ)写出该抛物线的方程及其准线方程. (Ⅱ)当PA 与PB 的斜率存在且倾角互补时, 求21y y 的值及直线AB 的斜率.(18) (本小题总分值14分)函数f(x)定义在[0,1]上,满足)2(2)(x f x f =且f(1)=1,在每个区间i i i ](21,21(1-=1,2,…)上, y=f(x) 的图象都是平行于x 轴的直线的一部分. (Ⅰ)求f(0)及)41(),21(f f 的值,并归纳出 ,2,1)(21(=i if )的表达式; (Ⅱ)设直线x x i x i ,21,211-==轴及y=f(x)的图象围成的矩形的面积为),2,1( =i a i , 求a 1,a 2及)(21lim n n a a a +++∞→ 的值.(19) (本小题总分值12分)实际运行时,假设列车从A 站正点发车,在B 站停留1分钟,并在行驶时以同一速度vkm/h 匀速行驶,列车从A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差.(Ⅰ) 分别写出列车在B, C两站的运行误差;(Ⅱ) 假设要求列车在B, C两站的运行误差之和不超过2分钟,求v的取值范围.(20) (本小题总分值12分)给定有限正数满足条件T: 每个数都不大于50且总和L=1275.现将这些数按以下要求进行分组,每组数之和不大于150且分组的步骤是:首先,从这些数中选择这样一些数构成第一组,使得150与这组数之和的差r 1与所有可能的其他选择相比是最小的,r 1称为第一组余差;然后,在去掉已选入第一组的数后,对余下的数按第一组的选择方式构成第二组,这时的余差r 2;如此继续构成第三组(余差为r 3)、第四组〔余差为r 4〕、…，直至第N 组〔余差为r N 〕把这些数全部分完为止。
完整word版北京高考数学文科试题及答案
绝密★启封并使用完毕前2021年普通高等学校招生全国统一考试数学〔文〕〔北京卷〕本试卷共5页，150分。
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第一局部〔选择题共40分〕一、选择题：共8个小题，每题5分，共40分。
在每题的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
〔1〕假设集合A x 5 x 2,B x 3 x 3,那么A B 〔〕(A) x 3 x 2 (B) x 5 x 2 (C) x 3 x 3 (D) x 5 x 3〔2〕圆心为〔1，1〕且过原点的圆的方程是〔〕A〕x1（C〕x1222y12 y11〔B〕x11222y12 y12〔D〕x12〔3〕以下函数中为偶函数的是〔〕〔A〕y x2sinx〔B〕y x2cosx〔C〕y lnx〔D〕y2x〔4〕某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，那么该样本的老年人数为〔〕A〕90〔B〕100〔C〕180〔D〕300类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300〔5〕执行如下图的程序框图，输出的k值为〔〕A〕3〔B〕4(C)5(D)6〔6〕设a,b是非零向量，“ab ab〞是“a//b〞的〔〕（〔A〕充分而不必要条件〔B〕必要而不充分条件C〕充分必要条件D〕既不充分也不必要条件〔7〕某四棱锥的三视图如下图，该四棱锥最长棱的棱长为〔〕(A)1〔B〕错误！未找到引用源。
〔B〕错误！未找到引用源。
(D)2〔8〕某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况。
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为〔〕加油时间加油量〔升〕加油时的累计里程〔千米〕2021年5月1日12350002021年5月15日4835600注：“累计里程〞指汽车从出厂开始累计行驶的路程〔A〕6升〔B〕8升〔C〕10升〔D〕12升第二局部〔非选择题共110分〕二、填空题〔共6小题，每题5分，共30分〕〔9〕复数i1i的实部为．1〔10〕23,32,log25三个数中最大数的是．〔11〕在ABC中，a3,b6,A2,那么B．3〔12〕2,0是双曲线x2y21b0的一个焦点，那么bb2．〔13〕如图，ABC及其内部的点组成的集合记为D Px,y为D中任意一点，那么z2x3y的最大值，为．14〕高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如以下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生。
高考北京卷文数试题和答案
高考北京卷文数试题和答案(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(A)60 (B)30(C)20 (D)10(7)设m, n为非零向量，则“存在负数，使得m=λn”是“m·n<0”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(8)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(参考数据：lg3≈0.48)(A)1033 (B)1053(C)1073 (D)1093第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分(9)在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin=，则sin=_________.(10)若双曲线的离心率为，则实数m=__________.(11)已知，，且x+y=1，则的取值范围是__________.(12)已知点P在圆上，点A的坐标为(-2,0)，O为原点，则的最大值为_________.(13)能够说明“设a，b，c是任意实数.若a>b>c，则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为______________________________.(14)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(ⅰ)男学生人数多于女学生人数;(ⅱ)女学生人数多于教师人数;(ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________.②该小组人数的最小值为__________.三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
(15)(本小题13分)已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.(Ⅰ)求的通项公式;(Ⅱ)求和：.(16)(本小题13分)已知函数.(I)求f(x)的最小正周期;(II)求证：当时，.17)(本小题13分)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，┄，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：(Ⅰ)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率;(Ⅱ)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;(Ⅲ)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.(18)(本小题14分)如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(Ⅰ)求证：PA⊥BD;(Ⅱ)求证：平面BDE⊥平面PAC;(Ⅲ)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E–BCD的体积.(19)(本小题14分)已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE 与△BDN的面积之比为4:5.(20)(本小题13分)已知函数.(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值.2019年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)(北京卷)答案(10)2(11) (12)6(13)(答案不唯一) (14)6 12三、(15)(共13分)解：(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d.因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10.解得d=2.所以an=2n−1.(Ⅱ)设等比数列的公比为q.因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.解得q.从而.(16)(共13分)解：(Ⅰ).所以的最小正周期.(Ⅱ)因为，所以.所以.所以当时，.(17)(共13分)解：(Ⅰ)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为，所以样本中分数小于70的频率为.所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.(Ⅱ)根据题意，样本中分数不小于50的频率为，分数在区间内的人数为.所以总体中分数在区间内的人数估计为.(Ⅲ)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为，所以样本中分数不小于70的男生人数为.所以样本中的男生人数为，女生人数为，男生和女生人数的比例为.所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为.(18)(共14分)解：(I)因为，所以，又因为平面，所以.(II)因为为，由(I)，所以.所以平面平面.(III)因为，平面平面，所以.因为为的，.由(I)平面，所以平面.所以三棱锥的体积.(19)(共14分)解：(Ⅰ)设椭圆的方程为.由题意得解得.所以.所以椭圆的方程为.(Ⅱ)设，则.由题设知中/华-资*源%库，且. 直线的斜率，故直线的斜率. 所以直线的方程为.直线的方程为.联立解得点的纵坐标.由点在椭圆上，得.所以.又，所以与的面积之比为.(20)(共13分)解：(Ⅰ)因为，所以.又因为，所以曲线在点处的切线方程为，则时，所以在区间上单调递减有即在区间上单调递减.因此在区间上的最大值为，最小值为.点击下页查看更多2019年高考北京卷文数试题解析版。
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2014年普通高等学校招生全国统一考试北京卷
文科数学
本试卷共6页，150分。
考试时长1２０分钟，。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题
共40分）
一、选择题共8小题,每小题５分,共40分。
在每小题列出的4个选项中,选出符合题目要求的一项。
1.若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则A
B =( )
A ．{}0,1,2,3,4 B.{}0,4 C.{}1,2
D.{}3
2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ )
A.x
y e -= B.y x = C.ln y x = D.y x = 3．已知向量()2,4a =,()1,1b =-，则2a b -=( ）
A.()5,7
B.()5,9
C.()3,7
Ｄ．()3,9
4．执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( ）
A.1 Ｂ.3 C.7
D.15
输出
5．设a 、b 是实数,则“a b >”是“2
2
a b >”的（ ）
A.充分而不必要条件 B ．必要而不必要条件
C.充分必要条件 Ｄ.既不充分不必要条件 ６.已知函数()26
log f x x x
=
-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是( ) A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4
D.()4,+∞
７.已知圆()()2
2
:341C x y -+-=和两点(),0A m -,()(),00B m m >,若圆C 上存在点
P ,使得90APB ∠=，则m 的最大值为( ）
A.7
B.6
C.5
Ｄ．4
8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下,可食用率
p 与加工时间t (单位:分钟)学 科网满足的函数关系2p at bt c =++(a 、b 、c 是常数)，下图
记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为（ ）
A.3.50分钟 Ｂ．3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟
第2部分（非选择题
共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分,共３0分。
9.若()()12x i i i x R +=-+∈,则x = ． 10.设双曲线C
的两个焦点为()
，
)
,一个顶点式()1,0,则C 的方程为
.
1１.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 ．
侧（左）视图
正（主）视图
12.在ABC ∆中，1a =,2b =,1
cos 4
C =
,则c = ;sin A = . 13．若x 、y 满足11010y x y x y ≤⎧⎪
--≤⎨⎪+-≥⎩
，则z y =+的最小值为 .
14.顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这
项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，学科 网再由工艺师进行精加工完成制作,两件工艺品都
则最短交货期为 工作日．三、解答题共６小题,共８0分。
解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
15.（本小题满分13分)已知{}n a 是等差数列,满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =,且{}n n b a -是等比数列.
（１）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (2）求数列{}n b 的前n 项和.
１6.(本小题满分13分)函数()3sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的部分图象如图所示. (1）写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值;
（２)求()f x
在区间,212π
π⎡⎤-
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值. 17.（本小题满分１4分）111垂直于底面，AB BC ⊥，
12AA AC ==,E 、F 分别为11A C 、BC 的中点.
(１）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ； (2）求证:1//C F 平面ABE ; （3）求三棱锥E ABC -的体积.
C 1
B 1
A 1
F
E C
B
A
1８. （本小题满分1３分)
从某校随机抽取100名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图:
(１）从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于１２小时的概率; （2）求频率分布直方图中的a ，ｂ的值；
（3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写出结论） 19． （本小题满分1４分）
已知椭圆C ：2
2
24x y +=. （1） 求椭圆Ｃ的离心率;
(２）设Ｏ为原点,若点A 在直线2y =,点B 在椭圆Ｃ上,且OA OB ⊥,求线段长度的最小值. 20. （本小题满分13分） 已知函数3
()23f x x x =-.
（１）求()f x 在区间[2,1]-上的最大值;
（2)若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围;
(3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切?（只需写出结论)
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