()刚体习题课

的固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为m的
o 小撞。滑时求块间细， 极 棒从 短 碰侧 。 撞面 已 后垂知直直碰到于撞静棒前止方后所向小需与滑的棒块时发速间生度是碰 分多撞 别少， 为？v1设碰和v2
解： m与M碰撞过程，
系统（m,M）对O轴角动量守恒
mv 1 L mv 2 L J （1） v2
程中，支撑轴o对细杆的水平切向力Fx
o
为零，称该点为打击中心。试求：
（1）打击中心A与支撑轴o之间的距离RA。 RA
（2）如果用质量为m=M，速度为v的弹
Rc
性球沿水平方向击中A点，碰撞后轴o对
细杆的作用力将如何？
F
解(1)由转动定律 FRA J
质心运动定理 F Mac
1 ML2
3
ac rc
L 2
TA TB TD 但 TB T（C 忽略绳子的质量）
（3）两个圆盘的角速度和角加速度不相等。
1 2 1 2
4
例1. 现有质量相同，厚度相同的铁质和木质圆板各一个。令其 各自绕通过圆板中心且与圆板垂直的光滑轴转动。设其角速度 也相同。某时刻起两者受到同样大小的阻力矩，问：哪种质料 的圆板先停止转动？
M
Rmg
R
m 2
g
1 2
Rmg
设u为人相对绳的匀速度，v 为重物上升
m
的速度, 则系统对o轴的角动量为:
m 2
L
R
m 2
v
Rm
u
v
J
J 1 m R2 2 4
L 13 mRv mRu
8
7
R
o
m 4
v
m
m 2
M 1 Rmg L 13 mRv mRu
2
根据角动量定理：
M
8
dL
dt
解： 铁质和木质圆板的转动惯量分别为：
J铁
1 2
m R铁2
J木
1 2
m R木2
由角动量定理得：M L J t t
M相同，也相同, 所以：
R铁 R木
J铁 J木
J铁 J木 t铁 t木
t木
J木 J铁
t铁
t铁
因此，铁圆板先停
5
例2. 如图，转轮A、B可分别独立地绕o轴转动。
A、B轮的质量分别为mA 10kg和mB 20kg,
dM 2rf (2rdr) 4kvr2dr
o
4kr3dr
r
M R 4kr3dr kR4 0
dr
由转动定理：J
d 2kR2 dt
m
d
dt
0
M
d
1 mR2 2
2kR2
m
d
dt
kR4
t
dt
0
0e
2kR
m
2
t
9
例5. 质量为M长为L的均质细棒静止平放在滑动摩
擦系数为 的水平桌面上。它可绕O点垂直于桌面
L x dx g
0
1 MgL
2
（3）
Mdt Jd
有：
t 0
Mf dt
J
0
d
（4）
由以上四式解出： t 2mv1 v2
Mg
11
例6、质量为M，长为 l 的均匀棒，如图，若用水平力F
打击在离轴下 y处，求：轴对棒的作用力。 Ry
解：设轴的作用力为: Rx Ry 由转动定律: yF J
刚体定轴转动习题课
1
1.刚体定轴转动定律：
M J
2.刚体的转动惯量： J mi ri2
J r 2dm
平行轴定理： J J c md 2
3.刚体定轴转动的角动量定理：
Mz
dLz dt
(Lz J )
4.角动量守恒定律：Mz=0
Lz1 Lz2 恒量
5.刚体转动的功和能：
A 2 Md 1
R at R an 2 / R
（2）用一根绳连接两个或多个刚体时，要把刚体分开考 虑。
3
BC
1 同一根绳上各点的切向
M2 o2 R2
o
R
1
1
M1
加速度和线速度相同；
A
m2
D at A = at B = at C = at D C D
m1
（2）跨过有质量的圆盘两边的绳子中的张力不相等；
rA A = rBB 3
则：FA : FB = 1 : 2 6
例3、一轻绳绕过一半径为R，质量为m/4的滑轮。质量
为m的人抓住了绳的一端，在绳的另一端系一个质量为
m/2的重物，如图所示。求当人相对于绳匀速上爬时，
重物上升的加速度是多少？
解：选人、滑轮与重物为系统
R
o
m 4
v
对O轴，系统所受的外力矩为：
6.机械能守恒定律
Ek
1 J 2
2
E p mghc
当只有保守力矩作功 Ek Ep 恒量
2源自文库
说明： （1）粘接在一起的两个圆盘（或圆柱）形状的刚体，要把它们看 成一个刚体，不要分开考虑。
它们的和均相同，但不同半径处的和a不同。
如图，在r处：
or
r at r an 2 / r
R
在R处 :
1 mgR d 13 mRv mRu
2
dt 8
du 0 a dv 4 g
dt
dt 13
8
例4、质量为m，半径为R的圆盘，可绕过盘中心且垂直
于盘面的轴转动，在转动过程中单位面积所受空气的阻
力为 f kv ，t 0 时，圆盘的角速度为0 ，求盘在任
意时刻的速度 (t)。
解:先求阻力力矩, 取半径为r宽为dr的圆带
v1
J 1 ML2 3
（2）
碰后细棒转动直至停止，受摩擦阻力矩作用
10
mv 1 L mv 2 L J （1）
J 1 ML2 （2）
碰后：
3
dm dx o
v1
x
任意质点所受阻力： df dN gdm gdx
任意质点所受阻力矩： dM f xdf
M f xdf
由角动量定理 L
半径分别为rA和rB。现用力f
A和f
分别拉系在轮上
B
的细绳且使绳与轮间无滑动。为使A、B两轮边缘处
切向加速度相同，相应的拉力f
A、f
之比为多少？
B
解：A、B滑轮视为两个刚体
rB
它们的和将不再相同。
o
rA
由转动定律：rA fA = J A A 1
fB
fA
由题意： rB fB = JBB 2
atA = atB
d
Rx
t 为作用时间
得到： 0
由质心运动定理：
dt
yF J
t
F
y
切向：F Rx
法向：
m
Ry
l 2
d
dt
mg
于是得到：Rx
(1
3y)F 2l
m
l 2
2 Ry
mg
9F
2 y2 (t)2 2l 3m
12
例7、如图所示，以水平力F打击悬
挂着的质量为M、长度为L的均匀细杆。
如果打击点A选择得合适，在打击的过
联立可得：
RA
2 3
L
Fy
Fx c A
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（2）如果用质量为m=M，速度为v1的弹性球 沿水平方向击中A点，碰撞后轴o对细杆的作用
Fy
力将如何？
球打在A点，轴间仍没有x方向轴力 球和棒系统，水平方向动量守恒
o RA Rc c
mv1 mv 2 MVc
系统角动量守恒
vv
A
1
RA mv1 RA mv 2 J RAmv