2020—2021年新高考总复习数学(理)阶段滚动月考卷(二)及答案解析.docx

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2020届高考理科数学总复习单元滚动测试卷含答案(21套)

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2020—2021年最新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题十及答案解析.docx

高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1．复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y=x对称，且z1=3+2i，则z1•z2=（）A．12+13i B．13+12i C．﹣13i D．13i2．设集合A={x|x2﹣3x＜0}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）A．{x|2＜x＜3} B．{x|﹣2＜x＜0} C．{x|0＜x＜2} D．{x|﹣2＜x ＜3}3．运行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．B．C．D．4．若实数a，b∈R且a＞b，则下列不等式恒成立的是（）A．a2＞b2B．C．2a＞2b D．lg（a﹣b）＞05．几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．C． D．6．已知变量X服从正态分布N（2，4），下列概率与P（X≤0）相等的是（）A．P（X≥2）B．P（X≥4）C．P（0≤X≤4）D．1﹣P（X ≥4）7．已知AB为圆O：（x﹣1）2+y2=1的直径，点P为直线x﹣y+1=0上任意一点，则的最小值为（）A．1 B． C．2 D．8．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＞0且，当S n取最大值时，n的值为（）A．9 B．10 C．11 D．129．小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有种．（）A．18 B．27 C．37 D．21210．函数与的图象关于直线x=a对称，则a可能是（）A． B． C． D．11．已知函数f（x）满足f（x）+f（2﹣x）=2，当x∈（0，1]时，f（x）=x2，当x∈（﹣1，0]时，，若定义在（﹣1，3）上的函数g（x）=f（x）﹣t（x+1）有三个不同的零点，则实数t的取值范围是（）A．B．C．D．12．过双曲线x2﹣=1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2=1作切线，切点分别为M，N，则2+y2=4和圆C2：（x﹣4）|PM|2﹣|PN|2的最小值为（）A．10 B．13 C．16 D．19二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13．已知实数x，y满足，则y﹣2x的最小值为______．14．已知向量=（1，），=（0，t2+1），则当时，|﹣t|的取值范围是______．15．已知a＞0，展开式的常数项为15，则=______．16．已知数列{a n}中，对任意的n∈N*若满足a n+a n+1+a n+2+a n+3=s （s为常数），则称该数列为4阶等和数列，其中s为4阶公和；若满足a n•a n+1•a n+2=t（t为常数），则称该数列为3阶等积数列，其中t为3阶公积．已知数列{p n}为首项为1的4阶等和数列，且满足；数列{q n}为公积为1的3阶等积数列，且q1=q2=﹣1，设S n为数列{p n•q n}的前n项和，则S2016=______．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（12分）（2016•长春二模）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；（2）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a=7，若锐角A满足，且，求△ABC的面积．18．（12分）（2016•长春二模）近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（1）是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：①求对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；②求X的数学期望和方差．P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.0250.010.0050.001k 2.072 2.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中n=a+b+c+d）19．（12分）（2016•长春二模）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，点D1为棱PD的中点，过D1作与平面ABCD平行的平面与棱PA，PB，PC相交于A1，B1，C1，∠BAD=60°．（1）证明：B1为PB的中点；（2）若AB=2，且二面角A1﹣AB﹣C的大小为60°，AC、BD的交点为O，连接B1O．求三棱锥B1﹣ABO外接球的体积．20．（12分）（2016•长春二模）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点P为椭圆上一动点，△F1PF2内切圆面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为A1，过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，连结A1A，A1B并延长交直线x=4分别于P，Q两点，以PQ为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．21．（12分）（2016•长春二模）已知函数在点（1，f（1））处的切线与直线y=﹣4x+1平行．（1）求实数a的值及f（x）的极值；（2）若对任意x1，x2，有，求实数k的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•长春二模）如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB 交圆O于点D，若MC=BC．（1）求证：△APM∽△ABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•长春二模）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=8cos（θ﹣）．（1）求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•长春二模）设函数f（x）=|x+2|+|x﹣a|（a∈R）．（1）若不等式f（x）+a≥0恒成立，求实数a的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1．复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y=x对称，且z1=3+2i，则z1•z2=（）A．12+13i B．13+12i C．﹣13i D．13i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】求出复数的对称点的复数，利用复数的乘法运算法则求解即可．【解答】解：复数z1在复平面内关于直线y=x对称的点表示的复数z2=2+3i，所以z1•z2=（3+2i）（2+3i）=13i．故选：D．【点评】本题考查复数的乘法运算，以及复平面上的点与复数的关系，属于基础题．2．设集合A={x|x2﹣3x＜0}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）A．{x|2＜x＜3} B．{x|﹣2＜x＜0} C．{x|0＜x＜2} D．{x|﹣2＜x ＜3}【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由题意可知A={x|0＜x＜3}，B={x|﹣2＜x＜2}，∴A∩B={x|0＜x＜2}．故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．运行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A． B．C．D．【考点】循环结构．【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行后输出的是计算首项为，公比也为的等比数列的前9项和．【解答】解：由算法流程图可知，输出结果是首项为，公比也为的等比数列的前9项和，即为．故选：A．【点评】本题考查了程序流程图中循环结构的认识与应用问题，是基础题目．4．若实数a，b∈R且a＞b，则下列不等式恒成立的是（）A．a2＞b2B．C．2a＞2b D．lg（a﹣b）＞0【考点】不等关系与不等式．【分析】举特值可排除ABD，对于C可由指数函数的单调性得到．【解答】解：选项A，当a=﹣1且b=﹣2时，显然满足a＞b但不满足a2＞b2，故错误；选项B，当a=﹣1且b=﹣2时，显然满足a＞b但=，故错误；选项C，由指数函数的单调性可知当a＞b时，2a＞2b，故正确；选项D，当a=﹣1且b=﹣2时，显然满足a＞b但lg（a﹣b）=lg1=0，故错误．故选：C．【点评】本题考查不等式的运算性质，特值法是解决问题的关键，属基础题．5．几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥，利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥，所以其体积为．故选：C．【点评】本题通过几何体的三视图来考查体积的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．已知变量X服从正态分布N（2，4），下列概率与P（X≤0）相等的是（）A．P（X≥2）B．P（X≥4）C．P（0≤X≤4）D．1﹣P（X ≥4）【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】由变量X服从正态分布N（2，4）可知，x=2为其密度曲线的对称轴，即可求出答案．【解答】解：由变量X服从正态分布N（2，4）可知，x=2为其密度曲线的对称轴，因此P（X≤0）=P（X≥4）．故选B．【点评】本题考查正态分布的概念，属于基础题，要求学生对正态分布的对称性有充分的认识．7．已知AB为圆O：（x﹣1）2+y2=1的直径，点P为直线x﹣y+1=0上任意一点，则的最小值为（）A．1 B． C．2 D．【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．【分析】运用向量加减运算和数量积的性质，可得=（+）•（+）=||2﹣r2，即为d2﹣r2，运用点到直线的距离公式，可得d的最小值，进而得到结论．【解答】解：由=（+）•（+）=2+•（+）+•=||2﹣r2，即为d2﹣r2，其中d为圆外点到圆心的距离，r为半径，因此当d取最小值时，的取值最小，可知d的最小值为=，故的最小值为2﹣1=1．故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系以及向量的数量积的运算，注意运用向量的平方即为模的平方，以及点到直线的距离公式，属于中档题．8．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＞0且，当S n取最大值时，n的值为（）A．9 B．10 C．11 D．12【考点】等差数列的性质．【分析】由题意，不妨设a6=9t，a5=11t，则公差d=﹣2t，其中t＞0，因此a10=t，a11=﹣t，即可得出．【解答】解：由题意，不妨设a6=9t，a5=11t，则公差d=﹣2t，其中t＞0，因此a10=t，a11=﹣t，即当n=10时，S n取得最大值．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的性质、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有种．（）A．18 B．27 C．37 D．212【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】由题可知，取出酒瓶的方式有3类，根据分类计数原理可得．【解答】解：由题可知，取出酒瓶的方式有3类，第一类：取6次，每次取出4瓶，只有1种方式；第二类：取8次，每次取出3瓶，只有1种方式；第三类：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法为，为35种；共计37种取法．故选：C．【点评】本题是一道排列组合问题，考查学生处理问题的方法，对学生的逻辑思维和抽象能力提出很高要求，属于中档题．10．函数与的图象关于直线x=a对称，则a可能是（）A． B． C． D．【考点】余弦函数的对称性．【分析】根据函数关于x=a的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式，根据它与一样，求得a的值．【解答】解：由题意，设两个函数关于x=a对称，则函数关于x=a的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式为，令，则．故选：A．【点评】本题主要考查三角函数图象，学生对三角函数图象的对称，诱导公式的运用是解决本题的关键，属于基础题．11．已知函数f（x）满足f（x）+f（2﹣x）=2，当x∈（0，1]时，f（x）=x2，当x∈（﹣1，0]时，，若定义在（﹣1，3）上的函数g（x）=f（x）﹣t（x+1）有三个不同的零点，则实数t的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由g（x）=f（x）﹣t（x+1）=0得f（x）=t（x+1），分别求出函数f（x）的解析式以及两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由题可知函数在x∈（﹣1，1]上的解析式为，又由f（x）+f（2﹣x）=2可知f（x）的图象关于（1，1）点对称，可将函数f（x）在x∈（﹣1，3）上的大致图象呈现如图：根据y=t（x+1）的几何意义，x轴位置和图中直线位置为y=t（x+1）表示直线的临界位置，其中x∈[1，2）时，f（x）=﹣（x﹣2）2+2，联立，并令△=0，可求得．因此直线的斜率t的取值范围是．故选：D．【点评】本题是最近热点的函数图象辨析问题，是一道较为复杂的难题．作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．12．过双曲线x2﹣=1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2=1作切线，切点分别为M，N，则2+y2=4和圆C2：（x﹣4）|PM|2﹣|PN|2的最小值为（）A．10 B．13 C．16 D．19【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线x2﹣=1的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．【解答】解：圆C1：（x+4）2+y2=4的圆心为（﹣4，0），半径为r1=2；圆C2：（x﹣4）2+y2=1的圆心为（4，0），半径为r2=1，设双曲线x2﹣=1的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得|PM|2﹣|PN|2=（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22）=（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）=|PF1|2﹣|PF2|2﹣3=（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3=2a（|PF1|+|PF2|﹣3=2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥2•2c﹣3=2•8﹣3=13．当且仅当P为右顶点时，取得等号，即最小值13．故选B．【点评】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13．已知实数x，y满足，则y﹣2x的最小值为 1 ．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件表示的可行域，利用目标函数的几何意义，求出最小值即可．【解答】解：根据方程组获得可行域如下图，令z=y﹣2x，可化为y=2x+z，因此，当直线过点（1，3）时，z取得最小值为1．故答案为：1．【点评】本题主要考查线性规划问题，是一道常规题．从二元一次方程组到可行域，再结合目标函数的几何意义，全面地进行考查．14．已知向量=（1，），=（0，t2+1），则当时，|﹣t|的取值范围是[1，] ．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】求出=（0，1），再根据向量差的几何意义，求出|﹣t|的解析式，从而求出它的取值范围．【解答】解：由题意，=（0，1），根据向量的差的几何意义，|﹣t|表示向量t的终点到向量的终点的距离d，所以d=；所以，当t=时，该距离取得最小值为1，当t=﹣时，该距离取得最大值为，即|﹣t|的取值范围是[1，]．故答案为：[1，]．【点评】本题利用数形结合思想，考查了平面向量的几何意义，也考查了函数的最值问题以及计算求解能力的应用问题，是基础题目．15．已知a＞0，展开式的常数项为15，则= ．【考点】二项式定理；微积分基本定理．【分析】由条件利用二项式展开式的通项公式求得a的值，再利用积分的运算性质、法则，求得要求式子的值．【解答】解：由的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•a6﹣r•，令=0，求得r=2，故常数项为，可得a=1，因此原式为=，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，积分的运算，是一道中档的常规问题16．已知数列{a n}中，对任意的n∈N*若满足a n+a n+1+a n+2+a n+3=s （s为常数），则称该数列为4阶等和数列，其中s为4阶公和；若满足a n•a n+1•a n+2=t（t为常数），则称该数列为3阶等积数列，其中t为3阶公积．已知数列{p n}为首项为1的4阶等和数列，且满足；数列{q n}为公积为1的3阶等积数列，且q1=q2=﹣1，设S n为数列{p n•q n}的前n项和，则S2016= ﹣2520 ．【考点】数列的求和．【分析】通过定义可知数列数列{p n}、数列{q n}均为周期数列，进而可知数列{p n•q n}中每12项的和循环一次，进而计算可得结论．【解答】解：由题意可知，p1=1，p2=2，p3=4，p4=8，p5=1，p6=2，p7=4，p8=8，p9=1，p10=2，p11=4，p12=8，p13=1，…，又p n是4阶等和数列，因此该数列将会照此规律循环下去，同理，q1=﹣1，q2=﹣1，q3=1，q4=﹣1，q5=﹣1，q6=1，q7=﹣1，q8=﹣1，q9=1，q10=﹣1，q11=﹣1，q12=1，q13=﹣1，…，又q n是3阶等积数列，因此该数列将会照此规律循环下去，由此可知对于数列{p n•q n}，每12项的和循环一次，易求出p1•q1+p2•q2+…+p12•q12=﹣15，因此S2016中有168组循环结构，故S2016=﹣15×168=﹣2520，故答案为：﹣2520．【点评】本题主要考查非常规数列求和问题，对学生的逻辑思维能力提出很高要求，属于一道难题．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（12分）（2016•长春二模）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；（2）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a=7，若锐角A满足，且，求△ABC的面积．【考点】余弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）运用二倍角的正弦公式和余弦公式，以及两角和的正弦公式，由正弦函数的周期公式及单调递减区间，解不等式可得；（2）由条件，可得角A，再运用正弦定理可得b+c=13，由余弦定理，可得bc=40，由三角形的面积公式计算即可得到所求．【解答】解：（1）=，因此f（x）的最小正周期为．由，可得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，即f（x）的单调递减区间为（k∈Z）；（2）由，又A为锐角，则．由正弦定理可得，，则，由余弦定理可知，，可求得bc=40，故．【点评】本题主要考查三角函数的化简运算，以及三角函数的性质，并借助正弦和余弦定理考查边角关系的运算，对考生的化归与转化能力有较高要求．18．（12分）（2016•长春二模）近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（1）是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：①求对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；②求X的数学期望和方差．P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.0250.010.0050.001k2.07 2.703.84 5.02 6.637.8710.82 6 1 4 5 9 28（，其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）由题意列出2×2列联表，计算观测值K2，对照数表即可得出正确的结论；（2）根据题意，得出商品和服务都好评的概率，求出X的可能取值，计算对应的概率值，写出期望与方差．【解答】解：（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表为：对服务好评对服务不满意合计对商品好评80 40 120对商品不满意70 10 80合计150 50 200计算观测值，对照数表知，在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关；（6分）（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5；其中；；；；；；所以X的分布列为：X 0 1 2 3 4 5P由于X～B（5，），则；．（12分）【点评】本题主要考查了统计与概率的相关知识，包括独立性检验、离散型随机变量的分布列以及数学期望和方差的求法问题，也考查了对数据处理能力的应用问题．19．（12分）（2016•长春二模）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，点D1为棱PD的中点，过D1作与平面ABCD平行的平面与棱PA，PB，PC相交于A1，B1，C1，∠BAD=60°．（1）证明：B1为PB的中点；（2）若AB=2，且二面角A1﹣AB﹣C的大小为60°，AC、BD的交点为O，连接B1O．求三棱锥B1﹣ABO外接球的体积．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；用空间向量求平面间的夹角．【分析】（1）根据面面平行的性质结合中位线的性质即可证明：B1为PB的中点；（2）建立坐标系，求出平面的法向量，结合三棱锥的外接球的性质进行求解即可．【解答】解：（1）连结B1D1.，即B1D1为△PBD的中位线，即B1为PB中点．（4分）（2）以O为原点，OA方向为x轴，OB方向为y轴，OB1方向为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则，B（0，1，0），B1（0，0，t），从而，，则，又，则．由题可知，OA⊥OB，OA⊥OB1，OB⊥OB1，即三棱锥B1﹣ABO外接球为以OA、OB、OB1为长、宽、高的长方体外接球，则该长方体的体对角线长为，即外接球半径为．则三棱锥B1﹣ABO外接球的体积为．（12分）【点评】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到面面的平行关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用．本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求．20．（12分）（2016•长春二模）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点P为椭圆上一动点，△F1PF2内切圆面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为A1，过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，连结A1A，A1B并延长交直线x=4分别于P，Q两点，以PQ为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设c=t，则a=2t，，推导出点P为短轴端点，从而得到t=1，由此能求出椭圆的方程．（2）设直线AB的方程为x=ty+1，联立，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，由此利用韦达定理、向量知识、直线方程、圆的性质、椭圆性质，结合已知条件能推导出以PQ为直径的圆恒过定点（1，0）和（7，0）．【解答】（本小题满分12分）解：（1）∵椭圆的离心率为，不妨设c=t，a=2t，即，其中t＞0，又△F1PF2内切圆面积取最大值时，半径取最大值为，∵，为定值，∴也取得最大值，即点P为短轴端点，∴，，解得t=1，∴椭圆的方程为．（4分）（2）设直线AB的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，则，，直线AA1的方程为，直线BA1的方程为，则，，假设PQ为直径的圆是否恒过定点M（m，n），则，，，即，即，，即6nt﹣9+n2+（4﹣m）2=0，若PQ为直径的圆是否恒过定点M（m，n），即不论t为何值时，恒成立，∴n=0，m=1或m=7．∴以PQ为直径的圆恒过定点（1，0）和（7，0）．（12分）【点评】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆方程的求法，直线与圆锥曲线的相关知识，以及恒过定点问题．本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求．21．（12分）（2016•长春二模）已知函数在点（1，f（1））处的切线与直线y=﹣4x+1平行．（1）求实数a的值及f（x）的极值；（2）若对任意x1，x2，有，求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求导，由f'（1）=﹣4，即可求得a的值，令f'（x）=0，求得可能的极值点，由f′（x）＞0及f′（x）＜0，分别求得单调递增和单调递减区间，根据极小值的定义，即可求得在x=1时取极小值，即可求得极小值；（2）由题意可知将不等式转化成，得，构造辅助函数，，求得g（x）的解析式，求导，根据函数的单调性求得g'（x）的最小值，即可求得k的取值范围．【解答】解（1）由题意得，（x＞0），点（1，f（1））处的切线与直线y=﹣4x+1平行．又f'（1）=﹣4，即=﹣4，解得a=1．令，解得：x=e，当f′（x）＞0，解得：x＞e，函数f（x）在（e，+∞）上单调递增，当f′（x）＜0，解得：0＜x＜e，函数f（x）在（0，e）上单调递减，∴f（x）在x=e时取极小值，极小值为．（6分）（2）由，可得，令，则g（x）=x+xlnx，其中，x∈[e2，+∞）g'（x）=2+lnx，又x∈[e2，+∞），则g'（x）=2+lnx≥4，即，∴实数k的取值范围是（﹣∞，4]．（12分）【点评】本题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述原函数的单调性、极值，导数的几何意义，考查逻辑推理与运算求解能力，属于中档题．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•长春二模）如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB 交圆O于点D，若MC=BC．（1）求证：△APM∽△ABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．【分析】（I）由切割线定理，及N是PM的中点，可得PN2=NA •NB，进而=，结合∠PNA=∠BNP，可得△PNA∽△BNP，则∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA；再由MC=BC，可得∠MAC=∠BAC，再由等角的补角相等可得∠MAP=∠PAB，进而得到△APM∽△ABP（II）由∠ACD=∠PBN，可得∠PCD=∠CPM，即PM∥CD；由△APM∽△ABP，PM是圆O的切线，可证得∠MCP=∠DPC，即MC∥PD；再由平行四边形的判定定理得到四边形PMCD是平行四边形．【解答】证明：（Ⅰ）∵PM是圆O的切线，NAB是圆O的割线，N是PM的中点，∴MN2=PN2=NA•NB，∴=，又∵∠PNA=∠BNP，∴△PNA∽△BNP，∴∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA，．∵MC=BC，∴∠MAC=∠BAC，∴∠MAP=∠PAB，∴△APM∽△ABP…（5分）（Ⅱ）∵∠ACD=∠PBN，∴∠ACD=∠PBN=∠APN，即∠PCD=∠CPM，∴PM∥CD．∵△APM∽△ABP，∴∠PMA=∠BPA∵PM是圆O的切线，∴∠PMA=∠MCP，∴∠PMA=∠BPA=∠MCP，即∠MCP=∠DPC，∴MC∥PD，∴四边形PMCD是平行四边形．…（10分）【点评】本题考查的知识点是切割线定理，圆周角定理，三角形相似的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握平面几何的基本定理是解答本题的关键．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•长春二模）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=8cos（θ﹣）．（1）求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化方法，即可得出结论；（2）联立曲线C1与曲线C2的方程，利用参数的几何意义，即可求|AB|的最大值和最小值．【解答】解：（1）对于曲线C2有，即，因此曲线C2的直角坐标方程为，其表示一个圆．（5分）（2）联立曲线C1与曲线C2的方程可得：，∴t 1+t2=2sinα，t1t2=﹣13，因此sinα=0，|AB|的最小值为，sinα=±1，最大值为8．（10分）【点评】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用直线的参数方程的几何意义求解直线与曲线交点的距离等内容．本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•长春二模）设函数f（x）=|x+2|+|x﹣a|（a∈R）．（1）若不等式f（x）+a≥0恒成立，求实数a的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）分类讨论，利用不等式f（x）+a≥0恒成立，即f （x）的最小值|a﹣2|≥﹣a求实数a的取值范围；（2）根据函数f（x）图象的性质可知，当时，恒成立，从而求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a≥0时，f（x）+a≥0恒成立，当a＜0时，要保证f（x）≥﹣a恒成立，即f（x）的最小值|a﹣2|≥﹣a，解得a≥﹣1，∴0＞a≥﹣1综上所述，a≥﹣1．（5分）（2）根据函数f（x）图象的性质可知，当时，恒成立，即a=4，所以a的取值范围是（﹣∞，4]时恒成立．（10分）【点评】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式证明等内容．本小题重点考查考生的化归与转化思想．。

2020—2021年最新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题及答案解析六.docx

高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U=R，集合A={x|（）x≥2}，B={y|y=lg（x2+1）}，则（∁U A）∩B=（）A．{x|x≤﹣1或x≥0} B．{（x，y）|x≤﹣1，y≥0} C．{x|x ≥0} D．{x|x＞﹣1}【考点】：交、并、补集的混合运算．【专题】：计算题．【分析】：由全集U=R，集合={x|x≤﹣1}，得到C U A={x|x＞﹣1}，再由B={y|y=lg（x2+1）}={y|y≥0}，能求出（C U A）∩B．【解析】：解：∵全集U=R，集合={x|x≤﹣1}，∴C U A={x|x＞﹣1}，∵B={y|y=lg（x2+1）}={y|y≥0}，∴（C U A）∩B={x|x|x≥0}．故选C．【点评】：本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2．（5分）已知i是虚数单位，若z（1+3i）=i，则z的虚部为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解析】：解：由z（1+3i）=i，得，∴z的虚部为．故选：A．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（5分）设x、y是两个实数，命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是（）A．x+y=2 B．x+y＞2 C．x2+y2＞2 D．xy＞1【考点】：充要条件．【分析】：先求出的必要不充分条件；利用逆否命题的真假一致，求出命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件．【解析】：解：若时有x+y≤2但反之不成立，例如当x=3，y=﹣10满足x+y≤2当不满足所以是x+y≤2的充分不必要条件．所以x+y＞2是x、y中至少有一个数大于1成立的充分不必要条件．故选B【点评】：本题考查逆否命题的真假是相同的，注意要说明一个命题不成立，常通过举反例．4．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+n，若利用如图所示的种序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（）A．n≤8？B．n≤9？C．n≤10？D．n≤11？【考点】：循环结构．【专题】：阅读型．【分析】：n=1，满足条件，执行循环体，S=2，依此类推，当n=10，不满足条件，退出循环体，从而得到循环满足的条件．【解析】：解：n=1，满足条件，执行循环体，S=1+1=2n=2，满足条件，执行循环体，S=1+1+2=4n=3，满足条件，执行循环体，S=1+1+2+3=7n=10，不满足条件，退出循环体，循环满足的条件为n≤9，故选B．【点评】：本题主要考查了当型循环结构，算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．5．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x+3y+1=0垂直，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：渐近线与直线x+3y+1=0垂直，得a、b关系，再由双曲线基本量的平方关系，得出a、c的关系式，结合离心率的定义，可得该双曲线的离心率．【解析】：解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x+3y+1=0垂直．∴双曲线的渐近线方程为y=±3x∴=3，得b2=9a2，c2﹣a2=9a2，此时，离心率e==．故选：C．【点评】：本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．6．（5分）定义：|=a1a4﹣a2a3，若函数f（x）=，将其图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．πC．D．π【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；两角和与差的正弦函数．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：由题意可得解析式f（x）=2sin（x﹣），平移后所得到的图象解析式可求得y=2sin（x+m﹣），由m﹣=kπ+，k ∈Z，即可求m的最小值．【解析】：解：由题意可得：f（x）=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），将其图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象解析式为：y=2sin（x+m﹣），由于所得到的图象关于y轴对称，则有：m﹣=kπ+，k∈Z，故解得：m（m＞0）的最小值是．故选：B．【点评】：本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，两角和与差的正弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．7．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（2﹣x）的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】：函数的图象．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：先由f（x）的函数表达式得出函数f（2﹣x）的函数表达式，由函数表达式易得答案．【解析】：解：∵函数f（x）=，则y=f（2﹣x）=，故函数f（2﹣x）仍是分段函数，以x=1为界分段，只有A符合，故选：A．【点评】：本题主要考查分段函数的性质，对于分段函数求表达式，要在每一段上考虑．8．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（）A．B．C．D．7【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体截去一个三棱锥所得的组合体，分别计算体积后，相减可得答案．【解析】：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体截去一个三棱锥所得的组合体，正方体的棱长为2，故体积为：2×2×2=8，三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，故体积为：××1×1×1=，故几何体的体积V=8﹣=，故选：A【点评】：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．9．（5分）若实数x，y满足的约束条件，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a，b，则函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值的概率为（）A．B．C．D．【考点】：几何概型；简单线性规划．【专题】：应用题；概率与统计．【分析】：利用古典概型概率计算公式，先计算总的基本事件数N，再计算事件函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值时包含的基本事件数n，最后即可求出事件发生的概率．【解析】：解：画出不等式组表示的平面区域，∵函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值，∴直线z=2ax+by的斜率k=﹣≤﹣1，即2a≥b．∵一颗骰子投掷两次分别得到点数为（a，b），则这样的有序整数对共有6×6=36个其中2a≥b的有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共30个则函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值的概率为=．故选：D．【点评】：本题考查了古典概型概率的计算方法，乘法计数原理，分类计数原理，属于基础题10．（5分）已知M是△ABC内的一点（不含边界），且•=2，∠BAC=30°若△MBC，△MAB，△MCA的面积分别为x，y，z，记f（x，y，z）=++，则f（x，y，z）的最小值为（）A．26 B．32 C．36 D．48【考点】：函数的最值及其几何意义．【专题】：综合题；不等式的解法及应用．【分析】：先由条件求得AB•AC=4，再由S△ABC=AB•AC•sin30°=1，可得x+y+z=1．再由f（x，y，z）=++=（++）（x+y+z），利用基本不等式求得它的最小值．【解析】：解：∵•=2，∠BAC=30°，∴AB•AC•cos30°=2，∴AB•AC=4．∵S△ABC=AB•AC•sin30°=1=x+y+z．∴f（x，y，z）=++=（++）（x+y+z）=1+4+9++++++≥14+4+6+12=36，即f（x，y，z）=++的最小值为36，故选：C．【点评】：本题主要考查两个向量的数量积的定义，基本不等式的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）已知向量和，，其中，且，则向量和的夹角是．【考点】：数量积表示两个向量的夹角．【专题】：计算题；平面向量及应用．【分析】：利用向量垂直的条件，结合向量数量积公式，即可求向量和的夹角【解析】：解：设向量和的夹角是α，则∵，且，∴=2﹣=2﹣2cosα∴cosα=∵α∈[0，π]∴α=故答案为：【点评】：本题考查向量的夹角的计算，考查向量数量积公式的运用，属于基础题．12．（5分）在各项为正数的等比数列{a n}中，若a6=a5+2a4，则公比q= 2 ．【考点】：等比数列的通项公式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：根据等比数列的通项公式化简a6=a5+2a4，列出关于q 的方程，由各项为正数求出q的值．【解析】：解：由a6=a5+2a4得，a4q2=a4q+2a4，即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1，又各项为正数，则q=2，故答案为：2．【点评】：本题考查等比数列的通项公式，注意公比的符号，属于基础题．13．（5分）采用系统抽样方法从600人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为001，002，…，600，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为003，抽到的50人中，编号落入区间[001，300]的人做问卷A，编号落入区间[301，495]的人做问卷B，编号落入区间[496，600]的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为8 ．【考点】：系统抽样方法．【专题】：概率与统计．【分析】：从600人中抽取50人做问卷调查，=12．即每12人中抽取1人做问卷调查，可知：按3+12k（k∈N*）抽取．可得：在区间[496，600]抽取的第一人号码为507，依次为507+12，507+12×2，…，507+12×7，即可得出．【解析】：解：∵从600人中抽取50人做问卷调查，=12．即每12人中抽取1人做问卷调查，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为003，则以后按3+12k（k∈N*）抽取．∵3×12×41=495，∴在区间[496，600]抽取的第一人号码为507，依次为507+12，507+12×2，…，507+12×7，因此编号落入区间[496，600]的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为8．故答案为：8．【点评】：本题考查了系统抽样的方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．（5分）已知对于任意的x∈R，不等式|x﹣3|+|x﹣a|＞5恒成立，则实数a的取值范围是（8，+∞）∪（﹣∞，﹣2）．【考点】：绝对值不等式的解法．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：根据绝对值不等式的性质求得|x﹣3|+|x﹣a|的最小值为|a﹣3|，由|a﹣3|＞5，求得a的范围．【解析】：解：∵|x﹣3|+|x﹣a|≥|（x﹣3）﹣（x﹣a）|=|a﹣3|，即|x﹣3|+|x﹣a|的最小值为|a﹣3|，∴|a﹣3|＞5，∴a﹣3＞5，或a﹣3＜﹣5，解得a＞8，或a＜﹣2，故答案为：（8，+∞）∪（﹣∞，﹣2）．【点评】：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．15．（5分）已知偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣，且当x ∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f （x）﹣log a（x+2）有4个零点，则实数a的取值范围是[5，+∞）．【考点】：抽象函数及其应用；函数的零点与方程根的关系．【专题】：综合题；函数的性质及应用．【分析】：根据f（x+1）=﹣，可得f（x）是周期为2的周期函数．再由f（x）是偶函数，当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，可得函数在[﹣1，3]上的解析式．根据题意可得函数y=f（x）的图象与y=log a（x+2有4个交点，即可得实数a的取值范围．【解析】：解：函数f（x）满足f（x+1）=﹣，故有f（x+2）=f（x），故f（x）是周期为2的周期函数．再由f（x）是偶函数，当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，可得当x∈[0，1]时，f（x）=x2，故当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2 ，当x∈[1，3]时，f（x）=（x﹣2）2．由于函数g（x）=f（x）﹣log a（x+2）有4个零点，故函数y=f （x）的图象与y=log a（x+2）有4个交点，所以可得1≥log a（3+2），∴实数a的取值范围是[5，+∞）．故答案为：[5，+∞）．【点评】：本题主要考查函数的周期性的应用，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2013•四川）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．【考点】：两角和与差的余弦函数；向量数乘的运算及其几何意义；二倍角的正弦；二倍角的余弦；余弦定理．【专题】：计算题；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】：（Ⅰ）由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出A的余弦值，然后求sinA的值；（Ⅱ）利用，b=5，结合正弦定理，求出B的正弦函数，求出B的值，利用余弦定理求出c的大小．【解析】：解：（Ⅰ）由可得，可得，即，即，（Ⅱ）由正弦定理，，所以=，由题意可知a＞b，即A＞B，所以B=，由余弦定理可知．解得c=1，c=﹣7（舍去）．向量在方向上的投影：=ccosB=．【点评】：本题考查两角和的余弦函数，正弦定理以及余弦定理同角三角函数的基本关系式等基本知识，考查计算能力转化思想．17．（12分）某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知学生小张只选甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．（Ⅰ）求学生小张选修甲的概率；（Ⅱ）记“函数f（x）=x2+ξx为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；（Ⅲ）求ξ的分布列和数学期望．【考点】：相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】：综合题．【分析】：（I）利用相互独立事件的概率公式及相互对立事件的概率公式列出方程求出学生小张选修甲的概率．（II）先判断出事件A表示的实际事件，再利用互斥事件的概率公式及相互独立事件的概率公式求出事件A的概率；（II）求出ξ可取的值，求出取每个值的概率值，列出分布列，利用数学期望公式求出随基本量的期望值．【解析】：解：（Ⅰ）设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x、y、z依题意得所以学生小张选修甲的概率为0.4（Ⅱ）若函数f（x）=x2+ξx为R上的偶函数，则ξ=0当ξ=0时，表示小张选修三门功课或三门功课都没选．∴P（A）=P（ξ=0）=xyz+（1﹣x）（1﹣y）（1﹣z）=0.4×0.5×0.6+（1﹣0.4）（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.24∴事件A的概率为0.24（Ⅲ）依题意知ξ=0，2则ξ的分布列为∴ξ的数学期望为Eξ=0×0.24+2×0.76=1.52【点评】：求随基本量的分布列，应该先判断出随基本量可取的值，再求出取每一个值的概率值．18．（12分）在如图1所示的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=AD=BC=CD=a，E为CD中点．若沿AE将三角形DAE折起，使平面DAE⊥平面ABCE，连接DB，DC，得到如图2所示的几何体D﹣ABCE，在图2中解答以下问题：（Ⅰ）设F为AB中点，求证：DF⊥AC；（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．【考点】：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】：综合题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（Ⅰ）取AE中点H，连接HF，连接EB，利用面面垂直，证明线面垂直，即DH⊥平面ABCE，进一步证明AC⊥平面DHF，从而可得线线垂直；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出面DCB的法向量，面DAB的法向量，利用向量的夹角公式，可得二面角A﹣BD﹣C的正弦值．【解析】：（Ⅰ）证明：取AE中点H，连接HF，连接EB因为△DAE为等边三角形，所以DH⊥AE因为平面DAE⊥平面ABCE，平面DAE∩平面ABCE=AE所以DH⊥平面ABCE，因为AC⊂平面ABCE所以AC⊥DH…（2分）因为ABCE为平行四边形，CE=BC=a所以ABCE为菱形，所以AC⊥BE因为H、F分别为AE、AB中点，所以HF∥BE所以AC⊥HF…（4分）因为HF⊂平面DHF，DH⊂平面DHF，且HF∩DH=H所以AC⊥平面DHF，又DF⊂平面DHF所以DF⊥AC…（6分）（Ⅱ）解：连接BH，EB由题意得三角形ABE为等边三角形，所以BH⊥AE由（Ⅰ）知DH⊥底面ABCE以H为原点，分别以HA，HB，HD 所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示则所以，设面DCB的法向量为，则不妨设…（8分）设面DAB的法向量，又则，取…（10分）所以所以二面角A﹣BD﹣C的正弦值为…（12分）【点评】：本题看下线面垂直，考查线线垂直，考查面面角，考查利用空间向量解决空间角问题，属于中档题．19．（12分）设S n是数列{a n}（n∈N*）的前n项和，已知a1=4，a n+1=S n+3n，设b n=S n﹣3n．（Ⅰ）证明：数列{b n}是等比数列，并求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=2log2b n﹣+2，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】：数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】：计算题；证明题；等差数列与等比数列．【分析】：（Ⅰ）由a n+1=S n+3n可得S n+1﹣3n+1=2S n+3n﹣3n+1=2（S n ﹣3n），从而得到b n+1=2b n，于是有：数列{b n}是等比数列，可求得b1=1，从而可求得数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：c n=2log2b n﹣+2=2n﹣，设M=1++++…++…①则M=++++…++…②，利用错位相减法即可求得数列{c n}的前n项和T n．【解析】：证明：（Ⅰ）∵a n+1=S n+3n，∴S n+1﹣S n=S n+3n即S n+1=2S n+3n，∴S n+1﹣3n+1=2S n+3n﹣3n+1=2（S n﹣3n）∴b n+1=2b n…（4分）又b1=S1﹣3=a1﹣3=1，∴{b n}是首项为1，公比为2的等比数列，故数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣1…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得：c n=2log2b n﹣+2=2n﹣…（8分）设M=1++++…++…①则M=++++…++…②①﹣②得：M=1+++++…+﹣=2﹣﹣，∴M=4﹣﹣=4﹣，∴T n=n（n+1）+﹣4…（12分）【点评】：本题考查数列的求和，考查等比数列的通项公式，突出考查了错位相减法，考查分析与转化的能力，属于中档题．20．（13分）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）+，求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）若g（x）=﹣，在[1，e]（e=2.71828…）上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，求a的取值范围．【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）求出切点（1，1），求出，然后求解斜率k，即可求解曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程．（Ⅱ）求出函数的定义域，函数的导函数，①a＞﹣1时，②a≤﹣1时，分别求解函数的单调区间即可．（Ⅲ）转化已知条件为函数在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0，利用第（Ⅱ）问的结果，通过①a≥e﹣1时，②a ≤0时，③0＜a＜e﹣1时，分别求解函数的最小值，推出所求a 的范围．【解析】：解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，f（1）=1，切点（1，1），∴，∴k=f′（1）=1﹣2=﹣1，∴曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．（Ⅱ），定义域为（0，+∞），，①当a+1＞0，即a＞﹣1时，令h′（x）＞0，∵x＞0，∴x＞1+a令h′（x）＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1+a．②当a+1≤0，即a≤﹣1时，h′（x）＞0恒成立，综上：当a＞﹣1时，h（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增．当a≤﹣1时，h（x）在（0，+∞）上单调递增．（Ⅲ）由题意可知，在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）≤0，即函数在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0．由第（Ⅱ）问，①当a+1≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，∴，∴，∵，∴；②当a+1≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，∴[h（x）]min=h（1）=1+1+a≤0，∴a≤﹣2，③当1＜a+1＜e，即0＜a＜e﹣1时，∴[h（x）]min=h（1+a）=2+a ﹣aln（1+a）≤0，∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴h（1+a）＞2此时不存在x0使h（x0）≤0成立．综上可得所求a的范围是：或a≤﹣2．【点评】：本题考查函数的导数的综合应用，曲线的切线方程函数的单调性以及函数的最值的应用，考查分析问题解决问题得到能力．21．（14分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为e=，且过点（1，）．抛物线C2：x2=﹣2py（p＞0）的焦点坐标为（0，﹣）．（Ⅰ）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（Ⅱ）若点M是直线l：2x﹣4y+3=0上的动点，过点M作抛物线C2的两条切线，切点分别为A，B，直线AB交椭圆C1于P，Q 两点．（i）求证直线AB过定点，并求出该定点坐标；（ii）当△OPQ的面积取最大值时，求直线AB的方程．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】：（I）由已知条件，设椭圆方程为，把点代入能求出椭圆C1的方程．抛物线C2中，由，能求出抛物线C2的方程．（II）（i）设点M（x0，y0），且满足2x0﹣4y0+3=0，点A（x1，y1），B（x2，y2），由于切线MA，MB同过点M，有，由此能证明直线AB过定点．（ii）设P（x3，y3），Q（x4，y4），联立方程，得，由此利用根的判别式和韦达定理能求出直线方程．【解析】：解：（I）由于椭圆C1中，，则设其方程为，由于点在椭圆上，故代入得λ=1．故椭圆C1的方程为．抛物线C2中，∵抛物线C2：x2=﹣2py（p＞0）的焦点坐标为（0，﹣），∴，故p=1，从而椭圆C1的方程为，抛物线C2的方程为x2=﹣2y．（II）（i）证明：设点M（x0，y0），且满足2x0﹣4y0+3=0，点A（x1，y1），B（x2，y2），则切线MA的斜率为﹣x1，从而MA的方程为y=﹣x1（x﹣x1）+y1，考虑到，则切线MA的方程为x1x+y+y1=0，同理切线MB的方程为x2x+y+y2=0，由于切线MA，MB同过点M，从而有，由此点A（x1，y1），B（x2，y2）在直线x0x+y+y0=0上．又点M在直线2x﹣4y+3=0上，则2x0﹣4y0+3=0，故直线AB的方程为（4y0﹣3）x+2y+2y0=0，即y0（4x+2）+（2y﹣3x）=0，∴直线AB过定点．（ii）解：设P（x3，y3），Q（x4，y4），考虑到直线AB的方程为x0x+y+y0=0，则联立方程，消去y并简化得，从而，，，从而，点O到PQ的距离，从而=，当且仅当，即，又由于2x0﹣4y0+3=0，从而消去x0得，即，解得，从而或，∴所求的直线为x+2y+2=0或x﹣14y﹣10=0．【点评】：本题考查椭圆和抛物线方程的求法，考查直线过定点的证明，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．。

2020-2021学年最新高考总复习数学(理)高考月考检测试题及答案解析

最新高三5月月考数学试题（理科）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|05}A x x =<<，2{|230}B x x x =-->，则A B =R I ð（）A. (0,3)B. (3,5)C. (1,0)-D.(0,3] 2．复数1i (0)z a a a a=+∈≠R 且对应的点在复平面内位于（） A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、四象限 D ．第三、四象限 3．命题“2,x x x ∀∈≠R ”的否定是（）A ．2,x x x ∀∉≠RB ．2,x x x ∀∈=RC ．2,x x x ∃∉≠RD ．2,x x x ∃∈=R 4．已知函数2()f x x -=，3()tan g x x x =+，那么（） A. ()()f x g x ⋅是奇函数 B. ()()f x g x ⋅是偶函数 C. ()()f x g x +是奇函数 D. ()()f x g x +是偶函数 5．已知等比数列{}n a 中，2109a a =，则57a a +（） A. 有最小值6 B. 有最大值6 C. 有最小值6或最大值6- D.有最大值6-6．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0,2πωϕ><）的部分图像如图所示，则()y f x =的图象可由cos 2y x =的图象（）A ．向右平移3π个长度单位 B ．向左平移3π个长度单位 C ．向右平移6π个长度单位 D ．向左平移6π个长度单位7．已知抛物线:C 24y x =，那么过抛物线C 的焦点，长度为不超过2015的整数的弦条数是（）A ． 4024B ． 4023C ．2012D ．2015 8．学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学。

现从该小组中选出3位同学分别到,,A B C 三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同安排方法有（） A. 70种 B. 140种 C. 840种 D. 420种9．已知函数1()ln 2xf x x =-（），若实数x 0满足01188()log sin log cos88f x ππ>+，则0x 的取值范围是（）A ．(,1)-∞B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．1(,)2+∞10．已知函数22,20()1ln,021x x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，若()|()|g x f x ax a =--的图像与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围是（）A. 1(0,)eB. 1(0,)2e C. ln 31[,)3e D. ln 31[,)32e二．填空题：本大题共5小题，每小题5分． 11. 41(2)x x-+展开式中的常数项为.12. 已知向量(2,1)=a ,(1,3)=-b ,若存在向量c ,使得6⋅=a c ，4⋅=b c ,则c =.13．若变量y x ,满足约束条件1,,3215x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则42x yw =⋅的最大值是.14、若某四面体的三视图如右图所示，则这个四面体四个面的面积中最大值的是．15.对椭圆有结论一：椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为(,0)F c ，过点2(,0)a P c的直线l 交椭圆于,M N 两点，点M 关于x 轴的对称点为'M ，则直线'M N 过点F 。

2020—2021年高考总复习数学(理)第二次高考模拟试题及参考答案二(精品试题).docx

-学年第二学期第二次模拟高三数学（理）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1、集合{}B=，则图中阴影部分表3,4,5,6A=，{}1,2,3,4示的集合为A ．φB ．{}1,2C ．{}3,4D ．{}5,6 2、在复平面内，点(2,1)A -，(,)B a b 分别表示复数1z 和2z ，若21z i z =，则a b += A ．3- B ．1- C ．1 D ．3 3、α，β, γ为不同平面，a ，b 为不同直线，命题p ：若αγ⊥，βγ⊥，且a αβ=I ，则a γ⊥；命题q ：若a α⊥，b α⊥，则//a b ，下列命题正确的是A ．p ⌝B ．q ⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∨⌝ 4、如图是一个样本的频率分布直方图，由图中数据可估计样本的中位数大约等于A ．12B ．12.5C ．13D ．13.55、如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，E 为棱AD 的中点，则经过点1B 、1D 和E 三点的截面的左视图的面积为A ．1B ．2C ．3D ．46、{}n a 为等差数列，前n 项和为n S ，若1166S =，则3612432a a a ++=A ．27B ．54C ．99D ．1087、ABC ∆中，3A π=，3a =，2b =，则cos C =A ．366+-B ．366+ C ．636- D ．366- 8、有一个长为10米的木棒斜插．．在地面上，点P 是地面内的一个动点，若点P 与木棒的两个端点构成的三角形面积为定值，则点P 的轨迹为A ．椭圆B ．圆C ．两条平等直线D ．双曲线9、执行如图所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于 A ．[]1,9- B ．[]3,6-C ．[]3,1--D ．(]2,6- 10、如图，网格中的每个小格均为边长是1的正方形，已知向量a r ，b r，若c xa yb =+r r r ，则x 和y 的值分别为A ．4和0B ．4和 1C ．45-和85D ．85和45-11、在Rt ABC ∆中，1AB AC ==，若一个椭圆经过A 、B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在边AB 上，则这个椭圆的离心率为 A ．2362- B ．21- C ．632- D ．63-12、22()ln f x x x =-，若(0,)απ∈，且(sin )(cos )f f αα>，则α的取值范围为A ．3(0,)(,)44πππU B ．3(,)(,)4224ππππUC ．3(0,)(,)424πππUD ．3(,)(,)424ππππU 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（每小题5分，共20分）13、4(12)x x ⋅-展开式按升幂排列的第4项的系数为。

2020—2021年高考总复习数学(理)阶段滚动月考卷(二)及参考答案(精品试题).docx

阶段滚动月考卷(二)三角函数、解三角形、平面向量、复数(时间:120分钟分值:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.i 是虚数单位,则复数z=(1+i 1−i)2+i 的共轭复数为( ) A.2+i B.2-iC.-1+iD.-1-i2.(滚动单独考查)已知集合A={1,3,x},B={1,√x },若A ∩B=B,则x= ( ) A.0或3 B.0或9 C.1或9D.3或93.(滚动单独考查)(2016·杭州模拟)函数y=√x 2−2x −3+log 3(x+2)的定义域为 ( ) A.(-∞,-1)∪(3,+∞) B.(-∞,-1]∪[3,+∞) C.(-2,-1]D.(-2,-1]∪[3,+∞)4.已知向量a,b 满足|a|=2,|b|=1,且5()2a b ⊥(a+b),则a 与b 的夹角θ为( )A.π6B.π3C.23πD.56π5.(2016·济宁模拟)如图所示,非零向量OA →=a,OB →=b,且BC ⊥OA,点C 为垂足,若OC →=λa(λ≠0),则λ= ( )6.(2016·石家庄模拟)已知ω>0,0<φ<π,直线x=π4和x=5π4是函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象上两条相邻的对称轴,则φ= ( ) A.π4B.π3C.π2D.3π47.已知a=(cos θ2,sin θ2),b=(cos θ,sin θ),θ∈(0,π),则|a-b|的取值范围是( )A.(0,1)B.(0,1]C.(0,√2)D.(0,√2]8.(2016·洛阳模拟)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c, cosC=14,AC →·CB →=-2且a+b=5,则c 等于 ( )A.√B.√C.4D.√9.(滚动交汇考查)(2016·泰安模拟)已知f(x)=sin 2(x +π4),若a=f(lg5), b=f (lg 15),则 ( ) A.a+b=0 B.a-b=0 C.a+b=1D.a-b=110.(滚动单独考查)已知x 0是函数f(x)=2x+11−x的一个零点.若x 1∈(1,x 0),x 2∈(x 0,+∞),则 ( )A.f(x 1)<0,f(x 2)<0B.f(x 1)<0,f(x 2)>0C.f(x 1)>0,f(x 2)<0D.f(x 1)>0,f(x 2)>0二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(滚动交汇考查)计算:log 2sin π12+log 2cos π12= .12.(2016·枣庄模拟)已知|a|=2,|b|=4,a 和b 的夹角为π3,以a,b 为邻边作平行四边形,则该四边形的面积为 .13.在△ABC 中,若sin 2B=sinAsinC,则角B 的最大值为 . 14.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且2cos2A−B2cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-35,若a=4√2,b=5,则BA →在BC →方向上的投影为 . 15.已知函数f(x)=-x 2-2x,g(x)={x +14x ,x >0,x +1,x ≤0.若方程g(f(x))-a=0有4个实数根,则实数a 的取值范围为 .三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(2016·杭州模拟)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且b=3.已知向量m=(cos 2B2,sinB),n=(√3,2),且m ∥n.(1)若A=5π12,求c 的值.(2)求AC 边上的高的最大值.17.(12分)(2016·临沂模拟)已知函数f(x)=√3sinxcosx-cos 2x-12,x ∈R.(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期.(2)已知△ABC 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且c=3,f(C)=0,若向量m=(1,sinA)与n=(2,sinB)共线,求a,b 的值.18.(12分)(2016·黄山模拟)已知向量a=(sin(ωx+φ),2),b=(1,cos(ωx+φ))(ω>0,0<φ<π4),函数f(x)=(a+b)·(a-b),y=f(x)图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1,且经过点M (1,72).(1)求函数f(x)的解析式.(2)当-1≤x ≤1时,求函数f(x)的单调区间.19.(12分)(2016·郑州模拟)在△ABC 中,a,b,c 分别是A,B,C 的对边.若向量m=(2,0)与n=(sinB,1-cosB)所成的角为π3.(1)求角B 的大小.(2)若b=√3,求a+c 的最大值.20.(13分)(滚动单独考查)根据统计资料,某工厂的日产量不超过20万件,每日次品率p 与日产量x(万件)之间近似地满足关系式p={x 2+60540,0<x ≤12,12,12<x ≤20.已知每生产1件正品可盈利2元,而生产1件次品亏损1元.(该工厂的日利润y=日正品盈利额-日次品亏损额)(1)将该工厂日利润y(万元)表示为日产量x(万件)的函数.(2)当该工厂日产量为多少万件时日利润最大?最大日利润是多少万元? 21.(14分)(滚动单独考查)(2016·太原模拟)已知函数f(x)=2lnx-ax. (1)若曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线过点(2,0),求a 的值. (2)求f(x)的单调区间.(3)如果x 1,x 2(x 1<x 2)是函数f(x)的两个零点,f ′(x)为f(x)的导数,证明: f ′(x 1+2x 23)<0.答案解析1.D z=(1+i)2(1−i)+i=2i−2i+i=-1+i,所以其共轭复数为-1-i. 2.B 因为A ∩B=B,所以B A,验证易知x=0满足,x=9满足.3.D 由{x 2−2x −3≥0,x +2>0得-2<x ≤-1或x ≥3. 4.B 由题意,得·(a+b)=a 2-32a ·b-52b 2=4-32a ·b-52=0.所以a ·b=1, 所以cos θ==12,因为θ∈[0,π],所以θ=π3. 5.A BC →⊥OA →,即BC →⊥OC →, 所以(OC →-OB →)·OC →=0,所以|OC →|2-OB →·OC →=0,即λ2|a|2-λa ·b=0,又λ≠0,解得λ=6.A2πω=2(5π4−π4),得ω=1,所以f(x)=sin(x+φ),故f (π4)=sin (π4+φ)=±1.因为0<φ<π,所以π4<φ+π4<5π4,所以φ+π4=π2,即φ=π4. 7.C 因为a-b=(cos θ2−cosθ,sin θ2−sinθ),所以|a-b|=√(cos θ2−cosθ)+(sin θ2−sinθ)=√2−2(cos θ2cosθ+sin θ2sinθ)=√2−2cos (θ2−θ)=√2−2cos θ2,因为θ∈(0,π),所以θ2∈(0,π2),cos θ2∈(0,1).故|a-b|∈(0,√2).8.【解题提示】由已知cosC=14,AC →·CB →=-2,利用数量积公式得到ab=8,再利用余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC 可求c. A 由已知cosC=14,AC →·CB →=-2,得b ·a ·cos(π-C)=-2⇒b ·a ·cosC=2, 所以ab=8,利用余弦定理可得,c 2=a 2+b 2-2abcosC=(a+b)2-2ab-2abcosC=52-2×8-4=5. 所以c=√5.【加固训练】在△ABC 中,内角A,B,C 所对边分别为a,b,c,已知m=(1,2),n=(ccosA,b),p=(c,-bcosA),若m ∥n,m ⊥p,则△ABC 的形状是 .【解析】由m ∥n 可得,b=2ccosA. 由正弦定理可得sinB=2sinCcosA, 即sin(A+C)=2sinCcosA.从而sinAcosC+cosAsinC=2sinCcosA, 故sinAcosC-cosAsinC=0. 即sin(A-C)=0,又-π<A-C<π, 所以A-C=0,即A=C. 由m ⊥p 可得c-2bcosA=0, 从而sinC-2sinBcosA=0, 故sin(A+B)-2sinBcosA=0. 即sinAcosB-cosAsinB=0, 即sin(A-B)=0,故A-B=0,A=B. 所以A=B=C.故三角形为等边三角形. 答案:等边三角形9.C a=f(lg5)=sin 2(lg5+π4)=1−cos(2lg5+π2)2=1+sin(2lg5)2,b=f (lg 15)=sin 2(lg 15+π4)=1−cos(2lg 15+π2)2=1−sin(2lg5)2,则可得a+b=1.10.B 设g(x)=11−x,由于函数g(x)=11−x=-1x−1在(1,+∞)上单调递增,函数h(x)=2x在(1,+∞)上单调递增,故函数f(x)=h(x)+g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在(1,+∞)上只有唯一的零点x 0,且在(1,x 0)上f(x 1)<0,在(x 0,+∞)上f(x 2)>0. 11.【解析】原式=log 2(sin π12cosπ12)=log 2(12sin π6)=log 214=-2.答案:-212.【解析】S=2×12|a||b|sin π3=2×4×√32=4√.答案:4√13.【解题提示】化角为边,利用基本不等式求解. 【解析】由正弦定理,得b 2=ac, 由余弦定理,得cosB=a 2+c 2−b 22ac=a 2+c 2−ac2ac≥2ac−ac 2ac=12.因为B ∈(0,π),y=cosx 在(0,π)上单调递减, 所以B 的最大值为π3.答案:π314.【解题提示】利用已知条件先转化求得cosA,再利用正余弦定理可解. 【解析】由2cos2A−B2cosB-sin(A-B)·sinB+cos(A+C)=-35,得[cos(A-B)+1]cosB-sin(A-B)sinB-cosB=-35,即cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-35.则cos(A-B+B)=-35,即cosA=-35.由0<A<π,得sinA=45,由正弦定理,有asinA =bsinB,所以,sinB=bsinA a=√22.由题知a>b,则A>B,故B=π4,根据余弦定理,有(4√2)2=52+c 2-2×5c ×(−35),解得c=1或c=-7(舍去).故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cosB=√22.答案:√2215.【解题提示】利用数形结合法求解.【解析】令f(x)=t,则原方程化为g(t)=a,易知方程f(x)=t 在t ∈(-∞,1)内有2个不同的解,则原方程有4个解等价于函数y=g(t)(t<1)与y=a 的图象有2个不同的交点,作出函数y=g(t)(t<1)的图象,如图所示,由图象可知,当1≤a<54时,函数y=g(t)(t<1)与y=a 有2个不同的交点, 即所求a 的取值范围是[1,54).答案:[1,54)16.【解析】(1)方法一:由m ∥n,得2cos 2B2=√3sinB,即1+cosB=√得sin (B −π6)=12.又0<B<π,所以-π6<B-π6<5π6,故B-π6=π6,即B=π3.结合A=5π12,可得C=π4.由正弦定理bsinB =csinC,得c=√方法二:由m ∥n,得2cos 2B2=√3sinB,则2cos 2B 2=2√3sin B 2cos B 2,又cos B 2≠0,故cos B 2=√3sin B2,即tan B 2=√33,又0<B<π,所以0<B 2<π2,故B 2=π6,即B=π3.结合A=5π12,可得C=π4.由正弦定理bsinB =csinC,得c=√(2)设AC 边上的高为h,则S △ABC =12bh=32h=12acsinB=√34ac,即h=2√3ac.而b 2=a 2+c 2-2accosB=a 2+c 2-ac ≥ac(当且仅当a=c 时,等号成立),所以ac ≤9,因此h=2√3ac ≤3√32.所以AC 边上的高的最大值为3√32.17.【解析】(1)f(x)=√3sinxcosx-cos 2x-12=√32sin2x-12cos2x-1=sin (2x −π6)-1.所以f(x)的最小值为-2,最小正周期为π. (2)因为f(C)=sin (2C −π6)-1=0,即sin (2C −π6)=1,又因为0<C<π,-π6<2C-π6<11π6,所以2C-π6=π2,故C=π3.因为m 与n 共线,所以sinB-2sinA=0. 由正弦定理a sinA =bsinB,得b=2a.①因为c=3,由余弦定理,得9=a 2+b 2-2abcos π3,即a 2+b 2-ab=9,② 联立①②,解得{a =√3.b =2√3.【加固训练】(2015·洛阳模拟)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c, cos2C+2√cosC+2=0.(1)求角C 的大小.(2)若b=√2a,△ABC 的面积为√22sinAsinB,求sinA 及c 的值. 【解析】(1)因为cos2C+2√2cosC+2=0,所以2cos 2C+2√2cosC+1=0,即(√2cosC+1)2=0,所以cosC=-√22. 又C ∈(0,π),所以C=3π4. (2)因为c 2=a 2+b 2-2abcosC=3a 2+2a 2=5a 2,所以c=√5a,即sinC=√5sinA,sinA =√5sinC=√1010, 因为S △ABC =12absinC,且S △ABC =√22sinAsinB, 所以12absinC=√22sinAsinB, 即ab sinAsinB sinC=√2, 由正弦定理得:(csinC )2sinC=√, 解得c=1. 18.【解析】(1)f(x)=(a+b)·(a-b)=a 2-b 2=|a|2-|b|2=sin 2(ωx+φ)+3-cos 2(ωx+φ)=-cos(2ωx+2φ)+3,由题意得周期T=2π2ω=4, 故ω=π4,又图象过点M (1,72),所以72=3-cos (π2+2φ), 即sin2φ=12,而0<φ<π4,故2φ=π6, 则f(x)=3-cos (π2x +π6). (2)当-1≤x ≤1时,-π3≤π2x+π6≤2π3. 所以当-π3≤π2x+π6≤0时, 即x ∈[−1,−13]时,f(x)是减函数. 当0≤π2x+π6≤2π3时, 即x ∈[−13,1]时,f(x)是增函数. 则函数f(x)的单调递减区间是[−1,−13],单调递增区间是[−13,1]. 19.【解析】(1)由题意得cos π3= =2√sin 2B+(1−cosB)2=12, 即√2−2cosB =12, 所以2sin 2B=1-cosB,2cos 2B-cosB-1=0,所以cosB=-12或cosB=1(舍去), 因为0<B<π,所以B=2π3. (2)由(1)知A+C=π3, 而a sinA =c sinC =b sinB =√3sin 2π3=2, 所以a+c=2sinA+2sinC=2[sinA +sin (π3−A)]=2(sinA +√32cosA −12sinA) =2sin (A +π3), 因为0<A<π3,所以π3<A+π3<2π3. 所以√32<sin (A +π3)≤1, 所以a+c=2sin (A +π3)∈(√3,2], 故a+c 的最大值为2.20.【解析】(1)由题意知,当0<x ≤12时,y=2x(1-p)-px,所以y=2x (1−x 2+60540)-x 3+60x 540=53x-x 3180,当12<x ≤20时,y=2x(1-p)-px=2x (1−12)-12x=12x, 即y={53x −x 3180,x ∈(0,12],12x,x ∈(12,20]. (2)当x ∈(0,12]时,y ′=53-x 260=100−x 260,令y ′=0,得x=10, 当0<x<10时,y ′>0;当10<x ≤12时,y ′<0,所以,当x=10时,y max =1009, 当x ∈(12,20]时,y=12x 在(12,20]上单调递增,当x=20时,y max =10,由于1009>10,所以当该工厂的日产量为10万件时,日利润最大,最大日利润为1009万元.21.【解题提示】(1)由导数的几何意义求解.(2)分类讨论.(3)构造函数证明不等式.【解析】(1)因为f′(x)=2x-a(x>0),所以f′(1)=2-a,又f(1)=-a,所以切线方程为y+a=(2-a)(x-1).又切线过点(2,0),所以0+a=(2-a)(2-1),解得a=1.(2)由(1)知f′(x)=2x-a(x>0),①当a≤0时,f′(x)>0恒成立,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;②当a>0时,令f′(x)>0,有x∈(0,2a),f(x)在(0,2a )上单调递增;令f′(x)<0,有x∈(2a,+∞),f(x)在(2a,+∞)上单调递减.故当a≤0时,f(x)的单调增区间为(0,+∞),当a>0时,f(x)的单调增区间为(0,2a ),单调减区间为(2a,+∞).(3)由题意知f(x1)=0,f(x2)=0. 即2lnx1-ax1=0,2lnx2-ax2=0,则2lnx2-2lnx1=a(x2-x1),a=2ln x2x1 x2−x1.因为f′(x)=2x-a,所以f′(x1+2x23)=6x1+2x2-a=6x1+2x2-2ln x2x1x2−x1,要证f′(x1+2x23)<0,只需证6x1+2x2-2ln x2x1x2−x1<0,①因为x2>x1>0,所以x2-x1>0,x1+2x2>0,故①式可化为3(x 2−x 1)x 1+2x 2-ln x 2x 1<0,即3(x 2x 1−1)2·x 2x 1+1-ln x 2x 1<0, 令t=x 2x 1,则t>1,构造函数h(t)=3(t−1)2t+1-lnt,则h ′(t)=9(2t+1)2-1t =-(4t−1)(t−1)t(2t+1)2.显然t>1时,h ′(t)<0,即h(t)在[1,+∞)上单调递减,所以h(t)<h(1)=0. 即证得f ′(x 1+2x 23)<0.关闭Word 文档返回原板块。

2020—2021年高考总复习数学(理)第二次复习效果检测试题及参考答案(精品试题).docx

-学年下期三年级第二次素质检测数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷共150分。

考试时间为120分钟。

第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在下列每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） 1.已知集合},4|{},,1|1||{Z x x x B R x x x A ∈≤=∈≤-=，则=⋂B A （）A.[0, 2]B.(0, 2)C.{0, 2}D.{0, 1, 2}2.已知命题P 1：平面向量b a ,共线的充要条件是a 与b 方向相同；P 2：函数xx y --=22在R 上为增函数，则在命题：213212211)(:,:,:P P q P P q P P q ∨⌝∧∨和）（214:P P q ⌝∧中，真命题是（）A.q 1, q 3B.q 2, q 3C.q 1,q 4D.q 2,q 43.已知),0(,2cos sin πααα∈=+，则)3tan(πα-=（）A.32-B. 32--C. 32+-D. 32+4.已知}{n a 是等差数列，a 10=10，其前10项和S 10=70，则其公差d=（） A.32-B. 31-C. 31D.32 5.某校安排四个班到三个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有（）A.24B.36C.48D.606.已知直线m 和平面βα,，则下列四个命题中正确的是（） A.若αββα⊥⊂⊥m m 则,, B. 若βαβα//,//,//m m 则 C. 若βαβα⊥⊥m m 则,,//D. 若βαβα//,//,//则m m7.曲线x e y 21=在点（4，2e ）处的切线与坐标轴围成三角形的面积为（） A.229eB.4 2eC.2 2eD. 2e8.某种种子每粒发芽的概率都为0.85，现播种了10000粒，对于没有发芽的种，每粒需要再补2粒，补种的种子数记为x ，则x 的数学期望为（） A.1000B.2000C.3000D.40009.设偶函数)(x f 满足)0(8)(3≥-=x x x f ，则=>-}0)1(|{x f x （）A.}32|>-<x x x 或｛ B. }20|><x x x 或｛ C. }30|><x x x 或｛ D. }31|>-<x x x 或｛10.设F 1，F 2是椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点P 为直线23ax =上一点，12PF F ∆是底角为︒30的等腰三角形，则E 的离心率（） A.21 B.32C.43D.5411.若x ，y满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥-04001y x y x x ，则2y x的最小值为（）A.1B.21C.32D.9112.用max(a, b, c)表示a, b, c 三个数中的最大值，设函数)0}(10,2,2m ax {)(≥-+=x x x x f x ，若)(0x f 是)(x f 的最小值，则x 0在区间内（） A.(1,2)B.(2,3)C.(0,1)D.(3,4)第II 卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2020—2021年新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题及答案解析二.docx

高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．1．复数z=（i为虚数单位），则|z|（）A．25 B．C．5 D．2．设函数，则其导函数f′（x）是（）A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π的奇函数3．已知圆C：（x﹣a）2+y2=1，直线l：x=1；则：“”是“C 上恰有不同四点到l的距离为”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．如果等差数列{a n}中，a1=﹣11，，则S11=（）A．﹣11 B．10 C．11 D．﹣105．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是（）A．4 B．3 C．2 D．16．执行如图的程序框图，则输出的λ是（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．﹣2或07．若x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A．B．3 C．D．48．函数f（x）=cos3x+sin2x﹣cosx的最大值是（）A．B．1 C．D．29．已知M=+++…++，则M=（）A．B．C．D．10．已知平面向量满足：，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．设随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）=0.68，则P（X＞4）= ．12．一个几何体的三视图如图，则这个几何体的表面积为．13．在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是．14．已知曲线Γ：ρ=，θ∈R与曲线C：，t∈R相交于A，B两点，又原点O（0，0），则|OA|•|OB|= ．15．在△ABC中，内角A，B，C的所对边分别是a，b，c，有如下下列命题：①若A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinC；②若，则△ABC为等边三角形；③若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；④若（1+tanA）（1+tanB）=2，则△ABC为钝角三角形；⑤存在A，B，C，使得tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立．其中正确的命题为（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx﹣cos2x，x∈R．求：（Ⅰ）函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若，求函数f（x）的值域．17．某校一个研究性学习团队从网上查得，某种植物种子在一定条件下的发芽成功的概率为，于是该学习团队分两个小组进行验证性实验．（Ⅰ）第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次成功的概率；（Ⅱ）第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则就继续进行下次实验．直到种子发芽成功为止，但实验的次数不超过5次．求这一小组所做的种子发芽实验次数ξ的分布列和期望．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠CDA=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AD=AB=2，CD=1，M，N分别是PD、PB的中点．（1）证明：直线NC∥平面PAD；（2）求平面MNC与地面ABCD所成的锐二面角的余弦值．（3）求三菱锥P﹣MNC的体积V．19．已知函数，（x≥0），又数列{a n}中，a n＞0，a1=2，该数列的前n项和记为S n，对所有大于1的自然数n都有S n=f（S n﹣1）．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=，{b n}其前n项和为T n，证明：T n＜n+1．20．已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P 是此椭圆上的一动点，并且的取值范围是．（Ⅰ）求此椭圆的方程；（Ⅱ）点A是椭圆的右顶点，直线y=x与椭圆交于B、C两点（C 在第一象限内），又P、Q是椭圆上两点，并且满足，求证：向量共线．21．设函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）设g（x）=f（x+1），若对任意的x≥0，都有g（x）≥mx 成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若0＜a＜b，证明：0＜f（a）+f（b）﹣2f（）＜（b ﹣a）ln2．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．1．复数z=（i为虚数单位），则|z|（）A．25 B．C．5 D．考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：化简复数z，然后求出复数的模即可．解答：解：因为复数z==，所以|z|==．故选C．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．2．设函数，则其导函数f′（x）是（）A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π的奇函数考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：函数=﹣cos2x，利用导数的运算法则、函数的奇偶性周期性即可得出．解答：解：∵函数=﹣cos2x，则其导函数f′（x）=2sin2x，∴T==π，f′（﹣x）=﹣2sin2x=﹣f′（x），∴其导函数f′（x）是最小正周期为π的奇函数．故选：D．点评：本题考查了导数的运算法则、函数的奇偶性周期性、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知圆C：（x﹣a）2+y2=1，直线l：x=1；则：“”是“C 上恰有不同四点到l的距离为”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：如图所示，⊙C与直线l．若C上恰有不同四点到l的距离为，可得，即可判断出．解答：解：如图所示，⊙C与直线l．若C上恰有不同四点到l的距离为，则，∴“”是“C上恰有不同四点到l的距离为”的必要不充分条件．故选：B．点评：本题考查了充要条件的判定方法、直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想方法，属于基础题．4．如果等差数列{a n}中，a1=﹣11，，则S11=（）A．﹣11 B．10 C．11 D．﹣10考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等差数列的前n项和S n，可知，结合求得公差，然后再由求得答案．解答：解：由，得，由，得=2，∵a1=﹣11，解得d=2，∴=﹣11+5×2=﹣1，∴S11=﹣11，故选：A．点评：本题主要考查等差数列的求和公式．属基础题．5．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（1，1），代入目标函数z=2x+y得z=2×1+1=3．即目标函数z=2x+y的最大值为3．故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．6．执行如图的程序框图，则输出的λ是（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．﹣2或0考点：程序框图．专题：计算题；图表型．分析：根据框图给出的向量和向量的坐标及λ的值，运用向量的数乘及坐标的加法运算求出的坐标，再求数量积，数量积为0，则两向量垂直，算法结束，输出λ的值，否则，执行λ=λ+1，再判断执行，直至数量积为0结束．解答：解：由，当λ=﹣4时，，此时4×0+（﹣2）×10=﹣20≠0，所以与不垂直，故执行λ=﹣4+1=﹣3，，此时4×1+（﹣2）×7=﹣10≠0，所以与不垂直，故执行λ=﹣3+1=﹣2，，此时4×2+（﹣2）×4=0，与垂直，算法结束，输出λ的值为﹣2．故选B．点评：本题考查了程序框图中的当型循环，考查了运用向量数量积判断两向量是否垂直，若非零向量，则⇔x1x2+y2y2=0，此题是中低档题．7．若x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A．B．3 C．D．4考点：基本不等式．专题：不等式．分析：首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y 的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用a+b≥2代入已知条件，化简为函数求最值解答：解：考察基本不等式x+2y=8﹣x•（2y）≥8﹣（）2（当且仅当x=2y时取等号）整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4（当且仅当x=2y时取等号），则x+2y的最小值是4，故选：D．点评：本题主要考查基本不等式的用法，对于不等式a+b≥2在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意，属于基础题．8．函数f（x）=cos3x+sin2x﹣cosx的最大值是（）A．B．1 C．D．2考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：化简已知函数换元可得y=t3﹣t2﹣t+1，t∈[﹣1，1]，由导数法判单调性可得当t=时，y取最大值，代值计算可得．解答：解：化简可得f（x）=cos3x+sin2x﹣cosx=cos3x+1﹣cos2x﹣cosx令cosx=t，则t∈[﹣1，1]，换元可得y=t3﹣t2﹣t+1，t∈[﹣1，1]，求导数可得y′=3t2﹣2t﹣1=（3t+1）（t﹣1），令y′=（3t+1）（t﹣1）＜0可解得﹣＜t＜1，令y′=（3t+1）（t﹣1）＞0可解得t＜﹣或t＞1，∴函数y=t3﹣t2﹣t+1在（﹣1，﹣）上单调递增，在（，1）上单调递减，∴当t=时，y取最大值故选：C点评：本题考查三角函数的最值，换元后由导数法判单调性是解决问题的关键，属中档题．9．已知M=+++…++，则M=（）A．B．C．D．考点：数列的求和．专题：计算题；导数的综合应用．分析：由二项式定理得到，两边求定积分得答案．解答：解：由，得：=，∴，即=+++…++，∴M=+++…++=，故选：A．点评：本题考查了数列的求和，考查了数学转化思想方法，关键是二项式定理和定积分的应用，是中档题．10．已知平面向量满足：，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件以线段AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，P点和M点关于原点对称，点Q在y轴上，从而设出P，M，A，B，Q的坐标：P（x，y），M （﹣x，﹣y），A（a，0），B（﹣a，0），Q（0，﹣），从而根据|PO|=|a|，便得到，根据两点间距离公式从而求出的范围，从而得出||范围．解答：解：如图，以线段AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系；=2，∴Q点在y轴上；设P（x，y），M（﹣x，﹣y），A（a，0），Q（0，）；△PAB为Rt△；∴|PO|=|a|，又0≤；∴；∴；=；∴；∴；∴的取值范围为．故选：C．点评：考查通过建立平面直角坐标系解决向量问题、几何问题的方法，中垂线上的点到线段两端的距离相等，关于原点对称的点的坐标的关系，以及两点间距离公式．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．设随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）=0.68，则P（X＞4）= 0.16 ．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：根据题目中：“正态分布N（3，1）”，画出其正态密度曲线图：根据对称性，由（2≤X≤4）的概率可求出P（X＞4）．解答：解：P（3≤X≤4）=P（2≤X≤4）=0.34，观察图得，∴P（X＞4）=0.5﹣P（3≤X≤4）=0.5﹣0.34=0.16．故答案为：0.16．点评：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题．12．一个几何体的三视图如图，则这个几何体的表面积为（8+2）cm ．考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：首先根据三视图把几何体的立体图复原出来进一步利用表面积公式求出结果．解答：解：根据三视图得知：该几何体为底面是直角边长为2cm和1cm的直角三角形，高为2cm的直三棱柱则：S表=S侧+2S底=8+2故答案为：（8+2）cm点评：本题考查的知识要点：三视图和几何体的关系，几何体的表面积公式的应用．主要考查学生的应用能力和空间想象能力．13．在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是49 ．考点：计数原理的应用；棱柱的结构特征．专题：计算题；概率与统计．分析：根据题意，结合正方体的结构特征，分3种情况讨论：①、三点都在正方体的棱上，②、以6个面的中心为中点，③、以正方体的中心为中点，分别求出每种情况下三点共线的情况数目，由分类计数原理计算可得答案．解答：解：根据题意，在所给的正方体的27个点中，三点共线的情况有3种：①、三点都在正方体的棱上，正方体有12条棱，即有12种情况；②、以6个面的中心为中点，正方体有6个面，每个面有4种情况，共有4×6=24种情况，③、以正方体的中心为中点，共有26÷2=13种情况，则共有12+24+13=49种，即共线的三点组的个数是49；故答案为：49．点评：本题考查分类计数原理的应用，解题的关键在于掌握正方体的结构特点并判断三点共线的情况．14．已知曲线Γ：ρ=，θ∈R与曲线C：，t∈R相交于A，B两点，又原点O（0，0），则|OA|•|OB|= ．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先把曲线的极坐标方程转换为直角坐标方程，进一步把参数方程转化为直角坐标方程，建立方程组求出交点的坐标，最后利用两点间的距离公式求出结果．解答：解：曲线Γ：ρ=，θ∈R转化成：，转化成直角坐标方程为：，整理得：3x2+4y2﹣6x﹣9=0，曲线C：，t∈R转化为直角坐标方程为：y=，所以：，解得：或所以：|OA|=2，则：|OA||OB|=．故答案为：．点评：本题考查的知识要点：极坐标方程的互化，参数方程与直角坐标方程的互化，解方程组问题的应用，两点间的距离公式的应用，主要考查学生的应用能力．15．在△ABC中，内角A，B，C的所对边分别是a，b，c，有如下下列命题：①若A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinC；②若，则△ABC为等边三角形；③若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；④若（1+tanA）（1+tanB）=2，则△ABC为钝角三角形；⑤存在A，B，C，使得tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立．其中正确的命题为①②④（写出所有正确命题的序号）考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：①已知不等式利用正弦定理化简，整理得到结果，即可做出判断；②已知等式利用正弦定理化简，整理得到结果，即可做出判断；③已知等式利用正弦函数的性质化简，整理得到结果，即可做出判断；④已知等式整理后，利用两角和与差的正切函数公式化简，求出C的度数，即可做出判断；⑤由A，B，C为三角形内角，得到tan（A+B）=tan（π﹣C）=﹣tanC，利用两角和与差的正切函数公式化简，整理得到tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，故本选项错误．解答：解：①∵A＞B＞C，∴a＞b＞c，又===2R，∴sinA=，sinB=，sinC=，2R为定值，∴sinA＞sinB＞sinC，此选项正确；②∵==，由正弦定理得：a=2R•sinA，b=2R•sinB，c=2R•sinC代入，得==，∴==，即tanA=tanB=tanC，∴A=B=C，则△ABC是等边三角形，本选项正确；③∵sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，本选项错误；④∵（1+tanA）（1+tanB）=2，即1+tanA+tanB+tanAtanB=2，∴tanA+tanB+tanAtanB=1，即tanA+tanB=1﹣tanAtanB，∴=1，即tan（A+B）=1，∴A+B=，即C=，则△ABC为钝角三角形，本选项正确；⑤若A、B、C有一个为直角时不成立，若A、B、C都不为直角，∵A+B=π﹣C，∴tan（A+B）=tan（π﹣C），即=﹣tanC，则tanA+tanB=﹣tanC+tanAtanBtanC，∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，即⑤错误，故答案为：①②④点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦定理，两角和与差的正切函数公式，熟练掌握基本关系是解本题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx﹣cos2x，x∈R．求：（Ⅰ）函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若，求函数f（x）的值域．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）首先通过三角函数的关系式的恒等变换，把函数的关系式变性成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的单调递增区间．（Ⅱ）进一步利用三角函数的定义域求出正弦型函数的值域．解答：解：（I）函数f（x）=sin2x+2sinxcosx﹣cos2x=，x∈R令解得：，所以：f（x）的单调增区间为：（k∈Z）（II）由，所以：从而有：，故：因此：函数f（x）的值域：点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用整体思想求正弦型函数的单调递增区间，利用三角函数的定义域求正弦型函数的值域．主要考查学生的应用能力．17．某校一个研究性学习团队从网上查得，某种植物种子在一定条件下的发芽成功的概率为，于是该学习团队分两个小组进行验证性实验．（Ⅰ）第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次成功的概率；（Ⅱ）第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则就继续进行下次实验．直到种子发芽成功为止，但实验的次数不超过5次．求这一小组所做的种子发芽实验次数ξ的分布列和期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件．专题：计算题．分析：（I）本题是一个独立重复的实验，利用n次对立重复实验恰好发生k次的概率公式与互斥事件的概率求出他们的实验至少有3次成功的概率；（II）依题意判断出随机变量ξ可取的值及取每一个值的概率值，列出分布列，根据期望的公式求出这一小组所做的种子发芽实验次数ξ的分布列和期望．解答：解：（Ⅰ）至少有3次成功包括3次、4次和5次成功，即：（4分）（Ⅱ）依题意有：ξ1 2 3 4 5P（4分）点评：本题考查等可能事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠CDA=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AD=AB=2，CD=1，M，N分别是PD、PB的中点．（1）证明：直线NC∥平面PAD；（2）求平面MNC与地面ABCD所成的锐二面角的余弦值．（3）求三菱锥P﹣MNC的体积V．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由已知想到取PA中点Q，连接NQ，DQ，然后利用三角形的中位线定理证明NC∥DQ，再由线面平行的判断得答案；（2）找出平面MNC与底面ABCD的交线，然后利用三垂线定理得到平面MNC与底面ABCD所成的锐二面角，再通过解直角三角形得答案；（3）利用等积法求出A到平面PMN的距离，得到C到平面PMN 的距离，再求出平面PMN的面积，得到三棱锥C﹣PMN的体积，即三菱锥P﹣MNC的体积V．解答：（1）证明：如图，取PA中点Q，连接NQ，DQ，∵N、Q分别为PB、PA的中点，∴NQ∥AB，NQ=，又DC∥AB，DC=，∴NQ∥DC，NQ=DC，则四边形DCNQ为平行四边形，∴NC∥DQ，DQ⊂面PAD，NC⊄面PAD，∴直线NC∥平面PAD；（2）解：连接BD，∵M、N分别为PD、PB中点，∴MN∥BD，过C作l∥BD，则MN∥l，∴平面MNC∩平面ABCD=l，取AD中点S，连接CS，∴CS⊥l，连接MC，则∠MCS为平面MNC与底面ABCD所成的锐二面角，∵PA=AD=AB=2，CD=1，∴MS=1，SC=，则MC=，∴cos；（3）解：设SC∩BD=R，由题意可得：SR=CR，∴C与S到平面PMN的距离相等，又S为AD的中点，∴S到平面PMN的距离等于A到平面PMN距离的一半，设A到平面PMN距离为h，由PA⊥AB⊥AD，PA=AD=AB=2，则由等积法得：h，解得h=，∴C到平面PMN的距离为，又三角形PMN为边长是的正三角形，∴，∴．点评：本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．19．已知函数，（x≥0），又数列{a n}中，a n＞0，a1=2，该数列的前n项和记为S n，对所有大于1的自然数n都有S n=f（S n﹣1）．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=，{b n}其前n项和为T n，证明：T n＜n+1．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由，S n=f（S n﹣1）知：，可得，利用等差数列的通项公式可得，再利用递推式即可得出a n．（Ⅱ）b n==，利用“裂项求和”即可得出．解答：（Ⅰ）解：由，S n=f（S n﹣1）知：，又a n＞0，a1=2，S n＞0，∴，即：是以为首项，为公差的等差数列，∴，，∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=4n﹣2，当n=1时也成立，∴a n=4n﹣2．（Ⅱ）证明：=，T n=＜n+1．点评：本题考查了等差数列的通项公式、递推式的应用、“裂项求和”方法、不等式的性质、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P 是此椭圆上的一动点，并且的取值范围是．（Ⅰ）求此椭圆的方程；（Ⅱ）点A是椭圆的右顶点，直线y=x与椭圆交于B、C两点（C 在第一象限内），又P、Q是椭圆上两点，并且满足，求证：向量共线．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；平行向量与共线向量；椭圆的标准方程．专题：综合题．分析：（I）由题意设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0）利用的取值范围所以∠PCQ的平分线垂直于x轴．是，得到a，b的方程，求解即可；（II）有的平分线平行，所以∠PCQ的平分线垂直于x轴，进而建立方程，解出C点，再设出PC方程进而得到QC的方程，把它与椭圆方程联立得到直线PQ的斜率，与直线AB比较即可求证．解答：解：（Ⅰ）设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），其中，．从而．由于，即．又已知，所以从而椭圆的方程是．（Ⅱ）因为的平分线平行，所以∠PCQ的平分线垂直于x轴．由解得．不妨设PC的斜率为k，则QC的斜率为﹣k，因此PC和QC的方程分别为y=k（x﹣1）+1，y=﹣k（x﹣1），其中消去y并整理得（1+3k2）x2﹣6k（k﹣1）x+3k2﹣6k﹣1=0（*）．∵C（1，1）在椭圆上，∴x=1是方程（*）的一个根．从而，同理，从而直线PQ的斜率为．又知A（2，0），B（﹣1，﹣1），所以，∴向量与共线．点评：（I）此问考查了设处点的坐标，把已知的向量关系的等式建立成坐标之间的关系式，还考查了椭圆的基本性质及求解时运用的方程的思想；（II）此问考查了设出直线把椭圆方程与直线方程进行联立，利用根与系数的关系求出P与Q的坐标，还考查了直线的斜率公式．21．设函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）设g（x）=f（x+1），若对任意的x≥0，都有g（x）≥mx 成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若0＜a＜b，证明：0＜f（a）+f（b）﹣2f（）＜（b ﹣a）ln2．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）对函数求导，然后令导数为零，再判断导数为零的点左右两侧的导数符号，确定极大值或极小值；（Ⅱ）这是一个不等式恒成立问题，所以可将问题转化为函数的最值问题求解；（Ⅲ）证明此类不等式问题，可以根据要证的式子特点构造函数，然后利用函数的单调性、最值解决问题．解答：解：（Ⅰ）f'（x）=1+lnx，（x＞0）．令f'（x）=0，解得：，且当时，f'（x）＜0，时，f'（x）＞0，因此：f（x）的极小值为；（Ⅱ）g（x）=f（x+1）=（x+1）ln（x+1），令h（x）=（x+1）ln（x+1）﹣mx，则h'（x）=ln（x+1）+1﹣m，注意到：h（0）=0，若要h（x）≥0，必须要求h'（0）≥0，即1﹣m≥0，亦即m≤1；另一方面：当m≤1时，h'（x）=ln（x+1）+1﹣m≥0恒成立；故实数m的取值范围为：m≤1；（Ⅲ）构造函数，x＞a，又∵x＞a，∴0＜a+x＜2x，F'（x）＞0，F（x）在（a，+∞）上是单调递增的；故F（b）＞F（a）=0，即：．另一方面，构造函数，G（x）在（a，+∞）上是单调递减的，故G（b）＜G（a）=0即：，综上，．点评：本题考查了导数在研究函数的单调性、极值、最值问题中的应用，要注意恒成立问题转化为函数最值问题来解的典范思路，注意体会和总结．。

2020—2021年最新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题及答案解析二十.docx

高考数学二模试卷（理科）一、选择题1．已知全集U=R，集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x2﹣x﹣6≤0}，则A ∩（∁U B）等于（）A．（1，2）B．（3，4）C．（1，3）D．（1，2）∪（3，4）2．已知z1=m+i，z2=1﹣2i，若=﹣，则实数m的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣3．已知向量，满足•（+）=2，且||=1，||=2，则与的夹角为（）A． B． C． D．4．已知，则cos（π+2α）的值为（）A．B．C．D．5．（x3﹣）4的展开式中的常数项为（）A．32 B．64 C．﹣32 D．﹣646．“m=2”是“直线3x+（m+1）y﹣（m﹣7）=0与直线mx+2y+3m=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．由直线y=2x及曲线y=4﹣2x2围成的封闭图形的面积为（）A．1 B．3 C．6 D．98．如图，网格纸上每个小正方形的边长均为1，某几何体的三视图如图中粗线所示，则该几何体的所有棱中最长的棱的长度是（）A．4B．2C．6 D．49．若执行如图的程序框图，则输出的k值是（）A．4 B．5 C．6 D．710．从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（）A．5 B．10 C．20 D．11．实数x，y满足条件，则z=x﹣y的最小值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．112．若函数f（x）=x2﹣2x+alnx存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），则t＜恒成立，则t（）A．有最大值﹣ln2，无最小值B．有最小值﹣﹣ln2，无最大值C．无最大值也无最小值D．有最大值4ln2，且有最小值﹣﹣ln2二、填空题13．等比数列{a n}的前n项和为S n，且S3=39，a2=9，则公比q等于______．14．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（3，6），则该渐近线与圆（x﹣2）2+y2=16相交所得的弦长为______．15．定义运算：，例如：3∇4=3，（﹣2）∇4=4，则函数f（x）=x2∇（2x﹣x2）的最大值为______．16．在等差数列{a n}中，4a12=﹣3a23＞0，令b n=，S n为{b n}的前n项和，设S为数列{S n}的最大项，则n0=______．三、解答题17．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C所对的边长，且acosB﹣bcosA=c．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若A=60°，求的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=∠ABC=90°，AD∥BC，PA=AB=BC=2AD，E是PC的中点．（Ⅰ）求证：DE⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣E的余弦值．19．2015年7月，“国务院关于积极推进‘互联网+’行动的指导意见”正式公布，在“互联网+”的大潮下，我市某高中“微课堂”引入教学，某高三教学教师录制了“导数的应用”与“概率的应用”两个单元的微课视频放在所教两个班级（A班和B班）的网页上，A 班（实验班，基础较好）共有学生60人，B班（普通班，基础较差）共有学生60人，该教师规定两个班的每一名同学必须在某一天观看其中一个单元的微课视频，第二天经过统计，A班有40人观看了“导数的应用”视频，其他20人观看了“概率的应用”视频，B班有25人观看了“导数的应用”视频，其他35人观看了“概率的应用”视频．（1）完成下列2×2列联表：观看“导数的应用”视频人数观看“概率的应用”视频人数总计A班B班总计判断是否有99%的把握认为学生选择两个视频中的哪一个与班级有关？（2）在A班中用分层抽样的方法抽取6人进行学习效果调查；①求抽取的6人中观看“导数的应用”视频的人数及观看“概率的应用”视频的人数；②在抽取的6人中再随机抽取3人，设3人中观看“导数的应用”视频的人数为X，求X的分布列及数学期望．参考公式：K2=参考数据：P（x2≥k0）0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010 k00.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.63520．设椭圆C1：+y2=1的右焦点为F，动圆过点F且与直线x+1=0相切，M（3，0），设动圆圆心的轨迹为C2．（1）求C2的方程；（2）过F任作一条斜率为k1的直线l，l与C2交于A，B两点，直线MA交C2于另一点C，直线MB交C2于另一点D，若直线CD的斜率为k2，问，是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）=e3x﹣1，g（x）=ln（1+2x）+ax，f（x）的图象在x=处的切线与g（x）的图象也相切．（1）求a的值；（2）当x＞﹣时，求证：f（x）＞g（x）；（3）设p，q，r∈（﹣，+∞）且p＜q＜r，A（p，g（p）），B （q，g（q）），C（r，g（r）），求证：k AB＞k BC（其中k AB，k BC分别为直线AB与BC的斜率）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB 于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，F为BD中点，连接AF交CH于点E，（Ⅰ）求证：∠BCF=∠CAB；（Ⅱ）若FB=FE=1，求⊙O的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρ（sinθ+cosθ）+4=0．（Ⅰ）写出直线l的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）[选修4-5：不等式选讲]24．已知a为实常数，f（x）=|x+2a|，f（x）＜4﹣2a的解集为{x|﹣4＜x＜0}．（1）求a的值；（2）若f（x）﹣f（﹣2x）≤x+m对任意实数x都成立，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题1．已知全集U=R，集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x2﹣x﹣6≤0}，则A ∩（∁U B）等于（）A．（1，2）B．（3，4）C．（1，3）D．（1，2）∪（3，4）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，根据全集U=R，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|2＜x＜4}=（2，4），B={x|x2﹣x﹣6≤0}=[﹣2，3]，∴∁U B=（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），则A∩（∁U B）=（3，4）．故选：B．2．已知z1=m+i，z2=1﹣2i，若=﹣，则实数m的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由=﹣，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z1=m+i，z2=1﹣2i，且=﹣，∴=，∴，解得m=﹣．故选：D．3．已知向量，满足•（+）=2，且||=1，||=2，则与的夹角为（）A． B． C． D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件进行数量积的计算求出，从而得出cos=，这样即可得出与的夹角．【解答】解：根据条件，==；∴；∴与的夹角为．故选：B．4．已知，则cos（π+2α）的值为（）A．B．C．D．【考点】二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值．【分析】利用诱导公式求出，同时化简cos（π+2α）为cosα的形式，然后代入求解即可．【解答】解：由得，，故选B．5．（x3﹣）4的展开式中的常数项为（）A．32 B．64 C．﹣32 D．﹣64【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，列出方程求出r的值即可得出展开式的常数项．【解答】解：（x3﹣）4的展开式中通项公式为T r+1=•x3（4﹣r）•=（﹣2）r••x12﹣4r，令12﹣4r=0，解得r=3；所以展开式的常数项为T4=（﹣2）3×=﹣32．故选：C．6．“m=2”是“直线3x+（m+1）y﹣（m﹣7）=0与直线mx+2y+3m=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据两条直线平行的条件，建立关于m的关系式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：当m=2，两直线方程分别为：3x+4y+5=0与直线2x+2y﹣6=0此时两直线平行，充分性成立．则当m=0时，两直线方程分别为3x+y+7=0或y=0，此时两直线不平行，当m≠0，若两直线平行，则，即m2+m=6且，解得m=2或m=﹣3，且m≠﹣2，即m=2或m=﹣3，即必要性不成立，“m=2”是“直线3x+（m+1）y﹣（m﹣7）=0与直线mx+2y+3m=0平行”的充分不必要条件，故选：A．7．由直线y=2x及曲线y=4﹣2x2围成的封闭图形的面积为（）A．1 B．3 C．6 D．9【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】根据题意，求出积分的上下限，即可得出结论．【解答】解：由，得：或，所以直线y=2x及曲线y=4﹣2x2围成的封闭图形的面积为S==（4x﹣）=9故选：D．8．如图，网格纸上每个小正方形的边长均为1，某几何体的三视图如图中粗线所示，则该几何体的所有棱中最长的棱的长度是（）A．4B．2C．6 D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中△PAC是一个等腰三角形，△ABC是一个直角三角形，AC⊥BC，二面角P﹣AC﹣B的平面角为135°．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中△PAC 是一个等腰三角形，△ABC是一个直角三角形，AC⊥BC，二面角P﹣AC﹣B的平面角为135°．该几何体的所有棱中最长的棱的长度是PB==2．故选：B．9．若执行如图的程序框图，则输出的k值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的n，k的值，当n=8，k=4时，满足条件n=8，退出循环，输出k的值为4．【解答】解：执行程序框图，有n=3，k=0不满足条件n为偶数，n=10，k=1不满足条件n=8，满足条件n为偶数，n=5，k=2不满足条件n=8，不满足条件n为偶数，n=16，k=3不满足条件n=8，满足条件n为偶数，n=8，k=4满足条件n=8，退出循环，输出k的值为4．故选：A．10．从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（）A．5 B．10 C．20 D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设处P点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P点横坐标，代入抛物线方程求得P的纵坐标，进而利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：设P（x0，y0）依题意可知抛物线准线x=﹣1，∴x0=5﹣1=4∴|y 0|==4，∴△MPF的面积为×5×4=10故选：B11．实数x，y满足条件，则z=x﹣y的最小值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【考点】简单线性规划．【分析】由题意作出其平面区域，将z=x﹣y化为y=x﹣z，﹣z 相当于直线y=x﹣z的纵截距，由几何意义可得．【解答】解：由题意作出其平面区域，将z=x﹣y化为y=x﹣z，﹣z相当于直线y=x﹣z的纵截距，则过点（0，1）时，z=x﹣y取得最小值，则z=0﹣1=﹣1，故选：B．12．若函数f（x）=x2﹣2x+alnx存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），则t＜恒成立，则t（）A．有最大值﹣ln2，无最小值B．有最小值﹣﹣ln2，无最大值C．无最大值也无最小值D．有最大值4ln2，且有最小值﹣﹣ln2【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】根据f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2．转化成一元二次方程2x2﹣2x+a=0的两个根x1，x2，且0＜x1＜x2，根据根与系数的关系，将x1用x2表示，求得的表达式，再求最值．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，∵f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2．∴f′（x）=0有两个不同的根x1，x2，且0＜x1＜x2，∴x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+a=0的两个根，由x1+x2=1，x1x2=，则a=2x2（1﹣x2），f（x1）=x12﹣2x1+alnx1=（1﹣x2）﹣2（1﹣x2）+2x2（1﹣x2）ln（1﹣x2）．0＜x2＜1，所以=x2+2（1﹣x2）ln（1﹣x2）﹣．0＜x2＜1，令g（x）=x+2（1﹣x）ln（1﹣x）﹣，0＜x＜1，g′（x）=1﹣2ln（1﹣x）﹣2+=﹣1﹣2ln（1﹣x）+．＞0，所以g（x）是增函数，所以x→0时，g（x）→﹣∞；x→1时，g（x）→0；所以t没有最小值和最大值；故选C．二、填空题13．等比数列{a n}的前n项和为S n，且S3=39，a2=9，则公比q等于或3 ．【考点】等比数列的前n项和．【分析】设等比数列{a n}的首项为a1，由已知列关于a1和q的方程组求解．【解答】解：设等比数列{a n}的首项为a1，由S3=39，a2=9，得，解得：或．∴公比q等于或3．故答案为：或3．14．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（3，6），则该渐近线与圆（x﹣2）2+y2=16相交所得的弦长为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出渐近线方程，利用圆的半径，圆心距，半弦长满足勾股定理求解即可．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（3，6），可得渐近线方程为：y=2x，圆（x﹣2）2+y2=16的圆心与半径分别为（2，0），4，该渐近线与圆（x﹣2）2+y2=16相交所得的弦长为：=．故答案为：．15．定义运算：，例如：3∇4=3，（﹣2）∇4=4，则函数f（x）=x2∇（2x﹣x2）的最大值为 4 ．【考点】二次函数的性质．【分析】根据新定义，求出f（x）的表达式，然后利用数形结合求出函数f（x）的最大值即可．【解答】解：由x2=2x﹣x2，得x2=x，解得x=0或x=1，由y=2x﹣x2≥0，得0≤x≤2，由y=2x﹣x2＜0，得x＜0或x＞2，∴由x2（2x﹣x2）≥0时，解得0≤x≤2，由x2（2x﹣x2）＜0解得x＜0或x＞2，即当0≤x≤2时，f（x）=x2，当x＜0或x＞2时，f（x）=2x﹣x2．作出对应的函数图象∴图象可知当x=2时，函数f（x）取得最大值f（2）=4．故答案为：4．16．在等差数列{a n}中，4a12=﹣3a23＞0，令b n=，S n为{b n}的前n项和，设S为数列{S n}的最大项，则n0= 14 ．【考点】数列递推式．【分析】设公差为d，4a12=﹣3a23＞0得到a12=﹣d，d＜0，判断出a17＜0，a16＞0，得到b15=＜0，b16=﹣d＞0，即可得到S16＜S15＜S14，问题得以解决．【解答】解：设公差为d，4a12=﹣3a23＞0，∴4a12=﹣3（a12+11d）＞0，∴a12=﹣d，d＜0，∴a17=a12+5d=d＜0，a16=a12+4d=﹣d＞0，∴a1＞a2＞…＞a16＞0＞a17∴b1＞b2＞…＞b14＞0＞b17＞b18∵b15=＜0，b16=＞0a15=a12+3d=﹣d＞0，a18=a12+6d=d＜0，∴b15=＜0，b16=﹣d＞0，∴b15+b16=d﹣d＜0，∴S16＜S15＜S14，∴S14最大．故答案为：14三、解答题17．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C所对的边长，且acosB﹣bcosA=c．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若A=60°，求的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）△ABC中，由条件利用正弦定理可得sinAcosB﹣sinBcosA=sinC．又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，可得sinAcosB=sinBcosA，由此可得的值．（Ⅱ）可求tanA=，由（Ⅰ）得tanB=．利用余弦定理，两角和的正切函数公式即可化简求值．【解答】解：（1）△ABC中，由条件利用正弦定理，可得sinAcosB﹣sinBcosA=sinC．又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，所以，sinAcosB=sinBcosA，可得=．（Ⅱ）若A=60°，则tanA=，得tanB=．∵cosC=，∴==﹣tan（A+B）==﹣．…18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=∠ABC=90°，AD∥BC，PA=AB=BC=2AD，E是PC的中点．（Ⅰ）求证：DE⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣E的余弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）以点A为坐标原点，建立坐标系，证明=0，=0，即可证明DE⊥平面PBC；（Ⅱ）求出平面PAD的一个法向量、平面PCD的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A﹣PD﹣E的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵侧面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=∠ABC=90°，AD∥BC，∴PA⊥AB，PA⊥AD⊥AD⊥AB，以点A为坐标原点，建立如图所示的坐标系，设PA=AB=BC=2AD=2，则P（0，0，2），D（1，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），E（1，1，1），∴=（0，1，1），=（0，2，﹣2），=（2，2，﹣2），∴=0，=0，∴DE⊥PB，DE⊥PC，∵PB∩PC=P，∴DE⊥平面PBC；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知平面PAD的一个法向量=（0，2，0）．设平面PCD的一个法向量为=（x，y，z），则∵=（1，0，﹣2），=（2，2，﹣2），∴，∴取=（2，﹣1，1），∴cos＜，＞==﹣．19．2015年7月，“国务院关于积极推进‘互联网+’行动的指导意见”正式公布，在“互联网+”的大潮下，我市某高中“微课堂”引入教学，某高三教学教师录制了“导数的应用”与“概率的应用”两个单元的微课视频放在所教两个班级（A班和B班）的网页上，A 班（实验班，基础较好）共有学生60人，B班（普通班，基础较差）共有学生60人，该教师规定两个班的每一名同学必须在某一天观看其中一个单元的微课视频，第二天经过统计，A班有40人观看了“导数的应用”视频，其他20人观看了“概率的应用”视频，B班有25人观看了“导数的应用”视频，其他35人观看了“概率的应用”视频．（1）完成下列2×2列联表：观看“导数的应用”视频人数观看“概率的应用”视频人数总计A班B班总计判断是否有99%的把握认为学生选择两个视频中的哪一个与班级有关？（2）在A班中用分层抽样的方法抽取6人进行学习效果调查；①求抽取的6人中观看“导数的应用”视频的人数及观看“概率的应用”视频的人数；②在抽取的6人中再随机抽取3人，设3人中观看“导数的应用”视频的人数为X，求X的分布列及数学期望．参考公式：K2=参考数据：P（x2≥k0）0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010 k00.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.635 【考点】独立性检验．【分析】（1）根据题目中的数据，完成2×2列联表，计算K2，对照数表即可得出结论；（2）①利用分层抽样原理求出对应的数值；②计算X的可能取值以及对应的概率值，列出X的分布列，求出数学期望值．【解答】解：（1）根据题目中的数据，完成下列2×2列联表：观看“导数的应用”视频人数观看“概率的应用”视频人数总计A班40 20 60B班25 35 60总计65 55 120计算K2=≈7.5524＞6.635，∴有99%的把握认为学生选择两个视频中的哪一个与班级有关；（2）在A班中用分层抽样的方法抽取6人进行学习效果调查；①抽取的6人中观看“导数的应用”视频的人数是6×=4，观看“概率的应用”视频的人数是6×=2；②在抽取的6人中再随机抽取3人，设3人中观看“导数的应用”视频的人数为X，则X的可能取值为1、2、3，计算P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==；∴X的分布列为：X 1 2 3P（X）所以X的数学期望为EX=1×+2×+3×=2．20．设椭圆C1：+y2=1的右焦点为F，动圆过点F且与直线x+1=0相切，M（3，0），设动圆圆心的轨迹为C2．（1）求C2的方程；（2）过F任作一条斜率为k1的直线l，l与C2交于A，B两点，直线MA交C2于另一点C，直线MB交C2于另一点D，若直线CD的斜率为k2，问，是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆方程求出椭圆右焦点，结合题意可知动圆圆心的轨迹C2为抛物线，方程为y2=4x；（2）分别设出AB、AC所在直线方程x=my+1与x=ny+3，联立直线方程与抛物线方程，可得A、B、C的纵坐标的关系，同理得到B、D纵坐标的关系，最后都用A的纵坐标表示，求出AB、CD的斜率（用A的纵坐标表示），可得为定值3．【解答】解：（1）由椭圆C1：+y2=1，得a2=2，b2=1，∴，则F（1，0），由动圆过点F且与直线x+1=0相切，可知动圆圆心的轨迹C2为抛物线，方程为y2=4x；（2）如图，直线l的方程为x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得y2﹣4my﹣4=0．∴y1y2=﹣4，则，①设AC所在直线方程为x=ny+3，C（x3，y3），D（x4，y4），联立，得y2﹣4ny﹣12=0．∴y1y3=﹣12，则．同理求得y2y4=﹣12，②联立①②得，，∴，==，∴．21．已知函数f（x）=e3x﹣1，g（x）=ln（1+2x）+ax，f（x）的图象在x=处的切线与g（x）的图象也相切．（1）求a的值；（2）当x＞﹣时，求证：f（x）＞g（x）；（3）设p，q，r∈（﹣，+∞）且p＜q＜r，A（p，g（p）），B （q，g（q）），C（r，g（r）），求证：k AB＞k BC（其中k AB，k BC分别为直线AB与BC的斜率）．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，求得切线方程；设出与g（x）图象相切的切点，求得g（x）的导数，可得切线的斜率，解方程可得切点为（0，0），进而得到a的值；（2）由m（x）=f（x）﹣3x=e3x﹣1﹣3x，求得导数，可得最小值0；再由n（x）=g（x）﹣3x=ln（1+2x）﹣2x，求得导数，可得最大值0，进而得到证明；（3）由直线的斜率公式可得k AB=，k BC=，构造h（q）=（1+2q）（g（q）﹣g（p））﹣（3+2q）（q﹣p），证明h（q）＞0，可得k AB＞，同理可证：k BC＜，从而可得结论．【解答】解：（1）函数f（x）=e3x﹣1的导数为f′（x）=3e3x﹣1，可得f（x）的图象在x=处的切线斜率为3，切点为（，1），即有切线的方程为y﹣1=3（x﹣），即为y=3x，设与g（x）的图象相切的切点为（m，n），可得n=3m=ln（1+2m）+am，又g′（x）=+a，可得3=+a，消去a，可得（1+2m）ln（1+2m）=2m，令t=1+2m（t＞0），即有tlnt=t﹣1．可令y=tlnt﹣t+1，导数y′=lnt，可得t＞1，函数y递增；0＜t＜1时，函数y递减．则t=1时，函数y=tlnt﹣t+1取得最小值0．则tlnt=t﹣1的解为t=1，则m=0，可得a=1；（2）证明：当x＞﹣时，由m（x）=f（x）﹣3x=e3x﹣1﹣3x，可得m′（x）=3e3x﹣1﹣3，当x＞时，m（x）递增；当﹣＜x＜时，m（x）递减．可得x=处，m（x）取得极小值，且为最小值0．则f（x）≥3x；由n（x）=g（x）﹣3x=ln（1+2x）﹣2x，可得n′（x）=﹣2=，当x＞0时，n（x）递减；当﹣＜x＜0时，n（x）递增．即有x=0处n（x）取得极大值，且为最大值0，则g（x）≤3x，由于等号不同时取得，则f（x）＞g（x）；（3）证明：k AB=，k BC=，令h（q）=（1+2q）（g（q）﹣g（p））﹣（3+2q）（q﹣p），则h′（q）=2 （g（q）﹣g（p））+（1+2q）g′（q）﹣2（q﹣p）﹣（3+2q）=2 （g（q）﹣g（p））﹣2（q﹣p）=2（ln（1+2q）﹣ln（1+2p））∵y=ln（1+2x）在（﹣，+∞）上单调递增，且q＞p，∴ln（1+2q）﹣ln（1+2p）＞0，∴h′（q）＞0．∴h（q）在（p，q）上单调递增，∴h（q）＞h（p）=0，∴（1+2q）（f（q）﹣f（p））﹣（3+2q）（q﹣p）＞0，∴（1+2q）（f（q）﹣f（p））＞（3+2q）（q﹣p），∵q﹣p＞0，1+2q＞0，∴＞，即k AB＞；同理可证k BC＜．∴k AB＞k BC．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB 于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，F为BD中点，连接AF交CH于点E，（Ⅰ）求证：∠BCF=∠CAB；（Ⅱ）若FB=FE=1，求⊙O的半径．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）由AB是直径，得∠ACB=90°，由此能证明∠BCF=∠CAB．（Ⅱ）由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC，由此利用切割线定理和勾股定理能求出⊙O半径．【解答】证明：（Ⅰ）因为AB是直径，所以∠ACB=90°又因为F是BD中点，所以∠BCF=∠CBF=90°﹣∠CBA=∠CAB 因此∠BCF=∠CAB．…解：（Ⅱ）直线CF交直线AB于点G，由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC所以FA=FG，且AB=BG由切割线定理得：（1+FG）2=BG×AG=2BG2…①在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2=FG2﹣BF2…②由①、②得：FG2﹣2FG﹣3=0解之得：FG1=3，FG2=﹣1（舍去）所以AB=BG=2，所以⊙O半径为．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρ（sinθ+cosθ）+4=0．（Ⅰ）写出直线l的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直线l的参数方程消去参数t，得到直线l的普通方程，再将代入能求出直线l的极坐标方程．（Ⅱ）联立直线l与曲线C的极坐标方程，能求出l与C交点的极坐标．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴消去参数t，得到直线l的普通方程x+y﹣2=0，再将代入x+y﹣2=0，得ρcosθ+ρsinθ=2．…（Ⅱ）联立直线l与曲线C的极坐标方程，∵ρ≥0，0≤θ≤2π，∴解得或，∴l与C交点的极坐标分别为（2，0），（2，）．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知a为实常数，f（x）=|x+2a|，f（x）＜4﹣2a的解集为{x|﹣4＜x＜0}．（1）求a的值；（2）若f（x）﹣f（﹣2x）≤x+m对任意实数x都成立，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1））解不等式|x+2a|＜4﹣2a，得到4﹣4a=0，求出a 的值即可；（2）问题转化为m≥|x+2|﹣2|x﹣1|﹣x，令h（x）=|x+2|﹣2|x ﹣1|﹣x，求出h（x）的最大值，从而求出m的范围即可．【解答】解：（1）∵f（x）=|x+2a|，f（x）＜4﹣2a，∴2a﹣4＜x+2a＜4﹣2a，∴﹣4＜x＜4﹣4a，∴4﹣4a=0，解得：a=1；（2）由（1）得：f（x）=|x+2|，f（﹣2x）=|﹣2x+2|，若f（x）﹣f（﹣2x）≤x+m对任意实数x都成立，即m≥|x+2|﹣2|x﹣1|﹣x，令h（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|﹣x=，x≥1时，h（x）=﹣2x+4≤2，﹣2＜x＜1时，h（x）∈（﹣4，2），x≤﹣2时，h（x）=﹣4，∴h（x）的最大值是2，∴m≥2．2016年9月22日。

2020—2021年最新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题及答案解析十二.docx

高考数学二模试卷（理科）一.填空题（本大题满分56分）1．已知=3，，则=__________．2．已知复数z满足z+i=1﹣iz（i是虚数单位），则z=__________．3．函数y=lg（x2﹣2x+3）的定义域为__________．4．若log x y=﹣2，则x2+y的值域为__________．5．在（1+x）5﹣（1+x）6的展开式中，含x3的项的系数是__________．6．以抛物线y2=4x的焦点F为圆心，与抛物线的准线相切的圆的标准方程为__________．7．若θ∈（，），sin2θ=，则cosθ﹣sinθ的值是__________．8．古代印度数学家婆什迦罗在其所著的《莉拉沃蒂》中有如下题目：“今有人拿钱赠人，第一人给3元，第二人给4元，第三人给5元，其余依次递增，分完后把分掉的钱全部收回，再重新分配，每人恰分得100元，则一共__________人．9．点A到直线xcosθ+ysinθ+2﹣cosθ=0（θ为参数，θ∈R）的距离恒为2，则A的坐标__________．10．（理）从0，1，2，3，4这5个数中取3个数，记中位数是ξ，则数学期望E（ξ）=__________．11．（理）关于x的实系数一元二次方程x2﹣2px+4=0的两个虚根z1、z2，若z1、z2在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为__________．12．（理）已知函数y=f（x）与y=f﹣1（x）互为反函数，又y=f﹣1（x+1）与y=g（x）的图象关于直线y=x对称，若f（x）是R上的函数，f（x）=a x+x+1（a＞1），则g（x）=__________．13．已知非零向量序列：满足如下条件：||=2，•=﹣，且=（n=2，3，4，…，n∈N*），S n=，当S n最大时，n=__________．14．在极坐标系中，曲线ρ3cosθ+1=0上的点到A（1，0）的距离的最小值为__________．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．若cosθ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边所在象限是( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限16．已知a1，a2，a3，…，a8为各项都大于零的数列，则“a1+a8＜a4+a5”是“a1，a2，a3，…，a8不是等比数列”的( )A．充分且必要条件B．充分但非必要条件C．必要但非充分条件D．既不充分也不必要条件17．已知f（x）=Asin（wx+θ），（w＞0），若两个不等的实数x1，x2∈，且|x1﹣x2|min=π，则f（x）的最小正周期是( ) A．3πB．2πC．πD．18．（理）已知圆心为O，半径为1的圆上有不同的三个点A、B、C，其中，存在实数λ，μ满足，则实数λ，μ的关系为( )A．λ2+μ2=1 B．C．λμ=1 D．λ+μ=1三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19．如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有4.5海里，并以10海里/小时的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以14海里/小时的速度航行，应沿什么方向，用多少小时能尽快追上乙船？20．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，它的体积是，底面△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，B1在底面的射影是D，且D为BC的中点．（1）求侧棱BB1与底面ABC所成角的大小；（2）求异面直线B1D与CA1所成角的大小．21．平面直角坐标系中，点A（﹣2，0）、B（2，0），平面内任意一点P满足：直线PA的斜率k1，直线PB的斜率k2，k1k2=﹣，点P的轨迹为曲线C1．双曲线C2以曲线C1的上下两顶点M，N 为顶点，Q是双曲线C2上不同于顶点的任意一点，直线QM的斜率k3，直线QN的斜率k4．（1）求曲线C1的方程；（2）如果k1k2+k3k4≥0，求双曲线C2的焦距的取值范围．22．（16分）设m个不全相等的正数a1，a2，…，a m（m≥3）依次围成一个圆圈．（1）设m=2015，且a1，a2，a3，…，a1008是公差为d的等差数列，而a1，a2015，a2014，…，a1009是公比为q=d的等比数列；数列a1，a2，…，a m的前n项和S n（n≤m）满足S3=15，S2015=S2013+12a1，求数列{a n}的通项公式；（2）设a1=a，a2=b（a≠b），若数列a1，a2，…，a m每项是其左右相邻两数平方的等比中项，求a8；（3）在（2）的条件下，m≤2015，求符合条件的m的个数．23．（18分）已知f（x）=定义在实数集R上的函数，把方程f（x）=称为函数f（x）的特征方程，特征方程的两个实根α、β（α＜β）称为f（x）的特征根．（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）把函数y=f（x），x∈[α，β]的最大值记作maxf（x）、最小值记作minf（x），令g（m）=maxf（x）﹣minf（x），若g（m）≤λ恒成立，求λ的取值范围．高考数学二模试卷（理科）一.填空题（本大题满分56分）1．已知=3，，则=．考点：极限及其运算．专题：导数的综合应用．分析：利用数列极限的运算法则即可得出．解答：解：∵=3，，则===．故答案为：．点评：本题考查了数列极限的运算法则，属于基础题．2．已知复数z满足z+i=1﹣iz（i是虚数单位），则z=﹣i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：根据复数z满足z+i=1﹣iz，移项得到z+zi=1﹣i，提出公因式z（1+i）=1﹣i，两边同除以1+i，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，得到结果．解答：解：复数z满足z+i=1﹣iz，∴z+zi=1﹣iz（1+i）=1﹣i∴z===﹣i故答案为：﹣i点评：本题考查复数的代数形式的运算，本题解题的关键是整理出复数的表示式，再进行复数的除法运算，或者设出复数的代数形式，根据复数相等的充要条件来解题．3．函数y=lg（x2﹣2x+3）的定义域为（﹣∞，+∞）．考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意可得x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2＞0恒成立，从而得到定义域．解答：解：由题意得，x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2＞0恒成立，故函数y=lg（x2﹣2x+3）的定义域为（﹣∞，+∞）；故答案为：（﹣∞，+∞）．点评：本题考查了函数的定义域的求法，属于基础题．4．若log x y=﹣2，则x2+y的值域为（2，+∞）．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：利用指数与对数的互化，化简所求表达式，利用基本不等式求解最值即可．解答：解：log x y=﹣2，可得y=x﹣2，x＞0且x≠1，x2+y=x2+x﹣2=x2+＞2=2．所以x2+y的值域为：（2，+∞）；故答案为：（2，+∞）．点评：本题考查函数的值域，基本不等式的应用，对数与指数的互化，考查计算能力．5．在（1+x）5﹣（1+x）6的展开式中，含x3的项的系数是﹣10．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：分别在（1+x）5﹣的展开式的通项T r+1=C5r x r（1+x）6展开式的通项T k+1=C6k x k，令r=3，k=3可求解答：解：（1+x）5﹣的展开式的通项T r+1=C5r x r令r=3可得，T4=C53x3的展开式的通项T k+1=C6k x k，令k=3可得T4=C63x3∴含x3的项的系数是C53﹣C63=10﹣20=﹣10故答案为：﹣10点评：本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定的项，属于基础试题6．以抛物线y2=4x的焦点F为圆心，与抛物线的准线相切的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=4．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线的焦点坐标，焦点到准线的距离就是所求圆的半径，然后写出圆的方程即可．解答：解：因为抛物线y2=4x的焦点为圆心即（1，0），与抛物线的准线相切的圆的半径为：2．所求圆的方程为：（x﹣1）2+y2=4．故答案为：（x﹣1）2+y2=4．点评：本题考查圆的方程的求法，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．7．若θ∈（，），sin2θ=，则cosθ﹣sinθ的值是﹣．考点：三角函数的恒等变换及化简求值．专题：计算题．分析：求出表达式的平方的值，根据角的范围确定表达式的符号，求出值即可．解答：解：（cosθ﹣sinθ）2=1﹣sin2θ=，又，cosθ＜sinθ所以cosθ﹣sinθ=，故答案为：．点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，注意角的范围三角函数的符号的确定，是本题的关键．8．古代印度数学家婆什迦罗在其所著的《莉拉沃蒂》中有如下题目：“今有人拿钱赠人，第一人给3元，第二人给4元，第三人给5元，其余依次递增，分完后把分掉的钱全部收回，再重新分配，每人恰分得100元，则一共195人．考点：等差数列的通项公式．专题：应用题；方程思想；等差数列与等比数列．分析：由题意，给每个人的钱数组成首项为3，公差为1的等差数列，由此求出等差数列的前n项和，列出方程求解．解答：解：设共有n人，根据题意得；3n+=100n，解得n=195；∴一共有195人．故答案为：195．点评：本题考查了等差数列的通项公式与前n项和的应用问题，也考查了方程思想的应用问题，是基础题目．9．点A到直线xcosθ+ysinθ+2﹣cosθ=0（θ为参数，θ∈R）的距离恒为2，则A的坐标（1，0）．考点：点到直线的距离公式；直线的参数方程．专题：直线与圆．分析：设出A的坐标（x，y），由点到直线的距离公式列式，然后利用恒成立求得x，y值，则答案可求．解答：解：设A（x，y），由A到直线xcosθ+ysinθ+2﹣cosθ=0（θ为参数，θ∈R）的距离恒为2，得，即|xcosθ+ysinθ+2﹣cosθ|=2，也就是|（x﹣1）cosθ+ysinθ+2|=2．要使对任意θ∈R上式都成立，则x=1，y=0．∴A的坐标为（1，0）．故答案为：（1，0）．点评：本题考查点到直线的距离公式，考查了恒成立问题，是基础题．10．（理）从0，1，2，3，4这5个数中取3个数，记中位数是ξ，则数学期望E（ξ）=2．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：确定变量的可能取值，做出变量对应的概率，写出期望值．解答：解：ξ的可能取值为1，2，3，则P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴E（ξ）=1×+2×+3×=2．故答案为：2．点评：本题考查离散型随机变量的期望的计算，本题解题的关键是看出变量的可能取值，注意准确计算即可．11．（理）关于x的实系数一元二次方程x2﹣2px+4=0的两个虚根z1、z2，若z1、z2在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为4．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；数系的扩充和复数．分析：由题意两个虚数根z1，z2是共轭复数，可得椭圆的短轴长：2b=|z1+z2|=2|p|，焦距为2c=|z1﹣z2|，然后求出长轴长．解答：解：因为p为实数，p≠0，z1，z2为虚数，所以（﹣2p）2﹣4×4＜0，即p2＜4，解得﹣2＜p＜2．由z1，z2为共轭复数，知Z1，Z2关于x轴对称，所以椭圆短轴在x轴上，又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点，根据椭圆的性质，复数加，减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的短轴长=2b=|z1+z2|=2|p|，焦距2c=|z1﹣z2|==2，长轴长2a=2=2=4，故答案为：4．点评：本题考查复数的基本概念，椭圆的基本性质，是小型综合题，考查学生分析问题解决问题的能力．12．（理）已知函数y=f（x）与y=f﹣1（x）互为反函数，又y=f﹣1（x+1）与y=g（x）的图象关于直线y=x对称，若f（x）是R上的函数，f（x）=a x+x+1（a＞1），则g（x）=y=a x+x．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：根据反函数的概念图象的对称性，得出答案．解答：解：由y=f﹣1（x）的图象向左平移1个单位得出y=f﹣1（x+1）图象函数y=f（x）与y=f﹣1（x）互为反函数，即y=f（x）与y=f﹣1（x）图象关于直线y=x对称，y=f﹣1（x+1）与y=g（x）的图象关于直线y=x对称∴函数y=f（x）向下平移1个单位可以得出y=g（x）的图象∵f（x）=a x+x+1（a＞1），∴g（x）=a x+x（a＞1），故答案为：y=a x+x．点评：本题考查了反函数的概念，图象的对称性，平移问题，属于中档题，但是对于反函数这个知识点不熟悉．13．已知非零向量序列：满足如下条件：||=2，•=﹣，且=（n=2，3，4，…，n∈N*），S n=，当S n最大时，n=8或9．考点：数列的求和；平面向量的基本定理及其意义．专题：等差数列与等比数列；平面向量及应用．分析：由已知条件采用累加法求得=+（n﹣1），求出•的通项公式，利用等差数列的性质进行求解即可．解答：解：∵=，∴向量为首项为，公差为的等差数列，则=+（n﹣1），则•=•[+（n﹣1）]=2+（n﹣1）•=4（n﹣1）=，由•=≥0，解得n≤9，即当n=9时，•=0，则当n=8或9时，S n最大，故答案为：8或9．点评：本题考查了数列递推式，训练了累加法去数列的通项公式，是中档题14．在极坐标系中，曲线ρ3cosθ+1=0上的点到A（1，0）的距离的最小值为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：曲线ρ3cosθ+1=0化为（x2+y2）x+1=0，可得y2=﹣，设P（x，y）是曲线上的任意一点，利用两点之间的距离公式可得|PA|=，由y2=﹣≥0，解得﹣1≤x＜0，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：曲线ρ3cosθ+1=0化为（x2+y2）x+1=0，解：曲线ρ3cosθ+1=0化为（x2+y2）x+1=0，∴y2=﹣，设P（x，y）是曲线上的任意一点，则|PA|===，由y2=﹣≥0，解得﹣1≤x＜0，由=2，当且仅当x=﹣时取等号．∴|PA|min=．故答案为：．点评：本题考查了把极坐标化为直角坐标、两点之间的距离公式、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于中档题．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．若cosθ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边所在象限是( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考点：象限角、轴线角；三角函数值的符号．分析：sin2θ=2sinθcosθ，因为cosθ＞0，所以sinθ＜0，可以判定角θ的终边所在象限．解答：解：由sin2θ=2sinθcosθ，因为cosθ＞0，所以sinθ＜0，可以判定角θ的终边所在象限第四象限．故选D．点评：本题考查象限角，三角函数值的符号，二倍角的正弦，是基础题．16．已知a1，a2，a3，…，a8为各项都大于零的数列，则“a1+a8＜a4+a5”是“a1，a2，a3，…，a8不是等比数列”的( )A．充分且必要条件B．充分但非必要条件C．必要但非充分条件D．既不充分也不必要条件考点：等差关系的确定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：先假设八个整数成等比数列且q≠1，利用等比数列的通项公式表示出（a1+a8）﹣（a4+a5），分别对q＞1和q＜1分类讨论，可推断出a1+a8＞a4+a5一定成立，反之若a1+a8＜a4+a5，则a1，a2，a3，…，a8不是等比数列，推断出条件的充分性；若a1，a2，a3，…，a8不是等比数列，a1+a8＜a4+a5，不一定成立，综合答案可得．解答：解：若八个正数，成等比数列公比q＞0，（a1+a8）﹣（a4+a5）=a1[（1+q7）﹣（q3+q4）]=a1[（q3﹣1）（q4﹣1）]当0＜q＜1，时（q3﹣1）＜0，（q4﹣1）＜0∴a1[（q3﹣1）（q4﹣1）]＞0当q＞1，时（q3﹣1）＞0，（q4﹣1）＞0∴a1[（q3﹣1）（q4﹣1）]＞0所以a1+a8＞a4+a5，故若a1+a8＜a4+a5，则a1，a2，a3，…，a8不是等比数列，若a1，a2，a3，…，a8不是等比数列，a1+a8＜a4+a5，不一定成立，故“a1+a8＜a4+a5”是“a1，a2，a3，…，a8不是等比数列”的充分非必要条件．故选B点评：本题主要考查了等比关系的确定以及充分条件，必要条件充分必要条件的判定．考查了学生分析问题和基本的推理能力．17．已知f（x）=Asin（wx+θ），（w＞0），若两个不等的实数x1，x2∈，且|x1﹣x2|min=π，则f（x）的最小正周期是( ) A．3πB．2πC．πD．考点：正弦函数的图象；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可得•=π，求得ω的值，可得f（x）的最小正周期是的值．解答：解：由题意可得sin（wx+θ）=的解为两个不等的实数x1，x2，且•=π，求得ω=，故f（x）的最小正周期是=3π，故选：A．点评：本题主要考查正弦函数的图象特征，正弦函数的周期性，属于中档题．18．（理）已知圆心为O，半径为1的圆上有不同的三个点A、B、C，其中，存在实数λ，μ满足，则实数λ，μ的关系为( )A．λ2+μ2=1 B．C．λμ=1 D．λ+μ=1考点：平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得||=||=||=1，且，再把=﹣λ﹣μ，平方可得结论．解答：解：由题意可得||=||=||=1，且．∵，即=﹣λ﹣μ，平方可得1=λ2+μ2，故选：A．点评：本题主要考查圆的定义及向量的模及其数量积运算，还考查了向量与实数的转化．在向量的加，减，数乘和数量积运算中，数量积的结果是实数，所以考查应用较多，属于基础题．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有4.5海里，并以10海里/小时的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以14海里/小时的速度航行，应沿什么方向，用多少小时能尽快追上乙船？考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：先利用平面中的知识求出∠ABC=180°﹣45°﹣15°=120°．再利用余弦定理AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosα，求出对应的时间，根据正弦定理，可得结论．．解答：解：设用t小时，甲船能追上乙船，且在C处相遇．在△ABC中，AC=14t，BC=10t，AB=4.5，设∠ABC=α，∠BAC=β，∴α=180°﹣45°﹣15°=120°根据余弦定理AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosα，即，128t2﹣60t﹣27=0，（4t﹣3）（32t+9）=0，解得t=，t=（舍）∴AC=28×=，BC=20×=15根据正弦定理，得，又∵α=120°，∴β为锐角，β=arcsin，又＜＜，∴arcsin＜，甲船沿南偏东﹣arcsin的方向，用小时可以追上乙船．点评：本题主要考查解三角形的实际应用．解决这一类型题目的关键是把文字语言转化为数学符号，用数学公式，定理，公理等知识来解．20．三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，它的体积是，底面△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，B1在底面的射影是D，且D为BC的中点．（1）求侧棱BB1与底面ABC所成角的大小；（2）求异面直线B1D与CA1所成角的大小．考点：异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）B1D⊥面ABC，∠B1BD就是侧棱BB1与底面ABC所成的角θ，运用棱柱的体积公式和解直角三角形，即可得到所求值；（2）取B1C1的中点E，连EC，A1E，则∠ECA1（或其补角）为所求的异面直线所成角的大小，运用解直角三角形，计算即可得到所求值．解答：解：（1）依题意，B1D⊥面ABC，∠B1BD就是侧棱BB1与底面ABC所成的角θ，由，则，由D为BC的中点，BC==5，即有，由，即，∴，即侧棱BB1与底面ABC所成角为；（2）取B1C1的中点E，连EC，A1E，则∠ECA1（或其补角）为所求的异面直线所成角的大小，B1D⊥面ABC，B1D‖CE，面ABC‖面A1B1C1∴CE⊥面A1B1C1，∴CE⊥A1E，，所求异面直线B1D与CA1所成角为．点评：本题考查空间角的求法，主要考查直线和平面所成的角和异面直线所成的角的求法，考查直线和平面的位置关系，属于中档题．21．平面直角坐标系中，点A（﹣2，0）、B（2，0），平面内任意一点P满足：直线PA的斜率k1，直线PB的斜率k2，k1k2=﹣，点P的轨迹为曲线C1．双曲线C2以曲线C1的上下两顶点M，N 为顶点，Q是双曲线C2上不同于顶点的任意一点，直线QM的斜率k3，直线QN的斜率k4．（1）求曲线C1的方程；（2）如果k1k2+k3k4≥0，求双曲线C2的焦距的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设P（x，y），运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到曲线C1的方程；（2）设双曲线方程为，Q（x0，y0）在双曲线上，再由直线的斜率公式，结合条件，得到b的范围，即可得到双曲线C2的焦距的取值范围．解答：解：（1）设P（x，y），则，∴曲线C1的方程为；（2）设双曲线方程为，Q（x0，y0）在双曲线上，所以，∵，∴，∴0＜b≤2，由双曲线C 2的焦距为2，故双曲线C2的焦距的取值范围∈（2，2]．点评：本题考查轨迹方程的求法，主要考查椭圆和双曲线的方程和性质，同时考查直线的斜率公式的运用，属于中档题．22．（16分）设m个不全相等的正数a1，a2，…，a m（m≥3）依次围成一个圆圈．（1）设m=2015，且a1，a2，a3，…，a1008是公差为d的等差数列，而a1，a2015，a2014，…，a1009是公比为q=d的等比数列；数列a1，a2，…，a m的前n项和S n（n≤m）满足S3=15，S2015=S2013+12a1，求数列{a n}的通项公式；（2）设a1=a，a2=b（a≠b），若数列a1，a2，…，a m每项是其左右相邻两数平方的等比中项，求a8；（3）在（2）的条件下，m≤2015，求符合条件的m的个数．考点：等比数列的性质．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）利用a1，a2015，a2014，…，a1009是公比为d的等比数列，求出d，S3=3a1+3d=15，解得a1=2，可得数列{a n}的通项公式；（2）确定a n=a n﹣1a n+1，依此类推a8=a2=b；（3）猜想：m=6k，m=12，18，…，2012，一共有335，再利用反证法进行证明即可．解答：解：（1）因a1，a2015，a2014，…，a1009是公比为d的等比数列，从而由S2015=S2013+12a1，a2015+a2014=12a1，故解得d=3或d=﹣4（舍去）因此d=3，又S3=3a1+3d=15，解得a1=2从而当n≤1008时，a n=a1+（n﹣1）d=2+3（n﹣1）=3n﹣1当1006≤n≤2015时，由a1，a2015，a2014，…，a1009是公比为d的等比数列得（1009≤n≤2015），因此（2）由题意，∴a n=a n﹣1a n+1，得，a7=a1=a依此类推a8=a2=b（3）猜想：m=6k，m=12，18，…，2012，一共有335，得又，④故有．⑤若不然，设m=6k+p，其中1≤p≤5若取p=1即m=6k+1，则由此得a m=a6k+1=a1，而由③得，得a2=1，由②得，而此推得a n=1（1≤n≤m）与题设矛盾，同理若P=2，3，4，5均可得a n=1（1≤n≤m）与题设矛盾，因此m=6k为6的倍数．（16分）点评：本题考查等差数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，有难度．23．（18分）已知f（x）=定义在实数集R上的函数，把方程f（x）=称为函数f（x）的特征方程，特征方程的两个实根α、β（α＜β）称为f（x）的特征根．（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）把函数y=f（x），x∈[α，β]的最大值记作maxf（x）、最小值记作minf（x），令g（m）=maxf（x）﹣minf（x），若g（m）≤λ恒成立，求λ的取值范围．考点：函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可讨论函数的奇偶性；（2）根据函数单调性的定义先判断函数的单调性，将不等式恒成立进行转化，利用参数分离法即可得到结论．解答：解：（1）当m=0时，f（x）=，此时f（﹣x）=﹣f （x），函数f（x）为奇函数，当m≠0时，函数f（x）为非奇非偶函数．（2）证明f（x）是增函数f（x2）﹣f（x1）==，∵α＜x1＜x2＜β，∴，，则m（x 1+x2）﹣2＜0，2x1x2＜x12+x22，∴2x1x2＜x12+x22＜m（x1+x2）+2，即2x1x2﹣m（x1+x2）﹣2＜0，∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在（α，β）是递增的，则恒成立，∴λ≥，∵，∴λ≥2．点评：本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数最值的求解，利用条件判断函数的单调性是解决本题的关键．。

2020—2021年新高考总复习数学(理)二轮复习精选《函数及表示1》试题及答案解析.docx

高三数学复习精选练习（理数，含解析）函数及表示（1）1、定义一：对于一个函数()()f x x D ∈，若存在两条距离为d 的直线1m kx y +=和2m kx y +=，使得在D x ∈时，21)(m kx x f m kx +≤≤+ 恒成立，则称函数)(x f 在D 内有一个宽度为d 的通道．定义二：若一个函数)(x f ，对于任意给定的正数ε，都存在一个实数0x ，使得函数)(x f 在),[0∞+x 内有一个宽度为ε的通道，则称)(x f 在正无穷处有永恒通道．下列函数①()ln f x x =，②sin ()x f x x =，③2()1f x x =-，④()x f x e -=，其中在正无穷处有永恒通道的函数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据题意，结合函数图像，可知只有①没有，剩下三个都可以，所以选C ．考点：新定义．2、对于函数)(x f y =，部分y 与x 的对应关系如下表：数列}{n x 满足12x =，且对任意*n ∈N ，点),(1+n n x x 都在函数()y f x =的图象上，则1232015x x x x ++++L 的值为（）A ．10741B ．10736C ．10731D ．10726【答案】A【解析】由表知，点),(1+n n x x 都在函数()y f x =的图象上，于是有)(1n n x f x =+，因此3)2()(12===f x f x ，5)3()(23===f x f x ，8)5()(34===f x f x ，3)8()(45===f x f x ．．．,故数列}{n x 的周期为3，于是107413166712=+⨯+=S ，故选A ；考点：函数的值3、设m 是一个非负整数，m 的个位数记作()G m ，如(2015)5G =，(16)6G =，(0)0G =，称这样的函数为尾数函数．给出下列有关尾数函数的结论：①()()()G a b G a G b -=-；②,,a b c ∀∈N ，若10a b c -=，都有()()G a G b =；③()(()()())G a b c G G a G b G c ⋅⋅=⋅⋅；④2015(3)9G =．则正确的结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】①取21,19a b ==，则()(2)2,()()198G a b G G a G b -==-=-=-，二者不相等，故错.②,,a b c ∀∈N ，若10a b c -=，则,a b 的个位数字相同，所以()()G a G b =；正确.③设10(),10(),10()a x G a b y G b c z G c =+=+=+，显然abc 的个位数字就是()()()G a G b G c 的个位数字，所以()(()()())G a b c G G a G b G c ⋅⋅=⋅⋅；正确. ④44381,(3)n =∴的个位数字都为 1. 2015201232012333327=⨯=⨯，所以个位数字为7，即2015(3)7G =，故错．考点：1、新定义；2、整数的性质.4、已知集合{}(,)()M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“Ω集合”，给出下列4个集合： ①{}||(,)x M x y y e == ②{}(,)|cos |M x y y x == ③1(,)x M x y y x +⎧⎫==⎨⎬⎩⎭ ④{}(,)ln(2)M x y y x ==+其中所有“Ω集合”的序号是（）A ．①③B ．①④C ．②④D ．②③④【答案】C ．【解析】根据题意分析可知，问题等价于在函数图象上存在两点A ，B ，使得OA OB ⊥，分别作出四个函数图象，如下图所示，从而可知：对于①，取(0,1)A ，不存在相应的点22(,)x y ，对于②，可知其满足“Ω集合”的定义，对于③：双曲线的渐近线互相垂直，从而可知其不满足“Ω集合”的定义，对于④，可知其满足“Ω集合”集合的定义，∴②④正确．．考点：函数新定义问题．5、已知函数f （x ＋1）=x ＋1，则函数f （x ）的解析式为（）A ．f （x ）=x 2B ．f （x ） =x 2＋1（x ≥1）C ．f （x ）=x 2－2x ＋2 （x ≥1）D ．f （x ）=x 2－2x （x ≥1）【答案】C 【解析】令t x 1=+，则22t 1, f t t 2t 11t 2t 2≥=-++=-+（）, 故函数f （x ）的解析式为：2f x x 2x 2x 1=-+≥（），（）.考点：求函数解析式.6、下面的图象可表示函数y=f(x)的是（）【答案】D【解析】根据函数的定义，一个自变量x 有且只有一个y 与其对应，所以A,B,C 不符合函数定义，所以答案为D.考点：1.函数的定义；2.排除法.7、下列函数中,不满足f （2x ）=2f （x ）的是（）A.f （x ）=|x|B.f （x ）=x-|x|C.f （x ）=x+1D.f （x ）=-x【答案】C【解析】A.f （2x ）=|2x|=2|x|=2f （x ）,故A 选项满足f （2x ）=2f （x ）；B.f （2x ）=2x-|2x|=2（x-|x|）=2f （x ）,所以B 选项满足f （2x ）=2f （x ）；C.f （2x ）=2x+1,而2f （x ）=2（x+1）=2x+2,所以C 选项不满足f （2x ）=2f （x ）；D.f （2x ）=-2x=2f （x ）考点：复合函数的变换8、()1-=x x f |的图象是（）．【答案】B【解析】方法一：特殊值排除法,()10f =排除A,C ；()12f -=排除D ，故答案为B.方法二：所求函数可由函数y x =的图像向右平移一个单位得到,画出图像显然选择B.考点：1.特殊值排除法；2.函数图像变换.9、下列函数中,与函数32y x =-相同的是()（A ）2y x x =-（B ）32y x =-（C ）22y x x -=（D ）2y x x =--【答案】D10、已知函数)(x f y =的图象如下图所示，则函数|)(|x f y =的图象为（）【答案】B【解析】函数|)(|x f y =的图象可以由函数)(x f y =的图象删除y 轴左侧图象，保留y 轴右侧图象并对称到y 轴左侧，故答案选B ．考点：图象的变换11、如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间变化的可能图象是（）O t hh t O h t O O t hA ．B ．C ．D.【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是圆锥，顶点朝下，底面圆的上面，随之时间的推移，注水量的增加高度在增加，所以函数是增函数，刚开始时截面面积较小，高度变化较快，随着注水量的增加，高度变化量减慢，综上可知B 正确考点：三视图及瞬时变化率12、如图，点P 在边长为的正方形ABCD 的边界上运动，设M 是CD 边的中点，当点P 沿着M C B A ,,,匀速率运动时，点P 经过的路程x 为自变量，三角形APM 的面积为y ，则函数()y f x =图像的形状大致是（）M D CP【答案】A【解析】试题分析：当点P 在AB 边上即10≤<x 时，面积x y 21=；当点P 在BC 边上运动即21<<x 时，面积x x x S S S y CMP ABP ABCM 4143)2(2121)1(12121)121(-=-⨯⨯--⨯⨯-⨯+=--=∆∆；当点P 在CM边上即5.22≤≤x 时，面积x x y 21451)5.2(21-=⨯-⨯=，因此答案选A.13、如果对任意一个三角形，只要它的三边,,a b c 都在函数()f x 的定义域内，就有(),(),()f a f b f c 也是某个三角形的三边长，则称()f x 为①是“和美型函数”.现有下列函数：①()f x =；②()sin ,(0,)g x x x π=∈；③()2x x ϕ=；④()ln ,[2,)h x x x =∈+∞.其中是“和美型函数”的函数序号为. （写出所有正确的序号）【答案】①④【解析】①不妨设0a b c a b c <≤≤+>，，+>只需证明a b c ++>成立，而此式显然成立，故①是和美型函数”；②取55,,sin sin sin 266a b c a b c πππ===⇒=+，故②不是“和美型函数”③取2,2,3222c a b a b c ===⇒=+，故③不是“和美型函数”④设2a b c ≤≤≤，此时只需证lna lnb lnc +＞，即证lnab lnc ＞，即证ab c ＞，由题知a b c +＞，而111110ab a b ab a b a b ab a b c lna lnb lnc -+=--+-=---≥⇒≥+∴+（）（）（）＞，＞成立，即()ln ,[2,)h x x x =∈+∞是“和美型函数”考点：函数的性质及其应用14、若对于定义在R 上的函数()f x ,其图象是连续不断的，且存在常数()R λλ∈使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ—伴随函数”．有下列关于 “λ—伴随函数”的结论： ①()0f x =是常数函数中唯一个“λ—伴随函数”；②()f x x =不是“λ—伴随函数”；③2()f x x =是一个“λ—伴随函数”； ④“21—伴随函数”至少有一个零点．其中不正确．．．的序号是_________（填上所有不正确．．．的结论序号）．【答案】①③【解析】①()0f x c =≠时，取1λ=-，则()()0f x f x λλ++=对任意x R ∈恒成立，()f x c =是一个“λ—伴随函数”，①错；②()f x x =时，()()0f x f x x x λλλλ++=++=不能恒成立，②正确；③2()f x x =时，222()()()(1)210f x f x x x x x λλλλλλ++=++=+++=不能恒成立，③错误；④若()f x 是“21—伴随函数”，则11()()022f x f x ++=恒成立，令14x =-，则有111()()0424f f +-=，那么1()4f 和1()4f -如果不为0，则它们的符号相反，一正一负，于是()f x 在11(,)44-上至少有一个零点，④正确．故填①③．考点：新定义．15、若函数()f x 满足：12()()3f x f x x +=，则1()()f x f x +的值域为．【答案】2x-1x【解析】函数f （x ）满足：2f(x)+f(1x )=3x ，1x 替换表达式中的x ，得到：2f(1x)+f(x)=3x，两个方程消去f（1x），可得f（x）=2x-1x．故答案为：2x-1x．16、已知(1)22f x x x-=-+，则()f x=．【答案】21(1)x x+≥-【解析】1)1(22)1(2+-=+-=-xxxxf，且11-≥-x；所以1,1)(2-≥+=xxxf．考点：函数的解析式．17、如图，已知底角为450角的等腰梯形ABCD，底边BC长为7cm，腰长为22cm，当一条垂直于底边BC（垂足为F）的直线把梯形ABCD分成两部分，令|BF|？？x)0(>x，求左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出图象。

2020—2021年新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题及答案解析.docx

高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}2．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．4．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a 是（）A．19 B．3 C．57 D．765．设a=log3π，b=logπ3，c=cos3，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c6．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣ B．ω=1，φ=﹣ C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣7．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．9．一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分，已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有（）A．7种B．13种 C．18种 D．19种10．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=211．已知函数f（x）=﹣，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．212．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A，B 满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣3，3] C．[﹣，] D．[﹣5，5]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是．14．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．15．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为．16．曲线+=1与两坐标轴所围成图形的面积是．三、解答题（本大题共70分，其中17-21题为必考题，22-24题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：AD⊥CD；（Ⅱ）若AB=AD，求直线MN与平面PBD所成角的正弦值．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总数为X万元，求X的分布列和期望．附：K2=P（K2≥k0）0.050 0.025 0.010k0 3.841 5.024 6.63520．已知抛物线E：x2=4y，m、n是过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D．（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．21．设函数f（x）=x++alnx，g（x）=x++（﹣x）lnx，其中a ∈R．（Ⅰ）证明：g（x）=g（），并求g（x）的最大值；（Ⅱ）记f（x）的最小值为h（a），证明：函数y=h（a）有两个互为相反数的零点．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C 两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．【选修4-4：极坐标与参数方程】23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．【选修4-5：不等式选讲】24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中不等式变形得：x（x﹣2）＞0，解得：x＜0或x＞2，即B={x|x＜0或x＞2}，∵A={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：∵=，又复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=2﹣i．故选：B．点评：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由通项公式和求和公式可得a1和d的方程组，解方程组可得．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a7=8，前7项和S7=42，∴a1+6d=8，7a1+d=42，解得a1=4，d=故选：D点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．4．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a 是（）A．19 B．3 C．57 D．76考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c 的值，当b=0时满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．解答：解：模拟执行程序框图，可得a=209，b=76c=57a=76，b=57，不满足条件b=0，c=19，a=57，b=19不满足条件b=0，c=0，a=19，b=0满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．故选：A．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模，本题属于基础知识的考查．5．设a=log3π，b=logπ3，c=cos3，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数与指数函数、三角函数的单调性即可得出．解答：解：∵a=log3π＞1，0＜b=logπ3＜1，c=cos3＜0，∴a＞b＞c．故选：D．点评：本题考查了对数函数与指数函数、三角函数的单调性，属于基础题．6．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣ B．ω=1，φ=﹣ C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：结合图象，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．解答：解：由函数的图象可得==﹣，∴ω=．再根据五点法作图可得•+φ=0，求得φ=﹣，故选：C．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．7．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=的几何意义为区域内的点到定点D（﹣1，0）的斜率，由图象知AD的斜率最大，BD的斜率最小，由，解得，即A（，），此时z==，由，解得，即B（），此时z==，故z=的取值范围是[，]，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及直线斜率公式是解决本题的关键．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；作图题；空间位置关系与距离．分析：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体．解答：解：该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如右图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V1=1×1=1；三棱锥的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V2=×1×1=；故该几何体的体积V=V1+V2=；故选：A．点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．9．一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分，已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有（）A．7种B．13种 C．18种 D．19种考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：由题意4=1+1+2+0=2+2+0+0=1+1+1+1，即可得出结论．解答：解：由题意4=1+1+2+0=2+2+0+0=1+1+1+1，所以球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有++1=19种，故选：D．点评：本题考查计数原理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．10．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=2考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，再通过椭圆及双曲线的基本概念即可得到答案．解答：解：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，则A（﹣1，0），B（1，0），C（1+cosθ，sinθ），所以AC==，对于椭圆而言，2c=2，2a=AC+BC=+1，所以==；对于双曲线而言，2c=2，2a=AC﹣BC=﹣1，所以==；故﹣=﹣=1，故选：A．点评：本题考查椭圆、双曲线的概念，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．11．已知函数f（x）=﹣，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．2考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：先对两个函数分析可知，函数f（x）与g（x）都是奇函数，且f（x）是反比例函数，g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g（0）=0，g（π）=﹣π；g（2π）=2π；g（3π）=﹣3π；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．解答：解：由题意知，函数f（x）=﹣在[﹣3π，3π]是奇函数且是反比例函数，g（x）=xcosx﹣sinx在[﹣3π，3π]是奇函数；g′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx；故g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g（0）=0，g（π）=﹣π；g（2π）=2π；g（3π）=﹣3π；故作函数f（x）与g（x）在[﹣3π，3π]上的图象如下，结合图象可知，有6个交点；故选：B．点评：本题考查了导数的综合应用及函数的图象的性质应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题．12．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A，B 满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣3，3] C．[﹣，] D．[﹣5，5]考点：椭圆的简单性质．专题：平面向量及应用．分析：通过确定A是MB的中点，利用圆x2+y2=1的直径是2，可得MA≤2，即点M到原点距离小于等于3，从而可得结论．解答：解：如图，连结OM交圆于点D．∵=，∴A是MB的中点，∵圆x2+y2=1的直径是2，∴MA=AB≤2，又∵MD≤MA，OD=1，∴OM≤3，即点M到原点距离小于等于3，∴t2+4≤9，∴≤t≤，故选：C．点评：本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是150°．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件即可得到，所以根据进行数量积的运算即可得到3，所以求出cos＜＞=，从而便求出与的夹角．解答：解：∵；∴=；∴；∴与的夹角为150°．故答案为：150°．点评：考查两非零向量垂直的充要条件，以及数量积的计算公式，向量夹角的范围．14．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：a n=4S n﹣3，当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：∵a n=4S n﹣3，∴当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1=1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，∴数列是等比数列，首项为，公比为﹣，∴=．令n=4，则S4=+=．故答案为：．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为20π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，求出x，可得r，即可求出该三棱锥的外接球的表面积．解答：解：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，所以x=1，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πr2=20π．故答案为：20π．点评：本题考查求三棱锥的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．16．曲线+=1与两坐标轴所围成图形的面积是．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：首先由题意，画出图象，然后利用定积分表示面积解答：解：曲线+=1，即y=（1﹣）2即图象与两坐标轴围成的图形如图阴影部分其面积为（1﹣）2dx=（1﹣2+x）dx=（+x）|=；故答案为：点评：本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积；关键是正确利用定积分表示面积，然后计算．三、解答题（本大题共70分，其中17-21题为必考题，22-24题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：（Ⅰ）由余弦定理可得2accosB=a2+c2﹣b2，代入已知等式整理得cosA=﹣，即可求得A．（Ⅱ）由已知可求∠DAC=，由正弦定理有=，又BD=3CD，可得3sinB=2sinC，由B=﹣C化简即可得解．解答：解：（Ⅰ）因为2accosB=a2+c2﹣b2，所以2（a2﹣b2）=a2+c2﹣b2+bc．…（2分）整理得a2=b2+c2+bc，所以cosA=﹣，即A=．…（4分）（Ⅱ）因为∠DAB=，所以AD=BD•sinB，∠DAC=．…（6分）在△ACD中，有=，又因为BD=3CD，所以3sinB=2sinC，…（9分）由B=﹣C得cosC﹣sinC=2sinC，…（11分）整理得tanC=．…（12分）点评：本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数关系式，三角函数恒等变换的应用，综合性较强，属于基本知识的考查．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：AD⊥CD；（Ⅱ）若AB=AD，求直线MN与平面PBD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）取PD边中点E，连接AE，EM，根据MN⊥CD容易得到CD⊥AE，而根据已知条件可以说明PO⊥平面ABCD，从而得到CD⊥PO，这样CD就垂直于平面PAD内两条相交直线，由线面垂直的判定定理从而得到AD⊥CD；（Ⅱ）取BC中点F，连接OF，由（Ⅰ）便可知道OA，OF，OP 三条直线两两垂直，从而可分别以这三条直线为x，y，z轴，可设AB=2，这样即可求得图形中一些点的坐标．从而求出向量的坐标，这时候设平面PBD的法向量为，根据即可求出的坐标，若设MN和平面PBD所成角为θ，从而根据sinθ=即可求得答案．解答：解：（Ⅰ）证明：如图，取PD中点E，连AE，EM，则EM∥AN，且EM=AN；∴四边形ANME是平行四边形，MN∥AE；∵MN⊥CD，∴AE⊥CD，即CD⊥AE；取AD中点O，连PO，△PAD是等边三角形，则PO⊥AD；又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD；∴PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，即CD⊥PO；故CD⊥平面PAD，AD⊂平面PAD；∴CD⊥AD，即AD⊥CD；（Ⅱ）由AB=AD，AD⊥CD，得▱ABCD是正方形；取BC边的中点F，连接OF，则分别以OA，OF，OP所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；设AB=2，则A（1，0，0），B（1，2，0），D（﹣1，0，0），P （0，0，），E（﹣，0，）；=（2，2，0），=（1，0，）；设平面PBD的法向量，则：；∴；∴，取z=1，∴；==（，0，﹣）；设直线MN与平面PBD所成的角为θ，则：sinθ=|cos＜，＞|==．点评：考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用向量解决直线和平面所成角的问题，能求空间点的坐标，注意线面角和直线和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总数为X万元，求X的分布列和期望．附：K2=P（K2≥k0）0.050 0.025 0.010k0 3.841 5.024 6.635考点：独立性检验的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意知根据表中所给的数据，利用公式可求K2的值，从临界值表中可以知道K2＞5.024，根据临界值表中所给的概率得到与本题所得的数据对应的概率是0.025，得到结论；（Ⅱ）按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．X 的可能取值为90，130，170，210，求出相应的概率，即可求出X的分布列和期望．解答：解：（Ⅰ）K2=≈5.657，因为5.657＞5.024，所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中小企业家数之比为1：3，按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．设9家获得奖励的企业中，中小企业分别为m家和n家，则（m，n）可能为（0，9），（1，8），（2，7），（3，6）．与之对应，X的可能取值为90，130，170，210．…（6分）P（X=90）=，P（X=130）=，P（X=170）=，P（X=210）=，…（10分）分布列表如下：X 90 130 170 210P期望EX=90×+130×+170×+210×=180．…（12分）点评：本题考查独立性检验的应用，考查X的分布列和期望，考查学生的计算能力，属于中档题．20．已知抛物线E：x2=4y，m、n是过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D．（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设直线m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x﹣a），代入抛物线方程，运用判别式等于0和大于0，解不等式即可得到k的范围；（Ⅱ）假设存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2，设B（x0，y0），C （x1，y1），D（x2，y2），代入直线方程，由条件结合二次方程的韦达定理，再由判别式为0，即可判断．解答：解：（Ⅰ）设直线m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x﹣a），分别代入x2=4y，得x2﹣4kx+4ka+4=0（1），x2+4kx﹣4ka+4=0（2），由△1=0得k2﹣ka﹣1=0，由△2＞0得k2+ka﹣1＞0，故有2k2﹣2＞0，得k2＞1，即k＜﹣1，或k＞1．（Ⅱ）假设存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2，设B（x0，y0），C（x1，y1），D（x2，y2），则（y1+1）（y2+1）=λ（y0+1）2．将y1+1=﹣k（x1﹣a），y2+1=﹣k（x2﹣a），y0+1=k（x0﹣a）代入上式，得（x1﹣a）（x2﹣a）=λ（x0﹣a）2，即x1x2﹣a（x1+x2）+a2=λ（x0﹣a）2．由（2）得x1+x2=﹣4k，x1x2=﹣4ka+4，由（1）得x0=2k，代入上式，得4+a2=λ（4k2﹣4ka+a2）．又△1=0得k2﹣ka﹣1=0，即4k2﹣4ka=4，因此4+a2=λ（4+a2），λ=1．故存在常数λ=1，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线和抛物线方程联立，运用判别式和韦达定理，考查运算化简的能力，属于中档题．21．设函数f（x）=x++alnx，g（x）=x++（﹣x）lnx，其中a ∈R．（Ⅰ）证明：g（x）=g（），并求g（x）的最大值；（Ⅱ）记f（x）的最小值为h（a），证明：函数y=h（a）有两个互为相反数的零点．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用已知函数g（x）的解析式，分别计算g（），g（x），可得两者相等；再利用g′（x）求得最大值；（Ⅱ）利用f′（x）可得f（x）的最小值h（a）=t++（﹣t）lnt=g（t），由（Ⅰ）可知g（）＜0，g（1）＞0，利用函数零点的判定定理即得结论．解答：解：（Ⅰ）∵g（）=+x+（x﹣）ln=x++（﹣x）lnx，∴g（x）=g（），则g′（x）=﹣（1+）lnx，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．所以g（x）的最大值为g（1）==2．（Ⅱ）∵f（x）=x++alnx，∴f′（x）=1﹣+=．令f′（x）=0，即x2+ax﹣1=0，则△=a2+4＞0，不妨取t=＞0，由此得：t2+at﹣1=0或写为：a=﹣t．当x∈（0，t）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（t，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．从而f（x）的最小值为f（t）=t++alnt=t++（﹣t）lnt，即h（a）=t++（﹣t）lnt=g（t）（或h（a）=+aln）．由（Ⅰ）可知g（）=g（e2）=﹣e2＜0，g（1）=2＞0，分别存在唯一的c∈（0，1）和d∈（1，+∞），使得g（c）=g （d）=0，且cd=1，因为a=﹣t（t＞0）是t的减函数，所以y=h（a）有两个零点a1=﹣d和a2=﹣c，又﹣d+﹣c=﹣（c+d）=0，所以y=h（a）有两个零点且互为相反数．点评：本题考查利用导数判断函数的单调性及零点判定定理，考查转化与化归思想、运算求解能力、数据处理能力和推理论证能力．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C 两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．考点：与圆有关的比例线段；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）利用切割线定理，可得PB=PC，且PO平分∠BPC，可得PO⊥BC，又AC⊥BC，可得AC∥OP；（Ⅱ）由切割线定理得DC2=DA•DB，即可求出AB．解答：（Ⅰ）证明：因PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，所以PB=PC，且PO平分∠BPC，所以PO⊥BC，又AC⊥BC，即AC∥OP．…（4分）（Ⅱ）解：由PB=PC得PD=PB+CD=5，在Rt△PBD中，可得BD=4．则由切割线定理得DC2=DA•DB，得DA=1，因此AB=3．…（10分）点评：本题考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用切割线定理是关键．【选修4-4：极坐标与参数方程】23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（I）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出a；（II）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cos θ+2cos（θ+）=2cos（θ+），利用三角函数的单调性即可得出．解答：解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacosθ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1．（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．点评：本题考查了把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程、直线与圆相切的性质、极坐标方程的应用、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．考点：绝对值不等式的解法；基本不等式．专题：计算题；分类讨论；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）运用零点分区间，讨论x的范围，去绝对值，由一次函数的单调性可得最大值；（Ⅱ）由a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2），运用重要不等式，可得最大值．解答：解：（Ⅰ）当x≤﹣1时，f（x）=3+x≤2；当﹣1＜x＜1时，f（x）=﹣1﹣3x＜2；当x≥1时，f（x）=﹣x﹣3≤﹣4．故当x=﹣1时，f（x）取得最大值m=2．（Ⅱ）a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2）≥2ab+2bc=2（ab+bc），当且仅当a=b=c=时，等号成立．此时，ab+bc取得最大值=1．点评：本题考查绝对值不等式的解法和运用，主要考查分类讨论的思想方法和重要不等式的解法，属于中档题．。

2020—2021年新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题二及答案解析.docx

东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷（理科）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|﹣1＜x＜3}，集合B={x|}，则A∩B=（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，3）D．（﹣1，3）2．的虚部为（）A．2 B．﹣2 C．﹣2i D．2i3．已知向量=（2，﹣1），=（0，1），则|+2|=（）A．2B． C．2 D．44．下列函数中与f（x）=2x+2﹣x具有相同的奇偶性的是（）A．y=sinx B．y=x2+x+1 C．y=|x| D．y=|lgx|5．甲、乙两人要在一排8个空座上就坐．若要求甲、乙两人每人的两旁都空座．则有多少种坐法（）A．10 B．16 C．20 D．246．执行如图的程序框图，则输出的S=（）A．21 B．34 C．55 D．897．已知，则cos2α=（）A．1 B．﹣1 C．D．08．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是棱CD上一点，则三棱锥P﹣A1B1A的左视图可能为（）A．B．C．D．9．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向右平移个单位后的图象关于y轴对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为（）A．0 B．﹣1 C．﹣D．﹣10．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B． C． D．211．已知底面为正方形的四棱锥P﹣ABCD内接于半径为1的球，顶点P在底面ABCD上的射影是ABCD的中心，当四棱锥P﹣ABCD的体积最大时，四棱锥的高为（）A．B．1 C．D．12．已知f（x）=，g（x）=﹣x2﹣x+2（﹣4≤x≤4）给出下列四个命题：①函数y=f[g（x）]有且只有三个零点；②函数y=g[f（x）]有且只有三个零点；③函数y=f[f（x）]有且只有六个零点；④函数y=g[g（x）]有且只有一个零点．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上）13．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为______．14．F1，F2分别为椭圆=1的左、右焦点，A为椭圆上一点，且=（+），=（+），则||+||______．15．在一幢10m高的房屋顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔基的俯角为30°，假定房屋与塔建在同一水平地面上，则塔的高度为______m．16．设G是一个非空集合，*是定义在G上的一个运算．如果同时满足下述四个条件：（ⅰ）对于∀a，b∈G，都有a*b∈G；（ⅱ）对于∀a，b，c∈G，都有（a*b）*c=a*（b*c）；（iii）对于∀a∈G，∃e∈G，使得a*e=e*a=a；（iv）对于∀a∈G，∃a'∈G，使得a*a′=a′*a=e（注：“e”同（iii）中的“e”）．则称G关于运算*构成一个群．现给出下列集合和运算：①G是整数集合，*为加法；②G是奇数集合，*为乘法；③G是平面向量集合，*为数量积运算；④G是非零复数集合，*为乘法．其中G关于运算*构成群的序号是______（将你认为正确的序号都写上）．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知数列{a n}满足，且数列{a n}的每一项加上1后成为等比数列．（Ⅰ）求{a n}；（Ⅱ）令b n=|log2（a n+1）|，求数列{b n}的前n项和T n．18．某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生30人，测试跳远的成绩用茎叶图表示如下（单位：cm）：男生成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下（不包括175cm）定义为“不合格”．女生成绩在165cm以上（包括165cm）定义为“合格”，成绩在165cm以下（不包括165cm）定义为“不合格”．（Ⅰ）求男生跳远成绩的中位数；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从男、女生中共抽取5人，求抽取的5人中女生人数；（Ⅲ）若从男、女生测试成绩“合格”的学生中选取2名参加复试，用X表示其中男生的人数，写出X的分布列，并求X的数学期望．19．如图（1），在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AB 和CD的中点，且AB=EF=2，CD=4，M为CE中点，现将梯形ABCD沿EF所在直线折起，使平面EFCB⊥平面EFDA，如图（2）所示，N是CD的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面ADFE；（Ⅱ）求二面角M﹣NA﹣F的余弦值．20．曲线上任意一点为A，点B（2，0）为线段AC 的中点．（Ⅰ）求动点C的轨迹f（x）的方程；（Ⅱ）过轨迹E的焦点F作直线交轨迹E于M、N两点，在圆x2+y2=1上是否存在一点P，使得PM、PN分别为轨迹E的切线？若存在，求出轨迹E与直线PM、PN所围成的图形的面积；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=e1﹣x cosx，a∈R．（Ⅰ）判断函数f（x）在上的单调性；（Ⅱ）证明：∀x∈[﹣1，]，总有f（﹣x﹣1）+2f′（x）•cos（x+1）＞0．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且BC=CD，其对角线AC与BD相交于点M．过点B作⊙O的切线交DC的延长线于点P．（1）求证：AB•MD=AD•BM；（2）若CP•MD=CB•BM，求证：AB=BC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，且曲线C的左焦点F在直线l上．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|FA|•|FB|的值；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t 恒成立，试求m+n的最小值．2018年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|﹣1＜x＜3}，集合B={x|}，则A∩B=（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，3）D．（﹣1，3）【考点】交集及其运算．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出两集合，求出A 与B的交集即可．【解答】解：集合A={x|﹣1＜x＜3}=（﹣1，3），集合B={x|}=（﹣1，2），则A∩B=（﹣1，2），故选：B．2．的虚部为（）A．2 B．﹣2 C．﹣2i D．2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】复数的分子与分母同乘分母的共轭复数，化简复数为a+bi的形式，即可得到复数的虚部．【解答】解：==1+2i，故虚部是2，故选：A．3．已知向量=（2，﹣1），=（0，1），则|+2|=（）A．2B． C．2 D．4【考点】向量的模．【分析】直接利用向量的坐标运算以及向量的模求解即可．【解答】解：向量=（2，﹣1），=（0，1），则|+2|=|（2，1）|=．故选：B．4．下列函数中与f（x）=2x+2﹣x具有相同的奇偶性的是（）A．y=sinx B．y=x2+x+1 C．y=|x| D．y=|lgx|【考点】函数奇偶性的判断．【分析】利用定义判断f（x）和选项中函数的奇偶性，得出结论．【解答】解：f（x）的定义域为R，f（﹣x）=2﹣x+2x=f（x），∴f（x）是偶函数．对于A，y=sinx是奇函数，对于B，y=x2+x+1的对称轴为x=﹣，∴y=x2+x+1非奇非偶函数，对于C，|﹣x|=|x|，∴y=|x|是偶函数，对于D，y=|lgx|的定义域为（0，+∞），故y=|lgx|为非奇非偶函数．故选：C．5．甲、乙两人要在一排8个空座上就坐．若要求甲、乙两人每人的两旁都空座．则有多少种坐法（）A．10 B．16 C．20 D．24【考点】计数原理的应用．【分析】有9个座位，现有3个人入座，则有6个空位，因而可以采用插空法求解【解答】解：有8个座位，现有2个人入座，则有6个空位，因而可以采用插空法求解，∵要求入座的每人左右均有空位，∴6个座位之间形成5个空，安排2个人入座即可∴不同的坐法种数为A52=20，故选：C．6．执行如图的程序框图，则输出的S=（）A．21 B．34 C．55 D．89【考点】程序框图．【分析】经过观察为当型循环结构，按照循环结构进行执行，当不满足执行条件时跳出循环，输出结果即可．【解答】解：模拟执行程序，可得S=1，Q=1，i=3满足条件i≤10，F=2，Q=1，S=2，i=4满足条件i≤10，F=3，Q=2，S=3，i=5满足条件i≤10，F=5，Q=3，S=5，i=6满足条件i≤10，F=8，Q=5，S=8，i=7满足条件i≤10，F=13，Q=8，S=13，i=8满足条件i≤10，F=21，Q=13，S=21，i=9满足条件i≤10，F=34，Q=21，S=34，i=10满足条件i≤10，F=55，Q=34，S=55，i=11不满足条件i≤10，退出循环，输出S的值为55．故选：C．7．已知，则cos2α=（）A．1 B．﹣1 C．D．0【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由所给等式得到|sinα|=|cosα|=，由二倍角公式得到结果．【解答】解：∵，∴cosα﹣sinα=cosα﹣sinα，∴cosα=﹣sinα，∴|sinα|=|cosα|=，则cos2α=2cos2α﹣1=0，故选：D8．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是棱CD上一点，则三棱锥P﹣A1B1A的左视图可能为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】直接利用三视图的定义，判断选项即可．【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥P﹣A1B1A的左视图中，B1、A1、A的射影分别是C1、D1、D．故选D．9．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向右平移个单位后的图象关于y轴对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为（）A．0 B．﹣1 C．﹣D．﹣【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数图象变换以及诱导公式和偶函数可得φ值，可得函数解析式，由三角函数区间的最值可得．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向右平移个单位后得到y=sin[2（x﹣）+φ）]=sin（2x+φ﹣）的图象，∵图象关于y轴对称，∴由诱导公式和偶函数可得φ﹣=kπ+，解得φ=kπ+，k∈Z，由|φ|＜可得当k=﹣1时φ=﹣，故f（x）=sin（2x﹣），由x∈[0，]可得2x﹣∈[﹣，]，∴当2x﹣=﹣即x=0时，函数f（x）在[0，]上取最小值sin （﹣）=﹣，故选：D．10．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B． C． D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F（c，0），渐近线方程为y=x，运用点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为b，即为圆F的半径，再由MF垂直于x轴，可得a=b，运用a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．11．已知底面为正方形的四棱锥P﹣ABCD内接于半径为1的球，顶点P在底面ABCD上的射影是ABCD的中心，当四棱锥P﹣ABCD的体积最大时，四棱锥的高为（）A．B．1 C．D．【考点】棱锥的结构特征．【分析】设正方形的边长为2a，四棱锥的高为h，则由射影定理可得2a2=h（2﹣h），四棱锥P﹣ABCD的体积V=×4a2h=h2（2﹣h），变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：设正方形的边长为2a，四棱锥的高为h，则由射影定理可得2a2=h（2﹣h），四棱锥P﹣ABCD的体积V=×4a2h=h2（2﹣h）=≤=，当且仅当h=4﹣2h，即h=时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大，故选：．12．已知f（x）=，g（x）=﹣x2﹣x+2（﹣4≤x≤4）给出下列四个命题：①函数y=f[g（x）]有且只有三个零点；②函数y=g[f（x）]有且只有三个零点；③函数y=f[f（x）]有且只有六个零点；④函数y=g[g（x）]有且只有一个零点．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数零点的判定定理．【分析】分别求出f（x），g（x）的单调性与值域，利用函数的单调性得出复合函数的单调性，即可得出零点个数．【解答】解：f（x）在[﹣4，﹣1]上是增函数，在（﹣1，1]上是减函数，在[1，4]是增函数，且f（﹣4）=﹣4，f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，f（4）=4．∴f（x）在区间（﹣4，﹣1），（﹣1，1），（1，4）上各有1个零点，且f（x）的值域为[﹣4，4]．设f（x）的三个零点分别为x1，x2，x3，∵f（﹣3）=log22﹣＜0，f（﹣2）=log23﹣＞0，∴﹣3＜x1＜﹣2，令2|x﹣1|﹣2=0得x2=0，x3=1．作出f（x）的大致函数图象如图所示：做出y=g（x）的函数图象如图所示：显然g（x）在[﹣4，4]上为减函数，且g（x）的值域为[﹣4，4]．令g（x）=0得x=4﹣4，故g（x）的零点为4﹣4．（1）设f[f（x）]=0，则f（x）=x1，或f（x）=0，或f（x）=2．∵﹣3＜x1＜﹣2，由y=f（x）的函数图象可知f（x）=x1只有一解，f（x）=0有三解，f（x）=2有两解，∴f[f（x）]有六个零点，故③正确．（2）设f[g（x）]=0则g（x）=x1或g（x）=0或g（x）=2，显然以上方程各有一解，∴f[g（x）]由三个零点，故①正确．（3）设g[f（x）]=0，则f（x）=4﹣4，∵0，由f（x）的函数图象可知f（x）=4﹣4有三个解，∴g[f（x）]有三个零点，故②正确．（4）设g[g（x）]=0，则g（x）=4﹣4，由g（x）的函数图象可知g（x）=4有一解，∴g[g（x）]有一个零点，故④正确．故选：D．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上）13．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为 4 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得C（2，0）将C（2，0）的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×2+0=4．即z=2x+y的最大值为4．故答案为：4．14．F1，F2分别为椭圆=1的左、右焦点，A为椭圆上一点，且=（+），=（+），则||+|| 6 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】求得椭圆的a=6，运用椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a=12，由向量的中点表示形式，可得B为AF1的中点，C为AF2的中点，运用中位线定理和椭圆定义，即可得到所求值．【解答】解：椭圆=1的a=6，由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a=12，=（+），可得B为AF1的中点，=（+），可得C为AF2的中点，由中位线定理可得|OB|=|AF2|，|OC|=|AF1|，即有||+||=（|AF1|+|AF2|）=a=6，故答案为：6．15．在一幢10m高的房屋顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔基的俯角为30°，假定房屋与塔建在同一水平地面上，则塔的高度为40 m．【考点】解三角形的实际应用．【分析】作出图示，利用30°角的性质和勾股定理依次求出BC，CE，AC，AE，则AB=AE+BE．【解答】解：如图所示，过房屋顶C作塔AB的垂线CE，垂足为E，则CD=10，∠ACE=60°，∠BCE=30°，∴BE=CD=10，BC=2CD=20，EC=BD=．∵∠ACE=60°，∠AEC=90°，∴AC=2CE=20，∴AE==30．∴AB=AE+BE=30+10=40．故答案为：40．16．设G是一个非空集合，*是定义在G上的一个运算．如果同时满足下述四个条件：（ⅰ）对于∀a，b∈G，都有a*b∈G；（ⅱ）对于∀a，b，c∈G，都有（a*b）*c=a*（b*c）；（iii）对于∀a∈G，∃e∈G，使得a*e=e*a=a；（iv）对于∀a∈G，∃a'∈G，使得a*a′=a′*a=e（注：“e”同（iii）中的“e”）．则称G关于运算*构成一个群．现给出下列集合和运算：①G是整数集合，*为加法；②G是奇数集合，*为乘法；③G是平面向量集合，*为数量积运算；④G是非零复数集合，*为乘法．其中G关于运算*构成群的序号是①④（将你认为正确的序号都写上）．【考点】进行简单的合情推理．【分析】逐一检验给出的集合与运算是否满足运算*构成群的定义中的两个条件，把满足运算*构成群的定义的找出来．【解答】解：①若G是整数集合，则（i）两个整数相加仍为整数；（ⅱ）整数加法满足结合律；（iii）∃0∈G，∀a∈G，则）0+a=a+0=a；（iv）∀a∈G，在整数集合中存在唯一一个b=﹣a，使a+（﹣a）=（﹣a）+a=0；故整数集合关于运算*构成一个群；②G是奇数集合，*为乘法，则e=1，不满足（iv）；③G是平面向量集合，*为数量积运算，则不满足（i）a*b∈G；④G是非零复数集合，*为乘法，则（i）两个非零复数相乘仍为非零复数；（ⅱ）非零复数相乘符合结合律；（iii）∃1∈G，∀a ∈G，则）1×a=a×1=a；（iv）∀a∈G，在G中存在唯一一个，使．故答案为：①④．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知数列{a n}满足，且数列{a n}的每一项加上1后成为等比数列．（Ⅰ）求{a n}；（Ⅱ）令b n=|log2（a n+1）|，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）利用数列{a n+1}是等比数列可知a1+1=512、，进而可知数列{a n+1}是以512为首项、为公比的等比数列，计算即得结论；（II）通过（I）可知b n=|11﹣2n|，分n≤5和n≥6两种情况讨论即可．【解答】解：（I）由题意，数列{a n+1}是等比数列，设公比为q，则a1+1=512，，∴，即数列{a n+1}是以512为首项、为公比的等比数列，所以，；（II）由（I）可知b n=|11﹣2n|，当，当，故．18．某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生30人，测试跳远的成绩用茎叶图表示如下（单位：cm）：男生成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下（不包括175cm）定义为“不合格”．女生成绩在165cm以上（包括165cm）定义为“合格”，成绩在165cm以下（不包括165cm）定义为“不合格”．（Ⅰ）求男生跳远成绩的中位数；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从男、女生中共抽取5人，求抽取的5人中女生人数；（Ⅲ）若从男、女生测试成绩“合格”的学生中选取2名参加复试，用X表示其中男生的人数，写出X的分布列，并求X的数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）利用茎叶图能求出男生跳远成绩的中位数．（Ⅱ）用分层抽样的方法，求出每个运动员被抽中的概率，根据茎叶图，女生有18人，由此能求出抽取的女生的人数．（Ⅲ）依题意，男生、女生测试成绩合格的分别有8人、10人，X的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（I）利用茎叶图，得男生跳远成绩的中位数（cm）．…（Ⅱ）用分层抽样的方法，每个运动员被抽中的概率是，…根据茎叶图，女生有18人，∴抽取的女生有（人）；…（Ⅲ）依题意，男生、女生测试成绩合格的分别有8人、10人…X的取值为0，1，2，则，，，…X的分布列如下：X 0 1 2P…∴EX==．…19．如图（1），在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AB 和CD的中点，且AB=EF=2，CD=4，M为CE中点，现将梯形ABCD沿EF所在直线折起，使平面EFCB⊥平面EFDA，如图（2）所示，N是CD的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面ADFE；（Ⅱ）求二面角M﹣NA﹣F的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连接ED，MN∥ED，根据线面平行的判定定理即可证明：MN∥平面ADFE；（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角M﹣NA﹣F的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连接ED，MN∥ED，又MN⊄平面EFDA，ED⊂平面EFDA所以MN∥平面EFDA（Ⅱ）由题意平面EFDA⊥平面EFCB，平面EFDA∩平面EFCB=EF，CF⊥EF，CF⊂平面EFCB所以CF⊥平面EFDA，以F为坐标原点，FE方向为x轴，FD方向为y轴，FC方向为Z 轴，建立空间直角坐标系．由题意F（0，0，0），E（2，0，0），C（0，0，2），D（0，2，0），M（1，0，1），N（0，1，1），A（2，1，0），设平面AMN的法向量为=（x，y，z），则=（﹣1，﹣1，1），=（﹣2，0，1），则•=﹣x﹣y+z=0，•=﹣2x+z=0，令x=1，则z=2，y=1，即平面AMN的法向量为，=（1，1，2），同理得平面AFN的法向量为=（1，﹣2，2），设所求的二面角为θ则|cosθ|=||=，又所求二面角为锐角，）所以求二面角的余弦值为．20．曲线上任意一点为A，点B（2，0）为线段AC 的中点．（Ⅰ）求动点C的轨迹f（x）的方程；（Ⅱ）过轨迹E的焦点F作直线交轨迹E于M、N两点，在圆x2+y2=1上是否存在一点P，使得PM、PN分别为轨迹E的切线？若存在，求出轨迹E与直线PM、PN所围成的图形的面积；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）设出C，A的坐标，利用中点坐标公式把A的坐标用C的坐标表示，然后代入曲线方程求得动点C的轨迹方程；（Ⅱ）假设存在点P（x0，y0），使得PM、PN分别为轨迹E的切线，设出M，N的坐标及直线MN的方程，联立直线方程与抛物线方程，得到M，N的横坐标的和与积，然后分别写出过M，N 的切线方程，知x1，x2是方程的两根，进一步求得P的坐标，则可求得轨迹E与直线PM、PN所围成的图形的面积．【解答】解：（Ⅰ）设C（x，y），A（m，n），则，∴，又，∴所求方程为x2=4y；（Ⅱ）假设存在点P（x0，y0），使得PM、PN分别为轨迹E的切线，设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为y=kx+1，联立，得x2﹣4kx﹣4=0，则，切线PM的方程为，点P（x0，y0）代入化简得．同理得，知x1，x2是方程的两根，则x1x2=4y0=﹣4．∴y0=﹣1，代入圆方程得x0=0，∴存在点P（0，﹣1）．此时轨迹E与直线PM、PN所围成的图形的面积：S==1．21．已知函数f（x）=e1﹣x cosx，a∈R．（Ⅰ）判断函数f（x）在上的单调性；（Ⅱ）证明：∀x∈[﹣1，]，总有f（﹣x﹣1）+2f′（x）•cos（x+1）＞0．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，根据x的范围，判断出f′（x）的符号，从而求出函数的单调性；（Ⅱ）问题转化为证明，在上恒成立，构造函数，，求出g（x）的导数，判断出函数的单调性，从而证出结论．【解答】解：（I）由题f'（x）=﹣e1﹣x（cosx）﹣e1﹣x sinx=﹣e1﹣x （sinx+cosx）…因为所以f'（x）＜0…所以函数f（x）在上单调递减…（II）f（﹣x﹣1）=e x+2•cos（﹣x﹣1）=e x+2•cos（x+1）．而2f'（x）•cos（x+1）=﹣2e1﹣x（sinx+cosx）•cos（x+1），…又因为，所以cos（x+1）＞0．…要证原不等式成立，只要证e x+2﹣2e1﹣x（sinx+cosx）＞0，只要证e x+2＞2e1﹣x（sinx+cosx），只要证，在上恒成立．…首先构造函数，，因为=，可得，在x∈[﹣1，0]时，g'（x）≤0，即g（x）在[﹣1，0]上是减函数，在时，g'（x）＞0，即g（x）在上是增函数，…所以，在上，g（x）min=g（0）=0，所以g（x）≥0．所以，，等号成立当且仅当x=0时．…其次构造函数h（x）=e2x+1﹣（2x+2），，因为h'（x）=2e2x+1﹣2=2（e2x+1﹣1），可见时，h'（x）≤0，即h（x）在上是减函数，时，h'（x）＞0，即h（x）在上是增函数，所以在上，，所以h（x）≥0，所以，e2x+1≥2x+2，等号成立当且仅当时．…综上所述，，因为取等条件并不一致，所以，在上恒成立，所以，总有f（﹣x﹣1）+2f'（x）•cos（x+1）＞0成立．…请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且BC=CD，其对角线AC与BD相交于点M．过点B作⊙O的切线交DC的延长线于点P．（1）求证：AB•MD=AD•BM；（2）若CP•MD=CB•BM，求证：AB=BC．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】（1）利用等腰三角形的性质、角分线定理，即可证明结论；（2）证明∠PBC=∠BCA，利用∠PBC=∠BAC，证明∠BAC=∠BCA，即可得出结论．【解答】证明：（1）由BC=CD可知，∠BAC=∠DAC，由角分线定理可知，=，即AB•MD=AD•BM得证．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由CP•MD=CB•BM，可知=，又因为BC=CD，所以=所以PB∥AC．所以∠PBC=∠BCA又因为∠PBC=∠BAC所以∠BAC=∠BCA所以AB=BC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，且曲线C的左焦点F在直线l上．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|FA|•|FB|的值；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）求出曲线C的普通方程和焦点坐标，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程利用根与系数的关系和参数的几何意义得出；（II）设矩形的顶点坐标为（x，y），则根据x，y的关系消元得出P关于x（或y）的函数，求出此函数的最大值．【解答】解：（I）曲线C的直角坐标方程为x2+3y2=12，即．∴曲线C的左焦点F的坐标为F（﹣2，0）．∵F（﹣2，0）在直线l上，∴直线l的参数方程为（t为参数）．将直线l的参数方程代入x2+3y2=12得：t2﹣2t﹣2=0，∴|FA|•|FB|=|t1t2|=2．（II）设曲线C的内接矩形的第一象限内的顶点为M（x，y）（0，0＜y＜2），则x2+3y2=12，∴x=．∴P=4x+4y=4+4y．令f（y）=4+4y，则f′（y）=．令f′（y）=0得y=1，当0＜y＜1时，f′（y）＞0，当1＜y＜2时，f′（y）＜0．∴当y=1时，f（y）取得最大值16．∴P的最大值为16．[选修4-5：不等式选讲]24．已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t 恒成立，试求m+n的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）根据绝对值的几何意义求出t的范围即可；（Ⅱ）根据级别不等式的性质结合对数函数的性质求出m+n的最小值即可．【解答】解：（I）令f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣2|≥|x﹣1﹣x+2|=1≥t，∴T=（﹣∞，1]；（Ⅱ）由（I）知，对于∀t∈T，不等式•≥t恒成立，只需•≥t max，所以•≥1，又因为m＞1，n＞1，所以＞0，＞0，又1≤•≤=（=时取“=”），所以≥4，所以≥2，mn≥9，所以m+n≥2≥6，即m+n的最小值为6（此时m=n=3）．2016年9月22日。

2020—2021年最新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题及答案解析三.docx

高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x|x2+x﹣6≤0}，集合B为函数的定义域，则A∩B=( )A．（1，2）B．[1，2] C．[1，2）D．（1，2]2．已知复数z1=a+2i，z2=1﹣2i，若是纯虚数，则实数a的值为( )A．﹣2 B．1 C．2 D．43．执行如图所示的程序框图，若输出值x∈（16，25），则输入x值可以是( )A．0 B．2 C．4 D．64．在区域内任取一点P，则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为( )A．B．C．D．5．市教科所派4名教研员到3个县调研该县的2015届高三复习备课情况，要求每个县至少派1名教研员，则不同的分配方案种数为( )A．81 B．72 C．64 D．366．已知平面向量，的夹角为，且||=，||=2，在△ABC 中，=2+2，=2﹣6，D为BC中点，则||=( ) A．2 B．4 C．6 D．87．已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为( )A．y=±2x B．C．D．8．给出互不重合的直线m、n、l和互不重合的平面α、β，下列四个命题：①若m⊂α，l∩α=A，A∉m，则l与m不共面；②若l、m是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③若l⊂α，m⊂α，l∩m=A，l∥β，m∥β，则α∥β；④若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m．其中真命题有( )A．1个B．2个C．3个D．4个9．某几何体的三视图（单位：cm）如图，则这个几何体的体积为( )cm3．A．B．C．D．10．给出下列四个命题：①命题“∀x∈R，x2≤0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”②线性相关系数r的绝对值越接近于1，两个随机变量线性相关性越强；③“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的充分不必要条件；④若随机变量ξ～N（2，1），且P（ξ＞3）=0.1587，则P（ξ＞1）=0.8413；⑤命题p：f（x）=xsinx为奇函数，命题q：f（x）=cosx+1为偶函数，p∨q为假命题．其中真命题的是( )A．①②B．③④C．③⑤D．②④11．如图过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=4，则抛物线的方程为( )A．y2=8x B．y2=4x C．y2=2x D．y2=x12．已知f（x）=，不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在[a，a+1]上恒成立，则实数a的取值范围是( )A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，0）C．（0，2）D．（﹣2，0）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若二项式的展开式的常数项为﹣160，则=__________．14．已知不等式＜0的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为__________．15．设函数f（x）=（x＞0），观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，…．根据以上事实，由此归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，f n（x）=f（f n﹣1（x））=__________．16．设A为非空实数集，若∀x，y∈A都有x+y，x﹣y，xy∈A，则称A为封闭集．①集合A={﹣2，﹣1，0，1，1}为封闭集；②集合A={n|n=2k，k ∈Z}为封闭集；③若集合A1，A2为封闭集，则A1∪A2为封闭集；④若A为封闭集，则一定有0∈A．其中正确结论的序号是__________．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx）（x∈R），设函数f（x）=﹣1．（1）求函数f（x）；（2）已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若f（A）=2，B=，边AB=3，求边BC的长．18．雾霾天气严重影响我们的生活，加强环境保护是今年两会关注的热点，我国的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在0﹣50为优秀，各类人群可正常活动．某市环保局对全市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为（5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图．（1）求a的值；（2）根据样本数据，试估计这一年的空气质量指数的平均值；（3）如果空气质量指数不超过15，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取3天的数值，其中达到“特优等级”的天数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA ⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，且PA=AB=AC=2，．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角M﹣AB﹣C的大小；（Ⅲ）如果N是棱AB上一点，且直线CN与平面MAB所成角的正弦值为，求的值．20．平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）过右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．（1）求椭圆M的方程；（2）若C，D为椭圆M上的两点，且CD⊥AB，求|CD|的最大值．21．已知定义在（1，+∞）上的函数f（x）=x﹣lnx﹣2，g（x）=xlnx+x．（1）求证：f（x）存在唯一的零点，且零点属于（3，4）；（2）若k∈Z，且g（x）＞k（x﹣1）对任意的x＞1恒成立，求k的最大值．请从下面所给的22，23，24三题中选定一题作答.并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.选修4-1：几何证明选讲22．（文科）如图，已知PA与圆O相切于点A，半径OB⊥OP，AB交PO于点C．（Ⅰ）求证：PA=PC；（Ⅱ）若圆O的半径为3，OP=5，求BC的长度．选讲4-4；坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为（，），直线l 的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线l上，（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线l与圆C的位置关系．选修4-5：不等式选讲24．已知不等式|x﹣2|＞1的解集与关于x的不等式x2﹣ax+b＞0的解集相等．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求函数的最大值，以及取得最大值时x的值．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x|x2+x﹣6≤0}，集合B为函数的定义域，则A∩B=( )A．（1，2）B．[1，2] C．[1，2）D．（1，2]考点：并集及其运算．专题：集合．分析：根据函数成立的条件，求出函数的定义域B，根据不等式的性质求出集合A，然后根据并集的定义即可得到结论．解答：解：A={x|x2+x﹣6≤0}={x|﹣3≤x≤2}=[﹣3，2]，要使函数y=有意义，则x﹣1＞0，即x＞1，∴函数的定义域B=（1，+∞），则A∩B=（1，2]，故选：D．点评：本题主要考查集合的基本运算，利用函数成立的条件求出函数的定义域y以及利用不等式的解法求出集合A是解决本题的关键，比较基础2．已知复数z1=a+2i，z2=1﹣2i，若是纯虚数，则实数a的值为( )A．﹣2 B．1 C．2 D．4考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．解答：解：∵===是纯虚数，则，解得a=4．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题．3．执行如图所示的程序框图，若输出值x∈（16，25），则输入x值可以是( )A．0 B．2 C．4 D．6考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，n的值，当n=4时，不满足条件n≤3，退出循环，输出x的值，由x=2[2（2x+1）+1]+1=8x+7∈（16，25），结合各个选项即可得解．解答：解：模拟执行程序框图，可得n=1满足条件n≤3，x=2x+1，n=2满足条件n≤3，x=2（2x+1）+1，n=3满足条件n≤3，x=2[2（2x+1）+1]+1，n=4不满足条件n≤3，退出循环，输出x的值∵由题意可得：x=2[2（2x+1）+1]+1=8x+7∈（16，25），∴可解得：，故选：B．点评：本题主要考查了程序框图和算法，模拟执行程序框图，得到退出循环时x=2[2（2x+1）+1]+1=8x+7是解题的关键，属于基础题．4．在区域内任取一点P，则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为( )A．B．C．D．考点：几何概型；二元一次不等式（组）与平面区域．专题：概率与统计．分析：作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：则B（﹣，0），C（，0），A（0，），则△ABC的面积S=，点P落在单位圆x2+y2=1内的面积S=，则由几何概型的概率公式得则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为=，故选：C．点评：本题主要考查几何概型的概率的计算，利用数形结合求出对应的区域面积是解决本题的关键．5．市教科所派4名教研员到3个县调研该县的2015届高三复习备课情况，要求每个县至少派1名教研员，则不同的分配方案种数为( )A．81 B．72 C．64 D．36考点：排列、组合的实际应用；排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；概率与统计．分析：根据题意，分2步进行分析：①、将4名教研员分成3组，其中一组有2人，②、将分好的三个组，对应要分到的3个县，对3个教研员进行全排列即可，进而由分步计数原理计算可得答案．解答：解：根据题意，分2步进行分析：①、将4名教研员分成3组，其中一组有2人，有C42=6种分组方法，②、将分好的三个组，对应要分到的3个县，有A33=6种对应的方法，则一共有6×6=36种不同的分配方案；故选：D．点评：本题考查分步计数原理的运用，注意题干中“每个县至少派1名教研员”的条件限制．6．已知平面向量，的夹角为，且||=，||=2，在△ABC 中，=2+2，=2﹣6，D为BC中点，则||=( ) A．2 B．4 C．6 D．8考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知中平面向量，的夹角为，且||=，||=2，=3，再由D为边BC的中点，==2，利用平方法可求出2=4，进而得到答案．解答：解：∵平面向量，的夹角为，且||=，||=2，∴=||||cos=3，∵由D为边BC的中点，∴==2，∴2=（2）2=4，∴=2；故选：A．点评：本题考查了平面向量数量积，向量的模，一般地求向量的模如果没有坐标，可以通过向量的平方求模．7．已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为( )A．y=±2x B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由离心率的值，可设，则得，可得的值，进而得到渐近线方程．解答：解：∵，故可设，则得，∴渐近线方程为，故选C．点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出的值是解题的关键．8．给出互不重合的直线m、n、l和互不重合的平面α、β，下列四个命题：①若m⊂α，l∩α=A，A∉m，则l与m不共面；②若l、m是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③若l⊂α，m⊂α，l∩m=A，l∥β，m∥β，则α∥β；④若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m．其中真命题有( )A．1个B．2个C．3个D．4个考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：证明题．分析：由异面直线判定定理，可以判断①的真假；根据线面平行的性质及线面垂直判定定理，可以判断②的真假；根据面面平行的判定定理，可以判断③的真假，根据线面平行的几何特征及面面平行的几何特征，可以判断④的真假，进而得到答案．解答：解：∵①中若m⊂α，l∩α=A，A∉m，由异面直线判定定理可得l与m异面，故①为真命题；②中若l、m是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α，故②为真命题；③中若l⊂α，m⊂α，l∩m=A，l∥β，m∥β，则α∥β，故③为真命题；④中若l∥α，m∥β，α∥β，则l与m可能平行，也可能相交，也可能异面，故④为假命题．故真命题的个数有3个，故选C点评：本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟练掌握空间中直线与直线，直线与平面及平面与平面之间各种位置关系的定义，判定，性质及几何特征，是解答本题的关键．9．某几何体的三视图（单位：cm）如图，则这个几何体的体积为( )cm3．A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：首先把三视图转化成几何体，得知该几何体是三棱柱，进一步利用三棱柱的体积关系式求出结果．解答：解：根据三视图得知：该几何体是一个倒放的三棱柱，几何体的底面面积为：S==所以：V=故选：B点评：本题考查的知识要点：三视图和复原图的应用，利用体积关系式求几何体的体积，主要考查学生的空间想象能力和应用能力．10．给出下列四个命题：①命题“∀x∈R，x2≤0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”②线性相关系数r的绝对值越接近于1，两个随机变量线性相关性越强；③“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的充分不必要条件；④若随机变量ξ～N（2，1），且P（ξ＞3）=0.1587，则P（ξ＞1）=0.8413；⑤命题p：f（x）=xsinx为奇函数，命题q：f（x）=cosx+1为偶函数，p∨q为假命题．其中真命题的是( )A．①②B．③④C．③⑤D．②④考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：①利用命题的否定定义，即可判断出正误；②根据线性相关性的性质，即可判断出正误；③利用对数函数的单调性与定义域，即可判断出正误；④利用正态分布的对称性，即可判断出正误；⑤利用函数的奇偶性的定义、复合命题真假的判定方法即可判断出．解答：解：①命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∃x∈R，x2＜0”，因此不正确；②线性相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个随机变量线性相关性越强，正确；③“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的既不充分也不必要条件，因此不正确；④若随机变量ξ～N（2，1），且P（ξ＞3）=0.1587，则P（ξ＞1）=1﹣P（ξ＜1）=1﹣P（ξ＞3）=0.8413，正确；⑤命题p：f（x）=xsinx为偶函数，因此p是假命题，命题q：f （x）=cosx+1为偶函数，∴p∨q为真命题．其中真命题的是②④．故选：D．点评：本题考查了简易逻辑的判定方法、概率统计的有关内容、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．如图过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=4，则抛物线的方程为( )A．y2=8x B．y2=4x C．y2=2x D．y2=x考点：抛物线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，根据抛物线定义可知|BD|=a，进而推断出∠BCD的值，在直角三角形中求得a，进而根据BD∥FG，利用比例线段的性质可求得p，则抛物线方程可得．解答：解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，在直角三角形ACE中，∵|AF|=4，|AC|=4+3a，∴2|AE|=|AC|∴4+3a=8，从而得a=，∵BD∥FG，∴=求得p=2，因此抛物线方程为y2=4x．故选：B．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把握．12．已知f（x）=，不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在[a，a+1]上恒成立，则实数a的取值范围是( )A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，0）C．（0，2）D．（﹣2，0）考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据二次函数的单调性容易判断出函数f（x）在R上单调递减，所以根据题意得到x+a＜2a﹣x，即2x＜a在[a，a+1]上恒成立，所以只需满足2（a+1）＜a，解该不等式即得实数a的取值范围．解答：解：二次函数x2﹣4x+3的对称轴是x=2；∴该函数在（﹣∞，0]上单调递减；∴x2﹣4x+3≥3；同样可知函数﹣x2﹣2x+3在（0，+∞）上单调递减；∴﹣x2﹣2x+3＜3；∴f（x）在R上单调递减；∴由f（x+a）＞f（2a﹣x）得到x+a＜2a﹣x；即2x＜a；∴2x＜a在[a，a+1]上恒成立；∴2（a+1）＜a；∴a＜﹣2；∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：A．点评：考查二次函数的对称轴，二次函数的单调性，以及分段函数单调性的判断方法，函数单调性定义的运用，以及一次函数的单调性．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若二项式的展开式的常数项为﹣160，则=ln2．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于﹣160求得实数a 的值，从而求得的值．解答：解：二项式的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•a6﹣r•x6﹣2r，令6﹣2r=0，可得常数项为﹣•a3=﹣160，求得a=2，∴=lnx=ln2﹣ln1=ln2，故答案为：ln2．点评：本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14．已知不等式＜0的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为9．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：不等式＜0的解集为{x|a＜x＜b}，可得a=﹣2，b=﹣1，代入直线方程可得m、n的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可．解答：解：不等式＜0的解集为{x|a＜x＜b}，∴a=﹣2，b=﹣1，∵点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，∴﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，∵mn＞0，∴m＞0，n＞0，∴+=（+）（2m+n）=5++≥5+2=9当且仅当m=n=时取等号，即+的最小值为9．故答案为：9．点评：本题考查了不等式的解法和均值不等式等知识点，运用了整体代换思想，是2015届高考考查的重点内容．15．设函数f（x）=（x＞0），观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，…．根据以上事实，由此归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，f n（x）=f（f n﹣1（x））=．考点：归纳推理．专题：综合题；推理和证明．分析：观察所给的前四项的结构特点，先观察分子，只有一项组成，并且没有变化，在观察分母，有两部分组成，是一个一次函数，根据一次函数的一次项系数与常数项的变化特点，得到结果．解答：解：∵函数f（x）=（x＞0），观察f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，…所给的函数式的分子不变都是x，而分母是由两部分的和组成，第一部分的系数分别是1，3，7，15…2n﹣1，第二部分的数分别是2，4，8，16…2n∴f n（x）=f（f n﹣1（x））=，故答案为：．点评：本题考查归纳推理，实际上本题考查的重点是给出一个数列的前几项写出数列的通项公式，本题是一个综合题目，知识点结合的比较巧妙．16．设A为非空实数集，若∀x，y∈A都有x+y，x﹣y，xy∈A，则称A为封闭集．①集合A={﹣2，﹣1，0，1，1}为封闭集；②集合A={n|n=2k，k ∈Z}为封闭集；③若集合A1，A2为封闭集，则A1∪A2为封闭集；④若A为封闭集，则一定有0∈A．其中正确结论的序号是②④．考点：命题的真假判断与应用．专题：集合；简易逻辑．分析：①由于﹣2﹣1=﹣3∉A，即可判断出集合A不是封闭集；②利用封闭集的定义即可判断出正误；③反例A1={n|n=k，k∈Z}，A2={n|n=k，k∈Z}，利用封闭集的定义即可判断出正误；④若A为封闭集，∀x∈A都有x﹣x=0∈A，即可判断出正误．解答：解：①∵﹣2﹣1=﹣3∉A，因此集合A={﹣2，﹣1，0，1，1}不是封闭集；②∀2k1，2k2∈A（k1，k2∈Z），则2k1+2k2∈A，2k1﹣2k2∈A，2k1•2k2∈A，因此集合A={n|n=2k，k∈Z}为封闭集；③反例A1={n|n=k，k∈Z}，A2={n|n=k，k∈Z}；虽然集合A1，A2为封闭集，但是A1∪A2不是封闭集，因此不正确；④若A为封闭集，∀x∈A都有x﹣x=0∈A，则一定有0∈A，正确．其中正确结论的序号是②④．故答案为：②④．点评：本题考查了新定义“封闭集”、集合的运算及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx）（x∈R），设函数f（x）=﹣1．（1）求函数f（x）；（2）已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若f（A）=2，B=，边AB=3，求边BC的长．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算．专题：解三角形；平面向量及应用．分析：（1）利用向量的数量积坐标运算得到f（x），进一步化简得到解析式；（2）由（1）得到关于A的方程，解得A，结合已知，求得C，解答：解：（1）f（x）=﹣1=2cos2x+2sinxcosx﹣1=cos2x sin2x=2（cos2x+sin2x）=2cos（2x﹣）．（2）若f（A）=2，则f（A）=2cos（2A﹣）=2，即cos（2A﹣）=1，则2A﹣=0，解得A=，∵B=，边AB=3，∴C=π﹣﹣=，sin=，由正弦定理所以，解得BC=．点评：本题考查了向量的数量积坐标运算以及三角函数的恒等变形、利用正弦定理解三角形；计算稍繁，注意细心．18．雾霾天气严重影响我们的生活，加强环境保护是今年两会关注的热点，我国的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在0﹣50为优秀，各类人群可正常活动．某市环保局对全市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为（5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图．（1）求a的值；（2）根据样本数据，试估计这一年的空气质量指数的平均值；（3）如果空气质量指数不超过15，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取3天的数值，其中达到“特优等级”的天数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）由频率分布直方图可得样本数据在各组的频率，再由频率和为1求得a值；（2）直接由每个矩形中点的横坐标乘以频率作和得答案；（3）求出50天中特优等级的天数及“特优等级”的天数ξ的值，再由古典概型概率计算公式求得相应的概率，列出频率分布表，代入期望公式求期望．解答：解：（1）由频率分布直方图可得，样本数据在（5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]的频率分别为：0.18，0.32，10a，0.20，由0.18+0.32+10a+0.20=1，得：a=0.03；（2）这一年的空气质量指数的平均值为：10×0.18+20×0.32+30×0.3+40×0.20=25.2；（3）由50×0.18=9，可知50天中有9天是特优等级．从这一年的监测数据50天中，随机抽取3天，其中达到“特优等级”的天数ξ的值分别为：0，1，2，3．则P（0）=，P（1）=，P（2）=，P （3）=，∴ξ的分布列为：ξ0 1 2 3PEξ==．点评：本题考查了频率分布直方图，考查了离散型随机变量的期望的应用，离散型随机变量的期望表征了随机变量取值的平均值，是中档题．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA ⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，且PA=AB=AC=2，．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角M﹣AB﹣C的大小；（Ⅲ）如果N是棱AB上一点，且直线CN与平面MAB所成角的正弦值为，求的值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）连结AC，由已知数据和勾股定理可得AB⊥AC，可得AC⊥CD，再由线面垂直关系可得；（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，由数量积和垂直关系可得平面MAB的法向量=（0，1，﹣1），又可得=（0，0，2）是平面ABC的一个法向量，计算可得cos＜，＞，可得二面角；（Ⅲ）设N（x，0，0），由题意可得x的方程=，解方程可得．解答：证明：（Ⅰ）连结AC，∵在△ABC中，AB=AC=2，，∴BC2=AB2+AC2，∴AB⊥AC，∵AB∥CD，∴AC⊥CD，又∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，∵AC∩PA=A，∴CD⊥平面PAC；（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2，0），D（﹣2，2，0），∵M是棱PD的中点，∴M（﹣1，1，1），∴=（﹣1，1，1），=（2，0，0），．设=（x，y，z）为平面MAB的法向量，∴，即令y=1，则，∴平面MAB的法向量=（0，1，﹣1）∵PA⊥平面ABCD，∴=（0，0，2）是平面ABC的一个法向量．∴cos＜，＞===﹣∵二面角M﹣AB﹣C 为锐二面角，∴二面角M﹣AB﹣C的大小为；（Ⅲ）∵N是在棱AB上一点，∴设N（x，0，0），=（﹣x，2，0），．设直线CN与平面MAB所成角为α，因为平面MAB的法向量=（0，1，﹣1），∴=，解得x=1，即AN=1，NB=1，∴=1点评：本题考查空间位置关系，涉及向量法和线面垂直的证明，属中档题．20．平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）过右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．（1）求椭圆M的方程；（2）若C，D为椭圆M上的两点，且CD⊥AB，求|CD|的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）把右焦点（c，0）代入直线可解得c．设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），利用“点差法”即可得到a、b的关系式，再与a2=b2+c2联立即可得到a、b、c；（2）由CD⊥AB可设直线CD的方程为y=x+t并与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，进而可得到弦长|CD|的表达式，利用二次函数的单调性即可得到其最大值．解答：解：（1）把右焦点（c，0）代入直线x+y﹣=0，得c+0﹣=0，解得c=．设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），则+=1，+=1，两式相减得：+=0，∴+×=0，∴+×（﹣1）=0，又∵k OP==，∴﹣=0，即a2=2b2．联立得，解得，∴M的方程为：+=1；（2）∵CD⊥AB，∴可设直线CD的方程为y=x+t，联立直线CD与M的方程，消去y得：3x2+4tx+2t2﹣6=0，∵直线CD与椭圆有两个不同的交点，∴△=16t2﹣12（2t2﹣6）=72﹣8t2＞0，解得：﹣3＜t＜3（*）．设C（x3，y3），D（x4，y4），∴x3+x4=﹣，x3x4=．∴|CD|===．∴当且仅当t=0时，|CD|最大值为4，满足（*）．∴|CD|最大值为4．点评：本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、“点差法”、中点坐标公式、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到一元二次方程根与系数的关系、弦长公式、二次函数的单调性等基础知识，考查了推理能力、数形结合的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21．已知定义在（1，+∞）上的函数f（x）=x﹣lnx﹣2，g（x）=xlnx+x．（1）求证：f（x）存在唯一的零点，且零点属于（3，4）；（2）若k∈Z，且g（x）＞k（x﹣1）对任意的x＞1恒成立，求k的最大值．考点：函数零点的判定定理；函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：（1）令f（x）=0，得：x﹣2=lnx，画出函数y=x﹣2，y=lnx 的图象，读出即可；（2）将问题转化为k＜在x＞1上恒成立，令h（x）=，求出最小值即可．解答：（1）证明：令f（x）=0，得：x﹣2=lnx，画出函数y=x﹣2，y=lnx的图象，如图示：∴f（x）存在唯一的零点，又f（3）=1﹣ln3＜0，f（4）=2﹣ln4=2（1﹣ln2）＞0，∴零点属于（3，4）；（2）解：由g（x）＞k（x﹣1）对任意的x＞1恒成立，得：k＜，（x＞1），令h（x）=，（x＞1），则h′（x）==，设f（x0）=0，则由（1）得：3＜x0＜4，∴h（x）在（1，x0）递减，在（x0，+∞）递增，而3＜h（3）=＜4，＜h（4）=＜4，∴h（x0）＜4，∴k的最大值是3．点评：本题考查了函数的零点问题，考查了函数恒成立问题，是一道中档题．请从下面所给的22，23，24三题中选定一题作答.并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.选修4-1：几何证明选讲22．（文科）如图，已知PA与圆O相切于点A，半径OB⊥OP，AB交PO于点C．（Ⅰ）求证：PA=PC；（Ⅱ）若圆O的半径为3，OP=5，求BC的长度．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题；证明题．分析：（I）根据弦切角定理，可得∠PAB=∠ACB，根据圆周角定理可得∠BAC=90°，结合BC⊥OP，根据同角的余角相等及对顶角相等可得∠PDA=∠PAB，即△PAD为等腰三角形（II）先求出∠AOP，在等腰三角形AOB中，求出∠OBC，利用Rt△BOC中，BC=，求出答案．解答：证明：（I）∵PA与圆O相切于点A，∴∠PAB=∠ADB∵BD为圆O的直径，∴∠BAD=90°∴∠ADB=90°﹣∠B∵BD⊥OP，∴∠BCO=90°﹣∠B∴∠BCO=∠PCA=∠PAB即△PAC为等腰三角形∴PA=PC；（Ⅱ）解：由题意得Rt△AOP中，cos∠AOP==，cos =，sin =；∴∠AOB=+∠AOP，∴等腰三角形AOB中，∠OBC==﹣，由和差角公式得：cos∠OBC=．在Rt△BOC中，BC===．点评：本题考查的知识点是弦切角定理，圆周角定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，难度不大，是基础题．选讲4-4；坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为（，），直线l 的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线l上，（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线l与圆C的位置关系．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：（1）根据点A在直线l上，将点的极坐标代入直线的极坐标方程即可得出a值，再利用极坐标转化成直角坐标的转换公式求出直线l的直角坐标方程；（2）欲判断直线l和圆C的位置关系，只需求圆心到直线的距离与半径进行比较即可，根据点到线的距离公式求出圆心到直线的距离然后与半径比较．解答：解：（1）点A（，）在直线l上，得cos（θ﹣）=a，∴a=，故直线l的方程可化为：ρsinθ+ρcosθ=2，得直线l的直角坐标方程为x+y﹣2=0；（2）消去参数α，得圆C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1圆心C到直线l的距离d=＜1，所以直线l和⊙C相交．点评：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及圆的参数方程和直线与圆的位置关系的判定，属于基础题．选修4-5：不等式选讲24．已知不等式|x﹣2|＞1的解集与关于x的不等式x2﹣ax+b＞0的解集相等．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求函数的最大值，以及取得最大值时x的值．考点：柯西不等式在函数极值中的应用；一元二次不等式的解法；绝对值不等式的解法．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由绝对值不等式的解法，可得解集为{x|x＜1或x＞3}，进而得到1，3为方程x2﹣ax+b=0的两根，代入方程即可得到a，b；（Ⅱ）运用柯西不等式，可得f（x）的最大值，同时由等号成立的条件可得x的值．解答：解：（Ⅰ）∵不等式|x﹣2|＞1的解集为{x|x＜1或x＞3}，∴不等式x2﹣ax+b＞0的解集为{x|x＜1或x＞3}．从而1，3为方程x2﹣ax+b=0的两根，∴，解得：a=4，b=3．（Ⅱ）函数f（x）的定义域为[3，5]，且显然有y＞0，由柯西不等式可得：。

2020-2021学年高考总复习数学(理)二轮复习精选《解析几何》试题及答案解析

最新高三数学二轮复习精选专题练（理科，有解析）解析几何1、在△ABC 中，若A ＝60°，a则sin sin sin a b cA B C+-+-等于（）A ．2 B.12【答案】A 【解析】因为sin sin sin a b c A B C +-+-＝sin aA＝2.2、直线10x y ++=的倾斜角与其在y 轴上的截距分别是（）.A 1,135ο.B 1,45-ο.C 1,45ο.D 1,135-ο【答案】D【解析】因为k=-1,所以直线的倾斜角为135o ；当x=0时，y=-1,所以其在y 轴上的截距分别是-1.3、与直线+32=0x y -关于x 轴对称的直线方程为（） A ．32=0x y --B ．32=0x y -+ C ．+32=0x y +D ．3+2=0x y - 【答案】A【解析】直线023=-+y x 与x 轴的交点为()0,2，与y 轴的交点为⎪⎭⎫ ⎝⎛32,0，⎪⎭⎫ ⎝⎛32,0关于x 对称点为⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,0，所求直线过点()0,2，⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,0，因此斜率3120032=---=k ，因此所求直线()2310-=-x y 023=--y x .4、过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>左焦点F 斜率为ab的直线分别与C 的两渐近线交于点P 与Q ，若FP PQ =u u u r u u u r，则C 的渐近线的斜率为（）A ．3±B ．2±C ．1±D ．5± 【答案】A【解析】如图:双曲线左焦点(),0F c -,直线的方程为:()ay x c b=+,两条渐近线方程为:by x a=±解方程组得222222,P Q a c a c x x a b a b -==+-+又FP PQ =u u u r u u u r 所以P 是FQ 中点,所以2222224222222222222222b 3a b 33Q F p a c a c a b a b b x x x c a b a b a b a b a a---+=⇒-=⇒=⇒=⇒=⇒=±-++-++.5、已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【答案】B6、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝λ，b 3λ(λ>0)，A ＝45°，则满足此条件的三角形个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数个【答案】A7、已知圆222()()x a y b r -+-=的圆心为抛物线24y x =的焦点,且与直线3420x y ++=相切,则该圆的方程为（）A.2264(1)25x y -+=B.2264(1)25x y +-=C.22(1)1x y -+=D. 22(1)1x y +-=【答案】C8、直线x +a 2y +6=0和直线(a －2)x +3ay +2a =0没有公共点，则a 的值是 A.a =3 B.a =0 C.a =－1 D.a =0或－1 【答案】D9、在平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤上恒有22ax by -≤，则动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为（）A. 4B.8C. 16D. 32 【答案】A【解析】平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤的四个边界点（—1，—1），（—1，1），（1，—1），（1，1）满足22ax by -≤，即有22,22,22,22a b a b a b a b +≤-≤--≤-+≤由此计算动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为4。

2020—2021年最新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题及答案解析四.docx

高考数学二模试卷（理科）一、选择题.共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合A={x∈R|﹣3＜x＜2}，B={x∈R|x2﹣4x+3≥0}，则A∩B=（）A．（﹣3，1] B．（﹣3，1）C．[1，2）D．（﹣∞，2）∪[3，+∞）2．复数=（）A．B．C．D．3．在极坐标系中，直线l的方程为，则点到直线l的距离为（）A．B．C．D．4．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．﹣10 B．﹣3 C．4 D．55．已知数列{a n}中，a n=﹣4n+5，等比数列{b n}的公比q满足q=a n﹣a n ﹣1（n≥2），且b1=a2，则|b1|+|b2|+…+|b n|=（）A．1﹣4n B．4n﹣1 C．D．6．设变量x，y满足约束条件，则23x﹣y的取值范围是（） A．B．C．D．7．已知正三角形ABC的边长为1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，且，则的最大值为（）A．B．C．D．8．设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且坐标原点O到直线l的距离为，则△AOB的面积S的最小值为（）A．B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上）9．的展开式中含x5的项的系数为（用数字作答）．10．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则sinC= ，△ABC的面积S= ．11．如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上的点，且DF=CF=，AF=2BF，若CE与圆相切，且CE=，则BE= ．12．一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为92m2，则h= m．13．已知双曲线的离心率为，顶点与椭圆的焦点相同，那么该双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为．14．设定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，f′（x）是f（x）的导函数．当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π）且时，．则函数y=f（x）﹣cosx在[﹣3π，3π]上的零点个数为．三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间．16．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=1，E为CD的中点，F为AA1的中点．（I）求证：AD1⊥平面A1B1E；（II）求证：DF∥平面AB1E；（III）若二面角A﹣B1E﹣A1的大小为45°，求AB的长．17．为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45]．（Ⅰ）求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35，40）岁的人数；（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．18．已知函数，其中a为正实数，e=2.718…．（I）若是y=f（x）的一个极值点，求a的值；（II）求f（x）的单调区间．19．已知椭圆C：的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点P在椭圆上，且△PF1F2的周长为6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点P的坐标为（2，1），不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，点P到直线l的距离为d，且M，O，P三点共线．求的最大值．20．已知函数f（x）=2ae x+1，g（x）=lnx﹣lna+1﹣ln2，其中a为常数，e=2.718…，函数y=f（x）的图象与坐标轴交点处的切线为l1，函数y=g（x）的图象与直线y=1交点处的切线为l2，且l1∥l2．（Ⅰ）若对任意的x∈[1，5]，不等式成立，求实数m的取值范围．（Ⅱ）对于函数y=f（x）和y=g（x）公共定义域内的任意实数x．我们把|f（x0）﹣g（x0）|的值称为两函数在x0处的偏差．求证：函数y=f （x）和y=g（x）在其公共定义域的所有偏差都大于2．参考答案与试题解析一、选择题.共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合A={x∈R|﹣3＜x＜2}，B={x∈R|x2﹣4x+3≥0}，则A∩B=（）A．（﹣3，1] B．（﹣3，1）C．[1，2）D．（﹣∞，2）∪[3，+∞）考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：求解一元二次不等式化简集合B，然后直接利用交集运算求解．解答：解：由x2﹣4x+3≥0，得：x≤1或x≥3．所以B={x∈R|x2﹣4x+3≥0}={x∈R|x≤1或x≥3}，又A={x∈R|﹣3＜x＜2}，所以A∩B={x∈R|﹣3＜x＜2}∩{x∈R|x≤1或x≥3}={x|﹣3＜x≤1}．故选A．点评：本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．2．复数=（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：直接利用复数的除法运算进行化简．解答：解：．故选B．点评：本题考查了复数的除法运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．3．在极坐标系中，直线l的方程为，则点到直线l的距离为（）A．B．C．D．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，直接使用点到直线的距离公式求出结果．解答：解：点的直角坐标为（﹣，），直线：l：即ρsinθ+ρcosθ=1，化为直角坐标方程为x+y﹣1=0．由点到直线的距离公式得d==，故选B．点评：本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，把极坐标方程化为直角坐标方程是解题的突破口．4．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．﹣10 B．﹣3 C．4 D．5考点：程序框图．分析：首先分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量S的值，模拟程序的运行，运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．解答：解：按照程序框图依次执行为k=1，S=1；S=2×1﹣1=1，k=2；S=2×1﹣2=0，k=3；S=2×0﹣3=﹣3，k=4；S=2×（﹣3）﹣4=﹣10，k=4≥5，退出循环，输出S=﹣10．故选A．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，一般都可以反复的进行运算直到满足条件结束，本题中涉及到三个变量，注意每个变量的运行结果和执行情况．5．已知数列{a n}中，a n=﹣4n+5，等比数列{b n}的公比q满足q=a n﹣a n ﹣1（n≥2），且b1=a2，则|b1|+|b2|+…+|b n|=（）A．1﹣4n B．4n﹣1 C．D．考点：数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：先由a n=﹣4n+5及q=a n﹣a n﹣1求出q，再由b1=a2，求出b1，从而得到b n，进而得到|b n|，根据等比数列前n项和公式即可求得|b1|+|b2|+…+|b n|．解答：解：q=a n﹣a n﹣1=（﹣4n+5）﹣[﹣4（n﹣1）+5]=﹣4，b1=a2=﹣4×2+5=﹣3，所以=﹣3•（﹣4）n﹣1，|b n|=|﹣3•（﹣4）n﹣1|=3•4n﹣1，所以|b1|+|b2|+…+|b n|=3+3•4+3•42+…+3•4n﹣1=3•=4n﹣1，故选B．点评：本题考查等差、等比数列通项公式及等比数列的前n项和公式，考查学生的运算能力，属中档题．6．设变量x，y满足约束条件，则23x﹣y的取值范围是（） A．B．C．D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象根据截距的大小进行判断，先设出目标函数z=3x﹣y的取值范围，最后根据指数函数的性质即可得出23x﹣y的取值范围．解答：解：∵变量x，y满足约束条件，设目标函数为：z=3x﹣y，直线4x﹣y+1=0与x+2y﹣2=0交于点A（0，1），直线2x+y﹣4=0与x+2y﹣2=0交于点C（2，0），直线4x﹣y+1=0与2x+y﹣4=0交于点B（，3），分析可知z在点B处取得最小值，z min=3×﹣1=﹣，z在点C处取得最大值，z max=3×2﹣0=6，∴﹣≤3x﹣y≤6，∴≤23x﹣y≤64．故选：C．点评：本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．解题的关键是准确理解目标函数的几何意义．7．已知正三角形ABC的边长为1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，且，则的最大值为（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的运算法则和数量积即可化为关于λ的二次函数，利用二次函数的单调性即可得出最大值．解答：解：如图所示，===﹣+（λ﹣1）+=（λ﹣λ2+1）×1×1×cos60°﹣λ+λ﹣1==，（0≤λ≤1）．当时，则的最大值为．故选D．点评：熟练掌握向量的运算法则和数量积的运算性质、二次函数的单调性是解题的关键．8．设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且坐标原点O到直线l的距离为，则△AOB的面积S的最小值为（）A．B．2 C．3 D．4考点：点到直线的距离公式；三角形的面积公式．专题：计算题．分析：由距离公式可得，面积为S=•=，由基本不等式可得答案．解答：解：由坐标原点O到直线l的距离为，可得=，化简可得，令x=0，可得y=，令y=0，可得x=，故△AOB的面积S=•=≥=3，当且仅当|m|=|n|=时，取等号，故选C点评：本题考查点到直线的距离公式，涉及基本不等式的应用和三角形的面积，属基础题．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上）9．的展开式中含x5的项的系数为36 （用数字作答）．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：先求出的展开式的通项为T r+1==，然后令9﹣2r=5可求r，代入即可求解解答：解：由题意可得，的展开式的通项为T r+1==令9﹣2r=5可得r=2即展开式中含x5的项的系数为=36故答案为：36点评：本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，属于基础试题10．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则sinC= ，△ABC的面积S= ．考点：正弦定理；三角形的面积公式；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用同角三角函数的基本关系求得sinA，利用正弦定理求得a的值，再由余弦定理求出c，再由正弦定理求得sinC的值．从而求得△ABC的面积S=的值．解答：解：△ABC中，由cosA=，可得sinA=．由正弦定理可得，即，解得a=．再由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即=25+c2﹣10c•，解得c=．再由正弦定理可得，即，解得sinC=．故△ABC的面积S===，故答案为，．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，属于中档题．11．如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上的点，且DF=CF=，AF=2BF，若CE与圆相切，且CE=，则BE= ．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题．分析：利用相交弦定理可得BF•AF=DF•FC，解出BF；再利用切割线定理可得CE2=BE•EA，解得BE．解答：解：由相交弦定理得BF•AF=DF•FC，∵，∴，解得BF=1，∴AF=2．∵CE与圆相切，∴由切割线定理可得CE2=BE•EA，∴，∵BE＞0，解得BE=．故答案为．点评：熟练掌握相交弦定理和切割线定理是解题的关键．12．一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为92m2，则h= 4 m．考点：由三视图求面积、体积．分析：由题可知，图形是一个的底面是直角梯形的四棱柱，利用表面积，求出h即可．解答：解：由题可知，三视图复原的几何体是一个底面是直角梯形的四棱柱，几何体的表面积是：两个底面积与侧面积的和，所以：=92，解得h=4．故答案为：4．点评：本题考查三视图与几何体的关系，几何体的表面积的求法，考查空间想象能力与计算能力．13．已知双曲线的离心率为，顶点与椭圆的焦点相同，那么该双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得椭圆的焦点，求得双曲线的顶点，从而可得几何量，即可求得双曲线的焦点坐标、渐近线方程．解答：解：∵椭圆的焦点为（±，0）∴双曲线的顶点为（±，0），离心率为，∴a=，，∴c=2，∴b==∴该双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为．故答案为：．点评：本题考查椭圆、双曲线的几何性质，考查双曲线的标准方程，属于基础题．14．设定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，f′（x）是f（x）的导函数．当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π）且时，．则函数y=f（x）﹣cosx在[﹣3π，3π]上的零点个数为 6 ．考点：根的存在性及根的个数判断；导数的运算．专题：函数的性质及应用．分析：根据x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π）且时，，确定函数的单调性，再利用函数的图形，即可得到结论．解答：解：∵x∈（0，π）且x≠时，（x﹣）f′（x）＜0∴x∈（0，），函数单调增，x∈（，π），函数单调减．∵x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1，在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y=cosx和y=f（x）草图如下，由图知y=f（x）﹣cosx在[﹣3π，3π]上的零点个数为6个．故答案为：6．点评：本题考查函数的单调性，考查函数的零点，考查函数的周期性与奇偶性，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）把x=直接代入函数的解析式，化简求得f（）的值．（II）由cosx≠0，得x≠kπ+，（k∈z ）．化简函数的解析式为sin （2x+），从而求得f（x）的最小正周期．再由2kπ+≤2x+≤2k π+，x≠kπ+，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的减区间．解答：解：（I）由函数的解析式可得=+=0+=．…（4分）（II）∵cosx≠0，得x≠kπ+，（k∈z ）故f（x）的定义域为{x|x≠kπ+，（k∈z ）}．因为=sinx（cosx﹣sinx）+=sin2x ﹣sin2x+=sin2x﹣+=sin2x+cos2x=sin（2x+），所以f（x）的最小正周期为T==π．由2kπ+≤2x+≤2kπ+，x≠kπ+，k∈z，得kπ+≤x≤kπ+，x≠kπ+，k∈z，所以，f（x）的单调递减区间为（kπ+，kπ+），（kπ+，kπ+），k∈z．…（13分）点评：本题主要考查二倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性，属于中档题．16．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=1，E为CD的中点，F为AA1的中点．（I）求证：AD1⊥平面A1B1E；（II）求证：DF∥平面AB1E；（III）若二面角A﹣B1E﹣A1的大小为45°，求AB的长．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）利用长方体的性质可得A1B1⊥AD1．由于侧面四边形ADD1A1为正方形，可得对角线A1D⊥AD1，利用线面垂直的判定定理即可证明；（II）取AB1的中点为N，连接NF．利用三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理即可得到四边形NEDF为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明结论；（III）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出．解答：（I）证明：在长方体体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵A1B1⊥平面A1ADD1，∴A1B1⊥AD1．∵AA1=AD，∴四边形ADD1A1为正方形，∴A1D⊥AD1，又A1B1∩A1D=A1，∴AD1⊥平面A1B1D．又，∴四边形A1B1CD为平行四边形．又E在CD上，∴AD1⊥平面A1B1E；（II）取AB1的中点为N，连接NF．∵F为AA1的中点，∴，∵E为CD的中点，∴，而，∴，因此四边形NEDF为平行四边形，∴DF∥NE，而NE⊂平面AB1E，DF⊄平面AB1E．∴DF∥平面AB1E．（III）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，设AB=a，则A（0，0，0），D（0，1，0），D1（0，1，1），E，B1（a，0，1）．则，，．由（I）可知AD1⊥平面A1B1E，∴是平面A 1B1E的一个法向量．设平面AB 1E的一个法向量为，则，得．令x=1，则，z=﹣a，∴．∴==．因为二面角A﹣B1E﹣A1的大小为45°，∴，解得a=1，即AB的长为1．点评：熟练掌握长方体的性质、正方形的性质、线面垂直的判定定理、三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理、通过建立空间直角坐标系利用两个平面的法向量的夹角解决二面角的方法是解题的关键．17．为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45]．（Ⅰ）求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35，40）岁的人数；（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（I）利用小矩形的面积等于频率计算即得结论；（II）利用分层抽样的方法从中选取20名，可知X的可能取值为0、1、2、3，进而计算可得结论．解答：解：（I）∵小矩形的面积等于频率，∴除[35，40）外的频率和为0.70，∴，∴500名志愿者中年龄在[35，40）岁的人数为0.06×5×500=150（人）；（II）用分层抽样的方法，从中选取20名，则其中年龄“低于35岁”的人有12名，“年龄不低于35岁”的人有8名．故X的可能取值为0，1，2，3，∴，，，，故X的分布列为X 0 1 2 3P∴数学期望E（X）=+1•+2•+3•=．点评：本题考查离散型随机变量的期望，注意解题方法的积累，属于中档题．18．已知函数，其中a为正实数，e=2.718…．（I）若是y=f（x）的一个极值点，求a的值；（II）求f（x）的单调区间．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（I）依题意，由f′（）=0，即可求得a的值；（II）求f′（x）=，令f′（x）=0可求得方程ax2﹣2ax+1=0的根，将f′（x）与f（x）的变化情况列表，可求得f（x）的单调区间．解答：解：f′（x）=．（I）因为x=是函数y=f（x）的一个极值点，所以f′（）=0，因此a﹣a+1=0，解得a=．经检验，当a=时，x=是y=f（x）的一个极值点，故所求a的值为．…（4分）（II）f′（x）=（a＞0），令f′（x）=0得ax2﹣2ax+1=0…①（i）当△=（﹣2a）2﹣4a＞0，即a＞1时，方程①两根为x1==，x2=．此时f′（x）与f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，）（，）（，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗极大值↘极小值↗所以当a＞1时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，），（，+∞）；f（x）的单调递减区间为（，）．（ii）当△=4a2﹣4a≤0时，即0＜a≤1时，ax2﹣2ax+1≥0，即f′（x）≥0，此时f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增．所以当0＜a≤1时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）．…（13分）点评：本题考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究函数的单调性，求得f′（x）=0之后，将f′（x）与f（x）的变化情况列表是关键，属于中档题．19．已知椭圆C：的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点P在椭圆上，且△PF1F2的周长为6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点P的坐标为（2，1），不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，点P到直线l的距离为d，且M，O，P三点共线．求的最大值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）利用椭圆的定义和焦距的定义可得2c=2，2a+2c=6．解得a，c，再利用b2=a2﹣c2解出即可；（II）设直线l的方程为y=kx+m（m≠0）．与椭圆的方程联立，得到判别式△＞0及根与系数的关系，由中点坐标公式得到中点M的坐标，利用M，O，P三点共线，得到k OM=k OP，解得k，再利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到|AB|2及d2，利用二次函数的单调性即可得出最值解答：解：（I）由题意得2c=2，2a+2c=6．解得a=2，c=1，又b2=a2﹣c2=3，所以椭圆C的方程为．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线l与x轴垂直时，由椭圆的对称性可知，点M在x轴上，且与O点不重合，显然M，O，P三点不共线，不符合题设条件．故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0）．由消去y整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．①则△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，∴，．所以点M的坐标为．∵M，O，P三点共线，∴k OM=k OP，∴，∵m≠0，∴．此时方程①为3x2﹣3mx+m2﹣3=0，则△=3（12﹣m2）＞0，得．x1+x2=m，．∴|AB|2==，又=，∴==，故当时，的最大值为．点评：熟练掌握椭圆的定义和焦距的定义及b2=a2﹣c2、直线与椭圆相交问题转化为把直线l的方程与椭圆的方程联立得到判别式△＞0及根与系数的关系、中点坐标公式、三点共线得到k OM=k OP、弦长公式和点到直线的距离公式、二次函数的单调性是解题的关键．本题需要较强的计算能力．20．已知函数f（x）=2ae x+1，g（x）=lnx﹣lna+1﹣ln2，其中a为常数，e=2.718…，函数y=f（x）的图象与坐标轴交点处的切线为l1，函数y=g（x）的图象与直线y=1交点处的切线为l2，且l1∥l2．（Ⅰ）若对任意的x∈[1，5]，不等式成立，求实数m的取值范围．（Ⅱ）对于函数y=f（x）和y=g（x）公共定义域内的任意实数x．我们把|f（x0）﹣g（x0）|的值称为两函数在x0处的偏差．求证：函数y=f （x）和y=g（x）在其公共定义域的所有偏差都大于2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；其他不等式的解法．专题：新定义．分析：（Ⅰ）分别求得切点处的导数值，可得方程，进而可得a值，不等式可化为m＜x﹣，令h（x）=x﹣，求导数可得函数h（x）在[1，5]上是减函数，从而可得m＜h（5）即可；（Ⅱ）可得a=，进而可得|f（x）﹣g（x）|=|e x﹣lnx|，通过构造函数q（x）=e x﹣x﹣1，可得e x﹣1＞x …①，构造m（x）=lnx﹣x+1，可得lnx+1＜x…②，由①②得e x﹣1＞lnx+1，即e x﹣lnx＞2，还可得e x ＞lnx，综合可得结论．解答：解：（Ⅰ）函数y=f（x）的图象与坐标轴的交点为（0，2a+1），又f′（x）=2ae x，∴f′（0）=2a，函数y=g（x）的图象与直线y=1的交点为（2a，1），又g′（x）=，g′（2a）=由题意可知，2a=，即a2=又a＞0，所以a=…（3分）不等式可化为m＜x﹣f（x）+即m＜x﹣，令h（x）=x﹣，则h′（x）=1﹣（）e x，∵x＞0，∴≥，又x＞0时，e x＞1，∴（）e x＞1，故h′（x）＜0∴h（x）在（0，+∞）上是减函数即h（x）在[1，5]上是减函数因此，在对任意的x∈[1，5]，不等式成立，只需m＜h（5）=5﹣，所以实数m的取值范围是（﹣∞，5﹣）…（8分）（Ⅱ）证明：y=f（x）和y=g（x）公共定义域为（0，+∞），由（Ⅰ）可知a=，∴|f（x）﹣g（x）|=|e x﹣lnx|令q（x）=e x﹣x﹣1，则q′（x）=e x﹣1＞0，∴q（x）在（0，+∞）上是增函数故q（x）＞q（0）=0，即e x﹣1＞x …①令m（x）=lnx﹣x+1，则m′（x）=，当x＞1时，m′（x）＜0；当0＜x＜1时，m′（x）＞0，∴m（x）有最大值m（1）=0，因此lnx+1＜x…②由①②得e x﹣1＞lnx+1，即e x﹣lnx＞2又由①得e x＞x+1＞x由②得lnx＜x﹣1＜x，∴e x＞lnx∴|f（x）﹣g（x）|=e x﹣lnx＞2故函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域的所有偏差都大于2…（13分）点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，以及切线的方程，涉及新定义，属中档题．。

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阶段滚动月考卷(二)三角函数、解三角形、平面向量、复数(时间:120分钟分值:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.i 是虚数单位,则复数z=(1+i 1−i)2+i 的共轭复数为( ) A.2+i B.2-iC.-1+iD.-1-i2.(滚动单独考查)已知集合A={1,3,x},B={1,√x },若A ∩B=B,则x= ( ) A.0或3 B.0或9 C.1或9D.3或93.(滚动单独考查)(2016·杭州模拟)函数y=√x 2−2x −3+log 3(x+2)的定义域为 ( ) A.(-∞,-1)∪(3,+∞) B.(-∞,-1]∪[3,+∞) C.(-2,-1]D.(-2,-1]∪[3,+∞)4.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且5()2 a b ⊥(a+b),则a 与b 的夹角θ为( )A.π6B.π3C.23πD.56π5.(2016·济宁模拟)如图所示,非零向量OA →=a,OB →=b,且BC ⊥OA,点C 为垂足,若OC →=λa(λ≠0),则λ= ( )6.(2016·石家庄模拟)已知ω>0,0<φ<π,直线x=π4和x=5π4是函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象上两条相邻的对称轴,则φ= ( ) A.π4B.π3C.π2D.3π47.已知a=(cos θ2,sin θ2),b=(cos θ,sin θ),θ∈(0,π),则|a-b|的取值范围是( )A.(0,1)B.(0,1]C.(0,√)D.(0,√8.(2016·洛阳模拟)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c, cosC=14,AC →·CB →=-2且a+b=5,则c 等于 ( )A.√5B.√13C.4D.√179.(滚动交汇考查)(2016·泰安模拟)已知f(x)=sin 2(x +π4),若a=f(lg5), b=f (lg 15),则 ( ) A.a+b=0 B.a-b=0 C.a+b=1D.a-b=110.(滚动单独考查)已知x 0是函数f(x)=2x+11−x的一个零点.若x 1∈(1,x 0),x 2∈(x 0,+∞),则 ( )A.f(x 1)<0,f(x 2)<0B.f(x 1)<0,f(x 2)>0C.f(x 1)>0,f(x 2)<0D.f(x 1)>0,f(x 2)>0二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(滚动交汇考查)计算:log 2sin π12+log 2cos π12= .12.(2016·枣庄模拟)已知|a|=2,|b|=4,a 和b 的夹角为π3,以a,b 为邻边作平行四边形,则该四边形的面积为 .13.在△ABC 中,若sin 2B=sinAsinC,则角B 的最大值为 . 14.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且2cos2A−B2cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-35,若a=4√2,b=5,则BA →在BC →方向上的投影为 . 15.已知函数f(x)=-x 2-2x,g(x)={x +14x ,x >0,x +1,x ≤0.若方程g(f(x))-a=0有4个实数根,则实数a 的取值范围为 .三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(2016·杭州模拟)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且b=3.已知向量m=(cos 2B2,sinB),n=(√3,2),且m ∥n.(1)若A=5π12,求c 的值.(2)求AC 边上的高的最大值.17.(12分)(2016·临沂模拟)已知函数f(x)=√3sinxcosx-cos 2x-12,x ∈R.(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期.(2)已知△ABC 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且c=3,f(C)=0,若向量m=(1,sinA)与n=(2,sinB)共线,求a,b的值.18.(12分)(2016·黄山模拟)已知向量a=(sin(ωx+φ),2),b=(1,cos(ωx+φ))(ω>0,0<φ<π4),函数f(x)=(a+b)·(a-b),y=f(x)图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1,且经过点M(1,72).(1)求函数f(x)的解析式.(2)当-1≤x≤1时,求函数f(x)的单调区间.19.(12分)(2016·郑州模拟)在△ABC中,a,b,c分别是A,B,C的对边.若向量m=(2,0)与n=(sinB,1-cosB)所成的角为π3.(1)求角B的大小.(2)若b=√3,求a+c的最大值.20.(13分)(滚动单独考查)根据统计资料,某工厂的日产量不超过20万件,每日次品率p与日产量x(万件)之间近似地满足关系式p={x2+60540,0<x≤12, 12,12<x≤20.已知每生产1件正品可盈利2元,而生产1件次品亏损1元.(该工厂的日利润y=日正品盈利额-日次品亏损额)(1)将该工厂日利润y(万元)表示为日产量x(万件)的函数.(2)当该工厂日产量为多少万件时日利润最大?最大日利润是多少万元? 21.(14分)(滚动单独考查)(2016·太原模拟)已知函数f(x)=2lnx-ax.(1)若曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线过点(2,0),求a的值.(2)求f(x)的单调区间.(3)如果x1,x2(x1<x2)是函数f(x)的两个零点,f′(x)为f(x)的导数,证明:)<0. f′(x1+2x23答案解析1.D z=(1+i)2(1−i)+i=2i−2i+i=-1+i,所以其共轭复数为-1-i. 2.B 因为A ∩B=B,所以B A,验证易知x=0满足,x=9满足.3.D 由{x 2−2x −3≥0,x +2>0得-2<x ≤-1或x ≥3. 4.B 由题意,得·(a+b)=a 2-32a ·b-52b 2=4-32a ·b-52=0.所以a ·b=1, 所以cos θ==12,因为θ∈[0,π],所以θ=π3. 5.A BC →⊥OA →,即BC →⊥OC →, 所以(OC →-OB →)·OC →=0,所以|OC →|2-OB →·OC →=0,即λ2|a|2-λa ·b=0,又λ≠0,解得λ=6.A2πω=2(5π4−π4),得ω=1,所以f(x)=sin(x+φ),故f (π4)=sin (π4+φ)=±1.因为0<φ<π,所以π4<φ+π4<5π4,所以φ+π4=π2,即φ=π4.7.C 因为a-b=(cosθ2−cosθ,sinθ2−sinθ),所以|a-b|=√(cosθ2−cosθ)2+(sinθ2−sinθ)2=√2−2(cosθ2cosθ+sinθ2sinθ)=√2−2cos(θ2−θ)=√2−2cosθ2,因为θ∈(0,π),所以θ2∈(0,π2),cosθ2∈(0,1).故|a-b|∈(0,√2).8.【解题提示】由已知cosC=14,AC→·CB→=-2,利用数量积公式得到ab=8,再利用余弦定理c2=a2+b2-2abcosC可求c.A 由已知cosC=14,AC→·CB→=-2,得b·a·cos(π-C)=-2⇒b·a·cosC=2,所以ab=8,利用余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab-2abcosC=52-2×8-4=5. 所以c=√5.【加固训练】在△ABC中,内角A,B,C所对边分别为a,b,c,已知m=(1,2),n=(ccosA,b),p=(c,-bcosA),若m∥n,m⊥p,则△ABC的形状是.【解析】由m∥n可得,b=2ccosA.由正弦定理可得sinB=2sinCcosA, 即sin(A+C)=2sinCcosA.从而sinAcosC+cosAsinC=2sinCcosA, 故sinAcosC-cosAsinC=0. 即sin(A-C)=0,又-π<A-C<π, 所以A-C=0,即A=C. 由m ⊥p 可得c-2bcosA=0, 从而sinC-2sinBcosA=0, 故sin(A+B)-2sinBcosA=0. 即sinAcosB-cosAsinB=0, 即sin(A-B)=0,故A-B=0,A=B. 所以A=B=C.故三角形为等边三角形. 答案:等边三角形9.C a=f(lg5)=sin 2(lg5+π4)=1−cos(2lg5+π2)2=1+sin(2lg5)2,b=f (lg 15)=sin 2(lg 15+π4)=1−cos(2lg 15+π2)2=1−sin(2lg5)2,则可得a+b=1.10.B 设g(x)=11−x,由于函数g(x)=11−x=-1x−1在(1,+∞)上单调递增,函数h(x)=2x在(1,+∞)上单调递增,故函数f(x)=h(x)+g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在(1,+∞)上只有唯一的零点x 0,且在(1,x 0)上f(x 1)<0,在(x 0,+∞)上f(x 2)>0. 11.【解析】原式=log 2(sin π12cos π12)=log 2(12sin π6)=log 214=-2.答案:-212.【解析】S=2×12|a||b|sin π3=2×4×√32=4√答案:4√313.【解题提示】化角为边,利用基本不等式求解. 【解析】由正弦定理,得b 2=ac, 由余弦定理,得cosB=a 2+c 2−b 22ac=a 2+c 2−ac2ac≥2ac−ac 2ac=12.因为B ∈(0,π),y=cosx 在(0,π)上单调递减, 所以B 的最大值为π3.答案:π314.【解题提示】利用已知条件先转化求得cosA,再利用正余弦定理可解. 【解析】由2cos2A−B2cosB-sin(A-B)·sinB+cos(A+C)=-35,得[cos(A-B)+1]cosB-sin(A-B)sinB-cosB=-35,即cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-35.则cos(A-B+B)=-35,即cosA=-35.由0<A<π,得sinA=45,由正弦定理,有asinA =bsinB,所以,sinB=bsinA a =√22.由题知a>b,则A>B,故B=π4,根据余弦定理,有(4√2)2=52+c 2-2×5c ×(−35),解得c=1或c=-7(舍去).故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cosB=√22.答案:√2215.【解题提示】利用数形结合法求解.【解析】令f(x)=t,则原方程化为g(t)=a,易知方程f(x)=t 在t ∈(-∞,1)内有2个不同的解,则原方程有4个解等价于函数y=g(t)(t<1)与y=a 的图象有2个不同的交点,作出函数y=g(t)(t<1)的图象,如图所示,由图象可知,当1≤a<54时,函数y=g(t)(t<1)与y=a 有2个不同的交点, 即所求a 的取值范围是[1,54).答案:[1,54)16.【解析】(1)方法一:由m ∥n,得2cos 2B2=√3sinB,即1+cosB=√3sinB,得sin (B −π6)=12.又0<B<π,所以-π6<B-π6<5π6,故B-π6=π6,即B=π3.结合A=5π12,可得C=π4.由正弦定理bsinB =csinC,得c=√6.方法二:由m ∥n,得2cos 2B 2=√3sinB, 则2cos 2B 2=2√sin B 2cos B 2,又cos B 2≠0,故cos B 2=√sin B 2, 即tan B 2=√33,又0<B<π,所以0<B 2<π2,故B 2=π6,即B=π3. 结合A=5π12,可得C=π4.由正弦定理b sinB =c sinC,得c=√. (2)设AC 边上的高为h,则S △ABC =12bh=32h=12acsinB=√34ac, 即h=2√3ac. 而b 2=a 2+c 2-2accosB=a 2+c 2-ac ≥ac(当且仅当a=c 时,等号成立),所以ac ≤9,因此h=2√3ac ≤3√32. 所以AC 边上的高的最大值为3√32.17.【解析】(1)f(x)=√2x-12=√32sin2x-12cos2x-1 =sin (2x −π6)-1. 所以f(x)的最小值为-2,最小正周期为π.(2)因为f(C)=sin (2C −π6)-1=0, 即sin (2C −π6)=1, 又因为0<C<π,-π6<2C-π6<11π6,所以2C-π6=π2, 故C=π3. 因为m 与n 共线,所以sinB-2sinA=0.由正弦定理asinA =b sinB ,得b=2a.①因为c=3,由余弦定理,得9=a 2+b 2-2abcos π3,即a 2+b 2-ab=9,②联立①②,解得{a =√3.b =2√3.【加固训练】(2015·洛阳模拟)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c, cos2C+2√2cosC+2=0.(1)求角C 的大小.(2)若b=√△ABC 的面积为√22sinAsinB,求sinA 及c 的值.【解析】(1)因为cos2C+2√2cosC+2=0,所以2cos 2C+2√即(√2=0,所以cosC=-√22.又C ∈(0,π),所以C=3π4. (2)因为c 2=a 2+b 2-2abcosC=3a 2+2a 2=5a 2,所以c=√5a,即sinC=√5sinA,sinA =√5sinC=√1010, 因为S △ABC =12absinC,且S △ABC =√22sinAsinB,所以12absinC=√22sinAsinB, 即ab sinAsinB sinC=√由正弦定理得:(csinC )2sinC=√2, 解得c=1. 18.【解析】(1)f(x)=(a+b)·(a-b)=a 2-b 2=|a|2-|b|2=sin 2(ωx+φ)+3-cos 2(ωx+φ)=-cos(2ωx+2φ)+3,由题意得周期T=2π2ω=4, 故ω=π4,又图象过点M (1,72), 所以72=3-cos (π2+2φ), 即sin2φ=12,而0<φ<π4,故2φ=π6, 则f(x)=3-cos (π2x +π6). (2)当-1≤x ≤1时,-π3≤π2x+π6≤2π3. 所以当-π3≤π2x+π6≤0时, 即x ∈[−1,−13]时,f(x)是减函数. 当0≤π2x+π6≤2π3时, 即x ∈[−13,1]时,f(x)是增函数. 则函数f(x)的单调递减区间是[−1,−13],单调递增区间是[−13,1]. 19.【解析】(1)由题意得cos π3= =22=12, 即√2−2cosB =12, 所以2sin 2B=1-cosB,2cos 2B-cosB-1=0,所以cosB=-12或cosB=1(舍去),因为0<B<π,所以B=2π3. (2)由(1)知A+C=π3, 而a sinA =c sinC =b sinB =√3sin 2π3=2,所以a+c=2sinA+2sinC=2[sinA +sin (π3−A)] =2(sinA +√32cosA −12sinA) =2sin (A +π3),因为0<A<π3,所以π3<A+π3<2π3. 所以√32<sin (A +π3)≤1, 所以a+c=2sin (A +π3)∈(√3,2],故a+c 的最大值为2.20.【解析】(1)由题意知,当0<x ≤12时,y=2x(1-p)-px,所以y=2x (1−x 2+60540)-x 3+60x 540=53x-x 3180,当12<x ≤20时,y=2x(1-p)-px=2x (1−12)-12x=12x, 即y={53x −x 3180,x ∈(0,12],12x,x ∈(12,20].(2)当x ∈(0,12]时,y ′=53-x 260=100−x 260,令y′=0,得x=10,当0<x<10时,y′>0;当10<x≤12时,y′<0,所以,当x=10时,y max=1009,当x∈(12,20]时,y=12x在(12,20]上单调递增,当x=20时,y max=10,由于1009>10,所以当该工厂的日产量为10万件时,日利润最大,最大日利润为1009万元.21.【解题提示】(1)由导数的几何意义求解.(2)分类讨论.(3)构造函数证明不等式.【解析】(1)因为f′(x)=2x-a(x>0),所以f′(1)=2-a,又f(1)=-a,所以切线方程为y+a=(2-a)(x-1).又切线过点(2,0),所以0+a=(2-a)(2-1),解得a=1.(2)由(1)知f′(x)=2x-a(x>0),①当a≤0时,f′(x)>0恒成立,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;②当a>0时,令f′(x)>0,有x∈(0,2a),f(x)在(0,2a )上单调递增;令f′(x)<0,有x∈(2a,+∞),f(x)在(2a,+∞)上单调递减.故当a≤0时,f(x)的单调增区间为(0,+∞),当a>0时,f(x)的单调增区间为(0,2a ),单调减区间为(2a,+∞).(3)由题意知f(x1)=0,f(x2)=0. 即2lnx1-ax1=0,2lnx2-ax2=0,则2lnx 2-2lnx 1=a(x 2-x 1),a=2ln x 2x 1x 2−x 1.因为f ′(x)=2x -a, 所以f ′(x 1+2x 23)=6x 1+2x 2-a=6x 1+2x 2-2ln x 2x 1x 2−x 1, 要证f ′(x 1+2x 23)<0,只需证6x 1+2x 2-2ln x 2x 1x 2−x 1<0,①因为x 2>x 1>0,所以x 2-x 1>0,x 1+2x 2>0,故①式可化为3(x 2−x 1)x 1+2x 2-ln x 2x 1<0,即3(x 2x 1−1)2·x 2x 1+1-ln x 2x 1<0, 令t=x 2x 1,则t>1,构造函数h(t)=3(t−1)2t+1-lnt,则h ′(t)=9(2t+1)-1t =-(4t−1)(t−1)t(2t+1).显然t>1时,h ′(t)<0,即h(t)在[1,+∞)上单调递减,所以h(t)<h(1)=0. 即证得f ′(x 1+2x 23)<0.关闭Word 文档返回原板块。