人教新课标版数学高二-人教B版选修2-2课时作业 合情推理
高二数学选修2-2第二章推理与证明课时练习一合情推理
高二数学选修2-2第二章推理与证明课时练习一合情推理一、选择题1、数列2，5，11，20，x ，47…中的x 等于（ ）A 28B 32C 33D 27 2、对“c b a 、、是不全相等的正数”，给出以下判断：① 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ；② b a b a b a =<>及与中至少有一个成立； ③ c a c b c a ≠≠≠,,不能同时成立，其中判断准确的个数是（ ）A 0B 1C 2D 33、数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，…的第1000项是（ ） A 42 B 45 C 48 D 514、与函数x y =为相同函数的是（ ）A 2x y = B xx y 2= C xe y ln = D x y 22log =二、填空题5、从222576543,3432,11=++++=++=中，克的一般性结论是_________________ 6、设221)(+=xx f ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得)6()5()0()4()5(f f f f f ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-的值是________________.三、解答题7、若数列{}n a 为等差数列，且),,(,+∈≠==N n m n m b a a a n m ，则mn ambn a n m --=+，现已知数列{}),0(+∈>N n b b nn 为等比数列，且),,(,+∈≠==N n m n m b b a b n m ，类比以上结论，可得到什么命题？并证明你的结论.8、若数列{}n a 满足1,2211+-==+n n n na a a a ，试猜测这个数列的通项公式。
选做题9、若数列{}n a 的前8项的值各异，且n n a a =+8对任意的+∈N n 都成立，则以下数列中，可取遍{}n a 的前8项值的数列是（ ）A {}12+k aB {}13+k aC {}14+k aD {}16+k a 10、观察（1）15tan 75tan 75tan 10tan 10tan 5tan )2(;110tan 60tan 60tan 20tan 20tan 10tan 000000000000=++=++由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论。
高中数学选修2-2(人教B版)第二章推理与证明2.1知识点总结含同步练习题及答案
第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理
一、学习任务 1. 能用归纳和类比等进行简单的推理，体会并了解合情推理在数学发现中的作用． 2. 理解演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理． 3. 了解合情推理和演绎推理的联系和区别．
二、课后作业
（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）
1. 下面说法正确的有 (
)
①演绎推理是由一般到特殊的推理； ②演绎推理得到的结论一定是正确的； ③演绎推理一般模式是"三段论"形式； ④演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关． A．1 个
答案： D
B．2 个
答案： B
)
B．4 或 6 或 7 或 8 个部分D．6 或 7 或 8 个部分
C．4 或 7 或 8 个部分
4. 已知 √2 +
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− − 2 2 3 3 4 4 = 2 ⋅ √ ，√3 + = 3 ⋅ √ ，√4 + = 4 ⋅ √ ，…．若 3 3 8 8 15 15 − − − − − − − a a √8 + = 8 ⋅ √ （a, t 均为正实数），类比以上等式，可推测 a, t 的值，则 a + t = t t
答案： 解析： 根据已知归纳推理有根号下的分子和根号前面的数字一样，即
．
71
数相乘减一，所以 t = 64 − 1 = 63 ．
a = 8，分母等于分子与根式外的
高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
C．3 个
D．4 个
2. "因为对数函数 y = loga x 是增函数，而 y = log 1 x 是对数函数，所以 y = log 1 x 是增函数"．这个推 理是错误的，是因为 ( A．大前提错误
高中数学选修2-2课时作业9：2.1.1 合情推理
2.1.1 合情推理一、选择题1．关于归纳推理，下列说法正确的是( ) A ．归纳推理是一般到一般的推理 B ．归纳推理是一般到个别的推理 C ．归纳推理的结论一定是正确的 D ．归纳推理的结论是或然性的 2．下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，动点P 满足|P A |＋|PB |＝2a >|AB |，得P 的轨迹为椭圆 B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的面积S ＝πab D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇3．数列{a n }：2,5,11,20，x,47，…中的x 等于( ) A ．28 B ．32 C ．33 D ．274．在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，则猜想a n 是( ) A ．2n －2－12B ．2n －2 C ．2n －1＋1 D ．2n ＋1－45．某人为了观看2012年奥运会，从2005年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄， 若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2012年将所 有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为( ) A ．a (1＋p )7 B ．a (1＋p )8C. ap [(1＋p )7－(1＋p )] D. ap[(1＋p )8－(1＋p )] 6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 等于( ) A.2(n ＋1)2B.2n(n＋1)C.22n－1D.22n－17．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)8．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111…A．1111110B．1111111C．1111112D．11111139．把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是()A．27 B．28C．29 D．30二、填空题10．观察以下各等式：sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝3 4，sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝3 4，sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝3 4.分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，为____________________．11．观察下列由火柴杆拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________根；第n个图形中，火柴杆有________根．12．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得一般规律是__________________．13．观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S，按此规律推出S与n的关系式为________．14．观察下列等式：C15＋C55＝23－2，C19＋C59＋C99＝27＋23，C113＋C513＋C913＋C1313＝211－25，C117＋C517＋C917＋C1317＋C1717＝215＋27，……由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，C14n＋1＋C54n＋1＋C94n＋1＋…＋C4n＋14n＋1＝__________________.三、解答题15.a n是首项为1的正项数列，且(n＋1)a2n＋1－na2n＋a n＋1·a n＝0(n≥1，n∈N)，试归纳出这个数列的一个通项公式．16．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立，在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立，在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，有怎样的不等式成立？17．下图中(1)、(2)、(3)、(4)为四个平面图．数一数每个平面图各有多少个顶点？多少条边？ 它们围成了多少个区域？并将结果填入下表中．(1) (2)现已知某个平面图有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个 平面图有多少条边？18．在一容器内装有浓度为r %的溶液a 升，注入浓度为p %的溶液14a 升，搅匀后再倒出溶液14a 升，这叫一次操作，设第n 次操作后容器内溶液的浓度为b n (每次注入的溶液浓度都是 p %)，计算b 1、b 2、b 3，并归纳出b n 的计算公式．19．设f(n)＝n2＋n＋41，n∈N＋，计算f(1)，f(2)，f(3)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n＝40验证猜想是否正确．——★参考答案★——1.[答案]D[解析]归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论的正确性不一定．故应选D.2. [答案]B[解析]由归纳推理的定义知B 是归纳推理，故应选B. 3. [答案]B[解析]因为5－2＝3×1,11－5＝6＝3×2,20－11＝9＝3×3，猜测x －20＝3×4,47－x ＝3×5，推知x ＝32.故应选B. 4. [答案]B[解析]∵a 1＝0＝21－2， ∴a 2＝2a 1＋2＝2＝22－2， a 3＝2a 2＋2＝4＋2＝6＝23－2， a 4＝2a 3＋2＝12＋2＝14＝24－2， ……猜想a n ＝2n －2. 故应选B. 5. [答案]D[解析]到2006年5月10日存款及利息为a (1＋p )． 到2007年5月10日存款及利息为 a (1＋p )(1＋p )＋a (1＋p )＝a [(1＋p )2＋(1＋p )] 到2008年5月10日存款及利息为 a [(1＋p )2＋(1＋p )](1＋p )＋a (1＋p ) ＝a [(1＋p )3＋(1＋p )2＋(1＋p )] ……所以到2012年5月10日存款及利息为 a [(1＋p )7＋(1＋p )6＋…＋(1＋p )] ＝a (1＋p )[1－(1＋p )7]1－(1＋p )＝ap [(1＋p )8－(1＋p )]． 故应选D. 6. [答案]B[解析]因为S n ＝n 2a n ，a 1＝1， 所以S 2＝4a 2＝a 1＋a 2⇒a 2＝13＝23×2，S 3＝9a 3＝a 1＋a 2＋a 3⇒a 3＝a 1＋a 28＝16＝24×3，S 4＝16a 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4⇒a 4＝a 1＋a 2＋a 315＝110＝25×4.所以猜想a n ＝2n (n ＋1)，故应选B.7. [答案]D[解析]本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，选D ，体现了对学生观察能力，概括归纳推理的能力的考查． 8. [答案]B[解析]根据规律应为7个1，故应选B. 9. [答案]B[解析]观察归纳可知第n 个三角形数共有点数：1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2个，∴第七个三角形数为7×(7＋1)2＝28.10.[答案]sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝3411.[答案]13,3n ＋1[解析]第一个图形有4根，第2个图形有7根，第3个图形有10根，第4个图形有13根……猜想第n 个图形有3n ＋1根．12.[答案]n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2[解析]第1式有1个数，第2式有3个数相加，第3式有5个数相加，故猜想第n 个式子 有2n －1个数相加，且第n 个式子的第一个加数为n ，每数增加1，共有2n －1个数相加，故第n 个式子为：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋{n ＋[(2n －1)－1]} ＝(2n －1)2，即n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2. 13.[答案]S ＝4(n －1)(n ≥2)[解析]每条边上有2个圆圈时共有S ＝4个；每条边上有3个圆圈时，共有S ＝8个；每条 边上有4个圆圈时，共有S ＝12个．可见每条边上增加一个点，则S 增加4，∴S 与n 的关 系为S ＝4(n －1)(n ≥2)． 14.[答案]24n －1＋(－1)n 22n －1[解析]本小题主要考查归纳推理的能力15.[解析]当n ＝1时，a 1＝1，且2a 22－a 21＋a 2·a 1＝0， 即2a 22＋a 2－1＝0，解得a 2＝12，当n ＝2时，由3a 23－2(12)2＋12a 3＝0，即6a 23＋a 3－1＝0，解得a 3＝13，……由此猜想：an ＝1n.16.[解析]根据已知特殊的数值：9π、162π、253π，…，总结归纳出一般性的规律：n 2(n －2)π(n ≥3)．∴在n 边形A 1A 2…A n 中：1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2(n －2)π(n ≥3)．17.[解析]各平面图形的顶点数、边数、区域数如下表：故可猜想此平面图可能有1996条边．等式右端第一项指数3,7,11,15，…构成的数列通项公式为a n ＝4n －1，第二项指1,3,5,7，…的通项公式b n ＝2n －1，两项中间等号正、负相间出现，∴右端＝24n －1＋(－1)n 22n －1. 18.[解析]b 1＝a ·r 100＋a 4·p100a ＋a 4＝1100⎝⎛⎭⎫45r ＋15p ，b 2＝ab 1＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫452r ＋15p ＋452p . b 3＝a ·b 2＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫453r ＋15p ＋452p ＋4253P ， ∴归纳得b n ＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫45n r ＋15p ＋452p ＋…＋4n －15n P .19.[解析]f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47，f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61，f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83，f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113，f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151.由于43、47、53、61、71、83、97、113、131、151都为质数．即：当n取任何非负整数时f(n)＝n2＋n＋41的值为质数．但是当n＝40时，f(40)＝402＋40＋41＝1681为合数．所以，上面由归纳推理得到的猜想不正确．。
数学人教B选修2-2学案：第二章1 合情推理 含答案
数学人教B选修2-2第二章2.1.1 合情推理1．理解合情推理的含义，能利用归纳推理和类比推理进行简单的推理．2．体会并认识合情推理在数学发现中的重要作用．1．推理的结构与合情推理(1)从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做______；一部分是由已知推出的判断，叫做______．(2)前提为真时，结论______为真的推理，叫做合情推理．推理也可以看作是用连接词将前提和结论逻辑的连接，常用的连接词有：“因为……所以……”；“根据……可知……”；“如果……那么……”等．【做一做1】下列说法正确的是()．A．由合情推理得出的结论一定是正确的B．合情推理必须有前提有结论C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的结论无法判定正误2．归纳推理(1)根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做________(简称______)．(2)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．归纳推理的特点：(1)归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；(2)归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的；(3)人们在进行归纳推理的时候，总是先搜集一不定期的事实材料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和实验的基础上进行；(4)归纳推理能够发现前的事实、获得新结论，是科学发现的重要手段。
【做一做2－1】数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于()．A．28 B．32 C．33 D．27【做一做2－2】已知等式sin230°＋sin230°＋sin 30°·sin 30°＝34，sin240°＋sin220°＋sin40°·sin 20°＝34，下面的等式中具有一般性且包含了已知等式的是()．A．sin2α＋sin2(60°－α)＋sin α·sin(60°－α)＝3 4B．sin2α＋sin2(60°＋α)＋sin α·sin(60°＋α)＝3 4C ．sin 2(60°＋α)＋sin 2(60°－α)＋sin(60°＋α)·sin(60°－α)＝34D ．sin 2α＋sin 2α＋sin α·sin α＝343．类比推理(1)根据____________之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做________(简称______)．它属于合情推理．(2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．类比推理有以下几个特点：(1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性之中，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果；(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；(3)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能．【做一做3－1】在平面内，两条相交直线将整个平面分成四部分，类似地，在空间，两个相交平面将整个空间分成________．【做一做3－2】十进制中，2 004＝4×100＋0×101＋0×102＋2×103，那么在五进制中，数码2 004折合成十进制为( )．A ．29B ．254C ．602D ．2 004归纳推理的一般步骤是什么？剖析：(1)实验、观察：通过观察个别事物发现某些相同性质．(2)概括、推广：从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题，并且在一般情况下，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠．(3)猜测一般性结论：通过实例去分析、归纳问题的一般性结论．题型一 归纳推理【例题1】在一容器内装有浓度为r %的溶液a 升，注入浓度为p %的溶液14a 升，搅匀后再倒出溶液14a 升，这叫一次操作，设第n 次操作后容器内溶液的浓度为b n (每次注入的溶液浓度都是p %)，计算b 1，b 2，b 3，并归纳出b n 的计算公式．反思：归纳法是获得数学结论的一条重要途径，运用不完全归纳法通过观察、实验，从特例中归纳出一般性结论，形成猜想．题型二 类比推理【例题2】在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α，β，且cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．分析：考虑到平面几何中为长方形，故可联想到立体几何中的长方体．反思：(1)类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比、归纳，提出猜想．(2)也可类比为：长方体的体对角线与同顶点出发的三个面所成的角分别为α，β，γ，则有cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.(3)(2)中的结论是不对的，实际上此时cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2，由此可知类比的结论不是唯一的，也不一定正确．题型三 易错辨析 易错点：在进行类比推理时，由于类比的相似性少或被一些表面现象迷惑导致类比结论错误，解决这类问题的关键是：先充分认识两类事物的相同(或相似)之处，充分考虑其中的本质联系，再进行类比．错解一：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各棱长之和的乘积的13.错解二：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各面面积之和的乘积的12.1已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33等于( )． A ．3 B ．－3 C ．6 D ．－62已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝12×底×高，可推知扇形的面积公式S 扇等于( )．A ．r 22B ．l 22C ．12lr D ．不可类比3对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是正四面体内任意一点到各面的距离之和( )．A ．为定值B ．为变数C ．有时为定值，有时为变数D ．与正四面体无关的常数4如图所示，由火柴杆拼成的一列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成：通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________根；第n 个图形中，火柴杆有________根．5设f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．答案： 基础知识·梳理1．(1)前提 结论 (2)可能 【做一做1】B2．(1)归纳推理 归纳【做一做2－1】B ∵5＝2＋3×1,11＝5＋3×2,20＝11＋3×3，∴x ＝20＋3×4＝32. 【做一做2－2】A 等式右边为34，左侧两角和为60°.3．(1)两类不同事物 类比推理 类比 【做一做3－1】四部分【做一做3－2】B 找到十进制与五进制的相似之处．十进制中由低到高的单位依次为100,101,102，…，五进制中由低到高的单位依次为50,51,52，…，那么在五进制中2 004＝4×50＋0×51＋0×52＋2×53＝4＋2×53＝4＋250＝254，∴五进制中的数码2 004折合成十进制为254.故选B.典型例题·领悟【例题1】解：由题意可得， b 1＝a ·r 100＋a 4·p100a ＋a 4＝1100⎝⎛⎭⎫45r ＋15p ， b 2＝ab 1＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫452r ＋15p ＋452p ， b 3＝a ·b 2＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫453r ＋15p ＋452p ＋4253p ， 所以归纳得b n ＝1100⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫45n r ＋15p ＋452p ＋…＋4n －15n p . 【例题2】解：在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：如图，cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ ＝⎝⎛⎭⎫m l 2＋⎝⎛⎭⎫n l 2＋⎝⎛⎭⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l2＝1. 【例题3】错因分析：错解一中“三角形周长”的类比错误，错解二中“12”的类比错误．“三角形周长”应类比为“三棱锥的各面面积之和”；“12”应类比为“13”．正解：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各面面积之和的乘积的13.随堂练习·巩固1．A 由题意可得，a 1＝3，a 2＝6，a 3＝3，a 4＝－3，a 5＝－6，a 6＝－3，a 7＝3，a 8＝6，归纳出每6项一个循环，则a 33＝a 3＝3.2．C 由扇形的弧长与半径类比于三角形的底与高，可得S 扇＝12lr .3．A4．13 3n ＋15．32 ∵f (x )＋f (1－x )＝12x ＋2＋121－x ＋2＝12x ＋2＋2x2＋2·2x ＝12， ∴f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)＝6×12＝3 2.。
高中数学人教B版选修2-2学案2.1.1 合情推理 Word版含解析
．合情推理与演绎推理．合情推理．了解推理的结构及合情推理的定义．(易混点)．了解归纳推理的定义与特点，掌握归纳推理的一般步骤，能利用归纳推理解决问题．(重点)．了解类比推理的定义与特点，掌握类比推理的一般步骤，能利用类比推理解决简单的问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理推理与合情推理阅读教材，完成下列问题．．推理的定义根据一个或几个已知的事实(或假设)得出一个，这种思维方式叫做推理．．推理的结构推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做；一部分是由已知推出的判断，叫做．．推理的分类推理一般分为推理与推理．．合情推理前提为真时，结论为真的推理，叫做合情推理．【答案】.判断.前提结论.合情演绎．可能如图--所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有(>，∈＋)个点，每个图形总的点数记为，则＝，＝(>，∈＋)．图--【解析】依据图形特点，可知第个图形中三角形各边上各有个点，因此＝×)．－＝.由＝的图形特点归纳得＝－(>，∈＋【答案】－教材整理归纳推理与类比推理阅读教材～，完成下列问题．．归纳推理()定义根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做(简称)．()归纳推理的一般步骤①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．【答案】.()归纳推理归纳．类比推理()定义：根据之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做(简称)．它属于合情推理．()类比推理的一般步骤①找出两类事物之间的相似性或一致性；②。
人教新课标版数学高二-人教数学选修2-2练习 .1合情推理
选修2-2 第二章 2.1 2.1.1 第1课时一、选择题1.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( ) A ．B ．△C ．▭D ．○[答案] A[解析] 观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．2．在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，则猜想a n ＝( ) A ．2n －2－12B ．2n －2C ．2n －1＋1 D ．2n ＋1－4[答案] B[解析] ∵a 1＝0＝21－2， ∴a 2＝2a 1＋2＝2＝22－2， a 3＝2a 2＋2＝4＋2＝6＝23－2， a 4＝2a 3＋2＝12＋2＝14＝24－2， ……猜想a n ＝2n －2.故应选B.3．数列{a n }：2,5,11,20，x,47，…中的x 等于( ) A ．28 B ．32 C ．33 D ．27[答案] B[解析] 因为5－2＝3×1,11－5＝6＝3×2,20－11＝9＝3×3，猜测x －20＝3×4,47－x ＝3×5，推知x ＝32.故应选B.4．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2[答案] C[解析]从①②③可以看出，从第②个图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.5．图(1)、图(2)、图(3)、图(4)分别包含1、5、13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第n个图包含________个互不重叠的单位正方形．()A．n2－2n＋1 B．2n2－2n＋1C．2n2＋2 D．2n2－n＋1[答案] B[解析]观察题中给出的四个图形，图(1)共有12个正方形，图(2)共有12＋22个正方形；图(3)共有22＋32个正方形；图(4)共有32＋42个正方形；则第n个图中共有(n－1)2＋n2，即2n2－2n＋1个正方形．6．n个连续自然数按规律排列下表：01234567891011…根据规律，从2010到2012箭头的方向依次为()A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓[答案] C[解析]观察特例的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由234可知从2010到2012为↑→，故应选C.二、填空题7．观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10， ……由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *,12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝________.[答案] (－1)n ＋1n 2＋n2[解析] 注意到第n 个等式的左边有n 项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2＝n 2＋n2，注意到右边的结果的符号的规律是：当n 为奇数时，符号为正；当n 为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(－1)n ＋1n 2＋n2. 8．(2013·陕西文，13)观察下列等式： (1＋1)＝2×1；(2＋1)(2＋2)＝22×1×3；(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5； ……照此规律，第n 个等式可为__________________________________． [答案] (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)[解析] 观察规律，等号左侧第n 个等式共有n 项相乘，从n ＋1到n ＋n ，等式右端是2n 与等差数列{2n －1}前n 项的乘积，故第n 个等式为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)．9．观察下图中各正方形图案，每条边上有n (n ≥2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S ，按此规律推出S 与n 的关系式为________．[答案] S ＝4(n －1)(n ≥2)[解析] 每条边上有2个圆圈时共有S ＝4个；每条边上有3个圆圈时，共有S ＝8个；每条边上有4个圆圈时，共有S ＝12个．可见每条边上增加一个点，则S 增加4，∴S 与n 的关系为S ＝4(n －1)(n ≥2)．三、解答题10．证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论． 2cos π4＝2，2cos π8＝2＋2，2cos π16＝2＋2＋2，……[证明] 2cos π4＝2·22＝ 22cos π8＝21＋cosπ42＝2·1＋222＝2＋ 22cos π16＝21＋cosπ82 ＝21＋122＋22＝2＋2＋ 2…观察上述等式可以发现，第n 个等式右端有n 个根号，n 个2，左端“角”的分母为22,23,24，…，故第n 个等式的左端应为2cos π2n ＋1，由此可归纳出一般性的结论为：2cos π2n ＋1＝2＋2＋2＋…n 个根号一、选择题11．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2、a 3、a 4，猜想a n等于( )A ．2(n ＋1)2B ．2n (n ＋1)C ．22n －1D ．22n －1[答案] B[解析] 因为S n ＝n 2a n ，a 1＝1，所以S 2＝4a 2＝a 1＋a 2⇒a 2＝13＝23×2，S 3＝9a 3＝a 1＋a 2＋a 3⇒a 3＝a 1＋a 28＝16＝24×3，S 4＝16a 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4 ⇒a 4＝a 1＋a 2＋a 315＝110＝25×4.所以猜想a n ＝2n (n ＋1)，故应选B.12．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )[答案] D[解析] 本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，选D ，体现了对学生观察能力，概括归纳推理能力的考查． 13．把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是( ) A ．27 B ．28 C ．29 D ．30[答案] B[解析] 观察归纳可知第n 个三角形数共有点数：1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2个，∴第七个三角形数为7×(7＋1)2＝28.二、填空题14．下面是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“连线”表示化学键，按图中结构第n 个图有________个原子，有________个化学键．[答案] 4n ＋2,5n ＋1[解析] 第1、2、3个图形中分别有原子个数为6,6＋4,6＋4×2，故第n 个图形有原子6＋4×(n －1)＝4n ＋2个．第1、2、3个图形中，化学键个数依次为6、6＋5、6＋5×2、… ∴第n 个图形化学键个数为 6＋5×(n －1)＝5n ＋1.15．(2014·三峡名校联盟联考)观察下列不等式： 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， ……照此规律，第五个．．．不等式为____________________________． [答案] 1＋122＋132＋142＋152＋162<116[解析] 本题考查了归纳的思想方法．观察可以发现，第n (n ≥2)个不等式左端有n ＋1项，分子为1，分母依次为12、22、32、…、(n ＋1)2；右端分母为n ＋1，分子成等差数列，因此第n 个不等式为1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1， 所以第五个不等式为： 1＋122＋132＋142＋152＋162<116. 16．(2013·新疆兵团二师华山中学高二期中)在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立，在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立，在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，有不等式__________________________成立．[答案] 1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2(n －2)π(n ≥3)[解析] 根据已知特殊的数值：9π、162π、253π，…，总结归纳出一般性的规律：n 2(n －2)π(n ≥3)．∴在n 边形A 1A 2…A n 中：1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2(n －2)π(n ≥3)．三、解答题17．(2013·西宁质检)已知等式sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34，sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34.请写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含已知的等式，并证明结论的正确性．[解析] 等式为sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α) ＝sin 2α＋1＋cos (60°＋2a )2＋sin α(cos30°·cos α－sin30°·sin α)＝12＋sin 2α＋cos (60°＋2α)2＋34sin2α－12sin 2α＝12＋sin 2α＋12(12cos2α－32sin2α)＋34sin2α－12sin 2α＝12＋sin 2α＋14cos2α－34sin2α＋34sin2α－12sin 2α＝12＋12sin 2α＋14(1－2sin 2α)＝34.。
人教B版高中数学选修22第2章21第1课时《合情推理》课时作业
【成才之路】2015—2016学年高中数学第2章 2、1第1课时合情推理课时作业新人教B版选修2—2一、选择题1。
下面使用类比推理正确的是( ）A.“若a·4＝b·4,则a＝b"类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b"B。
“（a＋b）c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”C.“(a＋b）c＝ac＋bc"类比推出“错误!＝错误!＋错误!（c≠0）”D.“(ab)n＝a n b n"类比推出“（a＋b）n＝a n＋b n”[答案］ C2。
已知数列{a n｝满足a1＝0，a n＋1＝错误!(n∈N＋）,则a20＝( )A.0 B。
－错误!C、错误!D。
错误![答案] B[解析］∵a1＝0，∴a2＝－3,a3＝错误!＝错误!,a4＝0，…,由此可以看出周期为3,∴a20＝a3×6＋2＝a2＝－错误!、3.下面几种推理是合情推理的是( ）①由圆的性质类比出球的有关性质;②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°,归纳出所有三角形的内角和都是180°;③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°,由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°、A。
①②B。
①③④C。
①②④D。
②④[答案] C［解析]①是合情推理中的类比法，排除D；②是归纳推理,排除B;④是归纳推理.故选C、4。
已知数列{a n｝中，a1＝1,当n≥2时，a n＝2a n－1＋1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的一个表达式是( ）A.n2－1 B。
（n－1)2＋1C.2n－1D.2n－1＋1[答案］ C［解析］a2＝2a1＋1＝2×1＋1＝3,a3＝2a2＋1＝2×3＋1＝7，a4＝2a3＋1＝2×7＋1＝15，利用归纳推理，猜想a n＝2n－1,故选C、5.观察（x2）′＝2x,(x4）′＝4x3，(cos x)′＝－sin x,由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f(x）满足f（－x）＝f(x），记g(x）为f(x)的导函数,则g（－x)＝( ）A。
人教版高中数学高二选修2-2课时作业2-1合情推理与演绎推理
课时作业7合情推理与演绎推理一、选择题1．如果对象A和对象B都具有相同的属性P，Q，R等，此外已知对象A还有一个属性S，而对象B还有一个未知的属性x，由此类比推理，可以得出下列哪个结论可能成立()A．x就是P B．x就是QC．x就是R D．x就是S各自另外的属性S只能类比x.故应选D.D2．由数列1,10,100,1 000，…，猜测该数列的第n项可能是() A．10n B．10n－1C．10n＋1D．11n由数字特征，归纳推测可能是10n－1.故应选B.B3．观察下图图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()A．■B．△C．▭D．○图形涉及三种符号▭，○，△；其中○与△各有3个，且各自有二黑一白，所以缺一个黑色▭符号，即应画上■才合适．故应选A.A4．下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③教室内一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④本题可利用合情推理的定义进行判断，其中③中前提太特殊导致结论很难判断真假，因此不是合情推理．故应选C.C5．三角形的面积为S＝12(a＋b＋c)·r，a，b，c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可以得出四面体的体积为()A．V＝13abcB ．V ＝13ShC ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (S 1，S 2，S 3，S 4分别为四面体四个面的面积，r 为四面体内切球的半径)D ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac )h (h 为四面体的高)由平面向空间类比时，一般是面积对应体积，12对应13，边长对应面积，内切圆半径对应内切球半径．故应选C. C6．设0<θ<π2，已知a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n ，则猜想a n ＝( )A ．2cos θ2nB ．2cosθ2n －1 C ．2cos θ2n ＋1D ．2sin θ2na 2＝2cos θ2，a 3＝2cos θ4，a 4＝2cos θ8，…猜测a n ＝2cos θ2n －1.故应选B. B7．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2，可推出扇形的面积公式S 扇＝( )A.r 22B.l 22C.lr 2D ．不可类比由类比推理知S 扇＝12lr .故应选C. C8．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7＝( ) 1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111 A ．1 111 110 B ．1 111 111 C ．1 111 112D ．1 111 113类比前五行可得出结论B. 故应选B. B 二、填空题9．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝12对称，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝________. 因为f (x )在R 上是奇函数， 所以f (0)＝0，f (－x )＝－f (x )， 又y ＝f (x )的图象关于直线x ＝12对称．所以f (x )＝f (1－x )， 所以f (1)＝f (1－1)－f (0)＝0，f (2)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)＝0， f (3)＝f (1－3)＝f (－2)＝－f (2)＝0， f (4)＝f (1－4)＝f (－3)＝－f (3)＝0， f (5)＝f (1－5)＝f (－4)＝－f (4)＝0， 所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝0. 010．在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n ＜19，n ∈N ＋)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式________成立．事实上，对等差数列{a n }，如果a k ＝0，则a n ＋1＋a 2k －1－n ＝a n＋2＋a 2k －2－n ＝…＝a k ＋a k ＝0.所以有：a 1＋a 2＋ …＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋(a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 2k －2－n ＋a 2k －1－n )(n <2k －1，n ∈N ＋)．从而对等比数列{b n }，如果b k ＝1，则有等式：b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 2k －1－n (n <2k －1，n ∈N ＋)成立．b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，b ∈N *) 11．下表给出了一个“三角形数阵”：14 12，14 34，38，316 1，12，14，18……依照表中数的分布规律，可猜得第10行第6个数是________． 观察可知第10行第一个数为104，且每行均为公比是12的等比数列，所以第6个数为104×⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝564. 56412．在工程技术中，常用到双曲正弦函数sh x ＝e x －e －x2和双曲余弦函数ch x ＝e x ＋e －x2，其实双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数相类似，比如关于正余弦函数有：cos(x ＋y )＝cos x cos y －sin x sin y 成立，而关于双曲余弦函数满足ch(x ＋y )＝ch x ch y －sh x sh y ，请你类比此关系式，写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个新公式______________________________．以下答案供参考： ch(x －y )＝ch x ch y ＋sh x sh y ； sh(x ＋y )＝sh x ch y ＋ch x sh y ； sh2x ＝2sh x ·ch x ；ch2x ＝ch 2x －sh 2x ＝1＋2sh 2x ＝2ch 2x －1； ch 2x －sh 2x ＝1等． 三、解答题 13．设S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n ×(n ＋1)，写出S 1，S 2，S 3，S 4的值，归纳并猜想出结果．当n ＝1,2,3,4时，计算得原式的值分别为：S 1＝12，S 2＝23，S 3＝34，S 4＝45.观察这4个结果都是分数，每个分数的分子与项数对应，且分子比分母恰好小1.归纳猜想：S n ＝n n ＋1.推算：由11×2＝1－12，12×3＝12－13，…，1n ×(n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴S n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.14．把下列演绎推理写成三段论的形式．(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾；(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除；(3)三角函数都是周期函数，y ＝tan α是三角函数，因此y ＝tan α是周期函数；(4)两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，那么∠A ＋∠B ＝180°.(1)大前提：在一个标准大气压下，水的沸点是100℃， 小前提：在一个标准大气压下把水加热到100℃， 结论：水会沸腾．(2)大前提：一切奇数都不能被2整除，小前提：2100＋1是奇数，结论：2100＋1不能被2整除．(3)大前提：三角函数都是周期函数，小前提：y＝tanα是三角函数，结论：y＝tanα是周期函数．(4)大前提：两条直线平行，同旁内角互补，小前提：∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，结论：∠A＋∠B＝180°.15．如下图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．如图所示，在四面体P－ABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.16．如下图，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，D，E是垂足，求证：(1)△ABD是直角三角形；(2)AB的中点M到D，E的距离相等．(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形(大前提) 在△ABD中，AD⊥BC，即∠ADB＝90°(小前提) 所以△ABD是直角三角形(结论)(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(大前提)因为DM是直角△ABD斜边上的中线，(小前提)所以DM＝12AB. (结论)同理EM＝12AB.所以DM＝EM，即M到D，E的距离相等．。
【人教B版】选修2-2：2.1.2《演绎推理》课时作业及答案
【成才之路】高中数学第2章 2.1第2课时演绎推理课时作业新人教B版选修2-2一、选择题1．下面说法正确的个数为( )①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理一般模式是“三段论”形式；④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．A．1 B．2C．3 D．4[答案] C2．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港；②这艘船是准时到达目的港的；③所以这艘船是准时起航的”中的“小前提”是( )A．①B．②C．①②D．③[答案] B3．(2015·锦州期中)若三角形两边相等，则该两边所对的内角相等，在△ABC中，AB ＝AC，所以在△ABC中，∠B＝∠C，以上推理运用的规则是( )A．三段论推理B．假言推理C．关系推理D．完全归纳推理[答案] A[解析]根据三角形两边相等，则该两边所对的内角相等(大提前)，在△ABC中，AB＝AC，(小前提)所以在△ABC中，∠B＝∠C(结论)，符合三段论．4．观察下面的演绎推理过程，判断正确的是( )大前提：若直线a⊥直线l，且直线b⊥直线l，则a∥b.小前提：正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1⊥AA1，且AD⊥AA1.结论：A1B1∥AD.A．推理正确B．大前提出错导致推理错误C．小前提出错导致推理错误D．仅结论错误[答案] B[解析]由l⊥a，l⊥b得出a∥b只在平面内成立，在空间中不成立，故大前提错误．5．下面的推理是关系推理的是( )A．若三角形两边相等，则该两边所对的内角相等，在△ABC中，AB＝AC，所以在△ABC 中，∠B＝∠CB．因为2是偶数，并且2是素数，所以2是素数C．因为a∥b，b∥c，所以a∥cD．因为2是有理数或无理数，且2不是有理数，所以2是无理数[答案] C[解析]A是三段论推理，B、D是假言推理．故选C.6．“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等．”补充上述推理的大前提( )A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形[答案] B[解析]由结论可得要证的问题是“对角线相等”，因此它应在大前提中体现出来．故选B.7．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但大前提使用错误D．使用了“三段论”，但小前提使用错误[答案] D[解析]应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．8.如图，因为AB∥CD，所以∠1＝∠2，又因为∠2＋∠3＝180°，所以∠1＋∠3＝180°.所用的推理规则为( )A．假言推理B．关系推理C．完全归纳推理D．三段论推理[答案] D[解析]关系推理的规则是“若a＝b，b＝c，则a＝c”，或“若a∥b，b∥c，则a∥c”．故选D.二、填空题9．设f(x)定义如下数表，{x n}满足x0＝5，且对任意自然数n均有x n＋1＝f(x n)，则x2 015的值为________.[答案] 4[解析]由数表可知x1＝f(x0)＝f(5)＝2，x2＝f(x1)＝f(2)＝1，x3＝f(x2)＝f(1)＝4，x4＝f(x3)＝f(4)＝5，x5＝f(x4)＝f(5)＝2，……∴{x n}的周期为4.∴x2 015＝x3＝4.10．(2015·徐州期末)给出下列演绎推理：“自然数是整数，________，所以，2是整数”，如果这个推理是正确的，则其中横线部分应填写____________．[答案]2是自然数[解析] 由演绎推理三段论可知：“自然数是整数，2是自然数，所以，2是整数”． 11．求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是a 有意义时，a ≥0，小前提是log 2x －2有意义，结论是________．[答案] log 2x －2≥0 三、解答题12.如图所示，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形．[证明] 在△ABD 中，因为E ，H 分别是AB ，AD 的中点，所以EH ∥BD ，EH ＝12BD ，同理，FG ∥BD ，且FG ＝12BD ，所以EH ∥FG ，EH ＝FG ，所以四边形EFGH 为平行四边形.一、选择题1．下面是一段演绎推理：大前提：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线； 小前提：已知直线b ∥平面α，直线a ⊂平面α； 结论：所以直线b ∥直线a . 在这个推理中( ) A ．大前提正确，结论错误 B ．小前提与结论都是错误的 C ．大、小前提正确，只有结论错误 D ．大前提错误，结论错误 [答案] D[解析] 如果直线平行于平面，则这条直线只是与平面内的部分直线平行，而不是所有直线，所以大前提错误，当直线b ∥平面α，直线a ⊂平面α时，直线b 与直线a 可能平行，也可能异面，故结论错误，选D.2．观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，……，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．92[答案] B[解析] 记|x |＋|y |＝n (n ∈N *)的不同整数解(x ，y )的个数为f (n )，则依题意有f (1)＝4＝4×1，f (2)＝8＝4×2，f (3)＝12＝4×3，……，由此可得f (n )＝4n ，所以|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为f (20)＝4×20＝80，选B.3．在△ABC 中，若sin C ＝2cos A sin B ，则此三角形必是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形[答案] A[解析] 由sin C ＝2cos A sin B 得：c ＝2·b 2＋c 2－a 22bc·b ，即：a 2＝b 2，∴a ＝b ，∴△ABC为等腰三角形，故选A.4．若数列{a n }的前n 项和S n ＝log 5(n ＋4)，则数列{a n }从第二项起是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．以上都错[答案] B[解析] 因S n ＝log 5(n ＋4)，则当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝log 5n ＋4n ＋3＝log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋3，∴a n 的值随n 的增大而减小． ∴{a n }为递减数列，故选B. 二、填空题5．已知a >0，b >0，m ＝lg a ＋b2，n ＝lga ＋b2，则m 与n 的大小关系为________．[答案] m >n[解析] ∵(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab >a ＋b ， ∴a ＋b2>a ＋b2，∴m >n .6．设a ≥0，b ≥0，a 2＋b 22＝1，则a ·1＋b 2的最大值为________．[答案]324[解析] a ·1＋b 2＝22·2a 2·1＋b 2 ≤22×2a 2＋1＋b 22＝324. 7．已知sin α＝m －3m ＋5，cos α＝4－2mm ＋5，其中α是第二象限角，则m 的取值为________． [答案] 8 [解析] 由⎝⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1， 整理，得m 2－8m ＝0， ∴m ＝0或8.∵α是第二象限角，则sin α>0，cos α<0. 经验证知m ＝8. 三、解答题8．设函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )>f (b )，求证：ab <1. [证明] 证法1：由已知f (x )＝|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0<x <1.∵0<a <b ，f (a )>f (b )，∴a 、b 不能同时在区间[1，＋∞)上．又由于0<a <b ，故必有a ∈(0，＋∞)．若b ∈(0,1)，显然有ab <1；若b ∈(1，＋∞)，由f (a )－f (b )>0，有－lg a －lg b >0.∴lg(ab )<0.∴ab <1.证法2：由题设f (a )>f (b )，即|lg a |>|lg b |，上式等价于(lg a )2>(lg b )2，即(lg a ＋lg b )(lg a －lg b )>0.∴lg(ab )·lg a b>0. 由已知b >a >0，∴b a<1.∴lg a b<0.∴lg(ab )<0.∴0<ab <1.9．已知函数f (x )＝2x－12x ＋1(x ∈R )．(1)判断f (x )在R 上的单调性，并用定义证明； (2)当n ∈N ＋时，合理猜想f (n )与nn ＋1的大小．(不需证明)[证明] (1)f (x )在R 上是增函数．证明如下： 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝2x 2－12x 2＋1－2x 1－12x 1＋1＝22x 2－2x 12x 1＋12x 2＋1.∵x 1<x 2，∴0<2x 1<2x 2，∴2x 2－2x 1>0. ∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在R 上是增函数． (2)设g (n )＝nn ＋1.当n ＝1时，f (1)＝13，g (1)＝12， 有f (1)<g (1)；当n ＝2时，f (2)＝35，g (2)＝23，有f (2)<g (2)；当n ＝3时，f (3)＝79；g (3)＝34，有f (3)>g (3)；当n ＝4时，f (4)＝1517，g (4)＝45，有f (4)>g (4)；….从而，当n ＝1,2时，f (n )<g (n )，并猜想：当n ≥3时，f (n )>g (n )，即2n－12n ＋1>nn ＋1.。
高中数学选修2-2课时作业11：2.1.1 合情推理
§2.1 合情推理与演绎推理2．1.1 合情推理一、选择题1．下面使用类比推理，得出的结论正确的是( )A ．若“a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比出“a ＋b c ＝a c ＋bc (c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n b n ”类比出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ” 2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111…A ．1 111 110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 1133．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )等于( ) A ．f (x ) B ．－f (x ) C ．g (x )D ．－g (x )4．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示．按照图中的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )A ．6n －2B ．8n －2C ．6n ＋2D ．8n ＋25．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1·b 2·b 3·b 4·b 5·b 6·b 7·b 8·b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( )A ．a 1a 2a 3…a 9＝29B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝29C ．a 1a 2a 3…a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×96．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体A －BCD 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为R ，四面体A －BCD 的体积为V ，则R 等于( ) A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 47．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是( ) A ．(7,5) B ．(5,7) C ．(2,10) D ．(10,1)8．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )A.5＋12B.5－12C.5－1D.5＋1二、填空题9．经计算发现下列不等式：2＋18<210， 4.5＋15.5<210，3＋2＋17－2<210，…，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a ，b 都成立的条件不等式：________________________________________________________________________. 10．观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …，据此规律，第n 个等式可为____________________________________________________ ________________________________________________________________________. 11．已知等差数列{a n }的前n 项和是S n ＝n (a 1＋a n )2，由此可类比得到各项均为正数的等比数列{b n }的前n 项积T n ＝________(用n ，b 1，b n 表示)． 三、解答题12．三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形． 通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质，并填写下表：13．已知在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，有1AD 2＝1AB 2＋1AC2成立．那么在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确并给出理由．[答案]精析1．C 2.B 3.D 4.C 5.D6．C [设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和． 则四面体的体积为V 四面体A －BCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，∴R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.]7．B [依题意，由和相同的整数对分为一组不难得知，第n 组整数对的和为n ＋1，且有n 个整数对．这样前n 组一共有n (n ＋1)2个整数对．注意到10(10＋1)2<60<11(11＋1)2，因此第60个整数对处于第11组的第5个位置，可得为(5,7)．故选B.]8．A [根据“黄金椭圆”的性质是FB →⊥AB →，可以得到“黄金双曲线”也满足这个性质，设“黄金双曲线”的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则B (0，b )，F (－c,0)，A (a,0)．在“黄金双曲线”中，∵FB →⊥AB →，∴FB →·AB →＝0.又FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )，∴b 2－ac ＝0， ∴c 2－a 2＝ac .等号两边同除以a 2求得e ＝5＋12.故选A.] 9．若a ＋b ＝20，则a ＋b <210，a ，b ∈R ＋10．1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n[解析] 等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n 个有n 项，且由前几个的规律不难发现第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .11．(b 1b n )n2[解析] 由等差数列中的“求和”类比等比数列中的“求积”，可知各项均为正数的等比数列{b n }的前n 项积T n ＝(b 1b n )n2.12．解 三角形和四面体分别是平面图形和空间图形，三角形的边对应四面体的面，即平面的线类比到空间为面．三角形的中位线对应四面体的中位面，三角形的内角对应四面体的二面角，三角形的内切圆对应四面体的内切球．具体见下表：13.解 类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD .则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2.猜想正确．如图所示，连接BE ，并延长交CD 于F ，连接AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面ACD . 而AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF 2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF 2＝1AC 2＋1AD2.∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2，故猜想正确．。
人教新课标版数学高二-人教数学(B)选修2-2检测 合情推理
一、选择题1．如图2－1－5为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色()图2－1－5A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大【解析】由图知，珠子三白二黑周而复始，相继排列，因为36÷5＝7余1，所以第36颗珠子的颜色与第一颗珠子的颜色相同，即为白色，故选A.【答案】 A2．(2013·佛山高二检测)观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为() A．76B．80C．86 D．92【解析】由题意知|x|＋|y|＝1的不同整数解的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解的个数为12，则可归纳出等式右端值与不同整数解的个数成倍数关系，且解的个数为等式值的4倍，则|x|＋|y|＝20的不同整数解的个数为80.【答案】 B3．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2·a n(n≥2)，且a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想a n等于()A.2(n＋1)2B.2n(n＋1)C.22n －1D.22n －1【解析】 由a 1＝1，S 2＝22·a 2＝a 1＋a 2得a 2＝13，又a 1＋a 2＋a 3＝9×a 3得a 3＝16，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝42·a 4得a 4＝110…猜想a n ＝2n (n ＋1).【答案】 B4．(2013·杭州高二检测)已知集合A ＝{3m ＋2n |m >n 且m ，n ∈N }，若将集合A 中的数按从小到大排成数列{a n }，则有a 1＝31＋2×0＝3，a 2＝32＋2×0＝9，a 3＝32＋2×1＝11，a 4＝33＝27，…，依次类推，将数列依次排成如图2－1－5所示的三角形数阵，则第六行第三个数为( )a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6… 图2－1－5A ．247B ．735C ．733D ．731【解析】 由条件可以看出，第s 行第t 个数是3s ＋2(t －1)，所以第六行第三个数应为36＋2×(3－1)＝729＋4＝733.【答案】 C5．(2013·南昌高二检测)观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52011的末四位数字为( )A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 125【解析】 ∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58末四位数字为0 625,59末四位数字为3 125,510末四位数字为5 625,511末四位数字为8 125,512末四位数字为0 625，…，由上可得末四位数字周期为4，呈规律性交替出现，∴52011＝54×501＋7末四位数字为8 125.【答案】 D 二、填空题6．(2013·大同高二检测)已知2＋23＝2·23，3＋38＝3·38，4＋415＝4·415， (8)at＝8·at(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则a＋t＝________. 【解析】由所给等式知，a＝8，t＝82－1＝63，∴a＋t＝71.【答案】717．观察下列等式：31×2×12＝1－122，31×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，……，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N＋，31×2×12＋42×3×122＋…＋n＋2n(n＋1)×12n＝________.【解析】观察所给等式知，第n个等式的右边为1－1(n＋1)×2n.【答案】1－1(n＋1)×2n8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径为r＝a2＋b22，将此结论类比到空间，得到相类似的结论为：________.【解析】利用类比推理，可把Rt△ABC类比为三棱锥P－ABC，且PA，PB，PC两两垂直，当PA＝a，PB＝b，PC＝c时，其外接球半径为R＝a2＋b2＋c22.【答案】在三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝a，PB＝b，PC＝c，则三棱锥P－ABC的外接球的半径为R＝a2＋b2＋c22三、解答题9．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图2－1－6(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．图2－1－6(1)求出f(5)；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n＋1)与f(n)的关系式，并根据你得到的关系式求f(n)的表达式．【解】(1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，∴f(5)＝25＋4×4＝41.(2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.∴f(2)－f(1)＝4×1，f(3)－f(2)＝4×2，f(4)－f(3)＝4×3，……f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，f(n)－f(n－1)＝4·(n－1)．∴f(n)－f(1)＝4[1＋2＋…＋(n－2)＋(n－1)]＝2(n－1)·n，∴f(n)＝2n2－2n＋1.10．在平面几何中，研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值32a.类比上述命题，请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明．【解】类比所得的真命题是：棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值63a.证明：设M是正四面体P－ABC内任一点，M到面ABC，面PAB，面PAC，面PBC的距离分别为d1，d2，d3，d4.由于正四面体四个面的面积相等，故有：V P－ABC＝V M－ABC＋V M－PAB＋V M－PAC＋V M－PBC＝13·S△ABC·(d1＋d2＋d3＋d4)，而S△ABC＝34a2，V P－ABC＝212a3，故d1＋d2＋d3＋d4＝63a(定值)．11．(1)下图(a)，图(b)，图(c)，图(d)，为四个平面图形．数一数，每个平面图形各有多少个顶点？多少条边？它们围成了多少个区域？请将结果填入下表中．(a)(b)(c)(d)顶点个数边的条数区域个数(a)(2)什么关系．(3)现已知某个平面图形有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个图有多少条边．【解】(1)各平面图形的顶点个数、边的条数、区域个数分别为：(a)3,3,2.(b)8,12,6.(c)6,9,5.(d)10,15,7.(2)观察：3＋2－3＝2.8＋6－12＝2.6＋5－9＝2.10＋7－15＝2.通过观察发现，它们的顶点个数V，边的条数E，区域个数F之间的关系为V＋F－E＝2.(3)由已知V＝999，F＝999，代入上述关系式得E＝1 996，故这个图有1 996条边.。
人教版B版高中数学选修2-2：合情推理_课件1(2)
虽然归纳推理所得到的结论未必是正确 的，但它所具有的由特殊到一般，由具体 到抽象的认识功能，对于数学的发现是十 分有用的。观察、实验、对有限的资料作 归纳整理，提出带有规律性的猜想，是数 学研究的基本方法之一。
归纳推理与演绎推理虽有上述区别，但 它们在人们的认识过程中是紧密的联系着 的，两者互相依赖、互为补充，比如说， 演绎推理的一般性知识的大前提必须借助 于归纳推理从具体的经验中概括出来，从 这个意义上我们可以说，没有归纳推理也 就没有演绎推理。当然，归纳推理也离不 开演绎推理。
比如，归纳活动的目的、任务和方向是归纳 过程本身所不能解决和提供的，这只有借助 于理论思维，依靠人们先前积累的一般性理 论知识的指导，而这本身就是一种演绎活动。 而且，单靠归纳推理是不能证明必然性的， 因此，在归纳推理的过程中，人们常常需要 应用演绎推理对某些归纳的前提或者结论加 以论证。从这个意义上我们也可以说，没有 演绎推理也就不可能有归纳推理。
（3）因为三角形的内角和是180°×(3－ 2)，四边形的内角和是180°×(4－2)，五 边形的内角和是180°×(5－2)，……，所 以n边形的内角和是180°×(n－2)。
从上述事例中可以发现，其中的推理得 到的结论都是可能为真的判断，像这种前 提为真时，结论可能为真的推理，叫做合 情推理。
在学习等差数列时，我们是这样推导首 项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公 式的：
a1=a1+0d； a2=a1+1×d； a3=a1+2×d； a4=a1+3×d； …………
等差数列{an}的通项公式是an=a1+(n－1)d.
高中数学新人教版选修2-2课时作业：第二章 推理与证明章末复习课 Word版含解析
【创新设计】2016-2017学年高中数学第二章推理与证明章末复习课新人教版选修2-2题型一合情推理与演绎推理1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，它是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式，也是公理化体系所采用的推理形式．另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．例1 (1)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…试观察每组内各数之和f(n)(n∈N*)与组的编号数n的关系式为________．(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，AC⊥BC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则①a2＋b2＝c2；②cos2A＋cos2B＝1；③Rt△ABC的外接圆半径为r＝a2＋b2 2.把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；如果你能证明，写出证明过程；如果在直角三角形中你还发现了异于上面的结论，试试看能否类比到空间？(1)答案f(n)＝n3解析 由于1＝13,3＋5＝8＝23，7＋9＋11＝27＝33,13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n 组内各数之和f (n )与组的编号数n 的关系式为f (n )＝n 3.(2)解 选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象．①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，底面面积为S ，则S 21＋S 22＋S 23＝S 2. ②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1. ③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a ，b ，c ，则这个四面体的外接球的半径为R ＝a 2＋b 2＋c 22.反思与感悟 (1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法．(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性． 跟踪训练1 (1)下列推理是归纳推理的是________，是类比推理的是________． ①A 、B 为定点，若动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a >|AB |，则点P 的轨迹是椭圆； ②由a 1＝1，a n ＋1＝3a n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的通项a n 和S n 的表达式； ③由圆x 2＋y 2＝1的面积S ＝πr 2，猜想出椭圆的面积S ＝πab ； ④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇． 答案 ② ③④(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n, 则T 4，______，______，T 16T 12成等比数列． 答案T 8T 4 T 12T 8解析 等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列． 题型二 综合法与分析法综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法与综合法可相互转换，相互渗透，要充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径．一般以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表示证明过程． 例2 用综合法和分析法证明． 已知α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤sin α1－cos α.证明 (分析法)要证明2sin 2α≤sin α1－cos α成立．只要证明4sin αcos α≤sin α1－cos α.∵α∈(0，π)，∴sin α>0. 只要证明4cos α≤11－cos α.上式可变形为4≤11－cos α＋4(1－cos α)． ∵1－cos α>0， ∴11－cos α＋4(1－cos α)≥211－cos α·4(1－cos α)＝4，当且仅当cos α＝12，即α＝π3时取等号．∴4≤11－cos α＋4(1－cos α)成立．∴不等式2sin 2α≤sin α1－cos α成立．(综合法) ∵11－cos α＋4(1－cos α)≥4，(1－cos α>0，当且仅当cos α＝12，即α＝π3时取等号)∴4cos α≤11－cos α.∵α∈(0，π)，∴sin α>0. ∴4sin αcos α≤sin α1－cos α.∴2sin 2α≤sin α1－cos α.跟踪训练2 求证：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.证明 ∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)－α]＝sin β，两边同除以sin α得sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.题型三 反证法反证法是一种间接证明命题的方法，它从命题结论的反面出发引出矛盾，从而肯定命题的结论．反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题：“若p 则q ”的否定是“若p 则綈q ”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p 则綈q ”为假，从而可以导出“若p 则q ”为真，从而达到证明的目的．例3 若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋x y <2或1＋y x<2中至少有一个成立．证明 假设1＋x y <2和1＋y x<2都不成立，则有1＋x y ≥2和1＋y x≥2同时成立．因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y 且1＋y ≥2x ， 两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ， 所以x ＋y ≤2.这与已知x ＋y >2矛盾． 故1＋x y <2与1＋yx<2至少有一个成立．反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法． 跟踪训练3 已知：ac ≥2(b ＋d )．求证：方程x 2＋ax ＋b ＝0与方程x 2＋cx ＋d ＝0中至少有一个方程有实数根． 证明 假设两方程都没有实数根，则Δ1＝a 2－4b <0与Δ2＝c 2－4d <0，有a 2＋c 2<4(b ＋d )，而a 2＋c 2≥2ac ，从而有4(b ＋d )>2ac ，即ac <2(b ＋d )，与已知矛盾，故原命题成立． 题型四 数学归纳法数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当n ＝k ＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的．例4 用数学归纳法证明当n ∈N *时，1·n ＋2·(n －1)＋3·(n －2)＋…＋(n －2)·3＋(n －1)·2＋n ·1＝16n (n ＋1)·(n ＋2)．证明 (1)当n ＝1时，1＝16·1·2·3，结论成立．(2)假设n ＝k 时结论成立，即1·k ＋2·(k －1)＋3·(k －2)＋…＋(k －2)·3＋(k －1)·2＋k ·1＝16k (k ＋1)(k ＋2)．当n ＝k ＋1时，则1·(k ＋1)＋2·k ＋3·(k －1)＋…＋(k －1)·3＋k ·2＋(k ＋1)·1 ＝1·k ＋2·(k －1)＋…＋(k －1)·2＋k ·1＋1＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1)] ＝16k (k ＋1)(k ＋2)＋12(k ＋1)(k ＋2) ＝16(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)， 即当n ＝k ＋1时结论也成立．综合上述，可知结论对一切n ∈N *都成立． 跟踪训练4 数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1.(1)写出a 2，a 3，a 4. (2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)因为a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1，所以a 2＝12a 1＋1＝12＋1＝32.a 3＝12a 2＋1＝12·32＋1＝74. a 4＝12a 3＋1＝12·74＋1＝158.(2)证明 方法一 猜想a n ＝2n－12n －1.下面用数学归纳法证明，(1)当n ＝1时，a 1＝21－121－1＝1，满足上式，显然成立；(2)假设当n ＝k 时a k ＝2k－12k －1，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12a k ＋1＝12·2k －12k －1＋1＝2k －12k ＋1＝2k －1＋2k 2k ＝2k ＋1－12k满足上式， 即当n ＝k ＋1时猜想也成立，由(1)(2)可知，对于n ∈N *都有a n ＝2n－12n －1.方法二 因为a n ＋1＝12a n ＋1，所以a n ＋1－2＝12a n ＋1－2，即a n ＋1－2＝12(a n －2)，设b n ＝a n －2，则b n ＋1＝12b n ，即{b n }是以b 1＝－1，12为公比的等比数列，所以b n ＝b 1·qn －1＝－12n －1，所以a n ＝b n ＋2＝2n－12n －1.呈重点、现规律]1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．4．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时，它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)n ＝n 0时结论成立．第二步(归纳递推)假设n ＝k 时，结论成立，推得n ＝k ＋1时结论也成立．数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立．。
人教新课标版数学高二选修2-2课时卷合情推理
课时提升卷(十四)合情推理（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2013·亳州高二检测)设f0(x)=sinx,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,f n+1(x)=f′n(x),n∈N,则f2 013(x)=( )A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx2.(2012·江西高考)观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4,|x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8,|x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12…,则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为( )A.76B.80C.86D.923.类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推知正四面体的下列哪些性质,你认为比较恰当的是( )①各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等A.①B.①②C.①②③D.③4.在平面直角坐标系内,方程+=1表示在x,y轴上的截距分别为a,b 的直线,拓展到空间,在x,y,z轴上的截距分别为a,b,c(abc≠0)的直线方程为( )A.+ +=1B.++=1C.++=1D.ax+by+cz=15.已知集合A={3p+2q|p>q且p,q∈N},若将集合A中的数按从小到大排成数列{a n},则有a1=31+2×0=3,a2=32+2×0=9,a3=32+2×1=11,a4=33=27,…,依此类推,将数列依次排成如图所示的三角形数阵,则第六行第三个数为( )a1a2a3a4a5a6…A.247B.735C.733D.731二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·银川高二检测)已知=2,=3,=4,…,若=6(a,b∈R),则a+b= .7.(2013·晋中高二检测)在平面上“等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值”,类比猜想在空间中有.8.(2013·黄石模拟)有下列各式:1++>1,1++…+>,1+++…+>2,……则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为: .三、解答题(9～10题各14分,11题18分)9.(2013·聊城高二检测)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.①sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°②sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°③sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数.(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.10.我们知道12=122=(1+1)2=12+2×1+1,32=(2+1)2=22+2×2+1,42=(3+1)2=32+2×3+1,……n2=(n-1)2+2(n-1)+1,左右两边分别相加,得n2=2×[1+2+3+…+(n-1)]+n所以1+2+3+…+(n-1)=.类比上述推理方法写出求12+22+32+…+n2的表达式的过程.11.(能力挑战题)如图,设有双曲线-=1,F1,F2是其两个焦点,点M 在双曲线上.(1)若∠F1MF2=90°,求△F1MF2的面积.(2)若∠F1MF2=60°,△F1MF2的面积是多少?若∠F1MF2=120°,△F1MF2的面积又是多少?(3)观察以上计算结果,你能看出随∠F1MF2的变化,△F1MF2的面积将怎样变化吗?试证明你的结论.答案解析1.【解析】选C.由题意知,f1(x)=cosx,f2(x)=-sinx,f3(x)=-cosx,f4(x)=sinx,…,依此类推,f2 013(x)=f1(x)=cosx.2.【解题指南】观察并发现规律,归纳出整数解个数.【解析】选B.由已知条件得,|x|+|y|=n(n∈N+)的整数解(x,y)个数为4n,故|x|+|y|=20的整数解(x,y)的个数为80.3.【解析】选C.正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比,正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比,故①②③都对.4.【解析】选A.由类比推理可知,方程应为++=1.5.【解题指南】观察数阵图可找出规律,第s行第t个数应该为3s+2(t-1).【解析】选C.由条件可以看出,第s行第t个数是3s+2(t-1),所以第六行第三个数应为36+2×(3-1)=729+4=733.【举一反三】在本题条件不变的情况下,求a10+a11.【解析】由三角形数阵可以知道因为1+2+3+4=10,所以a10是第四行第四个数,a11是第五行第一个数,所以a10=34+2×3=87,a11=35=243,所以a10+a11=87+243=330.6.【解析】根据题意,由于=2,=3,=4,…, 那么可知=6,a=6,b=6×6-1=35,所以a+b=41.答案:417.【解析】根据平面几何与立体几何中的类比规律,边类比成面,三角形类比成四面体,所以正三角形类比成正四面体.故类比猜想在空间中有:正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值.答案:正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值8.【解析】由条件中不等式可知,左边分母是连续自然数,且最后项的分母为3,7,15,可写成2n-1(n≥2);又右边可写成规律,故可猜想为1+++…+>(n∈N*,n≥2).答案:1+++…+>(n∈N*,n≥2)9.【解析】(1)选择②式计算如下:sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°=1-sin 30°=.(2)sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=.证明:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-sinα(cos30°·cosα+sin30°sinα)=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-sinαcosα-sin2α=sin2α+cos2α=.【拓展提升】运用归纳推理的一般步骤(1)通过观察特例发现某些共性或一般规律.(2)把这种共性推广为一般性命题(猜想).(3)对所提出的一般性命题进行检验.(4)归纳推理可用框图表示,如图.10.【解析】记S1(n)=1+2+3+…+n,S2(n)=12+22+32+…+n2,…S k(n)=1k+2k+3k+…+n k(k∈N*).已知13=1,23=(1+1)3=13+3×12+3×1+1,33=(2+1)3=23+3×22+3×2+1,43=(3+1)3=33+3×32+3×3+1,……n3=(n-1)3+3(n-1)2+3(n-1)+1.将左右两边分别相加,得S3(n)=[S3(n)-n3]+3[S2(n)-n2]+3[S1(n)-n]+n.由此知S2(n)===.11.【解析】(1)由双曲线方程知a=2,b=3,c=,设|MF1|=r1,|MF2|=r2(r1>r2).由双曲线定义,有r1-r2=2a=4,两边平方得+-2r 1·r2=16,即|F 1F2|2-4=16,也即52-16=4,求得=9.(2)若∠F1MF2=60°,在△MF1F2中,由余弦定理得|F 1F2|2=+-2r1r2cos 60°,|F1F2|2=(r1-r2)2+r1r2,所以r1r2=36.求得=r 1r2sin 60°=9.同理可求得若∠F 1MF2=120°,=3.(3)由以上结果猜想,随着∠F1MF2的增大,△F1MF2的面积将减小.证明如下:令∠F1MF2=θ,则=r1·r2sinθ. 由双曲线定义及余弦定理,有①②②-①得r1·r 2=,所以==,因为0<θ<π,0<<,在(0,)内,tan是增函数.因此当θ增大时,=将减小.。
高中数学新人教版选修2-2课时作业：第二章 推理与证明2.2.1习题课 Word版含解析
习题课综合法和分析法明目标、知重点加深对综合法、分析法的理解，应用两种方法证明数学问题．1．综合法综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题．综合法是一种由因导果的证明方法．综合法的证明步骤用符号表示是：P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒P n(结论)2．分析法分析法是指从需证的问题出发，分析出使这个问题成立的充分条件，使问题转化为判定那些条件是否具备，其特点可以描述为“执果索因”，即从未知看需知，逐步靠拢已知．分析法的书写形式一般为“因为……，为了证明……，只需证明……，即……，因此，只需证明……，因为……成立，所以……，结论成立”．分析法的证明步骤用符号表示是：P0(已知)⇐…⇐P n－2⇐P n－1⇐P n(结论)分析法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在分析过程步步可逆．题型一选择恰当的方法证明不等式例1 设a，b，c为任意三角形三边长，I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc＋ca，试证：3S≤I2<4S.证明I2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝a2＋b2＋c2＋2S.欲证3S≤I2<4S，即证ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ca.先证明ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2，只需证2a2＋2b2＋2c2≥2ab＋2bc＋2ca，即(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2≥0，显然成立；再证明a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ca，只需证a2－ab－ac＋b2－ab－bc＋c2－bc－ca<0，即a(a－b－c)＋b(b－a－c)＋c(c－b－a)<0，只需证a<b＋c，且b<c＋a，且c<b＋a，由于a、b、c为三角形的三边长，上述三式显然成立，故有3S ≤I 2<4S .反思与感悟 本题要证明的结论要先进行转化，可以使用分析法．对于连续不等式的证明，可以分段来证，使证明过程层次清晰．证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个： (1)a 2≥0(a ∈R )．(2)(a －b )2≥0(a 、b ∈R )，其变形有a 2＋b 2≥2ab ，(a ＋b2)2≥ab ，a 2＋b 2≥(a ＋b )22.(3)若a ，b ∈(0，＋∞)，则a ＋b2≥ab ，特别地b a ＋a b≥2.(4)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．跟踪训练1 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b≤4.证明 方法一 ∵a ，b 是正数且a ＋b ＝1， ∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4.方法二 ∵a ，b 是正数，∴a ＋b ≥2ab >0， 1a ＋1b ≥21ab>0，∴(a ＋b )(1a ＋1b)≥4.又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ≥4.方法三 1a ＋1b ＝a ＋b a＋a ＋b b ＝1＋b a ＋ab＋1≥2＋2b a ·ab＝4.当且仅当a ＝b 时，取“＝”号． 题型二 选择恰当的方法证明等式例2 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，对应的三边为a ，b ，c ，求证：1a ＋b ＋1b ＋c＝3a ＋b ＋c.证明 要证原式，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c＝3， 即证ca ＋b ＋ab ＋c ＝1，即只需证bc ＋c 2＋a 2＋abab ＋b 2＋ac ＋bc＝1，而由题意知A ＋C ＝2B ， ∴B ＝π3，∴b 2＝a 2＋c 2－ac ，∴bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋a 2＋c 2－ac ＋ac ＋bc＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋a 2＋c 2＋bc＝1， ∴原等式成立，即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. 反思与感悟 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手易于寻找解题思路．在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证．跟踪训练2 设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，试证：a x ＋c y＝2. 证明 由已知条件得b 2＝ac ，①2x ＝a ＋b,2y ＝b ＋c .② 要证a x ＋c y＝2， 只要证ay ＋cx ＝2xy ， 只要证2ay ＋2cx ＝4xy .由①②得2ay ＋2cx ＝a (b ＋c )＋c (a ＋b )＝ab ＋2ac ＋bc ， 4xy ＝(a ＋b )(b ＋c )＝ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝ab ＋2ac ＋bc ， 所以2ay ＋2cx ＝4xy .命题得证． 题型三 立体几何中位置关系的证明例3 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．(1)证明：CD ⊥AE ； (2)证明：PD ⊥平面ABE . 证明 (1)在四棱锥P －ABCD 中， ∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ， ∴PA ⊥CD .∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ， ∴CD ⊥平面PAC ，而AE ⊂平面PAC ， ∴CD ⊥AE .(2)由PA ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°， 可得AC ＝PA ，∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC . 由(1)知，AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ， 所以AE ⊥平面PCD .而PD ⊂平面PCD ， ∴AE ⊥PD .∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AB ，又AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面PAD ， ∴AB ⊥PD ，又AB ∩AE ＝A ，综上得PD ⊥平面ABE .反思与感悟 综合法证明线面之间的垂直关系是高考考查的重点，利用垂直的判定定理和性质定理可以进行线线、线面以及面面之间垂直关系的转化．另外，利用一些常见的结论还常常可以将线面间的垂直与平行进行转化．比如：两条平行线中一条垂直于平面α，则另外一条也垂直于平面α；垂直于同一条直线的两个平面相互平行等．跟踪训练3 如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.(1)求证：AF ∥平面BDE ； (2)求证：CF ⊥平面BDE .证明 (1)如图，设AC 与BD 交于点G .因为EF ∥AG ，且EF ＝1，AG ＝12AC ＝1，所以四边形AGEF 为平行四边形． 所以AF ∥EG . 因为EG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ，所以AF ∥平面BDE .(2)连接FG .因为EF ∥CG ，EF ＝CG ＝1，且CE ＝1，所以四边形CEFG 为菱形． 所以CF ⊥EG .因为四边形ABCD 为正方形，所以BD ⊥AC .又因为平面ACEF ⊥平面ABCD ，且平面ACEF ∩平面ABCD ＝AC ， 所以BD ⊥平面ACEF . 所以CF ⊥BD .又BD ∩EG ＝G ， 所以CF ⊥平面BDE . 呈重点、现规律]1．综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知． 2．分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知．3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来.一、基础过关1．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．a ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2 D ．a 2＋b 2≤3答案 C解析 ∵a ＋b ＝2≥2ab ，∴ab ≤1. ∵a 2＋b 2＝4－2ab ，∴a 2＋b 2≥2.2．已知a 、b 、c 、d ∈{正实数}，且a b <c d，则( ) A.a b <a ＋cb ＋d <cd B.a ＋cb ＋d <a b <cdC.a b <c d <a ＋cb ＋dD ．以上均可能答案 A解析 方法一 特值检验，∵a b <c d， 可取a ＝1，b ＝3，c ＝1，d ＝2， 则a ＋cb ＋d ＝25，满足a b <a ＋c b ＋d <cd.∴B、C 、D 不正确． 方法二 要证a b <a ＋cb ＋d，∵a 、b 、c 、d ∈{正实数}， ∴只需证a (b ＋d )<b (a ＋c )，即证ad <bc .只需证a b <c d .而a b <c d成立， ∴a b <a ＋cb ＋d .同理可证a ＋c b ＋d <cd. 3．下面四个不等式：①a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ；②a (1－a )≤14；③b a ＋a b≥2；④(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2. 其中恒成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案 C解析 a 2＋b 2＋c 2＝a 2＋b 22＋a 2＋c 22＋b 2＋c 22≥ab ＋ac ＋bc ；a (1－a )≤(a ＋1－a2)2＝14；(a 2＋b 2)(c2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2；当ba <0时，b a ＋a b≥2不成立． 4．若实数a ，b 满足0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( ) A.12 B ．2ab C ．a 2＋b 2D ．a 答案 C解析 ∵a ＋b ＝1，a ＋b >2ab ，∴2ab <12，由a 2＋b 2>(a ＋b )22＝12，又∵0<a <b ，且a ＋b ＝1，∴a <12，∴a 2＋b 2最大．5．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a 、b 、c 的大小顺序是________． 答案 a >b >c 解析 a ＝13＋2，b ＝16＋5，c ＝17＋6.∴a >b >c . 6．如图所示，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F .求证：AF ⊥SC .证明：要证AF ⊥SC ，只需证SC ⊥平面AEF ，只需证AE ⊥SC (因为______)，只需证______，只需证AE ⊥BC (因为________)，只需证BC ⊥平面SAB ，只需证BC ⊥SA (因为______)．由SA ⊥平面ABC 可知，上式成立．答案 EF ⊥SC AE ⊥平面SBC AE ⊥SB AB ⊥BC解析 要证线线垂直，可先证线面垂直，要证线面垂直，还需线线垂直，通过证明BC ⊥平面SAB ，可得AE ⊥BC ，进而AE ⊥平面SBC ，SC ⊥平面AEF ，问题得证．7．如果a ，b 都是正数，且a ≠b ，求证：a b ＋ba>a ＋b . 证明 方法一 用综合法a b ＋b a －a －b ＝a a ＋b b －a b －b aab＝(a －b )(a －b )ab＝(a －b )2(a ＋b )ab>0，∴a b ＋ba>a ＋b . 方法二 用分析法 要证a b ＋ba>a ＋b ， 只要证a 2b ＋b 2a＋2ab >a ＋b ＋2ab ，即要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2，只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )， 即需证a 2－ab ＋b 2>ab ， 只需证(a －b )2>0，因为a ≠b ，所以(a －b )2>0恒成立， 所以a b ＋ba>a ＋b 成立． 二、能力提升8．命题甲：(14)x 、2－x 、2x －4成等比数列；命题乙：lg x 、lg(x ＋2)、lg(2x ＋1)成等差数列，则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 由(14)x 、2－x 、2x －4成等比数列可得：(2－x )2＝(14)x ·2x －4，解得x ＝4；由lg x 、lg(x ＋2)、lg(2x ＋1)成等差数列得：2lg(x ＋2)＝lg x ＋lg(2x ＋1)，可解得x ＝4(x ＝－1舍去)，所以甲是乙的充要条件.9．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg(a ＋b2)，则( )A ．R <P <QB ．P <Q <RC ．Q <P <RD ．P <R <Q答案 B解析 a >b >1⇒lg a >0，lg b >0，Q ＝12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ＝P ，R >lg ab ＝12(lg a ＋lg b )＝Q ⇒R >Q >P .10．已知α、β为实数，给出下列三个论断：①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>22，|β|>2 2.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，你认为正确的命题是________． 答案 ①③⇒②解析 ∵αβ>0，|α|>22，|β|>2 2.∴|α＋β|2＝α2＋β2＋2αβ>8＋8＋2×8＝32>25. ∴|α＋β|>5. 11．已知a >0，求证： a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.证明 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只要证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2. ∵a >0，故只要证 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22，即a 2＋1a2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2， 从而只要证2a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ， 只要证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a2，即a 2＋1a2≥2，而该不等式显然成立，故原不等式成立．12．已知a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)(1b －1)·(1c－1)≥8.证明 方法一 (分析法)要证(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8成立，只需证1－a a ·1－b b ·1－c c≥8成立．因为a ＋b ＋c ＝1，所以只需证(a ＋b ＋c )－a a ·(a ＋b ＋c )－b b ·(a ＋b ＋c )－c c≥8成立，即证b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋bc≥8成立． 而b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8成立． ∴(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8成立． 方法二 (综合法) (1a －1)(1b －1)(1c－1)＝(a ＋b ＋c a －1)(a ＋b ＋c b －1)(a ＋b ＋cc－1) ＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )abc≥2bc ·2ac ·2ababc＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，所以原不等式成立．13．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.(1)解 2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4.(2)解 当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23，整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)， 即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 22－a 11＝1， 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为a 11＝1，公差为1的等差数列，所以a nn＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *. (3)证明1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝1＋14＋132＋142＋…＋1n 2<1＋14＋12×3＋13×4＋…＋1n (n －1) ＝1＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝54＋12－1n ＝74－1n <74， 所以对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.三、探究与拓展14．已知a ，b ，c ，d ∈R ，求证：ac ＋bd ≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2).(你能用几种方法证明？)证明 方法一 (用分析法) ①当ac ＋bd ≤0时，显然成立．②当ac ＋bd >0时，欲证原不等式成立，只需证 (ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．即证a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2. 即证2abcd ≤b 2c 2＋a 2d 2即证0≤(bc －ad )2. 因为a ，b ，c ，d ∈R ，所以上式恒成立． 故原不等式成立，综合①②知，命题得证． 方法二 (用综合法)(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2＝(a 2c 2＋2acbd ＋b 2d 2)＋(b 2c 2－2bcad ＋a 2d 2) ＝(ac ＋bd )2＋(bc －ad )2≥(ac ＋bd )2. ∴(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥|ac ＋bd |≥ac ＋bd . 方法三 (用比较法)∵(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)－(ac ＋bd )2＝(bc －ad )2≥0， ∴(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2， ∴(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥|ac ＋bd |≥ac ＋bd .方法四(用放缩法)为了避免讨论，由ac＋bd≤|ac＋bd|，可以试证(ac＋bd)2≤ (a2＋b2)(c2＋d2)．由方法一知上式成立，从而方法四可行．方法五(构造向量法)设m＝(a，b)，n＝(c，d)，∴m·n＝ac＋bd，|m|＝a2＋b2，|n|＝c2＋d2.∵m·n≤|m|·|n|＝a2＋b2·c2＋d2.故ac＋bd≤(a2＋b2)(c2＋d2).。
选修2-2合情推理课时作业
课时作业∏合情推理时间：45分钟满分：1OO分一、选择题(每小题5分，共30分)1.下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适()4∙三角形 B.梯形C.平行四边形D.矩形【答案】C【解析】只有平行四边形与平行六而体较为接近，故选C.2.下列类比推理恰当的是()把a(b+c)与∕oga(x+y)类比，则有：/oga(x+y)=/OgaX+∕ogayB.把a(b÷c)-⅛i s∕n(x+y)类比,则有：sin(×÷y) =Sin×+sinyC.}E(ab)n⅛(a + b)n类比，则有:(a+b)n=a n+b nD.把a(b÷c)与α∙(b+c)类比，则有：a∖b+c) = a b+a c【答案】D【解析】A, B, C三个选项没有从木质上类比，是简单类比，从而出现错误.3.如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,336420,…，记这个数列前门项的和为S(n), 则S(16)等于()A. 128 C. 155【答案】D 【解析】1,2,3,3,6Alo,5,15,6,21,7,28,8,36,9.故 5(16) = 1 + 2 + 3 +…+ 36+ 9 =164.4. 观察右图图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为□ • ▲ ▲ ■ O• △A. ■B. ΔC. □D. o【答案】A【解析】 每一行、每一列的图形都有两个黑色.由题意可知该数列的前16项为：1 15.观察下列事实：∣x∣ + ∣y∣=l的不同整数解(x, y)的个数为4, ∣x∣+ Iyl =2的不同整数解(x,y)的个数为8, ∣x∣ + IyI =3的不同整数解(x, y)的个数为12,则∣x∣ + ∣y∣=20的不同整数解(x, y)的个数为() A. 76 B ・ 80C. 86D. 92【答案】B【解析】 由己知条件知∣x∣ + ∣y∣=n 的不同整数解(x, y)个数为4门，所以∣χ∣ + ∣y∣=20不同整数解(χ, y)的个数为4×20=80.归纳体现了由特殊到一般的思维过程.6.定义A*3、B*C 、C*D 、D*B 分别对应下列图形【答案】C 【解析】由A*B. B*C 、C*D 、D*B 的定义图形知A 为L B 为,D ・⑴、(4)(4))B. (2)、 (3) C ・⑵、(4) ①那么下列图形中,A.⑴、(2)(3)C为一一，D为□∙二、填空题(每小题20分，共30分)7. (2014-陕酋理)观察分析下表中的数据:猜想一般凸多面体中F, U, E所满足的等式是 __________________ .【答案】F+V~E=2【解析】木题考查归纳推理.5+ 6 — 9 = 2,6+ 6-10=2,6 + 8-22 = 2,：.F+V-E=I.8.观察下列等式：l3+23=(l + 2)243+23+33=(l + 2+3)¼3+23+ 33 + 43 = (l + 2 + 3 + 4)2, 根据上述规律，第四个等式为【答案】l3 + 23+33+43 + 53 = (l + 2 + 3+4 + 5)2(⅛g 152)【解析】根据己知条件，第四个等式应为l3 + 23 + 33 + 43 + 53 = (2 + 2 + 3+4+5)2(或152).9.如图所示，己知命题：若矩形ABCD的对角线BD与边AB和BC 所成的角分别为a, 6,则cos2α+cos2β = l,则在长方体ABCD- A I B I C I D l中，写出类似的命题：【答案】长方体ABCD-AIBICIDI中，若对角线BDl与棱AB、BBi、BC 所成的角分别为a、6、Y f贝IJ cos1 2a+cos2β+cos2∣/= 1 或sir?a +sin2β+sin2∣∕=2（或：长方体ABCD-A I B I C I D l中，若对角线BD l与平面ABCD.ABB I A1. BCC I B l所成的角分别为a、6、y,则cos2a+cos2β+cos2∣∕=2 或Sin2a+sin2β+sin2j∕=l）三、解答题（本题共3小题，共40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）10. （13 分）已知｛e｝满足aι = l,4a n+ι-an∙a∏÷ι+2a∏ = 9,写出6、02、。
人教新课标版数学高二-人教B版选修2-2练习 合情推理
第二章 2.1 第1课时一、选择题1．下面使用类比推理正确的是( )A ．“若a ·4＝b ·4，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋b c ＝a c ＋b c (c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n b n ”类比推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ” C2．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N ＋)，则a 20＝( ) A ．0 B ．－ 3 C. 3 D ．32B∵a 1＝0，∴a 2＝－3，a 3＝－3－3－2＝3，a 4＝0，…，由此可以看出周期为3，∴a 20＝a 3×6＋2＝a 2＝－ 3.3．下面几种推理是合情推理的是( ) ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n －2)·180°.A ．①②B ．①③④C ．①②④D ．②④C①是合情推理中的类比法，排除D ；②是归纳推理，排除B ；④是归纳推理．故选C.4．已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝2a n －1＋1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的一个表达式是( )A．n2－1 B．(n－1)2＋1C．2n－1 D．2n－1＋1Ca2＝2a1＋1＝2×1＋1＝3，a3＝2a2＋1＝2×3＋1＝7，a4＝2a3＋1＝2×7＋1＝15，利用归纳推理，猜想a n＝2n－1，故选C.5．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)D本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，选D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理能力的考查．6．我们把4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形(如下图)，则第n－1个正方形数是()A．n(n－1) B．n(n＋1)C．n2D．(n＋1)2C第n－1个正方形数的数目点子可排成n行n列，即每边n个点子的正方形，∴点数为n2.故选C.7．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111…A．1111110 B．1111111C．1111112 D．1111113B由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1111111.8.观察图所示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A. B ．△ C.D ．○A由每行或每列均有2个黑色图形知，本题选A. 二、填空题9．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为________． A利用逻辑推理的知识求解．由题意可推断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A ，C 城市，而乙“没去过C 城市”，说明乙去过城市A ，由此可知，乙去过的城市为A .10．对于等差数列{a n }有如下命题：“若{a n }是等差数列，a 1＝0，s 、t 是互不相等的正整数，则有(s －1)a t －(t －1)a s ＝0”．类比此命题，给出等比数列{b n }相应的一个正确命题是________．若{b n }是等比数列，b 1＝1，s 、t 是互不相等的正整数，则有b s －1t b t －1s＝1这是一个从等差数列到等比数列的平行类比，等差数列中的加、减、乘、除类比到等比数列经常是乘、除、乘方、开方，类比方法的关键在于善于发现不同对象之间的“相似”，“相似”是类比的基础．∴b s －1tb t －1s ＝(b 1·q t －1)s －1(b 1·q s －1)t －1＝1.11．观察下列等式： (1＋1)＝2×1；(2＋1)(2＋2)＝22×1×3；(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5； ……照此规律，第n 个等式可为______________________． (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)观察规律，等号左侧第n 个等式共有n 项相乘，从n ＋1到n ＋n ，等式右端是2n 与等差数列{2n －1}前n 项的乘积，故第n 个等式为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)．三、解答题12．已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，有如下的性质： (1)通项a n ＝a m ＋(n －m )·d (n >m ，n ，m ∈N *)(2)若m ＋n ＝p ＋q ，其中，m 、n 、p 、q ∈N *，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . (3)若m ＋n ＝2p ，m ，n ，p ∈N *，则a m ＋a n ＝2a p . (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等差数列．类比上述性质，在等比数列{b n }中，写出相类似的性质． 等比数列{b n }中，设公比为q ，前n 项和为S n . (1)a n ＝a m ·q n －m (n >m ，n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *， 则a m ·a n ＝a p ·a q .(3)若m ＋n ＝2p ，其中，m ，n ，p ∈N *，则a 2p ＝a m ·a n . (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n (各项均不为零)构成等比数列．一、选择题1．设0<θ<π2，已知a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n ，则猜想a n ＝( )A ．2cos θ2nB ．2cos θ2n －1C ．2cos θ2n ＋1D ．2sin θ2nB∵a 1＝2cos θ，a 2＝2＋2cos θ＝21＋cos θ2＝2cos θ2，a 3＝2＋2a 2＝21＋cosθ22＝2cos θ4……，猜想a n ＝2cos θ2n －1.故选B.2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是( )①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等． A ．① B ．①② C ．①②③ D ．③C正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．故选C.3．把3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第六个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．30B观察归纳可知第n －1个三角形数共有点数：1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2个，∴第六个三角形数为7×(7＋1)2＝28.故选B.4．(2015·甘肃省会宁一中高二期中)如图，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率为( )A.5＋12B ．5－12C.5＋1 D ．5－1A类比“黄金椭圆”，在黄金双曲线中，|OA |＝a ，|OB |＝b ，|OF |＝c ， 当FB →⊥AB →时，|BF |2＋|AB |2＝|AF |2， ∴b 2＋c 2＋c 2＝a 2＋c 2＋2ac ， ∵b 2＝c 2－a 2，整理得c 2＝a 2＋ac ， ∴e 2－e －1＝0，解得e ＝5＋12，或e ＝－5＋12(舍去)．故黄金双曲线的离心率e ＝5＋12.二、填空题5．在平面上，若两个正三角形的边长比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为12，则它们的体积比为________．18V 1V 2＝13S 1h113S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18. 6．(2015·陕西文，16)观察下列等式 1－12＝121－12＋13－14＝13＋141－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16 ……据此规律，第n 个等式可为_________________________________． 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)观察等式知：第n 个等式的左边有2n 个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到2n 的连续正整数，等式的右边是 1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .故答案为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n三、解答题7．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立，在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立，在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，有怎样的不等式成立？根据已知特殊的数值：9π、162π、253π，…，总结归纳出一般性的规律：n 2(n －2)π(n ≥3且n∈N *)．∴在n 边形A 1A 2…A n 中：1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2(n －2)π(n ≥3且n ∈N *)．8．已知等式sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34，sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34.请写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含已知的等式，并证明结论的正确性．等式为sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α) ＝sin 2α＋1＋cos (60°＋2a )2＋sin α(cos30°·cos α－sin30°·sin α)＝12＋sin 2α＋cos (60°＋2α)2＋34sin2α－12sin 2α＝12＋sin 2α＋12(12cos2α－32sin2α)＋34sin2α－12sin 2α＝12＋sin 2α＋14cos2α－34sin2α＋34sin2α－12sin 2α＝12＋12sin 2α＋14(1－2sin 2α)＝34.。
人教新课标版-数学-高二(人教B版)选修2-2教学设计 合情推理
2.1.1 合情推理【教学目标】：1、结合已经学过的教学实例和生活实例，了解推理的含义；2、了解归纳推理的含义，并能用归纳的方法进行简单的推理【教学过程】一、案例引入：在日常生活中，我们常常遇到这样一些问题：1、看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，你能得出什么判断？2、张三今天没来上学，我们会有什么判断？3、八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯；4、朝霞不出门，晚霞行千里；5、瑞雪兆丰年。
问：这些实例具有什么样的共同特征？二、新授：I、推理：（1）定义：从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理（2）结构：推理的前提：所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；推理的结论：根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么（3）一般形式：注：推理也可看作是用连接词将前提和结论连结起来的一个逻辑连接常用的连接有：“因为…所以…”、“如果…那么…”、“根据…可知…”等等形式（4）分类：推理一般可分为“合情推理”和“演绎推理”两种类型。
问题引入：分析下列几个推理，寻找它们的共同特征：2．直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，你能猜想出什么结论？【提示】所有三角形内角和都是180°.3.已知三角形的如下性质：(1)三角形的两边之和大于第三边；(2)三角形的面积等于高与底乘积的.1．试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质．【提示】(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．(2)四面体的体积等于底面积与高乘积的.2．以上两个推理有什么共同特点？【提示】都是根据三角形的特征，类比四面体相关元素得出结论的．II、归纳推理：（1）定义：上述几个例子均是从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理（2）特点：1、归纳推理是“由部分到整体，由个体到一般”的推理；2、归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，结论是尚属未知的一般现象；3、归纳推理具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验因此，归纳推理不能作为数学证明的工具；4、归纳推理是一种具有创造性的推理。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、选择题
1．如图2－1－5为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色()
图2－1－5
A．白色B．黑色
C．白色可能性大D．黑色可能性大
【解析】由图知，珠子三白二黑周而复始，相继排列，因为36÷5＝7余1，所以第36颗珠子的颜色与第一颗珠子的颜色相同，即为白色，故选A.
【答案】 A
2．(2013·佛山高二检测)观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为() A．76B．80
C．86 D．92
【解析】由题意知|x|＋|y|＝1的不同整数解的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解的个数为12，则可归纳出等式右端值与不同整数解的个数成倍数关系，且解的个数为等式值的4倍，则|x|＋|y|＝20的不同整数解的个数为80.
【答案】 B
3．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2·a n(n≥2)，且a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想a n等于()
A.
2
(n＋1)2
B.
2
n(n＋1)
C.
2
2n －1
D.
22n －1
【解析】 由a 1＝1，S 2＝22·a 2＝a 1＋a 2得a 2＝1
3，又a 1＋a 2＋a 3＝9×a 3得a 3＝16，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝42·a 4得a 4＝110…猜想a n ＝2n (n ＋1)
.
【答案】 B
4．(2013·杭州高二检测)已知集合A ＝{3m ＋2n |m >n 且m ，n ∈N }，若将集合A 中的数按从小到大排成数列{a n }，则有a 1＝31＋2×0＝3，a 2＝32＋2×0＝9，a 3＝32＋2×1＝11，a 4＝33＝27，…，依次类推，将数列依次排成如图2－1－5所示的三角形数阵，则第六行第三个数为( )
a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6
… 图2－1－5
A ．247
B ．735
C ．733
D ．731
【解析】 由条件可以看出，第s 行第t 个数是3s ＋2(t －1)，所以第六行第三个数应为36＋2×(3－1)＝729＋4＝733.
【答案】 C
5．(2013·南昌高二检测)观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52011的末四位数字为( )
A ．3 125
B ．5 625
C ．0 625
D ．8 125
【解析】 ∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58末四位数字为0 625,59末四位数字为3 125,510末四位数字为5 625,511末四位数字为8 125,512末四位数字为0 625，…，由上可得末四位数字周期为4，呈规律性交替出现，∴52011＝54×501＋7末四位数字为8 125.
【答案】 D 二、填空题
6．(2013·大同高二检测)已知2＋2
3＝2·
2
3，3＋
3
8＝3·
3
8，
4＋4
15＝4·
4
15， (8)
a
t＝8·
a
t
(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则a＋t＝________. 【解析】由所给等式知，a＝8，t＝82－1＝63，∴a＋t＝71.
【答案】71
7．观察下列等式：3
1×2×
1
2＝1－
1
22，
3
1×2
×
1
2＋
4
2×3
×
1
22＝1－
1
3×22
，
3
1×2
×
1
2
＋4
2×3×
1
22＋
5
3×4
×
1
23＝1－
1
4×23
，……，由以上等式推测到一个一般的结论：
对于n∈N
＋，
3
1×2
×
1
2＋
4
2×3
×
1
22＋…＋
n＋2
n(n＋1)
×
1
2n＝________.
【解析】观察所给等式知，第n个等式的右边为1－
1
(n＋1)×2n
.
【答案】1－
1
(n＋1)×2n
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径为
r＝a2＋b2
2，将此结论类比到空间，得到相类似的结论为：________.
【解析】利用类比推理，可把Rt△ABC类比为三棱锥P－ABC，且PA，
PB，PC两两垂直，当PA＝a，PB＝b，PC＝c时，其外接球半径为R＝a2＋b2＋c2
2.
【答案】在三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝a，PB＝b，
PC＝c，则三棱锥P－ABC的外接球的半径为R＝a2＋b2＋c2
2
三、解答题
9．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图2－1－6(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)
个小正方形．
图2－1－6
(1)求出f(5)；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n＋1)与f(n)的关系式，并根据你得到的关系式求f(n)的表达式．
【解】(1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，
∴f(5)＝25＋4×4＝41.
(2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1，
f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，
f(5)－f(4)＝16＝4×4，
由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.
∴f(2)－f(1)＝4×1，
f(3)－f(2)＝4×2，
f(4)－f(3)＝4×3，
……
f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，
f(n)－f(n－1)＝4·(n－1)．
∴f(n)－f(1)＝4
＝2(n－1)·n，
∴f(n)＝2n2－2n＋1.
10．在平面几何中，研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命
题：边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值
3
2a.类比上述命
题，请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明．
【解】类比所得的真命题是：棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的
距离之和是定值6
3a.
证明：设M是正四面体P－ABC内任一点，M到面ABC，面PAB，面PAC，面PBC的距离分别为d1，d2，d3，d4.
由于正四面体四个面的面积相等，故有：
V P－ABC＝V M－ABC＋V M－PAB＋V M－PAC＋V M－PBC
＝1
3·S△ABC
·(d1＋d2＋d3＋d4)，
而S△ABC＝3
4a
2，V P－ABC＝212a3，
故d1＋d2＋d3＋d4＝6
3a(定值)．
11．(1)下图(a)，图(b)，图(c)，图(d)，为四个平面图形．数一数，每个平面图形各有多少个顶点？多少条边？它们围成了多少个区域？请将结果填入下表中．
(a)(b)(c)(d)
顶点个数边的条数区域个数
(a)
(2)
什么关系．
(3)现已知某个平面图形有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个图有多少条边．
【解】(1)各平面图形的顶点个数、边的条数、区域个数分别为：
(a)3,3,2.
(b)8,12,6.
(c)6,9,5.
(d)10,15,7.
(2)观察：3＋2－3＝2.
8＋6－12＝2.
6＋5－9＝2.
10＋7－15＝2.
通过观察发现，它们的顶点个数V，边的条数E，区域个数F之间的关系为V＋F－E＝2.
(3)由已知V＝999，F＝999，代入上述关系式得E＝1 996，故这个图有1 996条边.。