高中物理竞赛精品讲义之—程稼夫篇

电磁学

静电学

1、 静电场的性质

静电场是一个保守场，也是一个有源场。

F dl o ⋅=⎰ 高斯定理

静电力环路积分等于零

i

o

s

q

E ds E ⋅=

∑⎰⎰

i v q dv ρ⎛⎫

→ ⎪⎝⎭

∑⎰⎰⎰

电场强度与电势是描述同一静电场的两种办法，两者有联系

b

a

b a

qE d r w

w ⋅=-∑

a

b E dr U

U ⋅=-∑ ①

过程 E dr dU ⋅=-

一维情况下 x dU E dx dx =- x dU

E dx

=- ②

2、 几个对称性的电场

（1） 球对称的电场

3

334

2

o 143o R r R E r E r πρρπ⎛⎫= ⎪⎝⎭

例:一半径为1R 的球体均匀带电,体电荷密度为ρ,球内有一半径为2R 的小球形空腔,空腔中心与与球心相距为a ,如图 (1) 求空腔中心处的电场E (2) 求空腔中心处的电势U

解:(1)在空腔中任选一点p ,

p E 可以看成两个均匀带电球体产生的电场强度之

差, 即 ()121

2

333p o

o

o

E r r r r E E E ρ

ρ

ρ

=-

=

-

令12a o o =

3p o

E a E ρ

=

这个与p 在空腔中位置无关,所以空腔中心处23o o

E a E ρ

=

(2)求空腔中心处的电势 电势也满足叠加原理

p U 可以看成两个均匀带电球体产生电势之差

即 ()()()22222

2212123303666o o

o

o U R a R R R a E E E ρ

ρ

ρ⎡⎤=

--

-=

--⎣

⎦

假设上面球面上,有两个无限小面原i j s s ,计算i s ,受到除了i s 上电

荷之处,球面上其它电荷对i s 的静电力,这个静电力包含了j s 上电荷对i s 上电荷的作用力.

同样j s 受到除了i s 上电荷以外,球面上其它电荷对j s 上电荷的作用力,

这个力同样包含了i s 对j s 的作用力. 如果把这里的i

j s s 所受力相加,则,i j s s 之间的相互作用力相抵消。

出于这个想法，现在把上半球面分成无限小的面元，把每个面元上所受的静

电力（除去各自小面元）相加，其和就是下半球面上的电荷对上半球面上电荷的作用力。

求法:2

2

222

2=f 224o o o R Q F R R E E R σππππ⎛⎫=⋅==

⎪⎝⎭

再观察下,均匀带电球面上的电场强度=?

通常谈论的表面上电场强度是指什么?

例:求均匀带电球面(),Q R ,单位面积受到的静电力?o f = 解:令()R R R

R R →+≤

过程无限缓慢

得出此过程中静电力做功的表达式:

()

2222

2

4222424o o o o Q Q Q Q f R R C C R R R ππεπε⋅⋅=-=-

⨯⨯+ 221111818R o o R Q Q R E R E R R ππ⎡⎤⎡⎤

⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦

⎣⎦ 2

2

8o Q R E R π= 2

2214422o o o

Q Q f R R E σππε=⋅⋅=

或者算出2o o

f E E E σ

σ

=⋅=

表面表面

而且可以推广到一般的面电荷()σ 在此面上电场强度 ()121

2

E E E =

+表面 例:一个半径为R,带电量为Q 的均匀带电球面,求上下两半球之间的静电力? 解:原则上,这个作用力是上半球面上的电荷受到来自下半球面的电荷产生的

电场强度的空间分布,对上半球面上各电荷作用力之和,由于下半球面上电荷所产生的电场强度分布,所以这样计较有困难.

例:求半径为R,带电量为Q 的均匀带电球面,外侧的静电场能量密度.

解:静电场(真空)能量密度 21

2

o E E ω= 本题球面外侧: 2

14o Q

E E R π=

2

2

211242o o o o

Q E f E R E σωπ⎛⎫==

= ⎪⎝⎭ 推论:如果在上述带电球体外侧无限空间中充满了相对电常数为r E 的多向同

性均匀电合质,

22

122r o o r o

E E E f E E σω===

下面求张力:它等于右半球表面所收到的静电力之和

()

()2

2sin cos 2T F R Rd E πσθσθπθθθ=⋅⋅⋅∑

()2

2

2

23cos sin cos 2o o E R d π

πεθθθε=

⋅

∑ 2

22

39cos cos o

o

E R

d π

επθθ=

∑

229

4

o o E R επ=

前面求出过

本小题:,

3d E ρε=

本题:

导体球放在匀强电场中,产生感应电荷的分布,令为 cos o σσθ= 由于要求导体内0E =

,

0o E E E =+=

,

33o

o o o

d E E σρεε==

= 3o o o E σε⇒= 3cos o o E σεθ=