平面几何-九大定理及其证明 (3)

C
EBA DCA，得 DBA DCA ，这说明 A、B、C、D 四点共圆．
8．托勒密定理的推广及其证明 定理：如果凸四边形 ABCD 的四个顶点不在同一个圆上，那么就有
AB×CD + BC×AD > AC×BD
证 明 ： 如 图 ， 在 凸 四 边 形 ABCD 内 取 一 点 E ， 使 得
(2).三内角皆小于 120°的三角形，分别以 AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形 ABC1,ACB1,BCA1,然后连接 AA1,BB1,CC1,则三线交于一点 P,则点 P 就是所求的费马 点.
(3).若三角形有一内角大于或等于 120 度,则此钝角的顶点就是所求的费马点.
(4)当△ABC 为等边三角形时,此时内心与费马点重合
则有 2S = d(PA + PB + PC)∵P'H ≤ P'A 所以 2S△EP'F ≤ P'A ·d ①同理有 2S△DP'F ≤ P'B·d ② 2S△EP'D ≤ P'C·d ③ ① + ② + ③，得 2(S△EP'F + S△DP'F + S△EP'D) ≤ P'A·d + P'B·d + P'C·d ∴2S ≤ d(P'A + P'B + P'C) 又∵2S = d(PA + PB + PC) ∴d(PA + PB + PC) ≤ d(P'A + P'B + P'C) 即 PA + PB + PC ≤ P'A + P'B + P'C 当且仅当 P 与 P'重合时，等号成立 ∴点 P 即费马点 （1）特殊三角形中：
D、E、F，则 D、E、F 三点共线． 证明：如图示，连接 PC，连接 EF 交 BC 于点 D/，连接 PD/．
A
因为 PE AE，PF AF，所以 A、F、P、E 四点共圆，可得
FAE = FEP．
F
因为 A、B、P、C 四点共圆，所以 BAC = BCP，即 FAE = B
C
得
AD DE ，即 AD BC AC DE ————（1）
AC BC 由于 DAE = BAM，所以 DAM = BAE，即 DAC = BAE。而 ABD = ACD，即 ABE = ACD，所以 ABE∽ ACD．即得
AB BE ，即 AB CD AC BE ————（2）
A
F
O
B
D
E C
七：梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：
Aa D S1
S2 O S4
S3
B
C
b
① S1 : S3 a2 : b2 ② S1 : S3 : S2 : S4 a2 : b2 : ab : ab ；
③ S 的对应份数为 a b2 ．
如图， S2 2 ， S3 4 ，求梯形的面积．
且 AE AB AD AC
———（2）
A B
则由 DAE CAB 及（2）可得 DAE ∽ CAB ．于是有
AD×BC = DE×AC ———（3）
E
由（1）+（3）可得 AB×CD + BC×AD = AC×( BE + DE )．
据条件可得 BD = BE + DE，则点 E 在线段 BD 上．则由 D
4．塞瓦定理的逆定理及其证明 定理：在 ABC 三边 AB、BC、CA 上各有一点 D、E、F，且 D、E、F 均不是 ABC 的顶
点，若 AD BE CF 1 ，那么直线 CD、AE、BF 三线共点．
DB EC FA
A
证明：设直线 AE 与直线 BF 交于点 P，直线 CP 交 AB 于点
因为 CD⊥BC，AH⊥BC，所以 AH // CD．同理 CH //
A
DA．
所以，AHCD 为平行四边形．
D
可得 AH = CD．而 CD = 2OE，所以 AH = 2OE．
因为 AH // CD，CD // OE，所以 AH // OE．可得 AHG/
OG H
∽ EOG/．
B
E
C
所以
AH OE
AD DB

BE EC
CF FA
1 ，那么，D、E、F
三点共线．
证明：设直线 EF 交 AB 于点 D/，则据梅涅劳斯定理有
AD/ D/B

BE EC

CF FA
1．
A
D/ D
B
C
E
因为
AD DB

BE EC

CF FA
1，所以有
AD DB

AD/ D/B
．由于点
D、D/都在线段
F
AB 上，所以点 D 与 D/重合．即得 D、E、F 三点共线．
线．
四、托勒密定理 6．托勒密定理及其证明
A B
定理：凸四边形 ABCD 是某圆的内接四边形，则有
M
AB·CD + BC·AD = AC·BD．
证明：设点 M 是对角线 AC 与 BD 的交点，在线段 BD 上找一点，
E
使得 DAE = BAM．
因为 ADB = ACB，即 ADE = ACB，所以 ADE∽ ACB，即 D
D
C
BCP． 所以， FEP = BCP，即 D/EP = D/CP，可得 C、D/、P、E
四点共圆．
E P
所以， CD/P + CEP = 1800。而 CEP = 900，所以 CD/P = 900，即 PD/ BC．
由于过点 P 作 BC 的垂线，垂足只有一个，所以点 D 与 D/重合，即得 D、E、F 三点共
A D
因为 CG // AB，所以 CG CF ————（1） AD FA
因为 CG // AB，所以 CG EC ————（2） DB BE
B
C
E来自百度文库
G
F
由（1）÷（2）可得 DB BE CF ，即得 AD BE CF 1 ．
AD EC FA
DB EC FA
2．梅涅劳斯定理的逆定理及其证明 定理：在 ABC 的边 AB、BC 上各有一点 D、E，在边 AC 的延长线上有一点 F，若
D A
A
D E E
B
C
B
C
九：三角形的费马点
平面内一点 P 到△ABC 三顶点的之和为 PA+PB+PC，当距离之和最小时的点 P 为费 马点。
C' C'
A B'
A B'
P P
C
C
B
B
A' A'
在△ABC 内做一点 P，使得∠APC =∠BPC =∠CPA = 120°，过 A、B、C 分别作 PA、PB、PC 的垂 线，交于 D、E、F 三点，如图，再作任一异于 P 的点 P'，连结 P'A、P'B、P'C，过 P'作 P'H ⊥ EF 于 H 易证明∠D =∠E =∠F = 60°，即△DEF 为正三角形，设边长为 d，面积为 S
二、塞瓦定理
3．塞瓦定理及其证明
定理：在 ABC 内一点 P，该点与 ABC 的三个顶点相连所在的
三条直线分别交 ABC 三边 AB、BC、CA 于点 D、E、F，且 D、E、F
A
三点均不是 ABC 的顶点，则有
AD DB

BE EC

CF FA
1．
证明：运用面积比可得 AD SADP SADC ． DB SBDP SBDC
五、欧拉定理 9．欧拉定理及其证明 定理：设ΔABC 的重心、外心、垂心分别用字母 G、O、H 表
示．则有 G、O、H 三点共线（欧拉线），且满足 OH 3OG ．
B
A D
O H
E
C
证明（几何法）：连接 OH，AE，两线段相交于点 G/；连 BO 并延长交圆 O 于点 D；连接
CD、AD、HC，设 E 为边 BC 的中点，连接 OE 和 OC，如图．
D/，则据塞瓦定理有
AD/ D/B

BE EC

CF FA
1．
D/
F
D
P
因为
AD DB

BE EC

CF FA
1 ，所以有
AD DB

AD/ D/B
．由于点
D、D/
B
C
都在线段 AB 上，所以点 D 与 D/重合．即得 D、E、F 三点共线．
E
三、 西姆松定理 5．西姆松定理及其证明
定理：从 ABC 外接圆上任意一点 P 向 BC、CA、AB 或其延长线引垂线，垂足分别为
平面几何 九大定理及其证明
一、 梅涅劳斯定理
1．梅涅劳斯定理及其证明
定理：一条直线与 ABC 的三边 AB、BC、CA 所在直线分别交于点 D、E、F，且 D、E、
F 均不是 ABC 的顶点，则有
AD BE CF 1． DB EC FA
证明：如图，过点 C 作 AB 的平行线，交 EF 于点 G．
D P
B E
根据等比定理有
F C
SADP SADC SADC SADP SAPC ， SBDP SBDC SBDC SBDP SBPC
所以
AD DB

SAPC SBPC
．同理可得
BE EC

SAPB SAPC
， CF FA

SBPC SAPB
．
三式相乘得 AD BE CF 1 ． DB EC FA

AG / G/E

HG / G/O

2． 1
由
AG / G/E

2 ，及重心性质可知点 1
G/就是
ABC
的重心，即
G/与点
G
重合．
所以，G、O、H 三点共线，且满足 OH 3OG ．
六：燕尾定理
燕尾定理： 在三角形 ABC 中， AD ， BE ， CF 相交于同一点 O ，那么 SABO : SACO BD : DC ．
AC CD 由（1）+（2）得
AD BC ABCD AC DE AC BE AC BD ．
所以 AB·CD + BC·AD = AC·BD．
7．托勒密定理的逆定理及其证明 定理：如果凸四边形 ABCD 满足 AB×CD + BC×AD = AC×BD，那么 A、B、C、D 四点 共圆． 证法 1（同一法）： 在凸四边形 ABCD 内取一点 E，使得 EAB DAC ，EBA DCA ，则 EAB ∽ DAC ． 可得 AB×CD = BE×AC ———（1）
由（1）+（3）可得 AB×CD + BC×AD = AC×( BE + DE )
因为 A、B、C、D 四点不共圆，据托勒密定理的逆定理可知
AB×CD + BC×AD AC×BD
所以 BE + DE BD，即得点 E 不在线段 BD 上，则据三角形的性质有 BE + DE > BD．
所以 AB×CD + BC×AD > AC×BD．
A
B
E A B D A，CEBA DCA ，则 EAB ∽ DAC ．
可得 AB×CD = BE×AC ————（1）
且 AE AB ————（2）
E
AD AC
D
则由 DAE CAB 及（2）可得 DAE ∽ CAB ．于是
C
AD×BC = DE×AC ————（3）
（二）费马点的求法
△ABC 需是三个内角皆小于 120°三角形，分别以 AB、BC、CA 为边，向三角形外侧做正三角形△ ABD、 △ACE，然后连接 DC、BE，则二线交于一点，记作点 P，则点 P 就是所求的费马点。
（三）费马点的性质 1.费马点到三角形三个顶点距离之和最小 2.费马点连接三顶点所成的三夹角皆为 120° 此角为三角形的等角中心。
S1
S2
S4
S3
八：鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在 △ABC 中， D, E 分别是 AB, AC 上的点如图 ⑴(或 D 在 BA 的延长线上， E 在 AC 上)， 则 S△ABC : S△ADE (AB AC) : (AD AE)