CUSUM_&_EWMA
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41
最优、偏移量和稳态ARL(0)
42
43
控制参数K、和稳态ARL(0)
44
45
EWMA控制图的设计步骤
选择过程稳态时可接受的较小ARL(0)； 决定必须迅速检测出的偏移幅度，并确定 对此偏移量使ARL最小的； 利用步骤2得到的，寻找满足步骤1要求 ARL(0)的控制界参数K； 进行敏感性分析，将上述得到的最优参数(, K)组合的失控ARL与相同ARL(0)对应的其 他(, K)组合的失控ARL作比较，分析失控 ARL的变化。
23
显然，过程处于稳态时，ARL越长越好； 过程出现异常时，ARL越短越好。 x 令 L( ) 表示均值的偏移量为 时 的ARL。
24
固定控制界法的常见设计思路
CUSUM统计量
Si [ x j ( 0 K )]
j1
i
其中：K是参考值(Reference Value)，通常 取稳态过程均值0 与需要检测出的过程偏 移 之间差值的一半，即
28
29 30
3.62
4.43 4.45
——示例CUSUM统计量的结果
11
——示例CUSUM统计量的打点结果
12
CUSUM控制的设计思想
CUSUM控制图的理论基础是序贯分析原理 中的序贯概率比检验(Sequential Probability Ratio Test，简称SPRT)，这是一种基本的 序贯检验法。 CUSUM控制图的设计思想是对信息加以累 积，将过程的小偏移累加起来，以起到放 大的效果，进而，提高检测过程小偏移的 灵敏度。
ˆ 0
Si S j1 i j 1
19
V型模板的设计
2 1 d ( 2 )In ( )
d 2
1
In
tan ( ) 2A
其中：
2
x
20
A是刻度因子，表示垂直刻度（纵轴）单位与水平刻度 （横轴）单位的比值，往往取 A 2 X
14
CUSUM控制方法——V型模板
15
V型模板的应用方法： 把V型模板的O点放在 最新得到的点子Si上， 直线OP与x轴平行
每当CUSUM打 点图上出现一个 新的点子，就要 移动V型模板， 把O点移到最新 点子上，OP与x 轴平行，应用V 型模板进行控制。
16
V型模板的判断准则
V型摸板提供了一种与常规控制图的控制界 限相似且可视的控制方法。 V型模板两臂的作用与常规控制图的控制界 线是一致的。 如果O点位于Sn处，S1 ,S2 ,…,Sn-1所有的点 子都落在V型模板的两臂之内，则过程受控。
——机理
6
30个数据的单值控制图
7
常规控制图中的均值控制图对于偏移幅度， 如1.5σ 、2σ 或者更大的偏移情况，都是很 有效的，而对于较小的偏移则不太有效。 对小偏移的检测非常重要时，CUSUM控制 图不失为一种好方法。
8
CUSUM控制图包容了观测值序列的全部信 息，计算观测值与目标值差值的累积和。 假设采集到样本容量 n 1 的样本，用 x j 表示第j个样本的均值。如果以 0 表示过 程均值的目标值，那么，CUSUM统计量为：
30
CUSUM控制图的设计原则 设计CUSUM控制图取决于对参考值K和决 策值H的选择。 建议：基于对ARL的设计要求，选取参数。
31
初值的设置——FIR(Fast Initial Response，加速初值处理方法)
加速初值处理FIR不将初值SH(0)和SL(0)设 为0，而取非零值，最常用的是H/2。 如果过程就处于受控状态，那么，CUSUM 统计量会快速衰减到0，非零初值对受控 ARL的影响极小。 如果过程初始就处于某一不同于目标值的 状态，非零初值的设计可使CUSUM更快地 检测出异常，减小失控ARL值。
34
35
EWMA控制图的统计量
设X1, X2, ……是相互独立的随机变量序列， 则EWMA统计量Zi为：
Zi X i 1 Zi 1 其中：0 1 是一个常数。
EWMA统计量的初值Z0一般取E(X) = 。
Zi (1 ) X i j (1 ) Z0
L () L () L ()
1 1 1 1 2
27
CUSUM控制图的设计
CUSUM统计量 令 S H (i) 为上单侧CUSUM控制的统计 S L (i 量，) 为下单侧CUSUM控制的统计 SH (i) max[0, x i ( 0 K) S H (i 1)] 量
32
EWMA控制及其应用
33
继1954年佩基（Page）提出累积和CUSUM 控制图之后，1959年罗伯特（Robert）又 提出另一种能够有效控制过程小偏移的方 法：EWMA(Exponentially Weighted Moving Average，指数加权滑动平均)控制 图，同样充分利用了所有的历史数据，且 对数据的处理更有特色。
偏移后的过程均值上升为1 >
依据CUSUM统计量Si打点形成向上或向下 的趋势，可以作出过程均值是否发生偏移 的判断。（优点？）
10
序号 1 2 3 4 5 6 7
CUSUM值 -0.55 -2.56 -3.27 -1.61 0.55 0.73 -1.23
序号 11 12 13 14 15 16 17
j i j 0
36
i 1
百度文库
显然，距离当前越远的数据，权重越小， 以指数形式递减。其中，数据权重的累积 i 1 和为： i
(1 ) 1 (1 )
j 0
所有数据项与Z0的权重之和为1。
37
Zi X i 1 Zi 1
若 1 ，则 权重趋近于1。 Xi 若 1 ，则EWMA控制图就完全退 化为单值控制图。 若 0 ，则EWMA统计量中，观测 值的权重基本一致，EWMA统计量近似于 经典的CUSUM统计量。 0 1 的EWMA控制对历史数 据的处理介于单值控制图与CUSUM控制之 间。
17
如果存在点子Sj落在V型模板的臂外，则认 为过程失控。
如果存在点子落在V型模板的下臂界外时，表
示过程均值出现了向上的偏移。 如果存在点子落在V型模板的上臂界外时，表 示过程均值出现了向下的偏移。
18
V型模板还可得到……
因为，第j个点子落在臂外，所以，可初步 判定过程开始出现异常的起点为j。 可估计出从第j个点子到第i个点子（O点所 在位置）之间发生偏移的过程均值为：
38
Zi X i 1 Zi 1 Zi 1 ( X i Zi 1 )
EWMA统计量的另一种解释：EWMA统计 量为对下一个观测值的预测。即将统计量Zi 看作对Xi+1的预测，其数值等于当前Xi的预 测值Zi-1加上倍的预测误差(Xi－Zi-1)。 EWMA除了具有控制过程发生偏移的作用 以外，还具有预测功能。
内容：
CUSUM控制及其应用 EWMA控制及其应用 自相关过程的质量控制
1
CUSUM控制及其应用
2
常规控制图的不足
常规休哈特控制图存在着对过程小偏移不 灵敏的缺陷。 CUSUM控制图的诞生正是为了解决过程小 偏移的质量控制问题。 CUSUM控制图是1954年佩基(Page)提出的。
序号
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
原始观测值
10.40 8.83 11.79 11.00 10.10 10.58 9.88 11.12 10.81 10.02
——示例
5
前20个观测值随机地取自均值为 =10、 2 方差为 =1的正态分布。 后10个观测值随机地取自均值为 =10.5、 2 方差为 =1的正态分布。
V型模板的重要参数
H：称为决策值，是V型模板上点O处垂直 线段长度的一半，即OU或OL。
H 2d x tan( )
K：称为参考值，指V型模板臂的斜度，即 x值每增加一个单位，y值要增加幅度。
x K 2 2
21
V型模板的特点
V型模板本身比较简单，可以用透明的材料 作成，就象一把工具尺，使用方便，直观， 可视性强。 但V型模板法不适合计算机自动处理。因而， 近年来，V型模板法逐渐被计算更简单的固 定控制界法所替代。
原始观测值
9.45 7.99 9.29 11.66 12.16 10.18 8.04 11.46 9.20 10.34
序号
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
原始观测值
9.03 11.47 10.51 9.40 10.08 9.37 10.62 10.31 8.52 10.84
39
EWMA统计量的性质
EWMA
EWMA /(2 )
40
EWMA控制图的设计
3原则的控制界限
EWMA 3 EWMA 3 /(2 )
控制参数 的选取 可采用对数据反复叠代的方法，通过寻找 n 使 ( Zi 1 X i )2 最小的值来得 到。i 1
13
在检测过程均值的小偏移时，如偏移幅度 在0.5到2倍标准差之间，CUSUM控制图更 有效。检测这个范围的过程偏移量， CUSUM控制图比相应的常规控制图要快2 倍，即所需的样本数更少。 利用CUSUM控制图，过程偏移量可以利用 点子倾斜程度的变化进行估计。并且，通 过观察倾斜程度的变化，可找到过程出现 变化的起点。
22
CUSUM控制——固定控制界法
平均链长ARL (Average Run Length) ：对 某一个确定的质量特性水平，控制图从开 始进行控制直到发出警报信号为止所抽取 的平均样本数。 过程处于稳态时，均值控制图的ARL为 370=1/0.0027 即过程处于稳态时，平均每370个样本中会 产生一个失控的信号，即存在一个界外点。
SL (i) max[0, ( 0 K) x i SL (i 1)]
28
CUSUM控制参数：
初值SH(0)=SL(0)=0 K是参考值，通常取稳态过程均值
检测出的过程偏移1 0 差值的一半，即
0 与需要
K
2
x
2
29
CUSUM控制准则 0 SH (i) 和 S L (i ) 只累积与 的偏差中大 SH (i) 于K的部分。如果 S L (i ) 或 为负 SH (i) S L (i ) 值，则将其置为0；如果 或 大于决策值H，则判断过程失控。
Si ( x j 0 )
j 1
i
9
当过程处于稳态时，CUSUM统计量Si是在 零附近波动的随机变量，即均值为零。 若过程出现偏移，
0，那么，向上 的正偏移就会不断累积到CUSUM统计量Si中； 偏移后的过程均值下降为1 < 0，那么，向下 的负偏移就会在CUSUM统计量Si中不断累积。
1 0
x K 2 2
25
假设 1 0 如果 S i 小于零，则S i 自动设置为0。 如果 S i 大于决策值 (Decision Value) H，
那么，可以判断过程均值已经偏移到 1
H 2d x tan
26
双侧CUSUM控制图可以通过同时使用两个 单侧CUSUM控制图来实现，其中：上单侧 与下单侧CUSUM的参考值分别记为K1和K2， L和) 它们的ARL记为 L1 () 。 2( 单侧CUSUM控制图的ARL与双侧CUSUM 控制图的ARL即 L() 之间的关系为
3
常规休哈特控制图在诞生之时，只有一条 判异准则“点出界就判异”，至于其它的 判异准则，诸如：关于“界内点排列不随 机”的准则，都是后来人们增加的。增加 这类判异准则的原因，这是受到CUSUM、 EWMA控制图设计思想的影响。
4
CUSUM控制图的原理
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
CUSUM值 -1.20 0.27 0.78 0.18 0.26 -0.37 0.25
序号 21 22 23 24 25 26 27
CUSUM值 0.32 -0.85 0.94 1.94 2.04 2.62 2.50
8
9 10
0.23
-0.57 -0.23
18
19 20
0.56
-0.92 -0.08
最优、偏移量和稳态ARL(0)
42
43
控制参数K、和稳态ARL(0)
44
45
EWMA控制图的设计步骤
选择过程稳态时可接受的较小ARL(0)； 决定必须迅速检测出的偏移幅度，并确定 对此偏移量使ARL最小的； 利用步骤2得到的，寻找满足步骤1要求 ARL(0)的控制界参数K； 进行敏感性分析，将上述得到的最优参数(, K)组合的失控ARL与相同ARL(0)对应的其 他(, K)组合的失控ARL作比较，分析失控 ARL的变化。
23
显然，过程处于稳态时，ARL越长越好； 过程出现异常时，ARL越短越好。 x 令 L( ) 表示均值的偏移量为 时 的ARL。
24
固定控制界法的常见设计思路
CUSUM统计量
Si [ x j ( 0 K )]
j1
i
其中：K是参考值(Reference Value)，通常 取稳态过程均值0 与需要检测出的过程偏 移 之间差值的一半，即
28
29 30
3.62
4.43 4.45
——示例CUSUM统计量的结果
11
——示例CUSUM统计量的打点结果
12
CUSUM控制的设计思想
CUSUM控制图的理论基础是序贯分析原理 中的序贯概率比检验(Sequential Probability Ratio Test，简称SPRT)，这是一种基本的 序贯检验法。 CUSUM控制图的设计思想是对信息加以累 积，将过程的小偏移累加起来，以起到放 大的效果，进而，提高检测过程小偏移的 灵敏度。
ˆ 0
Si S j1 i j 1
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V型模板的设计
2 1 d ( 2 )In ( )
d 2
1
In
tan ( ) 2A
其中：
2
x
20
A是刻度因子，表示垂直刻度（纵轴）单位与水平刻度 （横轴）单位的比值，往往取 A 2 X
14
CUSUM控制方法——V型模板
15
V型模板的应用方法： 把V型模板的O点放在 最新得到的点子Si上， 直线OP与x轴平行
每当CUSUM打 点图上出现一个 新的点子，就要 移动V型模板， 把O点移到最新 点子上，OP与x 轴平行，应用V 型模板进行控制。
16
V型模板的判断准则
V型摸板提供了一种与常规控制图的控制界 限相似且可视的控制方法。 V型模板两臂的作用与常规控制图的控制界 线是一致的。 如果O点位于Sn处，S1 ,S2 ,…,Sn-1所有的点 子都落在V型模板的两臂之内，则过程受控。
——机理
6
30个数据的单值控制图
7
常规控制图中的均值控制图对于偏移幅度， 如1.5σ 、2σ 或者更大的偏移情况，都是很 有效的，而对于较小的偏移则不太有效。 对小偏移的检测非常重要时，CUSUM控制 图不失为一种好方法。
8
CUSUM控制图包容了观测值序列的全部信 息，计算观测值与目标值差值的累积和。 假设采集到样本容量 n 1 的样本，用 x j 表示第j个样本的均值。如果以 0 表示过 程均值的目标值，那么，CUSUM统计量为：
30
CUSUM控制图的设计原则 设计CUSUM控制图取决于对参考值K和决 策值H的选择。 建议：基于对ARL的设计要求，选取参数。
31
初值的设置——FIR(Fast Initial Response，加速初值处理方法)
加速初值处理FIR不将初值SH(0)和SL(0)设 为0，而取非零值，最常用的是H/2。 如果过程就处于受控状态，那么，CUSUM 统计量会快速衰减到0，非零初值对受控 ARL的影响极小。 如果过程初始就处于某一不同于目标值的 状态，非零初值的设计可使CUSUM更快地 检测出异常，减小失控ARL值。
34
35
EWMA控制图的统计量
设X1, X2, ……是相互独立的随机变量序列， 则EWMA统计量Zi为：
Zi X i 1 Zi 1 其中：0 1 是一个常数。
EWMA统计量的初值Z0一般取E(X) = 。
Zi (1 ) X i j (1 ) Z0
L () L () L ()
1 1 1 1 2
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CUSUM控制图的设计
CUSUM统计量 令 S H (i) 为上单侧CUSUM控制的统计 S L (i 量，) 为下单侧CUSUM控制的统计 SH (i) max[0, x i ( 0 K) S H (i 1)] 量
32
EWMA控制及其应用
33
继1954年佩基（Page）提出累积和CUSUM 控制图之后，1959年罗伯特（Robert）又 提出另一种能够有效控制过程小偏移的方 法：EWMA(Exponentially Weighted Moving Average，指数加权滑动平均)控制 图，同样充分利用了所有的历史数据，且 对数据的处理更有特色。
偏移后的过程均值上升为1 >
依据CUSUM统计量Si打点形成向上或向下 的趋势，可以作出过程均值是否发生偏移 的判断。（优点？）
10
序号 1 2 3 4 5 6 7
CUSUM值 -0.55 -2.56 -3.27 -1.61 0.55 0.73 -1.23
序号 11 12 13 14 15 16 17
j i j 0
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i 1
百度文库
显然，距离当前越远的数据，权重越小， 以指数形式递减。其中，数据权重的累积 i 1 和为： i
(1 ) 1 (1 )
j 0
所有数据项与Z0的权重之和为1。
37
Zi X i 1 Zi 1
若 1 ，则 权重趋近于1。 Xi 若 1 ，则EWMA控制图就完全退 化为单值控制图。 若 0 ，则EWMA统计量中，观测 值的权重基本一致，EWMA统计量近似于 经典的CUSUM统计量。 0 1 的EWMA控制对历史数 据的处理介于单值控制图与CUSUM控制之 间。
17
如果存在点子Sj落在V型模板的臂外，则认 为过程失控。
如果存在点子落在V型模板的下臂界外时，表
示过程均值出现了向上的偏移。 如果存在点子落在V型模板的上臂界外时，表 示过程均值出现了向下的偏移。
18
V型模板还可得到……
因为，第j个点子落在臂外，所以，可初步 判定过程开始出现异常的起点为j。 可估计出从第j个点子到第i个点子（O点所 在位置）之间发生偏移的过程均值为：
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Zi X i 1 Zi 1 Zi 1 ( X i Zi 1 )
EWMA统计量的另一种解释：EWMA统计 量为对下一个观测值的预测。即将统计量Zi 看作对Xi+1的预测，其数值等于当前Xi的预 测值Zi-1加上倍的预测误差(Xi－Zi-1)。 EWMA除了具有控制过程发生偏移的作用 以外，还具有预测功能。
内容：
CUSUM控制及其应用 EWMA控制及其应用 自相关过程的质量控制
1
CUSUM控制及其应用
2
常规控制图的不足
常规休哈特控制图存在着对过程小偏移不 灵敏的缺陷。 CUSUM控制图的诞生正是为了解决过程小 偏移的质量控制问题。 CUSUM控制图是1954年佩基(Page)提出的。
序号
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
原始观测值
10.40 8.83 11.79 11.00 10.10 10.58 9.88 11.12 10.81 10.02
——示例
5
前20个观测值随机地取自均值为 =10、 2 方差为 =1的正态分布。 后10个观测值随机地取自均值为 =10.5、 2 方差为 =1的正态分布。
V型模板的重要参数
H：称为决策值，是V型模板上点O处垂直 线段长度的一半，即OU或OL。
H 2d x tan( )
K：称为参考值，指V型模板臂的斜度，即 x值每增加一个单位，y值要增加幅度。
x K 2 2
21
V型模板的特点
V型模板本身比较简单，可以用透明的材料 作成，就象一把工具尺，使用方便，直观， 可视性强。 但V型模板法不适合计算机自动处理。因而， 近年来，V型模板法逐渐被计算更简单的固 定控制界法所替代。
原始观测值
9.45 7.99 9.29 11.66 12.16 10.18 8.04 11.46 9.20 10.34
序号
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
原始观测值
9.03 11.47 10.51 9.40 10.08 9.37 10.62 10.31 8.52 10.84
39
EWMA统计量的性质
EWMA
EWMA /(2 )
40
EWMA控制图的设计
3原则的控制界限
EWMA 3 EWMA 3 /(2 )
控制参数 的选取 可采用对数据反复叠代的方法，通过寻找 n 使 ( Zi 1 X i )2 最小的值来得 到。i 1
13
在检测过程均值的小偏移时，如偏移幅度 在0.5到2倍标准差之间，CUSUM控制图更 有效。检测这个范围的过程偏移量， CUSUM控制图比相应的常规控制图要快2 倍，即所需的样本数更少。 利用CUSUM控制图，过程偏移量可以利用 点子倾斜程度的变化进行估计。并且，通 过观察倾斜程度的变化，可找到过程出现 变化的起点。
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CUSUM控制——固定控制界法
平均链长ARL (Average Run Length) ：对 某一个确定的质量特性水平，控制图从开 始进行控制直到发出警报信号为止所抽取 的平均样本数。 过程处于稳态时，均值控制图的ARL为 370=1/0.0027 即过程处于稳态时，平均每370个样本中会 产生一个失控的信号，即存在一个界外点。
SL (i) max[0, ( 0 K) x i SL (i 1)]
28
CUSUM控制参数：
初值SH(0)=SL(0)=0 K是参考值，通常取稳态过程均值
检测出的过程偏移1 0 差值的一半，即
0 与需要
K
2
x
2
29
CUSUM控制准则 0 SH (i) 和 S L (i ) 只累积与 的偏差中大 SH (i) 于K的部分。如果 S L (i ) 或 为负 SH (i) S L (i ) 值，则将其置为0；如果 或 大于决策值H，则判断过程失控。
Si ( x j 0 )
j 1
i
9
当过程处于稳态时，CUSUM统计量Si是在 零附近波动的随机变量，即均值为零。 若过程出现偏移，
0，那么，向上 的正偏移就会不断累积到CUSUM统计量Si中； 偏移后的过程均值下降为1 < 0，那么，向下 的负偏移就会在CUSUM统计量Si中不断累积。
1 0
x K 2 2
25
假设 1 0 如果 S i 小于零，则S i 自动设置为0。 如果 S i 大于决策值 (Decision Value) H，
那么，可以判断过程均值已经偏移到 1
H 2d x tan
26
双侧CUSUM控制图可以通过同时使用两个 单侧CUSUM控制图来实现，其中：上单侧 与下单侧CUSUM的参考值分别记为K1和K2， L和) 它们的ARL记为 L1 () 。 2( 单侧CUSUM控制图的ARL与双侧CUSUM 控制图的ARL即 L() 之间的关系为
3
常规休哈特控制图在诞生之时，只有一条 判异准则“点出界就判异”，至于其它的 判异准则，诸如：关于“界内点排列不随 机”的准则，都是后来人们增加的。增加 这类判异准则的原因，这是受到CUSUM、 EWMA控制图设计思想的影响。
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CUSUM控制图的原理
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
CUSUM值 -1.20 0.27 0.78 0.18 0.26 -0.37 0.25
序号 21 22 23 24 25 26 27
CUSUM值 0.32 -0.85 0.94 1.94 2.04 2.62 2.50
8
9 10
0.23
-0.57 -0.23
18
19 20
0.56
-0.92 -0.08