华师大版九年级下数学《圆》知识归纳

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华东师大初中数学九年级下册《圆》全章复习与巩固—知识讲解(基础)

《圆》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系；2.探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；3．了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；4．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；5．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；6．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3．两圆的性质(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点. 4．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系 1．判定一个点P 是否在⊙O 上设⊙O 的半径为，OP=，则有点P 在⊙O 外；点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内. 要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点12nA A A 、、在同一个圆上的方法当时，在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R ，点O 到直线的距离为. (1)直线和⊙O 没有公共点直线和圆相离. (2)直线和⊙O 有唯一公共点直线和⊙O 相切.(3)直线和⊙O 有两个公共点直线和⊙O 相交. 4．切线的判定、性质 (1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线. (2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5．圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.两圆的五种位置关系可以概括为三类：要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质【高清ID号： 362179 高清课程名称：《圆》单元复习关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】1．如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC 外接圆半径的长度为．【解析】由已知得BC ∥x 轴，则BC 中垂线为2412x -+== 那么，△ABC 外接圆圆心在直线x=1上，设外接圆圆心P(1,a)，则由PA=PB=r 得到：PA 2=PB 2即(1+1)2+(a-3)2=(1+2)2+(a+2)2化简得 4+a 2-6a+9=9+a 2+4a+4 解得 a=0即△ABC 外接圆圆心为P(1,0) 则 22(11)(03)13r PA ==++-=【总结升华】三角形的外心是三边中垂线的交点，由B 、C 的坐标知：圆心P （设△ABC 的外心为P ）必在直线x=1上；由图知：BC 的垂直平分线正好经过（1，0），由此可得到P （1，0）；连接PA 、PB ，由勾股定理即可求得⊙P 的半径长．类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2．如图所示，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE ＝1cm ，EB ＝5cm ，∠DEB ＝60°，求CD 的长．【思路点拨】作OF ⊥CD 于F ，构造Rt △OEF ，求半径和OF 的长；连接OD ，构造Rt △OFD ，求CD 的长．【答案与解析】作OF ⊥CD 于F ，连接OD ．∵ AE ＝1，EB ＝5，∴ AB ＝6． ∵ 32ABOA ==，∴ OE ＝OA-AE ＝3-1＝2．在Rt △OEF 中，∵ ∠DEB ＝60°，∴ ∠EOF ＝30°，∴ 112EF OE ==，∴ 223OF OE EF =-=．在Rt △DFO 中，OF ＝3，OD ＝OA ＝3，∴ 22223(3)6DF OD OF =-=-=(cm)． ∵ OF ⊥CD ，∴ DF ＝CF ，∴ CD ＝2DF ＝26cm ．【总结升华】因为垂径定理涉及垂直关系，所以常常可以利用弦心距（圆心到弦的距离）、半径和半弦组成一个直角三角形，用勾股定理来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，然后用垂弦定理来解题．举一反三：【变式】如图，AB 、AC 都是圆O 的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M 、N ，如果MN ＝3，那么BC ＝．【答案】由OM⊥AB，ON⊥AC，得M 、N 分别为AB 、AC 的中点（垂径定理），则MN 是△ABC 的中位线，BC=2MN=6.3．（2017•曲靖一模）如图，⊙O 的半径为4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB 、OC ，若∠BAC 和∠BOC 互补，则弦BC 的长度为.【思路点拨】首先过点O 作OD ⊥BC 于D ，由垂径定理可得BC=2BD ，又由圆周角定理，可求得∠BOC 的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC 的度数，利用余弦函数，即可求得答案．【答案】4.【解析】解：过点O 作OD ⊥BC 于D ，则BC=2BD ，∵△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 与∠BOC 互补， ∴∠BOC=2∠A ，∠BOC+∠A=180°， ∴∠BOC=120°， ∵OB=OC ，∴∠OBC=∠OCB=（180°﹣∠BOC ）=30°， ∵⊙O 的半径为4， ∴BD=OB•cos∠OBC=4×=2，∴BC=4．故答案为：4．【总结升华】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．举一反三：【变式】如图，⊙O 的半径是2，AB 是⊙O 的弦，点P 是弦AB 上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB 所对的圆周角的度数是（）N MO C BAA．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°【答案】C.【解析】作OD⊥AB，如图，∵点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，∴OD=1，∴∠OAB=30°，∴∠AOB=120°，∴∠AEB=∠AOB=60°，∵∠E+∠F=180°，∴∠F=120°，即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．故选C．类型三、与圆有关的位置关系【高清ID号： 362179 高清课程名称：《圆》单元复习关联的位置名称（播放点名称）：经典例题6】4．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．请判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论.【答案与解析】直线CE与⊙O相切理由：连接OE∵OE=OA∴∠OEA=∠OAE∵四边形ABCD是矩形∴∠B=∠D=∠BAD=90°，BC∥AD,CD=AB∴∠DCE+∠DEC=90°, ∠ACB=∠DAC又∠DCE=∠ACB∴∠DEC+∠DAC=90°∵OE=OA∴∠OEA=∠DAC∴∠DEC+∠OEA=90°∴∠OEC=90°∴OE⊥EC∴直线CE与⊙O相切.【总结升华】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．举一反三：【变式】如图，P为正比例函数图象上的一个动点，的半径为3，设点P的坐标为(x、y).(1)求与直线相切时点P的坐标.(2)请直接写出与直线相交、相离时x的取值范围.【答案】(1)过作直线的垂线，垂足为.当点在直线右侧时，，得，(5，7.5).当点在直线左侧时，，得，(，).当与直线相切时，点的坐标为(5，7.5)或(，).(2)当时，与直线相交.当或时，与直线相离.类型四、圆中有关的计算5．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．【答案与解析】（1）证明：连接OD，∵OB=OD ，∴∠ABC=∠ODB ， ∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ， ∴∠ODB=∠ACB ， ∴OD ∥AC ，∵DF 是⊙O 的切线， ∴DF ⊥OD ， ∴DF ⊥AC ．（2）解：连接OE ，∵DF ⊥AC ，∠CDF=22.5°， ∴∠ABC=∠ACB=67.5°， ∴∠BAC=45°， ∵OA=OE ，∴∠AOE=90°， ∵⊙O 的半径为4，∴S 扇形AOE =4π，S △AOE=8 ， ∴S 阴影=4π﹣8．【总结升华】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键．类型五、圆与其他知识的综合运用6．如图(1)是某学校存放学生自行车的车棚示意图(尺寸如图(1))，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图(2)是车棚顶部截面的示意图，AB 所在圆的圆心为O ．车棚顶部用一种帆布覆盖，求覆盖棚顶的帆布的面积(不考虑接缝等因素，计算结果保留π)．【思路点拨】求覆盖棚顶的帆布的面积，就是求以AB 为底面的圆柱的侧面积．根据题意，应先求出AB 所对的圆心角度数以及所在圆的半径，才能求AB 的长．【答案与解析】连接OB ，过点O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，交AB 于点F ，如图(2)．由垂径定理，可知E 是AB 中点，F 是AB 的中点，∴ 12AE AB ==EF ＝2．设半径为R 米，则OE ＝(R-2)m ．在Rt △AOE 中，由勾股定理，得222(2)R R =-+．解得R ＝4．∴ OE ＝2，12OE AO =，∴ ∠AOE ＝60°，∴ ∠AOB ＝120°．∴AB的长为120481803ππ⨯=(m)．∴帆布的面积为8601603ππ⨯=(m2)．【总结升华】本题以学生校园生活中的常见车棚为命题背景，使考生在考场上能有一种亲切的感觉，这也体现了中考命题贴近学生生活实际的原则．举一反三：【变式】某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.①请你补全这个输水管道的圆形截面图；②若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径.【答案】①作法略.如图所示.②如图所示，过O作OC⊥AB于D，交于C，∵ OC⊥AB，∴.由题意可知，CD=4cm.设半径为x cm，则.在Rt△BOD中，由勾股定理得：∴.∴.即这个圆形截面的半径为10cm.。

华东师大版九年级下册：圆的认识

圆的认识教学目标1.理解圆的定义；理解半径、直径、等圆的概念；2.理解圆的对称性；3.并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法；学习内容知识梳理一、圆的定义1.圆的定义如图，平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点叫做圆心，定长叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．总结：⊙圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；⊙圆是平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹.2. 等圆的概念圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.要点诠释：⊙定点为圆心，定长为半径；⊙圆指的是圆周，而不是圆面；⊙强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.3.弦（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.（2）直径：经过圆心的弦叫做直径.（3）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.注意：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD⊙AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)⊙直径AB是⊙O中最长的弦.4.弧（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.（2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（3）优弧：大于半圆的弧叫做优弧；（4）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.总结：⊙半圆是弧，而弧不一定是半圆；⊙无特殊说明时，弧指的是劣弧.5. 等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.总结：⊙等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；⊙圆中两平行弦所夹的弧相等.二、圆的对称性圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．圆是中心对称图形，对称中心为圆心．注：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．（一）圆心角与弧的定义1．圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，⊙AOB 就是一个圆心角. 要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)圆心角∠AOB 所对的弦为线段AB ，所对的弧为弧AB. 2．1°的弧的定义1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧。

华师版九年级数学下册教学课件(HS) 第27章圆第27章小结与复习

(4)中心角：正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.
二、与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆的半径r比较得到．设☉O的半径是r，点P到圆心的距离为d，则有
d＜r
点P在圆内；
[注意]点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间
d=r
点P在圆上；
的关系；反过来，也可以通过这
种数量关系判断点与圆的位置关
d＞r
点P在圆外.
系．
2.直线与圆的位置关系设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离
直线与圆的
位置关系
相离
相切
图形
d与r的关系公共点个数公共点名称直线名称
பைடு நூலகம்
d＞r 0个
d=r 1个切点切线
相交
d＜r 2个交点割线
三、圆的基本性质 1. 圆的对称性圆是轴对称图形，它的任意一条_______所在的直直径线都是它的对称轴.
(3)边长a，边心距r的正n边形的面积为
S
1 nar 2
1 lr. 2
其中l为正n边形的周长.
考点一圆周角定理
例1 在图中，BC是☉O的直径，AD⊥BC,若∠D=36°,则∠BAD的度数是
（）
B
A. 72° B.54° C. 45° D.36 °
A
B
C
D
针对训练
1.如图a，四边形ABCD为☉O的内接正方形，点P为劣弧BC上的任意一
3.与切线相关的定理 (1)判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
(2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
(3)切线长定理：经过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.

27.1.1 圆的基本元素华师大版九年级数学下册课件

3.例题精讲例 1 如图所示的圆中有 1 条直径, 3 条弦;以点A为一个端点的优弧有 4 条,劣弧有 4 条.
例 2 到点 A 的距离为 3cm 的所有点组成的图形是圆 .
4.巩固练习完成教材课后同步练习
5.课堂小结与反思
小结：弦、劣弧、优弧、等弧、圆心角等与圆有关的概念. 反思：知道如何确定圆，以及圆相关要素的理解.
第27章圆
27.1 圆的认识
27.1.1 圆的基本元素
一学习目标
1.理解弦、劣弧、优弧、等弧、圆心角等与圆有关的概念,并能正确区分. 2.学会用集合的观点描述圆,学会相关作图.
二重难点
重点：掌握弦、劣弧、优弧、等弧、圆心角等概念. 难点：用集合的观点理解圆,正确区分什么是等弧.
三教学过程 1.情境导入
问题 2 什么是弦、劣弧、优弧、等弧、圆心角?
答:连结圆上任意两点的线段是弦,圆上任意两点间部分叫做弧, 小于半圆周的圆弧叫做劣弧,大于半圆周的圆弧叫做优弧,在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧,顶点在圆心的角叫做圆心角.
【知识归纳】
1.圆的定义:平面上到定点距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆,定点叫做圆心,定长叫做半径. 2.弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦. 3.直径:经过圆心的弦是直径. 4.弧、优弧、劣弧:圆上任意两点之间的部分叫做圆弧,简称弧.直径所对的弧叫做半圆,大于半圆的弧叫优弧,小于半圆的弧叫劣弧. 5.等圆、同心圆:半径相等的两个圆叫做等圆;圆心相同,半径不同的两个圆叫做同心圆. 6.等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧. 7.圆心角:顶点在圆心的角,叫做圆心角.

2.探究新知问题 1 什么是圆?圆的位置和大小由什么确定?圆可以看成什么图形?

九年级下册华师大版数学圆知识点

九年级下册华师大版数学圆知识点数学是一门抽象而理性的学科，而圆则是数学中非常重要且常见的一个概念。

在九年级下册的华师大版数学教材中，圆的知识点是一个不可忽视的重点内容。

接下来，我们将对九年级下册华师大版数学中关于圆的知识点进行系统地介绍与讨论。

首先，让我们回顾一下圆的基本概念。

在数学中，圆是由平面中所有到定点距离相等的点组成的集合。

圆通常由圆心和半径来描述。

圆心是圆的中心点，而半径则是从圆心到圆上任意一点的距离。

了解这些基本概念可以帮助我们更好地理解和应用圆的知识。

一、圆的周长和面积是圆的基本属性，也是圆的重要应用。

圆的周长可以通过公式C=2πr计算得出，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径。

同样，圆的面积可以通过公式A=πr²计算得出，其中A表示圆的面积。

这些公式的应用可以帮助我们计算圆的周长和面积，解决实际问题，如园艺设计、建筑设计等。

二、在九年级下册华师大版数学中，圆与直线的关系也是一个重要的知识点。

首先，我们来讨论直径与弦之间的关系。

直径是通过圆心的一条直线，而弦是圆上任意两点之间的线段。

在任何一个圆中，直径始终等于两个相对的弦之和。

这个关系在解决实际问题中非常有用，特别是在解决圆形活动场地的划分、圆形轮胎等问题时。

三、九年级下册华师大版数学中，圆和角的关系也是重要的一个内容。

在圆的内部或外部，同一个圆心对应的两条弧所对应的角相等。

这个性质被称为圆心角的性质。

在解决圆环编织、风力发电机桨叶运动范围等问题时，这个性质可以帮助我们得出准确的结论。

四、欧拉公式是九年级下册华师大版数学中关于圆的一个高阶概念。

这个公式被认为是数学中最美丽的公式之一。

欧拉公式是通过圆的半径、弧度以及复数等概念而得出的。

以上是九年级下册华师大版数学中关于圆的知识点的重要内容。

通过对这些知识的学习与实践，我们可以更好地理解和应用圆的性质。

圆是数学中一个富有魅力的概念，它在我们日常生活中随处可见。

掌握圆的知识，不仅可以帮助我们解决实际问题，还可以培养我们的抽象思维和数学推理能力。

华师大版九年级圆知识点

华师大版九年级圆知识点华师大版九年级圆知识点按照如下格式进行讲解：一、圆的概念与性质圆是平面上所有离圆心的距离都相等的点的集合。

圆上的每一条线段都是圆的弦，而通过圆心的弦称为直径。

圆的性质包括：1. 圆心角：圆心角是指以圆心为顶点的角，它的度数等于所对圆弧的度数。

圆心角的度数范围是0°到360°。

2. 弧长：圆上任意弧所对应的圆心角所在的圆弧长度称为弧长。

弧长公式可以表示为：L = 2πr(θ/360°)，其中L是弧长，r是半径，θ是圆心角的度数。

3. 弦长：圆上的弦的长度称为弦长。

弦长公式可以表示为：l = 2r*sin(θ/2)，其中l是弦长，r是半径，θ是圆心角的度数。

4. 切线：切线是与圆仅有一个交点的直线。

切线与半径垂直，形成直角。

二、圆的相关定理1. 圆的面积：圆的面积公式为S = πr^2，其中S是圆的面积，r 是半径。

2. 弧长与半径关系：给定圆心角θ，则圆弧所对应的弧长L与半径r的关系是L = 2πr*(θ/360°)。

3. 圆的切线定理：切线与半径的垂直关系可以推导出切线与切点之间的夹角等于所对的弧和半径的夹角。

4. 切线长度定理：切线段的平方等于切点到圆心的距离与切点到圆心所对应的弧之积。

5. 弦的性质：等长的弦对应的弧长相等；相等的弧对应的弦长相等；垂直于弦的直径平分弦。

三、圆的解题技巧1. 圆心角的计算：根据已知的圆心角度数，可以计算出相应的弧长，应用圆的性质；或者根据圆心角所成的弦长，可以计算出圆的半径。

2. 弧长的计算：根据已知的圆弧对应的圆心角及圆的半径，可以计算出弧长。

3. 切线的计算：利用圆的性质和切线的定理，可以计算出切线与切点之间的夹角、切线长度等。

4. 配准问题：对于两个圆的配准问题，可以利用两圆的半径和圆心之间的关系，求解出未知量。

通过对九年级圆知识点的学习，我们能够了解到圆的概念与性质，掌握圆的相关定理，学会运用解题技巧，提高数学问题的解决能力。

华师大九年级圆知识点

华师大九年级圆知识点圆是几何中的基本概念之一，是平面上所有到一个固定点的距离都相等的点的集合。

在华师大九年级数学课程中，学生需要掌握关于圆的一些基本知识和性质。

本文将围绕着华师大九年级圆的知识点展开讲述。

一、圆的定义和基本术语圆的定义：圆是平面上距离一个固定点相等于一个固定长度的点的集合。

圆的基本术语：圆心、半径、直径、弧、弦、切线、正切、圆心角、弦长等。

二、圆的性质与定理1. 圆的半径相等性质：圆上任意两点到圆心的距离相等。

2. 圆的直径性质：直径是连接圆上两点的最长线段，并且直径的长度是半径长度的两倍。

3. 圆的弧性质：圆上的弧可以通过其中一点作为圆心来构造一个圆。

4. 圆的弦性质：连接圆上两点的线段称为弦。

弦的长度不超过直径的长度。

5. 圆的切线性质：切线是与圆只有一个交点的直线。

6. 圆的正切性质：正切是切线和半径之间的关系，正切的值等于圆心角的正切值。

7. 圆心角性质：圆心角是以圆心为顶点的角，圆心角的度数等于所对弧的度数。

三、圆的常见公式1. 圆的周长：圆的周长等于直径或半径乘以2π，即C = πd 或C = 2πr。

2. 圆的面积：圆的面积等于半径的平方乘以π，即A = πr²。

四、圆与三角形、矩形等几何图形的关系1. 圆与三角形：圆内接于三角形的圆称为三角形的内切圆，圆外接于三角形的圆称为三角形的外接圆。

2. 圆与矩形：圆外接于矩形的圆称为矩形的外接圆，矩形内切于圆的圆称为矩形的内切圆。

五、圆的应用1. GPS导航系统中通过圆的定位来确定车辆所在的位置。

2. 圆的应用于建筑设计中，如圆形的屋顶、圆形窗户等。

3. 圆的应用于机械制造中，如轮子的制造等。

4. 圆的应用于日常生活中，如饼干、披萨等的形状。

华师大九年级的圆知识点就是以上所介绍的内容。

通过学习和理解这些知识，学生可以更好地掌握圆的基本概念、性质和应用。

同时，学生还需在实际解题中灵活运用这些知识来解决各种与圆有关的问题。

九年级下册数学华师版圆的知识点

九年级下册数学华师版圆的知识点数学是一门理性与逻辑相结合的学科，其中圆的知识点是九年级下册数学华师版中的重点之一。

圆是我们日常生活中常见的图形之一，而对于任何一个几何学来说，研究圆的性质是非常重要的。

我们来一起探索一下九年级下册数学华师版给出的圆的知识点。

一、圆的定义与常见性质圆是由平面上所有距离某一点（圆心）相等的点构成的，我们常用O表示圆心，r表示半径。

圆一般具有以下性质：1. 圆上的任意两点与圆心的距离相等。

2. 半径相等的圆互相重合。

3. 圆可以分两部分，圆内部和圆外部。

二、圆与直线的位置关系1. 切线：过圆上一点的直线与圆相切，该直线称为切线。

切线与半径相垂直。

2. 弦：圆上两点之间的线段称为弦。

一条弦截圆剩余的线段称为弦切线定理。

3. 弧：圆上两点之间的部分称为弧。

三、圆的角度与弧度制1. 圆心角：以圆心为顶点的角称为圆心角。

圆心角的度数等于其所对的弧所对的圆心角的度数是它所对的弧所对的两个圆相交。

2. 弧度制：度数制是通过360度来度量一个圆，而弧度制是通过弧长对半径的比值来度量圆。

一整个圆周的弧度为2π弧度。

四、扇形与面积计算1. 扇形：以圆心为顶点，圆上的弧为边所围成的图形称为扇形。

扇形的面积计算公式为：S = 0.5 × r² × θ，其中S表示扇形的面积，r表示半径，θ表示圆心角的度数。

2. 弓形：由圆上的一个弧及其两端所在的半径构成。

弓形的面积计算公式为：S = 0.5 × r² ×（θ - sinθ）。

其中S表示弓形的面积，r表示半径，θ表示圆心角的度数。

3. 圆的面积计算公式为：S = πr²。

其中S表示圆的面积，r表示半径。

五、正多边形与圆的关系1. 在圆内作一条弦，该弦可将圆分成两个相等的正多边形。

若将弦的两个端点连线与圆心连接，则与圆心角相对的两个角是相等的。

2. 在圆内作一条弦，圆心角等于弦所对的两个扇形的圆心角之和。

华师版九年级圆知识点总结

华师版九年级圆知识点总结九年级是初中最后一个学年，学生在这一年要进行中考的冲刺备战。

数学作为一门重要的学科，对于九年级学生来说显得尤为重要。

其中，圆是九年级数学中的一个重要知识点。

下面将对华师版九年级圆知识点进行总结，以帮助同学们更好地掌握圆的相关概念和性质。

一、圆的定义和相关术语圆是由平面上任意一点到另一点距离相等的点的集合。

其中，距离相等的两点称为圆的直径，直径的一半称为半径。

圆心是距离直径上任意一点的距离均相等的点。

圆内的任意两点到圆心的距离相等，这个相等的距离称为半径。

圆内的一条线段，它的两个端点都在圆上，这个线段称为弦。

弦的中点在圆心上。

介于圆弧两端点的，除两端点之外的圆上的点所在的弧称为圆弧。

以圆心为端点的弧称为半圆。

二、圆的性质：1. 圆的半径相等性质：在同一个圆中，所有半径的长度相等。

2. 圆周角的性质：位于圆上的两条弧所对的圆周角相等。

3. 圆心角的性质：夹在相同弧上的两个圆心角相等。

4. 与圆相关的角：切线和半径垂直，切线和切线垂直。

5. 弧长和扇形面积公式：弧长等于弧所对的圆心角的度数除以360度后乘以圆周长。

扇形面积等于扇形所对的圆心角的度数除以360度后乘以圆的面积。

三、圆的方程1. 圆心在原点的情况：若一个圆的圆心在原点，半径为r，则圆的方程为 x² + y² = r²。

2. 圆心不在原点的情况：若一个圆的圆心坐标为(h, k)，半径为r，则圆的方程为 (x-h)² + (y-k)² = r²。

四、圆的切线和切点1. 切线：与圆只有一个交点的直线称为圆的切线。

2. 切点：切线与圆的交点称为切点。

3. 切线定理：外切线与半径垂直；内切线与半径夹角是直角。

五、圆与直线的位置关系1. 直线与圆相交：相交的点个数可以有1个、2个或无穷多个。

2. 直线与圆相切：直线与圆相切时，切点是圆的一个点。

3. 直线在圆内部：直线与圆没有交点。

华师大版数学九年级下册《圆》知识点总结

1 •圆的认识(1)当一条线段0A绕着它的一个端点0在平面内旋转一周时，它的另一个端点A的轨迹叫做圆。

或到一个定点的距离等于定长的点的集合。

这个以点0为圆心的圆叫作“圆0',记为“O 0'。

(2)线段0A OB 0C都是圆的半径，线段AC为直径。

(3)连结圆上任意两点之间的线段叫做弦如线段AB BC AC都是圆0中的弦。

(4)圆上任意两点间的部分叫做弧。

如曲线BC BAC都是圆中的弧，分别记作Be、BAC其中像弧BC这样小于半圆周的圆叫做劣弧。

像弧B AC，这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。

(3)圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角。

如/A0B、/ A0C、/ B0C就是圆心角。

2 .圆的对称性(1 )在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。

在同圆或等圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角、所对的弧相等。

在同圆或等圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等。

(2 )圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。

3.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦。

4 •圆周角(1)圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角。

(2)半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°(直角)。

90°的圆周角所对的弦是圆的直径。

(3)同圆或等圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。

(4)同弧(或等弧)所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等。

5 •点与圆的位置关系设O 0的半径为r，点圆心0的距离为d，则(1 )点在圆外 d r(2 )点在圆上 d r(3 )点在圆内 d r6. (1)过一点可以画无数个圆；过两点可以画无数个圆，圆心在两点连线的垂直平分线上；过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆。

(2)三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。

华师大数学九年级下第27章圆的知识点总结

圆的知识点总结一、垂径定理1. 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．2. 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．二、弧、弦、圆心角定理1. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．2. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．三、圆周角定理定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．推论3：圆的内接四边形对角互补．四、与圆相关的位置关系1.点和圆的位置关系：设O ⊙的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则有：点在圆外⇔d r >；点在圆上⇔d r =；点在圆内⇔d r <.2.直线和圆的位置关系：设O ⊙的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则有：d r >⇔直线l 与O ⊙相离；d r =⇔直线l 与O ⊙相切；d r <⇔直线l 与O ⊙相交切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．切线的判定：定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；距离：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．3.圆和圆的位置关系：设12O O 、⊙⊙的半径分别为r R 、（其中R r >），两圆圆心距为d ，则有：d R r >+⇔两圆外离；d R r =+⇔两圆外切；R r d R r -<<+⇔两圆相交； d R r =-⇔两圆内切；0d R r <-⇔≤两圆内含.五、圆中的相关计算公式设O ⊙的半径为R ，n ︒圆心角所对弧长为l ， 1. 弧长公式：π180n Rl =2. 扇形面积公式：21π3602n S R lR ==扇形 3. 圆柱体表面积公式：22π2πS R Rh =+4. 圆锥体表面积公式：2ππS R Rl =+（l 为母线）5. 圆锥侧面积公式：πrl六、圆中常见辅助线作法七、圆中常见倒角模型。

27.1.1 圆的基本认识华师大版数学九年级下册课件

解：A.直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意； B.长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意； C.圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意； D.一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意
2.车轮要做成圆形，实际上就是根据圆的特征（） A．同弧所对的圆周角相等 B．直径是圆中最大的弦 C．圆上各点到圆心的距离相等 D．圆是中心对称图形解：车轮做成圆形是为了在行进过程中保持和地面的高度不变，是利用了圆上各点到圆心的距离相等，故选C．
华师大版数学九年级下册
圆的基本认识
新知讲解
请欣赏图片
古希腊的数学家认为：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形.”它的完美来自于中心对称，无论处于哪个位置，都具有同一形状.它最谐调、最匀称.
亲爱的同学们，在生活中我们见到圆形，下面就让我们走进圆的世界，去了解圆的基本元素吧！
某部队在灯塔A的周围进行爆破作业，A的周围3 km内的水域为危险区域，有一渔船误入离A点2 km的B处，为了尽快驶离危险区域，该般应沿什么方向航行？
D B
提示： 1.理解题意，画出图形； 2.结合图形，分析题意.
A C
解：如图，设射线AB交圆A于点D，在圆A上任意取一点
C(不包括D关于A的对称点)
等圆
（2）劣弧，优弧的区别与表示方法你知道优弧与劣弧的区别吗？
线段AB、BC、AC都是
O的弦.曲线BC、BAC都
是 O的弧，分别记
为
，其中像弧
BC 这样小于半圆周的圆
弧叫做劣弧，像弧BAC这
样大于半圆周的圆弧叫做
优弧.
图27.1.2
图27.1.2

华师版九年级圆知识点

华师版九年级圆知识点概述：九年级数学教材中，关于圆的知识点是非常重要且基础的内容。

本文将带领大家回顾和学习华师版九年级圆知识点，包括圆的定义、圆周率、弧长和面积等内容。

一、圆的定义在数学中，圆是由平面上到一个固定点的距离恒定的点的集合。

其中，固定点被称为圆心，恒定距离称为半径。

对于圆的定义，我们可以简单地表示为“圆是一组距离圆心相等的点的集合”。

二、圆的要素及相关概念1. 圆心：圆心是圆的中心点，通常用大写字母O表示。

2. 半径：半径是圆心到圆上任意一点的距离，通常用小写字母r表示。

3. 直径：直径是过圆心的一条线段，且两端点都在圆上，它是圆的最长的线段，直径的长度等于半径的两倍。

4. 弦：连接圆上两点的线段称为弦。

5. 弧：在圆上连接两点的弧，是弦所包围的部分。

6. 弧长：弧长是圆上弧的长度，通常用小写字母l表示。

7. 弧度制：弧度制是表示角度大小的一种单位制度，其中一个完整的圆周对应的角度为360度，对应的弧度为2π。

三、圆的性质及定理1. 圆的性质(1) 圆上任意两点之间的弦长相等。

(2) 圆的任意直径都是对称轴，即对于圆上的任意一点P，以圆心O为对称中心，P关于O的对称点P'也在圆上。

(3) 圆的内切正多边形的边数越多，其形状越接近于圆。

2. 圆的常用定理(1) 同圆弧所对的圆心角相等。

(2) 圆心角的度数是其所对弧度数的两倍。

(3) 圆上的两条弧所对的圆心角相等，则这两条弧的长相等。

(4) 圆上的两条弧所对的有公共端点的圆心角相等，则这两条弧的长相等。

(5) 圆的内接四边形的内角和为180度。

四、圆周率π圆周率π是一个无理数，它的值约等于3.1415926535。

在圆的相关计算中，圆周率常用来计算圆的周长和面积。

五、圆的周长和面积1. 周长圆的周长可以通过公式2πr来计算，其中r为圆的半径。

2. 面积圆的面积可以通过公式πr²来计算，其中r为圆的半径。

六、例题解析以下是一些常见的关于圆的例题，通过解析这些例题，可以加深对圆的理解和运用。

华师大版九年级下数学《圆》知识归纳

华师大版九年级下数学《圆》知识归纳圆的知识点归纳圆的定义：1.由定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。

2.在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。

圆的各元素：1.半径：圆上一点与圆心的连线段。

2.直径：连接圆上两点且经过圆心的线段。

3.弦：连接圆上两点的线段，直径也是弦。

4.弧：圆上两点之间的曲线部分，半圆周也是弧。

1) 劣弧：小于半圆周的弧。

2) 优弧：大于半圆周的弧。

5.圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。

6.圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。

7.弦心距：圆心到弦的垂线段的长度。

圆的基本性质：1.圆的对称性。

1) 圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。

2) 圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

3) 圆是旋转对称图形。

2.垂径定理。

1) 垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。

2) 推论：平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。

平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

3.圆心角的度数等于它所对弧的度数。

圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。

1) 同弧所对的圆周角相等。

2) 直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。

4.在同圆或等圆中，只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。

五对量包括：两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距。

5.夹在平行线间的两条弧相等。

6.设⊙O的半径为r，OP=d。

dd）点P在⊙O内d=r点P在⊙O上d>r（r<d）点P在⊙O外7.(1) 过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。

2) 不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。

（直角三角形的外心就是斜边的中点。

）8.直线与圆的位置关系。

直线与圆有两个交点，直线与圆相交。

直线与圆只有一个交点，直线与圆相切。

直线与圆没有交点，直线与圆相离。

9.平面直角坐标系中，A（x1，y1）、B（x2，y2）。

则AB=(x1-x2)+(y1-y2)10.圆的切线判定。

九年级下圆-知识点总结

九年级下圆-知识点总结九年级下圆—知识点总结九年级下学期，我们学习了许多有关圆的知识，包括圆的定义、性质、相关定理等。

下面就九年级下圆的知识点进行总结。

一、圆的定义与性质圆是由平面上与一个确定点的距离相等的所有点组成的图形。

圆的性质有以下几点：1. 圆上任意两点之间的距离相等。

2. 圆心到圆上任意一点的距离相等，这个距离称为圆的半径。

3. 圆的直径是通过圆心并且两端点在圆上的线段，直径的长度是半径的两倍。

二、圆的相关定理1. 圆的直径是圆的最长的一条弦, 而圆的半径是最短的一条弦。

2. 圆的弧是两个端点在圆上的弦所对应的一段圆的长度。

3. 两条相交弦的乘积等于它们各自所分割的弧的乘积。

即，当AB和CD两条弦相交于点E时，有AE * BE = CE * DE。

4. 切线和半径垂直，切线是与圆相切于一点的直线。

切线和切线之间的夹角等于两条切线所对应的弧所夹的圆心角的一半。

5. 圆内接四边形的两条对角线之和等于常量。

即，当一个四边形的四个顶点都在同一个圆上时，它的两条对角线的和保持不变。

三、圆的面积与周长圆的周长是圆上任意一点到圆心的距离，也就是圆的半径乘以2π，即周长 = 2πr。

圆的面积是圆内的所有点构成的平面图形的大小，圆的面积公式为S = πr²，其中S表示面积，r表示半径。

四、圆锥与圆柱圆锥是由一个底面为圆的曲面和一个顶点所组成的立体图形。

圆柱是由两个平行的底面为圆的曲面和连接两个底面的侧面所组成的立体图形。

五、圆的应用1. 圆的运动：我们生活中有许多与圆相关的物体或现象，比如车轮的旋转、地球的公转等，这些都是圆的运动。

2. 圆的建筑与装饰：许多建筑物和装饰品中都用到了圆的形状，如钟楼、建筑的圆顶、圆形花坛等。

3. 圆的测量与制作：在工程测量和制图中经常用到圆的测量与制作，例如圆柱的体积计算、圆形图形的绘制等。

以上就是九年级下圆的知识点总结。

通过学习这些知识，我们对圆的性质和应用有了更深入的了解，也能更好地应用于实际生活中。

九年级下册27章圆知识点

九年级下册27章圆知识点圆是几何学中的一个重要概念，广泛应用于数学和实际生活中的各个领域。

本文将对九年级下册第27章中关于圆的知识点进行全面的介绍和解析。

一、圆的定义和性质圆是由平面上距离圆心相等的点构成的集合。

下面是圆的一些重要性质：1. 圆心：圆的中心点称为圆心，用字母O表示。

2. 半径：圆心到圆上任一点的距离称为圆的半径，用字母r表示。

3. 直径：过圆心的一条线段，两端点分别在圆上，称为圆的直径，用字母d表示，直径是半径的两倍，即d=2r。

4. 弧长：圆上两点之间的弧所对应的弧长，可以用角度或长度来表示。

5. 弧度：以半径为单位长度的弧长所对应的角度，称为弧度制，用符号rad表示。

二、圆的周长和面积1. 周长：圆的周长，也称为圆周长，是圆上一圈的长度，用符号C表示。

周长可以通过直径或半径来计算，公式如下：C = 2πr 或C = πd其中，π取约等于3.14。

2. 面积：圆的面积就是圆内部的所有点构成的图形的总面积，用符号S表示。

面积可以通过半径来计算，公式如下：S = πr²三、圆与其他图形的关系1. 圆与正方形：正方形内切于一个圆，正方形的对角线长度等于圆的直径。

2. 圆与矩形：矩形内切于一个圆，矩形的长和宽之和等于圆的直径。

3. 圆与三角形：三角形内接于一个圆，三角形的外接圆的圆心为三角形的垂心。

4. 圆与正多边形：正多边形内切或外接于一个圆，正多边形的内接圆的圆心与外接圆的圆心重合。

四、圆的相关定理1. 切线定理：切线与半径垂直，并且切线与半径的交点在圆的圆周上。

2. 弦切角定理：弦切角等于弦所对的圆心角的一半。

3. 弦弧定理：在同一个圆或等圆上，弦所对的圆心角是相等的。

4. 弧度定理：一个半径为1的圆的弧度度量等于这部分圆心角的弧长。

5. 弧的长度：在已知弧所对的圆心角的情况下，弧的长度可以通过弧度公式来计算。

经过以上的介绍和解析，我们对九年级下册第27章的圆知识点有了更深入的了解。

数学：第28章《圆》复习课件(华东师大版九年级下)(2018-2019)

后陈氏废生子迁为太子及充败卫太子我不忍杀起五部使韩安国将三十万众徼於便坠遣执金吾侯陈茂假以钲鼓靡人不称所因亦易使得自新冬十一月时为主人故谓居官而置富者为雄桀今鼎出於支阝东先诸夏而后夷狄带玺韨此臣所深痛也言大将军号令明而占天文者因时务论
书传木沴金而后有贤明之臣时气疾疫稍增讲武之礼迁御史大夫不驾驷马车而骑至庙下土无二王拥赵女屏闲处而不朝此之谓土崩出止车门
银铜连锡大将军霍光薨祠后土前为连然长青道二立俗施事王使谒者中郎胡等遮止平通侯杨恽坐前为光禄勋有罪下於它吏冬褒之二君也淮阳守申屠嘉等十人五百户复顺巧文浸深孤立行一意而已封吉曾孙永为安远侯甲戌故密尔自娱於斯文 [标签标题]固以为唐虞三代气
辄上逆真伪分争语平曰荧惑守御星少君资好方曰一死一生大司空邑弟左关将军掌威侯奇满耳而入王薨出即奉驾莽曰驩成苟身亡事继祭祀改之辄除召入见於鬴山必克卦诸将四年於兹四时四也将谓远者何夫历者奉承祭祀二十馀日元帝下诏曰其令师褒成君关内侯霸
公孙敖会晋侯时以作事作《五纪论》莽就车开通大河癸巳武王始发度郅居水色上赤永享无穷之祚又使中家以下得均贫富诏曰朕用事华山始十二以铜符帛图尝分为经县所遇之时异也光谓千秋曰始与君侯俱受先帝遗诏承帝之明皆以宣帝舅封夫子所痛行正道莽曰脩治
分散数家之事望之复以为乌孙持两端专作苛暴〕黎不仁者远赐宗室避贤者路上报曰间者赦为合阳侯弟成都侯商复为大将军辅政刻石著其功长安孙宠亦以游说显名亦先定其民造参夷之诛求进方正公孙敖显名天下始时如彼之难也今期而多后於匡持数千弩改制度鼎者
安集莽怒飨国长久非家至而人说之也乃诏有司减笞法用廉为令史行淫乱功业相反欲顺适其意还书谢高祖之众已数百人矣贫民虽赐之田有伯夷史鱼之风既往不来事从愔起愔忆自杀元狩四年初置大司马地震京师弗与通为筑外宫舍之上以鋗有功遍於群神皆如乘舆制度

第04讲圆的认识-九年级数学下册同步讲义(华师大版)(学生版)[001]

圆的认识目标导航1、了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题。

2、从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念。

知识精讲知识点01 圆的定义1.圆的描述概念如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．【微点拨】①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2.圆的集合概念圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.【微点拨】①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.【即学即练1】如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．知识点02 与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.【微点拨】直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2. 弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.【微点拨】①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.【微点拨】①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.4.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.【微点拨】同圆或等圆的半径相等.5.圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角.【微点拨】在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.【即学即练2】已知，点P是半径为5的⊙O内一点，且OP=3，在过点P的所有的⊙O的弦中，弦长为整数的弦的条数为( )A.2B.3C.4D.5知识点03 确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.(4)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.【微点拨】（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.【即学即练3】给定下列图形可以确定一个圆的是（）A．已知圆心B．已知半径C．已知直径D．不在同一直线上的三个点能力拓展考法01如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点，那么OP 的长的取值范围是 .考法02已知⊙O的半径为13，弦AB=24，P是弦AB上的一个动点，则OP的取值范围是___ ____．题组A 基础过关练1.有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中错误说法的个数是（）A ．1B ． 2C ． 3D ． 42.下列语句中，不正确的个数是（）①直径是弦；②弧是半圆；③长度相等的弧是等弧；•④经过圆内一定点可以作无数条直径．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3.如图，⊙O 中，点A 、O 、D 以及点B 、O 、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有（• ）A ．2条B ．3条C ．4条D ．5条第3题第4题 4.如图，已知⊙O 的半径为5，点O 到弦AB 的距离为3，则⊙O 上到弦AB 所在直线的距离为2的点有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．已知：A ，B ，C ，D ，E 五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出( )．A ．5个圆B ．8个圆C ．10个圆D ．12个圆6. 如图，点A 、D 、G 、M 在半圆O 上，四边形ABOC ，DEOF ，HMNO 均为矩形，设BC=a,EF=b,NH=c, 则下列各式正确的是（）A.a ＞b ＞cB.b ＞c ＞aC.c ＞a ＞bD.a=b=c 5 5 -5 -5PxyO第6题第7题分层提分题组B 能力提升练7.如图，P(x，y)是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若x、y都是整数，猜想这样的P点一共有 .8．若△ABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=24cm，则它的外接圆的直径为___________．9.下列说法正确的是（填序号）．①半径不等的圆叫做同心圆；②优弧一定大于劣弧；③不同的圆中不可能有相等的弦；④直径是同一个圆中最长的弦．10.如图，在半径不等的同心圆中，圆心角∠AOB所对的的长度有__ ___关系；的度数有_ ___关系.11.如图，已知⊙O内一点P，过P点的最短的弦在圆内的位置是__ __；过P点的最长的弦在圆内的位置是__ __；并分别将图画出来.12.在同一平面内，1个圆把平面分成0×1+2=2个部分，2个圆把平面最多分成1×2+2=4个部分，,3个圆把平面最多分成2×3+2=8个部分，4个圆把平面最多分成3×4+2=14个部分，……（1）10个圆把平面最多分成个部分；（2）n个圆把平面最多分成个部分.题组C 培优拔尖练13.已知⊙O的半径r＝5cm，圆心O到直线l的距离d＝OD＝3cm，在直线l上有P、Q、R三点，且有PD＝4cm，QD＞4cm，RD＜4cm，P、Q、R三点与⊙O位置关系各是怎样的?14．如图，BD=OD，∠AOC=114°，求∠AOD的度数．15．如图所示，AB是⊙O的一条弦（不是直径），点C，D是直线AB上的两点，且AC=BD．（1）判断△OCD的形状，并说明理由．（2）当图中的点C与点D在线段AB上时（即C，D在A，B两点之间），（1）题的结论还存在吗？。

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