可分离变量方程例题1
一可分离变量的微分方程
作变量代换
u
y x
,即
y
xu,
dy dx
u
x
du dx
,
代入原式
u x du dx
f (u),
即 du f (u) u .
dx
x
可分离变量的方程
例7
求微分方程
y
y x y
的通解
解 把原方程化为
y
dy x dx 1 y
x
令u y ，则y xu，dy u x du ，代入上式
x
dx
司将在第36年破产；
当 W0= 600 百万元时，公司将收支平衡，将资 产保持在600百万元不变；
当 W0 =700 百万元时，公司净资产将按指数 不断增大.
二、齐次方程
1.定义 形如 f x, y n f x, y，
称为n次齐次方程.
2.定义
形如
dy dx
f
(
y x
)
的微分方程称为齐次方程.
3.解法
解 方程两边同除以y，再乘dx，得
1 dy 2xdx y
两端分别积分
1 dy y
2xdx, 得
ln y x2 C1
即 y ex2 C1 eC1 ex2 Cex2
又显然y 0是方程的解，且它已包含在通解中
(当C 0)，故原方程的通解为 y Cex2 .
例3 求方程 dy 1 x y2 xy2的通解． dx
可分离变量方程求解步骤: 第一步，分离变量
g( y)dy f (x)dx
第二步，对上式两端分别积分：
g(y)dy f (x)dx
得到通解 G(y) F(x) C
其中G y与F x分别是g(y)与f x的一个原函数，
可分离变量的微分方程
例4. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 求 在衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. dM 衰变系数 M ( 0 ) 解: 根据题意, 有 d t M t 0 M 0 (初始条件) 对方程分离变量, 然后积分:
dy x 解: 分离变量得 dx 2 y 1 x
两边积分得
即
y x2 1 C
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x 1 1
2
例3. 求下述微分方程的通解:
解: 令 u x y 1, 则
故有 即 解得
1 u sin 2 u
通过适当变量代 换可化为可分离 变量的微分方程
t 0
0
dv m mg kv dt
对方程分离变量, 然后积分 : 得
( 此处 mg k v 0 )
1 t 足够大时 利用初始条件, 得 C ln ( mg ) mg k k v t k mg 代入上式后化简, 得特解 v (1 e m ) k
作 业
P 304 1 (1) , (5) , (7) , (10); 2 (3), (4) ; 4 ; 6 ; 7
第二节 可分离变量的微分方程
一、可分离变量的微分方程及其解法 二、典型例题
一、可分离变量的微分方程及其解法
1、 可分离变量的微分方程
dy f1 ( x) f 2 ( y ) dx （一阶） M1 ( x)M 2 ( y) d x N1 ( x) N 2 ( y) d y 0
｝
转化
g ( y ) d y f ( x) d x
4.012__可分离变量类型
∫ g( y )dy = ∫ f ( x )dx
例３若函数 y=y(x) 连续，且满足
x ∫ y ( t )dt = ( x + 1) ∫ ty ( t )dt , 求函数 y(x).（续）
x x 0 0
上式两端再对x求导，有
dy 1 − 3 x dy 整理可得 = dx 2 xy + x = ( 1 − x ) y ⎯⎯⎯⎯ → 2 y x dx 1 两端积分得 ⎯⎯⎯⎯ → ln y = − − 3ln x + ln C , x 1 C −x 故所求函数y(x)为 y = 3 e , ( C为任意常数 ) . x
2
2 2
(
)
(
)
1 2 = ln x − ln 1 + x + ln C = ln 2
(
)
xC
(1 + x )
1 2 2
.
dy = f ( x ) g ( y ) , g ( y )dy = f ( x ) dx dx
例2 求微分方程
( xy + x y ) dy − (1 + y ) dx = 0
设函数G ( y ) 和F ( x ) 依次为g ( y ) 和 f ( x )的原函数,
∫ g( y )dy = ∫ f ( x )dx
分离变量
G ( y ) = F ( x ) + C 为微分方程的解.
dy = f ( x ) g ( y ) , g ( y )dy = f ( x ) dx dx
3 2
∫ g( y )dy = ∫ f ( x )dx
满足初始条件 y(1)=0的特解. （续）
2 d 1 + y 1 y ⇒∫ dy = ∫ = ln 2 2 1+ y 2 1+ y
可分离变量的微分方程
可分离变量的微分方程
例1 一曲线过点（1，0），且曲线上任意点M(x, y)处的切 线斜率为该点横、纵坐标之比的相反数，求该曲线方程。
解 设曲线方程为y=f(x)，则曲线在点M(x, y)处的切线斜率
为 dy 。 dx
根据题意有
dy x dx y
初始条件为
y 0 x 1
例1 一曲线过点（1，0），且曲线上任意点M(x, y)处的切 线斜率为该点横、纵坐标之比的相反数，求该曲线方程。
（2）质量变成一半时m=25，将其代入上式，得
25 50e0.053t
即
e0.053t 1
2
则
t ln2 1（3 年）
0.053
于是可以预测大约经过13年，该材料质量变成一半。
高等数学
两边积分，得
ln P(t) 0.08t ln C
化简，得通解
P(t) Ce0.08t
将 P(0) 80 423 代入通解中，得 C 80 423
例4 【国民生产总值】1999年我国的国民生产总值（GDP） 为80 423亿元，如果每年的增长率保持当年的8%，问2012 年我国的GDP是多少？
于是所求特解为
C 1 y ex2
在解微分方程时，为方便起见，遇到如
1 y
dy， 1x
dx等
形式的积分，自然对数符号后可以不加绝对值，通解形式
不变。
例3 解微分方程 x( y2 1) dx y(x2 1) dy 0
解 分离变量，两边同乘以2，得
两边积分，得
2 y2
y 1
dy
2x x2 1
dx
dy f (x) g( y) dx
求解步骤如下： （1）分离变量 dy f (x)dx
高数一阶微分方程(可分离变量型)
【解】 (1)
dH ∵ <0 dt
dH ∴ = − k ( H − 20) dt
分离变量得
dH = − kdt H − 20 ln( H − 20) = − kt + C1
∴ H = 20 + Ce
∵ t = 0 时 ，H = 37 又 ∵ t = 2 时 ，H = 35
第二节
一阶微分方程
（可分离变量型 ）
可分离变量方程
dy = f1(x) f2 ( y) dx M1(x)M2 ( y) dx + N1(x) N2 ( y) dy = 0
转化
解分离变量方程 g( y) dy = f (x) dx
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一、可分离变量的微分方程
分离变量方程的解法: 分离变量方程的解法:
即
dy = 3x2 dx 另解】 【另解】分离变量得 y
令C = ± e ( C 为任意常数 )
C1
⇒ ln y = x3 + C1
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【*****】变量代换后,化为可分离变量的微分方程题型 】变量代换后 化为可分离变量的微分方程题型 【例2】 求方程 f ( xy) ydx + g( xy)xdy = 0 通解 】 . 【解】
由 和差化积公式： 和差化积公式：
y d dy x y 2 = −2 sin x d x ⇒∫ = −2 sin ⋅ sin ⇒ ∫ 2 2 y dx 2 2 sin 2 x y y ln csc − cot = 2 cos + C , ∴ 通解为 2 2 2
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【思考与练习题】 思考与练习题】
可分离变量的微分方程
M t=0 = M 0 (初始条件)
对方程分离变量,
然后积分:
∫
dM M
=
∫(−λ )d t
得 ln M = −λ t + ln C, 即 M = C e−λ t
M
利用初始条件, 得 C = M 0
M0
故所求铀的变化规律为 M = M 0 e−λ t . o
t
解法 1 分离变量 e− y d y = ex dx
− e−y = ex + C
即
(ex +C)ey +1= 0 ( C < 0 )
解法 2 令 u = x + y, 则u′ = 1+ y′
故有 积分
u′ =1+ eu
∫
1
d +
u eu
=
x+C
∫
(1
+ eu 1+
)− eu
eu
du
u − ln (1+ eu ) = x + C
(1 −
−
e
k m
t
)
v
≈
mg k
k
内容小结
1. 微分方程的概念 微分方程; 阶; 定解条件; 解; 通解; 特解 说明: 通解不一定是方程的全部解 .
例如, 方程 (x + y) y′ = 0 有解
y=–x 及 y=C 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .
dt
初始条件为 v t=0 = 0
∫ ∫ 对方程分离变量, 然后积分 :
dv = mg − kv
dt m
可分离变量的微分方程 答案详解
4.2 可分离变量的微分方程一、求下列微分方程的通解：1．22()d (1)d 0xy x x x y +++=解：22(1)(1)x dy x y dx +=-+ ⇒22d d 11y x x y x-=++⎰⎰ 2221(1)1arctan ln(1)C 212d x y x x +⇒=-=-+++⎰ 注：分离变量后两边同时求不定积分时，只需在某一边加一个任意常数即可2．()d ()d 0x y x x y y e e x e e y ++-++=解：(1)(1)yx x y e e dy e e dx +=-- ⇒e e d d e 1e 1y xy x y x =--+⎰⎰(1)(1)11y x y x d e d e e e -+⇒=--+⎰⎰ 1ln 1ln 1y x e e C ⇒-=-++1ln 1ln(1)11x x e y e x Ce Ce Ce e --++⇒-===+注：（常用显化技巧）1ln ()f x C ∆=+的隐式函数可化为()f x Ce ∆=的形式3．2dy xy x dx+= 解：(12)dy x y dx =- ⇒d d 21y x x y =--⎰⎰ ⇒221211ln 21ln 2122y x C y x C -=-+⇒-=-+22e 121e 2x xC y C y --+⇒-=⇒=4xydy =解：212dx dx x x =⇒=⎰⎰ln x C ⇒=+二、求下列微分方程满足初始条件的特解：1．52,(0)0x y y ey -'== 解：52x y dy e e dx -=⇒25e d e d y x y x =⎰⎰⇒2511e e 25y x C =+ 又(0)0y =，代入可得310C = 故微分方程的特解为25113e e 2510y x =+ 2．2d (1)tan ,(0)1d y y x y x=+= 解：2tan 1dy xdx y =+⎰⎰arctan ln cos y x C ⇒=-+又(0)1y =，代入有arctan1ln cos0C =-+⇒4C π=故微分方程的特解为arctan ln cos 4y x π=-+三、镭的衰变有如下规律：镭的衰变速度与它的现存量R 成正比.由经验材料得知，经过1600年后，只剩原始量0R 的一半.试求镭的现存量R 与时间t 的关系.分析：衰变速度，即其含量关于时间的变化率大小，故为含量R 对时间t 导数的绝对值，由于随时间衰减，导数为负，故衰变速度应为R 对时间t 导数的相反数 解：由题意，得一阶微分方程dR kR dt -=，且需满足条件00t R R ==，0160012t R R == dR dR dR kR kdt kdt dt R R -=⇒=-⇒=-⎰⎰ 1ln kt R kt C R Ce -⇒=-+⇒= 又00t R R ==，0160012t R R ==，带入条件可求得0ln 2,1600C R k == 故ln 216000e t R R -=四、已知曲线()y y x =经过点1(1,)e -，且在任意点(,)x y 处的切线在y 轴上的截距为xy ，求该曲线方程的表达式.解：设曲线()y y x =在任意点(,)x y 处的切线方程：()Y y y X x '-=-令0X =⇒得y 轴上的截距为y xy '-从而得微分方程y xy xy '-=，分离变量d 1d y x x y x-= d 1d y x x y x-⇒=⎰⎰1ln ln y x x C ⇒=-+⇒ln 22x x x x y C e C x e Cxe ---=== 又11e x y -==，解出1C =故所求曲线方程为e xy x -=.注：由于讨论任意点(,)x y 处的切线方程，此处(,)x y 表示切点坐标，故为加以区别，用,X Y 分别表示切线方程的自变量和因变量考研真题：设函数()y y x =由参数方程20()ln(1)t x x t y u du =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰确定，其中()x t 是初值问题20x dx te dt--=，00t x ==的解，求22d y dx . 解：2d 20d 2d d x x x x te e x t t e t C t--=⇒=⇒=+ 又00t x ==，得1C =，从而21x e t =+，即2ln(1)x t =+2222d ln(1)2(1)ln(1)2d 1dyy t t dt t t dxt x dt t +⋅===+++ ()2222222222222ln(1)(1)(1)ln(1)d 1(1)[ln(1)1](1)2d ln(1)1x t t t t t t y t t t x e t x t t '++++++===+++=+'⎡⎤+⎣⎦+。
可分离变量的微分方程典型例题分析
流量系数 孔口截面面积 重力加速度
S 1 cm2 ,
h
dV 0.62 2gh dt, (1)
h h dh r
设在微小的时间间隔 [t, t dt], o
100 cm
水面的高度由 h 降至 h+dh , 则 dV r 2dh, r 1002 (100 h)2 200h h2 ,
y Ce x2为所求通解 .
例２ 求解微分方程 y e y2x 的通解.
解 分离变量,得 e ydy e2 xdx,
两端积分,得
e ydy e2xdx,
解得
ey
1 e2x 2
C1
即 2e y e2 x C (C 为任意常数 )
2e y e2 x C 为所求通解 .
例5 求 y y2 cos x 满足初始条件 y(0) 1的特解.
四、小船从河边点 0 处出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设船速为 a ,船行方向始终与河岸垂直,设河宽 为 h ,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离 的乘积成正比(比例系数为 k ).求小船的航行路 线.
练习题答案
一、1、tan x tan y C ； 2、(e x 1)(e y 1) C ； 3、4( y 1)3 3 x4 C .
求方程的通解 : y sin( x y) sin( x y) 提示:
方程变形为
y 2cos x sin y ln tan y 2sin x C 2
练习题
一、求下列微分方程的通解:
1、sec2 x tan ydx sec2 y tan xdy 0； 2、(e x y e x )dx (e x y e y )dy 0；
变量可分离方程变量可分离方程
由上面的证明可知，当g(y)≠0时，微分方程 (1.18)与隐函数方程(1.26)是同解方程，即若由 (1.26)解出，则它是(1.18)的通解，由于(1.26)是 通解的隐式表达式，所以(1.26)亦称为方程 (1.18)的通积分.在求解过程中，对于通积分 (1.26)应该尽量把它演算到底，即用初等函数 表达出来，但是，并不勉强从其中求出解的 显式表达式.如果积分不能用初等函数表达出 来，此时我们也认为微分方程(1.18)已经解出 来了，因为从微分方程求解的意义上讲，留 下的是一个积分问题，而不是一个方程问题 了.
(1.19)的解.
当时
，用它除方程(1.19)两端，分
离变量，得
上式两端同时积分，得到方程(1.19)的通积分
例1
dy
求微分方程
dx
=
y(1 -
y 10
)
的所有解.
解:
方程两边同除以y(1
-
y 10
), 再积分
ò
dy
y(1
-
y 10
)
=
ò
dx
+
c1
积分得:
ln y 10 - y
= x + c1
从上式中解出y, 再将常数记为c, 得
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
的通解, 其中p( x)是x的连续函数.
解:
将变量分离后得
dy y
=
p( x)dx
ò 两边积分得: ln y = p(x)dx + c1
由对数的定义有
y = eò p( x)dx+c1
y = eò p( x)dx+c1
即
y = ±ec1eò p(x)dx = ceò p(x)dx .
一阶可分离变量型微分方程
思考题
求解微分方程
dy cos x y cos x y .
dx
2
2
dy cos x y cos x y 0,
dx
2
2
dy 2sin x sin y 0,
dx
22
dy 2 s in
y
sin
x 2
dx,
ln
csc
y 2
cot
y 2
2cos
x 2
分离变量、积分得
X 2(u2 2u 1) c, 即Y 2 2XY X 2 C,
将 X x 1,Y y 2 代回，
得原方程的通解 ( y 2)2 2( x 1)( y 2) ( x 1)2 C,
利用变量代换求微分方程的解
1. 求方程 f (xy) ydx g(xy)xdy 0 通解.
[ f (u) g(u)] u dx g(u)du 0, x
dx
g(u) du 0,
x u[ f (u) g(u)]
通解为
ln
|
x
|
u[
f
g(u) du (u) g(u)]
C.
例 3 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M 成
正比,已知 M t0 M0,求衰变过程中铀含量M (t ) 随时间t 变化的规律.
可分离变量
dt (200 h h3 )dh, 0.62 2g
t (400 h3 2 h5 ) C,
0.62 2g 3
5
h |t0 100,
C 14 105 , 0.62 2g 15
微分方程-1
,
江西理工大学理学院 例9 小船从河边 点 0 处 出发驶向对岸(两岸为平 行直线).设 船速为 a ,船行方向始终与河岸垂直, 设河宽 为 h ,河中任意点处的水流速度与该点到 两岸距离的乘积成正比(比例 系数为 k ).求小船 的航行路线 . y 解 设 0 为原点,河岸朝顺水方向为 x 轴 ,
2
江西理工大学理学院
− k 2 (C1 cos kt + C 2 sin kt ) + k 2 (C1 cos kt + C 2 sin kt ) ≡ 0.
故 x = C1 cos kt + C 2 sin kt 是原方程的解 .
Q x t =0
dx = A, = 0, dt t = 0
∴ C1 = A, C 2 = 0.
江西理工大学理学院
第 十 一 章
微 分 方 程
江西理工大学理学院
第 一 节 微分方程基本概念 可分Biblioteka 变量方程江西理工大学理学院
一、问题的提出
例 1 一 曲 线 通 过 点 (1,2), 且 在 该 曲 线 上 任 一 点
M ( x , y ) 处的切线的斜率为 2 x ,求这曲线的方程.
解
设所求曲线为 y = y( x )
ln y = x + C1
2
∴ y = Ce 为所求通解 .
x2
江西理工大学理学院
例5 求方程 f ( xy ) ydx + g ( xy ) xdy = 0 通解 .
解 令u = xy ,
则 du = xdy + ydx , du − ydx f ( u) ydx + g ( u) x ⋅ = 0, x u [ f ( u) − g ( u)] dx + g ( u)du = 0, x dx g ( u) + du = 0, x u[ f ( u) − g ( u)] g ( u) 通解为 ln | x | + ∫ du = C . u[ f ( u) − g ( u)]
第一章——变量可分离方程
它不包含在方程的通解中(1.则26须) 予, 以补上
.
此时称y=y0 是方程（1.18)的常数解
附注：2
上面我们在求的dy通=解g(时x)， h(y是) 假设 dx
了。 h(y但) ≠有0时往往会碰到在某些点使得 y0
h(y0 ) = 0。对于这种情形，显然也y =是y解0 ， 且称这种常函数的解为定解。下面分两种情形：
1.2 变量可分离方程
先看一些简单的例子：
dy = F (x, y) dx
1. dy = ye x+ y , dx
( ) 2.= dy x2 y2 + 1 , dx
3. dy= e x ⋅ ye y , dx
1.2.1 变量可分离方程
dy = F (x, y) dx
定义1 形如
dy = f (x)φ( y)
另外，也 y = 是±方 1 程的解，且可在通y解= 1中
取得 C =到0，即如果在通解中
y=
−
C C
+ −
cos 2 cos 2
x x
允许， C =则0已含在 y =通1解中。但不可 y = −1
在通解中取适当的得 C 到，因此原方程的解为：
通解， y =其−中C 为 + c任os意2 x常数，及C一个 C − cos2 x
,
故通解只在或x >之0一x中<有0 意义
.
此外还有解这y =个0解, 未包含在通解中应补上,
.
例6 求微分方程 dy = p(x) y 的通解其, 中是p(的x)连续x 函数
.
dx
解: 将变量分离后得 dy = p(x)dx y
∫ 两边积分得: ln y = p(x)dx + c1
《微积分》第二节 可分离变量的微分方程
x ydx ( x2 1) dy 0
y(0) 1
dy y
1
x x
2
dx
两边积分得
即
y C x2 1
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
1 y
x2 1
例3. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原
子的含量 M 成正比,已知 t = 0 时铀的含量为 求在
衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.
半衰期：放射性元素衰减一半所需时间.
M0 e t
1 2
M0
.
半衰期： ln 2 .
小结：
一、可分离变量的微分方程类型：
二、可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .
作业
P270习题4_2 1(单)，2(单)，3
解: 根据题意, 有
dM M ( 0)
dt M t 0 M 0 (初始条件)
分离变量, 然后积分:
得 ln M t ln C M0
故所求铀的变化规律为 M M 0 e t . O
t
M M 0 e t . ( 0 ) 指数衰减
第二节 可分离变量的微分方程
变量分离的微分方程的标准形式：g( y)dy f ( x)dx
例如
dy
2x2
4
y5
4
y 5dy
2 x2dx,
dx
解法：两边积分
g( y)dy f ( x)dx
设G( y)和F( x)分别为g( y)和 f ( x)的原函数,则
G ( y ) F ( x ) C 为微分方程的通解.
例1 求微分方程
的通解.
解: 分离变量得 d y 3x2 dx y
一、可分离变量的微分方程 二、齐次方程
十、 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的 方程,然后求出通解:
1、 dy 1 1； dx x y
2、 y y 2 2(sin x 1) y sin2 x 2sin x cos x 1； 3、 dy 1 y .
二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解:
1、cos
x sin
ydy
cos
y sin xdx
, y x0
； 4
2、cos
ydx
(1
e x ) sin
ydy
0, y x0
. 4
三、质量为 1 克 的质点受外力作用作直线运动,这外力 和时间成正比,和质点运动的速度成反比.在t 10 秒时,速度等于50厘米 / 秒 ,外力为4克 厘米 / 秒2 , 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少?
xy
x2 y2 y,
y
1
y 2
y,
x x
原方程是齐次方程.
3. dx cos y sin 2 y x sin y sin 2 y x tan y,
dy
cos y
dx tan y x sin 2 y,
dy
x eln cos y sin 2 y eln cos y dy C
2e
x y
)dx
2e
x y
(1
x )dy
0.
y
六、 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解:
1、( y 2 3x 2 )dy 2xydx 0, y x0 1； 2、( x 2 2xy y 2 )dx ( y 2 2xy x 2 )dy 0 ,
y 1 . x1
七、求下列微分方程的通解: 1、 y y cos x e sin x ； 2、 y ln ydx ( x ln y)dy 0； 3、( y 2 6x) dy 2 y 0. dx
分离变量练习题
分离变量练习题分离变量是微积分中一种常用的技巧，用于解决某些复杂函数的微分方程。
通过分离变量，我们可以将一个关于多个变量的微分方程转化为一系列关于单个变量的方程，从而更容易求解。
以下是几道分离变量的练习题，帮助你熟悉和掌握这个技巧。
练习题一：解方程：dy/dx = xy解法：首先将方程中的变量分离，得到 dy/y = x dx。
对上述等式两边进行积分，得到 ln|y| = (x^2)/2 + C，其中C为常数。
再通过指数函数的性质，得到y = Ce^(x^2/2)，其中C为任意常数。
练习题二：解方程：dy/dx = 3x^2 y^2解法：将方程中的变量分离，得到 y^(-2) dy = 3x^2 dx。
对上述等式两边同时积分，可以得到 -y^(-1) = x^3 + C，其中C为常数。
移项并对等式两边取倒数，得到 y = -1/(x^3 + C)，其中C为任意常数。
练习题三：解方程：dy/dx = 2xy/(1+x^2)解法：将方程中的变量分离，得到 (1+y^2) dy = 2x dx。
对上述等式两边同时积分，可以得到 y + (1/3)y^3 = x^2 + C，其中C为常数。
练习题四：解方程：dy/dx = x/y解法：将方程中的变量分离，得到 y dy = x dx。
对上述等式两边同时积分，可以得到 (1/2)y^2 = (1/2)x^2 + C，其中C为常数。
通过以上四道练习题，你有机会更好地理解和掌握分离变量的技巧。
不同的题目可能会有不同的方程形式，但核心思想始终是将方程中的变量分离并进行积分，最终得到解析解。
在实际应用中，分离变量常被用于求解物理、生物和经济等领域中的微分方程问题。
需要注意的是，对于某些方程，可能不存在解析解，或者解析解过于复杂难以计算。
在这种情况下，我们可以考虑使用数值方法进行求解，例如欧拉法或龙格-库塔法等。
希望以上练习题对你加深对分离变量的理解有所帮助。
继续练习和应用这个技巧，你会在微积分的学习中取得更多的进展。
可分离变量的微分方程1
2y2 x2 xy
xy y2
2 1
y 2
x
y x
y y 2
,
x x
令u y , 则 dy xdu udx, x
u
xu
2u2 1 u
u u2
,
[1 ( 1 1) 2 1 ]du dx ,
2 u2 u u2 u1
X 2(u2 2u 1) C, 即Y 2 2XY X 2 C, 将 X x 1,Y y 2 代回， 得原方程的通解 ( y 2)2 2( x 1)( y 2) ( x 1)2 C, 或 x2 2xy y2 2x 6 y C1.
一、可分离变量的微分方程
g( y)dy f ( x)dx 可分离变量的微分方程.
例如 dy
4
2x2 y5
y
4
5dy
2
x
2dx,
dx
解法 设函数g( y)和 f ( x)是连续的,
g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
设函数G( y)和F ( x)是依次为g( y) 和 f ( x) 的原函
(
Ce
y)
x,
当 u0 , 使 f (u0 ) u0 0, 则 u u0是新方程的解,
代回原方程 , 得齐次方程的解 y u0 x.
例 6 求解微分方程
( x y cos y)dx x cos y dy 0.
x
x
解 令u y， 则 dy xdu udx， x
五、小结
分离变量法步骤: