幂函数的图像与性质教案与练习

幂函数的图像与性质

【知识整理】

1、幂函数的定义

一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数.

如1

12

3

4

,,y x y x y x -

===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.

注意：y x α

=中，前面的系数为1，且没有常数项。

2、幂函数的图像 （1）y x = （2）12

y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x =

y x =

2y x = 3y x =

12

y x =

1y x -=

定义域 R R R {}|0x x ≥

{}|0x x ≠

奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 在第Ⅰ象限 单调增减性

在第Ⅰ象限 单调递增 在第Ⅰ象限 单调递增 在第Ⅰ象限 单调递增 在第Ⅰ象限 单调递增 在第Ⅰ象限 单调递减 定点

（1，1）

（1，1）

（1，1）

（1，1）

（1，1）

3、幂函数的性质

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x =）； （2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；

（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴。

基础训练：

1. 下列函数是幂函数的是( )

A ．y ＝5x

B ．y ＝x 5

C ．y ＝5x

D ．y ＝(x ＋1)3

2.已知函数y ＝(m 2＋2m －2)x m ＋2＋2n －3是幂函数，则m=________，n=_________.

3.已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点(9，3)，则f (100)＝________．

4. 下列幂函数在(－∞，0)上为减函数的是( )

A ．y ＝x

B ．y ＝x 2

C ．y ＝x 3

D ．y ＝x 1

2

5. 下列函数中，定义域为R 的是( )

A ．y ＝x －2

B ．y ＝x 1

2 C ．y ＝x 2 D ．y ＝x －1

6. 函数y ＝x 5

3的图象大致是( )

7. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )

A ．y ＝x －2

B ．y ＝x －1

C ．y ＝x 2

D ．y ＝x 1

3

8. 函数y ＝x －2在区间[1

2，2]上的值域为________．

9. 设α∈{－1，1，1

2，3}，则使y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值组成的集合为________．

例题精析：

例1.如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图象．已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为______________

变式训练：

幂函数y ＝x －1及直线y ＝x ，y ＝1，x ＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个

“卦限”：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧(如图所示)，那么幂函数y ＝x 1

2的图象经过的“卦限”是___________.

例2．比较下列各组数的大小： (1)

和3.1－52； (2)－8－78和－(19)7

8；

(3)(－23)－23和(－π6)－23； (4)4.125，3.8－2

3和(－1.9)－35.

变式训练：

用“>”或“<”填空：

(1)(23)12________(34)12； (2)(－23)－1________(－3

5)－1； (3)(－2.1)3

7________(－2.2)－3

7.

例3已知幂函数f (x )＝(t 3－t ＋1)x 1

2(1－4t －t 2)是偶函数，且在(0，＋∞)上为增函数，求函数解析式．

变式训练：

若函数f (x )＝(m 2－m －1)x －m ＋1是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围.

课后作业：

1. 若幂函数f (x )的图象经过点(2，14)，则f (1

2)＝________．

2.设α∈{－1，1，1

2，3}，则使幂函数y ＝x α的定义域为R 的所有α的值为_________.

3. 幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，1

8)，则满足f (x )＝－27的x 值等于________．

4. 函数y ＝a x －2(a ＞0且a ≠1，－1≤x ≤1)的值域是[－5

3，1]，则实数a ＝__________

5. 比较下列各组中两个值的大小：

(1)1.535与1.63

5； (2)0.61.3与0.71.3；

(3)3.5－23与5.3－2

3； (4)0.18－0.3与0.15－0.3.

6. 设a ＝(25)35，b ＝(25)25，c ＝(35)2

5，则a ，b ，c 的大小关系是_______________