2020高考数学专项训练《13利用基本不等式求代数式的最值问题》(有答案)

sin2θcos2θ＝sin22θ≤1， 44
则
4
1－2 t2 t
≥4×8＝32.则a2＋4b2－1≥7.
4
解法 8 因为 ab－a－2b＝0，则2＋1＝1，设 a＝ 2 ，b＝ 1 ，那么 a2＋4b2＝ 4
ab
cos2θ
sin2θ
cos4θ
（sin2θ＋cos2θ）2
＋ 4 ＝4
sin4θ
＋
sin4θ
(2018·天津卷)已知 a，b∈R，且 a－3b＋6＝0，则 2a＋81b的最小值为________________．
若正数 a，b 满足1＋1＝1，求 4 ＋ 16 的最小值．
ab
a－1 b－1
答案：16.
解析：因为 a>0，b>0，1＋1＝1，所以 a＋b＝ab，2 分 ab
则 4 ＋ 16 ＝4（b－1）＋16（a－1）＝ 4b＋16a－20 ＝4b＋16a－20.4 分 a－1 b－1 （a－1） （b－1） ab－（a＋b）＋1
又
4b＋16a＝4(b＋4a)
1＋1 ab
＝20＋4×b＋4a≥20＋4×2×
ab
b·4a＝36，6 分 ab
当且仅当b＝4a且1＋1＝1，即 a＝3，b＝3 时取等号，所以 4 ＋ 16 ≥36－20＝16.8
a b ab
2
a－1 b－1
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专题 13
例题 答案：7.
解法 1a2－2＋b2－1＝a2＋4b2－1，下面只要求 a2＋4b2 的最小值即可．因为 a＋2b＝
2＋1 ab
2＝a2＋16b2＋4a＋16b b2 a2 b a
＋8≥32.则a2＋4b2－1≥7. 4
解法 6 因为 ab－a－2b＝0，令 a＝m＋n，2b＝m－n，有 m2－n2＝4m，n2＝m2－4m≥0
得 m≥4.则 a2＋4b2＝2(m2＋n2)＝2(2m2－4m)＝4(m－1)2－4≥4(4－1)2－4＝32.则a2＋4b2－ 4
专题 13 利用基本不等式求代数式的最值问题
例题：(2017·苏锡常镇二模)已知 a，b 均为正数，且 ab－a－2b＝0，求a2－2＋b2－1的
4a
b
最小值．
变式 1 若 x>0，y>0，且 x2＋y2＝1，则 x ＋ y 的最小值是________________． 1－x2 1－y2
变 式 2(2018· 苏 州 调 研 三 ) 设 正 实 数 x ， y 满 足 xy ＝ x＋9y ， 则 y 的 最 小 值 是 y－x
13
＋
13
4 （sin2θ）2 （cos2θ）2 ≥
4（1＋1）3 ＝32. （sin2θ＋cos2θ）2
变式联想
变式 1
答案：2 2.
解析： x ＋ y ＝ x ＋ y ≥ 1－x2 1－y2 y2 x2
2
1＝ 2 ≥ xy xy
2 x2＋y2＝
2
2 2. 变式 2
答案：3＋ 10.
解析：由题意可知 y－x＝1＋9，即 y－1＝x＋9≥6，当且仅当 x＝3 时，取等号；由 y>0，
（sin2θ＋cos2θ）2
cos4θ
＝4
sin4θ＋cos4θ＋2sin2θcos2θ＋ sin4θ
sin4θ＋cos4θ＋2sin2θcos2θ cos4θ
＝4
1＋t4＋2t2＋t22＋t14＋1
≥32.则a2＋4b2－1≥7.
4
说明：也可利用幂平均不等式得到如下结果： 4 ＋ 4 ＝ cos4θ sin4θ
4
－1；因为 a＋2b＝ab≥2 ab，得 ab≥8，当且仅当 a＝2b＝4 时取等号，所以（ab－2）2－4 4
－1≥7.
解法 3 因为 ab－a－2b＝0，所以 a＝ 2b .那么 a2＋4b2＝4b2＋ 4b2
b－1
（b－1）2
（c＋1）2＋（c＋1）2
4
c2
＝
4
c2＋c12＋2
c＋1 c
＋2
4a
b4
ab≥2 ab，所以 ab≥8，当且仅当 a＝2b＝4 时取等号；又 a2＋4b2≥2(a·2b)≥32，当且仅当
a＝2b＝4 时取等号，则a2＋4b2－1≥7. 4
解法 2a2－2＋b2－1＝a2＋4b2－1＝（a＋2b）2－4ab－1＝a2b2－4ab－1＝（ab－2）2－4
4a
b4
4
4
＝
c＋1 2 c＋1 4 c ＋2 c ≥4(22＋2×2)＝32.则a2＋4b2－1≥7.
4
解法
4
因为
ab－a－2b＝0，有2＋1＝1，则
a2＋4b2＝(a2＋4b2)
2＋1 ab
2
2
≥4ab·
ab
22 ab ＝
32.，则a2＋4b2－1≥7. 4
解法 5 因为 ab－a－2b＝0，则2＋1＝1，则 a2＋4b2＝(a2＋4b2) ab
1≥7.
解法 7 因为 ab－a－2b＝0，则2＋1＝1，设 a＝ 2 ，b＝ 1 ；那么 a2＋4b2＝ 4
ab
cos2θ
sin2θ
cos4θ
＋ 4 ＝4·sin4θ＋cos4θ＝
sin4θ
sin4θcos4θ
4·1－2sin2θcos2θ＝ sin4θcos4θ
1－2 4 t2 t ，其中 t＝
________________．
串讲 1 已知正实数 x，y 满足 x＋2＋3y＋4＝10，则 xy 的取值范围为________________．
x
y
串 讲 2 已 知 函 数 y ＝ 1－x ＋ x＋3 的 最 大 值 为 M ， 最 小 值 为 m ， 则 m 的 值 为 M
________________．
（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2＝1＋ 2ab ，当 ab＝0 时，a＋b＝2；当 ab≠0，（a＋b）2＝1＋ 2ab
4
a2＋b2
a2＋b2
4
a2＋b2
＝1＋b＋2 a，由ba＋ba≥2
得
1<（a＋b）2≤2， 4
ab
即 2<a＋b≤2 2.综上可知，a＋b∈[2，2 2]，m＝ 2. M2
解法 2y2＝4＋2 4－（x＋1）2∈[4，8]，∵y≥0，∴y∈[2，2 2]∴m＝α，M＝2 2，∴ m＝ 2. M2
π 解法 3 设 1－x＝2cosα， 3＋x＝2sinα，α∈[0， ]，
yx
yx
y－1≥6 可知 y2－6y－1≥0，解得 y≥3＋ 10. y
串讲激活
串讲 1
答案：
1，8 3
.
解析：设 xy＝k，代入整理得 10＝
1＋4 k
x＋3k＋2≥
x
2
1＋4 k
（3k＋2），解得
1≤k≤8.
3
串讲 2
答案： 2. 2
解法 1 令 a＝ 1－x，b＝ x＋3，则 a2＋b2＝4.又由－1≤x≤3 可知 a，b∈[0，2]．由