第六章质点系动力学 (恢复)
大学物理第六章题解
第六章 经典质点系动力学6-1．如图，半圆柱立在光滑水平面上从静止开始到下，试判断质心C 的运动方向．解 建立如图x 轴，由于水平方向外力分量之和为零0ix F =∑，所以水平方向动量守恒x P C =．因初始时静止，故 0x Cx P mv == 由d 0d C Cx x v t ==，可知C x =常量，质心C 竖直向下运动． 6-2．如图，船的质量为5000kg ，当质量为1000kg 的汽车相对船静止时，船尾螺旋桨的转动可使船以加速度20.2m s 前进．在船行进中，汽车相对于船以加速度20.5m s 沿船前进的相反方向加速运动，求此时船的加速度的大小．解 将船与汽车作为质点系．当汽车相对于船静止时，船的加速度即为质点系质心的加速度，根据质心运动定理可知船尾螺旋桨转动时的推力()=(50001000)021200(N)e C F ma .=+⨯=在船的行进过程中，以船的行进方向为x 、x '轴正方向．设船相对于岸的速度、加速度用x 、x 表示，汽车相对于船的速度、加速度用x '、x '表示，则汽车相对于岸的速度、加速度为x x '+、x x '+．根据质点系的动量定理()d [()]d e m x m x x F t'++=船车 即 ()()]e m x m x x F '++=船车500010001000051200x x .+-⨯=可求出此时船的加速度的大小2028m s x .=．6-3．三只质量均为0m 的小船鱼贯而行，速率都是v ，中间一船同时以相对本船的速率u 沿水平方向把两个质量均为m 的物体抛到前后两只船上，求两物体落入船后三只船的速率（忽略水对船的阻力）．解 以船行方向为速度正方向，设两物体落入船后三只船的速率为1v 、2v 、3v ． 以中间船及两物体为质点系，因为在抛出物体的过程中水平方向不受外力，所以质点系水平方向动量守恒00222(2)()()m m v m v m v u m v u +=+++-所以 2v v =以前船与抛入物体为质点系，因为在抛入物体的过程中水平方向不受外力，所以质点系水平方向动量守恒001()()m v m v u m m v ++=+所以 10mu v v m m=++ 以后船与抛入物体为质点系，同样，根据质点系水平方向动量守恒003()()m v m v u m m v +-=+30mu v v m m =-+6-4．质量为70kg 的人和质量为210kg 的小船最初处于静止，后来人从船尾向船头走了3.2m ，不计船所受阻力，问船向那个方向运动，移动了几米？（用质心运动定理求解．）解 建立与地面固连的坐标系Ox ，x 轴的方向为从船尾指向船头．人视为质点1，坐标为1x ；船视为质点2，坐标为2x ；此二质点构成质点系．质点系所受合外力为零，由质心运动定理可知质点系质心加速度为零；由于质心速度为常量，质点系初始状态静止，所以质心速度为零，即质心位置保持不变 110220112201212C C m x m x m x m x x x m m m m ++===++ 11220m x m x ∆+∆=由于123.2x x ∆=+∆，代入上式得12123.2 3.2700.8(m)70210m x m m ⨯∆=-=-=-++ 即船向后移动了0.8米．6-5．试证明质量为m ，长为l 的匀质细杆对过杆中点且与杆垂直的轴的转动惯量为2112ml ． 证明 以杆中心为原点，沿杆建立坐标系Oxy 如图．杆的线密度l m lρ=（即单位长度的质量）． 用一系列与杆垂直的不同x 的面，把杆分割成无限多个无限小的质元，图中画出了在~d x x x +范围内的小质元．此小质元质量d d d l m m x x lρ==，到Oy 轴的距离为||x ，对Oy 轴的转动惯量为22d d d m I x m x x l==．则整个细杆对Oy 轴的转动惯量 /223/22/2/211d 312l l l l m m I x x x ml l l --===⎰6-6．如图，半径0.1m R =的定滑轮，可绕过轮心的z 轴转动，转动惯量为20.1kg m J =⋅．一不可伸长之轻绳无滑地跨过定滑轮，一端竖直地悬一质量1kg m =的重物，另一端a 受竖直向下的力F 作用，20.8N F =．试用质点系角动量定理求a 点加速度．解 用滑轮、绳、重物构成质点系，质点系所受外力为F 、重物重力mg 和轮轴处所受支撑力N F ．根据质点系对z 轴的角动量定理2d d ()()d d J Rmv J mR FR mgR t tωω+=+=- 所以2d d FR mgR t J mR ω-=+，a 点加速度为 22d d F mg a R i R i t J mR ω-==+ 220.819.80.01 1.0(m s )0.110.01i i -⨯==+⨯6-7．可利用阿特伍德机（例题6-3-4）测滑轮转动惯量．设10.46kg m =，20.50kg m =，滑轮半径0.05m R =．由静止开始释放重物测得2m 在5.0s 内下降0.75m ．求滑轮转动惯量J ．解 （因为不要求求出绳内张力，故可用质点系角动量定理求解．）用滑轮、绳、重物构成质点系，质点系所受外力为重物和滑轮的重力、以及轮轴处所受支撑力N F ．根据质点系对z 轴的角动量定理1122d ()d J Rm v Rm v t ω++ 21221d [()]d J m m R m gR m gR tω=++=- 所以21212()d d ()m m gR t J m m Rω-=++，2m 下降加速度的大小为 212212()d d m m g a R t m m J R ω-==++ 可见质点2m 作匀加速直线运动．由2212x a t ∆=，求出220.060m s a =．由上式可知 221122()[]m m g J R m m a -=-- 222(050046)98005[050046]13910kg m 006........--⨯=⨯--=⨯⋅6-8．匀质细杆长2l ，质量为0m ，杆上穿有两个质量均为m 的小球．初始时杆以角速度0ω绕过杆中点O 且与杆垂直的光滑竖直轴转动，两小球均位于距O 点2l 处．求当两个小球同时滑动到杆的两端点时杆的角速度的大小．解 将杆和两个小球作为质点系．由于竖直轴光滑，轴受到的约束力对竖直转动轴力矩为零；细杆和小球的重力与竖直转动轴平行，对竖直转动轴力矩为零．由于质点系所受外力对竖直转动轴合力矩为零，所以质点系对竖直转动轴角动量守恒，设末态角速度为ω，则002222l l J m J ml l ωωωω+⋅=+⋅ 由于220011(2)123J m l m l ==，所以000(23)2(6)m m m m ωω+=+．6-9．工程上常用摩擦啮合器使两个飞轮以相同的转速转动，如图，飞轮A 、B 可绕同一固定轴转动，C 为啮合器．设飞轮A 、B 对轴的转动惯量210kg m A J =⋅，220kg m B J =⋅，开始A 轮转速600r min A n =（转每分），B 轮静止，求两轮啮合后的转速．解 将二飞轮A 、B 作为质点系．由于二飞轮所受重力和支撑力对固定轴力矩均为零，飞轮所受外阻（动）力矩比二飞轮啮合时飞轮间的相互作用力矩小得多，故啮合过程中质点系对固定轴的角动量近似守恒，有2()2A A A B J n J J n ππ⋅=+10600200(r min )1020A A A B J n n J J ⨯===++6-10．有两根原长为0l 、劲度系数为k 的轻弹簧串接于O 点，另两端各系一质量为m 的滑块，置于光滑水平面上．现将两滑块拉开，使其相距2l （0l l >），从静止放手，求两弹簧恢复原长时，弹簧弹性力对两滑块做功之和．（用三种方法求解）解法一 由于在运动过程中O 点为质心，由质心运动定理可知O 点固定不动．利用弹簧弹性势能求解．弹簧弹性力对两滑块做功之和等于两弹簧弹性势能增量的负值220012[0()]()2W k l l k l l =-⨯--=- 解法二 由于在运动过程中O 点为质心，由质心运动定理可知O 点固定不动．在惯性系中积分求功．以弹簧自由伸长处为原点、沿弹簧建立x 轴，则00220012()d 2()()2l l W kx x k l l k l l -=⨯-=⨯-=-⎰ 解法三 由于在运动过程中O 点为质心，由质心运动定理可知O 点固定不动．利用求一对力做功之和的方法，在与一个滑块相对静止的参考系中积分求功．以一个滑块为原点、沿弹簧建立x 轴，当另一滑块位于x 处时，每个弹簧的伸长量为02x l - 00220022[()]d 2()d()222l l l l x x x W k l x k l =--=--⎰⎰ 022202012()|()22l l x k l k l l =--=-6-11．两个滑冰运动员质量均为70kg ，均以6.5m s 速率沿相反方向滑行，滑行路线间的垂直距离为10m ．当彼此相错时，各抓住10m 长绳的一端，然后开始旋转．（1）在抓住绳端之前，各自对绳中点的角动量多大？抓住后又为多大？（2）他们各自收绳，到绳长5m 时，各自速率多大？（3）绳长5m 时绳内张力多大？（4）收绳过程中二人总动能如何变化？（5）二人共做多少功？解 （1）抓绳之前，每个运动员对绳中心角动量均为570 6.5L =⨯⨯22275(kg m s)=⋅． 抓绳之后，视两个运动员和绳为质点系，所受外力矢量和为零，所以质点系质心（绳中心）位置不变，绳中心仍为固定点，每个运动员对绳中心的角动量仍为22275kg m s ⋅．（2）绳的张力T F 为质点系内力．收绳过程中质点系所受外力对绳中心的力矩为零，所以质点系的角动量守恒，设收绳后运动员速率为v ，则 2 2.57022275v ⨯⨯⨯=⨯ 所以13m s v =．（3）当绳长5m 时，对每一个运动员，由牛顿第二定律可得2T 70134732(N)2.5F ⨯== （4）质点系总动能的增量等于组成质点系的每个质点动能增量之和22k k01270(13 6.5)8873(J)2E E -=⨯⨯⨯-= （5）根据质点系的动能定理，二运动员总共做功等于质点系动能增量，k k08873(J)W E E =-=6-12．匀质细杆长7m 5l =，质量为m ，可绕过其一端的光滑水平轴在竖直平面内转动，在杆自由下垂时有一质量为6m 的黏性小球沿水平方向飞来并黏附于杆的中点，使杆摆动的最大角度为60ο．求小球飞来时的速率．（210m g =）解 在小球与杆的碰撞过程中，以小球和杆为质点系．质点系所受外力中，杆的重力mg 和杆所受轴的支撑力N F 对轴O 的力矩为零；小球重力m g '对轴O 的力矩近似为零；所以质点系的角动量近似守恒221[()]262362l m l m l m v v ml ω'==+ 故92v l ω=．在小球和杆一起上摆的过程中，以小球和杆为质点系，仅有小球和杆所受重力做功，而重力为保守力，所以机械能守恒22211[()]()cos60236262m l m l ml m g ωο+=+ 因此2149g lω=．根据以上结果即可求出9146321(m s)292g v l gl l ===．6-13．在光滑水平桌面上，有一质量为m 的滑块，滑块与一弹簧相连，弹簧另一端固定于O 点，劲度系数为k ．当弹簧处于原长0l 时，一质量为0m 的子弹以速度0v 垂直于弹簧地射入滑块，并嵌在其中．之后当滑块运动到B 点时，弹簧长度为l ，如图所示．求滑块于B 时的速度v ．解 在子弹射入滑块的过程中，由子弹和滑块构成质点系．因质点系在0v 方向不受外力，故质点系沿0v 方向动量守恒000()m v m m v '=+所以000()v m v m m '=+．在子弹和滑块由A B →的过程中，视子弹和滑块为一个质点．由于过程中只有弹簧弹性力做功，弹簧弹性力为保守力，故质点机械能守恒；又因质点受力对过O 点的竖直轴力矩为零，所以质点对过O 点的竖直轴角动量守恒．222000111()()()222m m v m m v k l l '+=++- 000()()sin m m v l m m vl θ'+=+所以 22212000200()[]()m v k l l v m m m m -=-++ 000222120000arcsin [()()]m v l l m v m m k l l θ=-+-6-14．大容器内水的自由表面的高度为0h ，放在水平地面上，离自由表面h 深处有一小孔A ，小孔横截面积远小于容器横截面积．求：（1）由小孔A 流出的水流到达地面的水平射程x ；（2）与小孔A 在同一竖直线上，距自由表面多深处再开一孔，可使水流的水平射程与前者相等？（3）在多深处开孔，可使水流具有最大水平射程？最大水平射程是多少？解 （1）由于容器横截面积远大于小孔横截面积，水流稳定后可认为容器中水面高度不变．认为水是理想流体．水流稳定后，取一条从容器中水自由表面到小孔的流线，以容器底为重力势能零点，由伯努利方程200001()2gh p g h h v p ρρρ+=-++所以小孔流速2v gh =．流体微团从流出小孔到落地降落的高度2012h h gt -=，可知降落时间02()h h t g-=，因此水平射程02()x vt h h h ==-． （2）在h '深处另开一孔而水平射程相同，则由002()2()h h h h h h ''-=-可求出0h h h '=-．（略去h h '=．）（3）根据（1）02()x h h h =-，由002(2)d 0d 2()h h x h h h h -==-，有唯一极值点012h h =使水流具有最大射程．当012h h =时，max 0x x h ==．6-15．如图是测量液体流量的流量计原理图．已知细管和粗管的横截面积为1S 、2S ，使用时把它串接在水平液流管道中，稳定流动时两竖直管内液体自由表面高度差为h ．求流量表达式．解 沿管道中心轴取一流线，对该流线上1、2两点，根据伯努利方程，因12h h =，故2211221122v p v p ρρ+=+ （1） 连续性方程 1122v S v S = （2） 1、2两点压强差 21p p gh ρ-= （3） 由（1）、（3）式，可得22122v v gh -=由（2）式，得1122v S v S =，代入上式 221122(1)2S v gh S -= ，即1222212gh v S S S =- 所以 11221222212gh Q v S v S S S S S ===-6-16．如图装置，出口处堵塞时，注满可视为理想流体的水．水平细管横截面积处处相等，其直径远小于大容器直径．打开塞子在水流稳定后，求两竖直细管内水面高度．解 由于细管直径远小于大容器直径，水流稳定后可认为大容器中水面高度不变．在水流稳定之前，竖直细管内的水会流出，而水流稳定后竖直细管内水面高度不变．作从大容器水面开始经水平细管的流线，取水平细管处为势能零点，根据伯努利方程22201223304111222p gh p v p v p v ρρρρ+=+=+=+ 因为234S S S ==，根据连续性方程223344S v S v S v ==可得 234v v v ==所以 230p p p ==两竖直细管内为静止流体，根据2002p p p gh ρ==+3003p p p gh ρ==+所以230h h ==．6-17．如题6-16图，若其中装有密度为31000kg m 的黏性流体，流动稳定后10.18m h =，20.1m h =，30.05m h =．求出口流速．（不计大容器内内能量损失）解 由于细管直径远小于大容器直径，水流稳定后可认为大容器中水面高度不变．在水流稳定之前，竖直细管内的水会流出，而水流稳定后竖直细管内水面高度不变．作从大容器水面开始经水平细管的流线，取水平细管处为势能零点．根据连续性方程，因为水平细管横截面处处相等，故水平细管中的2、3、4点流速相等，以v 表示其流速．根据不可压缩黏性流体作稳定流动时的功能关系式，对3、4点，有2230341122p v p v W ρρ+=++ 竖直细管内为静止流体，可知303p p gh ρ=+，所以 343W gh ρ=根据不可压缩黏性流体作稳定流动时的功能关系式，对1、4点，有20101412p gh p v W ρρ+=++ 由于水平细管横截面处处相等，不计大容器内内能量损失，故可知34143W W =，所以132(3)298(0183005)0767(m s)v g h h ....=-=⨯⨯-⨯=（第六章题解结束）。
【北航考研辅导班】北航航空科学与工程学院考研科目参考书考研大纲考研分数线报录比考研经验
【北航考研辅导班】北航航空科学与工程学院考研科目参考书考研大纲考研分数线报录比考研经验一、北航航空科学与工程学院简介-启道航空科学与工程学院是北航最具有航空航天特色的院系之一,前身是飞机系，成立于1952年，首任系主任是“两弹一星”功勋科学家屠守锷院士。
主要从事大气层内各类航空器（飞机、直升机、飞艇等）、临近空间飞行器、微小型飞行器等的总体设计、气动、结构、强度、飞行力学、人机环境控制等方面的基础性、前瞻性、工程型以及新概念、新理论、新方法研究与教育工作。
曾成功研制了“北京一号”中程旅客机、“蜜蜂”系列轻型飞机、共轴双旋翼飞机，填补了国内空白。
半个多世纪以来培养了大批杰出人才，包括原全国人大副委员长李沛瑶等国家领导人；中央委员、中央军民军民融合办常务副主任金壮龙，中央委员、浙江省委副书记、省长袁家军等一大批治国栋梁；载人航天工程总设计师王永志、“神舟”五号飞船总设计师戚发轫、航空重点型号总设计师唐长红等18位两院院士；以及大族激光董事长高云峰、新湖期货董事长马文胜等一大批优秀年轻企业家。
学院下设6个实体单位：飞机系、空气动力学系（流体力学研究所）、飞行器结构强度系（固体力学研究所）、人机与环境工程系、飞行力学与控制系、动力学与控制系；涉及3个一级学科:航空宇航科学与技术、力学、动力工程及工程热物理学科，在教育部学位与研究生教育发展中心组织的第四轮学科评估中，航空宇航科学与技术获得一流学科奖（A+类），力学获得（A-类）,两个学科双双被列入教育部一流学科建设名单；涉及10个二级学科，其中流体力学、固体力学、飞行器设计、人机与环境工程学科、工程力学、一般力学及力学基础是国家重点二级学科。
学院建有国家计算流体力学国防科技重点实验室、人机工效与环境控制国防重点学科实验室、粉体技术研究开发北京市重点实验室、流体力学教育部重点实验室、航空科学与技术国家实验室（筹）（飞行器设计基础部）、航空器先进设计技术重点实验室；国家航空航天实验教学示范中心、国家工科基础课程（力学）教学基地、航空科学技术虚拟仿真实验教学中心、（北京）航空航天博物馆、北京市力学实验教学示范中心、航空创新实践基地等。
质点系动力学能量方法
(a )
动能定理的微分形式： 在质点系运动过程中的任意时刻或任意位形， 质点系动能)
dT = P (a ) + P (c ) dt
分别为主动力和约束力的功率。
动能定理的积分形式
T2 − T1 = W (a ) + W (c ) ，
10-6 一复摆绕 O 点转动如图示。复摆的质量为 m，对其质心 C 的回转半径为 ρ C 。设 OC = x ，问当 x 为何值时，摆从水平位 置无初速地转到铅垂位置时的角速度为最大？并求此最大角速 度。 解：复摆对 O 点的转动惯量为 J O = mρ C + mx ，动能为
2 2
题 10-6 图
10-2 匀质杆 OA 长 l，质量为 m，绕 O 点转动的角速度为 ω ；匀 质圆盘半径为 r，质量也为 m。求下列三种情况下系统的动能： （1）圆盘固结于杆； （2）圆盘绕 A 点转动，相对杆的角速度为 − ω ； （3）圆盘绕 A 点转动，相对杆的角速度为 ω 。 解： （1）圆盘固结于杆。对 O 点转动惯量为
T=
1 1 2 J Oω 2 = m ρC + x2 ω 2 ， 2 2
(
)
仅重力做功， W = mgx ，由动能定理得：
1 2 m ρC + x 2 ω 2 = mgx ，解出 2
(
)
ω2 =
2 gx 。 ρ + x2
2 C
令 dω dx = 0 ，解得 x =
ρC ，从而有 ω max = g ρ C 。
其中 L = T − V 为拉格朗日函数。 拉格朗日方程的普遍形式
d ∂L ∂L = Q′j − & j ∂q j d t ∂q
§3.3 质点系的动力学方程(YBY
m1a1 F1 f12 ,
f12 f21
m2a2 F2 f21
m1a1 m2a2 F1 F2
推广到质点组 （1） m a F F ii i （1）称为质点组的动力学方程。 2、质点系质心动力学方程
（5）
质点系的质心运动定理在直角坐标系中投影式为
Fx Fix maCx , Fy Fiy maCy , Fz Fiz maCz （6）
质心运动定理给出质心加速度，描述了质点系整体运动的重要 特征．并未对质点系运动作全面描述，更全面描述质点系的运 动，还应进—步研究各质点相对质心的运动．
d 2 ri F Fi mi ai mi 2 dt
2 2
d d mi ri 2 mi ri m 2 dt dt m
（2）
m r ii m
具有长度的量纲，描述与质点系相关的某一空间点的位置 m r ii （3） 引入质心的概念 rC m 在直角坐标系
m1r1 m2 r2 rc (t ) m1 m2 r2 (t ) r1 (t ) r (t )
m2 r1 (t ) rc (t ) m m r (t ) 1 2 m1 r r (t ) 2 (t ) rc (t ) m1 m2
m x ,
i i
xc
m
yc
m y ,
i i
m
26第6章第二十六讲 动力学普遍定理-相对动点的动量矩定理
3.2 动量矩定理与动量矩守恒根据质点相对运动动力学基本方程注意：平动坐标系中矢量的绝对导数和相对导数相等(e )（4）相对于动点的动量矩定理iee ii i ir i m Q F F a ++=)()(Ai ie m a Q −=ni m tm A i e i i i ir i ,,2,1)(d )d()()( =−++=a F F v3.2 动量矩定理与动量矩守恒两边叉乘r i ′，并求和（对动点A 取矩）注意到：内力系的主矩等于零；质心计算公式；叉乘性质n i m tm A i e i i i ir i ,,2,1)(d )d()()( =−++=a F F v ()=×′=′=∑∑ir i ir Cii i ie im M m v v r r F[])(d d)(A Ce iiiri iM m ta r Fr v r −×′+×′=×′∑∑是质点系相对动点A是外力系对动点A 的主矩是牵连惯性力的合力对动点A 的力矩注意平动系惯性力合力作用点3.2 动量矩定理与动量矩守恒Ar ir i i m L v r =×′∑ )()(e Ae iiMFr =×′∑ )()(e A A CM Q M a r =−×′d t[∑r i′×m i v ir])(d )(A Ce iiM a r Fr −×′+×′=∑(e )质点系相对动点的动量矩定理＝质点系相对动点的动量矩对时间的导数外力系对该点的主矩加在质心上的牵连惯性力的合力对该点之矩＋3.2 动量矩定理与动量矩守恒3.2 动量矩定理与动量矩守恒①如果动点为质心C ，则动点的动量矩定理为相对质心的动量矩定理)(d d )(e A e A Ar tQ M M L +=3.2 动量矩定理与动量矩守恒②如果a A = 0，则③如果A 点的加速度方向通过质心，则)(d d )(e A e A Ar tQ M M L +=)(d d e A Ar tM L =)(d d e AAr tM L =3.2 动量矩定理与动量矩守恒④对质心的动量矩守恒定律则对质心的动量矩守恒)(d d e CCr tM L =0)(=e CM()=e Cz M cL =cr constL cz =3.2 动量矩定理与动量矩守恒【例】质量为m半径为r的均质圆盘从静止开始，沿倾角为θ的斜面无滑动的滚下。
质点动力学
所以太阳系是一个惯性系。
地球有公转和自转，所以地球只能看作一 个近似的惯性系。
五、应用牛顿定律解题
例1、水平面上有一质量为51kg的小车D，其上有一 定滑轮C，通过绳在滑轮两侧分别连有质量为 m1=5kg和m2=4kg的物体A 和B。其中物体A在小车的 水平面上，物体B被绳悬挂，系统处于静止瞬间，如 图所示。各接触面和滑轮轴均光滑，求以多大力作 用在小车上，才能使物体A与小车D之间无相对滑动。 （滑轮和绳的质量均不计，绳与滑轮间无滑动）
2. F 是作用在质点上各力的矢量和。 3. 在一般情况下力F 是一个变力
常见的几中变力形式：
F = F ( x ) = - kx F = F (t ) F = F ( v ) = - kv
弹性力 打击力 阻尼力
4. 要注意定律的矢量性。 5. 牛顿第二定律的投影形式： 直角坐标系中 自然坐标系中
自然和自然规律隐藏在黑暗之中， 上帝说“让牛顿降生吧”， 一切就有了光明； 但是，光明并不久长，魔鬼又出现了， 上帝咆哮说：“让爱因斯坦降生吧”， 就恢复到现在这个样子。
三百年前，牛顿站在巨人的肩膀上，
建立了动力学三大定律和万有引力定律。
其实，没有后者，就不能充分显示前者
的光辉。海王星的发现，把牛顿力学推
第一定律Nawton first law（惯性定律）
任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态， 直到受到力的作用迫使它改变这种状态为止。
第二定律
宏观低速运动中 视为常量 m dP d F＝ (mv ) ma ＝ dt dt
注意
1. 上式是一个瞬时关系式，即等式两边的各物理量 都是同一时刻的物理量。
上荣耀的顶峰。
魔鬼的乌云并没有把牛顿力学推跨，
飞行力学第六章-运动方程
ωx
ω y I x ω x I xy
0 I zx
I xy Iy I yz
I zx ω x M x I yz ω y = M y I z ω z M z
飞行器飞行力学2010
得
dω x 2 2 + ( I z I y )ω y ω z + I yz (ω z ω y ) + Ix dt dω y dω z I xy (ω x ω z ) I zx (ω x ω y + ) = Mx dt dt dω y 2 2 + ( I x I z )ω x ω z + I zx (ω x ω z ) + Iy dt dω z dω x I yz (ω x ω y ) I xy (ω y ω z + ) = M y dt dt dω z 2 2 + ( I y I x )ω x ω y + I xy (ω y ω x ) + Iz dt dω y dω x I zx (ω y ω z ) I yz (ω z ω x + ) = Mz dt dt
飞行器飞行力学2010
根据速度之间的关系
u = V cos α cos β v = V sin β w = V sin α cos β
可得
du dV dα dβ V sin α cos β V cos α sin β cos α cos β = dt dt dt dt dv dV dβ V cos β sin β + = dt dt dt dw dV dα dβ sin α cos β + V cos α cos β V sin α sin β = dt dt dt dt
dω z dω x + ( I z I y )ω y ω z I zx (ω x ω y + Ix ) = Mx dt dt 方 程 dω y 2 2 + ( I x I z )ω x ω z + I zx (ω x ω z ) = My 简 Iy dt 化 为 I d ω z + ( I I )ω ω + I (ω ω d ω x ) = M z y x x y zx y z z dt dt
【北航考研辅导班】北航航天工程(专业学位)考研科目参考书考研大纲考研分数线报录比考研经验
【北航考研辅导班】北航航天工程（专业学位）考研科目参考书考研大纲考研分数线报录比考研经验一、北航宇航学院简介-启道1956年在我国航天事业创建的同时，北京航空学院（1988年更名为北京航空航天大学）就在国内率先创建了火箭设计和火箭发动机教研室，由屠守锷、曹传钧担任教研室主任；1958年正式组建了火箭系，设有运载火箭设计、有翼导弹设计、液体火箭发动机设计、固体火箭发动机设计、导弹飞行力学、自动控制、发射装置、遥控遥测等专业；1970年由于上级主管部门的变更，学校按学科调整内部结构，将原火箭系各专业划归到有关的系进行管理，并继续为航天技术领域培养人才，进行科学研究；1988年为适应我国航天工业和科学技术发展的需要，学校决定在原火箭系的基础上成立宇航学院。
宇航学院现设有航天飞行器技术系、航天制导导航与控制系、宇航推进系、图像处理中心四个教学科研机构。
拥有飞行器设计与工程（航天）、探测制导与控制技术（航天）、飞行器动力工程（航天）和飞行器控制与信息工程四个本科专业。
拥有航空宇航科学与技术、控制科学与工程二个一级学科，其中航空宇航科学与技术和控制科学与工程为国家重点学科和博士后流动站，且航空宇航科学与技术学科国内排名第一。
拥有飞行器设计、航空宇航推进理论与工程、导航制导与控制、模式识别与智能系统四个博士学位授权点，飞行器设计、航空宇航推进理论与工程、导航制导与控制、模式识别与智能系统四个硕士学位授权点，航天工程专业硕士学位授权点。
以上学科专业均是航天领域的核心学科专业，是航天科技发展的重要支撑。
宇航学院现有教职工127人，其中院士1人、长江学者特聘教授2人、讲座教授2人、国家杰出青年基金获得者1人、人事部百千万人才1人、外专千人2人，教授29人、博士导师29人（其中兼职博导6人）、副教授48人，在站博士后8人，具有博士学位的教师112人，在职教授的授课率达100%。
高水平的师资队伍为学院完成国家赋予的教学、科研任务奠定了人才基础。
理论力学第六章
由 动能定理 FS
由 动 2 mv c 能 4 对t求导，得 C 3 mvC a定 Fv C 理 2 故 Fr J C α
3
v
m
r
C
F
C
F
Cv
S
Cv
即动量矩定理
6-2 质点系动能定理
d LC dt
v
MC
v
6-2-1 动能定理的三种形式 问题 3 图(a)系统由静平衡位置转动 角， 此时，系统势能以静平衡为“0”，
V 1 2 k( l 2
k
) 2 对吗?为什么?
l 2
l 2
对！弹簧静平衡力与重力在转动时仍平衡， 其功之和为零，可同时不考虑。
k
a
又如图(b)所示:
V 1 2
6-2 质点系动能定理
O
m
k
2
b
6-2-2 动能定理的应用 1. 应用特点 (1)与位形变化有关 (突出空间过程) 已知运动求力，由 T W F
FT
WG GS sin
WF 0 ,
N
S
C
WF 0 ,
T
G
C
FS
FN
WF 2 FS S
S
6-1 功与动能
6-1-1 力的功
2.内力的功
一对内力, FA -FB
d W FA drA FB drB
FA drA drB FA drAB
Cv
求 ,v 问题 2均质轮在OA杆上滚动，已知 m,r,l,ω1求Cr 轮 T 。
T 1 2 m vC
2
1 2
JC
2
质点系动力学：刚体运动规律及转动动能定理
质点系动力学在物理学中，质点系动力学是研究物体间相互作用的力以及物体运动轨迹的学科。
本文将讨论质点系动力学中的一个重要概念：刚体运动规律及转动动能定理。
刚体运动规律刚体是一个比较理想化的物理模型，假设物体的形状和大小在运动过程中保持不变。
根据刚体运动规律，刚体在外力作用下会发生运动，根据牛顿第二定律，刚体的运动状态取决于作用在刚体上的合力。
刚体的运动可分为平动和旋转两种类型。
在平动运动中，刚体整体沿直线或曲线运动；而在旋转运动中，刚体绕固定轴线旋转。
根据刚体运动规律，刚体的运动轨迹可以用运动学方程描述，运动方程中包含了速度、加速度等因素。
转动动能定理转动动能定理是描述刚体绕固定轴线旋转动能变化的重要定理。
根据转动动能定理，刚体旋转过程中的动能变化等于作用在刚体上的转动力做功的总和。
假设有一个质量为m、半径为r的刚体，绕垂直轴线（转动惯量为I）旋转。
根据转动动能定理，刚体的转动动能变化ΔK等于转动力做的功W。
转动动能的变化由以下公式给出：ΔK = W = τθ其中，τ为转动力矩，θ为转动角度。
转动角度与角速度的关系为θ = ωt，因此转动动能变化ΔK还可以表示为ΔK = τωt。
结论通过以上讨论，我们了解了质点系动力学中的刚体运动规律以及转动动能定理。
刚体运动规律可以帮助我们理解物体在运动过程中的轨迹和状态变化，而转动动能定理则为解释物体旋转运动提供了重要定量关系。
深入研究质点系动力学中的这些概念，有助于我们更好地理解物体的运动规律和相互作用过程。
在质点系动力学的研究中，刚体运动规律及转动动能定理是重要的基础知识，对于进一步探索物体间相互作用和运动规律具有重要意义。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解质点系动力学中的这一部分内容，激发对物理学的兴趣和探索。
质点系的质心
o惯性系r j
mj fj
2、过程中包括的质点不变
二、 质心（center of mass）
质点系的质心，是一个以质量为权重取平均
的特殊点。
1、质心的位置
NN
rc
m i ri
i1 N
mi
m i ri
i1
M
i1
质点系 mi
ri c质心
rc
o
上式的分量形式:
xc
mi xi
i
M
mi yi
mivix 常量
i
miviy 常量
i
miviz 常量
i
if Fix 0
i
if Fiy 0
i
if Fiz 0
i
（4）反冲运动中的动量守恒
（5）动量守恒律在近代物理学中的意义
物理学家对动量守恒定律具有充分信心。
20世纪初发现原子核
的衰变
实验表明，这个过程 能量不守恒 动量不守恒
三、动量守恒定律
i
i
合外力的冲量
= 质点系动量的增量。
与内力无关。
二、动量守恒定律
若质点系 Fi 0
则 P
i
mivi con. s
i
即：若质点系所受合外力
为零，其动量守恒。
讨论：
（1）内力不会影响系统的总动量 ，但可使系统内的动量一个质点 转移到另一个质点。
（2）动量守恒律是牛顿第二、三 定律的直接结果；是空间平移不 变性的物理表现。
三、能量守恒定律
对于一个不受外界作用的 孤立系统，无论其内部经历任 何变化，该系统所有能量的总 和不变。能量只能从一种形式 转化为另一种形式，或从系统 内一个物体传给另一个物体。
2018北航可靠性与系统工程学院工业工程专硕考研复试通知复试时间复试分数线复试经验
2018北京航空航天大学工业工程专硕考研复试通知复试时间复试分数线复试经验启道考研网快讯：2018年考研复试即将开始，启道教育小编根据根据考生需要，整理2017年北京航空航天大学可靠性与系统工程学院085236工业工程(专业学位)考研复试细则，仅供参考：一、复试科目（启道考研复试辅导班）二、复试通知（启道考研复试辅导班）一、学院研究生招生工作小组组长：王自力副组长：曾声奎成员：赵廷弟、马小兵、孙宇锋、吕琛、高成、李晓钢、殷永峰秘书：曹思婷二、复试原则本次复试按上线人数差额复试，差额比例一般不低于120%。
遵照公开、公平、公正、择优录取的原则进行复试、录取。
1、第一志愿报考专业复试统考拟录取人数2、调剂原则第一志愿报考我院并达到我院复试资格基本线的考生可申请调剂工业工程全日制专业学位硕士和非全日制专业学位硕士，直接进入复试。
3、推免生不再参加本次复试。
三、复试要求及内容复试包括专业英语笔试、专业面试及英语口试三部分，采取集中和分组方式进行。
1、专业英语笔试专业英语笔试内容：科技英语阅读、专业英语翻译。
2、面试内容(1)专业知识面试在综合面试中将对考生的专业知识基础、科研能力/潜力、创新意识、语言表达能力、逻辑分析能力、应变能力、自我控制能力等方面进行综合素质考核，同时还考察考生的教育背景和非应届考生的工作业绩。
(2)英语口试要求学生用英语自我介绍2-3分钟，然后进行简短对话，最后从若干专业科技英文资料中随机抽取一段，进行现场口译。
(3)考察考生的政治思想情况，政治思想审查不合格，不予录取。
四、评分标准和录取规则复试满分为300分，其中专业英语笔试100分，面试200分。
总成绩=初试成绩+复试成绩。
按总成绩排序确定拟录取名单和录取类别，复试成绩不及格(即复试成绩低于180分)不予录取。
五、复试时间、地点1、资格审查时间：3月21日上午9:00-9:40，地点：主M401教室。
专业英语笔试时间：3月21日上午10:00-11:00，地点：主M401教室。
北京航空航天2018年《力学基础》考试大纲
北京航空航天2018年《力学基础》考试大纲注意：总分150分，理论力学部分占40%，材料力学部分占60%。
第一部分理论力学大纲静力学1、几何静力学（第1－3章）基本内容：静力学的基本公理，受力分析，力系简化的基本方法和有关力学量的基本计算，平衡方程的建立与求解，摩擦（滑动摩擦和滚动摩擦）问题，桁架内力的计算，平衡结构的静定性问题。
基本要求：深入理解静力学中有关的公理，熟练掌握刚体（刚体系）的受力分析，力系简化的基本方法和有关基本概念和基本量的计算，能够确定给定力系作用下独立平衡方程的数目，能够用定性和定量的方法研究刚体（刚体系）的平衡问题。
能够分析研究考虑摩擦时刚体或刚体系的平衡问题以及平面桁架的内力计算问题。
2、分析静力学（第4章）基本内容：各种力（重力、弹性力、有势力、摩擦力、合力、等效力系）的功，约束及其分类、广义坐标和自由度、虚位移与虚功、理想约束、虚位移原理及其应用、有势力作用下质点系平衡位置的稳定性。
基本要求：熟练计算各种力的功，能够确定系统的约束类型，确定系统的自由度和广义坐标，理解虚位移的基本概念，会判断约束是否是理想约束；能够熟练应用虚位移原理求解质点系平衡问题；会判断有势力作用下质点系平衡位置的稳定性。
动力学1、质点动力学（第五章）基本内容：质点的运动方程、速度、加速度的各种表示方法（矢量法、直角坐标法、自然坐标法）以及有关基本量的计算，质点运动微分方程，点的复合运动（三种运动分析、速度合成定理和加速度合成定理），质点相对运动动力学基本方程。
基本要求：熟练掌握质点运动方程、速度和加速度的各种表示方法和有关基本量的计算，能够熟练建立质点运动微分方程，对于简单的运动微分方程能够求解。
熟练应用点的复合运动的基本理论与方法研究点的复合运动（速度和加速度）问题，能够在非惯性参考系下建立质点相对运动动力学基本方程，具有对质点的运动学和动力学问题进行定性和定量分析的初步能力。
2、质点系动力学（第六章）基本内容：质点系的动量定理、变质量质点动力学方程、动量矩定理（包括对固定点、动点和质心的动量矩定理）、动能定理及其有关基本量的计算。
大学物理质点动力学PPT
2 2 2 2
（2-47） （2-48）
由式（2-47）、（2-48）解得：
( m 1 m 2 ) v1 0 2 m 2 v 2 0 v1 m1 m 2 ( m 2 m 1 ) v 2 0 2 m 1 v1 0 v2 m1 m 2
m1v10 m2v20 m1v1 m2v2
2.完全非弹性碰撞 两物体碰撞后，以相同的速度一起运动，这种碰撞称为完 全非弹性碰撞。碰撞中机械能不守恒,损失的能量最大。由式 （2-45）可得：
v1 v 2
m 1 v1 0 m 2 v 2 0 m1 m 2
（2-ห้องสมุดไป่ตู้2）
3.非弹性碰撞 以上两种情况是理想情况，是某种情况下的近似。实际 上，碰撞过程中，由于非保守力的作用，致使机械能转变为 热能、声能、光能、化学能等其它形式的能量，或有其它形 式的能量转变为机械能，这种碰撞称为非（完全）弹性碰撞。 一般引入弹性恢复系数 e 来表示碰撞性质。 v 2 v1 e （2-53） v1 0 v 2 0 即：e等于碰撞后的分离速度与碰撞前的接近速度之比。 当e=0时，v1=v2，为完全非弹性碰撞；
由于两个物体碰撞前后的速度都沿同一条直线，上式可 写成标量式，即：
m 1 v10 m 2 v 20 m 1 v1 m 2 v 2
（2-45）
下面分几种情况来讨论： 1.完全弹性碰撞 如果在碰撞后，两个物体的动能之和完全没有损失，这 种碰撞称为完全弹性碰撞。根据机械能守恒定律得：
1 2 m 1 v1 0
本章小结
本章知识结构框图
牛顿运动定律 力对时间的积累效应： 力对空间的积累效应： 动量定理 动能定理
第六章质点系动力学 (恢复)
解：在Δt时间内，火药的爆发力使子弹 v2 a2
和枪身做匀加速直线运动，设加速度 F
a1
m1
v1
分别为a1,a2，枪身末速度为v2
m2 x
忽略手或肩的抵抗力F，枪、弹系统动
量守恒，有 m1v1 m2v2 0
v2
m1v1 m2
7.9 103 735 3.87
1.5m /
s
由匀加速直线运动位移公式，枪身后坐距离：
的分量守恒： p＝i 恒矢量 ，称i 此种情况是：动量沿某一坐标
轴的投影守恒。i
注： 1）系统的动量守恒是指系统的总动量不变，系统内任一物 体的动量是可变的, 各物体的动量必相 对于同一惯性参考系 .
2）守恒条件 合外力为零
F e
Fie 0
i
当 Fe Fi 时，可 略去外力的作用, 近似地认为系统
解：一对内力功之和与参照系选取无 关，本题选取两个参照系计算，证明这
三、质心运动定理
由质点系动量定理 ：
d
(e)
F
i
mivi
dt
d dt
(m1 v1
m2
v2
(e)
mn vn ) F
可写成：
d2 dt 2
(m1 r1 m2 r 2
(e)
mn rn ) F
(m1
m2
mn )
d2 dt 2
( m1r1 m2 r 2 m1 m2
pe
p n mi vi 恒矢量
即 pei1 pν pN 0
pν
pN
北京航空航天大学航天工程考研 招生人数 参考书 报录比 复试分数线 考研真题 考研经验 招生简章
爱考机构考研－保研－考博高端辅导第一品牌宇航学院航天工程专业招生目录一级学科（或专业类别）、二级学科（或专业领域）、学院、研究方向招生人数考试科目备注070800 地球物理学015 宇航学院 2 学制2.5年研究方向：①101思想政治理论②201英语一③301数学一④851电磁学综合01 空间物理学02 地球与空间环境探测技术03 空间环境科学与工程081100 控制科学与工程015 宇航学院30 学制2.5年研究方向：①101思想政治理论②201英语一③301数学一④933控制工程综合01 模式识别与智能系统02 导航制导与控制技术082500 航空宇航科学与技术015 宇航学院55 学制2.5年研究方向：①101思想政治理论②201英语一或202俄语或203日语③301数学一④933控制工程综合或941流体工热综合或942机械设计综合或951力学基础01 飞行器设计02 航空宇航推进理论与工程085233 航天工程（专业学位，工程硕士）015 宇航学院65 学制2.5年研究方向：①101思想政治理论②201英语一③301数学一④931自动控制原理综合或951力学基础01 不区分研究方向宇航学院航天工程专业介绍航天技术应用广泛，远到火星探测、登月飞行、飞机导航，近到互联网络、广播电视、移动通信、天气预报无不与它紧密相连。
今天，航天技术已经成为衡量一个国家综合国力的重要标志，是21世纪最为活跃的高科技领域之一。
本院是航天人才的摇篮，拥有雄厚的师资力量，先进的教学科研设备，为我国的航天事业培养了许多包括火箭、卫星总设计师、总指挥师在内的优秀人才。
现有教授18人，副教授32人，"神舟号"载人飞船的总设计师戚发轫院士为本院兼职博士导师。
本院现有四个博士点，五个硕士点，招收大量博士后研究人员、博士研究生、硕士研究生和留学生，经常与国外航天科研机构进行访问交流活动，为学生进一步深造提供了良好条件。
质点动力学的基本方程
,
ab = 0
式中 τ 和 n 为沿轨迹切线和主法线 的
质点动力学基本方程在 自然轴系上的投影为
n dv m = ∑ Fti d t i =1
,
m
v2
ρ
= ∑ Fni
i =1
பைடு நூலகம்
n
,
0 = ∑ Fbi
i =1
19
n
动力学
第九章
质点动力学的基本方程
应用质点运动微分方程，可以求解下面两类质点动 力学的问题: 第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） 第一类 已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） 已知质点的运动 解题步骤和要点： 解题步骤和要点： ①正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。 正确选择研究对象 ②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。 正确进行受力分析,画出受力图 ③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。 正确进行运动分析 ④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。 选择并列出适当形式的质点运动微分方程 ⑤求解未知量。 求解未知量。
d2 x n m 2 = ∑ Fxi dt i =1
,
d2 y n m 2 = ∑ Fyi dt i =1
,
n d2 z m 2 = ∑ Fzi dt i =1
18
动力学
第九章
质点动力学的基本方程
2. 质点运动微分方程在自然轴上投影 由运动学知,点的全加速度在自然轴系的的投影为
a = a tτ + a n n
15
动力学
第九章
质点动力学的基本方程
牛顿及其在力学发展中的贡献
★ 牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7种不 牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7 同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。 同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。 ★ 牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立地 发明了微积分，给出了二项式定理。 发明了微积分，给出了二项式定理。 ★ 牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自然 牛顿在力学上最重要的贡献， 科学的最重要贡献是他的巨著《自然哲学的数学原理》 科学的最重要贡献是他的巨著《自然哲学的数学原理》。 这本书出版于1687年 这本书出版于1687年，书中提出了万有引力理论并且系 统总结了前人对动力学的研究成果， 统总结了前人对动力学的研究成果，后人将这本书所总 结的经典力学系统称为牛顿力学。 结的经典力学系统称为牛顿力学。 16
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mn rn mn
)
(e)
F
令 m mi 表示质点系的总质量
i
并令： rc
mi ri
i
m
(3)
1、质心
则：
m
d2 dt
rc
2
(e)
F
我们把由（3）式定义的位置矢量 rc 的矢端处的几何点c，称
为质点系的质量中心 ，简称质心。
有关质心注意点见书P189
2、质心运动定理
y1= -2；m2=2, x2= -1, y2=1；m3=3, x3=1, y3=2，求质
心位置坐标 xC, yC.
解：据质心定义式
xC
mi xi mi
m1 x1 m2 x2 m3 x3 m1 m2 m3
1 (1) 2 (1) 3 1 0
1 2 3
例 1 设有一静止的原子核,衰变辐射出一个电子和
一个中微子后成为一个新的原子核. 已知电子和中微子
的运动方向互相垂直,且电子动量为1.210-22 kg·m·s-1,中
微子的动量为6.410-23 kg·m·s-1 . 问新的原子核的动量
的值和方向如何?
解 Fiex Fiin
yC
mi yi mi
m1 y1 m2 y2 m3 y3 m1 m2 m3
1 (2) 2 1 3 2 1
1 2 3
y
2
m3
m2 1 C
-1 0 1 x
m1 -2
§6.3 质点系的角动量定理和角动量守恒定律
一、 质点系对轴的角动量定理
由质点i 对轴的角动量定理：
m1v0 (m1 m2 )v
由此确定共同速度:
v
m1 m1 m2
v0
。
例 5、 置于冰面上长为 l 、质量为 M 的均匀分布的木板，板右端站质量也
为 M 的人（视为质点）。当人相对板以 u 向左运动，求板运动速度 v 与人运动
速度的关系。
解：该系统在水平方向所受合外力为零，则水平方向动量守恒。 取向右为正方向，
例 4 如图所示，子弹 m1 以初速 v0 水平入射到静止的木块m2 上
（地面与木块之间有摩擦），求入射后， m1, m2 的共同速度 v 。
解：以 m1, m2 为研究对象，在碰撞过程中，尽管系统受到地面 的摩擦力和弹簧弹性力的作用，但是，这些外力远小于内力，
而且作用时间很短，近似认为系统动量守恒，即，
动量。i
i
上式表明：质点系对于Z轴的角动量对时间的变化率等于
质点系所受一切外力对Z轴的力矩之和，叫做质点系对Z轴的角 动量定理。
二、质点系对轴的角动量守恒定律
若 MiZ外 0，则： LZ 恒量 i
表明：若质点系所受一切外力对Z轴的力矩之和始终为零，
则质点系对轴的角动量保持不变，叫做质点系对Z轴的角动量 守恒定律。
即：在质点动力学中，我们所研究的“质点”，其实就是物体的“质心”。 质心运动定理的局限性：仅给出质心加速度，未对质点系作全面描述。
几⑵rC 点记 说住m明关ir和系i / m注式:意：xmC：rC⑴质mi心mxiiC/rim,的m, 位yvCC置 由mm质iivy点ii ,/系mma,质CzC量分m布miai决izi /定m
三、质心运动定理
由质点系动量定理 ：
d
(e)
F
i
mivi
dt
d dt
(m1 v1
m2
v2
(e)
mn vn ) F
可写成：
d2 dt 2
(m1 r1 m2 r 2
(e)
mn rn ) F
(m1
m2
mn )
d2 dt 2
( m1r1 m2 r 2 m1 m2
动量守恒 . 例如在碰撞, 打击, 爆炸等问题中.
3）若某一方向合外力为零, 则此方向动量守恒 .
Fxex 0 , px mi vix Cx Fyex 0 , py miviy Cy Fzex 0 , pz miviz Cz
4） 动量守恒定律只在惯性参考系中成立, 是自然界最普 遍，最基本的定律之一 .
x
1 2
a2 (t )2
1 2
a2tt
1 2
v2t
0.5 1.5 0.0015 1.12103 m 1.12mm
例3 求大炮后坐速率：如图
所示，炮车质量m1，炮弹质量 m2，出膛时相对炮车速度v2 ， 方向与水平成θ角，求炮车后
y v1
m1
m2
θ v2
坐速率。
pe
p n mi vi 恒矢量
即 pei1 pν pN 0
pν
pN
pe 1.2 1022 kg m s1
pe
p 6.4 1023 kg m s1
系统动p量e 守恒pν,
即
pN
0
pν
pN
又因为
但对每个质点动量的增减是有影响的。
( p pi )
i
i
Fi ( e )
dp dt
(1)
即：质点系动量的变化是由外力引起的 ，质点系动量对时 间的变化率等于外力的矢量和——质点系动量定理
在直角坐标系中的投影式为：
i
Fix(e) d
pix
i
,
dt
i
Fiy
解：在Δt时间内，火药的爆发力使子弹 v2 a2
和枪身做匀加速直线运动，设加速度 F
a1
m1
v1
分别为a1,a2，枪身末速度为v2
m2 x
忽略手或肩的抵抗力F，枪、弹系统动
量守恒，有 m1v1 m2v2 0
v2
m1v1 m2
7.9 103 735 3.87
1.5m /
s
由匀加速直线运动位移公式，枪身后坐距离：
⑶只有外力才能改变质心运动状态，内力只能改变质点系
内各质点的运动状态
（4）质心运动守恒
由 而
(e)
F
m
dvc
dt
vc
drc dt
，若
，若
vc (t
F0)(e) 00，，即可d得rc dt
vc 恒矢量c 0，则 rc 恒矢量c
质心位置守恒
例 已知三个质点的质量和位置坐标：m1=1, x1= -1,
令：
ac
d vc dt
d2rc dt 2
则得：
mac m dv c dt
m d2rc dt 2
(e)
F
表明：质点系质量与质心加速度的乘积总是等于质点系所
受一切外力的矢量和，叫做质点系的质心运动定理。
上式和牛顿第二定律的形式一样，可知：把实际物体抽象为质点并运 用牛顿第二定律，是只考虑物体质心的运动而忽略各质点围绕质心的运动 和各质点间的相对运动。——质点模型方法的实质。
§6.1 质点系动力学的研究方法
一、质点系
由多个彼此间有相互作用的质点构成力学体系称为质 点系。
对于有若干质点组成的质点系来说，质点系以外的物体称作外界。
二、内力和外力
外力：外界对质点系内质点的作用力。 内力：质点系内诸质点间的相互作用力。
内力的特点：1）因内力成对出现，由牛顿第三定律知：
(i)
Fij F ji
pe pν
pN ( pe2 pν2 )1 2
代入数据计算得 pN 1.36 10 22 kg m s1
arctan pe 61.9
pν
例2 枪身后坐距离：如图所示，子弹在枪膛内做匀
加速运动的时间Δt = 0.0015s，子弹的质量 m1=7.9×10 –3 kg，枪的质量m2=3.87kg，子弹出膛相对地的速度 v1=735m/s，求子弹出膛时，枪身后坐距离。
一、质点系的动量定理 设质点系有n个质点组成。由质点的动量定理
对于第i 个质点： d pi F i
F (e)
i
(i)
Fi
dpi dt
,
i
dt
F (e)
i
(i)
Fi
d
i
pi dp
dt dt
因为内力成对出现
(i)
Fi 0
i
这说明内力对系统的总动量无贡献，
p＝i 恒矢量。
i
i
即：在一定的时间间隔内，若质点系所受外力矢量和为零， 则在该段时间内动量守恒。
注：动量守恒定律成立的近似条件：一定过程中，内力远 大于外力，可近似认为动量守恒。
2. 若质点系所受外力的矢量和并不为零，但外力在某个
方向上的分力之和为零，如： Fix(e) 0，则：质点系动量相应
仅取决于两质点间相对位置的改变。
注：内力功的推论：
①若二质点间的距离不变( dr =0 )，则它们之间的
内力功为零。 ②刚体的内力功为零。
例 1、 如图所示，火车以速度 v 相对
地面行驶，车上一物块相对火车以速度
u 向前滑行 x 后停止，此时，火车运行 了距离 x 。计算物块与火车底部之间一
对摩擦力所做的功之和。
(e)
d
piy
i
dt
,
i
Fiz
(e)
d
piz
i