湖南师范大学基础知识高等数学复习资料题
湖南师范大学基础高等数学复习题
湖南师范大学基础高等数学 期末复习题一、填空题1、若)(x f 的定义域为)0,(-∞,则)(ln x f 的定义域为 ；2、=⎰→320sin lim xdt t xx ;3、⎰+∞=121dx x ； 4、若)(,)(x f c xe dx x f x 则+=⎰= ； 5、函数32)(2-+=x x x f 在[]2,1-上满足拉格朗日中值定理的ξ= ; 6、曲线26322-+=x x y 在点(3,1)处的切线的斜率=k . 7、若f x x x ()()112=+ 则)(x f = ;8、设)2)(1()(++=x x x x f ,则 =-')1(f ; 9、设)(),(cos u f x f y =可导,则=dy ; 10、若)(,)(x f c e dx x f x 则+=⎰= ；11、⎰=I '=I xx tdt x 2)(,sin )(则 ;12、在[]π2,0上曲线x y sin =与x 轴所围成的图形的面积为 . 13、设xey sin =，求22dxyd .14、设⎩⎨⎧>≤+=0,sin ;0,)(2x ax x b e x f x 在0=x 处可导, 则=a ;=b ;15、已知xe -是)(xf 的一个原函数,则='⎰dx x f x )( .16、⎰-=+11)arcsin (dx x x ；17、函数x x y -+=1的极大值为 ；. 18、若2'0()sin(),()x d f t dt x f x dx==⎰则 .二、单选题（在每小题的备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确答案的题号填入题干的括号内,多选不给分.）.1、=∞→xx x πsin lim （ ）① 1 ② π ③不存在 ④ 02、设函数x x f =)(，则)(x f 在点0=x 处 （ ） ①可导 ②不连续③连续，但不可导 ④可微3、当0→x 时，下列函数为无穷小量的是 （ ） ①x xsin ②x x 1sin 2 ③)1ln(1+x x ④x11+4、设函数)(x f 在0x 处具有二阶导数，且0)(0='x f ，0)(0<''x f ，则)(0x f 为① 最小值 ②极小值 ③最大值 ④极大值5、设x sin 是)(x f 的一个原函数，则⎰=dx x f )( （ ）①C x +sin ② C x +cos③C x x ++cos sin ④C x x +sin 6、dx x x e⎰+1)ln 1(1= ( )① 12ln + ②C +2ln ③2 ④2ln7、设,sin 2x y = 则=dy （ ） ① x x cos sin 2 ② xdx cos 2 ③ xdx sin 2 ④xdx 2sin8、点0=x 是函数⎩⎨⎧≥-<=0,10,)(x e x x x f x 的 （ ）①连续点 ②可去间断点③第二类间断点 ④第一类间断点，但不是可去间断点 9、=→xxx 3sin lim0 （ ）①1 ② 2 ③ 3 ④ ∞ 10、dx xx e ⎰+1ln 11= ( )① 22 ②12- ③12+ ④)12(2-11、设x cos 是)(x f 的一个原函数，则⎰=dx x f )( （ ）①C x +sin ② C x +cos ③C x x ++cos sin ④C x x +sin12、=+⎰ex x dx1)ln 21( ( )①3ln ②3ln 21 ③2ln ④ 2ln 2113、曲线26322-+=x x y 在点(3,1)处的切线的斜率=k ( )①3 ②1 ③15 ④ 014、设21,1,()31,1x x f x x x ⎧+<=⎨-≥⎩，则f (x )在x =1处 ………………………………( )①既可导又连续 ②可导但不连续 ③不连续也不可导 ④连续但不可导 15、设'0000(2)()()limh f x h f x f x h→+-=存在，则 ………………………..….. ( )①'0()f x ②'0()f x h - ③'02()f x h - ④'02()f x 16、下列函数中，为)(222x x e e y --=的原函数的是………………………….( )① x x e e 22-- ②)(2122x x e e -- ③x x e e 22-+ ④)(2122x x e e -+三、计算题1、设,ln 21,12t t y t t x +=-=。
湖南师范大学高等数学 2.9导数的应用
(3)由f ( x) 的符号确定函数在各部分区间的单调性。
例3 确定函数 f (x) = 2x3 – 9x2 + 12x – 3 的单调区间.
解： f ′(x) = 6x2 – 18x + 12 = 6(x – 1) (x – 2)
令 f ′(x) = 0，
x (–∞,1)
得 x = 1，x = 2，
定义1设函数 y f ( x) 在区间I 上连续，如果对I
上任意两点 x1 , x 2 ,恒有
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( )< 2 2 则称 f ( x)在 I上的图形是
y
f ( x1 ) f ( x2 ) 2
x x f( 1 2) 2
(向上)凹的(或凹弧);
(0,1) ,使 f ( ) 0 , 即 为上方程的根。
唯一性
4 因为 f ( x) 5x 1 > 0, , x (1,0)
故 f ( x) 在 [1,0] 上单调增加，因此曲线 y f ( x)
与 x 轴最多有一个交点，即 y f ( x) 在 (1,0) 内 从而所给方程在 (1,0)内最多 最多有一个零点， 有一个根. 综上所述 , 所给方程在区间 (1,0) 内有且只有 一个根.
3
y
,
( x 0)
0
y 3 x2
当x 0时, 导数不存在.
x
当 < x < 0时，f ( x ) < 0, 在( ,0]上单调减少； 当0 < x < 时， f ( x ) > 0, 在[0,)上单调增加；
单调区间为 ( ,0]， [0, ).
湖南师范大学基础高等数学复习题
湖南师范大学基础高等数学 期末复习题一、填空题1、若)(x f 的定义域为)0,(-∞,则)(ln x f 的定义域为 ；2、=⎰→320sin limxdt t xx ;3、⎰+∞=121dx x ； 4、若)(,)(x f c xe dx x f x 则+=⎰= ； 5、函数32)(2-+=x x x f 在[]2,1-上满足拉格朗日中值定理的ξ= ; 6、曲线26322-+=x x y 在点(3,1)处的切线的斜率=k . 7、若f x x x ()()112=+ 则)(x f = ;8、设)2)(1()(++=x x x x f ,则 =-')1(f ; 9、设)(),(cos u f x f y =可导,则=dy ; 10、若)(,)(x f c e dx x f x 则+=⎰= ；11、⎰=I '=I xx tdt x 2)(,sin )(则 ;12、在[]π2,0上曲线x y sin =与x 轴所围成的图形的面积为 . 13、设xey sin =，求22dxyd .14、设⎩⎨⎧>≤+=0,sin ;0,)(2x ax x b e x f x 在0=x 处可导, 则=a ;=b ;15、已知xe -是)(xf 的一个原函数,则='⎰dx x f x )( .16、⎰-=+11)arcsin (dx x x ；17、函数x x y -+=1的极大值为 ；. 18、若2'()sin(),()x d f t dt x f x dx ==⎰则 .二、单选题（在每小题的备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确答案的题号填入题干的括号内,多选不给分.）.1、=∞→xx x πsin lim （ ）① 1 ② π ③不存在 ④ 02、设函数x x f =)(，则)(x f 在点0=x 处 （ ） ①可导 ②不连续③连续，但不可导 ④可微3、当0→x 时，下列函数为无穷小量的是 （ ） ①x x sin ②x x 1sin 2 ③)1ln(1+x x ④x11+4、设函数)(x f 在0x 处具有二阶导数，且0)(0='x f ，0)(0<''x f ，则)(0x f 为① 最小值 ②极小值 ③最大值 ④极大值5、设x sin 是)(x f 的一个原函数，则⎰=dx x f )( （ ）①C x +sin ② C x +cos③C x x ++cos sin ④C x x +sin 6、dx x x e⎰+1)ln 1(1= ( )① 12ln + ②C +2ln ③2 ④2ln7、设,sin 2x y = 则=dy （ ） ① x x cos sin 2 ② xdx cos 2 ③ xdx sin 2 ④xdx 2sin8、点0=x 是函数⎩⎨⎧≥-<=0,10,)(x e x x x f x 的 （ ）①连续点 ②可去间断点③第二类间断点 ④第一类间断点，但不是可去间断点 9、=→xxx 3sin lim0 （ ）①1 ② 2 ③ 3 ④ ∞10、dx xx e⎰+1ln 11= ( )① 22 ②12- ③12+ ④)12(2-11、设x cos 是)(x f 的一个原函数，则⎰=dx x f )( （ ）①C x +sin ② C x +cos ③C x x ++cos sin ④C x x +sin12、=+⎰ex x dx1)ln 21( ( )①3ln ②3ln 21 ③2ln ④ 2ln 2113、曲线26322-+=x x y 在点(3,1)处的切线的斜率=k ( )①3 ②1 ③15 ④ 014、设21,1,()31,1x x f x x x ⎧+<=⎨-≥⎩，则f (x )在x =1处 ………………………………( )①既可导又连续 ②可导但不连续 ③不连续也不可导 ④连续但不可导 15、设'0000(2)()()limh f x h f x f x h→+-=存在，则 ………………………..….. ( )①'0()f x ②'0()f x h - ③'02()f x h - ④'02()f x16、下列函数中，为)(222x x e e y --=的原函数的是………………………….( )① x x e e 22-- ②)(2122x x e e -- ③x x e e 22-+ ④)(2122x x e e -+三、计算题1、设,ln 21,12t t y t t x +=-=。
高数第一章复习资料
⾼数第⼀章复习资料第⼀章预备知识⼀、定义域1.已知得定义域为,求得定义域。
答案:2.求得连续区间。
提⽰:任何初等函数在定义域范围内都就是连续得。
答案:⼆、判断两个函数就是否相同？1., 就是否表⽰同⼀函数？答案:否2.下列各题中, 与就是否相同？答案:都不相同三、奇偶性1.判断得奇偶性。
答案:奇函数四、有界性,使,则在上有界。
有界函数既有上界,⼜有下界。
1.在内就是否有界？答案:⽆界2.就是否有界？答案:有界,因为五、周期性1.下列哪个不就是周期函数(C)。
A. B. C. D.注意: 就是周期函数,但它没有最⼩正周期。
六、复合函数1.已知,求例:已知,求解1:解2:令, , ,2.设,求提⽰:3.设,求提⽰:先求出4.设,求提⽰:七、函数图形熟记得函数图形。
第⼆章极限与连续⼋、重要概念1.收敛数列必有界。
2.有界数列不⼀定收敛。
3.⽆界数列必发散。
4.单调有界数列极限⼀定存在。
5.极限存在得充要条件就是左、右极限存在并且相等。
九、⽆穷⼩得⽐较1.时,下列哪个与就是等价⽆穷⼩(A)。
A. B. C. D.⼗、求极限1.⽆穷⼩与有界量得乘积仍就是⽆穷⼩。
, , , ,2.⾃变量趋于⽆穷⼤,分⼦、分母为多项式例如: 提⽰:分⼦、分母同除未知量得最⾼次幂。
3.出现根号,⾸先想到有理化补充练习:(1) (2)(3) (4)(5)4.出现三⾓函数、反三⾓函数,⾸先想到第⼀个重要极限例:作业:P49 7 (1)~(3)5.出现指数函数、对数函数、幂指函数,⾸先想到第⼆个重要极限例:作业:P49 7 (4)~(6)6.、、、、、、,可以使⽤洛必达法则作业:P99 5 (1)~(8)7.分⼦或分母出现变上限函数提⽰:洛必达法则+变上限函数得导数等于被积函数例:补充练习:(1) (2)(3) (4)⼗⼀、连续与间断任何初等函数在其定义域范围内都就是连续得。
分段函数可能得间断点就是区间得分界点。
若,则在处连续,否则间断。
大学高等数学知识点及例题复习整理
经济数学复习考试范围：教材1－5章第一章： 函数、极限与连续1．主要内容：（1） 函数的定义域（2） 函数的简单特性：有界性、单调性、周期性和奇偶性． （3） 复合函数及分段函数（4） 极限、左极限与右极限、极限的性质及四则运算法则 （5） 极限存在的两个准则、利用两个重要极限求极限的方法 （6） 无穷小、无穷大，无穷小的比较，用等价无穷小求极限（7） 函数连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型（8） 闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最值定理、零点定理与介值定理） 注意：用函数与数列的极限定义来证明极限存在、双曲函数、映射不做要求。
2．重点：求极限 3．典型例题与习题（1）§1-1 T1-10，12，13，15-17 （2）§1-2 T6（3）§1-3 例题3-9 习题1-4 （4）§1-4 例题4-7 习题1-4 （5）§1-5 例题2-8 习题1-4 （6）§1-6 例题3-9 习题1-6 （7）§1-7 例题1-7 习题1-7 （8）§1-8 例题1-7 习题2-5（9）综合练习一：1-64．典型方法（1）求定义域的方法：①若12()()y f x f x =±或12()()y f x f x =，则12f f f D D D =⋂ ②若12()()f x y f x =，则122{|()0}f f f D D D x f x =⋂-= ③若1122(),(),f x x D y f x x D ∈⎧=⎨∈⎩，则12f D D D =⋃④若()f x 定义域为a x b <<，则(())f x ϕ定义域由()a x b ϕ<<解出例1求22ln(1),2x y x x -<<=-≥⎪⎩定义域【解】(2,2)[2.)(2,)f D =-⋃+∞=-+∞ 例2求ln(1)y x =-定义域 【解】[3,3](1.)(1,3]f D =-⋂+∞=例3求y =【解】(1,2)(2,3]f D =⋃例4 设()f x 定义域为(0,1)，求()f x a +定义域 【解】由01x a <+<得， 1a x a -<<- 例5 求1ln lg y x=定义域 【解】0lg 0ln lg 0x x x >⎧⎪>⎨⎪≠⎩ 01lg 1x x x >⎧⎪⇒>⎨⎪≠⎩ 0110x x x >⎧⎪⇒>⎨⎪≠⎩，故(1,10)(10,)f D =⋃+∞例6 设()f x 定义域为(1,4)，求2()f x 定义域【解】由214x <<得， 21x -<<-或12x <<，故2()f x 定义域为(2,1)(1,2)--⋃2.求函数极限方法：利用极限的定义、极限的四则运算法则、函数式的恒等变形、两个重要极限、无穷小量及等价无穷小代换定理、函数连续性与L ’Hospital 法则例1 求下列极限（1）22sin(2)23lim[]41x x x x x →-++--； （2）0x → （3）3x → （4）10515(51)(12)lim (31)x x x x →∞+-- （5）10sin lim(1)2xx x →-； （6）11lim()1ln x x x x →+-3.证明函数连续方法：利用连续的定义、连续的四则运算法则和复合函数连续性、可导的必要条件例1 设,0(),0x e x f x x k x ⎧≤=⎨+>⎩连续，求常数k 之值。
湖南师范大学2017 604 高等数学 071400
湖南师范大学2017年硕士研究生入学考试初试自命题科目试题册业务课代码: 604业务课名称: 高等数学满分：150分 考试时间：3小时高等数学部分(共100分)一、简答题（1-5小题，每小题6分，共30分）1、求函数()2ln 2y x x =--的定义域； 2、已知()0ln 1sin lim 21x x f x x e →⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-，求()20lim x f x x →； 3、设()()()()122017f x x x x x =---,求()'0f 的值； 4、求直线12:236x y z l --==与平面:210x y z π-+-=的交点坐标； 5、求级数()121nn n n x n ∞=-∑的收敛半径。
二、计算题（6-12小题，每小题10分，共70分）6、求定积分0π⎰；7、设()2sin ,00,0x x xu du x f x u x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰，求()''0f ； 8、设曲线y =x 轴所围成的平面图形绕x 旋转一周所得的立体体积；9、设()2,x z f x y g xy y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其中f 二阶可导，(),g u v 具有二阶连续偏导数，求2z x y∂∂∂； 10、求(0ydx x dy -=的通解，其中0y >； 11、计算xdv Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由三个坐标面和平面1x y z ++=所围成的立体区域； 12、计算()22y L e dx x y dy ++⎰，其中L 为椭圆2248x y x +=，L 取逆时针方向。
线性代数部分(共50分)计算与证明题（1-4题每小题5分，5-7题每小题10分，共50分）1、已知12343344615671122D ==-，求4142A A +与4344A A +；2、设A,B 为三阶矩阵,且13,2,2A B A B -==+=,求1A B -+;3、设矩阵A 满足223A A E O +-=，求()14A E -+； 4、设矩阵20010022,02031100A x B y --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若A 与B 相似，求,x y 的值； 5、问λ取何值时，方程组1231231232124551x x x x x x x x x λλ+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=-⎩；（1）无解 （2）有唯一解 （3）有无穷解6、设矩阵15310a c A b c a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，1A =-，又A *有一个特征值0λ，属于0λ的一个特征向量为()1,1,1Tα=--，求0,,,a b c λ的值；7、设A 是n 阶正定矩阵，证明：1A E +>.。
高等数学期末复习题库
高等数学期末复习题库一、选择题1. 函数f(x)=x^2+3x-2在区间[-5, 4]上的最大值是：A. 0B. 2C. 10D. 162. 曲线y=x^3-6x^2+9x+1在点(2,5)处的切线斜率是：A. 1B. -1C. 3D. -33. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 14. 幂级数Σ(n=1 to ∞) x^n/n 收敛的区间是：A. (-1, 1)B. (-∞, ∞)C. [1, ∞)D. [0, 1]5. 函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期是：A. πB. 2πC. π/2D. π/4二、填空题6. 函数f(x)=x^3-2x^2+x-3在x=______处取得极小值。
7. 若f(x)=e^x，g(x)=ln(x)，则f(g(x))=______。
8. 函数y=x^2-4x+3的图像与x轴的交点坐标是(1, 0)和(______, 0)。
9. 若定积分∫(a,b) f(x) dx = 5，且a=1，f(x)=x^2，则b=______。
10. 利用泰勒公式展开e^x在x=0处的前三项是______。
三、解答题11. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间[1, 3]上的最大值和最小值。
12. 证明：对于任意的正整数n，有1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... +1/n^2 < 2。
13. 解微分方程dy/dx + 2y = x^2，初始条件为y(0)=1。
14. 求定积分∫(0,π/2) sin(x) dx。
15. 利用傅里叶级数展开函数f(x)=x^2在区间[-π, π]上的周期延拓。
四、证明题16. 证明函数f(x)=x^3在R上是严格递增的。
17. 证明定积分∫(0,1) x ln(x) dx = -1/4。
18. 证明级数Σ(n=1 to ∞) (1/n^2)是收敛的。
五、应用题19. 一个物体从静止开始，以初速度为0，加速度为常数a=2m/s^2，求物体在t=3秒时的位置。
高等数学入学考试复习资料(1)(1)
高等数学入学考试复习资料判断题1. 数列n y 满足2(0)n y c c ∆=≠，则其通项可用关于n 的二次多项式表达。
( )√2. 数列{}n x 收敛的充分必要条件是数列{}n x 收敛．( )×3. 如果lim n n x a →∞=，则11lim lim lim 1n n n n n n x xx x n ++→∞→∞→∞==．( )× 4. 若()f x 在点0x 连续，则存在0x 的某个邻域()0,U x δ使()f x 在该邻域内连续．( )×5. 存在在其定义域内不连续的初等函数．( )√6. 若函数()f x 在0x 处连续，则()f x 不一定在0x 处可导．( )√7. 若函数()f x 在0x 处可导，则()f x 一定在0x 处连续．( )√8. 若可导函数()f x 当x a >时，有()0f x '>，则当x a >时，一定有()0f x >．( × )9. 连续函数一定有原函数. ( √ )10. 如果()()f x g x ''>，则()()f x g x >．( × )11. 若()f x 在点0x 不可导，则曲线()y f x =在()()00,x f x 处不存在切线．( × )12. 初等函数在其定义区间内必连续．( √ )13. 不连续函数可能存在原函数. ( √ )14. 初等函数的定义域是其自然定义域的子集. ( √ )15. 初等函数的定义域是其自然定义域的真子集. ( × ) 16. sin lim1x x x→∞=. ( × ) 17. 22lim 33x x x →∞-=-+. ( × ) 18. 对于任意实数x , 恒有sin x x ≤成立. ( × )19. 0x y =是指数函数. ( × )20. 函数()log 01a y x a = <<的定义域是()0, +∞. ( × )21. 23log 3log 21⋅=. ( √ )22. 如果对于任意实数x R ∈, 恒有()0f x '=, 那么()y f x =为常函数. ( √ )23. 存在既为等差数列, 又为等比数列的数列. ( √ )24. 指数函数是基本初等函数. ( √ ) 25.00x →=. ( √ ) 26. 函数3234y x x =++为基本初等函数. ( √ ) 27. 111a a x dx x C a +=++⎰. ( × ) 28. ()arcsin x π+是基本初等函数. ( × )29. sin x 与x 是等价无穷小量. ( × )30. 1x e -与x 为等价无穷小量. ( × )31. 若函数()f x 在区间[],a b 上单调递增, 那么对于任意[],x a b ∈ , 恒有()0f x '>. ( × )32. 存在既为奇函数又为偶函数的函数. ( × )33. 当奇函数()f x 在原点处有定义时, 一定成立()00f =. ( √ )34. 若偶函数()[]()1,1y f x x = ∈- 连续, 那么函数()()()1,1y f x x '= ∈- 为奇函数. ( √ )35. 若奇函数()[]()1,1y f x x =∈- 连续, 那么函数()()()1,1y f x x '= ∈- 为偶函数. ( √ )高等数学入学考试复习资料判断题1. 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度v=与∆t 有关. ( × )2. 连续函数在连续点都有切线. ( × )3. 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( × )4. 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( × )5. 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切线与x 轴垂直. ( √ )6. 周期函数的导数仍是周期函数. ( √ )7. 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( √ )8. 若对任意x ∈(a, b),都有f '(x)=0,则在(a, b)内f(x)恒为常数. ( × )9. 设f(x)=lnx. 因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( × )10. ( × )11. 已知y=3x 3+3x 2+x+1, 求x=2时的二阶导数: y '=9x 2+6x+1, y '|x=2=49. 所以y"=(y ')'=(49)'=0.( × )12. 若对ε∀>0，函数f 在[εε-+b a ,]上连续，则f 在开区间(b a ,)内连续； ( √ )13. 初等函数在有定义的点是可导的； ( × )14. ϕψ=f ，若函数ϕ在点0x 可导，ψ在点0x 不可导，则函数f 在点0x 必不可导; ( × )15. 设函数f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间(b a ,)内可导，但)()(b f x f ≠，则对),(b a x ∈∀，有0)('≠x f ； ( × )16. 设{}{}n n y x ,为两个数列，若n n x y > ( 2 1、、=n )则lim lim n n n n x y →∞→∞> ；( × ) 17. 若函数)(x f 以A 为极限，则)(x f 可表为)1()(o A x f += ； ( √ )18. 设)(x f 定义于[b a ,]上，若)(x f 取遍)(a f 与)(b f 之间的任意值，则)(x f 比在[b a ,]上连续； ( × )19. 若)(x f 在[)+∞,a 连续，且)(lim x f x +∞→存在，则)(x f 在[)+∞,a 有界;( × ) 20. 若)(x f y =的导数)('x f 在[b a ,]上连续，则必存在常数L,使2121)()(x x L x f x f -≤- ，[]b a x x , , 21∈∀ ； ( √ )21. 当0→x 时，()()() (m>n 0)m n m n o x o x o x ++=> ； ( × ) 22. 0n 0n n n a a →→∞⇔→→∞（）（）； ( √ )23. 若)(x f 和)(x g 在0x 点都不可导，则)()(x g x f +在0x 点也不可导;( √)24. )(x f 为Ⅰ上凸函数的充要条件为，对Ⅰ上任意三点123x x x <<有：13131212)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤-- ( √ ) 25. 若)(x f 在0x 二阶可导，则(()00,x f x )为曲线)(x f y =的拐点的充要条件为0)(0''=x f ； ( √ )26. 若S 为无上界的数集，则存在一个递增数列{}S x n ⊂,使得 , ()n x n →∞→∞.( √ )27. 若0lim =∞→n n a ，则∞=∞→nn a 1lim ； ( √ ) 28. 有限开区间(b a ,)内一致连续的函数)(x f 必在开区间内有界；( √ )29.设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，若存在数A ，使)()()(00x o x A x f x x f y ∆+∆=-∆+=∆，(0→∆x )，则)(x f 在点0x 可导且)(0'x f A = ； ( √ )30. ψϕ+=f ，若函数f 在点0X 可导，则函数ϕ和ψ都在点0X 可导；( × )31. 设函数f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间(b a ,)内可导，若对),(b a x ∈∀， 0)('≠x f ，则必有)()(b f x f ≠； ( √ )32. 若)(x f 在点0x 处的左、右极限都存在，则)(x f 在点0x 的极限存在。
大一高数下册知识点加题库
大一高数下册知识点加题库一、高数下册知识点1. 三角函数三角函数是数学中重要的概念之一，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
在高数下册中，我们会学习三角函数的性质、图像、周期性等基本知识，以及三角函数的应用。
2. 导数与微分导数和微分是微积分中的重要概念。
在高数下册中，我们将学习导数的定义和性质，包括常用函数的导数、导数的运算法则等。
同时还会学习微分的概念和应用，比如泰勒展开式、极值问题等。
3. 不定积分不定积分也是微积分的重要内容之一。
在高数下册中，我们将学习不定积分的定义和性质，掌握常见函数的不定积分法则，以及利用不定积分解决实际问题的方法。
4. 定积分与曲线的长度、曲线的面积定积分是微积分中的另一个重要概念。
在高数下册中，我们将学习定积分的定义和性质，以及定积分的应用，比如计算曲线的长度、曲线下的面积等。
5. 偏导数与多元函数的微分偏导数是多元函数求导的一种形式。
在高数下册中，我们将学习偏导数的定义和性质，掌握求解多元函数偏导数的方法，以及多元函数的微分和泰勒展开式的应用。
二、高数下册题库为了帮助大家更好地复习和巩固高数下册的知识，下面提供一些高数下册的题库，供大家练习：1. 三角函数题目：a) 求解三角方程sin(x)=0的所有解。
b) 计算sin(π/6)的值。
c) 求解cos(x)=1的所有解。
2. 导数与微分题目：a) 计算函数f(x)=3x^2+2x-1的导数。
b) 求函数f(x)=x^3的微分。
c) 计算函数f(x)=e^x的二阶导数。
3. 不定积分题目：a) 计算∫(2x+1)dx。
b) 计算∫sin(x)dx。
c) 求解定积分∫(x^2+3x-5)dx。
4. 定积分与曲线的长度、曲线的面积题目：a) 计算曲线y=x^2在区间[0,1]上的长度。
b) 计算曲线y=x^2在区间[0,1]上与x轴之间的面积。
c) 计算曲线y=2x在区间[0,1]上的长度。
5. 偏导数与多元函数的微分题目：a) 计算函数f(x,y)=x^2+2xy+y^2的偏导数。
高等数学知识点总结
D. sin 2 +
2
2
−1
A. ∫1
B. ∫−2
2
C. ∫1
D. ∫3 cos
6
三、填空题
1.两个函数相同的充分必要条件是它们的定义域和对应法则均相同。
2.函数() = √16 − 2 +
3.函数() =
1
的定义域是___
−3
√+3
3
27.曲线 = 1 − ln ，直线 = 1、直线 = 3所围成的图形面积为∫1 (1 − ln ) 。
1
2
1
1
28.∫−1 −3 = − 。
3
29.∫−1 2 = 2 ∫0 2 。
五、计算题
1．lim
→1
2．lim
→0
2 −2+1
2 −1
−1−
的。
7.如果函数()在区间(, )内随着增大而增大，即：对于(, )内任意两点1 及2 ，当1 <
2 时，有(1 ) < (2)，则称函数()在区间(, )内是
的。
2 √ , − 1 ≤ < 2
8.已知() = { 0,
= 2 ，其定义域是___。
3．求函数() = 3 − 6 2 + 9 − 2的极值。
4．求函数() = 2 3 − 9 2 + 12 − 3的极值。
5．验证函数() = 2 − 2 − 3在区间[-1, 3]上满足罗尔定理的条件，并求出条件中的数值
。
,
=0
A. 0
B. 1
C.
1
3
D. 3
9.若lim () = ，且()在 = 处无定义，则点 = 必是()的( )
高等数学复习题(含答案)
高等数学复习题与答案解析一、 一元函数微积分概要 （一）函数、极限与连续1.求下列函数的定义域: (1) y =216x -+x sin ln ，(2) y =)12arcsin(312-+-xx .解 (1) 由所给函数知,要使函数y 有定义，必须满足两种情况，偶次根式的被开方式大于等于零或对数函数符号内的式子为正，可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即⎩⎨⎧>≥-,0sin ,0162x x 推得⎩⎨⎧⋅⋅⋅±±=+<<≤≤-2,1,0π)12(π244n n x n x 这两个不等式的公共解为 π4-<≤-x 与π0<<x所以函数的定义域为)π,4[-- )π,0(.(2) 由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负；反正弦函数符号内的式子绝对值小于等于1.可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-≠-,112,03,032xx x 推得⎩⎨⎧≤≤<<-,40,33x x 即 30<≤x , 因此，所给函数的定义域为 )3,0[.2.设)(x f 的定义域为)1,0(，求)(tan x f 的定义域. 解：令x u tan =, 则)(u f 的定义域为)1,0(∈u∴)1,0(tan ∈x , ∴x ∈（k π, k π+4π）, k ∈Z ,∴ )(tan x f 的定义域为 x ∈（k π, k π+4π）, k ∈Z .3.设)(x f =x-11，求)]([x f f ，{})]([x f f f .解：)]([x f f =)(11x f -=x--1111=x 11- (x ≠1,0),{})]([x f f f =)]([11x f f -=)11(11x--= x (x ≠0,1).4.求下列极限：（1）123lim 21-+-→x x x x , （2）652134lim 2434-++-∞→x x x x x ,解：原式=1)1)(2(lim 1---→x x x x 解: 原式=424652134limxx x x x -++-∞→ =)2(lim 1-→x x =2.（抓大头）= 1-.（恒等变换之后“能代就代”）（3）xx x -+-→222lim 2, （4）330sin tan lim x x x →,解：原式=)22)(2()22)(22(lim2++-+++-→x x x x x 解：0→x 时33~tan x x ,=221lim2++→x x 33~sin x x ,=41. （恒等变换之后“能代就代”） ∴原式=330lim x x x →=1lim 0→x =1.（等价）（5）)100sin (lim +∞→x x x , （6） 2121lim()11x x x→--- ，解：原式=100lim sin lim∞→∞→+x x x x解： 原式=2211212(1)lim()lim 111x x x x x x→→-+-=--- =0 + 100= 100 （无穷小的性质） 11(1)11limlim (1)(1)12x x x x x x →→-===-++．(7)215lim+-+∞→x x x ．解 : 原式=52115lim=+-+∞→xx x ．（抓大头） （8）11lim 21-+→x x x .解：因为0)1(lim 1=-→x x 而0)1(lim 21≠+→x x ，求该式的极限需用无穷小与无穷大关系定理解决．因为011lim 21=+-→x x x ，所以当1→x 时，112+-x x 是无穷小量，因而它的倒数是无穷大量，即 ∞=-+→11lim21x x x ． （9）limx解：不能直接运用极限运算法则，因为当x →+∞时分子，极限不存在，但sin x 是有界函数，即sin 1x ≤而 0111lim1lim33=+=++∞→+∞→x x xx x x ，因此当+∞→x 时，31xx +为无穷小量.根据有界函数与无穷小乘积仍为无穷小定理，即得l i 0x =. （10）203cos cos limxxx x -→ ． 解：分子先用和差化积公式变形，然后再用重要极限公式求极限原式=202sin sin 2limx x x x →=441)22sin 4(lim sin lim 0=⨯=⋅⋅∞→→x x x x x x ．（也可用洛必达法则） （11）xx x)11(lim 2-∞→.解一 原式=10])11[(lim )11(lim )11()11(lim --∞→→∞→-⋅+=-+x x x x x x x xx x x =1ee 1=-，解二 原式=)1()(2])11[(lim 2x x x x--∞→-=1e 0=． （12）30tan sin limx x xx→-． 解 ：x x x x 30sin sin tan lim -→=xx x x x cos )cos 1(sin lim 30-→ =2202sin 2limx x x → =21 （ 222~2sin ,0⎪⎭⎫⎝⎛→x x x ） ．（等价替换） 5.求下列极限（1）201cot limxx x x -→ （2）)e e ln()3ln(cos lim 33--+→x x x x （3）)]1ln(11[lim 20x x x x +-→ （4）)ln (lim 0x x n x ⋅+→ （5） xxx cos 1lim++∞→解 ：（1）由于0→x 时，1tan cot →=x x x x ，故原极限为0型，用洛必达法则 所以 xx xx x x x x x x sin sin cos lim 1cot lim 2020-=-→→30sin cos limx xx x x -=→ （分母等价无穷小代换）01sin lim 3x x x→-=31-=.（2） 此极限为∞∞，可直接应用洛必达法则 所以 )e e ln()3ln(cos lim 33--+→x x x x =)e e ln()3ln(lim cos lim 333--⋅++→→x x x x x x x e lim 3cos e133+→⋅⋅=3cos = . （3） 所求极限为∞-∞型 ，不能直接用洛必达法则，通分后可变成00或∞∞型.)]1ln(11[lim 20x x x x +-→xx xx x x x 2111lim )1ln(lim 020+-=+-=→→ 21)1(21lim )1(211lim00=+=+-+=→→x x x x x x .（4）所求极限为∞⋅0型，得nx nx xx x x 10ln lim ln lim -→→++=⋅ （∞∞型） =1111lim --→-+n x x nx =.01lim lim 0110=-=-++→+→nxn xnx x nx （5）此极限为 ∞∞型，用洛必达法则，得 1sin 1limcos lim xx x x x x -=++∞→+∞→不存在，因此洛必达法则失效！ 但 101c o s 1lim 11cos 11lim cos lim =+=+=+=++∞→+∞→+∞→x xxx x x x x x x . 6.求下列函数的极限：（1）42lim 22--→x x x ， （2）()⎪⎩⎪⎨⎧++=,1,1sin 2xa x x x f ,0,0><x x 当a 为何值时，)(x f 在0=x 的极限存在. 解： (1)41)2)(2(2lim 42lim 222-=+--=----→→x x x x x x x ,41)2)(2(2lim 42lim 222=+--=--++→→x x x x x x x ,因为左极限不等于右极限，所以极限不存在．（2）由于函数在分段点0=x 处，两边的表达式不同，因此一般要考虑在分段点0=x 处的左极限与右极限．于是，有a a x x a x x x f x x x x =+=+=----→→→→000lim )1sin (lim )1sin(lim )(lim ，1)1(lim )(lim 2=+=++→→x x f x x ，为使)(lim 0x f x →存在，必须有)(lim 0x f x +→=)(lim 0x f x -→，因此 ，当a =1 时， )(lim 0x f x →存在且 )(lim 0x f x →=1．7.讨论函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=,1sin ,)(x x xx f0>≤x x ， 在点0=x 处的连续性．解：由于函数在分段点0=x 处两边的表达式不同，因此，一般要考虑在分段点0=x 处的左极限与右极限． 因而有01sinlim )(lim ,0lim )(lim 0====++--→→→→xx x f x x f x x x x ， 而,0)0(=f 即0)0()(lim )(lim 00===+-→→f x f x f x x ，由函数在一点连续的充要条件知)(x f 在0=x 处连续．8. 求函数xx x x f )1(1)(2--=的间断点，并判断其类型：解：由初等函数在其定义区间上连续知)(x f 的间断点为1,0==x x .21lim)(lim 11=+=→→xx x f x x 而)(x f 在1=x 处无定义，故1=x 为其可去间断点.又∞=+=→x x x f x 1lim )(0 ∴0=x 为)(x f 的无穷间断点.综上得1=x 为)(x f 的可去间断点, 0=x 为)(x f 的无穷间断点.（二）一元函数微分学1.判断：（1）若曲线y =)(x f 处处有切线，则y =)(x f 必处处可导. 答：命题错误. 如：x y 22=处处有切线，但在0=x 处不可导. （2）若A ax a f x f ax =--→)()(lim（A 为常数），试判断下列命题是否正确.①)(x f 在点a x = 处可导, ②)(x f 在点a x = 处连续, ③)()(a f x f -= )()(a x o a x A -+-. 答：命题①、②、③全正确.(3)若)(x f ，)(x g 在点0x 处都不可导，则)()(x g x f +点0x 处也一定不可导. 答：命题不成立.如：)(x f =⎩⎨⎧>≤,0,,0,0x x x )(x g =⎩⎨⎧>≤,0,0,0,x x x)(x f ，)(x g 在x = 0 处均不可导，但其和函数)(x f +)(x g = x 在x = 0 处可导.（4）若)(x f 在点0x 处可导，)(x g 在点0x 处不可导，则)(x f +)(x g 在点0x 处一定不可导. 答：命题成立.原因：若)(x f +)(x g 在0x 处可导，由)(x f 在0x 处点可导知)(x g =[)(x f +)(x g ])(x f -在0x 点处也可导，矛盾.（5）)('0x f 与)]'([0x f 有区别. 答：命题成立.因为)('0x f 表示0)(x x x f =在处的导数; )]'([0x f 表示对0)(x x x f =在处的函数值求导，且结果为0.（6）设)(x f y =在点0x 的某邻域有定义，且-∆+)(0x x f )(0x f =2)(x b x a ∆+∆，其中b a ,为常数，下列命题哪个正确？①()x f 在点0x 处可导，且()a x f ='0,②()x f 在点0x 处可微，且()x a x f x x d |d 0==, ③()()x a x f x x f ∆+≈∆+00 （ ||x ∆很小时）. 答：①、②、③三个命题全正确.2.已知x x cos )'(sin =，利用导数定义求极限xx x 1)2πsin(lim 0-+→.解：xx x 1)2πsin(lim 0-+→=xx x 2sin)2πsin(lim0π-+→ =2π|)'(sin =x x = 2πcos=0. 3.求 ()⎩⎨⎧+=，，xx x f 1ln )(0<≥x x ，的导数.解： 当0>x 时，xx f +='11)( ， 当0<x 时，1)(='x f ，当0=x 时，xf x f x f x f f x x )0()(lim 0)0()(lim)0(00-=--='→→，所以 10lim )0(0=-='-→-xx f x ， 1e ln )1ln(lim 0)1ln(lim )0(100==+=-+='++→→+x x x x xx f ，因此 1)0(='f ，于是 ⎪⎩⎪⎨⎧+=',1,11)(xx f.0,0≤>x x4.设))((),1ln()(x f f y x x f =+=，求dxdy 解：)]1ln(1ln[))((x x f f y ++==,)]'1ln(1[)1ln(11d d x x x y ++⋅++=∴)1)](1ln(1[1x x +++=.5.已知arctanxy=求y ''. 解：两端对x 求导，得)(1)()(1122222'++='⋅+y x y x y xyx ，222222222221yx y y x yx yy x y y x y +'⋅+⋅+='-⋅+，整理得 x y y x y -='+)( ，故 xy xy y +-='， 上式两端再对x 求导，得=2)(22x y yy x +-'， 将 xy xy y +-='代入上式，得 2)(22x y yxy xy x y +-+-⋅=''322)(2222y x xy y x xy +---=322)()(2x y y x ++-=. 6.求y = 323)4()3)(2)(1(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅+++x x x x x 的导数x yd d 解：两边取对数：y ln =)]4ln(ln 3)3ln()2ln()1[ln(32+--+++++x x x x x , 两边关于x 求导：]413312111[32'1+--+++++=⋅x x x x x y y , ∴)413312111(32d d +--+++++=x x x x x y x y . 7.设xx x f e )(=，求)('x f .解：令xx y e =, 两边取对数得：x y xln e ln =, 两边关于x 求导数得：即 )e ln e ('e xx x y xxx+=. 8.设,sin ),(2x u u f y ==求x y d d 和22d d xy.解：xy d d =2cos 2)(x x u f ⋅⋅', 22d d xy =)sin 4cos 2)(()(cos 4)(222222x x x u f x x u f -'+⋅''. 9.x x y e 4+=, 求y)4(.解：xx y e 43+=', xx y e 122+='',xx y e 24+=''', x y e 24)4(+=.10.设cos sin x t t y t=-⎧⎨=⎩，， 求 22d d x y . 解：d (sin )cos d 1sin (cos )y t tx tt t '=='+- ， 222sin (1sin )cos 11(1sin )1sin (1sin )t t t t t t -+--=⋅=+++. 11.求曲线⎩⎨⎧==,,3t y t x 在点（1，1）处切线的斜率. 解：由题意知：⎩⎨⎧==,1,13t t 1=⇒t ,∴33)()(d d 12131==''====t t t t t t xy ,∴曲线在点（1，1）处切线的斜率为312. 求函数xx y tan ln e=的微分.解一 用微分的定义x x f y d )(d '=求微分， 有x x xx d )2sin 21(e tan ln +=. 解二 利用一阶微分形式不变性和微分运算法则求微分，得x xxx d )2sin 21(e tan ln +=. 13.试证当1≠x 时，x xe e >.证明：令x x f xe e )(-=，易见()f x 在),(+∞-∞内连续，且0)1(=f e e )(-='xx f .当1<x 时，e e )(-='xx f 0<可知()f x 为]1,(-∞上的严格单调减少函数，即 当1>x 时，e e )(-='x x f 0>，可知()f x 为),1[+∞上的严格单调增加函数， 即()(1)0f x f >=.故对任意 ,1≠x 有()0,f x >即 .0e e >-x xx xe e >.14.求函数344x x y -=的单调性与极值. 解：函数的定义域为),(+∞-∞.)3(3223-=-='x x x x y ， 令 ,0='y 驻点 3,021==x x 列表由上表知，单调减区间为)3,(-∞，单调增区间为),3(+∞，极小值 4)3(-=y 求函数的极值也可以用二阶导数来判别，此例中0,6302=''-=''=x y x x y 不能确定0=x 处是否取极值，,093>=''=x y 得427)3(-=y 是极小值. 15.求3)(x x f =+23x 在闭区间[]5,5-上的极大值与极小值，最大值与最小值. 解：x x x f 63)(2+=', 令0)(='x f , 得2,021-==x x ,66)(+=''x x f , 06)0(>=''f , 06)2(<-=-''f ,∴)(x f 的极大值为=-)2(f 4，极小值为0)0(=f . ∵50)5(-=-f , 200)5(=f .∴ 比较)5(),0(),2(),5(f f f f --的大小可知：)(x f 最大值为200， 最小值为50-.16.求曲线32310510x x y ++=的凹凸区间与拐点. 解：函数的定义域为()+∞∞-,,21010x x y +=', x y 2010+='',令0=''y , 得21-=x , 用21-=x 把()+∞∞-,分成)21,(--∞，),21(+∞-两部分. 当∈x )21,(--∞时，0<''y , 当∈x ),21(+∞-时，0>''y , ∴曲线的凹区间为),,21(+∞-凸区间为),21,(--∞ 拐点为)665,21(-.17.求函数)1ln(2x y +=的凹向及拐点. 解：函数的定义域 ),(+∞-∞，,122x x y +=' 222222)1()1(2)1(22)1(2x x x x x x y +-=+⋅-+=''， 令 ,0=''y 得1±=y ， 列表知，上凹区间(1,1)-,下凹区由此可(,1)(1,)-∞-+∞，曲线的间拐点是)2ln ,1(±.的渐近线.18.求下列曲线的渐近线（1）xxy ln = ，（2）1222-+-=x x x y ，（3）()()213--+=x x x y .解 （1）所给函数的定义域为),0(+∞.由于 011lim ln lim ==+∞→+∞→x x xx x ，可知 0=y 为 所给曲线xxy ln =的水平渐近线.由于 -∞=+→xxx ln lim 0，可知 0=x 为曲线xxy ln =的铅直渐近线.（2） 所给函数的定义域)1,(-∞,),1(∞+.由于 -∞=-+-=--→→122lim )(lim 211x x x x f x x ， +∞=-+-=++→→122lim )(lim 211x x x x f x x ， 可知 1=x 为所给曲线的铅直渐近线（在1=x 的两侧()f x 的趋向不同）.又 a x x x x x x f x x ==-+-=∞→∞→1)1(22lim )(lim2， []b x x x x x x x ax x f x x x =-=-+-=--+-=-∞→∞→∞→112lim ])1(22[lim )(lim 2， 所以 1-=x y 是曲线的一条斜渐近线.（3）()()∞=--+→213lim1x x x x , 故1=x 为曲线的铅直渐近线,()()∞=--+→213lim2x x x x , 故2=x 为曲线的铅直渐近线,()()2133lim lim 0121211x x x x x x x x x →∞→∞++==--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 故0=y 为曲线的水平渐近线,∴ 曲线的渐近线为：2,1,0===x x y .19.求解下列各题：（1）设某产品的总成本函数和总收入函数分别为x x C 23)(+=， 15)(+=x xx R , 其中x 为该产品的销售量，求该产品的边际成本、边际收入和边际利润.解：边际成本C M =x x C 1)('=边际收入R M =2)1(5)('+=x x R边际利润xx M M q L C R 1)1(5)('2-+=-=. （2）设p 为某产品的价格，x 为产品的需求量，且有801.0=+x p , 问p 为何值时，需求弹性大或需求弹性小.解：由801.0=+x p 得10d d -=px, 所以需求价格弹性80)10(1.080-=-⨯-=p p p p Ep Ex , 故当80-p p < 1-, 即40<p <80时, 需求弹性大; 当1-<80-p p<0, 即0<p <40时，需求弹性小.（三）一元函数积分学1. 在不定积分的性质x x f k x x kf d )(d )(⎰=⎰中，为何要求0≠k ？答：因为0=k 时，C x x x kf =⎰=⎰d 0d )(（任意常数），而不是0. 2. 思考下列问题：(1) 若C x x x f x++=⎰sin 2d )(，则)(x f 为何？ 答：x x x f x f xcos 2ln 2)d )(()(+='⎰=. (2) 若)(x f 的一个原函数为3x ，问)(x f 为何？答：233)()(x x x f ='=(3)若)(x f 的一个原函数的x cos ，则dx x f )('⎰为何？答：C x C x f x x f x x x f +-=+='⎰-='=sin )(d )(,sin )(cos )(. 3. 计算下列积分：（1）)sin d(sin 5x x ⎰, （2）x x d cos 3⎰, （3）⎰+x xx x d )sin (,（4）x xe xd 2⎰, （5）⎰-21d xx x , （6）⎰-41d xx x ,（7）⎰x xx d 2ln , （8）x x d )32(2+⎰, （9）⎰-⋅dx x x 211arcsin 1, （10）⎰+x x x d arctan )1(12, （11）⎰+22d x x, （12）⎰-24d x x . 解：（1）C xx x +=⎰6sin )sin d(sin 65. （2）x x x x x d cos )sin 1(d cos 23-⎰=⎰ =)sin d()sin 1(2x x -⎰ =)sin d(sin )sin d(2x x x ⎰-⎰=C xx +-3sin sin 3. （3）x x x x x xx x d sin 2d d )sin (⎰+⎰=+⎰=C x x +-cos 222. （4）C x x x x x x +=⎰=⎰222e 21)(d e 21d e 2. （5）C x x x x x x+--=--⎰-=--⎰2221221)1(d )1(21d 1.（6）C x x x x xx +=-=-⎰⎰22224arcsin 21)(1)(d 211d .（7（8）C x x x x x ++=++⎰=+⎰322)32(6)32(d )32(2d )32(.（9）C x x x x x x +==-⋅⎰⎰|arcsin |ln )arcsin d(arcsin 1d 11arcsin 12. （10）C x x x x x x +==+⎰⎰|arctan |ln )arctan d(arctan 1d arctan )1(12.（11）C x x x x x x x +=+=+=+⎰⎰⎰22arctan 22)2(d )2(1121)2(1d 212d 222. （12）⎰2-4d x x =⎰2)2(-12d x x=)2(d )2(-112x x⎰=C x+2arcsin . 4. 计算下列不定积分：（1）⎰++x xd 111，（2）x x d 162-⎰,（3）⎰+232)4(d x x ，（4）⎰-x xx d 122.解：（1） 令t x =+1, 则 =x 12-t , t t x d 2d =,于是原式=⎰+t t t d 12=⎰+-+t t t d 1112=]1d d [2⎰⎰+-t tt =C t t ++-1ln 22=C x x +++-+11ln 212. （2）令)2π2π(sin 4<<-=t t x ，则t x cos 4162=-，t t x d cos 4d =， 于是 t t t t t x x d )2cos 1(8d cos 4cos 4d 162+⎰=⋅⎰=-⎰ =C t t ++2sin 48.由右图所示的直角三角形，得81641642cos sin 22sin 22x x x x t t t -=-⋅⋅==,故 C xx x dx x +-+⋅=-⎰2164arcsin81622. （2）令)2π2π(tan 2<<-=t t x ，则t t x t x d sec 2d ,sec 8)4(23232==+,于是C t t t t t tx x +==⋅=+⎰⎰⎰2sin d 2cos d sec 2sec 41)4(d 23232. 由右图所示的直角三角形，得24sin xx t +=故C xx x x ++=+⎰223242)4(d .（4） 设 t x sin = ,t x cos 12=-,t t x d cos d = , 于是原式=⎰t t tt d cos cos sin 2=⎰t t d sin 2=⎰-t t d 22cos 1 =21⎰⎰-)2(d 2cos 41d t t t ==+-C t t 2sin 4121C t t t +-cos sin 2121=C x x x +--212arcsin 21．5.计算下列积分：(1)⎰x x d 2ln , (2)⎰x x d 2arctan , (3) ⎰x x xd e 4,(4)⎰x x xd 4sine 5, (5) ⎰x x x d 100sin , (6) ⎰x x x d 2arctan .解：（1）)2ln d(2ln d 2ln x x x x x x ⎰-=⎰=x xx x x d 222ln ⋅⎰- =C x x x +-2ln .（2）⎰x x d 2arctan =)d(arctan22arctan x x x x ⎰- =x x x x x d )2(122arctan 2+⋅⎰- =⎰+-2241)(d 2arctan x x x x=)41(d 411412arctan 22x xx x ++-⎰ =C x x x ++-)41ln(412arctan 2.（3）x x x x x x x xx d e 41e 41de 41d e 4444⎰-==⎰⎰=C x xx +-44e 161e 41. （4）5555e 1e e sin 4d sin 4d()e sin 4d(sin 4)555x xxx x x x x x ⎰=⎰=-⎰ =x x x x xd 4cose 544sin e5155⎰-1=5e d 4cos 544sin e 5155xx x x ⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰)4cos d(5e 4cos 5e 544sin e 51555x x x xx x=x x x x x x xd 4sine 25164cos e 2544sin e 51555⎰--, 移项合并，得C x x x x xx+-=⎰)4cos 44sin 5(e 411d 4sin e55. （5）⎰---=-⎰=⎰x xx x x x x x x d )100100cos (100100cos )100100cos (d d 100sin=C xx x +-100100cos 10000100sin .（6）⎰x x x d 2arctan =⎰)2d(2arctan 2x x=⎰-)2(arctan d 22arctan 222x x x x =x x x x x d )2(1222arctan 2222⎰+⋅- =x x x x d )4111(412arctan 222⎰+-- =C x x x x ++-2arctan 8142arctan 22. 6.计算 （1）x xxd e )1(2⎰+ ， （2） 3s e c d x x ⎰．解：（1） 选 12+=x u ，=v d x e x d ， =v xe ， x x u d 2d =, 于是原式 )1(2+=x x e ⎰-x 2xe x d ,对于⎰x x e x d 再使用分部积分法,选x u =， =v d x e x d , 则 x u d d =，=v xe ,从而⎰x xex d =x x e ⎰-x x d e =x x e C x +-e ．原式=x e =+--)e e (21C x x x )12(2++x x C x+e （12C C =）, 为了简便起见，所设 x u =,=v xe 等过程不必写出来，其解题步骤如下:⎰x xedx =⎰x d x e =x C x x x x x x +-=-⎰e e d e e .（2）3sec d x x ⎰=)(tan d sec x x ⎰=x x tan sec ⎰-)(sec d tan x x=x x tan sec ⎰-x x x d sec tan 2=sec tan x x -x x x d sec )1(sec 2-⎰=sec tan x x -⎰x x d sec 3+⎰x x d sec=sec tan x x -⎰x x d sec 3+x x tan sec ln +, 式中出现了“循环”，即再出现了⎰x x d sec 3移至左端，整理得3sec d x x ⎰=21[x x tan sec +x x tan sec ln +]+C ． 7. 利用定积分的估值公式，估计定积分⎰-+-1134)524(x x x d 的值.解：先求524)(34+-=x x x f 在[]1,1-上的最值，由0616)(23=-='x x x f , 得0=x 或83=x . 比较 7)1(,102427)83(,5)0(,11)1(=-===-f f f f 的大小，知 11,102427max min =-=f f ， 由定积分的估值公式，得[])1(1d )524()]1(1[max 1134min --⋅≤+-≤--⋅⎰-f x x x f ,即 22d )524(512271134≤+-≤-⎰-x x x .8. 求函数21)(x x f -=在闭区间[-1，1]上的平均值.解：平均值⎰-=⋅⋅=---=11224π21π21d 1)1(11x x μ. 9. 若⎰=2d sin )(2x xt t x f ，则)(x f '=？解：)(x f '=242222sin sin 2sin )sin()(x x x x x x -=-'.10.已知 ⎰+=t t xxx F d 1sin )(2 ， 求 )(x F '．解：)(x F '=)2(12x x +-+x x cos sin 1⋅+=++-212x x x x cos sin 1⋅+．11. 求极限x tt x x πcos 1d πsin lim11+⎰→.解：此极限是“0”型未定型，由洛必达法则，得xtt x x πcos 1d πsin lim11+⎰→=)πcos 1()d πsin (lim11'+'⎰→x t t xx =π1)π1(lim πsin ππsin lim11-=-=-→→x x x x12.计算下列定积分（1）⎰-20d |1|x x , （2）⎰-122d ||x x x , （3）⎰π20d |sin |x x .解：（1）⎰-20d |1|x x =⎰-10d )1(x x +⎰-21d )1(x x=212122)1(2)1(-+--x x =2121+=1. （2）⎰-122d ||x x x =⎰--023d )(x x +⎰13d x x=10402444x x +--=4+41741=. （3）⎰π20d |sin |x x =⎰πd sin x x +⎰-π2πd )sin (x x=π2ππ0cos )cos (x x +-=2+2=4.13.计算下列定积分（1）⎰--2π2π3d cos cos x x x ，（2）⎰--112d 1x x .解：(1)x x x x x x d sin )(cos 2d cos cos 212π2π2π03⎰⎰-=-=34cos 34)cos d()(cos 22π0232π021=-=-⎰x x x .(2)⎰⎰⎰---=-=-112π2π2π2π222d )(cos )sin d()(sin 1d 1t t t t x x=2=+=+=⎰⎰2π02π02π02)2sin 21(d 22cos 12d )(cos t t t t t t 2π.14.计算 （1）⎰+-4d 11x xx， （2）⎰4π4d tan sec x x x ．解:（1）利用换元积分法，注意在换元时必须同时换限．令 x t =，x 2t = ，t t x d 2d = ，当0=x 时，0=t ，当4=x 时，2=t ，于是⎰+-4d 11x xx=⎰+-20d 211t t t t =⎰+--20d ]1424[t t t（2）⎰4π04d tan sec x x x =⎰4π03)(sec d sec x x43411sec 414π04=-==x ．15. 计算下列定积分：（1）x x x d e )15(405⎰+, （2）x x d )12ln(e21⎰+,（3）x x x d πcos e 10π⎰, （4）x x x x x d )e 3(133⎰++.解：（1）x x xd e )15(405⎰+=5e d )15(540x x ⎰+=⎰+-+10515)15(d 5e )15(5e x x xx =5155e 5e51e 6=--x .(2)x x d )12ln(e21⎰+=()())12ln d(12ln e21e21+-+⎰x x x x()1e 23ln 231e 4ln )21e 2(+--++=. (3) x x x d πcos e 10π⎰=ππsin d e 10πx x ⎰ =0x x x d πsin e 10π⎰-=)ππcos d(e 1πxx --⎰ =-+-)1e (π1πx x x d πcos e 10π⎰移项合并得x x x d πcos e 10π⎰)1e (π21π+-=.（4）x x x xxd )e 3(1033⎰++)e 313ln 34(d 3104xx x x ++=⎰ =4514e 923ln 23ln 3)e 913ln 320(e 313ln 3413213253++-=++-++x x x 16.计算（1）⎰1d arctan x x ， （2）x x x d ln 2e e1⎰．解:（1）⎰1d arctan x x =10arctan x x⎰+-102d 1x x x=102)1ln(214πx +- =2ln 214-π ．（2） 由于在[1,e1]上0ln ≤x ；在[2e ,1]上0ln ≥x ，所以x x x d ln 2e e1⎰=x x x d )ln (1e1⎰-+x x x d ln 2e 1⎰=)2(d ln 21e1x x ⎰-+)2d(ln 2e 12x x ⎰=[-x x ln 22+42x ]1e 1+[x x ln 22-42x ]2e 1=41-（412e 1+212e 1）+（4e -414e +41） =21-432e 1+434e ．17.判别下列广义积分的敛散性，如果收敛计算其值 . (1)⎰∞++022d )1(x x x, (2)⎰∞+02d 1x x , (3)x xd e 1100⎰∞+-, (4)⎰∞++02100d x x ． 解:(1) 因为积分区间为无穷区间，所以原式=+∞→b lim ⎰+bx x x 022d )1(=+∞→b lim ⎰++b x x 0222)1()1(d 21=bb x 02])1(21[lim +-+∞→ =]21)1(21[lim 2++-+∞→b b =21，故所给广义积分收敛，且其值为21． (2)⎰∞+02d 1xx =+∞=-=-+∞→→+∞+x x x x x 1lim 1lim )1(00, ∴⎰∞+02d 1x x发散. (3)x xd e 1100⎰∞+-=1001001100e 1001)100e (0100e --+∞-=--=-x .(4)⎰∞++02100d x x=20π10arctan 1010=+∞x . 18.求曲线22)2(,-==x y x y 与x 轴围成的平面图形的面积.解：如图，由⎪⎩⎪⎨⎧-==,)2(,22x y x y 得两曲线交点（1，1）. 解一 取x 为积分变量，]2,0[∈x , 所求面积323)2(3d )2(d 213103212102=-+=-+=⎰⎰x xx x x x A . 解二 取y 为积分变量,y 的变化区间为[0，1]，32)d y -y -2(1==⎰y A . 显然，解法二优于解法一.因此作题时，要先画图，然后根据图形选择适当的积分变量，尽量使计算方便. 19. 求下列曲线所围成的图形的面积:抛物线22xy =与直线42=-y x . 解:先画图，如图所示，并由方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=4222y x x y ，求出交点为（2，1-），（8，2）. 解一 取y 为积分变量,y 的变化区间为[1-，2]， 在区间[1-，2]上任取一子区间[y ，y +y d ]， 则面积微元 A d =y y y d )242(2-+, 则所求面积为A =⎰--+212d )242(y y y = （32324y y y -+）21-=9.解二 取x 为积分变量，x 的变化区间 为[0，8]，由图知，若在此区间上任取子区间， 需分成[0，2]，[2，8]两部分完成.在区间[0，2]上任取一子区间[x ，x +x d ]， 则面积微元 A d 1=x xd ]22[, 在区间[2，8]上任取一子区间[x ，x +x d ]， 则面积微元 A d 2=[)4(212--x x ]x d , 于是得A =A 1+A 2A =⎰2d 22x x+A x xx d )222(82+-⎰=23322x 20+[23322x 224x x -+]82=9 .显然，解法一优于解法二.因此作题时，要先画图，然后根据图形选择适当的积分变量，尽量使计算方便. 20.用定积分求由0,1,0,12===+=x x y x y 所围平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 解：如右图，所求体积y=135)325(πx x x ++=π1528. 二、 微分方程1. 验证xx C C x C y --+=e e 21为微分方程0'2''=++y y y 的解，并说明是该方程的通解. 证明： xx C C x C y --+=e e 21,x x C x C C C y ----=∴e e )('121, x x C x C C C y --+-=e e )2(''112,于是0'2''=++C C C y y y ，故C y 是0'2''=++y y y 的解.x x -e 与x -e 线性无关，∴0'2''=++y y y 中的1C 与2C 相互独立，即C y 中含有与方程0'2''=++y y y 阶数相同（个数均为2）的独立任意常数，故C y 是该方程的通解. 2. 用分离变量法求解下列微分方程:（1）22d d y x x y =, （2）21d d x y x y -=, （3）y x x x y )1(d d 2++=，且e )0(=y . 解：（1）分离变量得x x yy d d 22=,（0≠y ） 两边积分得⎰⎰=x x y yd d 122 , 求积分得 3313Cx y +=-, 从而通解为Cx y +-=33及验证0=y 也是方程的解.（特别注意，此解不能并入通解）（2）分离变量得21d d xx y y -=,（0≠y ）两边积分得⎰⎰-=x x y y d 11d 12,求积分得 1arcsin ||ln C x y +=, 即 )e (e ee 11arcsin arcsin C x xCC C y ±==±=,从而通解为 xC y arcsin e =，验证0=y 也是方程的解.（3）分离变量得x x x yyd )1(d 2++=,（0≠y ） 两边积分得⎰⎰++=x x x y y d )1(d 12求积分得 13232||ln C x x x y +++=, 即 )e (eee 1332232132C x x x C C C y x x x ±==±=++++,从而通解为3232ex x x C y ++=，验证0=y 也是方程的解.由e )0(=y ，得e =C ， 故特解为32132e x x x y +++=.3.求解下列一阶线性微分方程（1）x b ay y sin '=+（其中b a ,为常数）, (2)21d d y x x y +=. 解：(1)因a x P =)(， x b x Q s i n )(=， 故通解为)]cos sin (e 1[e 2x x a a b C axax -++=-. (2)方程变形为2d d y x yx=-, 这是x 关于y 的一阶线性微分方程，其中2)(,1)(y y Q y P =-=,通解为：)22(e 2++-=y y C y .以上是用一阶线性微分方程的通解公式求解，要熟练掌握常数变易法！ 4.求微分方程 y y x y x y xy d d d d 2+=+ 满足条件20==x y的特解.解：这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有x x y y y d 11d 12-=-，两边积分，得=-⎰y y yd 12⎰-x x d 11，求积分得121ln 1ln 21C x y +-=-，1222)1ln(1ln C x y +-=-， 1222e )1(1C x y -=-，222)1(e 11-±=-x y C ，记 0e12≠=±C C ，得方程的解 22)1(1-=-x C y .可以验证 0=C 时，1±=y ，它们也是原方程的解，因此，式22)1(1-=-x C y 中的C 可以为任意常数，所以原方程的通解为 22)1(1-=-x C y （C 为任意常数）. 代入初始条件 20==x y得 3=C ，所以特解为 22)1(31-=-x y .5.求微分方程（1）xy yy +='，（2） x xy y x cos e 22=-'的通解.（1）解一 原方程可化为1d d +=xyx yx y ，令 x yu =， 则 1d d +=+u u x u x u ，即 x x u u u d d 12-=+ ，两边取积分 ⎰⎰-=+x x u u u d 1d )11(2， 积分得C x u u ln ln ln 1-=-，将xy u =代入原方程，整理得原方程的通解为 yx C y e = （C 为任意常数）.解二 原方程可化为11d d =-x yy x 为一阶线性微分方程，用常数变易法.解原方程所对应的齐次方程 01d d =-x yy x ，得其通解为 y C x =. 设y y C x )(=为原方程的解，代入原方程，化简得 1)(='y y C ，1ln)(C yy C =， 所以原方程的通解为 1ln C y y x=，即yx C ye = （C 为任意常数）.（2）解一 原方程对应的齐次方程02d d =-xy x y 分离变量，得xy xy2d d =，x x y y d 2d =， 两边积分，得x x y y ⎰⎰=d 2d ，C x y +=2ln ， )e ln(ln e ln ln 22x x C C y =+=，2e x C y =，用常数变易法.设2e )(x x C y =代入原方程，得 x x C x x cos e e )(22='，x x C cos )(='，C x x x x C +==⎰sin d cos )(，故原方程的通解为 )(sin e 2C x y x += （C 为任意常数）. 解二 这里x x P 2)(-=，x x Q x cos e)(2=代入通解的公式得=)d ecos e(e 222C x x x x x +⋅⎰-=)d cos (e 2C x x x +⎰=)(sin e 2C x x +（C 为任意常数）.6.求微分方程 123='+''y x y x 的通解.解：方程中不显含未知函数y ，令P y ='，x P y d d =''，代入原方程，得 1d d 23=+P x xP x ， 311d d xP x x P =+，这是关于未知函数)(x P 的一阶线性微分方程，代入常数变易法的通解公式，所以 =)(x P 1d 13d 1d e 1(eC x xxx xx +⎰⎰⎰-） =1ln 3ln d e 1(e C x x x x+⎰-）=13d 1(1C x x xx +⋅⎰）=11(1C x x +-）=x C x 121+-， 由此x y d d =x Cx 121+-，⎰+-=x x C xy d )1(12=21ln 1C x C x ++， 因此，原方程的通解为 y =21ln 1C x C x++ （21,C C 为任意常数）. 7.求微分方程 )1()(22-''='y y y 满足初始条件21==x y ，11-='=x y 的特解.解：方程不显含x ，令 P y ='，y P Py d d =''，则方程可化为 )1(d d 22-=y yP PP ， 当 0≠P 时y y P P d 12d -=，于是 21)1(-=y C P . 根据 21==x y，11-='=x y ，知12-='=y y 代入上式，得 11-=C ，从而得到x y yd )1(d 2-=-，积分得211C x y +=-，再由21==x y ，求得 02=C ，于是当0≠P 时，原方程满足所给初始条件的特解为x y =-11， 当0=P 时，得C y =(常数)，显然这个解也满足方程，这个解可包含在解x y =-11中. 故原方程满足所给初始条件的特解为x y =-11，即 xy 11+=. 8.求方程0)'(''2=-y yy 的通解.解：方程不显含自变量x , 令)('y p y =原方程可变为0d d 2=-⋅⋅p ypp y , 即0=p 或p ypy=d d , 由0'==p y 得C y =.由p y p y=d d 分离变量，得yy p p d d =, 两边积分得⎰⎰=y yp p d d ,求积分得 1ln ln ln C y p +=, 即y C p 1=, 解y C y 1'= 得xC C y 1e 2=,因C y =包含于xC C y 1e2=中, 故原方程通解为 xC C y 1e2=.9.写出下列微分方程的通解：（1）0'2''=+-y y y , （2）08'=+y y . 解：（1）特征方程0122=+-r r , 特征根121==r r , 通解为xx C C y e )(21+=.（2）特征方程08=+r , 特征根8-=r , 通解为xC y 81e-=.10.求下列微分方程满足所给初始条件的特解:（1）xy y y 3e6'2''-=-+, 1)0(',1)0(==y y ,（2） x y y sin 2''=+，1)0(',1)0(==y y . 解：（1）先解06'2''=-+y y y ,其特征方程为0622=-+r r , 特征根为711+-=r , 712--=r ,故通解 xxC C y )71(2)71(1e e --+-+=.因x3e-中3-=λ不是特征方程的根，且1)(=x P m , 故设原方程特解xp A y 3e-=，代入原方程化简，得31-=A ，从而原方程通解为x x C C y )71(2)71(1e e --+-+=x 3e 31--.由0)0(=y ，得03121=-+C C , 由0)0('=y ，得11)71()71(21=++-+-C C ,解得42771+=C , 42772-=C , 故所求特解x xxp y 3)71()71(e 31e 4277e 4277---+---++=. （2）先解02=+''y y ，其特征方程为022=+r ，特征根为i 2,i 221-==r r ，故通解x C x C y C 2sin 2cos 21+=.设原方程特解x b x a y s i n c o s *+=，代入原方程，化简得1,0==b a ，故原方程通解x x C x C y sin 2sin 2cos 21++=,由00)0(1==C y 得，由1)0(='y ，得02=C ，故所求特解为x y sin =.11. 求微分方程 xx y y e 4=-''满足初始条件00==x y，10='=x y 的特解.解：对应齐次方程的特征方程为 012=-r ，特征根 12,1±=r ．故对应齐次微分方程的通解为 xx c C C y -+=e e 21.因为1=λ是特征方程的单根，所以设特解为 xP b x b x y e )(10+=，代入原方程得 x x b b b 4422010=++，比较同类项系数得 10=b ，11-=b ，从而原方程的特解为 xP x x y e )1(-=， 故原方程的通解为 =y xxC C -+ee 21x x x e )1(-+，由初始条件 0=x 时，0='=y y ，得 ⎩⎨⎧=-=+,2,02121C C C C从而11=C ，12-=C .因此满足初始条件的特解为 =y xx--ee x x x e )1(-+.12.求微分方程 x y y y x2sin e 842=+'-''的通解.解：对应的齐次微分方程的特征方程 0842=+-r r ，特征根 i 222,1±=r .于是所对应的齐次微分方程通解为)2sin 2cos (e 212x C x C y x c +=．为了求原方程x y y y x2sin e842=+'-''的一个特解,先求x y y y )i 22(e 84+=+'-''（*）的特解.由于i 22+=λ是特征方程的单根，且1)(=x P m 是零次多项式。
湖南师大 高三数学 函数的综合(1)复习课件 文
则 实 数a的 范 围 为(0, ) .
典例分析
例1 已知函数f(x)=lg(x2-mx+m+3). (1)若f(x)为偶函数，求实数m的值； (2)若f(x)的定义域为R，且在[1,+)上是 增函数，求实数m的取值范围. （见《学海导航》第34页例2）
典例分析
例2 设ａ＞０，f(x)=eax
x
[a,b]时g(x)=f(x)且g(x)的值域为[
1 b
,1 a
]
若存在，求出a第20题）
典例分析
例4 二次函数f(x)=ax2+bx(a 0) 满足条件: ① 对任意x R,均有f(4-x)=f(2-x); ② 函数f(x)的图象与直线y=x相切. (1)求 f(x)的 解 析 式 ； (2)当 且 仅 当 x [4,m](m>4)时,f(x-t) x 恒 成 立 ， 试 求 t、 ｍ 的 值. （见《学海导航》第34页例1）
方法提炼
1.理解函数的概念，掌握函数的图象和 性质是解决函数综合问题的基础，也是 历年高考的重点、热点和难点。
2.解决函数的综合问题,要认真分析,把 握问题的主线,把问题化归为基本问题来 解决.
3.注意等价转化,数形结合等思想的运用.
课后作业
《同步训练》第12讲
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月3日星期四2022/3/32022/3/32022/3/3 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/32022/3/32022/3/33/3/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/32022/3/3March 3, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/32022/3/32022/3/32022/3/3
高等数学上下册所有知识点及习题(完整版)
求的导数
′ = ′ ⋅ ′
设 = ， = ， = 。
求的导数
′
ⅆ ⅆ ⅆ
=
⋅
⋅
ⅆ ⅆ ⅆ
例题、对下列函数求导
（1） = sin
（3） =
（5） =
2
sin
1+ 2
3
1 − 2 3
1 + ⋯ +
例题、设 = = arctan ，求 ′′ 0 , ′′′ 0 。
例题、设 = ， ∈ ，求
。
例题、设y = ln 1 + ，求y n 。
例题、设（）任意次可微，求 −1
′′′ 。
例题、设（）任意阶可导，且 ′ =
→0
② 差运算： lim −
→0
③ 积运算： lim
→0
④ 商运算：
()
lim
→0 ()
=
→0
→0
= lim − lim
→0
→0
= lim ∙ lim
lim
→0
→0
→0
lim
函数的定义域：函数自变量能取值的一个集合（范围）
函数的值域：函数在自变量中取值得所有集合
二、 初等函数
基本初等函数有限次得四则运算和函数复合运算步骤所构成
例题、求下例函数得定义域
（1） = sin 2 −
2
（2） = ln 1 −
2
+ sin
1
2+1
三、求极限
分段函数在分段点处得极限
→0
（完整word版）高等数学复习资料大全
（完整word版）高等数学复习资料大全《高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-x x x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030) (6lim 0)(6sin limxx f x x xf x x x +=+>->-，求解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达）3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>- 解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim 22=?>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a 解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 22=--->-?x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.??=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dxdy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=13.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。
湖南师大 高三数学 高三理科数学6
(1)当 a 0时 ， 求 证 : 对 于 任 意 的 实 数 x1 , x 2
总 有 f ( x1 x2 ) 2
1 2
[Leabharlann f(x1)
f (x2 )]
( 2 )设 x [ 1,1]时 ，f ( x ) 1, 是 否 存 在 a , b , c
使 得 f (x) 36 成 立 ?若 存 在 ,请 写 出 一 组 5
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
满 足 条 件 的 a , b , c的 值 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明
理由.
小结
1.解绝对值不等式的基本思想与方法 2.与绝对值相关不等式的解决方法
作业
P266作业手册
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月3日星期四2022/3/32022/3/32022/3/3 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/32022/3/32022/3/33/3/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/32022/3/3March 3, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/32022/3/32022/3/32022/3/3
例 2、 已 知 函 数 f(x)=1x2,设 a,bR,且 ab,求 证 ： f(a)f(b)ab
变式2.函数f(x)的定义域为 [0,1]且f(0)f(1) 当x1,x2[0,1]时，x1x2时都有 f(x2)f(x1)x1x2
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湖南师范大学基础高等数学 期末复习题一、填空题1、若)(x f 的定义域为)0,(-∞,则)(ln x f 的定义域为 ；2、=⎰→320sin lim xdt t xx ;3、⎰+∞=121dx x ； 4、若)(,)(x f c xe dx x f x 则+=⎰= ； 5、函数32)(2-+=x x x f 在[]2,1-上满足拉格朗日中值定理的ξ= ; 6、曲线26322-+=x x y 在点(3,1)处的切线的斜率=k . 7、若f x x x ()()112=+ 则)(x f = ;8、设)2)(1()(++=x x x x f ,则 =-')1(f ; 9、设)(),(cos u f x f y =可导,则=dy ; 10、若)(,)(x f c e dx x f x 则+=⎰= ；11、⎰=I '=I xx tdt x 2)(,sin )(则 ;12、在[]π2,0上曲线x y sin =与x 轴所围成的图形的面积为 . 13、设xey sin =，求22dxyd .14、设⎩⎨⎧>≤+=0,sin ;0,)(2x ax x b e x f x 在0=x 处可导, 则=a ;=b ;15、已知xe -是)(xf 的一个原函数,则='⎰dx x f x )( .16、⎰-=+11)arcsin (dx x x ；17、函数x x y -+=1的极大值为 ；. 18、若2'0()sin(),()x d f t dt x f x dx==⎰则 .二、单选题（在每小题的备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确答案的题号填入题干的括号内,多选不给分.）.1、=∞→xx x πsin lim （ ）① 1 ② π ③不存在 ④ 02、设函数x x f =)(，则)(x f 在点0=x 处 （ ） ①可导 ②不连续③连续，但不可导 ④可微3、当0→x 时，下列函数为无穷小量的是 （ ） ①x xsin ②x x 1sin 2 ③)1ln(1+x x ④x11+4、设函数)(x f 在0x 处具有二阶导数，且0)(0='x f ，0)(0<''x f ，则)(0x f 为① 最小值 ②极小值 ③最大值 ④极大值5、设x sin 是)(x f 的一个原函数，则⎰=dx x f )( （ ）①C x +sin ② C x +cos③C x x ++cos sin ④C x x +sin 6、dx x x e⎰+1)ln 1(1= ( )① 12ln + ②C +2ln ③2 ④2ln7、设,sin 2x y = 则=dy （ ） ① x x cos sin 2 ② xdx cos 2 ③ xdx sin 2 ④xdx 2sin8、点0=x 是函数⎩⎨⎧≥-<=0,10,)(x e x x x f x 的 （ ）①连续点 ②可去间断点③第二类间断点 ④第一类间断点，但不是可去间断点 9、=→xxx 3sin lim0 （ ）①1 ② 2 ③ 3 ④ ∞ 10、dx xx e ⎰+1ln 11= ( )① 22 ②12- ③12+ ④)12(2-11、设x cos 是)(x f 的一个原函数，则⎰=dx x f )( （ ）①C x +sin ② C x +cos ③C x x ++cos sin ④C x x +sin12、=+⎰ex x dx1)ln 21( ( )①3ln ②3ln 21 ③2ln ④ 2ln 2113、曲线26322-+=x x y 在点(3,1)处的切线的斜率=k ( )①3 ②1 ③15 ④ 014、设21,1,()31,1x x f x x x ⎧+<=⎨-≥⎩，则f (x )在x =1处 ………………………………( )①既可导又连续 ②可导但不连续 ③不连续也不可导 ④连续但不可导 15、设'0000(2)()()limh f x h f x f x h→+-=存在，则 ………………………..….. ( )①'0()f x ②'0()f x h - ③'02()f x h - ④'02()f x 16、下列函数中，为)(222x x e e y --=的原函数的是………………………….( )① x x e e 22-- ②)(2122x x e e -- ③x x e e 22-+ ④)(2122x x e e -+三、计算题1、设,ln 21,12t t y t t x +=-=。
求22,dxyd dx dy2、确定函数31292)(23-+-=x x x x f 的单调区间与极值。
3、求⎰xdx x 3sin 。
4、求⎰-2022dx x5、求曲线⎩⎨⎧==t y t x sin cos 上对应4π=t 点处的切线方程和法线方程.6、求函数 xex y -=2的极值.7、求定积分dx x x ⎰++4122.8、求dx x x ⎰-π53sin sin .9、求dx xx x x ⎰+-+23212. 10、(0),xy x x dy =>设求11、设方程3sin ,(),.cos t tt x e t dyy y x dx y e t π=⎧==⎨=⎩确定函数求12、求积分. 13、求积分.四、应用题与证明题1、由曲线0,ln ===y e x x y 与所围成的平面图形的面积A 以及该图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积V .2、求由曲线2x y =与直线0,2,1===y x x 所围平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积。
3、铁皮做成一个容积为0V 的有盖圆柱形匣子,怎样做才能使所用铁皮最少？4、抛物线2y x =及直线2y x =+所围图形的面积.5、证明：)0(,)1ln(1><+<+x x x x x6、求证：⎰⎰πππ=00.)(sin 2)(sin dx x f dx x xf 。
注：请各位老师务必抓好期末复习工作，努力提高学生及格率。
湖南师范大学基础高等数学 期末复习题参考答案一、填空题1、)1,0(;2、31 ; 3、1 ;4、)1(+x e x ;5、216、15.7、2)1(x +8、－1;9、xdx x f sin )(cos '-;10、x e ;11、x sin ;12、0.13、x xe y sin cos ='，.)cos sin ()(cos 2sin sin 22x x e xe dxy d x x +-='=；14、1,2-==b a ； 15、dx x f x xf x xdf dx x f x ⎰⎰⎰-==')()()()(C e xe x x +--=--.16、⎰-=+11)arcsin (dx x x =+=⎰⎰--1111arcsin xdx dx x .1021=+⎰xdx17、54；18、22cos()x x 。
二、选择题（共7个小题，每小题4分，共28分）1、 ②2、 ③3、 ②4、④5、①6、④7、④8、①9、③10、④ 11、② 12、② 13、 ③ 14、 ④ 15、④；16③；三、计算题1、 ,t dxdy = , 22221t t dx y d += 2、函数的定义域为),(+∞-∞，)1)(2(612186)(2--=+-='x x x x x f ,令0)(='x f ,即解0)1)(2(6=--x x ,得出它的两个根.2,121==x x即函数)(x f 在(]1,∞-和[)+∞,2上单调增加,在[]2,1上单调减少.1=x 极大值点，极大值2)1(=f ;2=x 为极小值点, 极大值1=x ,1)2(=f⎰⎰-=x xd xdx x 3cos 313sin =⎰+-xdx x x 3cos 313cos 3=c x x x ++-3sin 913cos 3。
4. 令t x sin 2= ，tdt t dx x cos 2sin 22220222⋅-=-⎰⎰π2cos 2202ππ==⎰tdt 。
5、解:22sin ,22cos 44======ππt t t y tx . 1sin cos 44-=-===ππt t tt dxdy, 从而得切线方程为:)22(22--=-x y 或2+-=x y ,法线方程为: )22(22-=-x y 或x y =. 6、,2,00'),2('==⇒=-=-x x y x xe y x 令列表讨论：x =0为极小值点，极小值为f (0)=0 ,x =2为极大值点，极大值为24)2(-=e f7、、解令t x =+12,212-=t x ,tdt dx =.dt t dx x x ⎰⎰+=++3124)3(21122 322= 12、dx x x dx x x dx x x cos sin)sin 1(sin sin sin 02305323⎰⎰⎰=-=-πππ…⎰⎰-=πππ223223)(sin sin )(sin sin 0x xd x xd 54)52(52=--=。
8、解将被积函数分解成部分分式之和,2223)1(1)1(12212-+-+=-+=+-+x Cx B x A x x x x x x x .其中A 、B 、C 为待定常数，下面用“取特殊值法”求出待定系数.两端去分母后，得Cx x Bx x A x +-+-=+)1()1(122.令,0=x 得1=A ,令,1=x 得,3=C 令,2=x 得1-=B ,于是dx x x x x ⎰+-+23212⎰⎰⎰-+--=dx x dx x dx x 2)1(13111 C x x x C x x x +---=+----=131ln 131ln ln . 9、在方程x y x =两边同时取对数得 ln ln y x x = 同时对x 求导得1ln 1dyx y dx =+, ∴[ln 1]x dy x x dx =+. 10、cos sin sin cos t t t t dy e t e t dx e t e t -=+Qcos sin sin cos t t t t -=+，32.t dy dxπ=∴== 11、2,1,2t x t dx tdt ==-=则,22122(1)t tdt t dt t -==-⎰⎰g 32()3t t c c =-+=+12、40(cos sin )x dx π=-⎰4(cos )1.sinx x π=+=-四、应用题与证明题1、 A=1ln ln 111=-=⎰⎰eeedx x x xdx ； ⎰=212dx y V π ππ531214==⎰dx x 2、V=]ln 2ln [ln 1121122dx x x x xdx dx y ee ee⎰⎰⎰-==πππ]2[-=e π3、设圆柱形匣子底半径为r , 高为h ,表面积为S ,则220,rV h h r V ππ=⇒= ,222202202r V r rV r r S +=+=ππππ20324r V r S -='π , 令0='S ,得 303022,2ππV h V r ==,故当r h Vr 2,230==π才能使所用铁皮最少。