巧选例题辨析概率统计中几个容易混淆的概念
概率统计问题易错归类剖析
一
—
Ｅ （亭）＝：＝０ × Ｐ （ 一 ０）＋
ｌ× Ｐ （ 一 １）＋ ２ × Ｐ （ 一 ２ ） 一 ＿＝ ２Ｉ
所 ， 以
０
Ｅ （５ ＋ １）一 ５Ｅ （ ） ｑ－１— ５× ＿三一十 ｌ一 ３。
～ ）
警 示 ：不 放 同 地 抽 取 ，在 理 解 随 机 变 量 取 值 的 意 义 下 ，先 选 后 排 ，且 注 意 次 品 选 定 后 正 品 是 相 同 元 素 与 次 品 排 位 的 “… 一 埘 嘘 ”火 系 ，排 定 次 品 就 唯 一 确 定 了 正 品 ，利 用 这 种 刘 应 关 系 就 可 以 避 免 重 复 计 数 。
分 钟 ， 种 情 况 。 乙 完 成 此 题 所 用 时 间 为 ６、 Ｂｃ 上 任 取 一 点 Ｍ 所 以 ，一 共 有 ３× ３＝＝＝ ９（个 ）基 本 事 件 。 其 中 甲 用 ７分 钟 ，乙 用 ６分
１
钟 ，此 事 发 生 ，除 此 无 。 所 以 Ｐ（Ａ ）一÷ 。
相 同 点 ：每 个 基 本 事 件 出 现 的 可 能 性 相 同 。
求 解 方 法 ：古 典 概 型 的 概 率 Ｐ （Ａ ）一
垒 基本茎事 件套的 总数 ； ～几ｕ何。 概型的概率
题 所 用 的 时 间 约 ５～ ７分 钟 ，乙 解 答 此 题 所 用 的 时 间 约 ６～ ８分 钟 。 现 甲 、乙 各 解 此 题 ，求 乙 比 甲 先 解 答 完 的 概 率 。
ＣＡＭ ＜ ３０。的 概 率 。
ｒ
错 解 ： ＣＡＭ 可 以 选 择
的 可 能 性 为 ０。～ ４５。，记 事 件
图 ｌ
错 因 ：时 间 在 无 特 殊 条 件 要 求 下 是 连 续 Ａ 为 “ （：ＡＭ ＜ ３。… ，则 Ｐ （Ａ ）一 一 。
巧选例题辨析概率统计中几个容易混淆的概念
果 下 面 举 例 说 明
频 率 与 概 率
定义 １ ：在 相 同 条 件 下 重 复 ｎ次 实 验 ． 件 Ａ 发 生 的次 数 ｍ 与 实 验 总 次 数 事 ｎ的 比值 称 为频 率 定 义 ２ 大 量重 复进 行 同一 试 验时 ． ： 事 件 Ａ 发 生 的频 率 总 是 接 近 某 一 常 数 Ｐ 并 ． 在 它 附近摆 动 ．这个 常数 Ｐ叫做 事件 Ａ 的 概率。 两者之 间的关系 ： 率来 源于频率 ， 概 它 是 大 量 独 立 重 复 试 验 时 频 率 的 稳 定 值 。 因此 。 率 是 概 率 的 先 导 ． 概 率 是 频 而 频 率 的抽 象 和 发 展 频 率 在 一 定 程 度 上 可 以 反 映 随 机 事 件 发 生 的 可 能 性 的 大
混 淆 的 概 念 ．在 选 择 例 题 的 时 候 要 有 针 对 性 地 选 择 一 些 学 生 比较 容 易 理解 又 比
较 简 单 的 事 件 ．这 样 学 生 在 遇 到 一 些 比 较 复 杂 的事 件 时 ． 能更 好 地 区分 才 例２ ：盒 子 里 装 有 ｍ 只 白球 ． 只 黑 ｜ ｊ ｝ 球 ． 有 放 回 的 摸 球 试 验 ． 表 示 “ 一 做 Ａ 第 次 摸 到 黑 球 ” 曰 表 示 “ 二 次 摸 到 白 ． 第 球 ” 则 Ａ 和 是 相 互 独 立 但 不 是互 不相 ： 容 的。 例３５ ：２张 扑 克 牌 平 均 分 给 甲 、乙 、 丙 、 ４个 人 ， 表 示 甲得 ３张 ， 表示 丁 曰 乙得 两 张 ：则 与 曰互 不 相 容 但 不 相
种 治 疗 某 种 疾 病 的 新 药 ．在 ５ ０ ０
概率统计易混淆概念
概率统计易混淆概念概率统计是一门充满趣味和挑战的学科，但其中也存在一些容易让人混淆的概念。
下面就让我们一起来梳理一下这些容易混淆的概念，帮助大家更好地理解和应用概率统计知识。
首先，我们来谈谈“概率”和“频率”。
概率是指某个事件在理论上发生的可能性大小，它是一个固定的数值，通常用 0 到 1 之间的数来表示。
比如说，抛一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 05。
而频率则是指在多次重复试验中，某个事件实际发生的次数与试验总次数的比值。
频率是一个随着试验次数变化而变化的量，但当试验次数足够多时，频率会逐渐趋近于概率。
举个例子，抛 10 次硬币，正面朝上的频率可能是 4/10 ＝ 04，但如果抛 1000 次硬币，正面朝上的频率就可能更接近 05 了。
接下来，“条件概率”和“联合概率”也是容易让人迷糊的一对概念。
条件概率是指在某个条件发生的情况下，另一个事件发生的概率。
比如，已知某人患有某种疾病，再去计算他某项检测结果为阳性的概率，这就是条件概率。
而联合概率则是指两个或多个事件同时发生的概率。
例如，同时掷两个骰子，骰子 A 掷出 3 点且骰子 B 掷出 5 点的概率就是联合概率。
“独立事件”和“互斥事件”也是经常被混淆的概念。
独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响。
比如，今天下雨和明天考试成绩好坏就是两个独立事件。
互斥事件则是指两个事件不能同时发生。
比如，掷骰子得到奇数点和得到偶数点就是互斥事件。
再说说“期望”和“方差”。
期望是随机变量的平均值，它反映了随机变量取值的平均水平。
比如，掷一个骰子，每个点数出现的概率都是1/6，那么掷骰子的期望值就是（1+2+3+4+5+6）×1/6 ＝ 35。
方差则衡量的是随机变量取值的分散程度。
方差越大，说明随机变量的取值越分散；方差越小，说明随机变量的取值越集中。
还有“正态分布”和“二项分布”。
正态分布是一种非常常见的连续型概率分布，它的形状像一个钟形曲线，具有很多优良的性质。
概率统计常见误区
概率统计常见误区概率统计是一门研究随机现象规律的数学分支。
概率统计在现代社会和科学领域中扮演着重要的角色，它可以帮助人们更好地理解和分析各种事件的可能性。
然而，在概率统计的研究和应用过程中，存在着一些常见的误区。
本文将从几个角度探讨一些常见的概率统计误区，并给出相应的解决方法。
误区一：将概率统计与个别事件混淆很多人在遇到一次事件之后，往往会急于对该事件的可能性进行判断。
这种行为容易将个别事件的概率与概率统计混淆在一起。
概率统计是研究大量事件的规律，不能仅仅根据个别事件来进行判断。
解决这个误区的方法是要对事件进行长期观察和统计，在大量数据的基础上进行分析。
误区二：忽视基本概率原理基本概率原理是概率统计的基础，它规定了概率的定义和计算方法。
但是，在实际问题中，很多人往往忽视了基本概率原理，导致计算结果与实际情况相差较大。
正确应用基本概率原理是解决这个误区的关键。
误区三：将相关性误解为因果关系在概率统计中，相关性和因果关系是两个不同的概念。
相关性表示两个变量之间的关联程度，而不代表其中一个变量是另一个变量的原因。
然而，很多人在研究相关性时，往往将其误解为因果关系。
解决这个误区的方法是要进行更加深入的研究，包括考虑其他潜在因素和进行实验证明。
误区四：忽略抽样误差在大样本情况下，抽样误差可以忽略不计。
但是在小样本情况下，忽略抽样误差则容易导致概率统计的误差。
抽样误差是由于从总体中选取的样本不具有代表性而引起的误差。
解决这个误区的方法是要扩大样本容量、减小抽样误差，或者使用更加精确的统计方法。
误区五：过分依赖模型和理论模型和理论是概率统计的工具，但是过分依赖模型和理论也容易导致误区。
概率统计研究的问题往往是复杂的，现实情况中很难完全用一个模型或理论来解释。
解决这个误区的方法是要善于使用多种模型和理论，进行比较和综合分析。
以上就是一些常见的概率统计误区以及相应的解决方法。
在概率统计的研究和应用中，避免这些误区是非常重要的。
概率易混概念辨析举例
概率易混概念辨析举例作者：朱月祥来源：《中学课程辅导高考版·教师版》2014年第01期摘要：概率教学尤其需要加强对概念的辨析和概型的把握。
互斥与独立，至多与至少，串联与并联，有序与无序，有放回与无放回等五组概念，一直是概率学习中容易混淆的。
本文试就这五组容易混淆的概念加以辨析，并举例说明。
关键词：概率易混概念；辨析中图分类号：G427 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）01-087-1一、互斥事件与独立事件互斥事件指不可能同时发生的两个事件，而两个事件独立指事件A（B）的发生与否对事件B（A）发生的概率无影响。
互斥事件A，B至少有一个发生的概率计算的加法公式P（A+B）=P（A）+P（B），而相互独立的事件A，B同时发生的概率计算的乘法公式是P （A·B）=P（A）·P（B）。
在解题时，我们应根据其定义准确判断事件间的关系，从而选用相应的公式。
对比较复杂的事件，应设法将其分解成一些彼此互斥的事件的和，以便于计算。
例1 第48届世乒赛2005年4月在上海举行，在男单半决赛中，中国选手马琳与丹麦新秀梅兹相遇。
若每局马琳获胜的概率为2/3，梅兹获胜的概率为1/3，比赛采用七局四胜制，求马琳获胜的概率。
解：马琳获胜有四种情况，即分别以4∶0，4∶1，4∶2，4∶3的总分战胜梅兹，而这四种情况不可能同时发生，因此可将事件“马琳获胜”分解为四个互斥事件“马4∶0胜梅”、“马4∶1胜梅”、“马4∶2胜梅”、“马4∶3胜梅”的和。
又由于每局比赛相互独立，所以每个互斥事件发生的概率又可利用独立事件发生的概率公式求得。
二、至多与至少“至多”与“至少”是对事件发生数量上、下限的规定。
如事件A，B，C至少有一个发生指A，B，C中最起码有一个发生，即可发生1个，可能发生2个，也可能三个全发生，它的对立事件是A，B，C全不发生。
而事件A，B，C至多有一个发生则指A，B，C中顶多发生1个，即可能发生1个，也可能全不发生，它的对立事件是A，B，C中恰有2个发生及三个全发生。
概率中的六个易混淆问题分析_王生林
高中数学教与学
概率中的六个易混淆问题分析
王生林
（ 甘肃省高台县第一中学，734300）
概率是高 中 教 材 的 新 增 内 容，它 是 以 实 际应用问题 为 载 体，以 排 列 组 合 和 概 率 的 相 关知识为工 具，以 考 查 对 五 个 概 率 事 件 的 判 断识别及其概率的计算和应用为目的的一类 必考题型． 但由于其概念具有一定的抽象性 和相 似 形，有 些 问 题 看 似 相 同，实 则 不 同，在 解题时稍有疏忽就会致错． 本文就以概率学 习中几个易 混 淆 的 问 题 予 以 剖 析，以 期 对 同 学们的学习有所帮助．
任取 k 个球”的概率计算（ 如正解 2） ．
第2 期
高中数学教与学
（2） 正解 1 用等可能事件中的概率计
算公式进行计算． 记所求为事件为 B，所有的
基本事件数为 8 × 8 × 8，事件 B 包含的取法有
三种方式：（ 白，白，黑） ，（ 白，黑，白） ，（ 黑，白，
白） ，即有 A13 种方式，而每一种方式又有 A15 A15
摸到白球”来处理． 实际上第二次、第四次摸
到的球可以是白球，也可以是红球，这两次可
视为必然事件．
正解 （1） 记“有 3 次摸到红球”为事件
A．
由于摸一次摸到红球的概率是
1 3
，摸 到 白
球的概率是
2 3
，故
( ) ( ) P（A） = C35 ×
1
3
×
3
2
2
=
40 ．
3
243
（2） 记“第一次、第三次、第五次摸到红
球”为事件 B，则
( ) P（B） =
考研数学易混淆概念分析之概率论与数理统计
概率论与数理统计的第⼀章“概率论的基本概念”是概率论与数理统计的基础，将这些基本概念掌握牢固是我们学好概率论与数理统计这门课程的重要前提条件，为了帮助同学们加深理解这部分内容，万学海⽂数学考研辅导专家们将同学们在学习过程中容易发⽣混淆的概念总结如下：1.若事件A=B，是否可以认为A,B为同⼀事件？答：不能．⾸先明确事件相等的定义，．如两个灯泡串联, 记A={A灯亮}，B={B灯亮}，则A不发⽣时，⼀定导致B不发⽣，所以，同理当B不发⽣时，⼀定导致A不发⽣，有，故有A=B，但A,B不是同⼀事件．2.⽐较下⾯三个概念：互斥、对⽴、划分．答：（1）互斥：事件A,B互斥是指．注意：互斥的两事件没有公共的样本点；基本事件之间都是互斥的．（2）对⽴：事件A,B对⽴是指且；（3）划分（完备事件组）：事件是⼀个划分是指：(i)两两互不相容，即；(ii).3.和对吗？答：不对．连续型随机变量在⼀点的取值概率为零，但这个事件不是空事件；同理连续型随机变量去掉有限个点，其取值概率仍为1，但去掉有限个点后，显然不是样本空间．但反过来都是成⽴的，即：和．说明：⼀般的，从概率的信息得不出事件关系．但如果是古典概型，则上述结论正确，即古典概率如果，能得出，，能得出，为什么？因为古典概型的样本点是有限个，并且每个样本点发⽣的概率相等，则每个基本事件的概率都⼤于零，从⽽有上述结论．4.两个事件互不相容，是否就是相互独⽴？答：不是．独⽴与互不相容是两个不同的概念，它们没有任何关系．互不相容是指两个事件不可能同时发⽣，即，是⽤事件的关系来定义；⽽独⽴是指两个事件同时发⽣部分的概率等于两个事件分别发⽣概率的乘积，即，是⽤概率来定义．5.三个事件中两两相互独⽴，能否说明三个事件独⽴？答：不能．三个事件中两两相互独⽴，只是三个事件独⽴的⼀个条件，还必须满⾜：，三个事件才独⽴．6.什么事件与任何事件都独⽴？答：只要满⾜即的事件与任何事件都独⽴．若，⼜有，所以，故，即有，故独⽴．若，⼜有，所以，故，⼜，则有，故A,B独⽴．7.全概率公式与贝叶斯公式答：全概率公式：是完备事件组，，则；贝叶斯公式：是完备事件组，，则分析：--原因，A--结果全概率公式⽤于求复杂事件（可以由多个原因导致）的概率，已知：每个原因发⽣的概率，在每个原因发⽣的条件下结果A发⽣的概率；求：结果A发⽣的概率；贝叶斯公式⽤于求条件概率，已知：⼀个原因发⽣的概率，在该原因发⽣条件下结果A发⽣的概率，结果A发⽣的概率 P(A)（可⽤全概率公式求）；求：该原因在结果A发⽣下的概率．8.先验概率和后验概率答：先验概率是指根据以往经验和分析得到的概率，如全概率公式中的，它往往作为“由因求果”问题中的“因”出现。
高三数学解题方法谈四对易混概念你分清了吗？
四对易混概念你分清了吗？第一对 “非等可能”与“等可能”混同例1 把一枚硬币先后抛掷两次，结果为“一正一反”的概率是多少？错解：把一枚硬币先后抛掷两次，出现的结果有三种：两正、两反、一正一反．这三个结果出现的机会均等，故结果为“一正一反”的概率是13． 剖析：错解把出现“两正”、“两反”、“一正一反”认为是等可能事件，事实上，出现“一正一反”与“两正”或“两反”的可能性是不同的．因为把一枚硬币先后抛掷两次，在“一正一反”这个结果中，先出现“正面向上”还是先出现“反面向上”是不同的．故“一正一反”包含“先正后反”以及“先反后正”这两个结果．故抛掷硬币的结果有四个，出现“一正一反”的概率为2142P ==． 第二对 “互斥”与“对立”混同例2 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ）．（A ）对立事件 （B ）不可能事件（C ）互斥但不对立事件 （D ）以上均不对错解：（A ）．剖析：本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，二者的联系与区别主要体现在：①两事件对立必定互斥，但互斥未必对立；②互斥概念适用于多个事件，对立概念适用于两个事件；③两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，也可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生．事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，也可能两个都不发生，所以应选（C ）．第三对 “互斥”与“独立”混同例3 甲投篮命中率为0.8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少?错解：设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，则两人都恰好投中两次为事件A B +，()()()P A B P A P B +=+，即22233()0.80.20.70.30.825P A B C C +=⨯+⨯=剖析：本题错误的原因是把相互独立且同时发生的事件当成互斥事件来考虑，故将“两人都恰好投中2次”理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．互斥事件是指两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生与否没有影响．正解：设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，且A B ，相互独立，则两人都恰好投中两次为事件A B ，于是()()()0.169P A B P A P B =⨯≈ 第四对 “条件概率()P B A ”与“积事件的概率()P A B ”混同例4 袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率．错解：记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黄球”为事件B ，“第二次才取到黄球”为事件C ，所以62()()93P C P B A ===． 剖析：本题错误在于()P A B 与()P B A 的含义没有弄清，()P A B 表示在样本空间S 中，A 与B 同时发生的概率；而()P B A 表示在缩减的样本空间A S 中，作为条件的A 已经发生的条件下事件B 发生的概率． 正解：464()()()()10915P C P A B P A P B A ===⨯=．。
考研概率论与数理统计选择题常考的5个易混淆的概念
考研概率论与数理统计选择题常考的5个易混淆的概念1、乘法公式和条件概率例30：100个学生，60个男生，40个女生，棕色头发30个，棕色头发的男生10个，任取一个学生，是棕色头发的男生的概率？已知取了一个男生，是棕色头发的概率？ )/()()(A B P A P AB P =2、独立和互斥设A ≠ø, B ≠ø，则A 和B 相互独立与A 和B 互斥矛盾。
例31：对于任意二事件A 和B ，（A ） 若AB =Φ，则A ，B 一定不独立。
（B ） 若AB=Φ，则A ，B 一定独立。
（C ） 若AB ≠Φ，则A ，B 一定独立。
（D ） 若AB ≠Φ，则A ，B 有可能独立。
3、独立和不相关独立是不相关的充分条件。
(X,Y)为二维正态分布时，独立和不相关互为充分必要条件。
4、X ，Y 分别为正态分布，不能推出（X ，Y ）为二维正态分布；也不能推出 X+Y 为一维正态分布。
例32：已知随机变量X 和Y 分别服从正态分布N （1，32）和N （0，42），且X 与Y 的相关系数21-=XY ρ，设.23Y X Z += （1）求Z 的数学期望E （Z ）和方差D （Z ）；（2）求X 与Z 的相关系数XZ ρ；（3）问X 与Z 是否相互独立？为什么？解： （1）⎪⎭⎫⎝⎛+=23)(y x E z E ()()y E x E 2131+= 31= ()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2,3cov 24191y x y D x D z D ()()y D x D ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅++=212131241 2243615⋅-= 3=（2）()()()()()z D x D z E x E xz E xz -=ρ ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=23,c o v ,c o v y x x z x ()()y x y x ,cov 21,cov 31+= ()()()y D x D x D xy ρ2131+= 222432121331⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+⋅= 0=y x ,正态()y x ,→/正态y x +→/正态0=⇒xz ρ（3）z 不一定服从正态分布（y x ,未必独立）()z x ,更不一定服从二维正态分布，0=∴xz ρ⇒/独立。
辨析概率论中容易混淆的几个概念
辨析概率论中容易混淆的几个概念一、互不相容和相互独立互不相容：A·B=φ相互独立：P（AB）=P（A）P（B）例1：设盒中有2个黑球，1个白球，现从盒中抽球两次，每次抽取出一球。
设：A=“第一次抽取的是黑球”，B=“第二次抽取的是黑球”问题：（1）若该试验为有放回抽取，事件A与B是否相互独立？是否相容？（2）若该试验为不放回抽取，事件A与B是否相互独立？是否相容？解：（1）事件A与B相互独立，又因为事件A与B可能同时发生，所以事件A与B是相容的。
事实上由于P（A）=23，P（B/A）=P（B）=23，∴P（AB）=P（A）P（B/A）=P（A）P（B）=49，即事件A与B相互独立，然而P（AB）=49，即有AB≠φ，所以事件A与B是相容的。
（2）事件A与B不相互独立，第一次抽取一球后必然改变1/ 5盒中两种颜色的球的组成成分，从而影响了第二次抽球，因为盒中有2个黑球，即使不放回抽样，事件A与B依然可能同时发生，所以事件A与B相容。
事实上，由于P（A）=23，P（B/A）=23，P（B）=12，∴P（AB）=P（A）P（B/A）=49，P（A）P（B）=13。
所以事件A与B不相互独立，此时易知AB≠φ，所以事件A与B是相容的。
两事件相互独立与两事件互不相容虽是两个不同的概念，但它们之间也有关系。
例2：证明：若P（A）0，P（B）0，则有（1）当事件A与B相互独立时，AB≠φ，即A与B相容。
（2）当A·B=φ即事件A与B互不相容时，A与B不独立。
证（1）因事件A与B相互独立，且P（A）0，P（B）0，∴P（AB）=P（A）P（B）0，故AB≠φ，即事件A与B相容。
（2）因A·B=φ，故P（AB）=P（φ）=0，而P（A），P（B）均为正数，故P（A）·P（B）也为正数，于是P（AB）≠P（A）P（B），即A与B不独立。
由上例得到“互不相容”与“相互独立”之间的关系结论：当事件A，B的概率都非零（大于零）时，若A与B 相互独立，则A与B必相容；反之，若A与B互不相容，则A2/ 5与B必不相互独立。
概率中容易混淆的概念对比
概率中容易混淆的概念对比
任睿
【期刊名称】《衡水学院学报》
【年(卷),期】2007(9)1
【摘要】在概率统计学习中,有些基本概念容易混淆,给学生对该课程的学习带来许多不必要的麻烦,直接影响了学生的学习效果与教师的教学效果.为了帮助他们解决这一问题,特选几对这样的概念,从基本定义出发,通过例题进行辨析,并给出容易出现的错误、原因分析及正确的解答.
【总页数】2页(P59-60)
【作者】任睿
【作者单位】衡水学院,数学与计算机科学系,河北,衡水053000
【正文语种】中文
【中图分类】O211
【相关文献】
1.巧选例题辨析概率统计中几个容易混淆的概念 [J], 蔡鸣晶
2.“概率论” 中若干容易混淆的概念 [J], 鲁振葆;
3.概率中易混淆概念的对比与思考 [J], 李振忠
4.概率论中几个容易混淆的概念分析 [J], 林仁炳
5.概率中易混淆概念的对比与思考 [J], 李振忠
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高考数学复习点拨 易混概念 对比分析新人教A版
易混概念对比分析概率问题中有许多概念看似相似，实则不同，非常容易混淆，本文就概率中的几组易混概念进行对比分析，以提高同学们的辨别能力和解题能力.1．随机事件、必然事件与不可能事件随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；而必然事件是指在一定条件下一定发生的事件，其概率为1；不可能事件是指在一定条件下一定不发生的事件，其概率为0.但需要注意，从概率学角度看，概率为1的事件可以是必然事件，也可以是随机事件；同样，概率为0的事件可以是不可能事件也可以是随机事件.例1从实数集中取出一个数，这个数是5的概率是（）Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．(01)，Ｄ．不确定分析：记事件A为“取出的数是5”，很明显，“从实数集中取出一个数”这个试验有无数个可能的结果，所以()0P A=．而从试验本身来看，事件A可能发生也可能不发生，所以事件A又是一个随机事件．综上所述，事件A是一个概率为0的随机事件，所以选（Ａ）．2．频率和概率频率和概率是学习的重点，也是学习的难点.频率是指在多次重复试验的基础上此事件发生的次数与试验总次数的比值，它随着试验次数的改变而变化，它不是常数，但它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增大，这种摆动幅度越来越小.而上述中的常数是事件发生的概率，它不随着试验次数的改变而变化，频率只能作为概率的一个近似值.（有时频率与概率相等，如必然事件）例2判断下列命题的真假.（1）掷100次硬币，出现正面的频率是0.4，则在试验中出现正面向上的次数为40次；（2）某产品的次品率为3％，则任取该产品100件，其中必有3件次品.（答案：（1）真；（2）假）3．互斥事件与对立事件互斥事件、对立事件的共同点是都涉及两个事件之间的关系.如果事件Ａ与事件Ｂ不可能同时发生，那么称事件Ａ与Ｂ为互斥事件，它包含两层含义：在同一次试验中，①Ａ、Ｂ都未发生；②Ａ、Ｂ恰有一个发生.在同一试验中，不能同时发生且必有一个发生的两个事件互为对立事件.注：①互斥事件是对立事件的前提；②两个事件中必有一个发生；③对立事件的概率和等于1，即()()1+=．P A P A因此，两事件对立，必定互斥，但互斥不一定对立．从集合角度考虑：两个事件A 与B 互斥，是指由A B ，所含的结果所组成的集合的交集是∅．一般情形：如果事件12n A A A ，，，中任何两个都是互斥事件，那么我们称12n A A A ，，，彼此互斥．各事件包含的结果组成的集合12n A A A ，，，有12n A A A =∅；对于事件 A B ，所包含的结果组成的集合A B ，若满足“A B =Ω（Ω为所有可能事件组成的集合）且A B =∅”，则事件A 与B 为对立事件，也即A B Ω=ð或B A Ω=ð．利用上述集合观点，很容易判断两个事件是否为互斥事件或对立事件．4．“放回”与“不放回”例3 从含有两件正品12a a ，和一件次品1b 的三件产品中每次任取一件，连续取两次．（1） 若每次取出后不放回，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；（2） 若每次取出后放回，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．解：（1）每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果为：121121211112()()()()()()a a a b a a a b b a b a ，，，，，，，，，，，，其中小括号中左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．用A 表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则事件A 由11211112()()()()a b a b b a b a ，，，，，，，这4个事件组成，因而42()63P A ==； （3） 有放回地取出两件，其一切可能的结果为：111211212221()()()()()()a a a a a b a b a a a b ，，，，，，，，，，，，111211()()()b a b a b b ，，，，，，且B 表示“恰有一件次品”这一事件，则事件B 由11211112()()()()a b a b b a b a ，，，，，，，这4个事件组成，因而4()9P B =．。
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巧选例题辨析概率统计中几个容易混淆的概念作者：蔡鸣晶来源：《职业教育研究》2012年第07期摘要：对概率统计中几个容易混淆的概念：频率与概率、互不相容事件与相互独立事件、互不相容事件与相互对立事件、多个事件两两独立与相互独立、条件概率与乘积概率等举例辨析。
在概率统计教学过程中，选取既具有实用背景又能阐明基本概念、能够提高学生兴趣的例题，能够加强学生对知识理解的准确性和完善性，提高学生的学习效果和职业能力。
关键词：例题；概率统计；概念辨析；频率；概率；职业素质中图分类号：G712 文献标识码：A 文章编号：1672-5727（2012）07-0095-02概率统计是研究随机现象的统计规律性的数学学科，是高等学校理、工、管理类专业一门重要的基础理论课，也是高等职业院校一门重要的职业素质课程。
它的思想方法与学生以往接触过的任何一门学科均有所不同。
在概率统计中存在许多容易混淆的概念，如不能认真区分，仔细加以甄别，就难以正确理解这些重要概念，在应用时就容易出现各种各样的错误。
学生在学习这门课的过程中普遍感到概念难以理解，思维难以展开。
因此，教师在教学过程中对那些容易使学生混淆的内容一定要提出来特别强调，消除学生对这些内容理解的困难。
对于这些内容如果能精心选择适当的例子加以解释说明，会得到事半功倍的效果。
下面举例说明。
频率与概率定义1：在相同条件下重复n次实验，事件A发生的次数m与实验总次数n的比值称为频率。
定义2：大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近某一常数p，并在它附近摆动，这个常数p叫做事件A的概率。
两者之间的关系：概率来源于频率，它是大量独立重复试验时频率的稳定值。
因此，频率是概率的先导，而概率是频率的抽象和发展。
频率在一定程度上可以反映随机事件发生的可能性的大小，但频率本身是随机的，在实验前不能确定，无法从根本上刻画事件发生可能性的大小。
概率是随机事件发生的可能性大小的数量反映，是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定后的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同。
在大量重复实验的条件下频率可以近似地作为这个事件的概率。
一般地，用频率近似代替概率的例子并不多见，以下这个例子既有很好的实际意义，又能较好地体现频率与概率之间的联系。
例1：新药的效果一种治疗某种疾病的新药，在500名病人中，有的服了这种药（■），有的没有服这种药（B），5天后，有的痊愈（■），有的未痊愈（AB），各种情况的人数见表1，其中170表示服药后痊愈（AB）的人数，其余类似。
试判断这种新药是否有效？解：比较服药后痊愈与未服药痊愈事件概率，由于试验共500例，试验次数相当大，故可用频率近似地估计概率：p（B）≈■=0.8，p（B|A）≈■=0.81。
因为p（B）与p（B|A）几乎相等，故可认为事件B与A相互独立，表明服药和不服药对治疗效果不大，新药对这种疾病无意义。
评析：本题只给出了数学统计表，且试验次数较大，因此，用频率去估计概率给问题的解决带来了很大的方便。
根据本问题提供的条件直接求事件的概率是很困难的。
互不相容事件与相互独立事件定义3：设A、B为两个事件，若AB=Φ，则称A、B互不相容。
定义4：如果两个事件A与B满足等式P（AB）=P（A）P（B），则称事件A与B是相互独立的。
两者之间的关系：两事件“互不相容”是指这两个事件不能同时发生，是用事件的运算来描述的。
而“相互独立”则是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，是用事件的概率来描述的。
两事件“互不相容”时，这两个事件之间有很强的依赖关系。
“两事件相互独立必定互不相容”的认识是错误的。
一般情况下，两件互不相容的事件不一定相互独立，两个相互独立的事件也不一定互不相容。
只有满足条件：P（A）P（B）=0时，这两者才能相互推出。
为了让学生更好地区别这两个极易混淆的概念，在选择例题的时候要有针对性地选择一些学生比较容易理解又比较简单的事件，这样学生在遇到一些比较复杂的事件时，才能更好地区分。
例2：盒子里装有m只白球，k只黑球，做有放回的摸球试验，A表示“第一次摸到黑球”，B表示“第二次摸到白球”；则A和B是相互独立但不是互不相容的。
例3：52张扑克牌平均分给甲、乙、丙、丁4个人，A表示甲得3张K，B表示乙得两张K；则A与B互不相容但不相互独立。
例4：甲投篮命中率为0.8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？解：设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，且A、B相互独立，则两人都恰好投中两次为事件，于是P（AB）=P（A）P（B）=C23×0.82×0.2×C230.72×0.3≈0.169。
评析：常有学生会这样认为：所求事件为A+B，P（A+B）=P（A）+P（B）=C23×0.82+0.2×C230.72×0.3≈0.825。
这样做错误的原因就是把相互独立同时发生的事件当成了互不相容的事件。
互不相容事件与相互对立事件定义5：“事件A不发生”称为事件A的对立事件，记为■。
互不相容事件与相互对立事件的联系与区别是：（1）两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；（2）互斥的概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；（3）两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生。
例5：把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是：A．对立事件；B．不可能事件；C．互斥但不对立事件；D．以上均不对。
正解：事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，也可能两个都不发生，所以应选C。
若把“互斥”与“对立”混同就很容易错选A。
这道例题的巧妙之处在于事件本身比较简单，如果有学生仅从字面上理解对立，很容易错选。
多个事件两两独立与相互独立定义6：n个事件Ai（i=1，2，……，n）两两独立是指：?坌Ai，Aj（i≠j），P（AiAj）=P（Ai）（Aj），定义7：n个事件Ai（i=1，2，……，n）相互独立是指：?坌Ai，Aj（i≠j），P（AiAj）=P（Ai）（Aj），且P（A1，A2，……An）=P（A1）P（A2）……P（An）两者之间的关系：相互独立可以推出两两独立。
反之未必。
以下两个例子很巧妙地说明了相互独立与两两独立之间的关系。
例6：设有一个均匀的正四面体，第一、二、三面分别涂上红、黄、蓝一种颜色，第四面涂上红、黄、蓝三种颜色。
现以A、B、C分别记投一次四面体底面出现红、黄、蓝颜色的事件，则P（A）=P（B）=P（C）=■，P（AB）=P（AC）=P（BC）=■。
所以，A、B、C两两独立，但P（ABC）=■≠■=P（A）P（B）P（C），因而A、B、C不相互独立。
评析：两两独立有可能不相互独立。
例7：设有一均匀正八面体，其第1、2、3、4面涂有红色，第1、2、3、5面涂有黄色，第1、6、7、8面涂有蓝色。
现以A、B、C分别表示投一次正八面体，底面出现红、黄、蓝颜色的事件，则P（A）=P（B）=P（C）=■，P（ABC）=■=P（A）P（B）P（C）但是P（AB）=■≠■=P（A）P（B）；P（AC）=■≠■=P（A）P（C）；P（BC）=■≠■=P（B）P（C）.所以A、B、C不两两独立。
评析：P（ABC）=P（A）P（B）P（C）成立，但A、B、C并不一定两两独立。
条件概率P（A|B）与乘积概率P（AB）定义8：在B发生的情况下，A发生的概率即为条件概率，记为：P（B|A）。
定义9：乘积概率P（AB）表示事件A、B同时发生的概率。
两者之间的关系：P（B|A）=■，P（AB）=P（A|B）P（B）.在讲解这两个概念的时候，选择能在同一道题目里同时考察两个概念的例题，可以比较好地帮助学生比较和辨别。
例8：袋中有9个白球1个红球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求：（1）第二次才取到白球的概率；（2）第一次取到的是白球的条件下，第二次取到的也是白球的概率。
分析：问题（1）是求第一次取到红球且第二次取到白球这一积事件的概率，而问题（2）则是求在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的条件概率。
例9：甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件是乙厂生产的。
而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问：（1）这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？（2）若发现它是乙厂生产的，问它是标准件的概率是多少?解：设A={零件是标准件}，B={零件是乙厂生产}，则问题（1）所求为P（AB）。
P （AB）=■。
问题（2）所求为P（A|B）。
P（A|B）=■。
例10：聋盲人群中又聋又盲可能性大小问题。
在某一人群中，聋子的概率是0.005，盲人的概率是0.0085，而聋子中是盲人的概率是0.12，求：（1）这个人群中任意一人，又聋又盲的概率；（2）求盲人中是聋子的概率。
解：A={此人是聋子}，B={此人是盲人}。
依题意有P（A）=0.005，P（B）=0.0085，P （B|A）=0.12，所求概率是P（AB）。
由乘法公式得P（AB）=P（A）·P（B|A）=0.005×0.12=0.0006。
而P（A|B）表示盲人中是聋子的概率，故Ｐ（Ａ｜Ｂ）=■=■≈0.07059。
概率统计是实际应用性很强的一门数学学科。
实践表明，教师在教学过程中如果能够精心选取既具有实用背景，又能对阐明基本概念有帮助、能提高学生兴趣的例题，可以使原本抽象、枯燥难懂、容易混淆的数学理论变得有血有肉、有滋有味，可以激发学生的求知欲望，提高学生对课程的学习兴趣，取得较好的学习效果。
参考文献：[1]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2004.[2]陈希孺.数理统计引论[M].北京：科学出版社，2007.[3]谢兴武，李宏伟.概率统计释难解疑[M].北京：科学出版社，2007.[4]刘国庆，王勇.改革课堂教学方法探索概率统计教学的最佳模式[J].大学数学，2003（3）.[5]谭希丽，徐冬梅.概率统计课程教学方法的几点体会[J].高等数学研究，2011（1）.作者简介：。