《证明线段相等-角相等-线段垂直》的方法总结

《段相等，角相等，线段垂直》的专题复习
一.证明线段相等的方法：
1.中点：
2.等式的性质
3.全等三角形
4借助中介线段
二.证明角相等的方法
1.对顶角相等
2.等式的性质
3.角平分线
4垂直的定义
5.两直线平行（同位角，内错角）
6.全等三角形
7.同角的余角相等
8等角的余角相等
9.同角的补角相等
10等角的补角相等
11.三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和三．证明垂直的方法
1.证明两直线夹角=90°
2.证明邻补角相等
3.证明邻补角的平分线互相垂直
4证明三角形两内角之和=90°
5.垂直于平行线中的一条直线，必定垂直于另一条
6.证明此角所在的三角形与已知的直角三角形全等
经典题型：
.利用角平分线的定义
例题1.如图，已知AB=AC，AD//BC，求证
2、基本图形“双垂直”
本节常用辅助线是围绕角平分线性质构造双垂直（需对其对称性形成感觉）。

例题2.如图，，与的面积相等．求证：OP平分．
例题3、如图，，E是BC的中点，DE平分．求证：AE是的平分线．
3.利用等腰三角形三线合一
例题4.正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AE=DC+CE，求证：AF平分∠DAE。

4.利用定理
定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

例5.如图，已知ΔABC的两个外角∠MAC、∠NCA的平分线相交于点P，求证点P在∠B的平分线上。

5..和平行线结合使用，容易得到相等的线段。

基本图形：
P是∠CAB的平分线上一点，PD∥AB，则有∠1=∠2=∠3，所以AD=DP。

例6.如图，ΔABC中，∠B的平分线与∠C外角的平分线交于D，过D作BC的平行线交AB、AC于E、F，求证EF=BE-CF。

6.利用角平分线的对称性。

例7.如图，已知在ΔABC中，AB>AC，AD是ΔABC的角平分线，P是AD上一点，求证AB-AC>PB-PC。

7.角平分线与垂直平分线综合
例题8、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC，且平分BC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC延长线于F．（1）求证：BE=CF．
角平分线专题复习（解答部分）
一、平分线的应用。

几何题中，经常出现“已知角的平分线”这一条件。

这个条件一般有下面几个方面的应用：（1）利用“角的平分线上的点到这个角的两边距离相等”的性质，证明两条线段相等。

（2）利用角是轴对称图形，构造全等三角形。

（3）构造等腰三角形。

二、应用举例：
1.利用角平分线的定义
例题1.如图，已知AB=AC，AD//BC，求证AD平分∠EAC。

证明：因AB=AC，故∠B=∠C。

又因AD//BC，故∠1=∠B，∠2=∠C，
故∠1=∠2，即AD平分∠EAC。

2、基本图形“双垂直”
本节常用辅助线是围绕角平分线性质构造双垂直（需对其对称性形成感觉）。

例题2.如图，，与的面积相等．求证：OP平分．
分析：观察已知条件中提到与，显然与全等无关，而面积相等、底边相等，于是自然想到可得两三角形的高线相等，联系到角平分线判定结论可得。

证明：作于M，于N
，，且
又
又
平分
例题3、如图，，E是BC的中点，DE平分．求证：AE是的平分线．分析: 在初一学习平行线时就围绕这个图做过很多练习，当时我们证明过DE垂直AE等。

还是这个图条件变了，由角平分线条件不难想到做辅助线构造“双垂直”的基本图形，用“角平分线性质”推得距离相等，再由另一侧距离相等用“角平分线判定”AE为角平分线。

证明：作于F
平分，，
又 E是BC的中点
又，
AE是的平分线
3.利用等腰三角形三线合一
例题4.正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AE=DC+CE，求证：AF平分∠DAE。

证明：连结EF并延长，交AD的延长线于G，则ΔFDG≌ΔFCE，
故CE=DG，EF=GF，于是AG=AD+DG=DC+CE=AE。

又因EF=GF，故AF是等腰三角形的底边上的中线，于是AF平分∠DAE。

4.利用定理
定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

例5.如图，已知ΔABC的两个外角∠MAC、∠NCA的平分线相交于点P，求证点P在∠B的平分线上。

证明：过P作PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是D、E、F，因P在∠MAC的平分线上，故PD=PE。

又因P在∠ACN的平分线上，故PE=PF，于是PD=PF，故点P在∠B的平分线上。

5..和平行线结合使用，容易得到相等的线段。

基本图形：
P是∠CAB的平分线上一点，PD∥AB，则有∠1=∠2=∠3，所以AD=DP。

例6.如图，ΔABC中，∠B的平分线与∠C外角的平分线交于D，过D作BC的平行线交AB、AC于E、F，求证EF=BE-CF。

分析：由BD平分∠ABC，ED∥BC，不难得出BE=DE。

要证EF=BE-CF，就转化为要证EF=DE-CF。

下面要证FD=FC，即要证∠FCD=∠FDC。

由CD平分∠ACG，ED∥BC，很容易得出∠FCD=∠FDC，从而问题得证。

6.利用角平分线的对称性。

例7.如图，已知在ΔABC中，AB>AC，AD是ΔABC的角平分线，P是AD上一点，求证AB-AC>PB-PC。

分析：证明不等关系，一般要把所证明的有关线段放在一个三角形内。

通过角平分线这一条件可以构造全等三角形：在AB上截取AC'=AC，则有ΔAC'P≌ΔACP，AC'=AC,PC'=PC。

在ΔBPC'中，BC'+C'P>PB, 即AB-AC'>PB-PC'，从而得出AB-AC>PB-PC
7.角平分线与垂直平分线综合
例题8、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC，且平分BC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC延长线于F．（1）求证：BE=CF．
（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的大小
（用含有a、b的式子表示）．
证明：（1）连结BD、CD
DG⊥BC，且平分BC于G
（此处提前用到了垂直平分线的性质，即垂直平分线上的点到线段两端距离相等，
可由证明得到）
AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC
，
在和中
（2）AD平分∠BAC
同理：
即AD平分
又
而AE=AB-BE=a-BE，AF=AC+CF=b+CF
a-BE= b+CF
又
，AE=a-BE=a-=
角平分线练习题
1. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，如果AC=3，那么AE+DE=（）
A．2 B．3 C．4 D．5
2. 如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点P，则点P到△ABC的三边所在直线的距离的关系是
（）
A．均不相等B．均相等、C．其中有两个相等D．无法确定
3. 如图，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，
则可选择的地址有（）
A．一处B．二处 C．三处 D．四处
4. 在△ABC内部到三条边的距离相等的点有____________个．
5. 如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，下列结论：（1）PC=PD；（2）OC=OD；（3）OC=2PC；（4）∠DPO=∠CPO
中，错误的是__________．
（第3题）（第5题）（第6题）
6. 如图，已知∠C=90°，AD平分∠BAC，BD=2CD，点D到AB的距离等于5cm，则BC的长为____cm.
7. 如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的直角三角形的对数为___________．
（第7题）（第8题）（第9题）（第10题）
8. 如图，，要使，请你增加一个条件是___________．（只需要填一个你认为合适的条件）
9. 如图所示，点F、C在线段BE上，且∠1=∠2，AC=DF，若使△ABC≌△DEF，则需补充一个条件是___________.
10. 如图，△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠A与∠DEC互补，若BC=11cm，则△DEC周长为___________．
答案：1、B 2. B 3、D 4、1 5、（3）
6. 15；7、 6 ； 8、∠B=∠C ； 9、BC=EF； 10、11cm。