高中数学直线中对称问题归类解析
高中数学直线的对称问题终结版知识讲解题型专练总结
直线中的对称问题知识讲解题型一、点关于点成中心对称对称中心是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题． 设),(00y x P ，对称中心为),(b a A ，则P 关于A 的对称点为)2,2('00y b x a P --．题型二、点与点关于直线成轴对称问题对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”利用“垂直”（位置关系）“平分”（数量关系）这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标一般情形如下：设点),(00y x P 关于直线b kx y +=的对称点为)','('y x P ，则有0000'1'''22y y k x x y y x x k b -⎧⋅=-⎪-⎪⎨++⎪=⋅+⎪⎩，可求出'x 、'y ． 特殊地，点),(00y x P 关于直线a x =的对称点为),2('00y x a P -；点),(00y x P 关于直线b y =的对称点为)2,(00y b x P -．题型三、曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题一般是转化为点的中心对称或轴对称结论如下：（1）曲线0),(=y x f 关于已知点),(b a A 的对称曲线的方程是0)2,2(=--y b x a f ．（2）曲线0),(=y x f 关于直线b kx y +=的对称曲线的求法：设曲线0),(=y x f 上任意一点为),(00y x P ，P 点关于直线b kx y +=的对称点为),('y x P ，则由（2）知，P与'P 的坐标满足0000'1'''22y y k x x y y x x k b -⎧⋅=-⎪-⎪⎨++⎪=⋅+⎪⎩，从中解出0x 、0y ，代入已知曲线0),(=y x f ，应有0),(=y x f 利用坐标代换法就可求出曲线0),(=y x f 关于直线b kx y +=的对称曲线方程．题型四、两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：（1）点),(y x 关于x 轴的对称点为),(y x -．（2）点),(y x 关于y 轴的对称点为),(y x -．（3）点),(y x 关于原点的对称点为),(y x --．（4）点),(y x 关于直线x －y =0的对称点为),(x y ．（5）点),(y x 关于直线x +y =0的对称点为),(x y --．（6）点),(y x 关于直线x －y+c =0的对称点为),(c x c y +-．（7）点),(y x 关于直线x +y+c =0的对称点为),(x c y c ----．例1.求圆22412390x y x y ++-+=关于直线3450x y --=的对称圆方程．例2.求直线042:=-+y x a 关于直线0143:=-+y x l 对称的直线b 的方程．例3.自点)3,3(-A 发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆2244x y x y +-- 70+=相切，求光线l 所在的直线方程．例4.已知点)5,3(M ，在直线022:=+-y x l 和y 轴上各找一点P 和Q ，使MPQ △的周长最小．变式练习1.圆4)1()1(22=-+-y x 关于直线:220l x y --=对称的圆的方程 ．变式练习2.试求直线01:1=-+y x l 关于直线033:2=--y x l 对称的直线l 的方程．课后作业1．已知点)3,1(A 、)2,5(B ，在x 轴上找一点P ，使得PB PA +最小，则最小值为_________，P 点的坐标为_________．2．已知点),(b a M 与N 关于x 轴对称，点P 与点N 关于y 轴对称，点Q 与点P 关于直线0=+y x 对称，则点Q 的坐标为（ ）A ．),(b aB ．),(a bC ．),(b a --D ．),(a b --3．已知直线05:1=++my x l 和直线0:2=++p ny x l ，则1l 、2l 关于y 轴对称的充要条件是（ ）A ．n p m =5B ．5-=pC ．n m -=且5-=pD ．nm 11-=且5-=p 4．点)5,4(A 关于直线l 的对称点为)7,2(-B ，则l 的方程为____________．5．设直线054=-+y x 的倾斜角为θ，则它关于直线03=-y 对称的直线的倾斜角是___________．6．已知圆C 与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称，则圆C 的方程为（ ）A ．1)1(22=++y xB ．122=+y xC ．1)1(22=++y xD ．1)1(22=-+y x 7．与直线012=-+y x 关于点)11(-，对称的直线方程为（ ） A ．052=--y xB ．032=-+y xC ．032=++y xD ．012=--y x 8.一条光线从点（-2，-3）射出，经y 轴反射后与圆（x+3）2+(y-2)2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为_______-9．两直线x y 33=和1=x 关于直线l 对称，直线l 的方程是___________．10．直线042=--y x 上有一点P ，它与两定点)1,4(-A 、)4,3(B 的距离之差最大，则P 点的坐标是________．11．直线x y 2=是△ABC 中C ∠的平分线所在的直线，若A 、B 坐标分别为)2,4(-A 、)1,3(B ，求点C 的坐标，并判断△ABC 的形状．12．已知△ABC 的一个顶点)4,1(--A ，B ∠、C ∠的平分线所在直线的方程分别为01:1=+y l ，01:2=++y x l ，求边BC 所在直线的方程13． 已知两点)3,2(A 、)1,4(B ，直线022:=-+y x l ，在直线l 上求一点P ．（1）使PB PA +最小；（2）使PB PA -最大．。
例析“直线关于直线对称”问题
例析“直线关于直线对称”问题2019-10-21⾼中数学解析⼏何《直线⽅程》部分涉及点关于点、直线关于点、点关于直线、直线关于直线对称四类问题，现就个⼈在教学中有关直线关于直线对称问题加以分析：（⼀）求已知直线与对称轴平⾏的直线⽅程例求已知直线L1：2x+3y-4=0关于直线2x+3y-6=0的对称直线L的⽅程。
解：由题意知：L1与对称直线2x+3y-6=0平⾏可设其对称直线的⽅程为2x+3y+C=0L1到2x+3y-6=0的距离等于L到对2x+3y-6=0的距离所求直线L的⽅程为：2x+3y-8=0评析：此题为求已知直线与对称轴平⾏的对称问题，解题时，只需利⽤平⾯⼏何知识，即平⾏间的距离相等便能使问题得到解决。
（⼆）求已知直线与对称轴相交的直线⽅程例求已知直线L1：x-y-1=0关于直线2x-y=0的对称直线L的⽅程。
解法1：由x-y-1=02x-y=0得x=-1y=-2（-1，-2）为两已知直线交点，且（-1，-2）也在直线L上。
设所求直线L的斜率为k，则：所求直线L的⽅程为y+2=7（x+1）即为：7x-y+5=0解法2：由解法1知交点为（-1，-2），在L1：x-y-1=0上设其⼀点为（1，0），则（1，0）关于2x-y=0对称点B（x0，y0）即：直线L1：x-y-1=0关于直线2x-y=0对称直线L的⽅程为7x-y+5=0解法3：设所求直线L上任意⼀点P（x0，y0），P点关于2x-y=0的对称点为P1（x1，y1），则P1在直线x-y-1=0上。
即：7x-y+5=0为所求直线L的⽅程评析：此类问题为求已知直线与对称轴相交的直线⽅程，⽅法有3种，各有优势。
其中第1种解法是由轴对称性质，对称轴与两条直线夹⾓相等，然后使⽤到⾓公式求出直线斜率，再利⽤点斜式求出所求直线⽅程；第⼆种⽅法是在已知直线上任找⼀点（特殊点也可），从⽽求出该点关于定直线的对称点，然后根据两点式求出直线⽅程，充分利⽤垂直平分来求解对称的直线⽅程；第三种⽅法由两条直线关于定直线对称，则这两条直线中任何⼀条直线上任意⼀点关于对称轴的点必在另⼀条直线上，对称轴是这两点的中垂线，由此可写出两点坐标间的关系式，⽤代⼊法求出直线⽅程。
浅论直线中的对称问题
浅论直线中的对称问题对称问题是高中数学中的基本问题之一,也是考试的热点和难点之一。
遗憾的是教材中仅有少量求直线对称的例题、习题,而求直线中的对称问题的方法也很少。
鉴于此,本文结合自己的教学实践,谈一下求直线中的对称问题的方法,权作抛砖引玉吧。
直线中的对称问题可以分为四类,即点关点对称、直线关于点对称、点关于直线对称和直线关于直线对称。
下面将依次将这四种对称问题的解题方法总结如下。
1 点关于点对称此类问题可用中点坐标公式求解。
解题方法:已知点A(x1,y1),B(x0,y0)求A 点关于点B的对称点C解:令C点坐标(x,y),则可由中点坐标公式得x=2x0-x1,y=2y0-y1所以点C(2x0-x1,2y0-y1)例1:求点A(2,2)关于点B(-2,-3)的对称点C,答案:(-6,-8)2 直线关于点对称此类问题可用距离公式或点关于点对称知识求解。
解题方法:已知直线l1:Ax+By+C=0,点P(x0,y0),求直线l1关于点p的对称直线l2的直线方程。
方法一:解:令所求对称直线l2的方程为:Ax+By+C1=0(C1≠C),则由两条平行线之间的距离公式可得直线l1,l2间距离d1=■,又由点P(x0,y0)可得点P到l1的距离d2=■,由对称知识知d1=2d2即■=2■,∴C-C1=2Ax0+By0+C0(去掉绝对值符号,根据对称知识排除一个C1值)例2:求直线2x+3y-6=0关于点A(1,-1)对称的直线方程,答案:2x+3y+8=0例3:求直线l:x-y-2=0关于点B(1,-4)对称的直线方程,答案:x-y-8=0方法二:解:在所求对称直线l2上任取一点Q(x,y),则点Q关于点P的对称点A(x1,y1),其中x1=2x0-x,y1=2y0-y,由对称知识知点A必在直线l1上,即满足A(2x0-x)+B(2y0-y)+C=0即所求对称直线方程为:-Ax-By+2Ax0+2By0+C=0 例4:求直线l:y=■x-1关于点A(2,3)对称的直线方程,答案:x-2y+10=0例5:求直线y=x+1关于原点对称的直线方程,答案:x-y-1=03 点关于直线对称此类问题可用直线垂直及中点公式求得。
高中数学专题---对称问题
高中数学专题--- 对称问题基本方法：对称问题是解析几何中的一个重要问题，主要类型有：1. 点关于点成中心对称问题（即线段中点坐标公式的应用问题）设点()000,P x y ，对称中心为(),A a b ，则点()000,P x y 关于(),A a b 的对称点为()002,2P a x b y '--.2. 点关于直线成轴对称问题由轴对称定义可知，对称轴即为两对称点连线的垂直平分线，利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程，就可以求出对称点的坐标，一般情形如下：设点()000,P x y 关于直线y kx b =+的对称点为(),P x y '''，则有0000122y y k x x y y x x k b '-⎧⋅=-⎪'-⎪⎨''++⎪=⋅+⎪⎩，可求得(),P x y '''.特殊情形：①点()000,P x y 关于直线x a =对称的点为()002,P a x y '-；②点()000,P x y 关于直线y b =对称的点为()00,2P x b y '-；③若对称轴的斜率为1±，则可把()000,P x y 直接代入对称轴方程求得对称点P '的坐标.一、典型例题1．已知椭圆C ：2214x y +=，A 为椭圆左顶点，设椭圆C 上不与A 点重合的两点D ，E 关于原点O 对称，直线AD ，AE 分别交y 轴于M ，N 两点．求证：以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长是定值．2．已知椭圆22143x y +=与直线y kx m =+相交于不同的两点,M N ，如果存在过点10,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l ,使得点M N ,关于l 对称，求实数m 的取值范围.二、课堂练习1．已知椭圆22184x y +=，上顶点为,P O 为坐标原点，设线段PO 的中点为M ，经过M 的直线l 与椭圆交于,A B 两点，()3,0C -，若点A 关于x 轴的对称点在直线BC 上，求直线l 方程.2．已知椭圆22:194x y C +=. 点P 为圆22:13M x y +=上任意一点，O 为坐标原点.设直线l 经过点P 且与椭圆C 相切，l 与圆M 相交于另一点A ，点A 关于原点O 的对称点为B ，证明：直线PB 与椭圆C 相切.三、课后作业1．已知椭圆:Γ221106x y+=.ABC∆的顶点都在椭圆Γ上，其中,A B关于原点对称，试问ABC∆能否为正三角形？并说明理由.2．已知椭圆2212yx+=，记椭圆的右顶点为C，点(),D m n（0n≠）在椭圆上，直线CD交y轴于点M，点E与点D关于y轴对称，直线CE交y轴于点N．问：x轴上是否存在点Q，使得OQM ONQ∠=∠（O为坐标原点）？若存在，求点Q坐标；若不存在，说明理由．3．已知椭圆22413yx+=，右顶点为A，设直线l：1x=-上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相交于点D. 若APD线AP 的方程.。
对称问题直线中的几类对称问题高考数学专题讲座讲义
偶函数图像关于y轴对称
周期函数图像关于其周期对称
函数图像的平移、旋转和伸缩 变换
感谢观看
汇报人：XX
函数图像：考察 对称性在判断函 数图像中的应用
几何图形：考察 对称性在判断几 何图形中的应用
概率统计：考察 对称性在概率统 计问题中的应用
04
对称问题的解题思路和技巧
解题思路
识别对称：确定问题中的对称性， 明确对称轴或对称中心。
利用性质：利用对称性质，如对 称点的距离相等或对称轴上的点 具有相同的坐标。
性质：对称直线的斜率互为相反数，且与对称轴的交点坐标相同。
应用：在几何、代数、解析几何等领域中都有广泛应用，是解决对称问题的重要方法之一。
举例：在解析几何中，直线关于线对称的应用可以解决一些与直线相关的对称问题，例如求两 条直线的中点坐标、求两条直线的交点等。
直线关于面对称
定义：直线关于某平面对称，是指该直线上的任意一点关于该平面对 称的点仍在直线上。
对称性在数学中 的重要性：对称 性是数学中一个 重要的概念，它 不仅在代数中有 广泛的应用，还 在几何、分析等 领域中有重要的 应用。
对称性问题在数 学中的发展：随 着对称性在数学 中的不断发展， 对称性问题已经 成为数学研究的 一个重要方向， 对于推动数学的 发展具有重要意 义。
函数图像中的对称问题
对称问题涉及到对称性、对 称变换、对称群等概念。
对称问题可以通过对称操作、 对称元素、对称轴等来描述
和分类。
对称问题的常见类型
点对称：点关于点对称，如几何图形中的中心对称 线对称：线关于线对称，如平行线、垂直线等 面对称：面关于面对称，如平面几何中的轴对称 旋转对称：图形绕某点旋转一定角度后与自身重合，如正多边形和圆
直线中的四类对称问题及讲解
直线中的几类对称问题对称问题，是解析几何中比较典型，高考中常考的热点问题. 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称.一、点关于点的对称问题点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.分析 易知B 是线段AC 的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解.解 由题意知，B 是线段AC 的中点，设点C （x ，y ），由中点坐标公式有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=245223x x ，解得⎩⎨⎧==64y x ，故C （4，6）. 点评 解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解. 另外此题可以利用中点的性质AB=BC ，以及A ，B ，C 三点共线的性质去列方程来求解.二、点关于直线的对称问题点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标.分析 因为A ，A ′关于直线对称，所以直线l 是线段AA ′的垂直平分线. 这就找到了解题的突破口.解 据分析，直线l 与直线AA ′垂直，并且平分线段AA ′，设A ′的坐标为（x ，y ），则AA ′的中点B 的坐标为.13,23,21•x y •k •y ••x A A --=⎪⎭⎫ ⎝⎛++' 由题意可知，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙--=-+⨯++121130323221x y y x ， 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=5153y x . 故所求点A ′的坐标为.51,53•••⎪⎭⎫ ⎝⎛--三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.分析 本题可以利用两直线平行，以及点P 到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P 的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.解法一 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得2222112|11|112|1611|++=++c ，即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c= -38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.解法二 在直线2x+11y+16=0上取两点A （-8，0），则点A （-8，0）关于P （0，1）的对称点的B （8，2）. 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.将B （8，2）代入，解得c=-38.故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.点评 解法一利用所求的对称直线与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c ，使问题解决；解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程.四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.分析 转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.解 设直线l 的方程为x-y+c=0，在直线l 1：x-y-1=0上取点M （1，0），则易求得M 关于直线l 2：x-y+1=0的对称点N （-1，2），将N 的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3，故所求直线l 的方程为x-y+3=0.点评 此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l 的形式，然后再在直线l 2上任取一点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.例5 试求直线l 1：x-y-2=0关于直线l 2：3x-y+3=0对称的直线l 的方程.直线l 的方程为7x+y+22=0.方法提示：本题可以先求l 1，l 2的交点A ，再在直线l 1上取异于点A 的任意点B ，再求点B 关于点A 的对称点B ′，最后由A ，B ′两点写出直线l 的方程.。
直线中的对称问题6种考法
直线中的对称问题一、点关于点的对称问题1、实质：该点是两对称点连线段的中点2、方法：利用中点坐标公式平面内点()00,y x A 关于()b a P ,对称点坐标为()002,2y b x a --，平面内点()11,y x A ，()22,y x A '关于点⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x P 对称二、直线关于点的对称问题 1、实质：两直线平行2、法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l 上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A 对称的点，然后求出直线方程）法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等） 三、点关于直线的对称问题1、实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点()00,x y 关于直线0++=Ax By C 的对称点(),x y ''，则'0'0''01022⎧-⎛⎫-=- ⎪⎪-⎪⎝⎭⎨++⎪++=⎪⎩y y A x x B x x y y A B c （2）当直线斜率不存在时：点()00,x y 关于m x =的对称点为()002,-m x y 2、常见的点关于直线的对称点（1）点()00,x y 关于x 轴的对称点为()00,x y -； （2）点()00,x y 关于y 轴的对称点为()00,x y -； （3）点()00,x y 关于直线y x =的对称点为()00,y x ； （4）点()00,x y 关于直线y x =-的对称点为()00,y x --；（5）点()00,x y 关于直线x m =的对称点为()002,m x y -； （6）点()00,x y 关于直线y n =的对称点为()00,2x n y -；（7）点()00,x y 关于直线0x y m -+=的对称点为()00,,y m x m -+； （8）点()00,x y 关于直线0x y m +-=的对称点为()00,,y m x m ---+； 四、直线关于直线的对称问题1、当1l 与l 相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题；求直线1:0l ax by c ++=，关于直线2:0l dx ey f ++=（两直线不平行）的对称直线3l 第一步：联立12l l ，算出交点00()P x y ，第二步：在1l 上任找一点（非交点）11()Q x y ，，求出关于直线对称的点22()Q x y '， 第三步：利用两点式写出3l 方程2、当1l 与l 平行时：对称直线与已知直线平行.两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得。
解析几何：直线中的对称问题
一：直线关于直线对称【结论】直线0ax by c ++=关于直线=0Ax By C ++对称的直线方程为：222+2ax by c aA bB Ax By C A B ++=+++ 如此对称漂亮的等式相信对于各位的记忆并不困难吧！当然最后你别忘了将之化成直线方程的标准形式二：直线关于点对称这个要简单好多，首先直线关于某点对称的直线，其斜率保持一致（前提是该直线不过此点），再借助点到两直线的距离相等即可解决问题。
由于距离公式涉及到绝对值符号，很多同学在处理这一步的时候走了点弯路，还去讨论情况什么的，甚至还有人进行两边平方，实际上我们很容易知道，绝对值符号内的部分肯定是互为相反数——因为相等的情况就是该直线本身。
【例】求直线0ax by c ++=关于点00P(x ,y )对称的直线方程解：设所求直线方程0ax by d ++=，其中d 由方程0000()(ax by c)0ax by d +++++=来求三：点关于直线已知点M(x 0,y 0)和直线 l ：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）,求点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标，这是高中数学教学中常见的问题。
其求法是简单的，设M′(x，y)，利用直线l 是线段MM′的中垂线,列出方程组，解方程组便可求得M′点的坐标。
由于在教学中遇到此类问题很多，屡屡列方程组并解之不胜其烦，所以不如做一回傻事，就一般情况推导出其坐标公式，“毕其功于一役”，省得以后劳苦再三。
但需说明的是，此公式虽如此优美，但仅适合于教师使用。
而不提倡学生使用此公式（额外增加了记忆负担）。
定理：已知点M(x 0,y 0)和直线 l ：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）,点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标(x ，y)，则 00022000222(x ,y )2(x ,y )Af x x A B Bf y y A B =-+=-+ 其中(x,y)Ax By f C =++证明：设点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标是(x ，y)，∵ l⊥MM′,∴ [(y -y 0)/(x-x 0)](-A/B)=-1,∴ y=y 0+B(x-x 0)/A , ①∵ 线段MM′的中点在直线l 上，∴ A(x+x 0)/2+B(y+y 0)/2+C=0,∴Ax+By+C+Ax 0+By 0+C=0,即 Ax+By+C+f(x 0,y 0)=0, ②将①代入②，得Ax+B[y 0+B(x-x 0)/A]+C+f(x 0,y 0)=0,∴ A 2x+B[Ay 0+B(x-x 0)]+AC+Af(x 0,y 0)=0,∴ A 2x+ABy 0+B 2x-B 2x 0+AC+Af(x 0,y 0)=0,∴ (A 2+B 2)x-A 2x 0-B 2x 0+A 2x 0+ABy 0+AC+Af(x 0,y 0)=0,即 (A 2+B 2)x-（A 2+B 2）x 0+2Af(x 0,y 0)=0,∴ x=x 0-2Af(x 0,y 0)/(A 2+B 2),把上式代入①，得y=y 0+B[-2Af(x 0,y 0)/A(A 2+B 2)]=y 0-2Bf(x 0,y 0)/(A 2+B 2).(证毕)例1 已知点M(3,4)和直线 l ： x-y=0,点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标。
高三数学解析几何直线方程中四类对称问题及应用
四类对称问题及其应用我们所谓的四类对称问题大致上有以下四种：点关于点对称；点关于线对称；线关于点对称；线关于线对称。
一、点关于点的对称如果点P)(00y x ，与P '关于点M （a ，b ）对称，则M 是线段P P '的中点，P)(00y x ，−−−−−−−→−）的对称点，（关于点b a M P '()2200y b x a --，( 依据中点坐标公式)特别的P )(00y x ，−−−−−→−关于坐标原点对称P '(00y x --，) 二、点关于直线对称求一点P0(x0,y0)关于一条直线Ax+By+C=0的对称点P 的坐标的问题。
(1) 直线Ax+By+C=0为特殊直线y=x 、y=-x 、x 轴、y 轴、x=a 、y=b 时,对称点的坐标分别为P1(y0,x0)、P2(-y0,-x0)、P3(x0,-y0)、P4(-x0,y0)、P5(2a-x0,y0)、P6(x0,2b-y0)。
(2) 直线Ax+By+C=0为一般直线时，可设P1的坐标为(x1，y1)，则PP1的中点满足直线方程Ax+By+C=0,并且PP1的斜率与直线Ax+By+C=0的斜率之积为-1,可以得到关于x1、y1的一个二元一次方程组，从而可以解出x1、y1。
(3)公式法. 设P1的坐标为(x1，y1)，由公式⎪⎩⎪⎨⎧+++-=+++-=220001220001)(2)(2B A C By Ax B y y B A C By Ax A x x求出x1、y1的值。
三、直线和直线关于点对称求直线A1x+B1y+C1=0关于点P(x0,y0)对称的直线方程。
根据对称性，只需将直线方程A1x+B1y+C1=0中的x 换为2x0-x 、y 换为2y0-y ，即可求出要求直线的方程。
四、直线关于直线对称求一直线A1x+B1y+C1=0关于直线A0x+B0y+C0=0对称的直线方程。
(1) 直线A0x+B0y+C0=0为特殊的直线x 轴、y 轴、y=x 、y=-x 时，直线A1x+B1y+C1=0关于直线A0x+B0y+C0=0对称的直线方程分别为A1x-B1y+C1=0、-A1x+B1y+C1=0、A1y+B1x+C1=0、-A1y-B1x+C1=0。
数学对称问题解析
数学对称问题解析对称问题是高中数学的重要内容之一，在高考数学试题中常出现一些构思新颖解法灵活的对称问题，为使对称问题的知识系统化，本文特作以下归纳。
一、点关于已知点或已知直线对称点问题1、设点P(x，y)关于点(a,b)对称点为P′(x′，y′)，x′=2a-x由中点坐标公式可得：y′=2b-y2、点P(x，y)关于直线L：Ax+By+C=O的对称点为x′=x-(Ax+By+C)P′(x′，y′)则y′=y-(AX+BY+C)事实上：∵PP′⊥L及PP′的中点在直线L上，可得：Ax′+By′=-Ax-By-2C解此方程组可得结论。
(- )=-1(B≠0)特别地，点P(x，y)关于1、x轴和y轴的对称点分别为(x，-y)和(-x，y)2、直线x=a和y=a的对标点分别为(2a-x，y)和(x，2a-y)3、直线y=x和y=-x的对称点分别为(y，x)和(-y，-x)例1 光线从A(3,4)发出后经过直线x-2y=0反射，再经过y轴反射，反射光线经过点B(1,5)，求射入y轴后的反射线所在的直线方程。
解：如图，由公式可求得A关于直线x-2y=0的对称点A′(5,0)，B关于y轴对称点B′为(-1,5)，直线A′B′的方程为5x+6y-25=0｀C(0, )｀直线BC的方程为：5x-6y+25=0二、曲线关于已知点或已知直线的对称曲线问题求已知曲线F(x，y)=0关于已知点或已知直线的对称曲线方程时，只须将曲线F(x，y)=O 上任意一点(x，y)关于已知点或已知直线的对称点的坐标替换方程F(x，y)=0中相应的作称即得，由此我们得出以下结论。
1、曲线F(x，y)=0关于点(a,b)的对称曲线的方程是F(2a-x，2b-y)=02、曲线F(x，y)=0关于直线Ax+By+C=0对称的曲线方程是F(x-(Ax+By+C)，y-(Ax+By+C))=0特别地，曲线F(x，y)=0关于(1)x轴和y轴对称的曲线方程分别是F(x，-y)和F(-x，y)=0(2)关于直线x=a和y=a对称的曲线方程分别是F(2a-x，y)=0和F(x，2a-y)=0(3)关于直线y=x和y=-x对称的曲线方程分别是F(y，x)=0和F(-y，-x)=0除此以外还有以下两个结论：对函数y=f(x)的图象而言，去掉y轴左边图象，保留y轴右边的图象，并作关于y轴的对称图象得到y=f(|x|)的图象；保留x轴上方图象，将x轴下方图象翻折上去得到y=|f(x)|的图象。
专题直线中的对称问题
专题六：对称与对称问题对称和对称问题在高中数学课本中虽然没有专门研究，但在高中数学中多处出现。
纵观历届高考试题对称问题频频考查，应引起我们足够重视。
下面对这类问题的解法作了一点归纳，供同学们参考。
一、对称的基本问题举例（1）点关于点的对称点问题点关于点的对称问题是最基本对称，是解答其它对称问题的基础。
（利用中点坐标公式）①点关于原点的对称点为②点关于点的对称点为例1：已知点，试求A 点关于B 点的对称点C 的坐标。
（2）点关于直线的对称点问题常见的点关于直线的对称点坐标之间关系，在此再强调一次必须记熟。
①点关于x 轴的对称点为②点关于y 轴的对称点为③点关于直线y=x 的对称点为 ④点关于直线y=-x 的对称点为⑤点关于直线x=m 的对称点为⑥点关于直线y=n 的对称点为⑦),(b a A 点关于直线m x y +=的对称点为),(,m a m b A +-⑧),(b a A 点关于直线m x y +-=的对称点为),(,m a b m A +-- ⑨点关于直线）且斜率不为10,0(±≠≠B A 的对称点的求法：令，则有解此方程组，可得对称点的坐标。
（点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线的斜率是已知直线斜率的负倒数（仅指斜率存在的情况，如斜率不存在时较简单））例2：点)1,2(P 关于直线03=++y x 的对称点为 关于直线022=+-y x 的对称点为),(y x )0,0(),(y x --),(y x ),(b a )2,2(y b x a --)1,4(),8,5(B A ),(b a A ),(b a A -'),(b a A ),(b a A -'),(b a A ),(a b A '),(b a A ),(a b A --'),(b a A ),2(b a m A -'),(b a A )2,(b n a A -'),(b a A 0=++C By Ax A '),( y x A '⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++⋅++⋅-=-∙--0221)(C b y B a x A B A a x b y A '),(b a A ),( y x A ')2,2(b y a x P ++（3）直线关于点的对称直线问题①直线关于点的对称直线为②特殊地：直线关于原点的对称直线为例3：求直线022=+-y x 关于点)1,2(P 的对称直线方程（4）直线关于直线的对称直线问题常见的直线关于直线的对称直线关系。
第七章 第2节 直线关于直线的对称问题-解析版
第2节 直线关于直线的对称问题知识与方法1.对称问题是平面解析几何中的一类重要的问题，在很多问题中，我们也会运用对称的思想来解题，这一小节我们解决求直线a 关于直线l 的对称直线a '的问题，这类题求解的时候要抓住两点：（l ）所求直线a '经过直线a 和直线l 的交点P ；（2）对称轴l 上除P 外的另一点到a 和a '的距离相等.2．技巧：当对称轴直线l 的斜率是1±时，可直接由对称轴方程将x 、y 反解出来，代入直线a 的方程，整理即可得到a 关于直线l 的对称直线a '的方程.典型例题【例题】直线1:10l x y +-=关于直线2:330l x y --=的对称直线l 的方程为______.【解析】11013300x y x l x y y +-==⎧⎧⇒⇒⎨⎨--==⎩⎩和2l 的交点为()1,0P ， 直线l 也过点P ，可设其方程为()10A x By -+=， 整理得：0Ax By A +-=，在对称轴2l 上取点()0,3Q -，则点Q 到直线1l 和l 的距离相等，其中A 、B 不同时为0223132B A A B----+B A =或7B A =-，若B A =，则直线l 的方程为0Ax Ay A +-=， 即10x y +-=，此时l 与1l 重合，不合题意，所以7B A =-，故直线l 的方程为70Ax Ay A --=，即710x y --=.【答案】710x y --= 变式1 直线1:220l x y -+=关于直线2:10l x y -+=的对称直线l 的方程为______.【解析】1101x y x y y x =-⎧-+=⇒⎨=+⎩，代入直线1l 的方程为：()()12120y x --++=， 整理得所求直线l 的方程为210x y -+=.【答案】210x y -+=变式2 直线1:220l x y -+=关于直线2:10l x y ++=的对称直线的方程为______.【解析】1101x y x y y x =--⎧++=⇒⎨=--⎩，代入直线1l 的方程得：()()12120y x -----+=，整理得所求直线l 的方程为230x y -+=.【答案】230x y -+=【反思】当对称轴的斜率为1±时，可以使用小技巧来求对称直线的方程，若斜率不是1±，则不能这样做.强化训练1.（★★★）直线l 1:20l x y --=关于直线:330l x y -+=的对称直线2l 的方程为______. 【解析】1520233092x x y l x y y ⎧=-⎪--=⎧⎪⇒⇒⎨⎨-+=⎩⎪=-⎪⎩与l 的交点为59,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，直线2l 也经过点P ， 可设2l 的方程为59022A x B y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：22590Ax By A B +++=，其中A 、B 不同时为0，在直线l 上取点()1,0Q -，则点Q 到1l 和2l 的距离相等， 2212259244A A B A B ---+++，故A B =-或7A B =， 若A B =-，则直线2l 的方程为2240Bx By B -++=，即20x y --=，与1l 重合，不合题意， 所以7A B =，直线2l 的方程为142440Bx By B ++=，化简得：7220x y ++=.【答案】7220x y ++=2.（★★★）直线1:2310l x y --=关于直线:40l x y +-=的对称直线2l 的方程为______.【解析】4404x y x y y x =-⎧+-=⇒⎨=-⎩，代入直线1l 的方程可得：()()243410y x ----=， 化简得所求直线2l 的方程为3250x y --=.【答案】3250x y --=3.（★★★）一光线从点()0,2P 发出，入射到直线:10l x y --=上的点()1,0Q 后被反射，则反射光线所在的直线的方程为______.【解析】如图，由题意，应有反射光线所在的直线和直线PQ 关于直线l 对称，直线PQ 的斜率20201k -==--，其方程为22y x =-+，即220x y +-=， 1101x y x y y x =+⎧--=⇒⎨=-⎩，代入直线PQ 的方程可得：()()21120y x ++--=，化简得反射光线所在直线的方程为210x y +-=.【答案】210x y +-=。
高中数学直线中对称问题归类解析
直线中对称问题归类解析直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称。
下面谈谈各类对称问题的具体求解方法。
1、点关于点的对称例1已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （o x ，o y ）。
分析：利用点关于点对称的几何特性，直接应用中点坐标公式求解。
解：设点A （－2，3）关于点P （1，1）的对称点为B （o x ，o y ），则由中点坐标公式得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-123122o o y x 解得⎩⎨⎧-==14o o y x 所以点A 关于点P （1，1）的对称点为B （4，－1）。
评注：利用中点坐标公式求解完之后，要返回去验证，以确保答案的准确性。
2、直线关于点的对称例2求直线043:1=--y x l 关于点P （2，－1）对称的直线2l 的方程。
解法1：（用点到直线距离公式）分析：由已知条件可得出所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线方程为03=+-b y x 。
解：由直线2l 与043:1=--y x l 平行，故设直线2l 方程为03=+-b y x 。
由已知可得，点P 到两条直线距离相等，得13161341622+++=+-+b 解得10-=b ，或4-=b （舍）。
则直线2l 的方程为0103=--y x 评注：充分利用直线关于点对称的特性：对称直线与已知直线平行且点P 到两条直线的距离相等。
几何图形特性的灵活运用，可为解题寻找一些简捷途径。
解法2:（利用中点坐标法）分析：设已知直线1l 上任意点A （a ，b ），对称点P(x 0，y 0)即为中点坐标，则对称点A ’(a x -02，b y -02)在与已知1l 的对称直线2l 上，两直线平行，可设为03=+-b y x ，带入即可求出2l 解：设A （1，-1）在直线043:1=--y x l 上，关于点P （2，-1）的对称点A ’(3，-1)把点A ‘(3,-1)带入直线03=+-b y x 得b=-10.则直线2l 为0103=--y x 解法3：（利用图像平移法）分析：取已知直线上与对称点P 相同的横坐标或纵坐标，求出点A 坐标，根据AP 之间距离可得AA ‘之间距离’，已知两直线平行，可让原直线根据方向平移既得直线解：取直线043:1=--y x l 与对称点P(2，-1)相同的横坐标的点A 为（2,2），则AP 之间的距离为3，可知直线需要向下平移6个单位，带入043=--y x 可得直线为0103=--y x 注：如果是纵坐标呢？3、点关于直线的对称例3求点A （2，2）关于直线0942=+-y x 的对称点坐标。
直线的对称问题PPT课件
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
特殊地:点M (a,b)关于原点对称 的点的坐标是M '(a, b).
② 线关于点的对称问题：
说明两直线关于一点对称的几何特征
m B
A n
P
C
D
方法小结
直线m上任取两点A、B求出n上的 对称点C、D后，由两点确定一条直线
对称中心到两平行直线的距离相 等，利用平行直线系。
n上的任意一点的对称点在m上 ， 利用相关点法。
练一练、求直线3x-y+2=0关于点(1,2)对称的直线方程。
思路点拨：将直线的对称转化为直线上 点的对称.
解：在所求直线上任取一点（x,y) 则该点关于(1,2)的对称点(2-x,4-y)在 直线3x-y+2=0上
3x-y+2=0 y
o
x
即 3(2-x)-(4-y)+2=0
一点P，使它到两定点A （3，4）B（1，1）的距离之和最小。
Y
y=x-1
A
BP O
A' X
P(7 , 4) 33
拓展练习:
2、在直线y=x-1上求一点P，使它到两定点A
（3，4）B（1，-1）的距离之差的绝对值最大。
Y
y=x-1
直线方程对称问题知识点总结
直线方程对称问题知识点总结直线方程对称问题是解析几何中的重要概念，其中包括关于直线的对称性质和对称方程的应用。
下面将从对称性质、对称方程的性质和常见应用三个方面对直线方程对称问题进行总结。
一、对称性质1. 直线的对称性质：直线是平面中具有对称性质的图形，即直线上的一点关于直线的对称点仍然在直线上。
对称性质是直线方程对称问题的基础，也是研究直线方程的重要性质之一。
2. 点关于直线的对称点：设点A(x1, y1)关于直线y=kx+b对称的点为A'(x2, y2)，则有两个关系式：(1)点A和A'位于直线上，即y1=kx1+b，y2=kx2+b；(2)点A关于直线的斜率k的条件反射，即k1=k2。
3. 点和直线关于坐标轴的对称性质：若点(x, y)关于x轴对称，则对称点为(x, -y)；若点(x, y)关于y轴对称，则对称点为(-x, y)；若点(x, y)关于原点对称，则对称点为(-x, -y)。
对于直线来说，若直线关于x轴对称，则对称直线的方程为y=-kx-b；若直线关于y轴对称，则对称直线的方程为y=kx-b。
二、对称方程的性质1. 直线关于x轴对称的对称方程：当一条直线关于x轴对称时，这条直线的方程可以通过将直线上的点(x, y)的y坐标取相反数得到，即对称方程为y=-kx-b。
2. 直线关于y轴对称的对称方程：当一条直线关于y轴对称时，这条直线的方程可以通过将直线上的点(x, y)的x坐标取相反数得到，即对称方程为y=kx-b。
3. 直线关于原点对称的对称方程：当一条直线关于原点对称时，这条直线的方程可以通过将直线上的点(x, y)的x和y坐标都取相反数得到，即对称方程为y=-kx+b。
三、常见应用1. 求直线关于x轴、y轴、原点的对称直线方程：根据对称方程的性质，可以通过将直线方程中的坐标轴或原点的坐标取相反数来求得求对称直线方程。
2. 求直线关于给定直线的对称直线方程：给定一条直线l:y=kx+b，要求直线l关于直线y=k1x+b1的对称直线方程，可根据点关于直线的对称点的特性进行求解。
直线中的对称问题方法总结及典型例题
直线中的对称问题—4类对称题型直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨：一、点关于点对称问题解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础.例1.求点（1）()3,1A 关于点()2,3P 的对称点'A 的坐标,（2）()2,4A ，()'0,2A 关于点P 对称，求点P 坐标.解：由题意知点P 是线段'AA 的中点,所以易求（1）()'1,5A（2）()1,3P .因此，平面内点关于对称点坐标为平面内点，关于点对称二、点关于线对称问题 求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得.例2．已知点直线：，求点关于直线的对称点的坐标 解:法（一）解：设，则中点坐标为且满足直线的方程 ①又与垂直，且斜率都存在即有 ②由①②解得 ，法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出的直线方程进而求与的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求坐标.三、线关于点对称问题求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题.例3．求直线：关于点的对称直线的方程.解:法（一）直线：与两坐标轴交点为，点关于对称点点关于对称点过的直线方程为故所求直线方程为.法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式，求出直线方程.四、线关于线的对称问题求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程.例4．求已知直线：关于直线对称的直线方程.解：在：上任取一点直线的斜率为3过点且与直线垂直的直线斜率为，方程为得所以点为直线与的交点，利用中点坐标公式求出关于的对称点坐标为又直线与的交点也在所求直线上由得所以交点坐标为.过和的直线方程为，故所求直线方程.。
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直线中对称问题归类解析
直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称。
下面谈谈各类对称问题的具体求解方法。
1、点关于点的对称
例1已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （o x ，o y ）。
分析：利用点关于点对称的几何特性，直接应用中点坐标公式求解。
解：设点A （－2，3）关于点P （1，1）的对称点为B （o x ，o y ），则由中点坐标公式得
⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-12
3122o o y x 解得⎩⎨⎧-==14o o y x 所以点A 关于点P （1，1）的对称点为B （4，－1）。
评注：利用中点坐标公式求解完之后，要返回去验证，以确保答案的准确性。
2、直线关于点的对称
例2求直线043:1=--y x l 关于点P （2，－1）对称的直线2l 的方程。
解法1：（用点到直线距离公式）
分析：由已知条件可得出所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线方程为03=+-b y x 。
解：由直线2l 与043:1=--y x l 平行，故设直线2l 方程为03=+-b y x 。
由已知可得，点P 到两条直线距离相等，得1
316134
1622+++=+-+b 解得10-=b ，或4-=b （舍）。
则直线2l 的方程为0
103=--y x 评注：充分利用直线关于点对称的特性：对称直线与已知直线平行且点P 到两条直线的距离相等。
几何图形特性的灵活运用，可为解题寻找一些简捷途径。
解法2:（利用中点坐标法）
分析：设已知直线1l 上任意点A （a ，b ），对称点P(x 0，y 0)即为中点坐标，则对称点A ’(a x -02，b y -02)在与已知1l 的对称直线2l 上，两直线平行，可设为03=+-b y x ，带入即可求出2
l 解：设A （1，-1）在直线043:1=--y x l 上，关于点P （2，-1）的对称点A ’(3，-1)
把点A ‘(3,-1)带入直线03=+-b y x 得b=-10.则直线2l 为0
103=--y x 解法3：（利用图像平移法）
分析：取已知直线上与对称点P 相同的横坐标或纵坐标，求出点A 坐标，根据AP 之间距离可得AA ‘之间距离’，已知两直线平行，可让原直线根据方向平移既得直线
解：取直线043:1=--y x l 与对称点P(2，-1)相同的横坐标的点A 为（2,2），则AP 之间的距离为3，可知直线需要向下平移6个单位，带入043=--y x 可得直线为0
103=--y x 注：如果是纵坐标呢？
3、点关于直线的对称
例3求点A （2，2）关于直线0942=+-y x 的对称点坐标。
解法1（利用中点转移法）：设点A （2，2）关于直线0942=+-y x 的对称点为A′（0x ，0y ），则直线AA′与已知直线垂直，故可设直线AA′方程为024=++c y x ，把A （2，2）坐标代入，可求得c=-12。
∴直线AA′方程为062=-+y x 。
由方程组⎩⎨⎧=-+=+-0
620942y x y x 解得AA′中点M （23，3）。
由中点坐标公式得
23220=+x ，3220=+y ，解得10=x ，40=y ∴所求的对称点坐标为（1，4）。
评注：解题时，有时可先通过求中间量，再利用中间量求解结果。
解法2（相关点法）分析：设B （a ，b ）是A （2，2）关于直线
的对称点，则直线AB
与l 垂直，线段AB 中点在直线上。
解：设B （a ，b ）是A （2，2）关于直线0942=+-y x 的对称点，根据直线AB 与l 垂直，线段AB 中点在直线0942=+-y x 上，则有⎪⎩
⎪⎨⎧=++⋅-+⋅-=--⋅09224222121b a b
解得
∴所求对称点的坐标为（1，4）。
评注：①中点在0942=+-y x 上；②所求点与已知点的连线与0942=+-y x 垂直。
4、直线关于直线的对称
例4求直线02:1=--y x l 关于直线033:0=+-y x l 对称的直线2l 的方程。
解法1（动点转移法）分析：设所求直线1l 上任一点为P （1x ，1y ），求其对称点坐标，并将其对称点坐标代入直线1l 方程进行求解。
解：设所求直线1l 上任意一点P （1x ，1y ）（P 不在2l 上）关于2l 的对称点为Q （2x ，2y ），
则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=++-+⋅10
322312122121x x y y y y x x 解得⎪⎩
⎪⎨⎧++=-+-=53435934221221y x y y x x 又因为点P 在1l 上运动，则02=--y x 代入P 点的
02534359342222=-++--+-y x y x ，解得0227=++y x 。
即直线2l 的方程为0227=++y x 。
评注：直线关于直线对称实质是点关于线的对称。
此题还可在直线上任取一点（非两直线交点）并求其关于直线的对称点，则该对称点与两直线交点的连线便是所求对称直线。
解法2（特殊点法）分析：三条直线共同点为O （5-，9-）,设直线1l 上任意一点A （2，0）而2l 上的对称点A ’(a ，b)则中点坐标为（22+a ，2b ），中点代入0l ，利用k 值构造方程解出解：公共点为O （25-，29-），A ’(a ，b)，中点坐标为（22+a ，2
b ）得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+-+⋅10
323b b a 解得a=-3.4，b=1.8，再利用两点法求出直线0227=++y x 解法3：（角平分线法）分析：三条直线共点O （25-，29-），此刻0l 为1l 、2l 的角平分线，利用角平分线性质，可设0l 上的点P （1,6）到1l 、2l 的距离相等，设2l 为29)25(-+=x k y ，用点到直线公式解决解：共点O （5-，9-），0l 上的点P （1,6），设2l 为9)5(-+=x k y 可得1126112
96)251(2+--=+--+=k k d 解得k=-7，k=1（舍）所以得0
227=++y x 解法4：（到角公式法）
解：共点O （25-，29-），设2l 为29)25(-+=x k y 即为02
925=-+-k y kx ，02:1=--y x l 的k 1=1，033:0=+-y x l 的k 0=3由题意可知1l 到1l 与0l 到2l 的角相等，
（到角公式：1l 到0l 角为α，则1
0101tan k k k k --=α）则k
k 3133113+-=+-，解得k=-7所以得2l ：0227=++y x 注：如果直线与直线对称且直线平行则利用直线关于点对称的类似方法解
习题：
1、已知直线033:=+-y x l ，求
（1）点P （4,5）关于l 的对称点坐标；
（2）直线l 关于点A （3,2）的对称直线方程；
（3）直线2-=x y 关于l 的对称直线方程。
2、直线033:1=+-y x l 关于直线05:0=+-y x l 的对称直线2l 的方程
3、直线042:1=+-y x l 关于直线02:0=-+y x l 的对称直线2l 的方程
4、直线01032:1=+-y x l 关于直线0243:0=-+y x l 的对称直线2l 的方程。