高中数学直线中对称问题归类解析

直线中对称问题归类解析

直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称。下面谈谈各类对称问题的具体求解方法。

1、点关于点的对称

例1已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （o x ，o y ）。

分析：利用点关于点对称的几何特性，直接应用中点坐标公式求解。

解：设点A （－2，3）关于点P （1，1）的对称点为B （o x ，o y ），则由中点坐标公式得

⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-12

3122o o y x 解得⎩⎨⎧-==14o o y x 所以点A 关于点P （1，1）的对称点为B （4，－1）。评注：利用中点坐标公式求解完之后，要返回去验证，以确保答案的准确性。

2、直线关于点的对称

例2求直线043:1=--y x l 关于点P （2，－1）对称的直线2l 的方程。

解法1：（用点到直线距离公式）

分析：由已知条件可得出所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线方程为03=+-b y x 。

解：由直线2l 与043:1=--y x l 平行，故设直线2l 方程为03=+-b y x 。

由已知可得，点P 到两条直线距离相等，得1

316134

1622+++=+-+b 解得10-=b ，或4-=b （舍）。则直线2l 的方程为0

103=--y x 评注：充分利用直线关于点对称的特性：对称直线与已知直线平行且点P 到两条直线的距离相等。几何图形特性的灵活运用，可为解题寻找一些简捷途径。

解法2:（利用中点坐标法）

分析：设已知直线1l 上任意点A （a ，b ），对称点P(x 0，y 0)即为中点坐标，则对称点A ’(a x -02，b y -02)在与已知1l 的对称直线2l 上，两直线平行，可设为03=+-b y x ，带入即可求出2

l 解：设A （1，-1）在直线043:1=--y x l 上，关于点P （2，-1）的对称点A ’(3，-1)

把点A ‘(3,-1)带入直线03=+-b y x 得b=-10.则直线2l 为0

103=--y x 解法3：（利用图像平移法）

分析：取已知直线上与对称点P 相同的横坐标或纵坐标，求出点A 坐标，根据AP 之间距离可得AA ‘之间距离’，已知两直线平行，可让原直线根据方向平移既得直线

解：取直线043:1=--y x l 与对称点P(2，-1)相同的横坐标的点A 为（2,2），则AP 之间的距离为3，可知直线需要向下平移6个单位，带入043=--y x 可得直线为0

103=--y x 注：如果是纵坐标呢？

3、点关于直线的对称

例3求点A （2，2）关于直线0942=+-y x 的对称点坐标。

解法1（利用中点转移法）：设点A （2，2）关于直线0942=+-y x 的对称点为A′（0x ，0y ），则直线AA′与已知直线垂直，故可设直线AA′方程为024=++c y x ，把A （2，2）坐标代入，可求得c=-12。

∴直线AA′方程为062=-+y x 。

由方程组⎩⎨⎧=-+=+-0

620942y x y x 解得AA′中点M （23，3）。由中点坐标公式得

23220=+x ，3220=+y ，解得10=x ，40=y ∴所求的对称点坐标为（1，4）。

评注：解题时，有时可先通过求中间量，再利用中间量求解结果。

解法2（相关点法）分析：设B （a ，b ）是A （2，2）关于直线

的对称点，则直线AB

与l 垂直，线段AB 中点在直线上。解：设B （a ，b ）是A （2，2）关于直线0942=+-y x 的对称点，根据直线AB 与l 垂直，线段AB 中点在直线0942=+-y x 上，则有⎪⎩

⎪⎨⎧=++⋅-+⋅-=--⋅09224222121b a b

解得

∴所求对称点的坐标为（1，4）。评注：①中点在0942=+-y x 上；②所求点与已知点的连线与0942=+-y x 垂直。

4、直线关于直线的对称

例4求直线02:1=--y x l 关于直线033:0=+-y x l 对称的直线2l 的方程。

解法1（动点转移法）分析：设所求直线1l 上任一点为P （1x ，1y ），求其对称点坐标，并将其对称点坐标代入直线1l 方程进行求解。

解：设所求直线1l 上任意一点P （1x ，1y ）（P 不在2l 上）关于2l 的对称点为Q （2x ，2y ），

则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=++-+⋅10

322312122121x x y y y y x x 解得⎪⎩

⎪⎨⎧++=-+-=53435934221221y x y y x x 又因为点P 在1l 上运动，则02=--y x 代入P 点的

02534359342222=-++--+-y x y x ，解得0227=++y x 。即直线2l 的方程为0227=++y x 。评注：直线关于直线对称实质是点关于线的对称。此题还可在直线上任取一点（非两直线交点）并求其关于直线的对称点，则该对称点与两直线交点的连线便是所求对称直线。

解法2（特殊点法）分析：三条直线共同点为O （5-，9-）,设直线1l 上任意一点A （2，0）而2l 上的对称点A ’(a ，b)则中点坐标为（22+a ，2b ），中点代入0l ，利用k 值构造方程解出解：公共点为O （25-，29-），A ’(a ，b)，中点坐标为（22+a ，2

b ）得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+-+⋅10

323b b a 解得a=-3.4，b=1.8，再利用两点法求出直线0227=++y x 解法3：（角平分线法）分析：三条直线共点O （25-，29-），此刻0l 为1l 、2l 的角平分线，利用角平分线性质，可设0l 上的点P （1,6）到1l 、2l 的距离相等，设2l 为29)25(-+=x k y ，用点到直线公式解决解：共点O （5-，9-），0l 上的点P （1,6），设2l 为9)5(-+=x k y 可得1126112

96)251(2+--=+--+=k k d 解得k=-7，k=1（舍）所以得0

227=++y x 解法4：（到角公式法）

解：共点O （25-，29-），设2l 为29)25(-+=x k y 即为02

925=-+-k y kx ，02:1=--y x l 的k 1=1，033:0=+-y x l 的k 0=3由题意可知1l 到1l 与0l 到2l 的角相等，

（到角公式：1l 到0l 角为α，则1

0101tan k k k k --=α）则k

k 3133113+-=+-，解得k=-7所以得2l ：0227=++y x 注：如果直线与直线对称且直线平行则利用直线关于点对称的类似方法解