1.3布喇菲空间点阵、原胞、晶胞
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1.2 布喇菲格子 原胞和晶胞 1.3 密堆积
Cl-的坐标为
1 1 1 , ,， 2 2 2
Cs+的坐标为
(0,0,0)
第三节 密堆积
密堆积、配位数和致密度
1.密堆积(close-packed) 如果晶体由完全相同的一种粒子组成,而粒子被看作小 球,这些全同的小球最紧密的堆积称为密堆积. 2.配位数(coordination number) 在布拉菲格子中，离某一格点最近的格点,称为该格点 的最近邻(nearest neighbour),格点周围最近邻数称为 该格子的配位数.常用符号 z 表示。 它可以描述晶体中粒子排列的紧密程度，粒子排列 越紧密，配位数越大。
Rn n1a1 n2a2 n3a3
则以 a1 , a2 , a3 为棱的平行六面体是晶格体积的最 小重复单元，即原胞 原胞的体积为 a1 (a2 a3 )
2.说明： 1). 对于同一晶格，原胞的取法不唯一，但无论如 何选取，原胞均有相同的体积，每个原胞平均只包 含一个格点。 2). 格点对应基元，如果基元由n个原子组成，则每 个原胞包含n个原子。 3). 原胞反映了晶格的周期性，如：平移对称性。
氯化钠结构属面心立方。 氯化钠的原胞选取方法与面心立方简单格子的选 取方法相同。 每个原胞包含1个格点，每个晶胞包含4个格点 基元由一个Cl-和一个Na+组成。 Cl-的坐标为
1 1 1 , , ， 2 2 2
Na+的坐标为
(0,0,0)
(c)氯化铯结构
Cl
Cs
氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位 移1/2的长度套构而成。 Cl-和Cs+分别组成简立方格 子，其布拉维晶格为简立方，氯化铯结构属简立方。 每个原胞包含1个格点，每个晶胞包含1个格点。 基元由一个Cl-和一个Cs+组成。
原胞晶胞 ppt课件
(i
j
k)
面心立方
小结
复式格子
氯化钠结构：由两个面心 立方的子晶格彼此沿立方体空间对角线位移二分之 一长度套构而成。 属于复式面心立方结构。
面心立方原胞与晶胞
1) 晶胞基矢 a a i ,b a j,c a k
体积 V a ( b c ) a 3
节点数 4?
晶胞
面心立方原胞与晶胞 1) 晶胞基矢 a a i ,b a j,c a k
体积 V a ( b c ) a 3
节点数：4 2）原胞基矢
晶体的对称性
点阵的对称性
布喇菲空间点阵
晶体的内部结构可以看成有一些相同相的同点的（点结点？）
在空间作规则的周期性的无限分布。
a
晶体结构
a
基元
点阵
晶体结构 = 点阵 + 基元
布喇菲空间点阵
基元：晶体的基本结构单元 (1) 一个基元对应一个节点 (2) 基元（结点）周围的环境相同（等效性） (3) 基元内部有结构，可以由一种或数种原子构成
3. 反映晶格结构周期性与对称性特征的体积重复单元。 原胞只反映晶格的周期性特征， 晶胞则同时反映晶格周期性和对称性。
a
ai ,
b aj,
c
ak
简立方
a1
a 2
(j
k)
a 2
a 2
(k
i)
a3
a 2
(i
j)
体心立方
a1
a 2
(i
j
k)
a2
a 2
(i
j
k)
a3
a 2
1) 晶胞基矢 a a i ,b a j,c a k
1 3布拉菲空间点阵原胞晶胞【精选】
简单晶格必须由同种原子组成；反之，由同种原子组成 的晶格却不一定是简单晶格。如金刚石和hcp晶格都是复 式晶格。
简单晶格
复式晶格
二 原胞
在晶格中取一个格点为顶点，以三个不共面的方向上的周 期为边长形成的平行六面体作为重复单元，这个平行六面体沿
三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格，形成 晶体，这个平行六面体即为原胞，代表原胞三个边的矢量称为
晶胞（即布喇菲原胞）的体积: V a3
属于立方晶系的晶胞有简立方、体心立方、面心立方
(a)简立方（sc）
a1 ai 每个晶胞包含1个格点。
c b
a2 a j 固体物理学原胞的体积 Ω a3
a3 ak
a
既是晶胞也是原胞
(b)面心立方（fcc）
ak
a1
a2
aj
a3
原胞
ai
平均每个晶胞（布喇菲原胞）包含4个格点。
基元，基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。
晶格+基元=晶体结构
1.1基元、结点（格点）和晶格
(a)
(1)基元
(b)
(c)
在晶体中适当选取某些原子作为一个基本结构单元，这个
基本结构单元称为基元，基元是晶体结构中最小的重复单元，
基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。 特点：任何两个基元中相应原子周围的情况是相同的，
cc
氯化钠结构由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/2的 长度套构而成。
Cl-和Na+分别组成面心立方子晶格。 其布喇菲晶格为面心立方。
氯化钠结构属面心立方。
氯化钠的固体物理学原胞选取方法
与面心立方简单格子的选取方法相同。
每个固体物理学原胞包含1个格点，每个晶胞包含4个格点。 基元由一个Cl-和一个Na+组成。
简单晶格
复式晶格
二 原胞
在晶格中取一个格点为顶点，以三个不共面的方向上的周 期为边长形成的平行六面体作为重复单元，这个平行六面体沿
三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格，形成 晶体，这个平行六面体即为原胞，代表原胞三个边的矢量称为
晶胞（即布喇菲原胞）的体积: V a3
属于立方晶系的晶胞有简立方、体心立方、面心立方
(a)简立方（sc）
a1 ai 每个晶胞包含1个格点。
c b
a2 a j 固体物理学原胞的体积 Ω a3
a3 ak
a
既是晶胞也是原胞
(b)面心立方（fcc）
ak
a1
a2
aj
a3
原胞
ai
平均每个晶胞（布喇菲原胞）包含4个格点。
基元，基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。
晶格+基元=晶体结构
1.1基元、结点（格点）和晶格
(a)
(1)基元
(b)
(c)
在晶体中适当选取某些原子作为一个基本结构单元，这个
基本结构单元称为基元，基元是晶体结构中最小的重复单元，
基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。 特点：任何两个基元中相应原子周围的情况是相同的，
cc
氯化钠结构由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/2的 长度套构而成。
Cl-和Na+分别组成面心立方子晶格。 其布喇菲晶格为面心立方。
氯化钠结构属面心立方。
氯化钠的固体物理学原胞选取方法
与面心立方简单格子的选取方法相同。
每个固体物理学原胞包含1个格点，每个晶胞包含4个格点。 基元由一个Cl-和一个Na+组成。
1.3 布喇菲空间点阵
基元
晶体微观结构的周期性结构单元
基元：随晶体
简称
不同，基元可以是单个原子，也可以是若干原子之集 团，如:Ca、Cu、Ag、Au、Al、Pb等元素晶体，基元为 单个原子；Mg、Ti、Zn、Cd等元素晶体，基元包括两个 原子 ； 结构较复杂的无机化合物晶体：基元所含原子数目可多 达十几或几十，甚至上百。 结构更复杂的有机化合物晶体：基元所含原子数目多达 一万多，如蛋白质晶体 。
a1 , a2 , a3
简单晶格，任一原子A的位置矢量：
Rl l1a1 l2 a2 l3a3
Rl 2a1 3a2
Rl 3a1 a2 a3
单胞 —— 为了反映晶格的对称性 常取最小重复单元的几倍作为重复单元 单胞的边在晶轴方向，边长等于该方向上的一个周期 单胞的基矢—— 单胞三个边的矢量
每个晶胞共含有4对离子，其原胞的基矢取法与fcc相同。
5 CsCl晶体的结构 CsCl结构 —— 两个简单立方子晶格彼此沿立方体空间 对角线位移1／2 的长度套构而成
6. 金刚石晶格结构
—— 碳原子构成的一个面心立方原胞内还有四个原子 分别位于四个空间对角线的 1／4处 —— 一个碳原子和其它四个碳 原子构成一个正四面体 —— 金刚石结构的半导体晶体 Ge、Si等
1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
19th cent.,Bravais：物质结构研究表明物质内部 有空隙 空间点阵学说：
晶体的内部结构可以概括为由大量相同的点子（格点） 在空间有规则地作周期性的无限分布构成的系统,即布 喇菲点阵。 空间点阵学说+物质微观结构的原子理论 晶体宏观特征起源于晶体独特的微观结构： 组成晶体的原子（或离子，或分子）在空间的规则排 列呈现出一种周期性。X射线衍射技术验证晶体微观结构 的周期性。
固体物理第一章1
晶格物理性质周期性（平移对称性）：
Γ (x+na) = Γ (x)
上式表示原胞中任一处x的物理性质，同另一原胞相应处的物 理性质相同。
原子
一维的喇菲格子
例：一维复式格子
定义：晶格中含有n(n≥2)类原子，其周围情况不一样，它们组成一维无
限周期性点列，周期为a。 原胞：长为a的一根直线段，一类原子在其两端点，其余原子在线段上。 每个原胞含n个原子。 周期性： Γ (x+na) = Γ (x)
晶体分单晶体和多晶体
单晶体( Single Crystal ) 原子排列的周期性是在整个固体内部存在的；无限大的严格的单 晶体可以看成是完美晶体。 多晶体( Multiple Crystal ) 由很多不同取向的单晶体的晶粒组成的固体；仅在各晶粒内原子 才有序排列，不同晶粒内的原子排列是不同的。
单晶体是个凸多面体，围成这个凸多面体的面是光滑的，称 为晶面。 晶面的大小和形状受晶体生长条件的影响，它们不是晶体品 种的特征因素。
1 a 1 ( a b c ) 2 1 a 2 (a b c ) 2 1 a 3 (a b c ) 2
a a1 ( i j k) 2 a a 2 (i - j k) 2 a a 3 (i j k) 2
四、各向异性
晶带：单晶体的晶面排列成带状，晶面的交线（称为晶棱）互相平行， 这些晶面的组合称为晶带。晶棱的方向称为带轴。 晶轴：重要的带轴，互相平行的晶棱（晶面的交线）的共同方向。
各向异性： 晶体的物理性质，常随方向不同而有量的 差异，晶体所具有的这种性质——各向异性。
如介电常数、压电常数、弹性常数等。
1.3布喇菲空间点阵汇总
硫化锌（ZnS）
UESTC
（b）氯化钠结构
氯化钠结构由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/2的
长度套构而成。 Cl-和Na+分别组成面心立方子晶格。 其布喇菲晶格为面心立方。 氯化钠结构属面心立方。
UESTC
氯化钠结构的原胞特点
氯化钠的固体物理学原胞选取方法与面心立方简单格子的选 取方法相同。
每个固体物理学原胞包含1个格点，每个结晶学原胞包含4个格 点。
a2 a i j k 2
a3 a i j k 2
平均每个布喇菲原胞包含2个格点。
固体物理学原胞的体积 Ω a1 a2 a3 1 a3 2
UESTC
简单晶格和复式晶格
简单晶格：如果晶体由完全相同的一种原子组成，且每 个原子周围的情况完全相同，则这种原子所组成的网格称为 简单晶格。
UESTC
1.3.2 原胞的分类
1. 原胞（固体物理学原胞，初基原胞）
周期：晶格中某一方向上两相邻结点的距离称为该方向上的 周期。
原胞：以一结点为顶点，以三个不同方向的周期为边长的平 行六面体可作为晶格的一个重复单元，其中体积最小的重复 单元称为原胞。
特点： ① 体积最小的重复单元； ② 格点只出现在该平行六面体
1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
UESTC
(a)
(b)
(c)
如何描述晶体中原子排列的有序性？？
布喇菲点阵学说
UESTC
1.3.1 布喇菲空间点阵
晶体内部结构可以看成是一些相同的点子在空间 做规则的周期性无限分布
相关概念：结点，点阵 基元：晶体的基本结构单元
(a)
(b)
(c)
UESTC
点阵的特点
一个晶胞包含1个钡原子、1个钛原子和3个氧原子。
UESTC
（b）氯化钠结构
氯化钠结构由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/2的
长度套构而成。 Cl-和Na+分别组成面心立方子晶格。 其布喇菲晶格为面心立方。 氯化钠结构属面心立方。
UESTC
氯化钠结构的原胞特点
氯化钠的固体物理学原胞选取方法与面心立方简单格子的选 取方法相同。
每个固体物理学原胞包含1个格点，每个结晶学原胞包含4个格 点。
a2 a i j k 2
a3 a i j k 2
平均每个布喇菲原胞包含2个格点。
固体物理学原胞的体积 Ω a1 a2 a3 1 a3 2
UESTC
简单晶格和复式晶格
简单晶格：如果晶体由完全相同的一种原子组成，且每 个原子周围的情况完全相同，则这种原子所组成的网格称为 简单晶格。
UESTC
1.3.2 原胞的分类
1. 原胞（固体物理学原胞，初基原胞）
周期：晶格中某一方向上两相邻结点的距离称为该方向上的 周期。
原胞：以一结点为顶点，以三个不同方向的周期为边长的平 行六面体可作为晶格的一个重复单元，其中体积最小的重复 单元称为原胞。
特点： ① 体积最小的重复单元； ② 格点只出现在该平行六面体
1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
UESTC
(a)
(b)
(c)
如何描述晶体中原子排列的有序性？？
布喇菲点阵学说
UESTC
1.3.1 布喇菲空间点阵
晶体内部结构可以看成是一些相同的点子在空间 做规则的周期性无限分布
相关概念：结点，点阵 基元：晶体的基本结构单元
(a)
(b)
(c)
UESTC
点阵的特点
一个晶胞包含1个钡原子、1个钛原子和3个氧原子。
晶体结构
四、结晶学原胞与固体物理学原胞间的相互转化
结晶学中，属于立方晶系的不喇菲原胞有简 立方、体心立方和面心立方。 • • • • • • • • • • •
•
•
• •
• 简立方
• 体立方
• • • • ••• • • • • • • • 面心立方
立方晶系不喇菲原胞 1. 简立方
原胞的基矢为： a1=ia,
1. 简单立方晶格
二、晶格的实例
2. 体心立方晶格 3. 原子球最紧密排列的两种方式
晶体格子（简称晶格）：晶体中原子排列的具体形 式。
原子规则堆积的意义：把晶格设想成为原子规则堆 积，有助于理解晶格组成，晶体结构及与其有关的 性能等。
1. 简单立方晶格
特点： 层内为正方排列，是原子球规则排列的最简单形式；
•
复式原胞 重复的 晶体结构
基元中任意点子或结点作周期性重复的晶体结构
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晶面的特点：
（1）通过任一格点，可以作全同的晶面与一晶面平行，构成 一族平行晶面.
（2）所有的格点都在一族平行的晶面上而无遗漏； （3）一族晶面平行且等距，各晶面上格点分布情况相同； （4）晶格中有无限多族的平行晶面。
三、晶向
一族晶列的特点是晶列的取向，该取向为晶向； 同样一族晶面的特点也由取向决定，因此无论对于晶 列或晶面，只需标志其取向。 注：为明确起见，下面仍只讨论物理学的不喇菲格子。
1.3原胞晶胞
面心立方
原胞 原胞（固体物理学原胞）：以一个结点为顶点，以三个不同
方向的周长为边长的平行六面体。
原胞特点？
原胞
特点: (1) 体积最小的重复单元 (2) 格点只出现在该平行六面体的顶角上。 (3) 每个原胞平均包含一个格点 (4) 原胞的选择方式有多种（形状），但原胞的体积相等。
基矢： 原胞的边长矢量
体心立方的致密度
4 3 r : 原子球半径 r 3 致密度 : n V : 晶胞体积（立方体的体积） V n : 一个晶胞内含有的原子球的个数
4 3 4 3 r r 23 1 3 3 V a
3a (4r ) 3a 2r
2 2
4 3 r 3 3 2 0.68 V 8
立方晶系原胞
简立方
体心立方
面心立方
简立方原胞与晶胞
1) 晶胞基矢 a ai , b aj , c ak 体积 V a (b c ) a3
2）原胞基矢
a1 ai , a2 aj , a3 ak 体积 a1 (a2 a3 ) a3
面心立方 fcc a3 4 a3/4 12
2a 2
体心立方的A层原子球的间隙
体心立方晶格中，A层中原子球的距离
0.31 r
面心立方的致密度？
4 3 r : 原子球半径 r 3 致密度 : n V : 晶胞体积（立方体的体积） V n : 一个晶胞内含有的原子球的个数
1.以刚性原子球堆积模型计算六角密积结构的致密度。 六角密排致密度？
原胞体积 节点数：?
原胞节点只能在顶点
基矢： a1, a2 , a3
1.3布喇菲空间点阵、原胞、晶胞
5、 纤维锌矿结构（六角硫化锌结构） ➢ 两种原子各自构成六角密 排结构， ➢ 一种原子在与另 一种原子形成四面体中心位置上 ➢ ß-ZnS. Ⅲ族元素的氮化物，如BN,AlN,GaN,InN等具 有纤维锌矿结构，是近年引人注目的材料
10:04
五、简单格子与复式格子
如果晶体由一种原子组成，且基元中仅包含一个 原子，则形成的晶格为简单格子或称为布拉菲格子。
10:04
原胞基矢通常用 a1 , a2 , a3 表示。
体积为： Ω a1 a2 a3
基矢：晶胞的基矢一般用 a, b, c 表示。
体积为： v a b c n Ω
10:04
三、 立方晶系晶格原胞、基矢选取实例
简立方、体心立方和面心立方三种晶格 ab bc ca
➢ 原胞的选择方式有多种，但原胞的体积都是相同的。
原胞往往反映不出对称性，为了表现对称性结晶学中取的重复单 元不是最小的重复单元，称为晶胞（或单胞、布喇菲原胞）。
晶胞的特点 ➢ 反映晶体的对称性；
➢ 晶胞中的格点不只出现在顶角上，还会出现在体心或面心上；
➢ 晶胞的体积是原胞体积的整数倍；
➢晶胞中平均包含不止一个格点。（晶格常数a通常指单胞的边长）
金刚石型结构
10:04
c c 晶胞示意图 金刚石结构是由两个面心立方晶格沿体对角线位移1/4的 长度套构而成,其布喇菲格子为面心立方。
金刚石结构属面心立方，每个晶胞包含8个原子。
10:04
金刚石是典型的原子晶体， 原子以共价键结合。图中所 示的连线代表共价键。
每个原子有四个最近邻，这 四个最近邻原子处在正四面 体的顶角上。
晶格，形成晶体，代表原胞三个边的矢量称为原胞的基本平移 矢量，简称基矢。
10:04
五、简单格子与复式格子
如果晶体由一种原子组成，且基元中仅包含一个 原子，则形成的晶格为简单格子或称为布拉菲格子。
10:04
原胞基矢通常用 a1 , a2 , a3 表示。
体积为： Ω a1 a2 a3
基矢：晶胞的基矢一般用 a, b, c 表示。
体积为： v a b c n Ω
10:04
三、 立方晶系晶格原胞、基矢选取实例
简立方、体心立方和面心立方三种晶格 ab bc ca
➢ 原胞的选择方式有多种，但原胞的体积都是相同的。
原胞往往反映不出对称性，为了表现对称性结晶学中取的重复单 元不是最小的重复单元，称为晶胞（或单胞、布喇菲原胞）。
晶胞的特点 ➢ 反映晶体的对称性；
➢ 晶胞中的格点不只出现在顶角上，还会出现在体心或面心上；
➢ 晶胞的体积是原胞体积的整数倍；
➢晶胞中平均包含不止一个格点。（晶格常数a通常指单胞的边长）
金刚石型结构
10:04
c c 晶胞示意图 金刚石结构是由两个面心立方晶格沿体对角线位移1/4的 长度套构而成,其布喇菲格子为面心立方。
金刚石结构属面心立方，每个晶胞包含8个原子。
10:04
金刚石是典型的原子晶体， 原子以共价键结合。图中所 示的连线代表共价键。
每个原子有四个最近邻，这 四个最近邻原子处在正四面 体的顶角上。
晶格，形成晶体，代表原胞三个边的矢量称为原胞的基本平移 矢量，简称基矢。
固体物理概念答案
1． 基元，点阵，原胞，晶胞，布拉菲格子，简单格子，复式格子。
基元：在具体的晶体中，每个粒子都是在空间重复排列的最小单元；点阵：晶体结构的显著特征就是粒子排列的周期性，这种周期性的阵列称为点阵； 原胞：只考虑点阵周期性的最小重复性单元；晶胞：同时计及周期性与对称性的尽可能小的重复单元；布拉菲格子：是矢量Rn=mA1+nA2+lA3全部端点的集合，A1，A2，A3分别为格点到邻近三个不共面格点的矢量；简单格子：每个基元中只有一个原子或离子的晶体；复式格子：每个基元中包含一个以上的原子或离子的晶体；2． 晶体的宏观基本对称操作，点群，螺旋轴，滑移面，空间群。
宏观基本对称操作：1、2、3、4、6、i 、m 、4，点群：元素为宏观对称操作的群螺旋轴：n 度螺旋轴是绕轴旋转2/n π与沿转轴方向平移T t j n=的复合操作 滑移面：对*一平面作镜像反映后再沿平行于镜面的*方向平移该方向周期的一半的复合操作空间群：保持晶体不变的所有对称操作3． 晶向指数，晶面指数，密勒指数，面间距，配位数，密堆积。
晶向（列）指数：布拉菲格子中所有格点均可看作分列在一系列平行直线族上，取一个格点沿晶向到邻近格点的位移基失由互质的（l1/l2/l3）表示；晶面指数：布拉菲格子中所有格点均可看作分列在一系列平行平面族上，取原胞基失为坐标轴取离原点最近晶面与三个基失上的截距的倒数由互质的（h1/h2/h3）表示；密勒指数：晶胞基失的坐标系下的晶面指数；配位数：晶体中每个原子（离子）周围的最近邻离子数称之为该晶体的配位数；面间距：晶面族中相邻平面的间距；密堆积：空间内最大密度将原子球堆砌起来仍有周期性的堆砌结构；4． 倒易点阵，倒格子原胞，布里渊区。
倒易点阵：有一系列在倒空间周期性排列的点-倒格点构成。
倒格点的位置可由倒格子基矢表示，倒格子基矢由…确定倒格子原胞：倒空间的周期性重复单元（区域），每个单元包含一个倒格点布里渊区：在倒格子中如以*个倒格点作为原点，画出所有倒格矢的垂直平分面，可得到倒格子的魏格纳塞茨原胞，即第一布里渊区5． 布拉格方程，劳厄方程，几何结构因子。
空间点阵、原胞晶胞
上的点称为阵点或结点。
空间点阵在三维空间中无限延伸， 形成一个连续的空间格子。
空间点阵的几何特征
阵点间距
阵点之间的距离是恒定的，称 为阵点间距。
阵面
由称为阵轴。
晶胞
在空间点阵中选取一个最小的 重复单元，称为原胞或晶胞。
空间点阵的应用
材料科学
空间点阵和原胞晶胞的理论为材料科学家提供了描述和预测材料性能的工具，有 助于实现材料的高效设计和优化。
05
空间点阵、原胞晶胞在其他
领域的应用
空间点阵在其他领域的应用
建筑学
空间点阵结构在建筑设计中被广泛应用，如网壳、网架和网格结构等，这些结 构具有优异的稳定性和轻质的特点，能够提供灵活多变的建筑空间。
子的位置。
空间点阵与原胞晶胞的区别
空间点阵是从宏观角度描述整个晶体的 结构，而原胞晶胞是从微观角度描述晶 体中最小重复单元的结构。
空间点阵中的每个格点代表一个原子或分子 的位置，而原胞晶胞中可能包含多个原子或 分子。
空间点阵的描述较为简单，只涉及 原子或分子的位置和取向，而原胞 晶胞的描述较为复杂，需要考虑晶 胞的形状、大小和内部原子或分子 的排列方式。
科学中的应用
材料科学中空间点阵的应用
空间点阵是描述晶体结构的基本工具 ，在材料科学中广泛应用于描述和预 测材料的物理性质，如力学、热学、 光学等。
通过空间点阵的参数，可以计算出晶 体的各种物理性质，如弹性模量、热 膨胀系数、折射率等，为材料设计和 性能优化提供依据。
材料科学中原胞晶胞的应用
原胞是晶体结构的基本单元，通过原胞的组合和堆叠可以形 成复杂的晶体结构。在材料科学中，原胞的选取和组合方式 对材料的性能有重要影响。
生物学
在生物学中，空间点阵结构被用于描述细胞组织的排列方式，如骨组织中的钙 磷晶体和蛋白质的排列，这些排列方式对细胞的生长和功能具有重要影响。
空间点阵在三维空间中无限延伸， 形成一个连续的空间格子。
空间点阵的几何特征
阵点间距
阵点之间的距离是恒定的，称 为阵点间距。
阵面
由称为阵轴。
晶胞
在空间点阵中选取一个最小的 重复单元，称为原胞或晶胞。
空间点阵的应用
材料科学
空间点阵和原胞晶胞的理论为材料科学家提供了描述和预测材料性能的工具，有 助于实现材料的高效设计和优化。
05
空间点阵、原胞晶胞在其他
领域的应用
空间点阵在其他领域的应用
建筑学
空间点阵结构在建筑设计中被广泛应用，如网壳、网架和网格结构等，这些结 构具有优异的稳定性和轻质的特点，能够提供灵活多变的建筑空间。
子的位置。
空间点阵与原胞晶胞的区别
空间点阵是从宏观角度描述整个晶体的 结构，而原胞晶胞是从微观角度描述晶 体中最小重复单元的结构。
空间点阵中的每个格点代表一个原子或分子 的位置，而原胞晶胞中可能包含多个原子或 分子。
空间点阵的描述较为简单，只涉及 原子或分子的位置和取向，而原胞 晶胞的描述较为复杂，需要考虑晶 胞的形状、大小和内部原子或分子 的排列方式。
科学中的应用
材料科学中空间点阵的应用
空间点阵是描述晶体结构的基本工具 ，在材料科学中广泛应用于描述和预 测材料的物理性质，如力学、热学、 光学等。
通过空间点阵的参数，可以计算出晶 体的各种物理性质，如弹性模量、热 膨胀系数、折射率等，为材料设计和 性能优化提供依据。
材料科学中原胞晶胞的应用
原胞是晶体结构的基本单元，通过原胞的组合和堆叠可以形 成复杂的晶体结构。在材料科学中，原胞的选取和组合方式 对材料的性能有重要影响。
生物学
在生物学中，空间点阵结构被用于描述细胞组织的排列方式，如骨组织中的钙 磷晶体和蛋白质的排列，这些排列方式对细胞的生长和功能具有重要影响。
3、 晶列、晶面指数、倒格空间
第 28 页
§1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
(4)闪锌矿（立方ZnS）型结构
如果在金刚石结构中，顶角与面心处为硫离子，而在立方单元的内部 为锌离子，就形成闪锌矿型结构。
闪锌矿型结构为由硫离子和锌离子各自构成的面心立方子晶格沿立方
体对角线平移1/4长度相互错开穿套而成。 其基由一对硫离子与锌离子组成。 许多重要的化合物半导体，如锑化铟、砷化镓等都是闪锌矿型结构。
的点子，通常代表基元的重心。 点阵学说概括了晶体的周期性 晶体结构
第1页
§1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
第2页
§1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
布拉菲格子（ Bravais lattice）：布拉菲格子是矢量
第3页
§1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
第4页
§1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
由氯离子和钠离子组成的两个面心立方晶格，彼此沿立方体边错开
a/2的距离而穿套。a为立方体边长。 子晶格为面心立方的复式格子晶体结构。 固体物理学原胞基矢就是面心立方的基矢，原 胞内包含两个异号离子（氯离子和钠离子）。 注意：不要将这种结构视为原胞边长为a/2 的简立方，因为氯离子和钠离子是不等价的。
格子，一个晶胞内包含8个原子。 固体物理学原胞的取法同面心立方的布拉菲原胞的取法相同，原胞中
包含两个不等价的原子。
第 27 页
§1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
原子在金刚石结构立方晶胞中的位置分布图
0 1/2 0 1/4
3/4
1/2
0
1/2
1/4
3/4
0
1/2
0
图中分数值表示以立方体边长为单位，其原子处在基面上方的高度。
1-3布拉菲空间点阵+原胞+晶胞
1 1 1 ， 2 2 2
Cs+的坐标为 (000)。 )
典型的晶体结构 结构型 单晶胞中 原子在单晶 最近邻 原子个数 胞中的位置 距离 配位数
(Cu) )
fcc
4 2
Cs+ 1 Cl- 1
bcc
11 ( 0) (000) 22 1 1 ( 0 ) (0 1 1) 2 2 22
2a 2 3a 2 3a 2
每个格点包含2个原子，属于复式晶格。 每个格点包含2个原子，属于复式晶格。
1 2 3 4
1 4
1 2
1 4 3 4 1 2
1 2
A类碳原子的 共价键方向
B类碳原子的 共价键方向
金刚石结构每个固体物理学原胞 包含1个格点 基元由两个碳原子组成, 个格点, 包含 个格点,基元由两个碳原子组成, 位于（ ） 位于（000）和 (b)氯化钠结构 b)氯化钠结构
a a1 = − i + j + k 2 a a2 = i − j + k 2 a a3 = i + j − k 2
( ( (
)
) )
平均每个布拉维原胞包含2个格点。 平均每个布拉维原胞包含 个格点。 固体物理学原胞的体积
1 3 = a1 ⋅ a2 ×a3 = a 2
(
)
立方晶系中几种实际晶体结构
§1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞 1.3
一. 布喇菲空间点阵
(a)
(b)
(c)
(a)、(b)、(c)为二维晶体结构示意图，它们有何异同 ) ) )为二维晶体结构示意图，它们有何异同?
(a)Leabharlann (b)(c)一个理想的晶体是由完全相同的结构单元在空间周期性重 复排列而成的。 复排列而成的。 所有晶体的结构可以用布喇菲格子 又称晶格）来描述， 布喇菲格子（ 所有晶体的结构可以用布喇菲格子（又称晶格）来描述， 这种晶格的每个格点上附有一群原子， 这种晶格的每个格点上附有一群原子，这样的一个原子群称为 基元，基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。 基元，基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。 晶体结构 晶格+基元= 晶格+基元=晶体结构
Cs+的坐标为 (000)。 )
典型的晶体结构 结构型 单晶胞中 原子在单晶 最近邻 原子个数 胞中的位置 距离 配位数
(Cu) )
fcc
4 2
Cs+ 1 Cl- 1
bcc
11 ( 0) (000) 22 1 1 ( 0 ) (0 1 1) 2 2 22
2a 2 3a 2 3a 2
每个格点包含2个原子，属于复式晶格。 每个格点包含2个原子，属于复式晶格。
1 2 3 4
1 4
1 2
1 4 3 4 1 2
1 2
A类碳原子的 共价键方向
B类碳原子的 共价键方向
金刚石结构每个固体物理学原胞 包含1个格点 基元由两个碳原子组成, 个格点, 包含 个格点,基元由两个碳原子组成, 位于（ ） 位于（000）和 (b)氯化钠结构 b)氯化钠结构
a a1 = − i + j + k 2 a a2 = i − j + k 2 a a3 = i + j − k 2
( ( (
)
) )
平均每个布拉维原胞包含2个格点。 平均每个布拉维原胞包含 个格点。 固体物理学原胞的体积
1 3 = a1 ⋅ a2 ×a3 = a 2
(
)
立方晶系中几种实际晶体结构
§1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞 1.3
一. 布喇菲空间点阵
(a)
(b)
(c)
(a)、(b)、(c)为二维晶体结构示意图，它们有何异同 ) ) )为二维晶体结构示意图，它们有何异同?
(a)Leabharlann (b)(c)一个理想的晶体是由完全相同的结构单元在空间周期性重 复排列而成的。 复排列而成的。 所有晶体的结构可以用布喇菲格子 又称晶格）来描述， 布喇菲格子（ 所有晶体的结构可以用布喇菲格子（又称晶格）来描述， 这种晶格的每个格点上附有一群原子， 这种晶格的每个格点上附有一群原子，这样的一个原子群称为 基元，基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。 基元，基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。 晶体结构 晶格+基元= 晶格+基元=晶体结构
第一章 晶体的结构v
简单格子：晶体只有一种原子组成，且基元中只含有一 个原子，原子中心与格点重合，这种晶格位简单格子。 复式格子：晶体只有一种原子组成，且基元中含有两个 或两个以上原子，或晶体由多种原子构成晶体的基元包括 两种或两种以上的原子。 复式格子中，各单元中相应的同种原子组成与阵点相同 的网络构成简单格子；基元中不同原子构成的简单格子是 相同的，相互之间有一定的位移。
68.0% 52.4
18
1．3布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
晶体的微观结构包括 （1）组成晶体的原子的成分； （2）粒子在空间规则排列的方式。 为描述晶体内部结构的空间规则排列（长程有序） 的方式，布拉菲提出空间点阵学说。 晶体可以看成由一些相同的点子（格点）在三维空间做 周期性分布所构成的系统，所有的点子是等价的，这些 点子的总体称为布喇菲点阵；这些点子称为格点。 与晶体结合特征相同，无任何物理实质的，仅有格点之 间相互连接形成的网络为晶格，又称点阵。
30
1．3布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
布喇菲晶胞的选取原则： （1）选取的平行六面体代表整个晶体点阵的对称性 （2）平行六面体中应有尽可能多的相等的棱边和顶角； （3）平行六面体中应有尽可能多的直角；
（4）在上述条件下选择体积最小的平行六面体。
31
1．3布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
简立方（sc）
原胞基矢与晶胞基矢的关系：
a1 ai, a2 aj, a3 ak
简立方晶胞仅含有一个原子；
是最小的重复单元，与原胞相 同
简立方晶胞
32
体心立方
（1）顶角的原子和体心的原子是等同的，体心立方晶 格属于布喇菲格子；
胞 晶胞
体心立方
原胞基矢
体积：
1 a1 (a b c) 2 1 a2 (a b c) 2 1 a3 (a b c) 2
68.0% 52.4
18
1．3布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
晶体的微观结构包括 （1）组成晶体的原子的成分； （2）粒子在空间规则排列的方式。 为描述晶体内部结构的空间规则排列（长程有序） 的方式，布拉菲提出空间点阵学说。 晶体可以看成由一些相同的点子（格点）在三维空间做 周期性分布所构成的系统，所有的点子是等价的，这些 点子的总体称为布喇菲点阵；这些点子称为格点。 与晶体结合特征相同，无任何物理实质的，仅有格点之 间相互连接形成的网络为晶格，又称点阵。
30
1．3布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
布喇菲晶胞的选取原则： （1）选取的平行六面体代表整个晶体点阵的对称性 （2）平行六面体中应有尽可能多的相等的棱边和顶角； （3）平行六面体中应有尽可能多的直角；
（4）在上述条件下选择体积最小的平行六面体。
31
1．3布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
简立方（sc）
原胞基矢与晶胞基矢的关系：
a1 ai, a2 aj, a3 ak
简立方晶胞仅含有一个原子；
是最小的重复单元，与原胞相 同
简立方晶胞
32
体心立方
（1）顶角的原子和体心的原子是等同的，体心立方晶 格属于布喇菲格子；
胞 晶胞
体心立方
原胞基矢
体积：
1 a1 (a b c) 2 1 a2 (a b c) 2 1 a3 (a b c) 2
1-3布拉菲空间点阵+原胞+晶胞
a
a1
固体物理学原胞的体2积
a2 a
jk
Ω a1 a2 a3
ik
1a3 4
2
a 3 a i j 2
(c)体心立方（bcc）
ak
a
a1 i j k 2
a
a2 i j k
a1
a2 aj
ai
2
aka3 a i j k
a3
2
a1 a2
平均每个布拉维原胞包含2个格点。
晶格+基元=晶体结构
1.1基元、结点（格点）和晶格
(a)
(1)基元
(b)
(c)
在晶体中适当选取某些原子作为一个基本结构单元，这个
基本结构单元称为基元，基元是晶体结构中最小的重复单元，
基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。 特点：任何两个基元中相应原子周围的情况是相同的，
而每一个基元中不同原子周围情况则不相同。
格为简立方，氯化铯结构属简立方。
每个固体物理学原胞包含1个格点，每个晶胞包含1个格点 。基元由一个Cl-和一个Cs+组成。
Cl-的坐标为 1 1 1 ， Cs+的坐标为 (000)。
2 2 2
典型的晶体结构
结构型
单晶胞中 原子在单晶 最近邻 原子个数 胞中的位置 距离
配位数
fcc
(Cu) 4
bcc
原胞的基本平移矢量，简称基矢。
2.1 原胞的分类 (1)固体物理学原胞(简称原胞) 构造：取一格点为顶点，由此点向近邻的三个格点作三个不共
面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为固体物理学原胞。
特点：格点只在平行六面体的顶角上，面上和内部均无格点， 平均每个固体物理学原胞包含1个格点。是最小的重复单元，它反
1.3原胞晶胞ppt课件
29
简立方的致密度
致密度：一个晶胞 中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值。
致密度:
n
3 r3
4 V
r : 原子球半径 V :晶胞体积（立方体的体积） n : 一个晶胞内含有的原子球的个数
a
n
4 r3
3
1
4 r3
3
4 r3
3
0.524
V
a3 (2r)3 6
30
体心立方的致密度
致密度 :
n
4 r3
晶体的对称性
点阵的对称性
7
布喇菲空间点阵
晶体的内部结构可以看成有一些相同相的同点的（点结点？）
在空间作规则的周期性的无限分布。
a
晶体结构
a
基元
点阵
晶体结构 = 点阵 + 基元
8
布喇菲空间点阵
基元：晶体的基本结构单元 (1) 一个基元对应一个节点 (2) 基元（结点）周围的环境相同（等效性） (3) 基元内部有结构，可以由一种或数种原子构成
氯化钠的复式晶格结构: 由两个面心 立方的子晶格沿对角线位移二分之一套构而成
24
CsCl晶体的结构
CsCl结构 : 由两个简单立方子晶格彼此沿立方体空间对角线位移1／2 的 长度套构而成的，属于复式简立方结构。
25
ZnS晶体的结构 —— 闪锌矿结构
ZnS晶体结构 ： 由两个面心立方的子晶格彼此沿立方体空间对角线位移1/4的长度套构而成。 属于复式面心方结构。
特征参数
简单立方 体心立方
SC
bcc
惯用晶胞体积
a3
a3
单位晶胞中的格点数
1
2
原胞的体积
a3
简立方的致密度
致密度：一个晶胞 中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值。
致密度:
n
3 r3
4 V
r : 原子球半径 V :晶胞体积（立方体的体积） n : 一个晶胞内含有的原子球的个数
a
n
4 r3
3
1
4 r3
3
4 r3
3
0.524
V
a3 (2r)3 6
30
体心立方的致密度
致密度 :
n
4 r3
晶体的对称性
点阵的对称性
7
布喇菲空间点阵
晶体的内部结构可以看成有一些相同相的同点的（点结点？）
在空间作规则的周期性的无限分布。
a
晶体结构
a
基元
点阵
晶体结构 = 点阵 + 基元
8
布喇菲空间点阵
基元：晶体的基本结构单元 (1) 一个基元对应一个节点 (2) 基元（结点）周围的环境相同（等效性） (3) 基元内部有结构，可以由一种或数种原子构成
氯化钠的复式晶格结构: 由两个面心 立方的子晶格沿对角线位移二分之一套构而成
24
CsCl晶体的结构
CsCl结构 : 由两个简单立方子晶格彼此沿立方体空间对角线位移1／2 的 长度套构而成的，属于复式简立方结构。
25
ZnS晶体的结构 —— 闪锌矿结构
ZnS晶体结构 ： 由两个面心立方的子晶格彼此沿立方体空间对角线位移1/4的长度套构而成。 属于复式面心方结构。
特征参数
简单立方 体心立方
SC
bcc
惯用晶胞体积
a3
a3
单位晶胞中的格点数
1
2
原胞的体积
a3
布喇菲格子原胞和晶胞13密堆积
特性
晶胞13密堆积具有高度的对称性和规则性，其结构特点是每个原子或分子周围 都有13个最近邻的原子或分子，形成了一种紧密的堆积方式。
计算方法
几何计算
能量计算
通过几何计算可以确定晶胞13密堆积 中原子或分子的位置和排列方式，包 括计算最近邻距离、角度等参数。
通过能量计算可以评估晶胞13密堆积 的稳定性，了解其形成和存在的条件。
能源领域应用
高效储能材料
借鉴布喇菲格子原胞和晶胞13密堆积的结构优势，可以研发出高效储能材料，如锂离子电池、超级电容器等，提 高能源利用效率和缓解能源危机。
太阳能转换材料
利用布喇菲格子原胞和晶胞13密堆积的结构特点，可以设计出具有高光吸收系数和良好光散射效应的太阳能转换 材料，促进太阳能的高效利用。
化学活性差异
在化学反应中，这两种结构的稳定性及活性表现出明显的差异，影响其与其它物 质的反应行为。
Байду номын сангаас互影响与转化
结构调整与性质变化
在特定条件下，布喇菲格子原胞和晶胞13密堆积的结构会发 生调整或转变，从而引起性质的相应变化。
协同作用与相互制约
在某些物理或化学过程中，这两种结构可能相互促进或制约 ，影响整个体系的性能表现。
介电常数
这种材料的介电常数较高，有利于电场能量的存储和 传递。
磁导率
部分布喇菲格子原胞和晶胞13密堆积可能具有较高的 磁导率，表现出铁磁性或亚铁磁性。
05 布喇菲格子原胞和晶胞13 密堆积的制备与加工
制备方法
熔融铸造法
将原材料加热至熔融状态，然后倒入模具中冷却 凝固，形成所需形状的制品。
粉末冶金法
生物医学领域应用
生物医用材料
布喇菲格子原胞和晶胞13密堆积的结构特点使其在生物医用材料领域具有广阔的应用前景，如骨修复 材料、牙科陶瓷等，能够提高医疗效果和改善患者生活质量。
晶胞13密堆积具有高度的对称性和规则性，其结构特点是每个原子或分子周围 都有13个最近邻的原子或分子，形成了一种紧密的堆积方式。
计算方法
几何计算
能量计算
通过几何计算可以确定晶胞13密堆积 中原子或分子的位置和排列方式，包 括计算最近邻距离、角度等参数。
通过能量计算可以评估晶胞13密堆积 的稳定性，了解其形成和存在的条件。
能源领域应用
高效储能材料
借鉴布喇菲格子原胞和晶胞13密堆积的结构优势，可以研发出高效储能材料，如锂离子电池、超级电容器等，提 高能源利用效率和缓解能源危机。
太阳能转换材料
利用布喇菲格子原胞和晶胞13密堆积的结构特点，可以设计出具有高光吸收系数和良好光散射效应的太阳能转换 材料，促进太阳能的高效利用。
化学活性差异
在化学反应中，这两种结构的稳定性及活性表现出明显的差异，影响其与其它物 质的反应行为。
Байду номын сангаас互影响与转化
结构调整与性质变化
在特定条件下，布喇菲格子原胞和晶胞13密堆积的结构会发 生调整或转变，从而引起性质的相应变化。
协同作用与相互制约
在某些物理或化学过程中，这两种结构可能相互促进或制约 ，影响整个体系的性能表现。
介电常数
这种材料的介电常数较高，有利于电场能量的存储和 传递。
磁导率
部分布喇菲格子原胞和晶胞13密堆积可能具有较高的 磁导率，表现出铁磁性或亚铁磁性。
05 布喇菲格子原胞和晶胞13 密堆积的制备与加工
制备方法
熔融铸造法
将原材料加热至熔融状态，然后倒入模具中冷却 凝固，形成所需形状的制品。
粉末冶金法
生物医学领域应用
生物医用材料
布喇菲格子原胞和晶胞13密堆积的结构特点使其在生物医用材料领域具有广阔的应用前景，如骨修复 材料、牙科陶瓷等，能够提高医疗效果和改善患者生活质量。
固体物理
a3
c b a
a2 a1
面心立方(FCC)
a=ai b=aj c=ak
a1 = 1/2 ( b + c) a2 = 1/2 ( a + c) a3 = 1/2 ( a +b)
c
a1 b a2
a3 a
六方(Hexagonal)
k
a4
a3
a2 a1
j i
a3
a2
a1
a1 = a/2 (31/2 i + j) a2 = a/2 (-31/2 i + j)
几种常见的晶胞
简立方(SC)
a1 = a i a2 = a j a3 = a k
a=ai b=aj c=ak
j i
k
c b a
体心立方(BCC)
a=ai b=aj c=ak
a1 = 1/2 (-a + b + c) a2 = 1/2 ( a – b + c) a3 = 1/2 ( a +b - c)
式过于复杂而难以求解。
--- 狄拉克 (1929)
参考书目
1. 《固体物理教程》 王矜奉 编著 （山东大学出版社） 2. 《固体物理导论》 基泰尔 （C. Kittel) (化学工业出版社） 3. 《固体物理学》 黄昆、韩汝琦 （高等教育出版社） 4. 《凝聚态物理学》上卷 冯端、金国钧 高等教育出版社） 5. 《Solid State Physics》 G. Grosso 、G. P. Parravicini (Elsevier)
a1
h1 : h2 : h3 = 1/r : 1/s : 1/t
(1). 晶面族的面指数可以有晶面组中任意晶面在基矢坐标轴上的截矩的系数 的倒数求出
1.2-布喇菲格子-原胞和晶胞-1.3-密堆积PPT优秀课件
这个平行六面体沿三个不同的方向进行周期性 平移，就可以充满整个晶格，形成晶体。
a3 a2 a1
9
a3 a2 a1
如图:对于三维晶格 R n n 1 a 1 n 2 a 2 n 3 a 3
则以 a1,a2,a3 为棱的平行六面体是晶格体积的最
小重复单元，即原胞
原胞的体积为 a 1•(a 2a 3)
a 2
a 2
i jk
a 3
a 2
i
jk
平均每个晶胞包含2个格点。
原胞的体积 Ωa1a2a312a3
晶胞的体积 V 2
18
复式格子(complex crystal lattice) (a)金刚石结构(diamond,简称：DIA)
cc
金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移 1/4的长度套构而成,其晶胞为面心立方。由面心立方 晶胞的中心到顶角引8条连线，在互不相邻的4条连线 的中点各加一个原子就得到了金刚石晶格结构。
10
2.说明： 1). 对于同一晶格，原胞的取法不唯一，但无论如何 选取，原胞均有相同的体积，每个原胞平均只包含一 个格点。
2). 格点对应基元，如果基元由n个原子组成，则每 个原胞包含n个原子。 3). 原胞反映了晶格的周期性，如：平移对称性。
(rR n) (r)
4). 由于原胞取法的随意性，因而原胞通常只反映晶格 的周期性，而不能反映晶格的对称性。
第二节、布拉菲格子 原胞和晶胞
1
1. 晶体结构的周期性
(a)
(b)
(c)
(a)、(b)、(c)为二维晶体结构示意图
三者各自有相同的基本结构单元，且在平面内作周期 性分布
2
1).基元、布拉菲空间点阵、格点和晶格
a3 a2 a1
9
a3 a2 a1
如图:对于三维晶格 R n n 1 a 1 n 2 a 2 n 3 a 3
则以 a1,a2,a3 为棱的平行六面体是晶格体积的最
小重复单元，即原胞
原胞的体积为 a 1•(a 2a 3)
a 2
a 2
i jk
a 3
a 2
i
jk
平均每个晶胞包含2个格点。
原胞的体积 Ωa1a2a312a3
晶胞的体积 V 2
18
复式格子(complex crystal lattice) (a)金刚石结构(diamond,简称：DIA)
cc
金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移 1/4的长度套构而成,其晶胞为面心立方。由面心立方 晶胞的中心到顶角引8条连线，在互不相邻的4条连线 的中点各加一个原子就得到了金刚石晶格结构。
10
2.说明： 1). 对于同一晶格，原胞的取法不唯一，但无论如何 选取，原胞均有相同的体积，每个原胞平均只包含一 个格点。
2). 格点对应基元，如果基元由n个原子组成，则每 个原胞包含n个原子。 3). 原胞反映了晶格的周期性，如：平移对称性。
(rR n) (r)
4). 由于原胞取法的随意性，因而原胞通常只反映晶格 的周期性，而不能反映晶格的对称性。
第二节、布拉菲格子 原胞和晶胞
1
1. 晶体结构的周期性
(a)
(b)
(c)
(a)、(b)、(c)为二维晶体结构示意图
三者各自有相同的基本结构单元，且在平面内作周期 性分布
2
1).基元、布拉菲空间点阵、格点和晶格
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10:04
复式格子特点
➢ 其每一种原子构成一简单晶格 ➢ 不同等价原子构成的简单晶格形状、大小完全一致 ➢ 不同等价原子间的晶格相互有一平移 ➢ 原胞就是对应简单晶格的原胞 ➢ 每个原胞含的原子数是每种等价原子各一个
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§1.3 布喇菲空间点阵、原胞、晶胞
简单晶格结构周期性描述起来很方便，而复式晶格描述起 来很麻烦，为集中反映晶体结构的周期性，引入点阵概念。
布喇菲提出空间点阵学说：晶体内部结构可以看成是由一
些相同的点子在空间作规则的周期性的无限分布。
人们把这些点子的总体称为布拉菲点阵。它是对实际晶 体的一个数学抽象，只反映晶体结构的周期性，（平移对 称性）。 空间点阵中的点子称为结点。
➢ III-V族半导体GaAs , II-VI族(立方ZnS), CuCl...
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5、 纤维锌矿结构（六角硫化锌结构） ➢ 两种原子各自构成六角密 排结构， ➢ 一种原子在与另 一种原子形成四面体中心位置上 ➢ ß-ZnS. Ⅲ族元素的氮化物，如BN,AlN,GaN,InN等具 有纤维锌矿结构，是近年引人注目的材料
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三、 立方晶系晶格原胞、基矢选取实例
简立方、体心立方和面心立方三种晶格 ab bc ca
取 i , j ,k为坐标轴的单位矢量,
abc
设晶格常量(晶胞棱边的长度)为a,
即立方体边长为a, a ai ,b a j,c ak
晶胞的体积: V a3
(a)简立方(Simple Cubic)
➢ 在面心立方4条对角线 1/4位置增加原子 ➢ 每个原子与4个最近邻组成正四面体，配位数为4； ➢ 顶角与面心原子等价，对角 线上的原子等价，这 两类 原子分别组成 两个面心立方，沿对角线平移1/4, ➢ 半导体Ge、Si等
金刚石型结构
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c c 晶胞示意图 金刚石结构是由两个面心立方晶格沿体对角线位移1/4的 长度套构而成,其布喇菲格子为面心立方。
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•格矢 a1,a2,a3为原胞的基矢，晶格
中任一格点的位置可由原点O
到该格点的矢量Rl来表示：
v Rl
l1av1
l2av2
l3av3
其中l1, l2, l3必为整数
晶胞 有时为了反映晶体结构的对称性，往往选取体积较大的
单元，即晶胞。晶胞的基矢用a，b，c来表示。
原胞的特点
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例：二维晶格A 和B，A为简单晶格，B为复式晶格，两者 周期性相同。
在图上任选一点O，找出与O环境相同的点子，这一无限多 的点子构成了相应的点阵。
O
A
O
B
对图象从o点移到任一位置， 做一平移，点阵（图象）不变， 表明：
*点阵是对实际晶格结构的一个数学抽象，它只反映晶体结构 的周期性（平移对称性）
原胞与晶胞是一致的
a1 ai 每个晶胞包含1个格点。
c b
a2 a j 固体物理学原胞的体积 Ω a3
a3 ak
a
(b)面心立方(Face Centered Cubic)
面心立方原胞
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面
心
立
方 ak
晶 胞
a1
a2
a j a3
ai
r a
a1
rr jk
1
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一、.晶格、格点
晶体结构
选取基元
晶格
沿空间三个坐标方向通过点阵中的结点做平行的直线族，把所 有结点包揽无遗，点阵便构成一个三维网格，称之为晶格，又称为 布喇菲格子，结点又称格点。
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引入Bravias格子、基元概念的意义：
自然界中的晶体结构千变万化，但有些可能具有相同的周期， 周期性相同，会有许多共性，所以晶体可以按周期性分类。
原胞的选取不是唯一的，但它们的体积(或面积） 都相同
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原胞是晶体中最小的重复单元,是晶格中产生完全平移覆盖 的最小单元。
a2 a1
a4 a3
a6
a5
a8 a7
二维原胞的选取
对二维晶格，以一个格点为原点，与临近格点构成面积最 小平行四边形，为最小重复单元。
原则上原胞选取任意，只要是最小周期单元即可，但习 惯上有固定取法。 三维晶格取顶点在格点上的最小的平行六 面体为原胞。
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基元：组成晶体的原子、离子、分子或原子团称晶体的 基本结构单元，简称基元。 原胞中所有不等价原子构成一 个基元。
所有晶体的结构可以用点阵来描述，一个结点对应一个 基元，基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。
结点可以取在基元的重心上，也可取在基元的其它点上， 原则是要保持结点在各基元中的位置都相同。这样，每个结 点周围的情况都相同。
氯化铯结构属简立方。
➢氯化铯结构的晶胞和原胞是一致的，每个晶胞（原胞）包 含一个Cl-和一个Cs+。共两个离子。 ➢ 配位数为8。
除CsCl外，还有TlBr（溴化铊），TlI，CuPd（钯化铜）， AgMg，AlNi等都属于此结构。
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4、闪锌矿结构
➢ 原子分布与金刚石结构 相似，只是对角线上原 子与面心、顶角原子为不同种类原子
尽管晶体有各种结构，只要有相同布拉菲格子，就有相同周期 性。如：Cu、Si、NaCl具有相同的周期性，不同在于其基元不 同。
自然界中只有十四种布拉菲格子。
晶体结构表示为：
晶格（点阵）+基元=晶体结构
只要知道某种晶体的点阵（或布拉菲格子）和基元，则晶体结构 完全确定。
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晶格是晶体结构周期性的数学抽象，它忽略了晶体结构的 具体内容，保留了晶体结构的周期性。 通常用原胞和基矢来描述晶格的周期性。
v b
cv
2
2
r
a2
a
rr ik
1 cv av
2
2
r
a3
a
rr i j
1
av
v b
2
2
平均每个晶胞包含4个格点。
原胞的体积 Ω a1 a2 a3 1 a3 为晶胞体积的 1
4
4
贵金属Cu,Ag,Au及Pb,Ni,Al等属于面心立方结构。
1
av
v b
cv
2
2
平均每个晶胞包含2个格点。
1 原胞体积为晶胞体积的 2
原胞的体积
Ω a1 a2 a3 1 a3 2
碱金属Li,Na,K,Rb,Cs以及过渡金属α-Fe,Cr（铬）,Mo
（钼）,W（钨）等属于体心立方结构。
四、立方晶系中几种实际晶体的结构
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1、金刚石结构
➢ 原胞是体积最小的重复单元；
➢ 其格点只出现在顶角上；
➢ 每个原胞平均只包含一个原子（或格点）。
➢ 原胞的选择方式有多种，但原胞的体积都是相同的。
原胞往往反映不出对称性，为了表现对称性结晶学中取的重复单 元不是最小的重复单元，称为晶胞（或单胞、布喇菲原胞）。
晶胞的特点 ➢ 反映晶体的对称性；
➢ 晶胞中的格点不只出现在顶角上，还会出现在体心或面心上；
2、氯化钠结构
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特点： ➢ Na离子、Cl离子分别构成面心 立方格子
➢ 两个格子分别沿对角线位移1/2 ➢ 碱卤化物，除Cs外都是该结构 ➢ 配位数为6
氯化钠结构由两个面心立方子晶格沿 体对角线位移1/2的长度套构而成。 Cl-和Na+分别组成面心立方子晶格。 其布喇菲晶格为面心立方。
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五、简单格子与复式格子
如果晶体由一种原子组成，且基元中仅包含一个 原子，则形成的晶格为简单格子或称为布拉菲格子。
如果晶体虽由一种原子组成，但基元中包含两个 原子，或晶体由多种原子组成，则每种原子都可构成 一个布拉菲格子。而整个晶体可以看做是相互之间有 一定位移的布拉菲格子套构而成的晶格，称为复式格 子。
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(c)体心立方(Body Centered Cubic)
ak
a1
a2 aj
a3
r
a1
a
rr r i j k
1
av
v b
cv
2
2
r
a2
a
rr r i jk
1
av
v b
cv
2
2
ai
r a
a3
rr r i jk
氯化钠结构属面心立方。
氯化钠的原胞选取方法与面心立方简 单格子的选取方法相同。 一个原胞对应一个基元，包含一个钠离子和一个氯离子。
每个氯化钠晶胞包含4个Na离子和4个Cl 离子，共8个离子。
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3、氯化铯结构
Cl
Cs
氯化铯型结构
➢ 将体心立方体心 原子 与顶角换为不同类原子 ➢ 两种原子各自组成简单立方晶格，沿对角线位移1/2 ➢Cl-和Cs+分别组成简立方格子，其布喇菲晶格为简立方，
二、 原胞与晶胞
以格点为顶点，以三个独立方向上的周期为边长构成的体 积最小的平行六面体，称为原胞或者固体物理学原胞，这个平 行六面体沿三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个
晶格，形成晶体，代表原胞三个边的矢量称为原胞的基本平移 矢量，简称基矢。
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原胞向三个独立的方向作周期性平移，得到晶体的布喇菲格子
➢ 晶胞的体积是原胞体积的整数倍；
➢晶胞中平均包含不止一个格点。（晶格常数a通常指单胞的边长）
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原胞基矢通常用 a1 , a2 , a3 表示。
体积为： Ω a1 a2 a3