河南工业大学继续教育学院2017第一学期高等数学1补考试题及答案
2017级高数一期末A解答(理工类多学时)(1)
2017级本科高等数学A （一）期末试题解答与评分标准A（理工类多学时）一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．数列极限2lim (1)n n n n →∞+-的值为（ B ）.A ．0；B ．12； C ．1； D ．∞. 2．若函数1cos ,0(),0xx f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则（ A ）. A . 12ab =； B . 12ab =-； C . 0ab =； D . 2ab =. 3．已知函数()sin f x x x =，则(0)f '的值为（ B ）. A ．1-； B ．0； C ．1； D ．不存在.4．已知函数32()26187f x x x x =---，则在[1,4]上的最大值为（ D ）. A . 3； B . 61-； C . 47-； D . 29-. 5．设2()f x dx x C =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰（ C ）.A ．222(1)x C -+； B ．222(1)x C --+；C ．221(1)2x C --+； D ．221(1)2x C -+. 6．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上，若其线密度为221x x ρ=-++，则该细棒的质量为（ A ）. A .53； B . 73； C . 1； D . 2. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．()6sin 0lim 13kxx x e →+=（其中k 为常数），则k =2.8. 曲线22ln y x x =+在拐点处的微分dy =4dx . 解：222222(1)(1)2ln 22x x y x x y x y x x x +-'''=+⇒=+⇒=-=， 22(1)(1)01,1x x y x x x+-''==⇒==-（舍），且1,0;1,0x y x y ''''>><<，所以，拐点为（1,1），此处的微分为112(2)4x x dy x dx dx x===+=9．322(sin)x x dx πππ-+-=⎰32π．10．20sin()x d x t dt dx-=⎰2sin x . 11．D 是曲线段sin (0)2y x x π=≤≤及直线0,2y x π==所围成的平面图形，则D 绕x 轴旋转所得的旋转体的体积为24π.12．已知()y f x =的图像过点(0,0)，且与xy a =相切于点(1,2)，则10()xf x dx ''=⎰2ln 22-.解：因为()y f x =的图像过点(0,0)，所以，(0)0f =；而xy a =过点(1,2)，所以12a =，即2a =，曲线为2xy =，它在点(1,2)的切线的斜率为(1)2ln 2k y '==，又()y f x = x y a =相切于点(1,2)，所以(1)2f =，(1)2ln 2f '=，则1111100()()()()(1)()xf x dx xdf x xf x f x dx f f x ''''''==-=-⎰⎰⎰(1)(1)(0)2ln 22f f f '=-+=-三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 13. 求极限20cos limarcsin 5x x t dtx→⎰.解：原式20cos =lim5x x t dt x→⎰ （3分）20cos lim 5x x →= （3分） =15（2分） 14. 已知曲线()y y x =由方程1yy xe =+确定，求该曲线在点(1,0)-处的切线方程. 解：方程两边关于x 求导得：y y y e xe y ''=+ （2分）1yydy e dx xe =- （2分）12dy dx =（-1,0) （2分）则过点(1,0)-的切线方程为：1(1)2y x =+，即21y x =+ . （2分） 15. 设函数()y y x =由参数方程sin t x t e y t⎧=+⎨=⎩确定，求22t d ydx =.解：cos 1tdy dy dt tdx dx dt e ==+ （3分） 2223sin (1)cos 1sin (1)cos ==(1)1(1)t t t t t t t d y t e e t t e e tdx e e e -+--+-⋅+++ （3分） 221=8t d y dx =- （2分）16. 求不定积分e x x dx -⎰.解：原式x xde -=-⎰x x xe e dx --=-+⎰（4分）xx xee C --=--+(1)x x e C -=-++ （4分）17. 求定积分1cos 2x dx π+⎰．解：1cos 2x dx π+⎰202cos xdx π=⎰222(cos cos )xdx xdx πππ=-⎰⎰ （4分）2022(sin sin )xx πππ=-22= （4分）18. 求反常积分25143dx x x +∞-+⎰．解：2551143(1)(3)dx dx x x x x +∞+∞=-+--⎰⎰ 5111()231dx x x +∞=---⎰ 513ln21x x +∞-=- （4分）ln 22=（4分） 19. 已知曲线2:(0)L y x x =≥，点(0,0)O ，点(0,1)A ．设P 是L 上的动点，S 是直线OA与直线AP 及曲线L 所围图形的面积．若P 运动到点(2,4)时沿x 轴正向的速度是4，求此 时S 关于时间t 的变化率．解：设在t 时刻，P 点的坐标为((),())x t y t ，则1(1)2y S ydy y y =+-⎰3211+62y y =31162x x =+， 或者22200(1)(1)22x x y x x x S x dx x dx ++=-=-⎰⎰31126x x =+， （4分） 所以2()1122dS t dx dxxdt dt dt=+， （2分） 又(2,4)=4dx dt，故2(2,4)()11424=1022dS t dt=⋅+⋅⋅． （2分） 解法二：设在t 时刻，P 点的坐标为((),())x t y t ，则22200(1)(1)22x x y x x x S x dx x dx ++=-=-⎰⎰， （4分）22()1(3)2dS t dx dx dxx x dt dt dt dt=+-， （2分） 故(2,4)()1(4344)44=102dS t dt=+⋅⋅-⋅． （2分） 20. 设(0,1)x ∈，证明：22(1)ln (1)x x x ++<．解：令22()(1)ln (1)g x x x x =++-，则 （2分）2()ln (1)2ln(1)2g x x x x '=+++-，2()[ln(1)]1g x x x x''=+-+， （2分） 又由拉格朗日中值定理有，ln(1)ln(1)ln11xx x x ξ+=+-=<+，(0,01)x x ξ<<<< （或者令()ln(1)h x x x =+-，用单调性证明()(0)0h x h <=．） 则()0,(0,1)g x x ''<∈，所以()g x '在(0,1)上单调减少， 又(0)0g '=，所以当(0,1)x ∈时，()(0)0g x g ''<=，从而()g x 在(0,1)上单调减少，当(0,1)x ∈时，()(0)0g x g <=，故有22(1)ln (1)x x x ++<． （4分）。
(完整word版)大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案
第一学期期末高等数学试卷一、解答下列各题(本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分)求极限 lim x x x x x x →-+-+-23321216291242、(本小题5分).d )1(22x x x⎰+求3、(本小题5分)求极限lim arctan arcsinx x x →∞⋅14、(本小题5分)⎰-.d 1x x x 求5、(本小题5分)．求dt t dx d x ⎰+2021 6、(本小题5分)⎰⋅.d csc cot 46x x x 求7、(本小题5分)．求⎰ππ2121cos 1dx x x8、(本小题5分)设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t==⎧⎨⎪⎩⎪=cos sin (),229、(本小题5分)．求dx x x ⎰+3110、(本小题5分)求函数 的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分)．求⎰π+202sin 8sin dx x x12、(本小题5分)．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分)设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,22614、(本小题5分)求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分)求极限lim()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--12131101101111222216、(本小题5分).d cos sin 12cos x x x x⎰+求二、解答下列各题(本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分),,512沿一边可用原来的石条围平方米的矩形的晒谷场某农场需建一个面积为.,,才能使材料最省多少时问晒谷场的长和宽各为另三边需砌新石条围沿2、(本小题7分).8232体积轴旋转所得的旋转体的所围成的平面图形绕和求由曲线ox x y x y ==三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )设证明有且仅有三个实根f x x x x x f x ()()()(),().=---'=1230一学期期末高数考试(答案)一、解答下列各题(本大题共16小题，总计77分) 1、(本小题3分)解原式:lim =--+→x x x x 22231261812 =-→limx xx 261218 =2 2、(本小题3分)⎰+xx xd )1(22⎰++=222)1()1d(21x x =-++12112x c .3、(本小题3分)因为arctan x <π2而lim arcsin x x →∞=1故lim arctan arcsin x x x →∞⋅=14、(本小题3分)⎰-x x xd 1xx x d 111⎰----=⎰⎰-+-=x xx 1d d=---+x x c ln .1 5、(本小题3分)原式=+214x x6、(本小题4分)⎰⋅x x x d csc cot 46⎰+-=)d(cot )cot 1(cot 26x x x=--+171979cot cot .x x c7、(本小题4分)原式=-⎰cos ()1112x d x ππ=-sin112xππ=-1 8、(本小题4分)解： dy dx e t t e t t t t t =+-22222(sin cos )(cos sin ) =+-e t t t t t t (sin cos )(cos sin )22229、(本小题4分)令 1+=x u原式=-⎰24122()u u du=-2535312()u u =11615 10、(本小题5分)),(+∞-∞函数定义域 01)1(222='=-=-='y x x x y ，当(][)+∞<'>∞->'<,1011,01函数的单调减区间为，当函数单调增区间为， 当y x y x 11、(本小题5分)原式=--⎰d x x cos cos 9202π=-+-163302lncos cos x x π=162ln 12、(本小题6分)dx x t dt ='()[]dt t k t k e kt ωωωωsin )34(cos )34(+--=- 13、(本小题6分)2265yy y y x '+'='=+y yx y 315214、(本小题6分)定义域，且连续(),-∞+∞'=--y e e x x 2122()驻点：x =1212ln由于''=+>-y e e x x 2022)21ln 21(,,=y 故函数有极小值15、(本小题8分)原式=++++++++--→∞lim()()()()()()x x x x x x x 112131*********2222=⨯⨯⨯⨯=1011216101172 16、(本小题10分)dxxxdx x x x ⎰⎰+=+2sin 2112cos cos sin 12cos :解⎰++=xx d 2sin 211)12sin 21( =++ln sin 1122x c二、解答下列各题(本大题共2小题，总计13分) 1、(本小题5分)设晒谷场宽为则长为米新砌石条围沿的总长为 x xL x x x ,,()51225120=+> '=-=L x x 2512162 唯一驻点 ''=>=L x x 10240163 即为极小值点故晒谷场宽为米长为米时可使新砌石条围沿所用材料最省165121632,,=(完整word 版)大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案2、(本小题8分)解 :,,.x x x x x x 232311288204====V x x dx x x dxx =-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎰⎰ππ()()()223204460428464=⋅-⋅π()1415164175704x x π=-π=35512)7151(44三、解答下列各题 ( 本 大 题10分 )证明在连续可导从而在连续可导:()(,),,[,];,.f x -∞+∞03 又f f f f ()()()()01230====则分别在上对应用罗尔定理得至少存在[,],[,],[,](),011223f x ξξξξξξ1231230112230∈∈∈'='='=(,),(,),(,)()()()使f f f 即至少有三个实根'=f x (),0,,,0)(它至多有三个实根是三次方程又='x f由上述有且仅有三个实根'f x ()高等数学（上）试题及答案一、 填空题（每小题3分，本题共15分）1、.______)31(lim 2=+→xx x 。
大一公共科目《高等数学》考试试卷及参考答案
大学一年级专业考试试卷202X-202X 学年 1 学期 《高等数学》 课程 闭 卷（时间120分钟，总分100分）班级 姓名 学号一、单项选择题（每小题2分，共12分）1、函数(,)z f x y =的两个二阶混合偏导数(,),(,)xy yx f x y f x y 在区域D 内连续是这两个二阶混合偏导在D 内相等的( )条件.(A)充分 (B) 必要 (C)充分必要 (D) 无关2、对函数2(,)f x y x xy =+，原点(0,0) ( ).（A ）不是驻点 （B ）是驻点却不是极值点 （C ）是极大值点 （D ）是极小值点 3、若连续函数()f x 满足20()()ln 22x tf x f dt =+⎰，则()f x =（ ） （A ）ln 2xe （B ）2ln 2xe （C ）ln 2xe + （D ）2ln 2xe +4、下列等式中，不是差分方程的是（ ）（A ）22x x y y ∆-= （B ）2x x x y y e -+= （C ）20x y ∆= （D ）33x x y y x ∆+=5、设a 为常数,则级数21sin n na n ∞=⎛ ⎝∑( ).（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）收敛性取决于a 的值 6、下列级数中条件收敛的是（ ）. （A ）11(1)1n n n n ∞-=-+∑ （B）n ∞= （C ）21(1)n n n ∞=-∑ （D ）111(1)ln()n n n n ∞-=+-∑ 二、填空题（每小题3分，共24分） 1、若22(,)x yf x y xy x xy y++=++,则(,)f x y = . 2、设(,)z x y 由方程333z xyz a -=确定,则zx∂∂= . 3、更换积分次序2313201(,)(,)x x dx f x y dy dx f x y dy -+=⎰⎰⎰⎰.4、设区域22{(,),0}D x y x y y x =+≤≥，则二重积分(,)DI f x y dxdy =⎰⎰化为极坐标系下的二次积分为I = .5、级数()112nn n x n∞=-⋅∑的收敛域为 .6、1(44)4nn n x x ∞=-≤≤∑的和函数()S x = .7、微分方程2xy y '-=-的通解为 .8、一阶差分方程120x x y y ++=的通解为x y = .三、计算题（每小题7分，共14分） 1、设()y z xy xf x =+，其中f 具有连续导数，求z z x y x y∂∂+∂∂.2、设(2)(ln ,)z f x y x y C =-∈，求22,,z z zx y x ∂∂∂∂∂∂.四、计算题（每小题7分，共14分） 1、计算二重积分Dydxdy x⎰⎰,其中D 是由直线y x =,2y x =及1x =,2x =所围成的闭区域.2、利用极坐标计算Dσ⎰⎰,其中D 为圆环形区域22224x y ππ≤+≤.五、计算题（每小题7分，共14分） 1、判别级数211(1)ln 1nn n ∞=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑的敛散性，若收敛, 指出是条件收敛或是绝对收敛.2、把函数()ln(),(0)f x a x a =+>展开成关于x 的幂级数，并确定展开式成立的范围.六、应用题与计算题（每小题8分，共16分） 1、已知某生产商的生产函数为3144(,)100f x y x y =, 其中x 表示劳动力的数量,y 表示资本数量. 且每个劳动力与每单位资本的成本分别为150元及250元, 该生产商的总预算是50000元, 问该如何分配这笔钱用于雇佣劳动力和投入资本, 以使生产量最高.2、求微分方程22xy y y e '''+-=的通解.七、证明题（6分）设正项级数21nn u∞=∑和21nn v∞=∑都收敛，证明1n nn u v∞=∑绝对收敛..试卷答案及评分标准一、单项选择（共12分，每小题2分）1.A 2.B 3.B 4.D 5.C 6.D 二、填空（共24分，每小题3分）1、2x x y - ； 2、2yzz xy- ； 3132y - 4、sin 2(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰； 5、[1,3)-； 6、4xx-； 7、2y cx =+ 8、12xx y C ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭三、计算题（共14分，每小题7分）1、解： 2()()()()()z y y y y y yy f xf y f f x x x x x x x∂''=++⋅-=+-∂-------------（3分）1()()z y yx xf x f y x x x ∂''=+⋅=+∂----------------------------------------------（2分） 2()z z yxy xy xf x y x∂∂+=+∂∂----------------------------------------------------（2分） 2、解：12ln x z y f f ''=⋅+ ----------（2分）12y x z f f y''=- ----------------（2分） 11121222ln (ln )ln xx z y f y f f y f ''''''''=+++-----------------（2分） 2111222ln 2ln f y f y f ''''''=++--------------------（1分）四、计算题（共14分，每小题7分）1.解：221x x Dyy dxdy dx dy xx =⎰⎰⎰⎰ -------------------（3分）2132xdx =⎰ -------------------（2分）94=-------------------（2分）2.解：220sin sin Dd r rdr πππσθ=⋅⎰⎰⎰⎰-------------------（4分）22cos rd r πππ=-⎰ -------------------（1分）()222cos cos r r rdr πππππ=--⎰26π=- -------------------（2分）五、计算题（共14分，每小题7分）1.解：2221111(1)ln()ln(1),nn n n n n ∞∞==+-=+∑∑ -------------------------（2分）22221ln(1)11,ln(1)lim1,1n n n n n n →∞+→∞+=且221111ln(1)n n n n ∞∞==∴+∑∑且收敛收敛； ---------（3分）∴原级数为绝对收敛 --------（2分）2.解：()ln ln(1)x f x a a=++-------（2分）1(1)ln(1) (11)1n n n x x x n +∞=-+-<≤+∑=10(1)ln(1) (11)1n n n x x xa a n a+∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∴+-<≤+∑= -------（3分） ()()110(1) ()ln 1n n n n x f x a a x a n a+∞+=-∴=+-<≤+⋅∑---------（2分）六、计算题（共16分，每小题8分）1.解：目标函数3144(,)100f x y x y =在约束条件150********x y +=下的极值问题 作拉格朗日函数3144(,,)100(150********)L x y x y x y λλ=++-------（3分）11443344751500252500150250500000x y L x y L x y L x y λλλ--⎧=+=⎪⎪⎪=+=⎨⎪=+-=⎪⎪⎩； -----------------------------（3分） 25050x y ⇒== --------------------（2分）故该生产商雇佣250个劳动力和投入50个单位资本, 可使生产量最高. 2.解： 212110,1,2r r r r +-=⇒=-=特征方程：2 -------------（2分） 1212,x xY c e c e -∴=+对应齐次方程的通解 ----------------（2分）*,x y Ae =设特解形式为-----------------------------------（1分） 1,*x A y e =∴=代入原方程解得 --------------------（1分）1212*.x xx y Y y c e c ee -=+=++通解为---------------（1分）七、证明题（本题6分）解：， 222n n n n u v u v +≤证明： -----------（3分）211n n n n u v ∞∞==∑∑2又由和都收敛1n n n u v ∞=∴∑收敛， -----------（2分）1n n n u v ∞=∴∑绝对收敛 -----------（1分）。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
(大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3.…4. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
5.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）6. ,7. =+→xx x sin 20)31(lim .8.,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.9.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .10. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）11. 设函数=()y y x 由方程sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .12. .d )1(177x x x x ⎰+-求13. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x14. *15. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.16. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）17. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）18. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .>六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）19. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰q f x d x q f x dx.20. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）:解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. ；6. 6e . 6.cx x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 - 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：133()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
专升本高等数学一(常微分方程)模拟试卷1(题后含答案及解析)
专升本高等数学一（常微分方程）模拟试卷1(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．微分方程(y’)2=x的阶数为( )A．1B．2C．3D．4正确答案：A解析：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为该微分方程的阶，故此微分方程的阶数为1．知识模块：常微分方程2．微分方程y2dx一(1一x)dy=0是( )A．一阶线性齐次方程B．一阶线性非齐次方程C．可分离变量方程D．二阶线性齐次方程正确答案：C解析：将该微分方程整理可得dx，所以该微分方程是可分离变量方程．知识模块：常微分方程3．已知函数y=+x+C是微分方程y’’=x一1的解，则下列正确的是( )A．y是该微分方程的通解B．y是微分方程满足条件y｜x=0=1的特解C．y是微分方程的特解D．以上都不是正确答案：D解析：方程为二阶微分方程，则通解中应含有两个任意常数，因此y=x3一x2+x+C显然不是方程的通解，又y’=一x+1，y’’=x－1，故可知y=x2+x+C为y’’=x－1的解，因含有未知数，故不是特解，因此选D．知识模块：常微分方程4．方程xy’=2y的特解为( )A．y=2xB．y=x2C．y=2x3D．y=2x4正确答案：B解析：分离变量可得，两边积分得ln｜y｜=lnx2＋C1，即y=Cx2，所以方程的特解中x的最高次数也应该为2，故选B．知识模块：常微分方程5．微分方程y’+的通解是( )A．arctanx+CB．(arctanx+C)C．arctanx+CD．+arctanx+C正确答案：B解析：所求方程为一阶线性微分方程，由通解公式可得其中C为任意常数，故选B．知识模块：常微分方程6．方程y’’一y’=ex+1的一个特解具有形式( )A．Aex+BB．Axex+BC．Aex+BxD．Axex+Bx正确答案：D解析：方程对应二阶齐次线性微分方程的特征方程为r2一r=r(r一1)=0，所以r1=0，r2=1，又有f(x)=ex＋1，λ1=0，λ2=1是该二阶非齐次微分方程的一重特征根，所以特解形式为y*=Axex+Bx．故选D．知识模块：常微分方程7．某二阶常微分方程的下列解中为特解的是( )A．y=CsinxB．y=C1sin3x+C2cos3xC．y=sin3x+cos3xD．y=(C1+C2)cosx正确答案：C解析：由特解定义可知，特解中不含有任意常数，故排除A、B、D项，选C．知识模块：常微分方程8．下列方程中，可用代换p=y’，p’=y’’降为关于p的一阶微分方程的是( )A．+xy’一x=0B．＋yy’一y2=0C．＋x2y’一y2x=0D．＋x=0正确答案：A解析：可降阶方程中的y’’=f(x，y’)型可用代换p=y’，p’=y’’，观察四个选项，只有A项是y’’=f(x，y’)型，故选A．知识模块：常微分方程填空题9．方程(xy2+x)dx+(y－x2y)dy=0满足y｜x=0=1的特解为_______．正确答案：=2解析：分离变量得，两边积分得ln｜x2一1｜=．所以x2一1=C(y2+1)，又y｜x=0=1，故=2．知识模块：常微分方程10．已知微分方程y’+ay=ex的一个特解为y=xex，则a=_______．正确答案：一1解析：把y=xex，y’=ex+xex代入微分方程y’+ay=ex=(1+a)xex+ex，利用对应系数相等解得a=一1．知识模块：常微分方程11．微分方程y’’一4y’+3y=excosx+xe3x对应齐次微分方程的通解为=_______，它的特解形式为y*=________．正确答案：C1ex+C2e3x，ex(Acosx+Bsinx)+x(ax+b)e3x解析：事实上，原方程对应的齐次微分方程的特征方程为r2一4r+3=0，r1=1，r2=3，故齐次微分方程的通解为=C1ex+C2e3x．非齐次方程特解形式的假设，可分为两个方程进行：y’’一4y’+3y=excosx，①y’’一4y’+3y=xe3x．②λ=1±i不是特征方程的特征根，故①的特解形式是y1*=ex(Acosx+Bsinx)；λ=3是特征方程的一重特征根，故②的特解形式应是y2*=x(ax+b)e3x，则y1*+y2*=y*即是原方程的特解形式．知识模块：常微分方程12．非齐次微分方程y’’+9y=cosx，它的一个特解应设为________．正确答案：y=Acosx+Bsinx解析：方程对应二阶齐次线性微分方程的特征方程为r2+9=0，所以r1，2=±3i，f(x)=cosx，则±i不是该二阶齐次微分方程的特征根，所以特解形式为y=Acosx+Bsinx．知识模块：常微分方程13．设二阶常系数线性齐次微分方程y’’＋ay’+by=0的通解为y=C1ex+C2e2x，那么非齐次微分方程y’’+ay’+by=1满足的条件y(0)=2，y’(0)=一1的解为________．正确答案：y=4ex一解析：二阶线性常系数齐次方程对应的特征方程为r2+ar+b=0，又由通解可得特征根r1=1，r2=2，即(r一1)(r一2)=0，r2一3r＋2=0，故a=一3，b=2．所以非齐次微分方程为y’’一3y’＋2y=1，由于λ=0不是特征方程的根，因此，设特解y*=A，则(y*)’=0，(y*)’’=0，代入可得，所以y’’一3y’＋2y=1的通解为y=C1ex＋C2e2x+，再由y(0)=2，y’(0)=一1，可得C1=4，C2=，故满足初始条件的特解为y=4ex一．知识模块：常微分方程解答题14．求微分方程dy=sin(x+y+100)dx的通解．正确答案：方程可写成y’=sin(x+y+100)，令μ=x+y+100，则，于是原方程化为=1+sinμ，就得到了可分离变量方程．分离变量，得=dx，恒等变形，有=dx，即(sec2μ—tanμsecμ)dμ=dx．两边积分，得tanμ—secμ=x+C，将μ=x+y+100回代，得方程通解为tan(x+y+100)一sec(x+y+100)=x+C，其中C为任意常数．涉及知识点：常微分方程15．求微分方程xy’一=0的通解．正确答案：方程分离变量得，两边积分有+C1，则方程的通解为2ln｜y｜+y2一ln2x=C，其中C为任意常数．涉及知识点：常微分方程16．求方程xsecydx+(1+x2)dy=0，满足初始条件y｜x=0=的特解．正确答案：方程分离变量得dy，即dx=一cosydy，两边积分有dx=－∫cosydy，即n(1+x2)=一siny+C，由初始条件y｜x=0=得C=1，则方程的特解为siny＋=1．涉及知识点：常微分方程17．求微分方程secx．y’+tanx．y=ecosx的通解．正确答案：将原方程改写成y’+ysinx=cosxecosx，则y=e－∫sinxdx(∫cosxecosxe∫sinxdxdx+C)=ecosx(∫cosxdx＋C)=ecosx(sinx+C)．其中C为任意常数．涉及知识点：常微分方程18．(1)求微分方程xy’+ay=1+x2满足y｜x=1=1的解y(x，a)，其中a为常数．(2)证明(x，a)是方程xy’=1+x2的解．正确答案：(1)原方程可改写成y’+，微分方程的通解为(2)设y0=+lnx，则xy0’=x(x＋)=1+x2，故结论成立．涉及知识点：常微分方程19．求微分方程y’+3x2y=xe－x3的通解．正确答案：由通解公式得y=e－∫3x2dx(∫xe－x3e3x2dxdx+C)=e－x3(∫xdx+C)=x2e－x3+Ce－x3．C为任意常数．涉及知识点：常微分方程20．求微分方程xy’+2y=xlnx满足y(1)=的解．正确答案：方程xy’+2y=xlnx两边同时除以x，得y’＋y=lnx，是一阶线性微分方程，其中P(x)=，Q(x)=lnx，利用通解公式得涉及知识点：常微分方程21．求解方程∫0x(x—s)y(s)ds=sinx+∫0xy(s)ds．正确答案：∫0x(x—s)y(s)ds=x∫0xy(s)ds－∫0xsy(s)ds=sinx+∫0xy(s)ds，两边对x求导，得∫0xy(s)ds=cosx+y(x)，且y(0)=一1，再次对x求导，得y’一y=sinx 为一阶线性非齐次微分方程．其中P(x)=一1，Q(x)=sinx，故解为y=e－∫P(x)dx[∫Q(x)eP(x)dxdx+C]=ex[∫sinxe－xdx+C]=Cex一(sinx+cosx)，又由y(0)=一1，得C=，故原方程解为y(x)=(ex+sinx+cosx)．涉及知识点：常微分方程22．已知某曲线经过点(1，1)，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程．正确答案：根据题意可知，f(1)=1．由导数几何意义可知，曲线y=f(x)上任意一点(x0，y0)处的切线方程为：y—y0=f’(x0)(x—x0)．令x=0，y=一f’(x0)x0+y0，其中，y0=f(x0)，∴x0=一x0f’(x0)+f(x0)，即x0f’(x0)一f(x0)=一x0，求曲线方程相当于求=一1满足y(1)=1的特解．由通解公式得又∵y(1)=1，∴C=1，故所求曲线方程为y=一xln｜x｜+x．涉及知识点：常微分方程23．求y’’一2y’+y=x3的特解．正确答案：对应的齐次方程的特征方程为r2一2r＋1=0，解得r=1，为二重根，故λ=0不是特征方程的根．由f(x)=x3，设特解为y=Ax3+Bx2＋Cx+D，则y’=3Ax2+2Bx＋C，y’’=6Ax＋2B，代入原方程得6Ax＋2B一2(3Ax2＋2Bx+C)＋Ax3+Bx2+Cx＋D=Ax3+(B一6A)x2＋(6A+C一4B)x＋2B+D－2C=x3，则A=1，B=6，C=18，D=24，故特解为y=x3+6x2+18x+24．涉及知识点：常微分方程24．求y’’一5y’一14y=9e7x的特解．正确答案：原方程对应的齐次方程的特征方程为r2一5r一14=0，解得r=一2，7，λ=7是特征方程的一重根，故设原方程的特解为y=Axe7x，则y’=A(7x+1)e7x，y’’=A(49x+14)e7x，代入原方程得A(49x+14)e7x一5A(7x+1)e7x 一14Axe7x=9e7x，则A=1，故特解为y=xe7x．涉及知识点：常微分方程25．求y’’一4y’+4y=xe2x的通解．正确答案：原方程对应的齐次方程的特征方程为r2一4r+4=0，解得r=2(二重根)，所以对应的齐次方程的解为=(C1x+C2)e2x，λ=2是特征方程的二重根，故设原方程的特解为y*=x2e2x(Ax+B)，则(y*)’=2xe2x(Ax+B)+x2e2x(2Ax+2B+A)，(y*)’’=e2x(2Ax+2B)+xe2x(8Ax+8B+4A)+x2e2x(4Ax+4B+4A)，代入原方程得e2x(2Ax+2B)+xe2x(8Ax+8B+4A)+x2e2x(4Ax+4B+4A)一8xe2x(Ax+B)一4x2e2x(2Ax+2B+A)+4x2e2x(Ax+B)=xe2x，解得A=，B=0，故原方程的通解为y=(C1x+C2)e2x+x3e2x．其中C1，C2为任意常数．涉及知识点：常微分方程26．已知函数y=(x+1)ex是一阶线性微分方程y’+2y=f(x)的解，求二阶常系数线性微分方程y’’+3y’+2y=f(x)的通解．正确答案：据题意的，y’=ex+(x+1)ex=(x+2)ex，f(x)=y’+2y=(x+2)ex+2(x+1)ex=(3x+4)ex，则下面求微分方程y’’+3y’+2y=(3x+4)ex 的通解，特征方程为r2+3r+2=0，求得r1=一1，r2=一2，所以y’’+3y’+2y=0的通解为y=C1e－x+C2e－2x，因λ=1不是特征方程的根，所以设y*=(Ax+B)ex 为原方程y’’+3y’+2y=(3x+4)ex的一个特解，则把(y*)’=(Ax+A+B)ex，(y*)’’=(Ax+2A+B)ex代入原方程，并比较系数得A=，B=，所以微分方程y’’+3y’+2y=(3x+4)ex的通解为y=C1e－x+C2e－2x+ex．其中C1，C2为任意常数．涉及知识点：常微分方程27．求y’’=y’+x的通解．正确答案：令y’=p，y’’=p’，原方程化为p’=p+x，解此一阶线性非齐次方程得p=e∫dx[∫xe－∫dxdx+C1]=ex(∫xe－xdx+C1)=C1ex－x－1即y’=C1ex一x一1，两边积分得通解为y=C1ex一一x+C2，其中C1，C2为任意常数．涉及知识点：常微分方程设函数f(x)在[1，+∞)上连续，若由曲线y=f(x)，直线x=1，x=t(t＞1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为V(t)=[t2f(t)一f(1)]，求：28．y=f(x)所满足的微分方程；正确答案：据题意，V(t)=π∫1t[f(x)]2dx=[t2f(t)一f(1)]，即3∫1t[f(x)]2dx=t2f(t)一f(1)，上式两边同时对t求导得，3f2(t)=2tf(t)+t2f’(t)，即y=f(x)所满足的微分方程为x2y’+2xy一3y2=0；涉及知识点：常微分方程29．该微分方程满足条件y｜x=2=的解．正确答案：将微分方程x2y’+2xy一3y2=0，化为，即为齐次方程．令μ=＋μ，代入方程并化简得=3μ2一3μ．变量分离得，两端积分并代入μ=得通解为y—x=Cx3y，再把y｜x=2=代入可得C=－1，故该微分方程满足条件y｜x=2=的解为y—x=一x3y．涉及知识点：常微分方程。
(完整word版)大一(第一学期)高数期末考试题及答案
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6.,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim (cos cos cos )→∞-+++=22221n n n n n n ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)c o s ()()x ye y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1012330()2x f x dx xe dx x x dx---=+-⎰⎰⎰0123()1(1)xxd e x dx--=-+--⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
高等数学(一)(高起本)期末考试
武汉轻工大学继续教育学习平台高等数学(一)(高起本)期末考试课程名称：高等数学(一)(高起本)1.(单选题)下列定积分其值为零的是( )(本题2.5分)A.B.C.D.答案：A.解析：无.2.(单选题)如果函数( )(本题2.5分) A.B.C.D.答案：C.解析：无.3.(单选题)函数在区间(-1,1)内( )(本题2.5分)A.递减B.递增C.不增不减D.有增有减答案：D.解析：无.4.(单选题)函数( )(本题2.5分)A.充分条件B.充分必要条件C.必要条件D.既非充分也非必要条件答案：C.解析：无.5.(单选题)已知( )(本题2.5分)A.B.C.D.答案：B.解析：无.6.(单选题)若函数区间上连续,则在区间上函数一定存在最大值和最小值的是( )(本题2.5分)A.B.C.D.答案：B.解析：无.7.(单选题)当时,是( )(本题2.5分)A.无穷大B.无穷小C.有界函数D.无界函数答案：C.解析：无.8.(单选题)当时,和都是无穷小,下列变量中,当时,可能不是无穷小的是( )(本题2.5分)A.B.C.D.答案：D.解析：无.9.(单选题)设函数,则当且时,( )(本题2.5分)A.B.C.D.答案：C.解析：无.10.(单选题)下列各对函数中表示同一函数的是( )(本题2.5分)A.与B.与C.与D.与答案：C.解析：无.11.(单选题)求( )(本题2.5分)A.B.C.D.答案：B.解析：无.12.(单选题)由上横坐标相同的点处作切线,这些切线彼此是( )的。
(本题2.5分)A.无规律B.存在C.相交D.平行答案：D.解析：无..13.(单选题)设( )(本题2.5分)A.B.C.D.答案：A.解析：无..14.(单选题)极限的结果是( )。
(本题2.5分)A.0B.不存在C.D.答案：D.解析：无..15.(单选题)求极限的结果是( )(本题2.5分)A.0B.C.D.不存在答案：B.解析：无..16.(单选题)一个已知的函数,有( )个原函数。
大一第一学期期末高数试卷复习及答案(常见与经典)
广东技术师范学院期末考试试卷A 卷参考答案及评分标准高等数学（上）一、填空题（每小题3分，共30分）1. 如果函数)(x f y =的定义域为]1,0[，则)(ln x f 的定义域为],1[e ．（3分）2．已知2)0('=f ，而且0)0(=f ，则=→x x f x )2(lim 0 4 ．（3分） 3．已知22lim e x x kx x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→，则=k 1 ．（3分）4．曲线x x y ln =在点)0,1(处的切线方程是 1-=x y ．（3分）5．函数653)(2+--=x x x x f 的间断点个数为 2 ．（3分）6．如果⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<=0,)1ln(0,0,sin )(x x x x k x x x x f 在0=x 处连续，则=k 1 ．（3分）7．函数x e x f 2)(=的带有拉格朗日型余项的n 阶麦克劳林展式为：（3分）)10()!1(2!2221)(112<<++++++=++θθn xn n nx n e x n x x x f ． 8．函数)0,,()(2≠++=p r q p r qx px x f 是常数，且，则)(x f 在区间],[b a 上满足拉格朗日中值公式的ξ=2ba +．（3分）9．定积分()dx x x x 1011sin ⎰-+的值为61．（3分）10．设⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰--dx e f e x x )(=C e F x +--)(．（3分）二．计算题（要求有计算过程，每小题5分，共40分） 11．求极限113lim 21-+--→x x x x ．（5分） 解：)13)(1()13)(13(lim 113lim 2121++--++-+--=-+--→→x x x x x x x x x x x x ---------（3分）42)13)(1(2lim 1-=++-+-=→x x x x ----------------------------------（5分）12.求极限 n n n 2sin 2lim π∞→．（5分） 解：πππππ=⋅=∞→∞→nn n n n n 22sin lim 2sin 2lim ----------------------------（5分）13．求极限4020sin 1lim 2x tdt t x x ⎰+→（5分）解：21s i n 21lim 42sin 1lim sin 1lim 2240324040202=+=⋅+=+→→→⎰xx x x x x x x tdt t x x x x -------（5分）14．设x ey arctan =，求dy ．（5分） 解：)(arctan arctan arctan x d e de dy x x ==-----------------------------------（2分）dx x x e x d x ex x )1(211arctan arctan +=+=----------------------------------（5分）15．求由方程y x e xy +=所确定的隐函数的导数dx dy．（5分）解：方程两边求关于x 的导数)()(dx dy x y xy dxd +=； )1(dx dye e x d y x y x +=++-------------（3分） 所以有 )(dx dy x y +=)1(dx dy e y x ++解得 )1()1(y x x y xy x y xy ex y e dx dy y x y x --=--=--=++------------------------（5分） 16．求由参数方程 ⎩⎨⎧==-t t e y e x 23 所确定的函数的二阶导数22dx y d ．（5分）解：t t t t t dxdt dy e e e e e dx dy 2''3232)3()2(-=-===-------------------------------（2分）t t t t t e e e e e dt dx dx dy dt d dx dy dx d dx y d 32''22294334)3()32(=--=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=----------（5分）17．求不定积分⎰++dx x x x 2321)(arctan ．（5分）解：⎰⎰⎰+++=++dx x x dx x x dx x x x 23222321)(arctan 11)(arctan ----------------（1分） =x d x dx x arctan )(arctan )111(32⎰⎰++----------------------------------（3分） =C x x x ++-4)(arctan 41arctan -----------------------------------------------（5分）18．求定积分dx e x ⎰+101．（5分）解：令2,1;1,0,2,1,12=====-==+t x t x tdt dx t x t x -----（1分）⎰⎰⎰==+212110122dt te tdt e dx e t t x --------------------------------------（2分）22122121)12(2)|2(2)|(2e e e e dt e te t t t -=--=-=⎰--------（5分）20．求函数x x y 12+=的单调区间、凹凸区间、极值点和拐点．（10分） 解：函数的定义域为),0()0,(+∞⋃-∞ 令01212232'=-=-=x x x x y ，得驻点3121=x -------------------------（1分） 当321>x 时，0'>y ，函数单调增加，当321<x 时，0'<y ，函数单调减少，所以函数的单调增加区间为),21[3+∞，单调减少区间为)0,(-∞和]21,0(3-----（4分）3121=x 为函数的极小值点------------------------------------------------------（5分）令0)1(222333''=+=+=x x x y ，得12-=x -------------------------------------（6分） 当0>x 或1-<x 时，0''>y ，曲线x x y 12+=为凹的，当01<<-x 时，0''<y曲线x x y 12+=为凸的， 所以曲线x x y 12+=的凹区间为 ]1,(--∞和),0(+∞，凸区间为)0,1[-------（8分）曲线的拐点为（-1，0）--------------------------------------------------------------（10分）四、证明题（6分）21．证明当0>>b a 时，b b a b a ab a -<<-ln ． 证明：令x x f ln )(=，则)(x f 在区间],[a b 上连续，在区间),(a b 内可导，由拉格朗日中值定理有：)())(()()('a b b a f b f a f <<-=-ξξ----------（2分） 因为x x f 1)('=，所以有：)()(1ln ln a b b a b a <<-=-ξξ-----------（3分） 因为a b <<<ξ0，所以b a 111<<ξ， -------------------------------------------（4分） 又0>-b a ，所以b b a b a ab a )()(1-<-<-ξ 即：b b a b a ab a -<<-ln -------------------------------------------------------（6分） 五．应用题（8分）22．求由曲线x x e y e y -==,与直线1=x 所围成的平面图形面积及这个平面图形绕x 轴旋转所成旋转体体积．解：曲线x e y =与x e y -=的交点为（0，1），曲线x e y =与x e y -=和直线1=x 的交点分别为（1，e ）和（1，1-e ）,所围平面图形如图阴影部分，取x 为积分变量，其变化范围为[0，1]，所求面积为dx e e S x x )(10--=⎰--------------------------------------------------------（2分）2(|)(110-+=+=--e e e e x x ）-------------------------------------------------（4分）所求旋转体体积为))210102dx e dx e V x x -⎰⎰-=ππ-----------------------------------------------（6分） 2(2|)2121(221022-+=+=--e e e e x x ππ）-------------------------------------（8分）。
2017年河南省专升本高等数学真题及答案高清版
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河南工业大学12-13.2全校跨学院课程补考安排
河南工业大学2012-2013学年第二学期补考安排（莲花街）考试时间：2013年9月7日星期六下午2:30-4:30
注：考务发卷4229
考试时间：2013年9月7日星期六下午4:50-6:50
注：考务发卷4229
考试时间：2013年9月9日星期一下午4:20-6:20
注：考务发卷4229
河南工业大学2012-2013学年第二学期补考安排（莲花街）考试时间：2013年9月10日星期二下午2:30-4:30
考试时间：2013年9月10日星期二下午2:30 留作业
注：考务发卷4229
考试时间：2013年9月10日星期二下午4:50-6:50
注：考务发卷4229
考试时间：2013年9月11日星期三下午4:20-6:20
考试时间：2013年9月11日星期三下午4:20-6:20
注：考务发卷4229
考试时间：2013年9月12日星期四下午4:20-6:20
注：考务发卷4229
考试时间：2013年9月13日星期五下午4:20-6:20。
2017河南专升本高等数学模拟试卷
BIL-2017年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试模拟试卷高等数学模拟题（一）A. x = l 为无穷间断点B. x = l,x = 2都是无穷间断点C. x = 2是可去间断点D. x = l 为可去间断点/ = 2为无穷间断点(凶，杷)说明：考试时间120分钟，试卷共150一、单项选择题（每小题2分，共60分。
在每个小题的备选答案中选出一个正 确答案，并将其代码写在题干后的括号内。
） 1.函数/（x ） = arcsin^-^--ln （4-x ）定义域为（）2A.[l,4)B.[l,5]C.[-2,2]D.[0,4]2.下列函数中为奇函数的是（）A. f (x) - —sin 2 xB.y (x) = xtanx- cosxC. f (x) = ln(x + +1)D 项⑴=己1-x3.已知/'（/_：!）二§项,则＜)A L 丄B.-X4.当XT O 时，下列是无穷小量的是（C.x-1 )D.-XA. sin —卩 sinx B.C.x xD.(3x 3-3x)sin-6.设 limXS '1一¥丫 =舟则^=（）1 *丿A.3B. -3C.丄D.--337.下列方程在［0,1］有实根的有（）A. sin x +J =。
B.x 2 +3x + l = 0C. arcsin x + 3 = 0D. x - sin x + — = 0 28.设7（x ）是可导函数，且lim '3""g ）=i,则尸（財=（） 力一＞ohA. 1B. 0C. 2D. S9.曲线x 2y + lny = l 在点（侦）处的切线斜率是（） A. -2B. -1c ID. 010.下列函数在x = 0处可导的是（ )A. ^ = |3sinx|B. y = 31nxC. y= 5xD. y = |6cosx| u *=”由参数方程c ，确定，则专=(X=1)33A. -B.-42C. f3 D. -e812. /W 在点气可导是/W 在点孔可微的（）条件.A.充分B.必要c.充分必要D.以上都不对13,已知y = cosx ,则俨)=()5,设八中普%则下列说法正确的是（）耶鲁专升本2017年高等数学模拟试卷A. sinxC. -sinxD. -cos%14.下列说法正确的是（） A.函数的极值点一定是函数的驻点 B.函数的驻点一定是函数的极值点 C.二阶导数非零的驻点一定是极值点 D.以上说法都不对15.当*＞此时，r （x ）＞o ；当工＞气时，r （x ）＜o,则下列结论正确的是（A.JB. C. 1D-l22. 设乃疗2是y"+p （x ）y+g （x ）y = °的两个解，则y = =c x y v + c 2y 2 （冬。
大一公共科目《高等数学》考试试卷及参考答案
大学一年级专业考试试卷202X-202X 学年 1 学期 《高等数学》 课程 闭 卷（时间120分钟，总分100分）班级 姓名 学号一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1、(,)z f x y =的偏导数(,),(,)x y f x y f x y 连续是(,)f x y 可微的（ ）. （A ）充分条件 （B ）充要条件 (C ）必要条件 （D ）无关条件 2、(,)(1)yz f x y xy ==+，则(0,1)z y∂=∂( )．(A) 2(B) 1(C) 1-(D) 03、设(,)22,(,)21,2,1,2,x y xx xy yy f x y x y f x y y x f f f =--=-+==-=则点(1，0)是(,)f x y 的( ). (A)非驻点(B) 极小值点(C) 极大值点(D) 非极值点4、设D 为2214x y +≤，则Ddxdy ⎰⎰=( ). (A) 2π(B) 4π(C) 16π(D) 24π5、下列级数中绝对收敛的是（ ）. （A ）11(1)1n n nn ∞-=-+∑ （B）1nn ∞=（C ）21(1)nn n ∞=-∑ （D ）111(1)ln()n n n n∞-=+-∑ 6、二阶微分方程59xy y xe '''-=的特解形式为( ). （A ）*5xy ae =（B ）*5x y axe = （C ）*5()x y ax b e =+ （D ）*25()xy ax bx c e =++二、填空题（每小题2分，共16分） 1、设2222(,)cos()x y f x y x y e x y ++-=-,则(0,1)f =__________,2、设22(1)()z f x y C=+∈，则z zyx x y∂∂-=∂∂ . 3、设ln()2yz x x=+，则(1,1)dz =_________________.4、函数()22,22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-处取得极小值，则a5、更换累次积分次序210(,)x x dx f x y dy =⎰⎰.6、化二次积分为极坐标系下的二次积分20R dx f dy =⎰⎰.7、幂级数13nnn x n ∞=⋅∑的收敛域为： . 8、微分方程560y y y '''++=的通解是___ .三、计算题（每小题7分，共14分） 1、设方程220zy x y x --=确定隐函数(,)z z x y =，在点(2,1)处求dz .2、设22(2)(,23)z f x y x y C =-+∈，求22,,z z z x y x∂∂∂∂∂∂.四、计算题（每小题8分，共16分） 1、计算)Dxy dxdy ⎰⎰，其中D 为平面区域222x y y +≤.2、求微分方程0xxy y e '+-=满足初始条件(1)y e =的特解.五、计算题（每小题7分，共14分） 1、判别级数11(1)lnn n n n∞=+-∑的敛散性，若收敛指出是条件收敛或是绝对收敛.2. 求幂级数1nn x n ∞=∑的收敛域及其和函数.六、应用题（每小题8分，共16分） 1、 设某工厂生产某产品的产量（单位：吨）与所用两种原料,A B 的数量,x y （吨） 间的关系为2(,)0.005p x y x y =.现要用150万元购原料，已知,A B 原料的单价分别 为2万元/吨和5万元/吨.问购进两种原料各多少吨，才能使生产的产品产量最多？2、一曲线通过点(2,3)，它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分，求这曲线方程。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案【呕心沥血整理版】
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题， 每小题4分， 共16分） 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f 。
(A ）(0)2f '= （B)(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.(A)()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小; (B ）()()x x αβ与是等价无穷小；(C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则( ）.(A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；(C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点.4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x (B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +。
二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(l i m .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则。
7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ 。
8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x 。
三、解答题(本大题有5小题，每小题8分,共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y 。
2017年高数专升本真题及其参考答案.doc
2012年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 本试卷的试题答案必须答在答题卡上，答在试卷上无效. 一、选择题 （每小题2 分，共60 分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.1．函数 xx y 1arctan 4++=的定义域是 （ ）A ．[4-,+∞）B ．(4-,+∞)C ．[4-, 0）⋃(0,+∞)D ．（4-, 0）⋃(0,+∞) 【答案】C.【解析】 x +4要求04≥+x ，即4-≥x ；x1arctan 要求0≠x .取二者之交集，得∈x [4-, 0）⋃(0,+∞) 应选C.2．下列函数为偶函数的是（ ）A ．()x x y -+=1log 32B ．x x y sin =C ． ()x x ++1ln D. x e y =【答案】B.【解析】 显然A ，D 中的函数都是非奇非偶，应被排除；至于C ， 记 ()()x x x f ++=1ln 2则 ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-x x x f 1ln 2()x x-+=1ln2=++=xx 11ln2()().1ln 2x f x x -=++-所以()x f 为奇函数，C 也被排除.应选B.3．当0→x 时，下列无穷小量中与)21ln(x +等价的是（ ）A ． xB ．x 21C ．2xD ．x 2 【答案】D.【解析】因为12)21ln(lim0=+→xx x ，所以应选D.4．设函数()xx f 1sin 2=， 则0=x 是()x f 的（ ）A ．连续点B ．可去间断点C ．跳跃间断点D ．第二类间断点 【答案】D ．【解析】 因为()x f 在0=x 处无定义，且无左、右极限，故0=x 是()x f 的第二类间断点.选D ． 5．函数3x y =在0=x 处A ．极限不存在B ．间断C ．连续但不可导D ．连续且可导 【答案】C.【解析】因为3x y =是初等函数，且在0=x 处有定义，故()x f 在0=x 处连续；又321.31xy ='，故()x f 在0=x 处不可导.综上，应选 C.6．设函数()()x x x f ϕ= ，其中()x ϕ在0=x 处连续且的()00≠ϕ，则()0f '（ ）A ．不存在B ．等于()0ϕ'C ．存在且等于0D ．存在且等于()0ϕ 【答案】A.【解析】()()()00lim 00--='-→-x f x f f x ()xx x x 0lim 0--=-→ϕ()()0lim 0ϕϕ-=-=-→x x ； ()()()00lim 00--='+→+x f x f f x ()x x x x 0lim 0-=+→ϕ()()0lim 0ϕϕ==+→x x ； 因为()≠'-0f ()0+'f ，所以()0f '不存在，选A. 7．若函数()u f y =可导，x e u =，则=dy （ ）A ．()dx e f x 'B ．()()x x e d e f 'C ．()dx e x f x .'D ．()[]()x x e d e f '【答案】D B.【解析】根据一阶微分形式的不变性知 ()()()x x e d e f du u f dy '='=，故选B. 8．过曲线()x f y 1=有水平渐进线的充分条件是（ ） A ．()0lim =∞→x f x B ．()∞=∞→x f x limC ．()0lim 0=→x f x D ．()∞=→x f x 0lim【答案】B.【解析】根据水平渐进线的定义： 如果()C x f x =∞→lim 存在，则称C y =为曲线()x f y =的一条水平渐进线，易判断出应选B.9．设函数x x y sin 21-=，则=dydx（ ）A ． y cos 211-B ．x cos 211-C ．ycos 22- D ．x cos 22-【答案】D .【解析】因为x x x dx dy cos 211sin 21-='⎪⎭⎫⎝⎛-=，所以，=-==x dx dy dy dx cos 21111x c o s 22-，选D . 10．曲线()⎩⎨⎧<+≥+=,0,sin 1,0,1x x x x x f 在点()1,0处的切线斜率是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B.【解析】 因为()()()00lim 00--='-→-x f x f f x ()x x x 1sin 1lim 0-+=-→1sin lim 0==-→xx x ； ()()()00lim 00--='+→+x f x f f x ()111l i m 0=-+=+→xx x ，故()10='f 存在.所以，曲线()⎩⎨⎧<+≥+=,0,sin 1,0,1x x x x x f 在点()1,0处的切线斜率是()10='f ，选B.11． 方程033=++c x x （其中c 为任意实数）在区间()1,0内实根最多有（ ） A ．4个 B ．3 个 C ．2个 D ．1个 【答案】D ．【解析】 令c x x y ++=33.则0332>+='x y ，因此曲线c x x y ++=33在()1,0内是上升的，它至多与x 轴有一个交点，即方程033=++c x x 在区间()1,0内至多有一个实根.选D ．12．若()x f '连续，则下列等式正确的是（ ）A ．()[]()x f dx x f ='⎰ B ．()()x f dx x f ='⎰ C ．()()x f x df =⎰ D ．()[]()x f dx x f d =⎰【答案】A ．13．如果()x f 的一个原函数为x x arcsin -，则()=⎰dx x f 在（ ） A ．C x +++2111 B ．C x+--2111 C ．C x x +-arcsin D ．C x+-+2111【答案】C.【解析】根据原函数及不定积分的定义，立知()=⎰dx x f C x x +-arcsin ，选C. 14．设()1='x f ，且()10=f ，则()=⎰dx x f （ ）A ．C x +B ．C x x ++221C ．C x x ++2D ．C x +221【答案】B.【解析】因为()1='x f ，故 ()C x dx x f +==⎰1 .又()10=f ，故.1=C 即 ()1+=x x f .所以，()=⎰dx x f ().2112C x x dx x ++=+⎰选B. 15． =-⎰dt t dx d x2012sin 2)cos (（ ） A ．2cos x - B ．()x x cos .sin cos 2C ． 2c o s x xD ． ()2i n c o s x【答案】B.【解析】 =-⎰dt t dx d x 2012sin 2)cos (()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'--x x sin .sin cos 2()x x cos .sin cos 2=，选B.16．=-⎰dx e x x 2132（ ）A ．1B ．0C ．121--eD ．11--e 【答案】C. 【解析】=-⎰dx e x x 2132)(212x e d x -⎰-（分部）()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎰--21010222|x d e e x x x11121|2----=--=e ee x .选 C.17．下列广义积分收敛的是（ ）A ． ⎰10ln 1xdx x B.⎰10031dx xx C ．⎰+∞1ln 1xdx xD ．dx e x ⎰+∞--35 【答案】D. 【解析】因为 ⎰+→+100ln 1lim εεxdx x ()⎰+→=10ln ln lim εεx xd ∞==+→|120ln 21lim εεx ，所以，⎰10031dx xx 发散； 因为 ⎰+→+10031lim εεdx xx ⎰-→+=1034lim εεdx x ∞=-=+→|1031lim 3εεx ，所以，⎰10ln 1xdx x发散； 因为⎰+∞1ln 1xdx x ()⎰+∞=1ln ln x xd ∞==+∞|12ln 21x ，所以，⎰+∞1ln 1xdx x发散；dx e x ⎰+∞--35()()151535355105151551|e e e x d e x x =--=-=--=+∞--+∞--⎰收敛。