数学分析1-期末考试试卷(B卷)
数学分析试卷及答案6套
f ( x1 ) f ( x2 ) .
g ( x) ,x 0 九. (12 分)设 f ( x) x 且 g (0) g (0) 0 , g (0) 3 , 求 f (0) . 0, x 0
答案参见我的新浪博客：/s/blog_3fb788630100muda.html
lim
h 0
1 h
x
a
[ f (t h) f (t )] dt f ( x) f (a).
六 (10 分 ) 求椭圆区域 R : (a1 x b1 y c1 ) 2 (a2 x b2 y c2 ) 2 1 (a1b2 a2b1 0) 的 面积 A . 七 (10 分) 设 F (t ) f ( x 2 y 2 z 2 ) dx dy dz ，其中 V : x 2 y 2 z 2 t 2 (t 0) ，
四. (12 分)证明函数 f ( x)
五. (12 分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界. 六. (10 分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点. 七. (12 分)确定 a, b 使 lim ( x 2 x 1 ax b) 0 .
x
1 5 八. (14 分)求函数 f ( x) 2 x 3 9 x 2 12 x 在 [ , ] 的最大值与最小值. 4 2
x x0
x x0
1 1 . f ( x) b
三. (10 分)设 an 0 ,且 lim
an l 1 , 证明 lim an 0 . n n a n 1
四. (10 分 ) 证 明 函 数 f ( x) 在 开 区 间 ( a, b) 一 致 连 续 f ( x) 在 ( a, b) 连 续 , 且
数学分析试卷及答案6套
数学分析试卷及答案6套第一套试卷一、选择题（共20题，每题4分，共80分）1. 若函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1，求f(-1)的值是多少？A. -4B. 4C. 0D. 12. 函数f(x) = ln(x^2 + 1)在区间(-∞, 0)上的最小值是多少？A. ln(1)B. ln(0)C. ln(-1)D. 不存在最小值3. 已知函数f(x)在区间[0, 5]上连续，且f(0) = 2, f(5) = 1，证明在该区间上存在一个点c，使得f(c) = 3.（请写出证明过程）4. 求不等式2x - 5 < 3x + 2的解集。
A. x < -7B. x > -7C. x > -3D. x < -35. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) = f(b)，证明在该区间上至少存在两个不同的点c和d，使得f(c) = f(d).（请写出证明过程）..................第一套答案一、选择题1. B2. A3. (证明过程略)4. A5. (证明过程略)二、填空题（共5题，每题4分，共20分）1. 若e^x = 2，则x = ln(2)；2. 设a, b为实数，若a^2 + 2ab + b^2 = 0，则a = -b；3. lim(x→∞) (x^2 - 2x - 3)/(3x + 1) = 1；4. 若函数f(x) = x^2 + 3x - 2，则f(-1) = -6；5. 若f(x) = √(2x + 1)，则f'(x) = 1/√(2x + 1)。
三、解答题（共3题，每题20分，共60分）1. 设函数f(x) = x^3 - 2x + 1在区间[-2, 2]上的一个驻点为c，请求该驻点c的值以及f(c)的极值。
（请写出解题过程）2. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 1的所有零点。
（请写出解题过程）3. 若函数f(x) = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 4在区间[0, 3]上的导函数f'(x)恰有一个零点c，并且f(c) = 2，求函数f(x)在该区间上的最大值。
高等数学B1期末考试试卷-附答案(武汉大学)
武汉大学2016-2017高等数学B1期末考试题1、（8分）计算极限∑=∞→++nk n kn n k12lim。
解：∑∑=∞→=∞→++=++n k n nkn n k n n kn kn n k 121211lim lim。
21lim 212lim 1lim 21lim 211lim 11121)1(112)1()(,)1()(,1)(f 1211101112121222222=++=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==≤++=++≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥≤+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++≤-+-=+-='+=∑∑∑⎰∑∑∑∑∑=∞→∞→=∞→=∞→=∞→====nk n n nk n nk n n k n n k n k nk n k k n nk n n k n n n k n xdx nk n nk n n k n n kn k n n k n n k n n n k n k n n k n n kn k n k n n k n n k xx aa x f x ax f xax θθ2、（8分）计算极限)cos 1(cos 1lim 0x x xx --+→。
解：2121)cos 1(21lim 21)cos 1(cos 1lim )cos 1(cos 1lim 220=+=+-=--+++→→→x x x xx x x x x xx x x 。
3、求反常积分⎰∞++12)1(x x dx的值。
解：1,1,1)1()()(1)1(12222=-==+++++=+++=+C A B x x B x B A x C A x C x B x A x x 2ln 1ln 1)1ln()1(ln 1)1ln(1111)1(11111)1(11122222-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=++--+=+++-=++++-=+∞+∞+⎰⎰⎰⎰⎰x x x x x dx Cx xx dx x dx xdx xdx xx x x xx x4、（8分）求函数34922+--=x x x y 的间断点并判断其类型。
高等数学b1期末试题及答案
高等数学b1期末试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x答案：B2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx 的值。
A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A3. 以下哪个选项是洛必达法则的应用？A. 计算极限lim(x→0) (sin x)/xB. 计算定积分∫(0,π) sin x dxC. 计算导数 d/dx (x^3)D. 计算不定积分∫e^x dx答案：A4. 以下哪个选项是二阶导数？A. d^2y/dx^2B. dy/dxC. d^2y/dy^2D. d^2y/dxdy答案：A5. 以下哪个选项是泰勒公式的展开式？A. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)B. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2!C. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2D. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^3/3!答案：B6. 以下哪个选项是傅里叶级数的组成部分？A. 正弦函数B. 余弦函数C. 指数函数D. 所有选项答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 f(x) = x^3 - 6x 在 x = 2 处的导数是 _______。
答案：-62. 微分方程 y'' - 2y' + y = 0 的通解是 _______。
答案：y = C1 * e^x + C2 * e^(-x)3. 计算极限lim(x→0) (e^x - 1)/x 的值是 _______。
答案：14. 函数 y = sin x 的不定积分是 _______。
《数学分析》(期末考试)试卷
浙江师范大学《数学分析》（期末考试）试卷（2004-2005学年第一学期）考试类别： 考试 使用学生： 初阳学院数学专业03级 考试时间：150分钟 出卷时间2005年1月2日 说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理。
一、（15%）选择题（每小题3分，共15分）1、 设32()3f x x x x =+，则()(0)n f 存在的最高阶数n 为(A)0 (B)1 (C)2 (D)32、 函数23()(2)f x x x x x =---不可导点的个数是(A)3 (B)2 (C)1 (D)03、 设(0)0f =，则f()x 在0x =可导的充要条件为(A)201lim (1cos )h f h h →-存在. (B)01lim(1)h h f e h→-存在. (C)201lim (1sin )h f h h→-存在.(D)[]01lim (2)()h f h f h h→-存在4、 设2()d f x x x C =+⎰，则2(1)d xf x x -=⎰（）.(A )222(1)x C --+(B)222(1)x C -+(C)221(1)2x C --+(D)221(1)2x C -+ 5、 双纽线22222()x y x y +=-所围成的平面区域面积可用定积分表示为(A)π402cos 2d θθ⎰ (B )π404c o s 2d θθ⎰(C)2θ⎰(D )π2401(c o s 2)d2θθ⎰ 二、（24%）填空题（每小题3分，共24分）1、 已知曲线的极坐标方程为e r θ=，若在直角坐标系中，yk x b =+是该曲线在参数为π2θ=的点处的切线方程，则k = ① ，b = ② .2、 设 (ln )2f x x '=-，则 ()f x = ③ .3、 设曲线()nf x x = 在点()1,1处的切线与y 轴的交点为n t ，则lim ()n n f t →∞= ④4、 设1()1f x '=-，则011lim(2)()x xf x x f x x →=--- ⑤ .5、x =⎰⑥ .6、 设21,0(),0xx x f x e x -⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则30(2)f x dx -=⎰ ⑦ .7、函数1()(2x f x u =-⎰（0x >）的单调下降区间为 ⑧ . 三、（21%）计算题（每小题7分，共21分）1、 求10lim(sin 2cos )xx x x →+2、 求12ln(1)d (2)x x x +-⎰3、 求d sin 22sin xx x +⎰四、（40%）证明题（每小题8分，共40分）1、设函数()f x 在[0,2]上连续，在(0,2)可导，且21()d (0)f x x f =⎰证明存在一点(0,2)c ∈，使()0f c '=2、设f ()0x ''<，f(0)0=，证明对任何10x >，20x >，有1212()()()f x x f x f x +≤+3、设lim 5n n a →∞=，试用定义证明12lim5nn a a a n→∞+++=4、设()f x 在[0,π]上连续，π()d 0f x x =⎰，π0()cos d 0f x x x =⎰，则在(0,π)内至少存在不同的两点12,ξξ，使12()()0f f ξξ==5、设()f x 在[0,1]上具有二阶导数，且满足条件()f x a ≤，()f x b ''≤， 其中,a b 都是非负常数，c 是(0,1)内的任一点，证明()22bf c a '≤+。
华东师范大学大一数学分析期末考试题
xx0 g(x)
xx0 g (x)
xx0 g(x)
A、必要条件 B、充分条件 C、充分必要条件
三、计算题（每小题 6 分，共 30 分）
D、既非充分也非必要条件
14、 lim (1 a)(1 a2 )(1 a2n ),(| a | 1) n
15、求函数 y 2x 的单调区间 1 x2
16、 lim xln(1 x) ln x x
学院： 数学与计算机科学学院 适用班级：
题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九
分数
总分
评卷人
一、填空题（每空 2 分，共 20 分）
1、函数 f (x) ln 1 x 的定义域是 1 x
2、 lim sin 5x x0 3x
第
1
3、 lim
n
1n
4、若 f 可导，且 y f (2x), 则 dy =
17、已知 y ln(arccos 1 ) 求 y x
18、求 d
x 1
x2
四、证明题（每小题 10 分，共 20 分）
19、已知数列xn ，它由递推公式
xn1
1 2
(xn
a xn
) 确定， a
0 ，且 x1 可取任意正实数，
证明：数列
x
n
收敛，并求
lim
n
xn
20、 ex 1 x ， (x 0)
五、综合题（15 分）
21、并作图
学号
班级
专业
C、 f (x) 在 x 0的左右极限存在但不相等 D、 f (x) 在 x 0的左右极限不存在
页
n n 1
5、设 f (x) 在 x0 点可导，且在 x0 点取极大值，则 f (x0 ) =
陕西师范大一数学分析期末考试题
A、N 是唯一的 C、前 N 项有 | x n − a |≥ ε
B、N 是 ε 的函数 D、必有对任何 N， | x n − a |< ε
学院： 适用班级： 学院： 数学与计算机科学学院 适用班级： 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分
11、当 x → 0 时， sec x − 1 是 A、高阶无穷小 12、 lim n + 3
π π , 上满足罗尔定理的点 ξ = 4 4
，凸性区间是 17、证明不等式：当 x > 0 时， 1 + x ln( x + 1 + x 2 ) > 1 + x 2 18、若 f (x ) 在区间 I 上存在有界导数，即 ∀x ∈ I ， | f ′( x ) |≤ M ，则 f ′(x ) 在 I 上一致连续。
B、 1 −
A、 1 −
1 cos y 2
1 cos x 2
C、
2 2 − cos y
D、
2 2 − cos x
8、曲线 y = ln(e −
1 ) 具有 x
B、一条斜渐近线 C、两条垂直渐近线 D、两条斜渐近线
A、一条垂直渐近线 9、 lim
2x = x →0 | x |
B、-2 C、0 D、不存在
A、2
iiiiii4lncosxy?在???????44??上满足罗尔定理的点?5曲线xxy12??的拐点是凸性区间是6曲线xxy1??与x轴交点处的切线方程为二单项选择题每小题3分共15分7设xxysin21??则?dydxaycos211?bxcos211?cycos22?dxcos22?8曲线1lnxey??具有a一条垂直渐近线b一条斜渐近线c两条垂直渐近线d两条斜渐近线9??2lim0xxxa2b2c0d不存在10在数列极限axnn???lim的n??定义中an是唯一的bn是?的函数c前n项有???axnd必有对任何n???axn11当0?x时sec1x?是22x的a高阶无穷小b低阶无穷小c同阶无穷小c等价无穷小三计算题每小题6分共30分12nnxn3lim3???13xxxarctan2lim???141??xxy求y?1521arcsinxy??求dy16xxyarctan?求yd2四证明题每小题10分共20分17证明不等式
大一高数b期末考试试题及答案
大一高数b期末考试试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点个数为：A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2. 曲线y=x^3-3x^2+2x+1在点(1,-1)处的切线斜率为：A. 0B. 1C. 2D. -13. 以下哪个函数是奇函数：A. y=x^2B. y=x^3C. y=x^2+1D. y=x^3-14. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 不存在5. 以下哪个积分是发散的：A. ∫(0,1) 1/x dxB. ∫(0,1) x^2 dxC. ∫(0,1) e^x dxD. ∫(0,1) ln(x) dx6. 以下哪个级数是收敛的：A. 1+1/2+1/4+1/8+...B. 1-1/2+1/3-1/4+...C. 1+2+3+4+...D. 1/2+1/4+1/8+1/16+...7. 以下哪个矩阵是可逆的：A. [1 0; 0 0]B. [1 1; 1 1]C. [1 0; 0 1]D. [0 1; 1 0]8. 以下哪个行列式等于0：A. |1 2; 3 4|B. |2 0; 0 2|C. |1 1; 1 1|D. |1 -1; -1 1|9. 以下哪个方程组有唯一解：A. x+y=1x-y=1B. x+y=12x+2y=2C. x+2y=32x+4y=6D. x+y=1x+2y=310. 以下哪个二重积分的计算结果是2π：A. ∬(0,2π) (x^2+y^2) dxdyB. ∬(0,2π) (x^2+y^2) dxdyC. ∬(0,π) (x^2+y^2) dxdyD. ∬(0,π) (x^2+y^2) dxdy二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x的导数为_________。
2. 曲线y=x^2-4x+3在点(2,-1)处的切线方程为y-(-1)=_________(x-2)。
2021-2022学年数学分析第二学期期末考试(含答案)
2021-2022学年第二学期期末《数学分析》一.填空题 ( 每题5分,共30分 )1. 已知势函数 2u x yz =，则其梯度 grad u = ，其梯度的散度 ()div grad u = 。
2. 曲面:ln x z y y ⎛⎫∑=+ ⎪⎝⎭在点0(1,1,1)P 处的单位法向量为 ,在该点处的切平面方程为 .3. 设22()d ,x x u x f x e u -=⎰ 则'()f x = .4. 设Γ是以(0,0),(1,0),(0,1)O A B 为顶点的三角形的边界,则曲线积分()x y ds Γ+⎰ = .5. 设Ω是由锥面z =和上半球面 z = 围成的空间区域， 则三重积分222()d f xy z V Ω++⎰⎰⎰ 在球坐标系下的累次积分为.6. 利用Γ函数和B 函数的性质，可知 2560sin cos d x x x π⎰ = .二. 计算题 (10分) 计算二重积分D，其中 D 是由22221x y a b += 所围的平面区域。
设Γ是任意一条包围着原点（不经过原点）的分段光滑、逆时针定向曲线，试计算曲线积分22.2xdy ydxx y Γ-+⎰四. 计算题 (10分)设∑为曲面 )20(222≤≤+=z y x z 的下侧．计算曲面积分33()d d ()d d 2()d d x y y z y z z x x y z x y ∑++-++-⎰⎰．计算曲线积分22I y dx xdy z dz Γ=-++⎰，其中Γ是平面2y z +=与柱面221x y +=的交线，从Oz 轴正向往下看为逆时针方向.六.计算题 (10分)计算双曲面z xy = 被围在圆柱面222x y a +=内部的面积．设()f x 是[,]a b 上的连续函数，利用二重积分性质证明不等式22()d ()()d b b a a f x x b a f x x ⎡⎤≤-⎢⎥⎣⎦⎰⎰八. 证明题 (10分)设(,)f x u 在[,][,]a b αβ⨯上连续，证明对任意 0[,]u αβ∈，总有0lim (,)d (,)d b baau u f x u x f x u x →=⎰⎰设Ω为闭区域，∂Ω是Ω的边界外侧，n是∂Ω的单位外法向量。
《高等数学》 2021-2022学年第一学期期末试卷B卷
河海大学2021—2022学年第一学期 《高等数学》 期末试卷（B ）一． 填空题（每空3分，共15分）1、函数1y x =的定义域为 .2、0,0ax e dx a +∞->⎰= .3、已知sin(21)y x =+，在0.5x =-处的微分dy = .4、定积分121sin 1x dx x -+⎰= . 5、函数43341y x x =-+的凸区间是 . 二．选择题（每空3分，共15分）1、1x =是函数211x y x -=-的 间断点 （A ）可去 （B ）跳跃（C ）无穷 （D ）振荡2、若0()0,(0)0,(0)1,lim x f ax a f f x →'≠==-==(A)1 (B)a(C)-1 (D) a - 3、在[0,2]π内函数sin y x x =-是 。
（A ）单调增加； （B ）单调减少；（C ）单调增加且单调减少； (D)可能增加;可能减少。
4、已知向量{4,3,4}a =-r 与向量{2,2,1}b =r 则a b ⋅r r 为 . （A ）6 （B ）-6（C ）1 （D ）-35、已知函数()f x 可导，且0()f x 为极值，()f x y e =，则0x x dy dx == .（A ）0()f x e （B ）0()f x ' （C ）0 （D ）0()f x 三．计算题（3小题，每题6分，共18分）1、求极限10lim(1-)k x x kx +→2、求极限12cos 20sin lim sin x x t dt x x→⎰3、已知1ln sinxy e=，求dydx四．计算题（每题6分，共24分）1、设10ye xy--=所确定的隐函数()y f x=的导数0xdydx=。
2、计算积分arcsin xdx ⎰3、计算积分0π⎰4、计算积分0,0a>⎰五．觧答题（3小题，共28分）1、(8)'已知2223131atxtatyt⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，求在2t=处的切线方程和法线方程。
数学分析1期末考试试卷A卷
数学分析1 期末考试试卷（A 卷）一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）1、设 82lim =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→xx a x a x ， 则 =a 。
2、设函数)2(1)(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是 ，第二类间断点是 。
3、设)1ln(2x x y ++=，则=dy 。
4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(10⎰+=，则=)(x f 。
5、xdx arctan 1⎰= 。
二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞→n n n y x ，则下列断言正确的是（ ）。
（A ）若n x 发散，则n y 必发散。
（B ）若n x 无界，则n y 必无界。
（C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。
（D ）若nx 1为无穷小，则n y 必为无穷小。
2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ ）。
（A ） 1。
（B ）不存在。
（C ） 0。
（D ） -1。
3、若),()()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则)(x f 在),0(+∞内有（ ）。
（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。
（B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。
（C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。
（D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。
4、设)(x f 是连续函数，且⎰-=dt t f x F x e x)()(，则)(x F '等于（ ）。
（A ）())(x f e f e x x ----。
高等数学期末(B卷)+答案+评分标准
武夷学院期末考试试卷 （ 2012 级 建设 专业2012～2013 学 年 第 一 学 期） 课程名称 高等数学 B 卷 考试形式 闭卷 考核类型 考试 本试卷共 四 大题，卷面满分100分，答题时间120分钟。
一、选择题：（本大题共10小题，每小题2分，共20分。
）(注:请将选项填在下面表格里。
） 1、以下函数奇偶性与其他三项不同的是（ ） A ．)1)(1()(+-=x x x x f ； B ．x x x f 2cos 2)(2+=； C ．x x e e x f -+=)(； D ．24)(x x x f -=。
2、若'F (x)=f(x),则⎰=)(x dF ( ) A ．f(x)； B ．F(x)； C. f(x)+C ； D ．F(x)+C 。
3、dx x )11(⎰-= A ．21x C x -+ B ．21x C x ++ C ．ln ||x x C -+ D ．ln ||x x C ++ 4、求132lim 23+++∞→x x x x x =( ) A ．0； B ．∞； C ．1； D ．-1。
5、设函数)(x f 在),(+∞-∞内二阶可导，且),()(x f x f -=-如果当0>x 时，,0)('>x f 且,0)(">x f 则当0<x 时，曲线)(x f y =（ ）。
A ．递增，凸的； B.递减，凹的；C. 递减，凸的；D. 递减，凹的。
6、函数)(x f y =在点0x 处连续是函数在该点可导的（ ）A. 充分条件但不是必要条件；B. 必要条件但不是充分条件；C. 充分而且必要条件；D. 既不是充分条件，也不是必要条件7、设22z x y xy =+，则z x ∂=∂ A ．22xy y + B ．22x xy +C ．4xyD ．22x y +8、下面函数不同的一组是（ ） A. x x y y 23,3==； B.x y x y 2sin 1,cos -==；C. 2ln ,ln 2x y x y ==；D.x y x x y =-=,335321-x 。
高等数学大一期末试卷(B)及答案
中国传媒大学2009-2010学年第 一 学期期末考试试卷（B 卷）及参考解答与评分标准考试科目: 高等数学A （上） 考试班级： 2009级工科各班 考试方式： 闭卷命题教师：本大题共3小题，每小题3分,总计9分 ） 1、0)(0='x f 是可导函数)(x f 在0x 点处取得极值的 必要 条件. 2、设)20()1tan(cos ln π<<⎩⎨⎧+==t e y t x t，确定函数)(x y y =，则=dxdy)1(sec cot 2t t e t e +-。
3、=++⎰522x x dx C x ++21arctan 21。
填在题末的括号中。
本大题共3小题，每小题3分，总计 9分)1、，则，若设0)(lim 134)(2=++-+=∞→x f b ax x x x f x )44()()44()()44()()44).((，．； ，．； ，．； ，）可表示为，的值，用数组（，----D C B A b a b a答（ B )2、下列结论正确的是（ ）)(A 初等函数必存在原函数;)(B 每个不定积分都可以表示为初等函数; )(C 初等函数的原函数必定是初等函数； )(D C B A ,,都不对。
答（ D ）3、若⎰-=x e xe dt tf dxd 0)(,则=)(x fxx e D e C x B x A 2222)( )()( )(----- 答( A )2小题，每小题5分,总计10分 )1、求极限0lim →x xxx 3sin arcsin -。
解：0lim →x =-x x x 3sin arcsin 0lim →x 3arcsin x xx - （3分）lim→=x 311122=--x x 0lim →x ()()xx x62121232---61-=。
（5分）2、2tanln x y =,求dx dy 。
解: 2sec 212tan 12xx y ⋅⋅=' （3分)x x x x csc sin 12cos2sin 21==⋅=。
华东理工大学《数学分析(上)》期末考试试卷及答案
八、证明方程 x sin x = 2010 在(−∞, +∞)内有无穷多个解.（8分） 九、设 f ( x )在[0, +∞)连续, 且 lim [ f ( x ) − x −1] = 0, 证明 f ( x )在[0, +∞)一致连续.（本
x → +∞
题8分） 十 、 设 函 数 f ( x )在 [a, b] 连 续, 在(a, b)可 导, 求 证 在(a, b)内 存 在 相 异 两 点 ξ 和 η 使 2 f (b) − f (a) 得 f (ξ) f (η) = .（本题8分） b−a
√ n 一、用极限的定义证明 lim 2010 = 1. （本题7分）
n →∞
二、求极限（共14分, 每小题7分） 1. lim x − √ x
x→∞
1 e−1
2.
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x → +∞
lim
√ 5
x5 + x4 −
√ 3
x3 − x2
三、求不定积分（共14分, 每小题7分） 1. e ax sin bx d x (其中a, b为常数) 2. cos x dx sin x + cos x
华东理 工大 学 2009 - 2010 学 年第 一学 期
《 数 学 分 析 (上 )》 课 程 期 末 考 试 标 准答 案 A 2010. 1. 13
√ n 一、用极限的定义证明 lim 2010 = 1. （本题7分）
n →∞
(注: 不等式放缩3分, 定义4分) ln 2010 证：∀ε > 0, 令N = log1+ ε 2010 , 则 ∀n > N 有n > , 因此 ln(1+ ε) √ √ 1 n n ln(1− ε) < 0 < ln 2010 < ln(1+ ε), 即1− ε < 2010 < 1+ ε, 故 lim 2010 = 1. n →∞ n 二、求极限（共14分, 每小题7分） √ √ 5 3 1 5 + x4 − 1. lim x − √ 2. lim x x3 − x2 x x→∞ x → +∞ e−1 1 1 et − t − 1 1. 解: 原式= lim − t (2分) = lim t→0 t t → 0 t(e t − 1) e −1 et − t − 1 et − 1 et 1 = lim (2 分 ) = lim (1 分 ) = lim (1分) = (1分) 2 t→0 t→0 t→0 2 t 2t 2 1 1 1 1 5 3 2. 解: 原式= lim x 1 + − 1− (2分) x → +∞ x x 1 11 8 11 + o( ) − 1 − + o( 1 (1分) ) (4分) = = lim x 1 + x x → +∞ 5x x 3x 15 三、求不定积分（共14分, 每小题7分） cos x 1. e ax sin bx d x (其中a, b为常数) dx 2. sin x + cos x 1. 解: 设 I = e ax sin bx d x (1)当a 0时, 由分部积分 b b 1 1 1 sin bx d (e ax )= e ax sin bx− e ax cos bx d x (2分)= e ax sin bx− 2 cos bx d (e ax ) I= a a a a a b ax b b2 b2 1 ax 1 = e sin bx− 2 e cos bx− 2 e ax sin bx d x (2分)= e ax sin bx− 2 e ax cos bx− 2 I +C1 a a a a a a (a sin bx − b cos bx )e ax 故I = (2分) + C (1分) a2 + b2 (2)当a = 0, b 0时, 上述结果仍成立; (3)当a = 0, b = 0时, I = C . cos x − sin x x d(sin x + cos x) 1 1+ d x (3分) = + (2分) 2.解法一: 原式= 2 sin x + cos x 2 sin x + cos x x 1 = + ln | sin x + cos x | (1分) + C (1分) 2 2 dt 解法二: 设 t = tan x, 则 x = arctan t, d x = . (2分) 1 + t2 dt 2 dx 1 1 1 t 原式= = 1+t = + − d t (2分) 2 1 + tan x 1+ t 2 1+t 1+t 1 + t2 1 d (1 + t) 1 dt 1 d (1 + t 2 ) = + − 2 1+t 2 1 + t2 4 1 + t2 1 1 1 = ln |1 + t | + arctan t − ln(1 + t 2 ) + C (2分) 2 2 4 i
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数学分析1 期末考试试卷（B 卷）一、填空题（本题共5个小题，每小题4分，满分20分） 1、设0111,1n nx x x +==+， 则 lim n n x →∞= 。
2、（归结原则）设0()(;)o f x U x δ在内有定义，0lim ()x xf x →存在的充要条件是：3、设)1ln(2x x y ++=，则=dy 。
4、当x = 时，函数()2x f x x =取得极小值。
5、已知)(x f 的一个原函数是cos xx，则()xf x dx '=⎰。
二、单项选择题（本题共5个小题，每小题4分，满分20分） 1、设()232x x f x =+-，则当0x →时（ ）。
（A ）()f x x 与是等价无穷小。
（B ）()f x x 与是同阶但非等价无穷小。
（C ）()f x x 为的高阶无穷小量。
（D ）()f x x 为的低阶无穷小量。
2、设函数()f x x a =在点处可导，则函数()f x 在x a =处不可导的充分条件是（ ）。
（A ）()0()0.f a f a '==且 （B ）()0()0.f a f a '>>且（C ）()0()0.f a f a '=≠且 （D ）()0()0.f a f a '<<且 3、若),()()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则)(x f 在),0(+∞内有（ ）。
（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。
（B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。
（C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。
（D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。
4、设)(x f 的导数在x a =处连续，又()lim1x af x x a→'=--，则（ ）。
（A ）x a =是)(x f 的极小值。
（B ）x a =是)(x f 的极大值。
（C ）(,())a f a 是曲线()y f x =的拐点。
（D ）x a =不是)(x f 的极值点，(,())a f a 也不是曲线()y f x =的拐点。
5、下述命题正确的是（ ）（A ）设)(x f 和()g x 在0x 处不连续，则()()f x g x 在0x 处也不连续； （B ）设()g x 在0x 处连续，0()0f x =，则0lim()()0x xf xg x →=； （C ）设存在0δ>，使当00(,)x x x δ∈-时，()()f xg x <，并设lim (),x x f x a -→=lim (),x x g x b -→=，则必有a b <；（D ）设lim (),lim ()x x x x f x a g x b--→→==，a b <，则存在0δ>，使当00(,)x x x δ∈-时，()()f x g x <。
三、计算题（本题共6个小题，每小题5分，满分30分）1、 11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫ ⎪⎝⎭求2、0x x →求3、给定p 个正数()11212,,,,lim .n n n n p pn a a a a a a→∞+++求4、设sin (0)sin a x b y a b a b x +⎛⎫=>> ⎪+⎝⎭其中，求y '。
5、求不定积分⎰6、求不定积分dx x xx ⎰3cos sin 。
四、证明下列各题（本题共3个小题，每小题6分，满分18分）1、试用εδ-语言证明极限22lim4x x →=；2、证明方程0(n x px q n p q ++=为正整数，、为实数），当n 为奇数时最多有三个实根。
3、试用拉格朗日中值定理证明：当0x ≥时 1101ln(1)x x<-<+ 。
五、（本题8分）设()(,)f x -∞+∞在上二阶导数连续，(0)0f =()0()0f x xg x xax ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩（1） 确定,()a g x ∞∞使在(-,+)上连续；（2） 证明对以上确定的,()a g x ∞∞在(-,+)上有连续的一阶导函数。
六、（本题4分）设()f x 在[,)a +∞上连续，且lim ()x f x A →+∞=存在，证明()f x 在[,)a +∞上有界。
答案一、填空题（本题共5个小题，每小题4分，满分20分）1、设0111,1n nx x x +==+， 则 lim n n x →∞=12。
2、（归结原则）设0()(;)o f x U x δ在内有定义，0lim ()x xf x →存在的充要条件是：对任何含于00(;)U x δ且以0x 为极限的数列{}n x ，极限lim ()n f x →∞都存在且相等。
3、设)1ln(2x x y ++=，则=dy。
4、当x = 1ln 2-时，函数()2x f x x =取得极小值。
5、已知)(x f 的一个原函数是cos x x，则()xf x dx '=⎰cos sin 2xx C x--+ 。
二、单项选择题（本题共5个小题，每小题4分，满分20分） 1、设()232x x f x =+-，则当0x →时（ B ）。
（A ）()f x x 与是等价无穷小。
（B ）()f x x 与是同阶但非等价无穷小。
（C ）()f x x 为的高阶无穷小量。
（D ）()f x x 为的低阶无穷小量。
2、设函数()f x x a =在点处可导，则函数()f x 在x a =处不可导的充分条件是（ C ）。
（A ）()0()0.f a f a '==且 （B ）()0()0.f a f a '>>且 （C ）()0()0.f a f a '=≠且 （D ）()0()0.f a f a '<<且3、若),()()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则)(x f 在),0(+∞内有（C ）。
（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。
（B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。
（C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。
（D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。
4、设)(x f 的导数在x a =处连续，又()lim1x af x x a→'=--，则（ B ）。
（A ）x a =是)(x f 的极小值。
（B ）x a =是)(x f 的极大值。
（C ）(,())a f a 是曲线()y f x =的拐点。
（D ）x a =不是)(x f 的极值点，(,())a f a 也不是曲线()y f x =的拐点。
5、下述命题正确的是（ D ）（A ）设)(x f 和()g x 在0x 处不连续，则()()f x g x 在0x 处也不连续；（B ）设()g x 在0x 处连续，0()0f x =，则0lim()()0x xf xg x →=； （C ）设存在0δ>，使当00(,)x x x δ∈-时，()()f xg x <，并设lim (),x x f x a -→=lim (),x x g x b -→=，则必有a b <；（D ）设lim (),lim ()x x x x f x a g x b--→→==，a b <，则存在0δ>，使当00(,)x x x δ∈-时，()()f x g x <。
三、计算题（本题共6个小题，每小题5分，满分30分）1、解： 011sin 1sin ln()limln()1cos 1cos 1cos 00sin lim lim x xxxx xx xx x x eex →---→→⎛⎫== ⎪⎝⎭（2分）220001sin cos sin cos sin cos 1limln()lim lim 1cos sin 33x x x x x x x x x x x x x x x x →→→---===-- （4分）111cos 3sin lim xx x ex --→⎛⎫∴= ⎪⎝⎭（5分） 2、解：000lim(sin )1x x x x x e x →→→==+= （5分）3、给定p 个正数()11212,,,,lim .n n n n p pna a a a a a→∞+++求解：设{}121max ,,,j p j pa a a a ≤≤=，则由迫敛性可知：()()111112()n n n n n n nn n j jpjja a a a apa p a =≤++≤=（4分）∴(){}112121lim max ,,.n n n n pp n j paa aa a a →∞≤≤+++= （5分）4、设sin (0)sina xb y a b a b x +⎛⎫=>> ⎪+⎝⎭其中，求y '。
cos (5sin cos yxa b x x'==+解：分）5、求不定积分⎰ ()()22222222(1)8,,(2114ln(1)12arctan(5t tt x dx dt t t t dt t t C +-===--∴==+--+⎰⎰解：令则有分）分）6、求不定积分dx x xx ⎰3cos sin 。
222332sin (cos )cos 1()(sec sec )cos cos 221(sec tan )(52x x xd x x dx xd x x xdx x x x x x C --===-=-+⎰⎰⎰⎰解：分）四、证明下列各题（本题共3个小题，每小题6分，满分18分）1、试用εδ-语言证明极限22lim4x x →=； 22222422,214225230,min 1,,254,lim 4x x x x x x x x x x x x εεδδε→-=+--≤-=+-≤-⎧⎫∀>=-<⎨⎬⎩⎭-<=证明：考察不妨设，则（分）所以，取当0<时，则有所以。
（6分）2、证明方程0(n x px q n p q ++=为正整数，、为实数），当n 为奇数时最多有三个实根。