201432边缘分布条件分布及其独立性
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3.2边缘分布
f ( x, t )dx dt
y
y
fY (t )dt
例4：设G是平面上的有界区 域，其面积为A，若二维随机变 量(X,Y)具有概率密度
1 A , ( x, y ) G f ( x, y ) 0 , 其他
则称(X,Y)在G上服从均匀分布。
0.2 b
已知：P(Y 1| X 1) 0.5
求：(1)a,b的值； (2)X,Y的边缘分布律； (3) P( X 1| Y 1)
0.2 又P(Y 1| X 1) 0.3 a 0.2 1 b=0.3 a 0.1， 0.3 a 2
(2) X
解：(1) 由分布律性质知 a+b+0.6=1 即a+b=0.4
f ( x, y )dy f ( x, y)dx
从而X，Y的边缘分布函数为
FX ( x) F ( x, ) x f (t , y )dy dt
f X (t )dt
x
同理：
FY ( y) F (, y)
解：样本空间S及D,F的取值如下 样本点 1 D F 1 2 2 3 2 4 3 5 2 6 7 8 9 10 4 2 4 3 4
0
1
1
1
1
2 1 1 1
2
D所有可能取值：1,2,3,4
F所有可能取值：0,1,2
求（D,F)取 (i,j),i=1,2,3,4,j=0,1,2的概率
如
P{D=1,F=0}=1/10, P{D=2,F=1}=4/10
从而可求出D和F的联合分 布律及边缘分布律
边缘分布与独立分布
离散型随机变量的边缘分布律
X,Y的边缘分布律
pX(xi ) pij P{X xi }, i 1,2, , j 1
pY(yi ) pij P{Y y j }, j 1,2, , i1
离散型随机变量关于X 和Y 的边缘分布函数分别为
FX ( x) F ( x,)
pij ,
§2.8边缘分布与独立分布
1、边缘分布
问题 :已知( X ,Y )的分布,如何确定X ,Y的分布?
F( x, y) P{X x,Y y} , F( x) P{X x}, P{X x} P{X x,Y } F( x,) FX ( x)
( X ,Y )关于X的边缘分布函数.
定义 设F ( x, y)为随机变量( X ,Y )的分布函数, 则 F( x, y) P{X x,Y y} 令 y , 称
xi x j1
FY ( y) F (, y)
pij .
y j y i1
例1 已知下列分布律求其边缘分布律.
YX
0
1
0 16
12
49
49
12
9
1 49
49
连续型随机变量的边缘分布
定义 对 于 连 续 型 随 机 变 量( X ,Y ), 设 它 的 概 率
密度为 f (x, y),由于
联合分布
边缘分布
例题
例1
设( X ,Y ) ~
p(
x,
y)
e
y
,
0,
0 x y, 其 它.
求 (1) pX ( x); (2) P{ X Y 1}.
2.随机变量的独立性
随机变量的独立性是概率论中的一 个重要概念.两随机变量独立的定义是：
§3.2 边际分布与独立性
i 3
pj
3 5
1 i 2 3-i j 1 j 2 3-j C ） ） C3 ） ） （ （ （ （ 3 3 3 3
i 3
i, j 0,1, 2,3.
1 i 2 3-i Pi P(Ｘ i) C ） ） （ （ i 0， 2 3 1，，。 3 3 j 1 j 2 3-j Pj =P(Ｙ j) C3 ） ） （ （ j 0， 2 3。 1，， 3 3
FX ( x)
xi x
j1
i=1
P(X xi , Y y j )
xi x
j1
yj y
Pij
Pij
同理：Y ( y) F
yj y
P(X xi , Y y j )
i=1
2、已知(X,Y)的密度函数，求边际分布函数。
1 i 2 3-i j 1 j 2 3-j （ （ （ （ P(Ｘ i)P(Ｙ j) C ） ） C3 ） ） 3 3 3 3 i j 1 i j 2 6 i j i, j 0,1, 2,3. C3C3 ( ) ( )
i 3
由上面的4个例题可以看出：
1、求(X,Y)的联合分布列的方法，是按照乘法公式进行的， P(X=xi，Y=y j ) P(X=xi )P(Y=y j | X=xi )
-2y
同理
1-e FY(y)= 0
y0 y0
2e-2y y 0 PY ( y ) y0 0
4
P(（X+Y） 1 )
1 1 y
x +y）1
P( x, y )dxdy
pj
3 5
1 i 2 3-i j 1 j 2 3-j C ） ） C3 ） ） （ （ （ （ 3 3 3 3
i 3
i, j 0,1, 2,3.
1 i 2 3-i Pi P(Ｘ i) C ） ） （ （ i 0， 2 3 1，，。 3 3 j 1 j 2 3-j Pj =P(Ｙ j) C3 ） ） （ （ j 0， 2 3。 1，， 3 3
FX ( x)
xi x
j1
i=1
P(X xi , Y y j )
xi x
j1
yj y
Pij
Pij
同理：Y ( y) F
yj y
P(X xi , Y y j )
i=1
2、已知(X,Y)的密度函数，求边际分布函数。
1 i 2 3-i j 1 j 2 3-j （ （ （ （ P(Ｘ i)P(Ｙ j) C ） ） C3 ） ） 3 3 3 3 i j 1 i j 2 6 i j i, j 0,1, 2,3. C3C3 ( ) ( )
i 3
由上面的4个例题可以看出：
1、求(X,Y)的联合分布列的方法，是按照乘法公式进行的， P(X=xi，Y=y j ) P(X=xi )P(Y=y j | X=xi )
-2y
同理
1-e FY(y)= 0
y0 y0
2e-2y y 0 PY ( y ) y0 0
4
P(（X+Y） 1 )
1 1 y
x +y）1
P( x, y )dxdy
边缘分布、相互独立性
则称 X 与 Y相互独立。
判别法1——
X 与 Y 相互独立
F x, y FX x FY y
判别法2——
离散型随机变量 X 与 Y 相互独立
pij pi. p. j
判别法3——
i, j 有
连续型随机变量 X 与 Y 相互独立
f x, y fX x fY y
二维随机变量的边缘分布
在已知二维随机变量的联合分布的前题下，有时候我们会 感兴趣其中某个变量的分布，（称作边缘分布）希望能由已知 的联合分布求得。
设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为 F x, y
则随机变量 X 的分布函数为：
FX x PX x PX x, Y F x,
0 dx 0
当 0 y 1 时， fY y
f x, y dx
y
0dx
1
8xydx
y
0 dx
1
4x2 y1y 4 y
1 y2
所以
fY
y
4
y
1 y2
,
0
0 y 1
y3,
0 y 1
1,
1 y
例3 设二维随机变量（X，Y）的分布密度函数为：
f
x,
y
8xy, 0,
0 y x 1
别处
求分别关于 X ，Y 的分布密度。
解：关于 X 的分布密度
fX x
f x, y dy
当 x 0 或 x 1 时，fX x
问 , 为何值时， 与 相互独立？
判别法1——
X 与 Y 相互独立
F x, y FX x FY y
判别法2——
离散型随机变量 X 与 Y 相互独立
pij pi. p. j
判别法3——
i, j 有
连续型随机变量 X 与 Y 相互独立
f x, y fX x fY y
二维随机变量的边缘分布
在已知二维随机变量的联合分布的前题下，有时候我们会 感兴趣其中某个变量的分布，（称作边缘分布）希望能由已知 的联合分布求得。
设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为 F x, y
则随机变量 X 的分布函数为：
FX x PX x PX x, Y F x,
0 dx 0
当 0 y 1 时， fY y
f x, y dx
y
0dx
1
8xydx
y
0 dx
1
4x2 y1y 4 y
1 y2
所以
fY
y
4
y
1 y2
,
0
0 y 1
y3,
0 y 1
1,
1 y
例3 设二维随机变量（X，Y）的分布密度函数为：
f
x,
y
8xy, 0,
0 y x 1
别处
求分别关于 X ，Y 的分布密度。
解：关于 X 的分布密度
fX x
f x, y dy
当 x 0 或 x 1 时，fX x
问 , 为何值时， 与 相互独立？
概率论与数理统计14 3.2 边缘分布3.3独立性
• 设联合概率分布
pij P{ X xi , Y y j } i , j 1,2,
{ X xi } { X xi , Y y j }
P{ X xi } P{ X xi , Y y j } pij i 1,2,
j 1
• 同理:
2 1 2 2
[
( x 1 ) 2
2
( x 1 )( y 2 )
( y 2 )2
]}
• 例 某码头只能容纳一只船.现预知某日 将来到甲乙两只船,且在24小时内来到的 可能性相等.如果两船需要停靠的时间均 为3小时,试求甲船在江中等待的概率. • 解 设X,Y表示甲乙两船到达码头的时间, • 则(1)
• 所求概率为
P{0 X Y 3}
0 x y 3
f ( x, y)dxdy
P { 0 X Y 3} 1 2 dxdy 24 D 1 24 2 212 2( ) 24 2 2 0.11
• 问X,Y是否相互独立? •解 2 1 x2
1 x 1 f X ( x) 0 其它 2 1 y2 1 y 1 fY ( y ) 0 其它 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ) X , Y不相互独立
1 0 x 24 f X ( x ) 24 其它 0 1 0 y 24 fY ( y ) 24 其它 0
• (2)X,Y相互独立
f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ) 1 2 0 x 24, 0 y 24 24 其它 0 • A=“甲船在江中等待”={0 X Y 3}
边缘分布与独立性ppt课件
2
2=3/ 8 1 =3/ 28
XY 0 1 2 3
P{X=3, Y=0} 1 23 1 8.
13
0 18 38 0 38 0 0 18
XY 0 1 2 3
PY y j
13 0 18 38 0 38 0 0 18
68 28
PX xi
18 38 38 18
我们常将边缘分布律写在联合分布律表格 的边缘上，由此得出边缘分布这个名词.
求 (1) c 的值; (2) 两个边缘
密度解.
(2) fX x
f x, ydy
当 x 1或 x 0时 , y ,, y
y x
都有 f x, y 0,故 fX x 0 .
当 0 x 1时,
fX
x
0
f
x,
y dy
xi
j 1
X xi ,Y y j
(X,Y) 关于 Y 的边缘分布律为
P Y y j P X xi ,Y y j pij p. j
i 1
i 1
j 1,2,
例1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X 为三次抛掷中正面出现的次数 ，而 Y 为正面出
概率与统计
第十讲 边缘分布与独立性
学习要求
了解二维随机变量的边缘分布的概念和性质， 掌握二维随机变量的边缘分布与联合分布的关系 理解随机变量独立性的概念， 掌握离散型和连续型随机变量独立的条件 会运用随机变量的独立性进行概率计算
对于概念和理论方面的内容，从高到低分别用 “理解”、“了解”、“知道”三级来表述； 对于方法，运算和能力方面的内容，从高到低分别用 “熟练掌握”、“掌握”、“能”（或“会”）三级来 表述。
3.2,3.4边缘分布及独立性
称维二维随机变量xy关于x和关于y的边缘分布函数二边缘分布律边缘概率密度一般地对二维离散型随机变量关于的边缘分布律为关于的边缘分布律为我们常将边缘概率函数写在联合概率函数表格的边缘上由此得出边缘分布这个名词
3.2， 3.2，3.4 边缘分布及独立性
一、边缘分布函数 设二维随机变量（ , ) 设二维随机变量（X,Y)的联合分布函 数为F( , ) 数为 (x,y)
分布相互立。 成立， 成立，所以 X 与 Y 分布相互立。
例3 已知
Y X
0
−1
1 / 4
0
0
0
p 22
1
1 / 4
0
2
求未知 pij , 并判断 X与Y是否独立 .
对二维连续型随机变量 密度为 f (x, y) 如果 与 ， X
， ( X , Y ) 若联合概率 相互独立， 相互独立，则： Y
( x−µ1 )2 ( y−µ2 )2 − − 2 2 2σ1 2σ2
1 f X (x) = e 2πσ1
( x−µ1 )2 − 2 2σ1
,
1 fY ( y) = e 2πσ2
( y−µ2 )2 − 2 2σ2
所以
f ( x, y ) = f X ( x ) ⋅ fY ( y ) .
反过来， 如果 X 与 Y 相互独立，则 相互独立， 反过来， f ( x, y ) = f X ( x ) ⋅ fY ( y ) . 即对任何 x, y 都成立
FX ( x) = P{ X ≤ x} = P{ X ≤ x,Y < +∞} F ( x,+∞) ＝ FY ( y ) = P{Y ≤ y }
= P{ X < +∞ , Y ≤ y } F ( +∞ , y ) ＝
3.2， 3.2，3.4 边缘分布及独立性
一、边缘分布函数 设二维随机变量（ , ) 设二维随机变量（X,Y)的联合分布函 数为F( , ) 数为 (x,y)
分布相互立。 成立， 成立，所以 X 与 Y 分布相互立。
例3 已知
Y X
0
−1
1 / 4
0
0
0
p 22
1
1 / 4
0
2
求未知 pij , 并判断 X与Y是否独立 .
对二维连续型随机变量 密度为 f (x, y) 如果 与 ， X
， ( X , Y ) 若联合概率 相互独立， 相互独立，则： Y
( x−µ1 )2 ( y−µ2 )2 − − 2 2 2σ1 2σ2
1 f X (x) = e 2πσ1
( x−µ1 )2 − 2 2σ1
,
1 fY ( y) = e 2πσ2
( y−µ2 )2 − 2 2σ2
所以
f ( x, y ) = f X ( x ) ⋅ fY ( y ) .
反过来， 如果 X 与 Y 相互独立，则 相互独立， 反过来， f ( x, y ) = f X ( x ) ⋅ fY ( y ) . 即对任何 x, y 都成立
FX ( x) = P{ X ≤ x} = P{ X ≤ x,Y < +∞} F ( x,+∞) ＝ FY ( y ) = P{Y ≤ y }
= P{ X < +∞ , Y ≤ y } F ( +∞ , y ) ＝
§3.2边际分布、独立性
例3.2.6
边际密度函数 p(x, y) pX (x) pY ( y)
例3.2.7
根据独立性能找到联合分布 例3.2.8 若无独立性，则不能直接找到联合分布
END
例3.2.6
X P
Y P
-1 0 1/4 1/2
0
1
1/2 1/2
1 1/4
P(XY 0) 1 求(1) pij (2) X ,Y独立？
按列相加
i
i
例3.2.2 已知( X ,Y ) ~ pij ,求pi , p j
Y0
X
0
0.09
1 0.21
3 0.24
pi P(X i)
0.09 0.21 0.24 0.54
1
0.07
0.09 0.07 p j P(Y j) 0.16
0.12
0.21 0.12 0.33
0.27
只有 不同的二维，那它们的边际分布一样
习题3.2 第2题
2、边际分布列
已知（X，Y）的联合分布列，求X,Y的分布列
pi P(X xi ) P(X xi ,Y ) P(X xi ,Y y j ) pij
按行相加
j
j
p j P(Y y j ) P( X ,Y y j ) P( X xi ,Y y j ) pij
例3.2.1 二维指数分布的边际分布也是 一维指数分布
二维指数分布的分布函数
1 ex e y exyxy x 0, y 0
F(x, y)
0
else
0
边际分布
1 ex F(x) F(x,)
一维指数分布 0
x0 else
1 e y F( y) F(, y)
边际密度函数 p(x, y) pX (x) pY ( y)
例3.2.7
根据独立性能找到联合分布 例3.2.8 若无独立性，则不能直接找到联合分布
END
例3.2.6
X P
Y P
-1 0 1/4 1/2
0
1
1/2 1/2
1 1/4
P(XY 0) 1 求(1) pij (2) X ,Y独立？
按列相加
i
i
例3.2.2 已知( X ,Y ) ~ pij ,求pi , p j
Y0
X
0
0.09
1 0.21
3 0.24
pi P(X i)
0.09 0.21 0.24 0.54
1
0.07
0.09 0.07 p j P(Y j) 0.16
0.12
0.21 0.12 0.33
0.27
只有 不同的二维，那它们的边际分布一样
习题3.2 第2题
2、边际分布列
已知（X，Y）的联合分布列，求X,Y的分布列
pi P(X xi ) P(X xi ,Y ) P(X xi ,Y y j ) pij
按行相加
j
j
p j P(Y y j ) P( X ,Y y j ) P( X xi ,Y y j ) pij
例3.2.1 二维指数分布的边际分布也是 一维指数分布
二维指数分布的分布函数
1 ex e y exyxy x 0, y 0
F(x, y)
0
else
0
边际分布
1 ex F(x) F(x,)
一维指数分布 0
x0 else
1 e y F( y) F(, y)
概率论边缘分布-文档资料
a b0 . 7 0 . 1 5 0 . 1 5 a b 1
由独立性
0 . 1 5( a 0 . 1 5 )0 . 3
a 0 . 3 5 , b 0 . 3 5
例5.甲乙约定8:009:00在某地 会面。设两人都随机地在这期 间的任一时刻到达，先到者最 多等待15分钟过时不候。求两 人能见面的概率。 解:
y y 1 e ye y 0 F ( y ) = F ( , y ) = Y 0 y的联合分布律为 (p80) (X, Y)～ P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，i, j＝1, 2, … 则称 P{X＝xi}＝pi.＝ p ij ，i＝1, 2, …
S 1 G P { XY 1 5 } d x d y 2 2 6 0 6 0 G
1 2 S 6 0 2 4 5 1 5 7 5 G 2
2
1 5 7 5 P { XY 1 5 } 2 0 . 4 3 7 5 6 0
五．n维随机变量的边缘分布与独立性 定义. 设n维随机变量(X1,X2,...,Xn)的分布函数为 F(x1,x2,...,xn), (X1,X2,...,Xn)的k（1k<n)维边缘 分布函数就随之确定，如关于(X1, X2）的 边缘分布函数是 FX1,X2（x1,x2,)=F(x1,x2,,...) 若Xk 的边缘分布函数为FXk(xk),k=1,2,…,n,
j 1
为(X, Y)关于X的边缘分布律；
P{Y＝ yj}＝p.j＝ p ij ，j＝1, 2, …
i1
为(X, Y)关于Y的边缘分布律。
边缘分布律自然也满足分布律的性质。
例2.已知(X,Y)的分布律如下,求X、Y的边缘分布律。 x\y 1 0 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10 解：
3.2 边缘条件独立
xi x
p
i
xi x j 1
p
ij
联合分布函数F ( x, y) P( X x,Y y) x, y 连续型 离散型 X和Y 的联合密度函数 X 和Y 的联合概率分布
P{ X xi , Y y j } pij ,
i, j =1,2, …
18
2 连续型随机变量的条件分布
f ( x, y ) Y= y条件下关于X 的条件密度函数 f X Y ( x y ) fY ( y )
f ( x, y ) X= x条件下关于Y的条件密度函数 fY | X ( y | x ) f X ( x) x f ( u, y ) du 从而 FX Y ( x | y ) fY ( y )
j 1
P{Y y j } p j pij
i 1
j 1, 2, ...
对固定的j, p.j>0,在Y=yj的条件下,X的条件分布律:
P{ X xi | Y y j }＝
pij
p j
,
i 1, 2, ...
对固定的i, pi . >0,在X=xi的条件下,Y 的条件分布律: pij P{Y y j | X xi }＝ , j 1, 2, ... pi 16
p
x
f X ( u)du f ( u, v) dv
ij
P{ X xi | Y y j} =
pij p j
du
…
f XY ( y) | (x | y) f (x, y ) f Y
FX |Y ( x | y)
x
f ( u, y) du fY ( y )
p
i
xi x j 1
p
ij
联合分布函数F ( x, y) P( X x,Y y) x, y 连续型 离散型 X和Y 的联合密度函数 X 和Y 的联合概率分布
P{ X xi , Y y j } pij ,
i, j =1,2, …
18
2 连续型随机变量的条件分布
f ( x, y ) Y= y条件下关于X 的条件密度函数 f X Y ( x y ) fY ( y )
f ( x, y ) X= x条件下关于Y的条件密度函数 fY | X ( y | x ) f X ( x) x f ( u, y ) du 从而 FX Y ( x | y ) fY ( y )
j 1
P{Y y j } p j pij
i 1
j 1, 2, ...
对固定的j, p.j>0,在Y=yj的条件下,X的条件分布律:
P{ X xi | Y y j }＝
pij
p j
,
i 1, 2, ...
对固定的i, pi . >0,在X=xi的条件下,Y 的条件分布律: pij P{Y y j | X xi }＝ , j 1, 2, ... pi 16
p
x
f X ( u)du f ( u, v) dv
ij
P{ X xi | Y y j} =
pij p j
du
…
f XY ( y) | (x | y) f (x, y ) f Y
FX |Y ( x | y)
x
f ( u, y) du fY ( y )
201432边缘分布条件分布及其独立性
+∞
∑ pij ,
j =1
i = 1,2,L
p⋅ j = P {Y = y j } = ∑ pij ,
i =1
+∞
j = 1,2,L
+∞
边缘分布函数为: FX ( x ) = F ( x ,+∞ ) =
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X
p⋅ j 13 24 11 24
Y
0
1
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例.设(X,Y)的密度函数为 2 1 x + xy 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 2 f ( x, y) = 3 其它 0 求：(1)(X,Y)的边缘分布密度函数; ( 2) P {Y < X }. 解 (1) f X ( x ) = ∫− ∞ f ( x , y )dy
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2. 离散型随机变量的边缘分布函数与边缘分布律 若二维随机变量( X ,Y )的分布律为 : P { X = xi ,Y = y j } = pij 则关于X的边缘分布律为: pi ⋅ = P { X = xi } = 关于Y的边缘分布律为:
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x
+∞
y
+∞
关于Y的边缘概率密度为: d +∞ fY ( y ) = FY ( y ) = ∫ f ( x , y )dx −∞ dy ex1.设X取值0,1,2; Y取值0,1的二维随机变量(X,Y)的概 率分布为 1 1 1 P (0, j ) = ( j = 0,1); P (1,0) = ; P (1,1) = ; 4 6 8 1 1 P ( 2,0) = ; P ( 2,1) = , 求边缘分布. 8 12 解: 将关于X与Y的联合概率分布列表如下：
∑ pij ,
j =1
i = 1,2,L
p⋅ j = P {Y = y j } = ∑ pij ,
i =1
+∞
j = 1,2,L
+∞
边缘分布函数为: FX ( x ) = F ( x ,+∞ ) =
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X
p⋅ j 13 24 11 24
Y
0
1
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例.设(X,Y)的密度函数为 2 1 x + xy 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 2 f ( x, y) = 3 其它 0 求：(1)(X,Y)的边缘分布密度函数; ( 2) P {Y < X }. 解 (1) f X ( x ) = ∫− ∞ f ( x , y )dy
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2. 离散型随机变量的边缘分布函数与边缘分布律 若二维随机变量( X ,Y )的分布律为 : P { X = xi ,Y = y j } = pij 则关于X的边缘分布律为: pi ⋅ = P { X = xi } = 关于Y的边缘分布律为:
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x
+∞
y
+∞
关于Y的边缘概率密度为: d +∞ fY ( y ) = FY ( y ) = ∫ f ( x , y )dx −∞ dy ex1.设X取值0,1,2; Y取值0,1的二维随机变量(X,Y)的概 率分布为 1 1 1 P (0, j ) = ( j = 0,1); P (1,0) = ; P (1,1) = ; 4 6 8 1 1 P ( 2,0) = ; P ( 2,1) = , 求边缘分布. 8 12 解: 将关于X与Y的联合概率分布列表如下：
3.2边缘分布
2 2 1 0 ( x xy )dy 0 x 1 3 0 其它 2 2 2 x x 0 x 1 3 0 其它
1 2 1 0 ( x xy )dx 0 y 2 fY ( y ) f ( x , y )dx 3 0 其它 y 1 0 y2 y 6 3 0 其它 2
x2
p21 p22
xi pi 1 pi 2
pij
P{Y y j }
p1 p 2
y2
yj
p1 j
p1
p2 j
p2 p j 来自P{ X xi }
pi
3. 连续型随机变量的边缘分布函数与边缘概率密度
若二维随机变量 X ,Y )的分布函数与概率密度 : ( 为 F ( x , y )与f ( x , y )
Chapter 3(2)
边缘分布条件分布 及其独立性
教学要求：
1. 了解二维随机变量的边缘分布和条件分布; 2. 理解随机变量独立性的概念; 3. 掌握应用随机变量的独立性进行概率计算.
一. 边缘分布 二. 条件分布
三.随机变量的独立性
一、边缘分布
因为 FX ( x ) P{ X x} P{ X x ,Y } F ( x,);
2. 离散型随机变量的边缘分布函数与边缘分布律
若二维随机变量 X ,Y )的分布律为: ( P{ X xi ,Y y j } pij
则关于X的边缘分布律为:
pi P { X xi }
关于Y的边缘分布律为:
pij ,
j 1
i 1,2,
p j P{Y y j } pij ,
3-2 边缘分布及随机变量的独立性
1 则有 p X ( x) e 2 σ1
即
( x μ1 )2
2 2 σ1
2 2 σ1
e
t2 2
d t,
同理可得
1 p X ( x) e 2πσ1
( x μ1 )2
, x .
1 pY ( y ) e 2 σ 2
( y μ2 )2
为随机变量( X , Y )关于X 的边缘分布函数.
记为 FX ( x) F ( x, ).
同理令 x ,
FY ( y) F (, y) P{X , Y y} P{Y y}
为随机变量 ( X,Y )关于Y 的边缘分布函数.
二、离散型随机变量的边缘分布律
X PX
1 0.3
3 0.7
Y PY
2 0.6
4 0.4
求随机变量 (X,Y) 的分布律.
解
因为X与Y 相互独立, 所以
P{ X xi ,Y y j } P{ X xi } P{Y y j }
于是
P{ X 1,Y 2} P{ X 1} P{Y 2}
0.3 0.6 0.18,
i 1
j 1, 2, ,
分别称 pi (i 1, 2,) 和 p j ( j 1, 2,) 为 ( X , Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律.
Y
X
x1
x2
xi
y1 y2 yj
p11 p12 p1 j
p21 p22 p2 j
pi 1 pi 2 pij
, x ;
1 , b y b, pY ( y ) 2b 其它. 0,
3.2.边缘分布_条件分布
2、连续型r.v.边缘分布
设(X, Y)～f (x, y),(x, y)R2,F(x, y)为分布 函数,则
FX ( x) F ( x, )
称
x
f ( x, y)dydx
f X ( x) f ( x, y)dy
为(X, Y )关于X 的边缘密度函数；
同理，称
例8 (X,Y)~ N(1, 12, 2, 22, ),求 fY | X ( y | x)
1 1 f X ( x) exp{ ( x 1 ) 2 } 解、由Ex3知， 2 12 2 1
f ( x, y ) fY | X ( y | x ) f X ( x)
1 2 2
二、条件分布
1. 离散型随机变量的条件分布律 例6.已知(X,Y)的分布律为 X \Y -1 0 pi.
-2 0 1/10 3/10 2/5 3/10 3/10 3/5 p.j 2/5 3/5 求X|Y = -1的条件分布律。
P{ X xi , Y 1} P{ X xi | Y 1} P{Y 1}
2 exp{ [ y2 2 ( x 1 )]2 } 2 2 2 2 1 1
1
2 Y | X N ( 2 ( x 1 ), 2 2 (1 2 )) 1
三、随机变量的相互独立性
定义 如果对任意实数x, y, F(x, y)=FX(x)FY(y)
其分量X及Y的分布函数为二维随机变量(X, Y) 关于X及关于Y的边缘分布函数, 分别记作 FX(x), FY(y), 边缘分布函数可以由(X ,Y)的分 布函数F(x, y)来确定.
定义
FX ( x) P{ X x} F ( x, ) lim F ( x, y )
边缘分布和独立性
fX (x)
dy
1x2
-1
2 1 x2
均匀分布 1
续解 ………..
当 x [1, 1] 时
fX (x) 0
所以，关于X的边缘
-1
1
分布密度函数为
2
fX (x)
1 x2
x [1,1]
0
其它
解
fY ( y)
f ( x, y)dx
同理
1
f
y
(
y)
c
d
0
c xy d otherwise
所以 f (x, y) fX (x) fY ( y) 即 X 与 Y 独立。
习题三 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12,15, 16
f (x, y)dy
当 x1 或 x0 时 2
fX (x) 0
当 1 x 0 时，
2
2 x1
fX (x) 0 4dy 4(2x 1)
所以，关于X的边缘分布密度为
f
X
(
x)
4(2x
1),
( 1 x 0) 2
0,
其它
关于Y的边缘分布密度为
F (x, y) FX (x) FY ( y)
例1 设（X，Y）的概率分布（律）为
y x
-1
0
2
pi.
1/2 2/20 1/20 2/20 1/4
1 2/20 1/20 2/20 1/4
2 4/20 2/20 4/20 2/4
p .j
2/5 1/5 2/5
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ε →0
P{ X ≤ x , y − ε < Y ≤ y + ε } = lim ε →0 P{ y − ε < Y ≤ y + ε } 存在, 则称此极限为在条件 Y = y下X的条件分布函数 , 记为 : P { X ≤ x | Y = y }或FX |Y ( x | y ). 条件分布函数与条件概率密度的公式:
M p2 j M
L L L
xi pi 1 pi 2
M pij M
L L L L L
P {Y = y j }
p⋅1 p⋅2
M p⋅ j M
p1⋅
pБайду номын сангаас⋅
L
pi ⋅
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3. 连续型随机变量的边缘分布函数与边缘概率密度 若二维随机变量( X ,Y )的分布函数与概率密度 为 : F ( x , y )与f ( x , y ) 则关于X的边缘分布函数为: FX ( x ) = F ( x ,+∞ ) = ∫ [ ∫ f ( x , y )dy ]dx −∞ −∞ 关于Y的边缘分布函数为: FY ( y ) = F ( +∞ , y ) = ∫ [ ∫ f ( x , y )dx ]dy −∞ −∞ 关于X的边缘概率密度为: d +∞ f X ( x ) = FX ( x ) = ∫− ∞ f ( x , y )dy dx
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P{ X = 3,Y = 2} 1 P { X = 3 | Y = 2} = = P {Y = 2} 12 P { X = 4, Y = 2} 1 P { X = 4 | Y = 2} = = P {Y = 2} 16
Y 在X=1条件下,Y 的条件分布律 为： p j
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1 1
2 0
3 0
4 0
例2 设(X,Y)的概率密度是
e e , 0 < x < ∞, 0 < y < ∞ f ( x, y) = y 0 , 其它
−x y − y
求 P{X>1|Y=y}. 解 P { X > 1 Y = y} = 为此, 需求出
x i ≤ x j =1
∑ ∑ pij ,
FY ( y ) = F ( +∞ , y ) =
y j ≤ y i =1
∑ ∑ pij .
+∞
注意: 联合分布与边缘分布的关系用表格表示如下： Y y1 y2 M yj M P { X = xi } X x1 p11 p12
M p1 j M
x2 p21 p22
边缘分布(函数)
仅有边缘分布律一般不能得到联合分布律。 即联合分布律可以确定边缘分布律，而边 缘分布律不一定能确定联合分布律。
但当X与Y相互独立时,联合分布(函数)与边缘分布 (函数)可相互确定
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二、条件分布 1. 二维离散型随机变量的条件分布 设 (X,Y) 是二维离散型随机变量，对于固定的 j， 若P{Y=yj}>0，则称
y=x
( 2) P{Y < X } =
1 x
y< x
∫∫ f ( x , y )dxdy
o
xy = ∫0 dx ∫0 ( x + )dy 3 17 3 7 = ∫0 x dx = . 6 24
2
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1
x
联合分布(函数)
X
p⋅ j 13 24 11 24
Y
0
1
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例.设(X,Y)的密度函数为 2 1 x + xy 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 2 f ( x, y) = 3 其它 0 求：(1)(X,Y)的边缘分布密度函数; ( 2) P {Y < X }. 解 (1) f X ( x ) = ∫− ∞ f ( x , y )dy
+∞
∑ pij ,
j =1
i = 1,2,L
p⋅ j = P {Y = y j } = ∑ pij ,
i =1
+∞
j = 1,2,L
+∞
边缘分布函数为: FX ( x ) = F ( x ,+∞ ) =
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一. 边缘分布 二. 条件分布 三. 随机变量的独立性
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一、边缘分布 因为 FX ( x ) = P{ X ≤ x } = P{ X ≤ x ,Y < +∞ } = F ( x ,+∞ ); FY ( y ) = P {Y ≤ y } = P{ X < +∞ ,Y ≤ y } = F ( +∞ , y ). 1. 边缘分布函数的定义 设F ( x , y )为( X ,Y )的联合分布函数 , 令 FX ( x ) = F ( x ,+∞ ), FY ( y ) = F ( +∞ , y ), 称FX ( x )和FY ( y )为F ( x , y )关于X和关于Y的边缘分 布函数.简称X和Y的边缘分布函数 .
13 4 = 48 13 13 3 = 48 13 4
X 在Y=2条件下,X 的条件分布律为： pi
1 0
3 2 6 13 4 13
3 13
P { X = 1,Y = 1} 1 1 又P {Y = 1 | X = 1} = = =1 P { X = 1} 4 4
P {Y = 2 | X = 1} = P {Y = 3 | X = 1} = P {Y = 4 | X = 1} = 0
=
pij pi ⋅
j = 1,2,L 为在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律.
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条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切 性质. 正如条件概率是一种概率，具有概率的一切 性质. 例如： P { X = xi | Y = y j } ≥ 0,
∫− ∞ f (u, y )du
fY ( y )
x
= ∫− ∞
x
f ( u, y ) du fY ( y )
f ( x, y) d ∴ f X |Y ( x | y ) = FX |Y ( x | y ) = dx fY ( y )
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+∞
2 2 1 ∫0 ( x + xy )dy 0 ≤ x ≤ 1 = 3 其它 0 2 2 2 x + x 0 ≤ x ≤ 1 = 3 其它 0
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1 2 1 +∞ ∫0 ( x + xy )dx 0 ≤ y ≤ 2 fY ( y ) = ∫− ∞ f ( x , y )dx = 3 其它 0 y 1 0≤ y≤2 + y = 6 3 其它 2 0
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P{ X ≤ x , y − ε < Y ≤ y + ε } FX |Y ( x | y ) = lim ε →0 P{ y − ε < Y ≤ y + ε } F ( x, y + ε ) − F ( x, y − ε ) = lim ε → 0 FY ( y + ε ) − FY ( y − ε ) F ( x, y + ε ) − F ( x, y − ε ) 2ε = lim ε → 0 FY ( y + ε ) − FY ( y − ε ) 2ε ′ ( x, y) Fy = = ′ ( y) FY
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例. 已知
Y
X
1 2
1 2 14 18 0 18
3 1 12
4 P {Y = y j } 1 16 25 48
1 12
1 16 13 48
0 0 3 1 12 1 16 7 48 4 0 0 0 1 16 3 48 P { X = xi } 1 4 1 4 1 4 1 4 (1)求在Y=2条件下，X的条件分布律; (2)求在X=1条件下，Y的条件分布律. 13 P { X = 1 , Y = 2 } 解 P { X = 1 | Y = 2} = =0 =0 48 P {Y = 2} P { X = 2,Y = 2} 1 13 6 = = P { X = 2 | Y = 2} = 8 48 13 P {Y = 2}
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2. 离散型随机变量的边缘分布函数与边缘分布律 若二维随机变量( X ,Y )的分布律为 : P { X = xi ,Y = y j } = pij 则关于X的边缘分布律为: pi ⋅ = P { X = xi } = 关于Y的边缘分布律为:
类似地, P {Y ≤ y , x − ε < X ≤ x + ε } FY | X ( y | x ) = lim ε →0 P{ x − ε < X ≤ x + ε } = ∫− ∞
P{ X ≤ x , y − ε < Y ≤ y + ε } = lim ε →0 P{ y − ε < Y ≤ y + ε } 存在, 则称此极限为在条件 Y = y下X的条件分布函数 , 记为 : P { X ≤ x | Y = y }或FX |Y ( x | y ). 条件分布函数与条件概率密度的公式:
M p2 j M
L L L
xi pi 1 pi 2
M pij M
L L L L L
P {Y = y j }
p⋅1 p⋅2
M p⋅ j M
p1⋅
pБайду номын сангаас⋅
L
pi ⋅
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3. 连续型随机变量的边缘分布函数与边缘概率密度 若二维随机变量( X ,Y )的分布函数与概率密度 为 : F ( x , y )与f ( x , y ) 则关于X的边缘分布函数为: FX ( x ) = F ( x ,+∞ ) = ∫ [ ∫ f ( x , y )dy ]dx −∞ −∞ 关于Y的边缘分布函数为: FY ( y ) = F ( +∞ , y ) = ∫ [ ∫ f ( x , y )dx ]dy −∞ −∞ 关于X的边缘概率密度为: d +∞ f X ( x ) = FX ( x ) = ∫− ∞ f ( x , y )dy dx
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P{ X = 3,Y = 2} 1 P { X = 3 | Y = 2} = = P {Y = 2} 12 P { X = 4, Y = 2} 1 P { X = 4 | Y = 2} = = P {Y = 2} 16
Y 在X=1条件下,Y 的条件分布律 为： p j
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1 1
2 0
3 0
4 0
例2 设(X,Y)的概率密度是
e e , 0 < x < ∞, 0 < y < ∞ f ( x, y) = y 0 , 其它
−x y − y
求 P{X>1|Y=y}. 解 P { X > 1 Y = y} = 为此, 需求出
x i ≤ x j =1
∑ ∑ pij ,
FY ( y ) = F ( +∞ , y ) =
y j ≤ y i =1
∑ ∑ pij .
+∞
注意: 联合分布与边缘分布的关系用表格表示如下： Y y1 y2 M yj M P { X = xi } X x1 p11 p12
M p1 j M
x2 p21 p22
边缘分布(函数)
仅有边缘分布律一般不能得到联合分布律。 即联合分布律可以确定边缘分布律，而边 缘分布律不一定能确定联合分布律。
但当X与Y相互独立时,联合分布(函数)与边缘分布 (函数)可相互确定
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二、条件分布 1. 二维离散型随机变量的条件分布 设 (X,Y) 是二维离散型随机变量，对于固定的 j， 若P{Y=yj}>0，则称
y=x
( 2) P{Y < X } =
1 x
y< x
∫∫ f ( x , y )dxdy
o
xy = ∫0 dx ∫0 ( x + )dy 3 17 3 7 = ∫0 x dx = . 6 24
2
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1
x
联合分布(函数)
X
p⋅ j 13 24 11 24
Y
0
1
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例.设(X,Y)的密度函数为 2 1 x + xy 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 2 f ( x, y) = 3 其它 0 求：(1)(X,Y)的边缘分布密度函数; ( 2) P {Y < X }. 解 (1) f X ( x ) = ∫− ∞ f ( x , y )dy
+∞
∑ pij ,
j =1
i = 1,2,L
p⋅ j = P {Y = y j } = ∑ pij ,
i =1
+∞
j = 1,2,L
+∞
边缘分布函数为: FX ( x ) = F ( x ,+∞ ) =
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一. 边缘分布 二. 条件分布 三. 随机变量的独立性
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一、边缘分布 因为 FX ( x ) = P{ X ≤ x } = P{ X ≤ x ,Y < +∞ } = F ( x ,+∞ ); FY ( y ) = P {Y ≤ y } = P{ X < +∞ ,Y ≤ y } = F ( +∞ , y ). 1. 边缘分布函数的定义 设F ( x , y )为( X ,Y )的联合分布函数 , 令 FX ( x ) = F ( x ,+∞ ), FY ( y ) = F ( +∞ , y ), 称FX ( x )和FY ( y )为F ( x , y )关于X和关于Y的边缘分 布函数.简称X和Y的边缘分布函数 .
13 4 = 48 13 13 3 = 48 13 4
X 在Y=2条件下,X 的条件分布律为： pi
1 0
3 2 6 13 4 13
3 13
P { X = 1,Y = 1} 1 1 又P {Y = 1 | X = 1} = = =1 P { X = 1} 4 4
P {Y = 2 | X = 1} = P {Y = 3 | X = 1} = P {Y = 4 | X = 1} = 0
=
pij pi ⋅
j = 1,2,L 为在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律.
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条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切 性质. 正如条件概率是一种概率，具有概率的一切 性质. 例如： P { X = xi | Y = y j } ≥ 0,
∫− ∞ f (u, y )du
fY ( y )
x
= ∫− ∞
x
f ( u, y ) du fY ( y )
f ( x, y) d ∴ f X |Y ( x | y ) = FX |Y ( x | y ) = dx fY ( y )
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+∞
2 2 1 ∫0 ( x + xy )dy 0 ≤ x ≤ 1 = 3 其它 0 2 2 2 x + x 0 ≤ x ≤ 1 = 3 其它 0
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1 2 1 +∞ ∫0 ( x + xy )dx 0 ≤ y ≤ 2 fY ( y ) = ∫− ∞ f ( x , y )dx = 3 其它 0 y 1 0≤ y≤2 + y = 6 3 其它 2 0
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P{ X ≤ x , y − ε < Y ≤ y + ε } FX |Y ( x | y ) = lim ε →0 P{ y − ε < Y ≤ y + ε } F ( x, y + ε ) − F ( x, y − ε ) = lim ε → 0 FY ( y + ε ) − FY ( y − ε ) F ( x, y + ε ) − F ( x, y − ε ) 2ε = lim ε → 0 FY ( y + ε ) − FY ( y − ε ) 2ε ′ ( x, y) Fy = = ′ ( y) FY
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例. 已知
Y
X
1 2
1 2 14 18 0 18
3 1 12
4 P {Y = y j } 1 16 25 48
1 12
1 16 13 48
0 0 3 1 12 1 16 7 48 4 0 0 0 1 16 3 48 P { X = xi } 1 4 1 4 1 4 1 4 (1)求在Y=2条件下，X的条件分布律; (2)求在X=1条件下，Y的条件分布律. 13 P { X = 1 , Y = 2 } 解 P { X = 1 | Y = 2} = =0 =0 48 P {Y = 2} P { X = 2,Y = 2} 1 13 6 = = P { X = 2 | Y = 2} = 8 48 13 P {Y = 2}
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2. 离散型随机变量的边缘分布函数与边缘分布律 若二维随机变量( X ,Y )的分布律为 : P { X = xi ,Y = y j } = pij 则关于X的边缘分布律为: pi ⋅ = P { X = xi } = 关于Y的边缘分布律为:
类似地, P {Y ≤ y , x − ε < X ≤ x + ε } FY | X ( y | x ) = lim ε →0 P{ x − ε < X ≤ x + ε } = ∫− ∞