4.1比例线段(2)课件
合集下载
4.1比例线段(2)
C
A
B
D
做一做.
1.如图，已知AD，CE是△ABC中BC、AB 上的高线，求证：AD：CE=AB：BC
A E
B
Dபைடு நூலகம்
C
DE 2.如图在平行四边形ABCD中，
AB, DF BC
找出图中的一组比例线段（用小写字母表示）并说 明理由． D c A E a d Ｂ C
F b
拓展与提高：
1.如图：在菱形ABCD中，AE⊥BC，对角线BD 与AC交于点O。试判断线段AE，AO，BD，BC 是否成比例，并说明理由。 2.如图，已知
4.1.2比例线段
要点
线段比 比例线段 面积法
比例尺
1 1 B′
A′
AB=
2 AC= 5
A
2 5 两条线段的长度比 叫做这两条线段的比
AB AC =
B
C A B ∴
A′B′
A B
A′B′
1 2 = = 2 2 2 1 5 = = 2 2 5
C′
A C
A′C′
=
A C
A′C′
1 1 B′ A
A′
请再找出左图的2 组比例线段，并写 出比例式
A B
A′B′
=
A C
A′C′
B
C C′
一般地,如果四条线段a,b,c,d中，a与b的比等于c与d的
a c 比．即 那么这四条线段叫做成比例线段，简 b d
称比例线段．
例1 判断下列各组线段是否成比例，若成比例写出比 例式 （1）4cm、6cm、8cm、2cm；
（2）1.5cm、4.5cm、2.5cm、7.5cm；
（3）1.1cm、2.2cm、3.3cm、6.6cm；
A
B
D
做一做.
1.如图，已知AD，CE是△ABC中BC、AB 上的高线，求证：AD：CE=AB：BC
A E
B
Dபைடு நூலகம்
C
DE 2.如图在平行四边形ABCD中，
AB, DF BC
找出图中的一组比例线段（用小写字母表示）并说 明理由． D c A E a d Ｂ C
F b
拓展与提高：
1.如图：在菱形ABCD中，AE⊥BC，对角线BD 与AC交于点O。试判断线段AE，AO，BD，BC 是否成比例，并说明理由。 2.如图，已知
4.1.2比例线段
要点
线段比 比例线段 面积法
比例尺
1 1 B′
A′
AB=
2 AC= 5
A
2 5 两条线段的长度比 叫做这两条线段的比
AB AC =
B
C A B ∴
A′B′
A B
A′B′
1 2 = = 2 2 2 1 5 = = 2 2 5
C′
A C
A′C′
=
A C
A′C′
1 1 B′ A
A′
请再找出左图的2 组比例线段，并写 出比例式
A B
A′B′
=
A C
A′C′
B
C C′
一般地,如果四条线段a,b,c,d中，a与b的比等于c与d的
a c 比．即 那么这四条线段叫做成比例线段，简 b d
称比例线段．
例1 判断下列各组线段是否成比例，若成比例写出比 例式 （1）4cm、6cm、8cm、2cm；
（2）1.5cm、4.5cm、2.5cm、7.5cm；
（3）1.1cm、2.2cm、3.3cm、6.6cm；
4.1 比例线段 课件（2）2021-2022学年浙教版九年级数学上册
的比例中项？如果是比例中项，
请写出相应的比例式.
(2) 2和8的比例中项是________
2.已知线段a 3,b 3 3，求线段a,b的比例中项.
注意：线段的比例中项是一个正数，而数的比例中项 是一对相反数
【练习】
1.已知线段a＝4，b＝16，线段c是a，b的比例
中项，那么c等于
( B)
A．10
A
. 5 1 P 1
B
2
.
A
P
B
.
A
Q
B
1．若线段MN的长为2 cm，点P是线段MN的黄金分割Biblioteka ，则较长的线段MP的长为( A )
A．( 5－1)cm C．(3－ 5)cm
5－1 B. 2 cm
3－ 5 D. 2 cm
2．如图所示，要设计一座1 m高的抽象人物雕塑， 使雕塑的上部(腰以上)AB与下部(腰以下)BC的高度比 等于下部与全部(全身)AC的高度比，雕塑的下部应设 计为多高？
例. 以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中 点P，连结PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF 为边作正方形AMEF，点M在AD上(如图所示)．
(1)求AM，MD的长； (2)你能说明点M是线段AD的黄金分割点吗？
如 果一个 矩形 ABCD(AB＜ BC) 中 ，ABBC＝ 52－1≈0.618.那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以 美感．在黄金矩形 ABCD 内作正方形 CDEF，得到一个小矩 形 ABFE(如图 4－1－13)，若 DE＝AB，请问矩形 ABFE 是 否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．
图4－1－13
领悟***美丽
什么是比例中项.* 什么是黄金分割.*** 如何去确定黄金分割点或黄金比.* ❖生活中的黄金分割**
4.1线段的比(2)
a c ，那么 b d
反之，如果 ad=bc（a，
b，c，d 都不为0），那么
a c b d
知识拓展
思考：
由 ad=bc ,你还能 得到什么比例式？
例题
欣赏
ab cd 解 : (2). 成立.理由是 : b d a c 由 b d ab a b a 1 b b b b cd c d c 1 d d d d 因此 a c 1 1 b d ab cd 即 b d
q n p n C. B. m p m q
m p D. n q
选做题
小结
探究 & 学习
☞
AB BE 已知 : 如图, , AD EF AB 10cm, AD 2cm, BC 7.2cm, E是BC 中点,
拓展知识 我能行
B F E
求 : EF , BF 的长 ? D 解 : E是BC 中点, C A 1 BE BC 3.6, BF BE EF 2 AB BE 3.6 0.72 2.88(cm). 又 , AD EF 10 3.6 即 , 你真棒 2 EF 3.6 2 EF 0.72;
合比性质(或合分比性质):
a c ab cd 如果 , 那么 . b d b d
当堂训练
主动学习 才是快乐的
1.已知a、b、c、d是成比例线段,且a=4cm,
6cm b=6cm,d=9cm,则c=____
x 2.如果2 x 5 y.那么 y
m p A. q n
3.把mn pq写成比例式.写错的是 D
线段的比(2)
回顾 &am呢?
a∶b = m∶n 或a
如果选用一个长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为 m ,n .那么两条线段的比
2019秋九年级数学上册第4章图形的相似4.1成比例线段课件(新版)北师大版
cm.
解析 因为a,b,c,d是成比例线段,所以 a = c ,则d= bc = 0.6 4 =1.2(cm).
bd
a2
答案 1.2
规律总结 比例线段的有序性:对于利用比例线段关系求线段长的题, 一般先根据线段的关系写出比例式,然后根据比例的基本性质转化成关 于所求线段的等式,最后代入相应的数据.不过,在写比例式时,一定要注 意题目中四条线段成比例的顺序,不能随便更改位置.
b 2 000 2 c b
∴这四条线段成比例.
方法归纳 解此类问题的基本步骤:①统一单位;②进行排序;③进行计
算;④做出判断.
知识点二 比例的性质
名称 比例的 基本性质 等式的 基本性质 合比性质 等比性质
内容 如果 ab = dc ,那么ad=bc;如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0),那么 ab = dc
AB
n
那么 CD =k,或AB=k·CD
(1)确定两条线段的比的关键是两条线段的长度单位要统一. 详解 (2)因为每条线段的长度都是正值,所以两条线段的比值也是正数,且
结果没有单位
链接 比例尺:在地图或工程图纸上,图上长度与实际长度的比通常称为比例尺
2.成比例线段
定义 其他概念
要求
四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d的比,即 a = c ,
234
2a b
2k
3 3k 2 4k 2 2k 3k
= 73kk = 73 .
方法归纳 通过比例的基本性质来改变比例的形式得出所求的比,也可 以通过设辅助元来计算比例式的值.
题型一 利用比例线段求线段的长 例1 已知a,b,c,d是成比例线段,且a=2 cm,b=0.6 cm,c=4 cm,那么d=
解析 因为a,b,c,d是成比例线段,所以 a = c ,则d= bc = 0.6 4 =1.2(cm).
bd
a2
答案 1.2
规律总结 比例线段的有序性:对于利用比例线段关系求线段长的题, 一般先根据线段的关系写出比例式,然后根据比例的基本性质转化成关 于所求线段的等式,最后代入相应的数据.不过,在写比例式时,一定要注 意题目中四条线段成比例的顺序,不能随便更改位置.
b 2 000 2 c b
∴这四条线段成比例.
方法归纳 解此类问题的基本步骤:①统一单位;②进行排序;③进行计
算;④做出判断.
知识点二 比例的性质
名称 比例的 基本性质 等式的 基本性质 合比性质 等比性质
内容 如果 ab = dc ,那么ad=bc;如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0),那么 ab = dc
AB
n
那么 CD =k,或AB=k·CD
(1)确定两条线段的比的关键是两条线段的长度单位要统一. 详解 (2)因为每条线段的长度都是正值,所以两条线段的比值也是正数,且
结果没有单位
链接 比例尺:在地图或工程图纸上,图上长度与实际长度的比通常称为比例尺
2.成比例线段
定义 其他概念
要求
四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d的比,即 a = c ,
234
2a b
2k
3 3k 2 4k 2 2k 3k
= 73kk = 73 .
方法归纳 通过比例的基本性质来改变比例的形式得出所求的比,也可 以通过设辅助元来计算比例式的值.
题型一 利用比例线段求线段的长 例1 已知a,b,c,d是成比例线段,且a=2 cm,b=0.6 cm,c=4 cm,那么d=
北师大版数学九年 级数学上册4.1：成比例线段与比例的基本性质 课件
第二环节 新课探究
三、比例的基本性质
三、比例的基本性质
小组合作交流三：
如果a、b、c、d 四个数成比例，
即 ac
bd
，那么ad＝bc 吗？反过来，如
果ad＝bc，那么a、b、c、d 四个数成比
例吗？
三、比例的基本性质
如果
a b
c, d
那么
ad
bc
如果 ad bc(a, b, c, d都不等于0），那么 a c bd
巩固练习2
1．判断下列线段是否是成比例线段：
（1）a＝2cm，b＝0.04m，c＝0.3dm，d＝6cm；
（2）a＝0.8，b＝3，c＝1，d＝2.4．
解：（2） a 0.8, c 1, d 2.4,b 3 a 0.8 4 , d 2.4 4 c 1 5b 3 5 a d cb a、c、d、b是成比例线段。
3 题、解决问题能力，培养数学应用意识，体会数学与自然，
社会的密切联系。
2014.10
你能在下面图形中找出形状相同的图形吗？
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
合作交流1：
①
②
③
④ ⑤ ⑥⑦
• 1、图中形状相同的图形有什么不同？ • 2、形状相同的图形其中的一个如何由另一个得到？ • 3、形状相同的图形对应线段如何变化？ • 4、形状相同而大小不同的两个图形，你认为如何描 • 述它们的大小关系？
考考你的眼力
找出这两幅图中四处不同
第一环节 情景引入 在实际生活中，经常会看到许多形状相同的图片
第四章 图形的相似
第1节 成比例线段(一)
4.1.1成比例线段
学习目标
结合现实情境感受学习线段的比的必要性，借助
4.1.2 比例线段 课件(共27张PPT)2023-2024学年浙教版九年级上册数学
=
.
，
要点提醒
(1)求两条线段的比必须选定同一长度单位，但比值与
单位的大小无关.
(2)两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总
是正数.
由右图我们还可以看到，线段OC与OC′
的比和线段AB与A′B′的比相等，也就是
′
=
.
′
′
一般地，四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，
第4章
4.1
相似三角形
比例线段
第2课时 比例线段
1
学习目标
2
课时导入
3
感悟新知
4
随堂检测
5
课堂小结
了解两条线段的比和成比例线段的概念.
会计算两条线段的比，并会判断四条线段是否成比例.
了解比例尺的概念，并能解决相关的实际问题.
重要提示：1.用方程思想寻找几何图形中四条线段成比例是常
用方法.
2.四条线段成比例可以解决一些实际问题，如地图上的某两
设实际距离为s，则
=
台北 基隆
，
∴s=35×9000000=315000000(mm)，
即s=315(km).
量得图中∠a=28°.
答：基隆市在高雄市的北偏东28°方向，
到高雄市的实际距离约为315 km.
北
台中
α
台南
高雄
比例尺 1∶9000000
练2 现在有一棵很高的古树，欲测出它的高度，但又不
长度之比.
(3)判：若这两个比值相等，则这四条线段是成比例线段；
若这两个比值不相等，则这四条线段不是成比例线段.
4.1 成比例线段 第2课时 等比性质
例题解析：
a 2 a b a -b (1)、已知 , 求 与 ； b 3 b b AB BC CA 3 (2)、在ABC 与DEF中，若 , DE EF FD 4 且ABC 的周长为18cm，求DEF的周长。
A
BE CF 如图，已知 = ， AB AC E AE AF 那么 AB = AC ， 理由： B BE CF AC CF AC –CF = = = AB AC AB BE AB –BE AC–CF AC AF AC = = AB–BE AB AE AB AB–BE≠0 AF AE AE AF = = . AC AB AB AC
么样的关系？在求解过程中，你有什么发现？
已知，a，b，c，d，e，f六个数。
a c a b cd (1)如果 , 那么 和 b d b d a b c d 成立吗？为什么？ b d
(2)
AB BC CD AD 如图， , , , HE EF FG HG
AB BC CD AD 的值相等吗？ HE EF FG HG
第三 章
图形的相似
第2课时 等比性质
1、成比例线段定义
2、比例的基本性质 3、若 3m = 2n
n 呢？ m
m ，你可以得到 n
的值吗？
(1)、如图已知
BD CE 1 ，你能求出 BD AD 与 CE AE AD AE 2 AD AE
AB AB AB BD AC CE有怎 的值吗？如果 , 那么 与 BC CE BD CE
的值又是多少？在求解过程中，你有什么发现？
已知，a，b，c，d，e，f六个数。
a c e (2)如果 (b d f 0), b d f ace a 那么 成立吗？为什么？ bd f b
《比例线段》PPT课件
节水量 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5
/m3 家庭数/
2 4 671 个
23．4 用样本估计总体
3．(4分)(2013·新疆)某校九年级420名学生参加植树活动，随机调 查了50名学生植树的数量，并根据数据绘制了如下条形统计图，请估 计该校九年级学生此次植树活动约植树_1_6_8_0____棵．
若a－a b＝35，则ba＝___52_____．
8．(4 分)美是一种感觉，当人体下半身与身高的比值越接近
0.618 时，越给人一种美感，如图，某女士身高 165 cm，下半身长 x
与身高 l 的比值是 0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的
高度大约为( C )
A．4 cm
B．6 cm
23．4 用样本估计总体
(2)从优等品数量的角度看， 因A技术种植的西瓜优等品数量较多，所以A技术较好； 从平均数的角度看， 因A技术种植的西瓜质量的平均质量更接近5 kg，所以A技术较好； 从方差的角度看， 因B技术种植的西瓜质量的方差更小，所以B技术种植的西瓜质量更为 稳定； 从市场销售角度看， 因优等品更畅销，A技术种植的西瓜优等品数量较多，且平均质量更接 近5 kg，因而更适合推广A种技术
污染指数(w) 天数(天)
40 60 80 100 120 3 5 10 6 5
23．4 用样本估计总体
11．(16分)(2013·云南)近年来，中学生的身体素质普遍下降，某 校为了提高本校学生的身体素质，落实教育部门“在校学生每天体 育锻炼时间不少于1小时”的文件精神，对部分学生的每天体育锻炼 时间进行了调查统计．以下是本次调查结果的统计表和统计图：
23．4 用样本估计总体
10．(8分)为了估计某市空气质量情况，某同学在30天里 做了如下记录：
/m3 家庭数/
2 4 671 个
23．4 用样本估计总体
3．(4分)(2013·新疆)某校九年级420名学生参加植树活动，随机调 查了50名学生植树的数量，并根据数据绘制了如下条形统计图，请估 计该校九年级学生此次植树活动约植树_1_6_8_0____棵．
若a－a b＝35，则ba＝___52_____．
8．(4 分)美是一种感觉，当人体下半身与身高的比值越接近
0.618 时，越给人一种美感，如图，某女士身高 165 cm，下半身长 x
与身高 l 的比值是 0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的
高度大约为( C )
A．4 cm
B．6 cm
23．4 用样本估计总体
(2)从优等品数量的角度看， 因A技术种植的西瓜优等品数量较多，所以A技术较好； 从平均数的角度看， 因A技术种植的西瓜质量的平均质量更接近5 kg，所以A技术较好； 从方差的角度看， 因B技术种植的西瓜质量的方差更小，所以B技术种植的西瓜质量更为 稳定； 从市场销售角度看， 因优等品更畅销，A技术种植的西瓜优等品数量较多，且平均质量更接 近5 kg，因而更适合推广A种技术
污染指数(w) 天数(天)
40 60 80 100 120 3 5 10 6 5
23．4 用样本估计总体
11．(16分)(2013·云南)近年来，中学生的身体素质普遍下降，某 校为了提高本校学生的身体素质，落实教育部门“在校学生每天体 育锻炼时间不少于1小时”的文件精神，对部分学生的每天体育锻炼 时间进行了调查统计．以下是本次调查结果的统计表和统计图：
23．4 用样本估计总体
10．(8分)为了估计某市空气质量情况，某同学在30天里 做了如下记录：
成比例线段ppt课件
∵ + − = ，
∴ + − = .
∴ = .
∴ = ， = ， = ．
15.(2024周口期末改编)已知
+
解：∵
=
=
= ,
+
+
+
=
+
=
+
= ,则的值为多少？
∴ = + ， = + ， = + .
7.8
好的效果,她应穿的高跟鞋的高度大约为____.（保留一位小数）
9.在△ 和△
+
′′′中，
′′+′′
18
则△ ′′′的周长为____．
10.(2024湖南郴州期末改编)若
=
=
′′
=
．若△
的周长为12，
��
+
，则 =__.
,
∴ 线段，，，不成比例.
（2）线段，，，是否成比例？
解：∵
∴ = .
=
,
= =
,
∴ 线段，，，成比例．
比例的基本性质
5.若 =
，则
A.
=( C )
B.−
C.
D.−
6.已知四条不相等的线段，，，满足关系式 = ，则下列式子
+ = −, =
∴ + − = .
∴ = .
∴ = ， = ， = ．
15.(2024周口期末改编)已知
+
解：∵
=
=
= ,
+
+
+
=
+
=
+
= ,则的值为多少？
∴ = + ， = + ， = + .
7.8
好的效果,她应穿的高跟鞋的高度大约为____.（保留一位小数）
9.在△ 和△
+
′′′中，
′′+′′
18
则△ ′′′的周长为____．
10.(2024湖南郴州期末改编)若
=
=
′′
=
．若△
的周长为12，
��
+
，则 =__.
,
∴ 线段，，，不成比例.
（2）线段，，，是否成比例？
解：∵
∴ = .
=
,
= =
,
∴ 线段，，，成比例．
比例的基本性质
5.若 =
，则
A.
=( C )
B.−
C.
D.−
6.已知四条不相等的线段，，，满足关系式 = ，则下列式子
+ = −, =
成比例线段第2课时课件北师大版九年级数学上册
HE EF FG HG
图1
探究新知
议一议
已知 a，b，c，d，e，f 六个数.
如果
ace a
那么
成立吗？为什么？
bd f b
成立，因为设
则a=kb，c=kd，
a c e k (b d f )
a
e=kf ，所以 b d f b d f k b .
第四章
图形的类似
4.1 成比例线段（第2课时）
回顾复习
1.成比例线段的定义.
2.比例的基本性质.
3.若3m=2n，你可以得到m 的值吗？n的呢？
探究新知
AB BC CD AD
2 ， 你能求出
在图1 中，已知
HE EF FG HG
AB BC CD AD
的值吗？由此你能得出什么结论？
+
C.
＝
+
1
2
3
4
5
课时学业质量评价
C )
+
D.
＝
+
第2课时
2.
知识梳理
−+
已知 ＝ ＝ ＝－3，则
＝(
−+
A. －3
3.
等比性质
B. 3
C.
＋
若 ＝ ＝ ≠0，则
＝
1
2
C
)
－
D.
.
3
4
课时学业质量评价
图1
探究新知
议一议
已知 a，b，c，d，e，f 六个数.
如果
ace a
那么
成立吗？为什么？
bd f b
成立，因为设
则a=kb，c=kd，
a c e k (b d f )
a
e=kf ，所以 b d f b d f k b .
第四章
图形的类似
4.1 成比例线段（第2课时）
回顾复习
1.成比例线段的定义.
2.比例的基本性质.
3.若3m=2n，你可以得到m 的值吗？n的呢？
探究新知
AB BC CD AD
2 ， 你能求出
在图1 中，已知
HE EF FG HG
AB BC CD AD
的值吗？由此你能得出什么结论？
+
C.
＝
+
1
2
3
4
5
课时学业质量评价
C )
+
D.
＝
+
第2课时
2.
知识梳理
−+
已知 ＝ ＝ ＝－3，则
＝(
−+
A. －3
3.
等比性质
B. 3
C.
＋
若 ＝ ＝ ≠0，则
＝
1
2
C
)
－
D.
.
3
4
课时学业质量评价
九年级数学上册 4.1比例线段(黄金分割)课件 浙教版
如何来求 AP 的值呢？ AB 设ＡＢ＝a, AP=x
BP AP AP AB AP2 BP AB ( AB AP) AB x ( a x) a
2
Ａ
Ｐ
x 0 x
Ｂ
5 1 a 2
x 2 ax a 2 o
1 5 x1 a x2 2
二、请你欣赏
感受匀称
协调之美
欣赏之一:
世界艺术珍品——维纳斯 女神, 她是西元前一百多 年希腊雕塑鼎盛时期的代 表作，她的上半身(以肚脐 眼为分界点)和下半身的比 值接近0.618.
欣赏之二:芭蕾舞
芭蕾舞演员的身段是苗条 的，但下半身与身高的比 值也只有0.58左右，演员 在表演时掂起脚尖，身高 就可以增加6-8cm.这时比 值就接近0.618了,给人以 更为优美的艺术形象.
黄金分割的深远意义
历史上，人们视黄金分割为“最美丽”的几何 比率，广泛应用于建筑和雕刻中，如古代希腊 的帕特农神庙、埃及金字塔、上海东方明珠塔 等，一些长方形的画框，宽与长之比也设计成 0.618，在自然界中也有很多例子，美丽的蝴 蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.许 多美丽的形状都与0.618这个比值有关。
谈谈感受
清点收获
1.比例中项的概念. 2.线段的比例中项与数的比例中项的区别； 3.什么是黄金分割. 4.如何去确定黄金分割点或黄金比. 5.用数学美去装点和美化生活.
十、布置作业 :
课本P102
1 、3、4、
课外作业: 请同学们收集建筑、雕刻和自然界的黄金分割
拓展新知
1.作顶角为36°的等腰△ABC;量出
E
F
B
C
著名画家达•芬奇的名画＜蒙娜丽莎＞， 画中脸部被围在矩形ＡＢＣＤ中，图中 四边形ＢＣＥＦ为正方形，而在线段AB 上的点Ｆ把线段AB分成两条线段，其中
4.1比例线段(二)
3.比例式中，项的次序不可任意改变。
4.特殊图形
(1).有一锐角是 30的直角三角形中, 三边(从小到大)的比是 1: 3:2 (2).等腰直角三角形中,三边(从小 到 大)的比是 1:1: 2
x x
2x
x
30
3x
2x
作业:
p 202
习题4.1A组1
即线段a、c、d、b成比例 想一想:是否还可以写出其他几 组成比例的线段.
例4 已知线段a=10mm , b=6cm c=2cm , d=3cm . 想一想:是否还可以写出其他几 组成比例的线段. 答:可以. 如:
a c = d b c b = a d d b = 等 a c
例5. 已知:△ABC中,D、E分别 是AB、AC的中点，那么线段 AD、AB、DE、BC是否成比 例线段？为什么？ A
如果作为比例内项的是相同的
线段，即
a b = b c
或a:b=b:c，那么
线段b叫线段a、c的比例中项。
说明：
a c 1.式子 = 或 a:b=c:d叫比例式 b d
2.比例式中，项的次序不可任意改变。 如d是a、b、c的第四比例项与d是b、c、 a的第四比例项的意义是不同的。
a c b a 比例式分别是 = ， = b d c d
x x
2x
x
30
3x
2xLeabharlann 2.比例线段定义：在四条线段中，如果其中两条 线段的比等于另外两条线段的比，那 么这四条线段叫做成比例线段， 简称比例线段
a c 已知线段a、b、c、d，如果 b = d
或a:b=c:d，那么a、b、c、d叫做 组成比例的项。线段a、d叫比例 外项，线段b、c叫比例内项，线 段d叫a、b、c的第四比例项。
浙教版数学九年级上册教学课件：4.1 比例线段 (共15张PPT)精品
如图，已知AD，CE是△ABC中BC、 的高线， 求证：AD:CE=AB:BC
A
E
B
DC
如图在平行四边形 ABCD 中，DE⊥AB，DF⊥B 找出图中的一组比例线段（用小写字母表示相应 并说明理由．
判断四条线段是否成比例的方法有：
(1)两条线段的比值与另两条线段的比 等，则四条线段成比例。－定义法
bd
段．
例如, AB，A′B′ A′C′是比例线段.
你能在图中再找出几 例线段吗？并写出比
例1 已知线段a=10mm , b=3cm, c=2cm , d=6cm .问：这四条线段是 比例？为什么?
变一变 在如图三个长方形中，哪两 方形的长和宽是比例线段？
例2 如图，在直角三角形ＡＢＣ中， 是斜边ＡＢ上的高线，请找出一组比 段，并说明理由.
4.1比例线段ห้องสมุดไป่ตู้
两条线段的长度的比,叫做这两条线段
1
1
A
AB= 2
B C
AC= 5
AABC=
2 5
AB AC AB AC
AB 2 AB 2 2
AC 5
AC 2 5
一般地,四条线段 a,b,c,d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 即 a c ,那么这四条线段 a，b，c，d 叫做成比例线段，简
2.如图，ＤＥ是△ＡＢＣ的中位线，请 能多的写出比例线段.
知识回顾： 说说你在这节课中的收获与体
谢谢！
墨子，(约前468～前376)名翟，鲁人 ，一说 宋人， 战国初 期思想 家，政 治家， 教育家 ，先秦 堵子散 文代表 作家。 曾为宋 国大夫 。早年 接受儒 家教育 ，后聚 徒讲学 ，创立 与儒家 相对立 的墨家 学派。 主张•兼 爱”“ 非攻“ 尚贤” “节用 ”，反 映了小 生产者 反对兼 并战争 ，要求 改善经 济地位 和社会 地位的 愿望， 他的认 识观点 是唯物 的。但 他一方 面批判 唯心的 宿命论 ，一方 面又提 出同样 是唯心 的“天 志”说 ，认为 天有意 志，并 且相信 鬼神。 墨于的 学说在 当时影 响很大 ，与儒 家并称 为•显 学”。 《墨子》是先秦墨家著作，现存五 十三篇 ，其中 有墨子 自作的 ，有弟 子所记 的墨子 讲学辞 和语录 ，其中 也有后 期墨家 的作品 。《墨 子》是 我国论 辩性散 文的源 头，运 用譬喻 ，类比 、举例 ，推论 的论辩 方法进 行论政 ，逻辑 严密， 说理清 楚。语 言质朴 无华， 多用口 语，在 先秦堵 子散文 中占有 重要的 地位。 公输，名盘，也作•“般”或•“班 ”又称 鲁班， 山东人 ，是我 国古代 传说中 的能工 巧匠。 现在， 鲁班被 人们尊 称为建 筑业的 鼻祖， 其实这 远远不 够．鲁 班不光 在建筑 业，而 且在其 他领域 也颇有 建树。 他发明 了飞鸢 ，是人 类征服 太空的 第一人 ，他发 明了云 梯(重武 器)，钩 钜(现 在还用) 以及其 他攻城 武器， 是一位 伟大的 军事科 学家， 在机械 方面， 很早被 人称为 “机械 圣人” ，此外 还有许 多民用 、工艺 等方面 的成就 。鲁班 对人类 的贡献 可以说 是前无 古人， 后无来 者，是 我国当 之无愧 的科技 发明之 父。
4.1比例线段
用a、b、c、d ，表示四个数，上述四个
数成比例可写成怎样的形式？
a b
=
c d
，
或
a：b=c：d，
a、b、c、d 叫做组成比例的项，
a、d 叫做比例外项，
b、c 叫做比例内项，
d 叫做 a、b、c的第四比例项.
做一做
2、请指出下列比例式的比例内项和比例外项, 并比较它们的积.
(1) 0.3 0.6 (2) 2 1
D
E
B
C
课堂小结:
比例有如下性质: a c ad bc (a,b,c,d均不为零) bd
比例式变形的常用方法:
利用等式性质
设比值
探究活动：在平面直角系中， 过点（a,b）和坐标原点的直线 是一个怎样的正比例函数图象？ 如果a,b,c,d四个数成比例，你 认为点（a,b），点（c,d）和 坐标原点在一条直线上吗？请 说明理由。
24
63
3、利用等式性质，能从 a c 推导出ad=bc吗？
பைடு நூலகம்
反过来呢
bd
练一练
已知ab=cd,请写出有关a,b,c,d成立的 比例式.(至少写4个)
ad cb
bd ca
d a bc
ac db
ca bd
d b ac
bc da
cb ad
想一想
ac b d ____ = ____
a____ b
你知道吗?
美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之 比约为0.618.一些长方形的画框，宽与 长之比也设计成0.618,许多美丽的形状 都与0.618这个比值有关。你知道0.618 这个比值的来历吗？
人体肚脐不但是黄金点美 人与黄金分割
2022秋九年级数学上册 第4章 相似三角形4.1 比例线段2黄金分割课件(新版)浙教版
2．已知点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC，BC，下列说法错误的是( C )
A．若点 C 是线段 AB 的黄金分割点(CA＞CB)，则 CA＝
5－1 2 AB
B．如果 AC2＝AB·BC，那么线段 AB 被点 C 黄金分割
C．如果线段 AB 被点 C 黄金分割，那么 AC 与 AB 的比叫做黄金比
第4章 相似三角形
4．1 比例线段 第2课时 黄金分割
提示：点击 进入习题
1C 2C 3C见习题
1．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列 各式成立的是( C )
A．AB2＝AC·CB B．CB2＝AC·AB C．AC2＝BC·AB D．AC2＝2BC·AB
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
【点拨】设正方形的边长为 2，先根据正方形的性质以及勾 股定理，求得 DF 的长为 5，再根据 DF＝GF 求得 CG＝ 5 －1，最后根据 CG 与 CD 的比为 52－1，可判断出矩形 DCGH 为黄金矩形．
【答案】D
6．已知线段 a，b，c 满足a3＝b2＝6c≠0，且 a＋2b＋c＝26. (1)求线段 a，b，c 的长； 解：设a3＝b2＝6c＝k(k≠0)， ∴a＝3k，b＝2k，c＝6k.
(3)根据(2)的结论你能找出一个黄金分割点吗？ 解：能．图中的点M为线段AD的黄金分割点．
(1)求MA，DM的长；
解：如图，∵P 为边 AB 的中点， ∴AP＝12AB＝1. ∴DP＝ AP2＋AD2＝ 12＋22＝ 5. ∴PF＝PD＝ 5. ∴FA＝PF－AP＝ 5－1. ∴MA＝FA＝ 5－1，DM＝AD－MA＝3－ 5.
(2)求证：AM2＝AD·DM； 证明：∵AM2＝( 5－1)2＝6－2 5， AD·DM＝2(3－ 5)＝6－2 5， ∴AM2＝AD·DM.
北师大版七年级上册数学4.1.2 比较线段的长短PPT课件
a
b
2a
b
A 2a－b B
探究新知
知识点 4 线段的中点
A
MB
在一张纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端 点重合，折痕与线段的交点处于线段的什么位置？
探究新知
A
MB
如图，点M 把线段 AB 分成相等的两条线段AM 与BM， 点 M 叫做线段AB 的中点.类似地，还有线段的三等分点、 四等分点等.
相等的线段？
小提示：在可打开角度 的最大范围内，圆规可 截取任意长度，相当于 可以移动的“小木棍”.
探究新知
讨论 你们平时是如何比较两个同学的身高的？你能从 比身高的方法中得到启示来比较两条线段的长短吗？
探究新知
比较两个同学高矮的方法：
①用卷尺分别度量出两个同学的身高，将所得的
数值进行比较.
——度量法.
DB
所以
AC
＝CB
＝
1 2
AB
＝
1 2
×6
＝ 3 (cm).
因为D是线段CB的中点，
所以
CD
＝
1 2
CB＝
1 2
×3
＝
1.5 (cm).
所以 AD ＝ AC ＋ CD ＝ 3 ＋ 1.5 ＝ 4.5 (cm).
巩固练习
变式训练
1.如图，点C 是线段AB 的中点，若AB ＝ 8 cm，则AC ＝ 4 cm.
北师大版 数学 七年级 上册
4.1.2 比较线段的长短
素养目标
3. 理解线段中点、等分点的意义，能够运用线段的和、 差、倍、分关系求线段的长度.
2. 会用尺规画一条线段等于已知线段，会比较两条线 段的长短.
1. 了解两点间距离的意义，理解“两点之间，线段最 短”的线段性质，并学会运用.
4.1_比例线段(2)
例３，如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的高线， 请找出一组比例线段，并说明理由 Ｃ四条线段，使其中２条线段的乘积等于另２条线段
的乘积
a c ad bc b d
，问题就转化为找出
试一试 １，如图在平行四边形ABCD中，
DE AB, DF BC 找出图中的一组比例
线段（用小写字母表示）并说明理由．
Ｄ b Ａ c Ｅ a
d
Ｆ Ｂ
Ｃ
例4 已知线段a=10mm , b=6cm c=2cm , d=3cm . 问：这四条线段是否成比例？为什么? 例5
已知：A、B两地的实际距离AB=250m
画在地图上的距离 A'B'=5cm
求：图上距离与实际距离的比
(即该地图的比例尺)
例6，如图表示我国台湾省几个城市的位置 关系，测得基隆市到高雄市的图上距离约为 o 35mm，∠1=28 . 问基隆市在高雄市的哪个方向？到高雄的实 基隆 际距离是多少km?
台北 北
台中 台南
1
高雄
比例尺１：9000000
动动脑筋
A A’
B
C
B’
C’
现在有一棵很高的古树，欲测出它的 高度，但又不能爬到树尖上去直接测量， 你有什么好的方法吗？
A
B
图中还有其他比例线段吗？
1 2 A B = = 2 A′B′ 2 2 1 5 A C = = 2 A′C′ 2 5
C
AB AC ' ' C′ ∴ ' ' AB AC
一般地,如果四条线段a,b,c,d中，a与b的比等于c与d的
a c 比．即 ，那么这四条线段叫做成比例线段， b d
简称比例线段．
《平行线分线段成比例》课件2(人教A版选修4-1)
一 复习提问
平行线分线段成比例定理
什么是平行线等分线段定理?
答:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等, 那么在其它直线上截得的线段也相等. 因为：1 // l2 // l3 , AB=BC l 1 DE=EF
l l2 l3
AB DE BC EF 1
即:AB、BC 、DE 、EF 四条线段成比例.
AB ? 问:若 AB BC 即 1, 还有类似比 BC 例式成立吗？
二
如图:
P1
A D
新授
l1 // l2 // l3
P1
'
AB DE AB 2 , 问: BC EF 是否成立 ? , BC 3
P2 P3
C
B
E
P2
'
P3
F
'
l1 ' AP1 P1B BP2 P2 P3 P3C. l1 DP1' P1' E EP2' P2' P3' P3' F l2 ' ' ' l2 因为 DE 2DP1 EF 3DP1 ' ' l3 DE 2DP1 2 AB DE
C
F
l2
l3
即：AB
X 2 8 - X 163
5
16 X 5
方法二
解：因为 l1 // l2 // l3 AB DE （平行线分线段成 AC DF 比例定理）。 16 AB 2 即： AB 5 8 23
四
小结
三条平行线截两条直线
1、平行线分线段成比例定理 所得的对应线段 成比例。 2、定理的形象记忆法。 3、定理的变式图形。 4、定理的初步应用。
平行线分线段成比例定理
什么是平行线等分线段定理?
答:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等, 那么在其它直线上截得的线段也相等. 因为：1 // l2 // l3 , AB=BC l 1 DE=EF
l l2 l3
AB DE BC EF 1
即:AB、BC 、DE 、EF 四条线段成比例.
AB ? 问:若 AB BC 即 1, 还有类似比 BC 例式成立吗？
二
如图:
P1
A D
新授
l1 // l2 // l3
P1
'
AB DE AB 2 , 问: BC EF 是否成立 ? , BC 3
P2 P3
C
B
E
P2
'
P3
F
'
l1 ' AP1 P1B BP2 P2 P3 P3C. l1 DP1' P1' E EP2' P2' P3' P3' F l2 ' ' ' l2 因为 DE 2DP1 EF 3DP1 ' ' l3 DE 2DP1 2 AB DE
C
F
l2
l3
即：AB
X 2 8 - X 163
5
16 X 5
方法二
解：因为 l1 // l2 // l3 AB DE （平行线分线段成 AC DF 比例定理）。 16 AB 2 即： AB 5 8 23
四
小结
三条平行线截两条直线
1、平行线分线段成比例定理 所得的对应线段 成比例。 2、定理的形象记忆法。 3、定理的变式图形。 4、定理的初步应用。
北师大版九年级数学上册4.1成比例线段 第二课时 课件 (共18张PPT)
∴ a+c e bk dk fk a bd f bd f b
【证明方法总结】 1、等式两边同时加1或者减1 ； 2、k 方法
新知讲解
【总结】 如果 a c ，那么
bd
a+b c d 和 bd
a-b c-d ； bd
如果
a b
c= d
e (b d f
f
0) ，那么
a+c e bd f
CA FD
3 4
∴ AB+BC+CA AB 3
DE+EF +FD DE 4
∴ 4( AB+BC+CA) 3(DE+EF +FD)
即 DE+EF +FD 4 ( AB+BC+CA)
3
新知讲解
又∵ △ABC的周长为18cm，即
AB+BC+CA 18
∴
DE+EF +FD 4 ( AB+BC+CA) 3
•
You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
新知讲解
（2）证明：∵
a c = e (b d f 0) bd f
令 a c = e =k
bd f
∴ a bk, c dk,e fk
求解过程中，有什么发现？
解题思路：首先根据方格 求出线段的长度再求出这 几个比值
新知讲解
已知，a、b、c、d、e、f 六个数，如果
a b
c d
，那么
和 a-b c-d 成立吗？为什么？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例3、如图，在直角三角形ABC中，CD是斜边AB上 的高线，请找出一组比例线段，并说明理由.
Ｃ
Ａ
a c 分析：(1)根据ad bc b d
Ｄ
Ｂ
(2)已知条件中有三角形的高，我们通常可以 把高与什么知识联系起来？
做一做. 如图，已知AD，CE是△ABC中BC、AB上的高线， 求证：AD：CE=AB：BC
4.1 比例线段（2）
回顾探究
下列四个数是否成比例，如果能，请写出比例式， 并指出比例内项、外项.
(1) 5 ，3，6，10 (3) 7 ，3，4，8 (4) 2.4，0.8，3.2，0.6
(2) 2，0.5，3，12
1
1 B′ B A
A′
AB=
2
AC=
5
AB AC =
2 5
C
C′
两条线段的长度比 叫做这两条线段的比. 2 1 A B = = 2 2 2 A′B′
A C
A′C′
∴
A B
A′B′
=
A C
A′C′
1 5 = = 2 2 5
1
1 B′ A
A′
请再找出左图的2组比 例线段，并写出比例式
AB
A′B′
=
AC
A′C′
B
C C′
一般地,如果四条线段a,b,c,d中，a与b的比等于c与d的
a c 比．即 那么这四条线段叫做成比例线段，简 b d
称比例线段．
如果量得图中,我们还能确定基隆市在 高雄市的北偏东28的315km处.
DE AB, DF BC 如图在平行四边形ＡＢＣＤ中，
找出图中的一组比例线段（用小写字母表示）并说 明理由．
Ｄ c Ａ Ｅ a d Ｂ Ｃ Ｆb
如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A ＝30°，CD⊥AB，请写出四组比例线段．
A E
B
D
C
例4、如图，是我国台湾省的几个城市的位置图，问基 隆市在高雄市的哪一个方向？到高雄市的实际距离是 多少km？(比例尺1：9000000)
注意：求角度时要注意方位. 解：从图上量出高雄市到基隆市的距离 约35mm,设实际距离为s，则
1 35 ＝ s 9000000
∴S＝35×9000000=315000000(mm) 即s＝315(km)
a 1 d 3 1 , c 2 b 6 2 a d c b
想一想:是否还可以 写出其他几组成比 例的线段.
判断四条线段是否成比例的方法有两种： (1)把四条线段按大小排列好，判断前两条线段 的比和后两条线段的比是否相等. (2)查看是否有两条线段的积等于其余两条线段的积.
例题探究
试一试
如图是一块含45度角的三角尺.
（1）求图中 AB BC CA ?
A1B1 , A1C1是否成比例,并说明理由. （2）判断线段AB，AC， A
A1
C
C1B1B源自做一做1. 如图，DE是△ABC的中位线，请尽可能多的写 出比例线段 Ａ D B E C
2. 已知线段a=10mm，b=6cm，c=2cm，d=3cm. 问：这四条线段是否成比例？为什么? 解：这四条线段成比例 ∵ a=10mm=1cm
拓展延伸
现在有一棵很高的古树，欲测出它的高度，但又不能 爬到树尖上去直接测量，你有什么好的方法吗？
变式：相同时刻的物高与影长成比例. 如果一电视塔在 地面上影长为180m，同一时刻高为2m的竹竿的影长为3m， 那么电视塔的高是多少？
课堂小结
课后作业
课本120页 作业题 第1、2题
Ｃ
Ａ
a c 分析：(1)根据ad bc b d
Ｄ
Ｂ
(2)已知条件中有三角形的高，我们通常可以 把高与什么知识联系起来？
做一做. 如图，已知AD，CE是△ABC中BC、AB上的高线， 求证：AD：CE=AB：BC
4.1 比例线段（2）
回顾探究
下列四个数是否成比例，如果能，请写出比例式， 并指出比例内项、外项.
(1) 5 ，3，6，10 (3) 7 ，3，4，8 (4) 2.4，0.8，3.2，0.6
(2) 2，0.5，3，12
1
1 B′ B A
A′
AB=
2
AC=
5
AB AC =
2 5
C
C′
两条线段的长度比 叫做这两条线段的比. 2 1 A B = = 2 2 2 A′B′
A C
A′C′
∴
A B
A′B′
=
A C
A′C′
1 5 = = 2 2 5
1
1 B′ A
A′
请再找出左图的2组比 例线段，并写出比例式
AB
A′B′
=
AC
A′C′
B
C C′
一般地,如果四条线段a,b,c,d中，a与b的比等于c与d的
a c 比．即 那么这四条线段叫做成比例线段，简 b d
称比例线段．
如果量得图中,我们还能确定基隆市在 高雄市的北偏东28的315km处.
DE AB, DF BC 如图在平行四边形ＡＢＣＤ中，
找出图中的一组比例线段（用小写字母表示）并说 明理由．
Ｄ c Ａ Ｅ a d Ｂ Ｃ Ｆb
如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A ＝30°，CD⊥AB，请写出四组比例线段．
A E
B
D
C
例4、如图，是我国台湾省的几个城市的位置图，问基 隆市在高雄市的哪一个方向？到高雄市的实际距离是 多少km？(比例尺1：9000000)
注意：求角度时要注意方位. 解：从图上量出高雄市到基隆市的距离 约35mm,设实际距离为s，则
1 35 ＝ s 9000000
∴S＝35×9000000=315000000(mm) 即s＝315(km)
a 1 d 3 1 , c 2 b 6 2 a d c b
想一想:是否还可以 写出其他几组成比 例的线段.
判断四条线段是否成比例的方法有两种： (1)把四条线段按大小排列好，判断前两条线段 的比和后两条线段的比是否相等. (2)查看是否有两条线段的积等于其余两条线段的积.
例题探究
试一试
如图是一块含45度角的三角尺.
（1）求图中 AB BC CA ?
A1B1 , A1C1是否成比例,并说明理由. （2）判断线段AB，AC， A
A1
C
C1B1B源自做一做1. 如图，DE是△ABC的中位线，请尽可能多的写 出比例线段 Ａ D B E C
2. 已知线段a=10mm，b=6cm，c=2cm，d=3cm. 问：这四条线段是否成比例？为什么? 解：这四条线段成比例 ∵ a=10mm=1cm
拓展延伸
现在有一棵很高的古树，欲测出它的高度，但又不能 爬到树尖上去直接测量，你有什么好的方法吗？
变式：相同时刻的物高与影长成比例. 如果一电视塔在 地面上影长为180m，同一时刻高为2m的竹竿的影长为3m， 那么电视塔的高是多少？
课堂小结
课后作业
课本120页 作业题 第1、2题