山东省高中数学优质课一等奖：向量数量积ppt课件
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山东地区高级中学数学优质课一等奖课件教材-向量数量积38页PPT
山东地区高级中学数学优质课一等奖 课件教材-向量数量积
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
空间向量的数量积运算-ppt课件
空间向量的数量积运算
知识点一 空间向量的夹角 如图所示,已知平面向量a,b.
问题1:试作出向量a,b的夹角. 答案:如图,∠AOB为a和b的夹角.
问题2:若a,b为空间非零向量,两向量还有夹角吗?若有试作出.
<a,b>
∠AOB
(2)夹角的范围 空间任意两个向量的夹角 θ 的取值范围是 [0,π]
ABB1A1,▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等,若AB=a,求异面直线BA1与 AC所成的角.
方法技巧 (1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移使 其起点与另一个向量的起点重合,通过解三角形得出夹角的大小,此法就 是求两个向量夹角的平移法.
(2)由两个向量的数量积定义得cos<a,b>=
,求<a,b>的大小,转化
为求两个向量的数量积及两个向量的模的大小,求出<a,b>的余弦值,进而
求<a,b>的大小.
(3)利用向量的数量积求出两向量的夹角,则这个夹角就是两异面直线所 成的角或补角(注意异面直线所成角的范围).
题型三 利用空间向量解决垂直问题
【例3】 如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且 ∠∠CC1C1CDB==∠BCD.求证:CA1 ⊥B1D1.
题型四 利用数量积求距离
方法技巧 用空间向量求两点间距离 , 首先用其他已知夹角和模的向量 表示此向量,再利用a·a= |a|2,通过向量运算求|a|.
(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求MN的长.
,
.特别地,当 θ=0时
两向量同向共线;当 θ=π时,两向量反向共线,所以若a∥b,则<a,b>=0或
知识点一 空间向量的夹角 如图所示,已知平面向量a,b.
问题1:试作出向量a,b的夹角. 答案:如图,∠AOB为a和b的夹角.
问题2:若a,b为空间非零向量,两向量还有夹角吗?若有试作出.
<a,b>
∠AOB
(2)夹角的范围 空间任意两个向量的夹角 θ 的取值范围是 [0,π]
ABB1A1,▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等,若AB=a,求异面直线BA1与 AC所成的角.
方法技巧 (1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移使 其起点与另一个向量的起点重合,通过解三角形得出夹角的大小,此法就 是求两个向量夹角的平移法.
(2)由两个向量的数量积定义得cos<a,b>=
,求<a,b>的大小,转化
为求两个向量的数量积及两个向量的模的大小,求出<a,b>的余弦值,进而
求<a,b>的大小.
(3)利用向量的数量积求出两向量的夹角,则这个夹角就是两异面直线所 成的角或补角(注意异面直线所成角的范围).
题型三 利用空间向量解决垂直问题
【例3】 如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且 ∠∠CC1C1CDB==∠BCD.求证:CA1 ⊥B1D1.
题型四 利用数量积求距离
方法技巧 用空间向量求两点间距离 , 首先用其他已知夹角和模的向量 表示此向量,再利用a·a= |a|2,通过向量运算求|a|.
(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求MN的长.
,
.特别地,当 θ=0时
两向量同向共线;当 θ=π时,两向量反向共线,所以若a∥b,则<a,b>=0或
平面向量的数量积PPT课件
运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
山东地区高级中学数学优质课一等奖课件教材-向量数量积共38页
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从Biblioteka 边走远。-戴尔．卡耐基。梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
山东地区高级中学数学优质课一等奖课件 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。 教材-向量数量积
向量的数量积ppt课件
同学提供进一步学习的机会
。
依据教学的直观性原则和启发性原则，
结合学生的学习策略的特点
向量的数量积（1）
1.向量的夹角
例1.
2.数量积的定义
例2.
3.投影向量
4.数量积的性质
目 录
23
教材分析
学情分析
教学目标设定
教学策略分析
教学过程设计
板书设计
感谢倾听
敬请指正
，求a b.
3
例2 设a 12，
b 9, a b 54 2，求a与b的夹角.
环节三 引入投影向量，挖掘几何意义
1.创设数学情境，发现投影向量
问题5：
学生独立思考，
主动探究
设计意图
三组数量
积相等，引发
学生思考，发
现投影向量.
环节三 引入投影向量，挖掘几何意义
2.借助几何直观，探究投影向量表达
b
N
环节三 引入投影向量，挖掘几何意义
3.结合几何意义，体会投影作用
椭圆具有什么对称性
设计意图
结合物理中力做功
的实例，让学生更为深
刻地体会投影作用。在
投影向量的背景下，数
量积有更灵活的处理方
法，几何意义也更丰富。
引入投影向量将不共线
的向量的数量积转化为
共线向量的数量积，体
会一般和特殊的转化.
环节四 设置开放问题，探究几何性质
补充和提示，学生在推导过程中理解并记
忆这些性质.
a, b 反向 a b | a | | b |
（4）| a b || a | | b |
杜威主张的“在做中学”的教育
理念；艾宾浩斯的遗忘曲线
。
依据教学的直观性原则和启发性原则，
结合学生的学习策略的特点
向量的数量积（1）
1.向量的夹角
例1.
2.数量积的定义
例2.
3.投影向量
4.数量积的性质
目 录
23
教材分析
学情分析
教学目标设定
教学策略分析
教学过程设计
板书设计
感谢倾听
敬请指正
，求a b.
3
例2 设a 12，
b 9, a b 54 2，求a与b的夹角.
环节三 引入投影向量，挖掘几何意义
1.创设数学情境，发现投影向量
问题5：
学生独立思考，
主动探究
设计意图
三组数量
积相等，引发
学生思考，发
现投影向量.
环节三 引入投影向量，挖掘几何意义
2.借助几何直观，探究投影向量表达
b
N
环节三 引入投影向量，挖掘几何意义
3.结合几何意义，体会投影作用
椭圆具有什么对称性
设计意图
结合物理中力做功
的实例，让学生更为深
刻地体会投影作用。在
投影向量的背景下，数
量积有更灵活的处理方
法，几何意义也更丰富。
引入投影向量将不共线
的向量的数量积转化为
共线向量的数量积，体
会一般和特殊的转化.
环节四 设置开放问题，探究几何性质
补充和提示，学生在推导过程中理解并记
忆这些性质.
a, b 反向 a b | a | | b |
（4）| a b || a | | b |
杜威主张的“在做中学”的教育
理念；艾宾浩斯的遗忘曲线
向量的数量积课件
详细描述
向量数量积在计算机图形学中也有着广可以用 来计算光照和阴影的方向和强度，或者用来 实现物理模拟和动画效果。此外，向量数量 积还可以用于实现碰撞检测和运动控制等算 法。
05
总结与展望
向量数量积的重要性和意义
数学基础
，数量积为ab。
几何意义
向量数量积的几何意义是表示一个向量在另一个向量上的投 影长度。
当两个向量的夹角为锐角时，数量积为正，表示两向量方向 相同；当夹角为钝角时，数量积为负，表示两向量方向相反 ；当夹角为直角时，数量积为0。
向量数量积的运算性质
向量数量积满足交换律和分配 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积的模的性质
总结词
两个向量的数量积的值等于它们的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
详细描述
向量的数量积的模的性质表明，两个向量的数量积等于它们的模的乘积与它们 夹角的余弦值的乘积。这个性质对于计算两个向量的数量积非常重要，因为它 提供了一个公式来直接计算数量积的值。
向量数量积的交换律和结合律
向量的数量积ppt课件
目录
• 向量数量积的定义 • 向量数量积的性质 • 向量数量积的运算 • 向量数量积的应用 • 总结与展望
01
向量数量积的定义
定义
向量数量积定义为两个向量的模 长之积与夹角的余弦值的乘积，
记作a·b=abcosθ。
其中，a和b分别为两个向量，θ 为两向量的夹角。
当两个向量的夹角为90°时，数 量积为0；当夹角为0°或180°时
理论价值
向量的数量积是向量代数中的基本概 念之一，是研究向量关系和进行数学 分析的重要工具。
向量数量积的概念是线性代数和解析 几何理论体系的重要组成部分，对于 理解空间几何和线性变换的本质具有 重要意义。
空间向量的数量积运算ppt课件
l m 0, l m 0 , l g 0,即l g.
gl
m
m n ng
l g,即l垂直于平面内任一直线.l .
22
小 结： 通过学习,体会到我们可以利用向量数量积解决立体 几何中的以下问题： 1、证明两直线垂直; 2、求两点之间的距离或线段长度; 3、证明线面垂直; 4、求两直线所成角的余弦值等等.
3.1.3空间向量的 数量积运算
1
一、引入
1.共线向量定理：
空间中任意两个向量a, b (b 0)共线(a b )
的充要条件是存在实数，使得a b
2.共线向量定理的推论：
(1)若直线l过点A且与向量 a平行，则
点P在直线l上 OP OA ta
(2)三点P、A、B共线的充要条件有：
（1）存在实数t，使得AP t AB，即AP AB （2）存在实数t，使得OP OA t AB
另外 a b a c b c 及ab 0 a 0或b 0
10
已知空间向量a，b满足|a|=4，|b|=8，a与b的夹角是150°， 计算：(1)(a+2b)·(2n-b)；(2)|4a一2b|．
11
练习1
如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都 等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点。求 下列向量的数量积：
∴ cos AB,CD AB CD 3 1 ，
| AB | | CD | 2 3 2
∴ AB 与 CD 的夹角的余弦值为 1 ． 2
说明：由图形知向量的夹角时易出错，如 AB, BD 150 易错写成 AB, BD 30 ，注意推敲！
17
例 1:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
6.2.4向量的数量积 课件【共48张PPT】
5×3×4×cos 120°-2×4 =25.
[例 3] 已知|a|=3,|b|=4,|c|=5,向量 a,b 的夹角是 120°,a,c 的夹角是
45°.求:
(3)a·(a-4b+ c).
2
2
解:(3)a·(a-4b+ c)=a -4a·b+ a·c=|a| -4|a||b|cos 120°+ |a|
向量运算的相互转化.
2
2
(3)一些常见的等式应熟记,如(a±b)2=a2±2a·b+b2,(a+b)·(a-b)=a2b2等.
即时训练 4-1:已知|a|=1,|b|=3,且|a-b|=2,求 |a+b|.
解:法一
2
2
2
2
因为|a-b| =(a-b) =a -2a·b+b =1+9-2a·b=4,
→
→
(2)如图(2),在平面内任取一点 O,作=a,=b,过点 M 作直线 ON 的垂线,
→
垂足为 M1,则 就是向量 a 在向量 b 上的 投影向量
.
(3)设与 b 方向相同的单位向量为 e,a 与 b 的夹角为θ,对任意的θ∈[0,π],
→
都有 = |a|cos θ e .
||
cos
||
θ=cos
答案:-2e -a
· a=- a.
方法总结
向量 a 在向量 b 上的投影向量的求法
将已知量代入 a 在 b 方向上的投影向量公式|a|cos θ e(e 是与 b 方向
)中计算即可.
||
相同的单位向量,且 e=
即时训练 2-1:已知|a|=4,|b|=6,a 与 b 的夹角为 60°,则向量 a 在向量 b
[例 3] 已知|a|=3,|b|=4,|c|=5,向量 a,b 的夹角是 120°,a,c 的夹角是
45°.求:
(3)a·(a-4b+ c).
2
2
解:(3)a·(a-4b+ c)=a -4a·b+ a·c=|a| -4|a||b|cos 120°+ |a|
向量运算的相互转化.
2
2
(3)一些常见的等式应熟记,如(a±b)2=a2±2a·b+b2,(a+b)·(a-b)=a2b2等.
即时训练 4-1:已知|a|=1,|b|=3,且|a-b|=2,求 |a+b|.
解:法一
2
2
2
2
因为|a-b| =(a-b) =a -2a·b+b =1+9-2a·b=4,
→
→
(2)如图(2),在平面内任取一点 O,作=a,=b,过点 M 作直线 ON 的垂线,
→
垂足为 M1,则 就是向量 a 在向量 b 上的 投影向量
.
(3)设与 b 方向相同的单位向量为 e,a 与 b 的夹角为θ,对任意的θ∈[0,π],
→
都有 = |a|cos θ e .
||
cos
||
θ=cos
答案:-2e -a
· a=- a.
方法总结
向量 a 在向量 b 上的投影向量的求法
将已知量代入 a 在 b 方向上的投影向量公式|a|cos θ e(e 是与 b 方向
)中计算即可.
||
相同的单位向量,且 e=
即时训练 2-1:已知|a|=4,|b|=6,a 与 b 的夹角为 60°,则向量 a 在向量 b
向量的数量积PPT(课件)
2
(×)
(×)
(3)若a b | a || b |,则a // b ( √ )
( 4) a a a | a |
2
(√)
(5)若a b 0, 则a与b 中至少有一个为 0.
(×)
2、在ABC中， AB BC 0，则ABC的形状是
A、 锐角三角形
C、 钝角三角形
B、
D、
(2)已知ABC， AB a , AC b ,
直角 三角形。 当a b 0时， ABC为_______
2 2 (3) 已知向量 a满足 a 8，则 | a | _______
2
1、已知 a, b, c 均为非零向量,试 判断下列说法是否正确？
(1)0 a 0 (2)0 a 0
另一个向量 b 在向量 a 方向上的投影 b cos 的乘积。
用向量的几何意义验证
（ 3 ）分配律： ( a b ) c a c b c
向量a、b、a + b 在c上的投影分别是 a OM、MN、 ON, 则 (a + b ) · c = ON |c| O = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = a· c + b· c.
b a
A
θ
┐ θ B1 O
b θ ┓ O(B ) 1
a
Hale Waihona Puke A 2 b cos OB1
(2)
2 b cos 0
（3）
│ b│cosθ叫做向量 b在向量 a 上的投影， │a │cosθ叫做向量 a 在向量 b 上的投影.
5、向量的数量积的几何意义
(×)
(×)
(3)若a b | a || b |,则a // b ( √ )
( 4) a a a | a |
2
(√)
(5)若a b 0, 则a与b 中至少有一个为 0.
(×)
2、在ABC中， AB BC 0，则ABC的形状是
A、 锐角三角形
C、 钝角三角形
B、
D、
(2)已知ABC， AB a , AC b ,
直角 三角形。 当a b 0时， ABC为_______
2 2 (3) 已知向量 a满足 a 8，则 | a | _______
2
1、已知 a, b, c 均为非零向量,试 判断下列说法是否正确？
(1)0 a 0 (2)0 a 0
另一个向量 b 在向量 a 方向上的投影 b cos 的乘积。
用向量的几何意义验证
（ 3 ）分配律： ( a b ) c a c b c
向量a、b、a + b 在c上的投影分别是 a OM、MN、 ON, 则 (a + b ) · c = ON |c| O = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = a· c + b· c.
b a
A
θ
┐ θ B1 O
b θ ┓ O(B ) 1
a
Hale Waihona Puke A 2 b cos OB1
(2)
2 b cos 0
（3）
│ b│cosθ叫做向量 b在向量 a 上的投影， │a │cosθ叫做向量 a 在向量 b 上的投影.
5、向量的数量积的几何意义
高考数学复习第五章平面向量5.3平面向量的数量积文市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
4/44
(3)数量积的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影__|b_|c_o_s__θ_的乘积．
2．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝_a_·_c_＋__b_·c_(分配律)．
26/44
平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为向量 a，b 的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝_x_1_x_2＋__y_1_y_2_. (2)模：|a|＝ a·a＝___x_21_＋__y_21__.
(3)夹角：cos θ＝|aa|·|bb|＝
8/44
解析：①向量 b 在 a 方向上的投影是数量，为|b|cos θ，它可 以为正，可以为负，也可以为 0；
②a·b＞0 与 a 和 b 的夹角为锐角不等价，a·b＞0 还包含 a 和 b 同向的情形．同样 a·b＜0 不仅包含 a 和 b 的夹角为钝角，还包 含 a 和 b 反向的情形；
③由于(a·b)·c 表示一个与 c 共线的向量，a·(b·c)表示一个与 a 共线的向量，而 a 与 c 不一定共线，因此(a·b)·c 与 a·(b·c)不一定 相等，故数量积运算不适合结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)；
5/44
(1)[教材习题改编]在△ABC 中，A→B·B→C>0，则△ABC 是 ___钝__角___三角形．
解析：由向量夹角的定义可知，A→B与B→C的夹角为 π－B，则 A→B·B→C＝|A→B||B→C|cos(π－B)>0，
得 cos(π－B)>0，∴cos B<0，即角 B 为钝角，∴△ABC 为钝 角三角形．
(3)数量积的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影__|b_|c_o_s__θ_的乘积．
2．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝_a_·_c_＋__b_·c_(分配律)．
26/44
平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为向量 a，b 的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝_x_1_x_2＋__y_1_y_2_. (2)模：|a|＝ a·a＝___x_21_＋__y_21__.
(3)夹角：cos θ＝|aa|·|bb|＝
8/44
解析：①向量 b 在 a 方向上的投影是数量，为|b|cos θ，它可 以为正，可以为负，也可以为 0；
②a·b＞0 与 a 和 b 的夹角为锐角不等价，a·b＞0 还包含 a 和 b 同向的情形．同样 a·b＜0 不仅包含 a 和 b 的夹角为钝角，还包 含 a 和 b 反向的情形；
③由于(a·b)·c 表示一个与 c 共线的向量，a·(b·c)表示一个与 a 共线的向量，而 a 与 c 不一定共线，因此(a·b)·c 与 a·(b·c)不一定 相等，故数量积运算不适合结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)；
5/44
(1)[教材习题改编]在△ABC 中，A→B·B→C>0，则△ABC 是 ___钝__角___三角形．
解析：由向量夹角的定义可知，A→B与B→C的夹角为 π－B，则 A→B·B→C＝|A→B||B→C|cos(π－B)>0，
得 cos(π－B)>0，∴cos B<0，即角 B 为钝角，∴△ABC 为钝 角三角形．
高中数学平面向量的数量积(公开课)(共22张PPT)
时，
；
3或－3 3、若 a 1， a、b共线，则 a b b 3， .
（3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向 时， a · b = -| a | · |b| ．
（2）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据)
|b|cos 的乘积。
练习二：
3 a a e 、 e a e 求 在 方向上的数量及 ； （1）e · a=a · e=| a | cos 4 0 o 2、已知a 2， b 3，a 与b 的交角为90 ，则a b
1、已知 a 8， 为单位向量，当它们的夹角为 e
-20
平面向量的数量积的几何意义 a b a b cos
B b
作OA a， OB b ，过点B作 BB1
O
a
垂直于直线OA，垂足为 B1，
B1
A
则 OB1 | b | cosθ
投影：| b | cosθ叫向量 b 在 a 方向上的投影。
几何意义: a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向 上的投影
O 当
A
B
A
O
A O
B
90 ，a 与b 垂直， 记作 a b
B
新课引入
物理中功的概念
F θ
s
一个物体在力F 的作用下产生位
移s，那么力F 所做的功应当怎样计
算？
W | F || s |cos
其中力F 和位移s 是向量，功是数量.
是F的方向 与s的方向 的夹角。
平面向量的数量积的定义
复习回顾
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两个向量 的夹角
向量在轴上 的正射影
向量的 数量积
2 分析背景 形成概念
问题 1 这个物理背景涉及哪些矢量？ 影响功的因素有哪几个？
F
s
W | s || F | cos
b
B
b
a
O
aA
2 分析背景 形成概念
1.两个向量的夹角
已知两个非零向量 a ，b ，作 OA a ，
OB b ，则 AOB称作向量 a 和向量 b 的夹
教学过程
1
2
3
4
5
创
分
应
归
回
设
析
用
纳
顾
情
背
概
性
反
境
景
念
质
思
引
形
探
学
拓
入
成
究
以
展
背
概
性
致
延
景
念
质
用
伸
1 创设情境 引入背景
1 创设情境 引入背景
想一想
大力士拉车,沿着绳
F
子方向上的力为 F ,车的
位移是 s ，力和位移的
夹角为 ，所做的功为
s
多少？
W | s || F | cos
2 分析背景 形成概念
角，记作 a, b .
b
a, b b, a
B
b
a
O
aA
2 分析背景 形成概念
规定
1. 0 a,b ；
b
2.当
a, b
2
时，则称向量
a
a 与向量 b 互相垂直.记作
a b；
3.零向量与任意向量垂直.
2 分析背景 形成概念
找一找
如图，在等腰直角 ABC 中， C 90 ,
求出下列两个非零向量的夹角.
4.性质 1 若 e 是单位向量，则 a e e a | a | cosa, e ， 表示 a 在 e 方向上的正射影的数量.
3 应用概念 探究性质 一例
二练
三探究
3 应用概念 探究性质
讲一讲
例 已知| a | 5 ,| b | 4 , a,b 120 ,求 a b .
3 应用概念 探究性质
教学重点、难点
教学重点
平面向量数量积的定义和性质
教学难点
理解向量在轴上的正射影及其数量； 发现平面向量数量积的性质
教法学法
教学方法
情境式和问题 探究式相结合
学法指导
自主探究与 合作交流
教法 学法
教学手段
多媒体和 导学案
教学过程
物理背景 抽象概括 问题探究
追溯
概念的起源
揭示
概念的内涵
发现
概念的外延
sa
W | s || F | cos F b a b | a || b | cosa,b
W ab
F
s
2 分析背景 形成概念
3.向量的数量积
定义 已知两个非零向量 a , b ，把数量| a || b | cosa,b 叫
做 a 和 b 的数量积(或内积)，记作 a b ，即 a b | a || b | cosa, b .
能力
➢具备数学建模能力 ➢抽象能力有待提高
教学目标
情感态度与 价值观目标
通过物理背景，体 会向量的科学价值, 培养探索精神，提 高应用意识.
教学 目标
过程与方法目标 通过分析实际问题,经历 由特殊到一般、由具体 到抽象的过程；渗透分 类讨论、数形结合等思 想方法.
知识与技能目标
理解向量数量积的 含义及其物理意义 ；初步掌握数量积 的性质；培养抽象 思维能力.
（3） a a | a |2 即| a | a a ；
（4）
(1) AC, AB =___；
C
(2) CA, CB =____；
A
B
(3) CB, BA =____.
错 解 重 现
注意：求两个向量的夹角时要将两个向量平移到同一始点.
2 分析背景 形成概念
问题 2 如何作出力 F 在位移 s 方向上的 分力？它的大小是多少？
F
|
F
|
cos
s
W | s || F | cos
规定 零向量与任一向量的数量积为 0
2 分析背景 形成概念
定义剖析
1.“ ”是内积运算符号，不能省略也不能用“ ”代替；
2.数量积 a b 的结果是一个实数；
3. a b 的几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度| a | 与b 在 a 方向上的正射影的数量| b | cosa,b 的乘积；性质 5Biblioteka | a b || a || b |
辨一辨
(1) 已知 a b ,求 a b 的值.
（2）已知 a b 0 ，试讨论 a 与 b 是否垂直. （3）试比较| a b | 与| a || b | 的大小.
4 归纳性质 学以致用
向量数量积的性质
（1）如果 e 是单位向量，则
a e e a | a | cos a, e ； （2） a b a b 0 ，且 a b 0 a b ；
.
人教B版 数学 必修 4
2.3.1 向量数量积的 物理背景与定义
山东师范大学附属中学 徐同
.
内容提要
教材
学情 分析 分析
教学 目标
教法
学法
教学
过程
设计 说明
教材分析
物理 背景 抽象
减法
加 法
向量 概念
数 量 积
数乘
平面向量 的数量积
代数
几何
三角
学情分析
知识
➢学习向量的概念和线性运算 ➢了解物理背景：力,位移,功
算一算
(1)已知| a | 2 ，| b | 3 ，a b=3,求 a, b .
性质 4 cos a,b a b (| a || b | 0)
| a || b |
(2)已知| a | 2 ,求 a a .
性质 3 a a | a |2 ,即| a | a a
3 应用概念 探究性质
性质 2 a b a b 0且 a b 0 a b
A
a
O
x
O1 A1
al |a|cos
l
2 分析背景 形成概念
2.向量在轴上的正射影
已知向量 a 和轴 l .作 OA a ，过点 O , A 分别作
轴 l 上的垂线，垂足分别为 O1 , A1 ，则向量 O1A1 叫做 向量 a 在轴 l 上的正射影（简称射影），该射影在轴l
上的坐标，称作 a 在轴 l 上 的数量或在轴l 的方向上 的数量记作 a l .
在轴 l 上的正射影的数量 OA1 .
120
A1 O
l
(2) 已知 a,b 45 ,| a | 2 ，| b | 3 ，求
a
a 在 b 方向上的正射影的数量. 4 5
b
已知两个非零向量 a 和 b ， 则| a | cos a,b 叫做
向量 a 在 b 方向上的正射影的数量.
2 分析背景 形成概念
a l | a | cos
A
a
O
x
O1al A1
l
2 分析背景 形成概念
作一作
分别作出图中 OA ，OB ，OC 在轴 l 上的
正射影，并指出所作正射影的数量的符号.
B
A
C
C1
O B 1 A1 l
2 分析背景 形成概念
练一练
A
(1) 已知| OA | 5 , OA,l 120 ,求 OA