高等数学公式手册e
高等数学公式手册
3、截距世方程：x y z 1 abc
平面外任意一点到该平 面的距离：d Ax0 By0 Cz0 D A2 B2 C2
空间直线的方程：x x0 m
y y0 n
z z0 p
t
,
其中s
{m,
n,
p};
x 参数方程： y
x0 y0
mt nt
·正弦定理： a b c 2R sin A sin B sin C
·余弦定理：c2 a2 b2 2abcosC
·反三角函数性质： arcsin x arccos x arctgx arcctgx
2
2
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：
n
(uv)(n) Cnk u (nk )v(k ) k 0
设f x (x0 , y0 ) f y (x0 , y0 ) 0，令：f xx (x0 , y0 ) A, f xy (x0 , y0 ) B, f yy (x0 , y0 ) C
AC 则： AC
B2 B2
0时， AA
0, 0,
( (
x0 x0
, ,
y0 y0
)为极大值 )为极小值
0时， 无极 值
AC
B2
0时, 不确定
重积分及其应用：
f (x, y)dxdy f (r cos ,r sin )rdrd
D
D
曲面z f (x, y)的面积A D
1
z x
2
z y
2
dxdy
平面薄片的重心： x
Mx
x(x, y)d
D
, y
My
y(x, y)d
dx
高等数学常用公式大全
高等数学常用公式大全1.微分学公式：- 导数的定义：若函数y=f(x)在点x0处可导，则其导数为f'(x0)=lim(x→x0)(f(x)-f(x0))/(x-x0)-基本导数公式：- (1) 常数函数的导数：d(C)/dx = 0，其中C为常数- (2) 幂函数的导数：d(x^n)/dx = n*x^(n-1)，其中n为实数- (3) 指数函数的导数：d(e^x)/dx = e^x- (4) 对数函数的导数：d(ln(x))/dx = 1/x- (5) 三角函数的导数：d(sin(x))/dx = cos(x)，d(cos(x))/dx = -sin(x)，d(tan(x))/dx = sec^2(x)，d(cot(x))/dx = -csc^2(x)，d(sec(x))/dx = sec(x)*tan(x)，d(csc(x))/dx = -csc(x)* cot(x)2.积分学公式：- 不定积分的性质：∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx，∫k*f(x)dx = k*∫f(x)dx，其中f(x)和g(x)是可积函数，k是常数-基本积分公式：- (1) 幂函数的不定积分：∫x^n dx = (1/(n+1))*x^(n+1) + C，其中n不等于-1- (2) 指数函数的不定积分：∫e^x dx = e^x + C，其中C为常数- (3) 对数函数的不定积分：∫1/x dx = ln，x， + C- (4) 三角函数的不定积分：∫sin(x) dx = -cos(x) + C，∫cos(x) dx = sin(x) + C，∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C，∫cot(x) dx = ln，sin(x)， + C，∫sec(x) dx = ln，sec(x)+tan(x)， + C，∫csc(x) dx = ln，csc(x)-cot(x)， + C3.微分方程公式：- 一阶线性微分方程：dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数，分别称为系数函数和非齐次项函数。
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PKU
高等数学公式手册
概念•定理高等数学 B 和 C 及全国硕士研究生入学统一考试数学一和数学二的复习备考
高数常用公式手册
常用高数公式∙ 1、乘法与因式分解公式 ∙ 2、三角不等式∙ 3、一元二次方程的解∙ 4、某些数列的前n 项和 ∙ 5、二项式展开公式 ∙ 6、基本求导公式 ∙ 7、基本积分公式∙ 8、一些初等函数 两个重要极限 ∙ 9、三角函数公式 正余弦定理 ∙ 10、莱布尼兹公式 ∙ 11、中值定理∙ 12、空间解析几何和向量代数 ∙ 13、多元函数微分法及应用 ∙ 14、多元函数的极值 ∙ 15、级数∙16、微分方程的相关概念1、乘法与因式分解公式1.11.21.4 123221()()n n n n n n n a b a b a a b a b ab b -----+=+-+--+ （n 为奇数）2、三角不等式2.12.22.32.42.63、一元二次方程的解3.2(韦达定理)根与系数的关系：4、某些数列的前n项和4.24.34.75、二项式展开公式6、基本求导公式：7、基本积分公式：xx x x x x x xx ax x e e a a a x x C C a xx x x 221cos 1sec )(tan sin )(cos cos )(sin 1)(ln ln 1)(log )(ln )(()((0)(=='-='='='='='='='='-为实数）为常数）αααα22222211)cot (11)(arctan 11)(arccos 11)(arcsin cot csc )(csc tan sec )(sec sin 1csc )(cot x x arc x x x x x x xx x x x x xx x +-='+='--='-='⋅-='⋅='-=-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=⋅+=⋅+-==+==+=-+=++-=++=Cx xdx x C x dx x x Cx xdx x dx C x xdx x dx Cx x dxCx x dxCx x xdx Cx x xdx csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos arcsin 1arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec 2222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=+=+=+=+=-≠++==+Cx xdx C x xdx Ca a dx a C e dx e Cx dx x C x dx x Cdx xxx x cos sin sin cos ln ln 1)1(101αααα8、一些初等函数： 两个重要极限：9、三角函数公式：·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαcot cot 1cot cot )cot(tan tan 1tan tan )tan(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(±⋅=±⋅±=±=±±=± x xarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cot cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12tan2cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±= ·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：x arc x x x cot 2arctan arccos 2arcsin -=-=ππ10、高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑11、中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
高等数学公式手册
高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：ax x aa a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x adx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Caxa x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式：xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xxxx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·和差角公式： ·和差化积公式：·倍角公式：·半角公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( αααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=-=-=αααααααααααααα222222122212sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=-=-=-=-==αααααααααααααααα1sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg ·正弦定理：RC cB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgxarctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
高等数学公式手册模板.
高等数学公式手册一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式：·和差化积公式：·倍角公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμxxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ导数公式：基本积分表：αααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=-=-=αααααααααααααα222222122212sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=-=-=-=-==ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
最全高等数学公式手册
= ∫ sec 2 xdx = tgx + C
∫a
∫ sec x ⋅ tgxdx = sec x + C ∫ csc x ⋅ ctgxdx = − csc x + C
ax ∫ a dx = ln a + C
x
2
∫ shxdx = chx + C ∫ chxdx = shx + C ∫
dx x ±a
2 2
平面的方程： 1、点法式：A( x − x0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0，其中n = { A, B, C}, M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) 2、一般方程：Ax + By + Cz + D = 0 x y z 3、截距世方程： + + = 1 a b c 平面外任意一点到该平面的距离：d = Ax0 + By0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2
高等数学复习公式
高等数学公式
导数公式：
(tgx)′ = sec 2 x (ctgx)′ = − csc 2 x (sec x)′ = sec x ⋅ tgx (csc x)′ = − csc x ⋅ ctgx (a x )′ = a x ln a (log a x)′ =
基本积分表：
(arcsin x)′ =
三角函数的有理式积分：
2u 1− u 2 x 2du sin x = ， cos x = ， u = tg ， dx = 2 2 2 1+ u 1+ u 2 1+ u
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高等数学复习公式
高数公式总结
高等数学公式汇总第一章一元函数的极限与连续1、常用初等函数公式：和差角公式：sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβcos(α±β)=cosαcosβm sinαsinβtanα±tanβ1m tanα⋅tanβcotα⋅cotβm1cot(α±β)=cotβ±cotαsh(α±β)=shαchβ±chαshβtan(α±β)=ch(α±β)=chαchβ±shαshβ和差化积公式：22α+βα−βsinα−sinβ=2cos sin22α+βα−βcosα+cosβ=2cos cos22α+βα−βcosα−cosβ=2sin sin22 sinα+sinβ=2sinα+βcosα−β积化和差公式：1sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α−β)]21cosαsinβ=[sin(α+β)−sin(α−β)]21cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α−β)]21sinαsinβ=[cos(α+β)−cos(α−β)]2倍角公式：sin2α=2sinαcosαcos2α=2cos2α−1=1−2sin2α=cos2α−sin2α2tanα1−tan2αcot2α−1cot2α=2cotαsh2α=2shαchαtan2α=ch2α=1+2sh2α==2ch2α−1=ch2α+sh2αsin 2α+cos 2α=1;tan 2x +1=sec 2x ;cot 2x +1=csc 2x ;ch 2x −sh 2x =1半角公式：sin cos tan cot α2=±=±=±=±1−cos α21+cos α21−cos α1−cos αsin α== 1+cos αsin α1+cos α1+cos α1+cos αsin α==1−cos αsin α1−cos αα2α2α2e x −e −x 双曲正弦:shx =；反双曲正弦:arshx =ln(x +x 2+1）2e x +e −x双曲余弦:chx =；反双曲余弦:archx =±ln(x +x 2−1)2shx e x −e −x 11+x双曲正切:thx ==x −x ；反双曲正切:arthx =lnchx e +e 21−x(a 3±b 3)=(a ±b )(a 2m ab +b 2)，12+22+L +n 2=n (n +1)(2n +1)6n 2(n +1)21+2+L +n =43332、极限➢常用极限：q <1,lim q n =0;a >1,lim n a =1;lim n n =1n →∞n →∞n →∞➢若f (x )→0,g (x )→∞,则lim[1±f (x )]➢两个重要极限g (x )=elimln(1+f (x ))1/g (x )ln(1+f (x ))~f (x )⎯⎯⎯⎯⎯⎯→e ±lim[f (x )g (x )]1sin x sin x 1x lim =1,lim =0;lim(1+)=e =lim(1+x )xx →0x →∞x →∞x →0x x x ➢常用等价无穷小:1−cos x ~121x ;x ~sin x ~arcsin x ~arctan x ;n 1+x −1~x ;2na x −1~x ln a ;e x ~x +1;(1+x )a ~1+ax ;ln(1+x )~x3、连续：定义：lim ∆y =0;lim f (x )=f (x 0)∆x →0x →x 0−+极限存在⇔lim f (x )=lim f (x )或f (x )=f (x )00−+x →x 0x →x 0第二章导数与微分基本导数公式：f (x 0+∆x )−f (x 0)f (x )−f (x 0)∆y=lim=lim =tan α∆x →0∆x ∆x →0x →x 0∆x x −x 0f '(x 0)=lim −+导数存在⇔f _'(x 0)=f +'(x 0)C '=0; (x a )'=ax a −1; (sin x )'=cos x ; (cos x )'=sin x ; (tan x )'=sec 2x ; (cot x )'=−csc 2x ;(sec x )'=sec x ⋅tan x ; (csc x )'=−csc x ⋅ctgx ; (a x )'=a x ln a ;(e x )'=e x ;1111; (ln x )'=; (arcsin x )'=; (arccos x )'=−;22x ln a x 1−x 1−x 11'(arctan x )'=; (arc cot x )=−; (shx )'=hx ;(chx )'=shx ;221+x 1+x 1111(thx )'=2; (arshx )'=; (archx )'=;(arthx )'=2ch x x −11+x 2x 2−1(log a x )'=2、高阶导数：(x n )(k )=n !x n −k ⇒(x n )(n )=n !; (a x )(n )=a x ln n a ⇒(e x )(n )=e x (n −k )!1(n )(−1)n n !1(n )(−1)n n !1(n )n !()=; ()=; ()=x x n +1x +a (x +a )n +1a −x (a −x )n +1ππ(sin kx )(n )=k n ⋅sin(kx +n ⋅); (cos kx )(n )=k n ⋅cos(kx +n ⋅);22[ln(a +x )](n )=(−1)n −1(n −1)!1(n −1)(n )n −1(n −1)!⇒[ln(x )]=()=(−1)n n(a +x )x x 牛顿-莱布尼兹公式：(uv )(n )k (n −k )(k )=∑C nu v k =0n=u (n )v +nu (n −1)v '+n (n −1)(n −2)n (n −1)L (n −k +1)(n −k )(k )u v ''+L +u v +L +uv (n )2!k !3、微分：∆y =f (x +∆x )−f (x )=dy +o (∆x );dy =f '(x 0)∆x =f '(x )dx ;连续⇒极限存在⇔收敛⇒有界;不连续⇒不可导可微⇔可导⇔左导=右导⇒连续；第三章基本定理微分中值定理与微分的应用拉格朗日中值定理：f (b )−f (a )=f '(ξ)(b −a ),ξ∈(a ,b )f (b )−f (a )f '(ξ)柯西中值定理：=,ξ∈(a ,b )F (b )−F (a )F '(ξ)当F(x )=x 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
最全高等数学公式
曲率：
QQ 群 429215261 整理
2016
弧微分公式：ds 1 y2 dx,其中y tg
平均曲率：K . : 从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；s：MM 弧长。 s
M点的曲率：K lim d
y .
s0 s ds
(1 y2 )3
直线：K 0;
半径为a的圆：K 1 . a
定积分的近似计算：
2
2
QQ 群 429215261 整理
2016
·倍角公式：
sin 2 2sin cos
cos 2 2 cos2 1 1 2sin2 cos2 sin2
ctg 2 ctg 2 1 2ctg
tg 2
2tg 1 tg 2
sin 3 3sin 4sin3
cos 3 4 cos3 3cos
ln a
shxdx chx C
chxdx shx C dx ln(x
x2 a2
x2 a2 )C
In
2 0
sin n
xdx
2
0
cos n
xdx
n
n
1
I
n2
x2 a2 dx x x2 a2 a2 ln(x x2 a2 ) C
2
2
x2 a2 dx x x2 a2 a2 ln x x2 a2 C
tg 3
3tg tg 3 1 3tg 2
·半角公式：
sin 1 cos cos 1 cos
2
2
2
2
tg 1 cos 1 cos sin ctg 1 cos 1 cos sin
2 1 cos sin 1 cos
2 1 cos sin 1 cos
大学数学公式手册
- 1 -高等数学公式手册一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：xx arthx x x archx x x arshx ee e e chxshx thx ee chx ee shx xxx x xxxx-+=-+±=++=+-==+=-=----11ln 21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim==+=∞→→e xx x xx x- 2 -·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin2cos2sin sin 2cos 2sin 2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(- 3 -·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctgtg·正弦定理：RCc BbA a 2sin sin sin ===·余弦定理：Cab b a ccos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgxarctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππαααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=-=-=αααααααααααααα222222122212sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=-=-=-=-==- 4 -导数公式： 基本积分表：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a xxln 1)(logln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin xarcctgx xarctgx xx xx +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x ax dx Cshx chxdx C chx shxdx Caadx aC x ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx xdxC tgx xdx x dxxx)ln(ln csc csc sec sec csc sinsec cos 22222222Cax xa dxCx a x a ax a dx C a x a x a a x dx C ax arctg a x a dxC ctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdxC x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Ca x ax a x dx x a Ca x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n nnn arcsin22ln 22)ln(221cos sin22222222222222222222220ππ- 5 -三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin udu dx x tg u uu x uu x +==+-=+=， ， ， 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k nn uvvuk k n n n v un n v nuv uvuCuv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
高等数学公式大全
(tgx)′ = sec2 x
(ctgx)′ = − csc2 x
(sec x)′ = sec x ⋅tgx
(csc x)′ = − csc x ⋅ ctgx
(a x )′ = a x ln a
(log a
x)′
=
1 x ln a
高等数学公式
(arcsin x)′ = 1 1− x2
(arccos x)′ = − 1 1− x2
=
0， dy dx
=
−
Fx Fy
， d 2 y dx 2
=
∂ ∂x
(−
Fx Fy
)＋ ∂ ∂y
(−
Fx Fy
)⋅
dy dx
隐函数F (x, y, z) = 0， ∂z = − Fx ， ∂z = − Fy
∂x Fz
∂y Fz
∂F ∂F
⎧F (x, 隐函数方程组：⎩⎨G(x,
y,u,v) y,u,v)
2、过此点的切平面方程：Fx (x0 , y0 , z0 )(x − x0 ) + Fy (x0 , y0 , z0 )( y − y0 ) + Fz (x0 , y0 , z0 )(z − z0 ) = 0
3、过此点的法线方程： x − x0 = y − y0 = z − z0 Fx (x0 , y0 , z0 ) Fy (x0 , y0 , z0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )
2
2
a
sin
x
=
2u 1+ u
2
， cos
x
=
1− 1+
u u
2 2
， u
=
tg
高数的全部公式大全
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高等数学复习公式
·倍角公式：
sin 2α = 2 sin α cos α cos 2α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = cos 2 α − sin 2 α ctg 2α − 1 ctg 2α = 2ctgα 2tgα tg 2α = 1 − tg 2α
高等数学复习公式
高等数学公式
导数公式：
(tgx)′ = sec 2 x (ctgx)′ = − csc 2 x (sec x)′ = sec x ⋅ tgx (csc x)′ = − csc x ⋅ ctgx (a x )′ = a x ln a (log a x)′ =
基本积分表：
1 x ln a
2 2 2 2 2 2
k a z , c = a ⋅ b sin θ .例：线速度：v = w × r . bz ay by cy az bz = a × b ⋅ c cosα ,α为锐角时， cz
ax [ a b c ] = ( a × b ) ⋅ c = bx 向量的混合积： cx
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
代表平行六面体的体积。
ctg -ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα
·和差化积公式：
sin(α ± β ) = sin α cos β ± cosα sin β cos(α ± β ) = cosα cos β ∓ sin α sin β tgα ± tgβ tg (α ± β ) = 1 ∓ tgα ⋅ tgβ ctgα ⋅ ctgβ ∓ 1 ctg (α ± β ) = ctgβ ± ctgα
⎧ x = x0 + mt x − x0 y − y 0 z − z 0 ⎪ = = = t , 其中s = {m, n, p}; 参数方程： 空间直线的方程： ⎨ y = y0 + nt m n p ⎪ z = z + pt 0 ⎩ 二次曲面： x2 y2 z2 1、椭球面： 2 + 2 + 2 = 1 a b c 2 2 x y , p, q同号） 2、抛物面： + = z（ 2 p 2q 3、双曲面： x2 y2 z 2 单叶双曲面： 2 + 2 − 2 = 1 a b c 2 2 x y z2 1 双叶双曲面： 2 − 2 + 2 =（马鞍面） a b c
高等数学公式手册
高等数学公式手册- 2 -高等数学公式手册一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx x x -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x- 3 -- 4 -·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμ- 5 -·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：Cab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ αααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=-=-=αααααααααααααα222222122212sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=-=-=-=-==- 6 -导数公式： 基本积分表：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ- 7 -三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
高等数学公式大全
π
π
∫ ∫ In
=
2 0
sin n
xdx
2
=
0
cos n
xdx
=
n −1 n
In−2
∫ x2 + a2 dx = x x2 + a2 + a2 ln( x + x2 + a2 ) + C
2
2
∫ x2 − a2 dx = x x2 − a2 − a2 ln x + x2 − a2 + C
2
2
∫ a2 − x2 dx = x a2 − x2 + a2 arcsin x + C
∂x ∂y
它与方向导数的关系是：∂f
�
�
�
�
= grad f (x, y) ⋅ e，其中e = cosϕ ⋅ i + sinϕ ⋅ j，为l方向上的
∂l
单位向量。
∴ ∂f 是gradf (x, y)在l上的投影。 ∂l
多元函数的极值及其求法：
设 f x ( x0 , y 0 ) = f y ( x0 , y 0 ) = 0，令： f xx ( x0 , y 0 ) = A, f xy ( x0 , y 0 ) = B , f yy ( x0 , y 0 ) = C
⎪⎩ z = z0 + pt
二次曲面：
1、椭球面：x a
2 2
+
y2 b2
+
z2 c2
=1
x2 y2 2、抛物面： + = z（, p,q同号）
2 p 2q
3、双曲面：
单叶双曲面：x2 + y 2 − z 2 = 1 a2 b2 c2
高等数学所有公式
高等数学所有公式高等数学涵盖了多个方向和领域，包括微积分、线性代数、常微分方程等。
下面列出一些高等数学中常见的公式：微积分方面：1. 导数定义：$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$2. 基本导数公式：$(C)'=0$、$(x^n)'=nx^{n-1}$、$(\sin x)'=\cos x$、$(\cos x)'=-\sin x$、$(e^x)'=e^x$、$\left(\lnx\right)'=\frac{1}{x}$等3. 链式法则：$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$积分与不定积分方面：1. 不定积分定义：$\int f(x)dx=F(x)+C$2. 基本积分公式：$\int x^n dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$、$\int \sin x dx=-\cos x +C$、$\int \cos x dx=\sin x+C$、$\int e^x dx=e^x +C$3. 牛顿-莱布尼茨公式：$\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$级数与数列方面：1. 数列极限的定义：$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$2. 数列收敛的判定：夹逼准则、单调有界准则等3. 级数收敛的判定：比较判别法、比值判别法、根值判别法等4. 幂级数的收敛半径：$\frac{1}{R}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\ri ght)$线性代数方面：1. 矩阵的逆：若$AB=BA=I$，则称$A$是可逆矩阵，且$B$为$A$的逆矩阵，记作$A^{-1}$2. 矩阵行列式：设$A=(a_{ij})_{n\times n}$为$n$阶矩阵，则$|A|=\sum\limits_{j=1}^n(-1)^{i+j}a_{ij}\cdot M_{ij}$，其中$M_{ij}$为元素$a_{ij}$的代数余子式3. 特征值与特征向量：设$A$为$n$阶矩阵，若存在数$\lambda$和非零向量$X$，使得$AX=\lambda X$，则称$\lambda$为$A$的特征值，$X$为对应于$\lambda$的特征向量常微分方程方面：1. 一阶线性常微分方程：$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$，其中$P(x)$和$Q(x)$为已知函数2. 二阶常系数齐次线性方程：$a\frac{d^2y}{dx^2}+b\frac{dy}{dx}+cy=0$，其中$a,b,c$均为常数3. 欧拉公式：$e^{ix}=\cos x + i\sin x$，其中$i$为虚数单位需要注意的是，以上只列举了部分高等数学中的公式，且实际应用中还涉及到更多的公式和概念。
(完整版)高数常用公式手册
高等数学复习公式1、乘法与因式分解公式2、三角不等式■Ti3、一元二次方程U H-珀+巴=0 的解4、某些数列的前n项和5、二项式展开公式6、基本求导公式7、基本积分公式8—些初等函数两个重要极限9、三角函数公式正余弦定理10、莱布尼兹公式11、中值定理12、空间解析几何和向量代数13、多元函数微分法及应用14、多元函数的极值15、级数16、微分方程的相关概念1、乘法与因式分解公式1.1a3'—护=（口一卜）（& + b）1.2八土护干必十們n ■ n / ■ 、/ n 1 n 2.g a b (a b)(a a b2、三角不等式2.1 匕■. J -2.2 ■' > r - L2.3 二；•- * 门'2.4 ■- ■- ■- r - ■■- 2.6|训£ b 旨一常用高数公式(a-b)(a n~ (口十&)(厂十络十a" 皆---------------- a b n~2十矿+ ft Q —& t1+ '■' + fit —Q J伉为正整数）g为偶数）n 3 2 n 2 n 1、a b L ab b )( n 为奇数)3、一元二次方程 。
十+斑十的解3.2（韦达定理）根与系数的关系:r >0万程口恂定一黄恨， 3-3利别朮 沪-伽彳=0方程有相尊二买抿”I < U 方程有决辄肆琅.4、某些数列的前 n 项和4.1T r - 亦 + 1）1十2十3十…•十沖= ------ ---- 4.21 十3 + B+ —十（2⑺一1） = □& 4.32+4 + 5+ ■■■ + （2 外）=n （n 十 1）44［十沪十护十…十卅=巾+ 1）帥+ 1）64.5 f 十护十扌十…十（亦章=吧-1）a4.61彳+尸+*+…+异+44.7P+孑十用+…十（加一⑵^一 1）4.81卄也十L ）=*十挈+可'J5、二项式展开公式5.1 （一时—+严时答2-沪十捫一％一宀…+7 !U p+止土色土^右 忖十十屮Jd!6、基本求导公式:(C) 0 (C为常数)(cot x) csc 2 xsin "2x (sec x)(csc x)sec x tan xesc x cot x (arcsin x)(log a x)1 1(ln x)x x ln a(sin x) cos x (cos x) sin x(tan x) sec2 x1 cos2 x(x ) x 1 (为实数) (a x) a x lna (e x) e x(arccos(arctan7、基本积分公式：0dx x) x)(arc cot x)1 x211 ~x7x dx 1)Idx xxe dx lnxsec xdx ln secx tan x Ccsc xdx ln cscx cot x Cdxarctan x C1 x2dxarcsin x C疋1e x Ca x dxx—C Inadx2~ cosx2sec xdx tancosxdx sin x Csin xdx cosx C 8、一些初等函数：两个重要极限:双曲正弦:shx 双曲余弦:chxx x e e2x x e e2双曲正切:thxshx x echx x e arshx ln (x x2 1) archx ln (x .x21)xeedx2sin x2csc xdx cot x Csec x tan xdxcscx cot xdxlimx 0lim(1丄厂x xsecxcscx Ce 2.718281828459045…arthx Iln 1_-2 1 x 9、三角函数公式:高等数学复习公式sinsin 2si n-cos22sinsin2 cos-sin22 coscos2 cos-cos-22 coscos 2 sin --sin -22■倍角公式:■半角公式:c os —21 cosV 2cot —21cos 1 cos sin 1 cossin 1 cos柯西中值定理： 当F(x) x 时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理sin( )sin cos cos sin cos()cos cos sin sintan() tan tan 1 tan tan、 cot cot 1cot()cot cot■和差化积公式:sin2tan — 2■正弦定理: a sin A b sin B — 2R •余弦定理：c 2 sin C 2 2a b 2abcosC•反三角函数性质： arcs in x arccosx arcta n x —arc cot x2(uv)(n) n C ：u (nkJ)u (n)v (n 1) nu v n(n 1)u(n 2)vn(n 1) (n k 1) (n k )v(k )10、高阶导数公式一一莱布尼兹( Leibniz )公式： 2!k!11、中值定理与导数应用: U V(n)拉格朗日中值定理: f(b) f(a) f ( )(b a)■和差角公式:si n2 cos2 cot2 tan22sin cos 22 cos 1 cot 2 12cot 2ta n 1 tan 21 2si n 22cos.2 sinsi n3 3sin4s in 3cos3 4CO £3 cos tan33ta n tan 321 3ta n12、空间解析几何和向量代数:空间2点的距离：d M 1M 2 向量在轴上的投影：Pr j u ABPrj u@1 a ?) Pr ja 1 Prja ?a b cos a x b xa zb z ,是一个数量,代表平行六面体的体积平面的方程:1、点法式：A(x X o ) B(y y o ) C(z z o ) 0,其中 n{代 B,C}, M o (x o , y o ,z o )2、一般方程：Ax By Cz D o3、截距世方程：△ y z -1a b c平面外任意一点到该平面的距离:|Ax o By o d -- ------------- Cz o D〜 、‘A 2 B 2 C 2x X o mt空间直线的方程：xX o y y ozzt,其中s {m,n, p};参数方程：y y o ntmnPPtz z o二次曲面：22 21、椭球面：y_ 刍1 ab 2 c222、抛物面：丄 y_ z,(p, q 同号)2p 2q3、双曲面：222单叶双曲面：务y_ 刍1 ab 2c 222双叶双曲面：qy ~~2刍1（马鞍abc13、多元函数微分法及应用两向量之间的夹角: cos axb ： x 2 2 一 a xa y a yb y T~' 2 a z ... b x a z b z 2 2 b y b zcab a xb x ay b y k a z ，c b z a b sin 例：线速度: 向量的混合积: [abc] (a b) c a x b x ayb y C ya zb z Czc cos ,为锐角时, (X 2 X 1)2 Q2 yJ 2 (Z 2 Z 1)2 AB cos ,是AB 与u 轴的夹角。
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238高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ239222212211cos 12sin ududx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x240·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(241·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：x x F f a F b F a f b f a b f a f b f =''=---'=-)(F )()()()()()())(()()(ξξξ曲率：αααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=-=-=αααααααααααααα222222122212sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=-=-=-=-==242.1;0.)1(lim M s M M :.,13202aK a K y y ds d s K M M sK tg y dx y ds s =='+''==∆∆='∆'∆∆∆==''+=→∆的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。
：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：ααααα定积分的近似计算：⎰⎰⎰----+++++++++-≈++++-≈+++-≈ban n n ban n ba n y y y y y y y y nab x f y y y y n a b x f y y y nab x f )](4)(2)[(3)(])(21[)()()(1312420110110 抛物线法：梯形法：矩形法：定积分应用相关公式：⎰⎰--==⋅=⋅=bab a dt t f a b dx x f a b y k rm m kF Ap F s F W )(1)(1,2221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功： 空间解析几何和向量代数：243。
代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。
与是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθϕϕ,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(2222222212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a kj ib ac b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u j z z y y x x M Md zyxz y xz y xzyxz y xzy x z y x zz y y x x z z y y x x u u⋅⨯==⋅⨯=⨯=⋅==⨯=++⋅++++=++=⋅=⋅+=+=-+-+-==（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,,22211};,,{,1302),,(},,,{0)()()(1222222222222222222220000002220000000000=+-=-+=+=++⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+===-=-=-+++++==++=+++==-+-+-cz b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x ptz z nty y mtx x p n m s t p z z n y y m x x C B A DCz By Ax d czb y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A244多元函数微分法及应用zy z x y x y x y x y x F F y zF F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy yvdx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u xvv z x u u z x z y x v y x u f z tvv z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz zu dy y u dx x u du dy y z dx x z dz -=∂∂-=∂∂=⋅-∂∂-∂∂=-==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==∆+∆=≈∆∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=， ， 隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式： 时，，当 ：多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F vG uG v FuF v uG F J v u y x G v u y x F vu v u ∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=⎩⎨⎧== 隐函数方程组：微分法在几何上的应用：245),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx y x x z x z z y z y -=-=-=-+-+-==⎪⎩⎪⎨⎧====-'+-'+-''-='-='-⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：上的投影。