武汉大学信号与系统练习题

C
=
2F , L
=
1 2
H,
R
= 1Ω,
电流源
i(t)
=δ
(t) ，已知电容上的初始电压
uc (0)
= 1V
，
电感上的初始电流 iL (0) = 0 A 。试求电阻 R 两端电压的全响应。（解析 P36）
20.已知系统的输入 x(t) 和输出 y(t ) 之间的关系为 dy(t) + ay2(t) = bx(t) ，说明此系统是否为线性时不变记忆因果 dt
x(t)
以取样间隔 Ts 进行均匀取样的结果，即 x(n) = x(nTs ) = e jΩ0nTs = e jω0n 。试求出使 x(n) 为周期信号的条件。（指
导 P36） 13.完成下列运算
∫ ∫ ①
+∞
δ
'(t
−τ
)f
(τ
− 1)dt
② t (t − 2)δ (t )dt
③ d [u(t)u(t −1)]
① cos tu(t) ② e−tu(t) ③ te−tu(t) ④ e− t
5. 画出函数波形图： f (t) = u(t 2 −1) （指导 P12）
6.已知 f (t) = tu(t) − 2u(t − 1)+ (2− t )u(t − 2),画出 f (t)波形。（指导 P13）
7.根据 1.10 图中 f (−3+ 2t ) 的波形，画出 f (t) 波形。（指导 P18）
④当输出 f2(t ) = (e−t + e−2t )u(t ) 时，输出响应为 (e−t + e−2t )u(t ) ； 当 t > 0时，求当输出 f2(t ) = (e−t − e−2t )u(t ) 时，系统输入响应。（解析 P29）
12.设一个线性时不变系统，当输入 f1(t) 时，输出为 y1(t) ，如图所示，已知现在输出为 f2 (t ) ，试求（解析 P29）
（指导 P45）
−∞
0−
3
dt
14.题 1.26 图示信号可以表示为 y(n) = Acos(2π Fn +θ ) ，求表达式中的常数。（指导 P45）
15.判断下列信号是否为周期信号，若是周期信号，求其周期 N 。
nπ
nπ
① x(n) = sin −2cos
② x(n) = 2e j0.3πn + 3e j0.4πn
9.已知离散信号 x1(n) = n[u(n) − u( n − 6)], x2( n) = u( n + 6) − u( n +1) ，求卷积 s(n) = x1(n) ∗ x2(n) 。（ 指
导 P113）
10.系统 1 是 y(n) = 0.5 y(n −1) + x(n) 描述的低通滤波器，系统 2 由 h2(n) = δ (n) − 0.5δ (n −1) 描述。
①先断开 K1 ，求 i2 (t ) ? ②当①达到稳态时，再断开 K2 ，求 i2 (t ) ?（解析 P31） 15. RC 系统及其激励波形如图所示，在 t = 1秒时测得电容上的电压为 0V，如以电阻上电压为输入，求零状态响应和
零输入响应。（解析 P32）
16.电路如图所示， t = 0 以前开关位于 “1”且系统处于稳定。当 t = 0 时，开关从 “1”扳到“2”，求全响应电流 i(t ) 。（解析 P33）
t −2
第三章 1.一信号处理过程：每当收到一个数据，就将此数据与前一步的处理结果平均。求这一信号处理过程的输入输出关系。 （书 P78） 2.下列信号中那些不是周期的：（ ）（解析 P46）
A. cos(nπ / 2) ⋅cos( nπ / 4) B. cos(n/8 −π) C. sin(6π / 7 +1) D. cos(n2π /8)
8.已知信号
f (t) 的频谱为 F(ω) = πδ (ω − ω0 ) +
1 j (ω − ω0 ) ， ω0 为一实数，求
f (t ) 。（ 书 P135）
9.已知 y(t ) ∗ d y(t ) = (1− t )e−tu(t ),求 y(t )。（ 书 P135） dt
10.证明图 4.9.2 所示的示波器输入衰减器是无失真传输系统，其中 R1C1 = R2C2 （书 P141） 11.已知 f (t ) 的波形如图所示，试求其傅里叶级数表达式（解析 P68）
。（解析 P23）
②某线性时不变系统的冲激响应如图所示，且 y(t ) = f (t ) ∗ h(t )，若欲确定 y(0) 之值，则只需要知道 f (t )
在 时间上的波形即可。
∫1
7.已知 g (t ) = a
t+ a
2 t−a
f
(τ
)dτ
, g (t ) 的波形如图所示，求
f
(t ) 。（解析
4.求信号
f
(t) =
1 t2
的频谱。（书 P125）
5.求图 4.5.7 所示信号的 f (t) 频谱。（书 P128）
6.求 F(ω) = jπ sgn( t) 对应的时域信号 f (t) 。（ 书 P133）
1
7.已知信号 f (t) 的频谱 F (ω ) = ( jω + 1)( jω + 2) 2 ，求 f (t) 。（ 书 P135）
17.信号 f (t) = 4cos20π t + 2cos30π t 的平均功率为
。（解析 P34）
18.已知一个 LTI 系统，当其输入 f (t ) = sint ⋅ u(t ) 时，系统的零状态响应 y(t ) 如图所示，求此系统的单位冲激响
应 h(t ) ，并画出其波形。（解析 P36）
19. 某电路如图所 示， 其中
10.电路如图所示， t = 0 前开关位于 1，且系统处于稳态，当 t = 0 时开关从 1 到 2，试写出 i(t ) 及其一阶导数在
0−,0 + 时刻的取值， i(0− ) =
； i(0+ ) =
； i'(0−) =
析 P27）
11.已知某因果 LTI 系统：Y (s) = F1(s)H1(s) + F2(s )H 2(s )
第四章
1.设图 4.2.1 所示的周期矩形脉冲信号中， E = 1,T = 1 s ,τ = 1 s , 求频带[0, 2π ] 内各谐波功率之和占信号总功率
4
20
τ
的比例。（书 P109）
2.求单位冲激信号δ (t) 的频谱密度函数，并写出它的频域分解形式。（书 P115）
3.求单位阶跃信号 u(t) 的频谱。（书 P115）
4
24
n
③ x(n) = ( j)2
第二章
1.已知 f (1− 2t) 的波形图如图所示，求 f (t ) 的波形图。（书 P27）
2.求 u(t −1) ∗[u(t − 2) −u(t − 3)]（书 P36）
3.设系统方程为 ( p +1)3( p + 2) y(t) =(4 p3 +16 p2 +23 p +13) f ( t) ，求其冲激响应。（书 P47）
； i'(0+) =
。（ 解
当 t > 0时有：① f1(t) = 0 ②当输出 f2(t ) = (e−t + 2e−2t )u(t ) 时，输出响应为 (e−t + 5e−2t )u(t) ； ③当输出 f2(t ) = (2e−t + e−2t )u(t )时，输出响应为 (5e−t + e−2t )u(t) ；
+3 dt
+ 2y(t) = 2x(t)，初始条件 y(0) = 0 ，
dt
= 3，抽样间隔或步
t =0
长T = 0.1，试导出其差分方程。（解析 P50）
8.已知 y(n) − y(n −1) − 2 y(n − 2) = u( n) ， y(0) = 0 ， y(1) =1
求： y(n) 的零输入响应 yx (n) 和零状态响应 y f (n) （要用经典解）（解析 P53）
①求串联系统对于输入 x(n) = 2(0.5) nu( n) 的输出。
②求串联系统对于输入 x(n) = δ (n) 的输出。
③这两个系统有何关系？（指导 P124）
11.例 2.51 图中所示滤波器的冲激响应为 h(n) = δ (n) − δ (n − 1) ，求描述 y(n) 和 x(n) 的差分方程。（指导 P126）
4.设系统方程为 y' (t) − λ y(t) = f (t) ，输入信号 f (t ) = eεt u(t ),ε ≠ λ, y(0− ) = a，求系统的全响应。（书 P54）
5.若 y(t) = f (t)∗ h(t )，则 百度文库 (2t) ∗ h(2t) =
。（解析 P22）
∫ 6. ① 4 t2 ⋅δ ' (t −1)dt = −4
①求使得两个系统都成为线性系统的 a 值。
②求使得两个系统都成为因果性系统的 a 值。
③求使得两个系统都成为时不变系统的 a 值 。（指导 P75）
∫ 23.已知某一 LTI 系统对激励 e(t )的零状态响应 rzs (t ) =
∞ et−τe (τ − 1)dτ ，求该系统的单位冲激响应。（指导 P99）
第一章 1.判断下列系统的线性、时不变性、因果性和记忆性。（解析 P7）
dy(t )
①
+10 y(t)
=
f (t)
② dy(t) + y(t) = f (t + 10)
dt
dt
③ dy(t) + t2 y(t) = f (t) ④ y(t) = f (t + 10) + f 2 (t) dt
2.判断下列系统的线性、时不变性和因果性。（解析 P7）
∫② t e−3τδ '(τ )dτ −∞
11.求信号 x(n) = e j0.2nπ + e− j0.3nπ 的周期。（指导 P36）
∫③
+∞
δ
'
(t 2
−
9)dt
−∞
（指导 P24）
12.设 x(t) 是复指数信号： x(t)
= e jΩ0t ，其角频率为 Ω0 ，基本周期为T0
=
2π Ω0
。如果离散时间序列是通过对
1 8.已知 f (t) 波形波形如例 1.11 图所示，试画出 f (− t − 2)的波形。（指导 P19）
2
9.已知 f (5 − 2t) 的波形如图例 1.12 图所示，求 f (t ) 波形。（指导 P20）
10.求下列函数值
∫① ∞ (t4 + 6t3 +5t2 +2)δ '(t −1)dt 0
P25）
2
8.已知：
① f1(t) ∗tu(t ) = (t −et −1)u (t )
② f2(t) ∗[etu (t )] = (1−e −t )u (t ) − (1−e −(t −1) )u (t − 1)
求 f1(t) 和 f2(t ) 。（解析 P26）
9.已知某系统 y1(t ) = f (t )∗ h(t ) = e−t (t ≥ 0) 求响应 y2(t ) = f (2t )∗ h (2t )。（解析 P26）
系统。 a 和 b 为常数。（指导 P71） 21.判断系统的因果性、动态性、线性和时不变性。 y''(t ) − ty '(t ) = x (t ) （指导 P74）
22.系统的输入为 x(t) ，输出为 y(t ) ，考虑两个系统 y(t) = x(at) 和 y(t ) = x(t + a) 。
3. 具有单位样值响应 h(n) 的 LTI 系统稳定的充要条件
。（解析 P47）
n
∑ 4.已知 x(n) 如图所示，画出 x(k) 的序列图。（解析 P47） k =−∞
5.计算卷积 x1(n) = 2nu(−n), x2 (n) = u(n) ，求 x1(n) ∗ x2(n) （解析 P48）
6.求序列 q(n) ，使得对于任何 x(n) 都有
① y(t) = y(t0)sint + at 2 f (t ) ② y(t) = f (t)⋅ f (t − b)
3.某系统，当输入为δ (t −τ ) 时，输出为 h(t ) = u(t −τ ) −u(t − 3τ ) ，问该系统是否为因果系统？是否为时不变系
统？说明理由。 4.下列信号属于功率信号的是（解析 P6）
① q(n) ∗ x(n) = 1[x(n) + x(n −1) + x (n − 2)] 3
② q(n) ∗ x(n) = x(n) + x(n −1) + x (n − 2) + ⋯+ x (1)+ x (0)（解析 P49）
d 2 y(t) dy(t )
dy(t )
7.已知二阶微分方程为
dt 2
① f1(t) 表示 f2(t ) ？ ②求出 f2(t ) 引起的响应 y2 (t) （用 y1(t) 表示） ③求出该系统的冲激响应和阶跃响应。
13.电路如图，已知激励信号电压 v1(t) 波形，求 0 ≤ t ≤ 1时电容两端电压 v2 (t) 的全响应。（解析 P31）
14.一电路系统如图所示， K1, K2 均合上，其中 L1 =1H, L2 = 2H, R1 = 2Ω, R2 =1Ω, is = 3A