光纤光栅的特性

光纤光栅的特性

光纤光栅的特性

1．光纤布喇格光栅的理论模型：

假设光纤为理想的纤芯掺锗阶跃型光纤，并且折射率沿轴向均匀分布，包层为纯石英，此种光纤在紫外光的照射下，纤芯的折射率会发生永久性变化，对包层的折射率没有影响。 利用目前的光纤光栅制作技术：如全息相干法，分波面相干法及相位模板复制法等。生产的光纤光栅大多数为均匀周期正弦型光栅。纤芯中的折射率分布（如图1）所示。

)

(1Z n 为纤芯的折射

率，m ax

n

∆为光致折射

率微扰的最大值，

)

0(1n 为纤芯原折射

率，

Λ

为折射率变化的周期（即栅距）， L 为光栅的区长度。

若忽略光栅横截面上折射率分布的不均匀

性，光栅区的折射率分布可表示为：

)2cos()0()(max 11Z n n z n Λ

∆+=π

…………………………………………………

（1.1）

显而易见，其折射率沿纵向分布，属于非正规光波导中的迅变光波导，在考虑模式耦合的时候，只能使用矢量模耦合方程，其耦合主要发生在基模的正向传输导模与反向传输导模之间。

2．单模光纤的耦合方程

由于纤芯折射率非均匀分布,引起了纤芯中传输的本征模式间发生耦合。在弱导时, 忽 略偏振效应,吸收损耗和折射率非均匀分布引起了模式泄漏,则非均匀波导中的场Φ( x , y , z ) 满足标量波动方程:

),,(}),,({22

220

2=Φ∂∂++∇z y x z

z y x n sk t

…………………（2.1）

其中：λ

π/20

=k ，λ是自由空间的光波长。

2

22

2

1}{1ϕ∂∂+∂Φ∂∂∂=Φ∇Φ

r r r r r t

…………………………………

………………(2.2)

由于折射率非均匀分布引起波导中模式耦合只发生在纤芯中,因此非均匀波导中的场

可以表示为均匀波导束缚模式),(y x φ之和:

)

,()}exp()exp()({),()(),,(y x z i a z i z a y x z A z y x l l l l l l

l l l

φββφ-+-∑=∑=Φ………

(2.3)

)

(1z A 则表示与),(1

y x φ相联系的全部随z 变化的

关系。本节讨论省去了所有对结论无影响的

)

exp(t j ω的因子。

其中),(1

y x φ满足方程：

}),({22

202=-+∇l t aver t y x n k φβ…………………………(2.4)

将∑⋅=Φl

l

l

A φ代入2.1中，并利用2.4消去含有l

t φ2

∇的

项，并按模式耦合理论的一般方法进行处理,化简时略去高次项,则可以得到一个正向传输模与同一反向传输模间的模式耦合方程:

)2exp(2)2exp(21111z i a D

dz da z i a D

dz da ββ

ββ--=-=--…………………

…………………………（2.5）

ηφφ

β

βaver

aver A A aver n n n ik dA

dA

n n ik D co

2)()(222

202

2

2

220

-=-=⎰⎰∞

……………

……………(2.6)

其中

dA

dA

A A co

⎰⎰∞

=

2

2

φ

φ

η…………………………………………………………（2 .7）

是芯层中的功率百分比。在阶跃折射率剖面光纤中,基模可以用高斯函数近似代替,代入2.7式中得：2

11V -=η，其中V 为光栅的结构常数。

其中β

ββ

=-=-11

为传播常数。根据射线理论，

光纤中模场的传播常数λ

πβ/2n

=。在单模光纤中n

近似等于原纤芯折射率)0(1

n 。

由于

)cos(222

2

222z n n n n n n n n n n n n n n aver aver aver

aver aver

aver aver aver aver θ∆=-=-≈-=-……（2.8）

其中：Λ=π

θ2

所以

)cos(2)cos(20z n i z n ik D θηλ

πθηβ∆=∆=…………………………

…………(2.9)

令耦合系数

ηλ

π

n C ∆=

………………………………………………………………(2.10)

将2.8,2.9代入2.5和2.6得：

)

2exp()cos(2)2exp()cos(21111z i z a C i dz

da z i z a C i dz da βθβθ⋅-=⋅-=--………………………

………………………（2.11）

又

)

(2

1)2cos()cos(22Λ-Λ

+=Λ=π

π

πθi i e e z z 代入2.6，并省略高

次项])(2exp[z i βπ+Λ

则 ]2exp[]2exp[11

11

z i a iC dz

da z i a iC dz da ββ∆-⋅-=∆⋅-=--……………………………

…………………………（2.12）

其中Λ

-=∆πββ 设折射率扰动区间)

(2,

1Z Z

,长度为L ，不难得到

边界条件：在1

Z 处L ＝0，1)0(1

=a ，在2

Z 处，0

)(1

=-L a 。

利用此边界条件，可解出方程2.7

)]

(sinh[)]

cosh()[sinh()

exp()()]}

(cosh[)](sinh[{)]

cosh()sinh([)

exp()(11L z S SL iS SL z i C Z a L z S iS L z S SL iS SL z i Z a --∆-⋅=-+-∆-∆∆-=

-ββββ(

2.13)

其中：2

22

β∆-=C S

因此得到端口处( z = 0) 当2

2

β∆≥C

时入射光

的反射率为：