第三章 流体动力学

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此控制体积经dt时间后流至新的位置 A’A’B’B’，在此控制体积内的微小流束 中，取一流线段长为ds、截面积为dA， 流速为u的微元,则这一段微元的动量为
dAdsu dqds
• 控制体内微小流束的动量为
dM dqds dq(s2 s1 )
s1
s2
• 整个控制体积液体的动量为
• 以上两式即为理想液体的伯努利方程，其物理意义 为：在管内作稳定流动的理想流体具有压力能、势 能和动能三种形式的能量，在任一截面上这三种能 量可以互相转换，但其总和不变，即能量守恒。
2 实际液体伯努利方程
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实际液体在管道内流动时：由于液体存在粘 性，会产生内摩擦力，消耗能量；由于管道形状 和尺寸的变化、液流会产生扰动，消耗能量。因 此，实际液体流动时存在能量损失，设单位质量 液体在两截面之间流动的能量损失为hw 。 另外，因实际流速u在管道通流截面上的分 布不是均匀的,为方便计算，一般用平均流速替 代实际流速计算动能。显然．这将产生计算误差。 为修正这一误差，便引进了动能修正系数α ，它 等于单位时间内某截面处的实际动能与按平均流 速计算的动能之比．其表达式为：
§3-5
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动量方程
液流作用在固体壁面上的力，用动 量定律来求解比较方便。动量定律指出： 作用在物体上的力的大小等于物体在力 作用方向上的动量的变化率，即
dI d (mv ) F dt dt
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把动量定理应用到流动液体上时，须从 流管中任意取出图示的被通流截面A-A和B-B 所限制的液体体积并称之为控制体积，A-A截 面和B-B截面称为控制表面。
第三章
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流体动力学
流体动力学的主要内容是研究流体流动时 流速和压力的变化规律。流动液体的连续性方 程、伯努利方程、动量力程是描述流动液体力 学规律的三个基本方程式。前二个方程式反映 压力、流速与流量之间的关系，动量方程用来 解决流动液体与固体壁面间的作用力问题。这 些内容不仅构成了液体动力学的基础，而且还 是液压技术中分析问题和设计计算的理论依据。
M dM (s2 s1 )dq
q
• 式中 S1 、S2，分别为A-A和B-B截面处 的坐标，由动量定理可得
dM d dq F dt dt q (s2 s1 )dq (s2 s1 ) dt q (u2 u1 )dq dq ( s2 s1 ) u2 dq u1dq q q dt
欧拉法：描述空间各点的状态及其与时间的关系。 u f x, y, z
物理学中考察单个固体质点的运动时，采用拉格朗日 法；而描述流体的流动采用欧拉法则更为方便。
§3-2 基本概念
1 理想液体和恒定流动
由于液体具有粘性，而且粘性只是在液体运 动时才体现出来，因此在研究流动液体时必须考 虑粘性的影响。液体中的粘性问题非常复杂，为 了分析和计算问题的方便，开始分析时可先假设 液体没有粘性，然后再考虑粘性的影响，并通过 实验验证等办法对已得出的结果进行补充或修正。 对于液体的可压缩问题，也可采用同样方法来处 理。 理想液体：在研究流动液体时，把假设的既 无粘性又不可压缩的液体称为理想液体。而把事 实上既有粘性又可压缩的液体称为实际液体。
1
理想液体的伯努利方程
理想液体因无粘性，又不可压缩，因此在管内作 稳定流动时没有能量损失。根据能量守恒定律，同一 管道每一截面的总能量都是相等的。 如前所述，对静止液体，单位质量液体的总能量
p 为单位质量液体的压力能 和势能 z 之和；而对于 g
流动液体，除以上两项外，还有单位质量液体的动 2 v 能 。 2g
1 2 3 u udA u dA A 2 A3 1 v A 2 Avv 2
• 动能修正系数α 在湍流时取α ＝1.1、在层 流时取α ＝2。实际计算时常取α ＝1。 • 在引进了能量损失hw 和动能修正系数α 后， 实际液体的伯努利方程表示为 2
p1 v p2 2v2 z1 z2 hw g 2g g 2g
§3-1
描述流体运动的两种方法
• 表征运动流体的物理量，诸如流体质点的位 移、速度、加速度、密度、压强、动量、动 能等等统称为流体的流动参数。描述流体运 动也就是要表达这些流动参数在各个不同空 间位置上随时间连续变化的规律。从理论上 说，解决这种问题有两种可行的方法，即拉 格朗日(Lagrange)法和欧拉(Euler)法。
1v1 A1 2v2 A2
不考虑液体的压缩性，有 或写为 q
1 2
。则得 v1 A 1
v2 A2
vA C
这就是液流的流量连续性方程，它说明恒定流动中 流过各截面的不可压缩流体的流量是不变的。因而 流速和通流截面的面积成反比。
§3-4 伯努利方程
伯努利方程是能量守恒定律在流体力学中的一种 表达形式。
2 1 1
源自文库
• 在利用上式进行计算时必须注意的是：
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(1)截面1、2应顺流向选取，且选在流动平
稳的通流截面上；
• (2)z和p应为通流截面的同一点上的两个参
数，为方便起见，一般将这两个参数定在通流
截面的轴心处。
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(3)在分支流动的支流断面和主流断面之间，
伯努利方程式与连续方程式部是不能成立的。
[例] 应用伯努利方程分析液压泵正常吸油的条件。液压 泵装置如图所示．设液压泵吸油口处的绝对压力为p2，油
•
为保证液压泵正常工作，液压泵吸油口的 真空度不能太大。若真空度太大，在绝对压力 p2低于油液的空气分离压pg时，溶于油液中的 空气会分离析出形成气泡，产生气穴现象，出 现振动和噪声。为此，必须限制液压泵吸油口 的真空度小于0.3×105 Pa，具体措施除增大吸 油管直径、缩短吸油管长度、减少局部阻力以 1 2 降低 v 和 p 两项外、 一般对液压泵的吸 2 油高度H进行限制，通常取H≤0.5m。若将液压 泵安装在油箱液面以下，则H为负值。对降低 液压泵吸油口的真空度更为有利。
在流体的流动空间中任意画一不属流线的封 闭曲线，沿经过此封闭曲线上的每一点作流线， 由这些流线组合的表面称为流管。流管内的流线 群称为流束，如图b所示，定常流动时，流管和 流束形状不变。且流线不能穿越流管，故流管与 真实管流相似，将流管断面无限缩小趋近于零， 就获得了微小流管或微小流束、微小流束实质上 与流线一致，可以认为运动的液体是由无数微小 流束所组成的。
恒定流动：当液体流动时，如果液体中任 一点处的压力、速度和密度都不随时间而变化， 则液体的这种流动称为恒定流动(亦称定常流动 或非时变流动)； (稳态流动 运动空间各点的状态不随
时间变化，称为稳态流动。)
反之，若液体中任一点处的压力、速度和 密度中有一个随时间而变化时，就称为非恒定 流动(亦称非定常流动或时变流动)。如图1-8所 示，图1-8a为恒定沉动，图1-8b为非恒定流动。 非恒定流动情况复杂。本节主要介绍恒定流动 时的基本方程。
•
在图中任取两个截面A1 和A2 ，它们距基准水平 面的距离分别为z1和z2，断面平均流速分别为v1和v2 ， 压力分别为p1和p2 。根据能量守恒定律有 2
p1 v p2 v2 z1 z2 g 2g g 2g
2 1
•
因两个截面是任意取的，因此上式可改写
p v2 z C g 2g
箱液面压力p1为大气压pa ，泵吸油口至油箱液面高度为H。
• 解 取油箱液面为基准面，并定为1-1截面．泵的吸
油口处为2-2截面，对两截面列伯努利方程(动能修 正系数取α1=α2=1)有
2 1 2 2
p1 v p2 v H hw g 2g g 2g
• 式中p1等于大气压；v1为油箱液面流速，可视为零， v2为吸油管速；hw为吸油管路的能量损失。代入已 知条件，上式可简化为
流线彼此平行的流动称为平行流动，流线夹角 很小或流线曲率半径很大的流动称为缓变流动。 平行流动和缓变流动都可算是一维流动。
3 通流截面、流量和平均流速
• 流束中与所有流线正交的截面称为通流 截面(或过流截面) ，如图C中的A面和B面， 截面上每点处的流动速度都垂直于这个面。 • 单位时间内流过某一通流截面的液体体积 称为流量。流量以q表示，单位为m3/s或L／ min。 由于流动液体粘性的作用，在通流截面上 各点的流速u—般是不相等的。在计算流过整 个通流截面A的流量时．可在通流截面A上取 一微小截面dA(图1-9a)，并认为在该断面各点 的速度u相等、则流过该微小断面的流量为 dq=udA
A
• 由此得出通流截面上的平均流速为
q v A
• 在实际的工程计算中，平均流速才具有应用价 值。液压缸工作时，活塞的运动速度就等于缸 内液体的平均流速，当液压缸有效面积一定时， 活塞运动速度由输入液压缸的流量决定。
§3-3 连续性方程
• 流量连续性方程是质量守恒定律在流体力 学中的一种表达形式。 • 图所示为一不等截面管．液体在管内作恒 定流动．任取l、2两个通流截面、设其面积分 别为A1和A2 ，两个截面中液体的平均流速和密 度分别为v1 、 ρ 1和v2 、 ρ 2 ，根据质量守恒 定律．在单位时间内流过的两个截面的液体质 量相等，即
• 在工程实际应用中，往往用平均流速v代 替实际流速u，其误差用一动量修正系数 β 予以修正，故上式可改写为
dq F (s2 s1 ) dt q 2v2 q 1v1
2 迹线、流线、流束
迹线是流动液体的某一质点在某一时间间隔 内在空间的运动轨迹。 流线是表示某一瞬时液流中各处质点运动状 态的一条条曲线，在此瞬时，流线上各质点速度 方向与该线相切。如图a所示。在非定常流动时， 由于各点速度可能随时间变化，因此流线形状也 可能随时间而变化。在定常流动时，流线不随时 间而变化，这样流线就与迹线重合。由于流动液 体中任一质点在某一瞬时只能有一个速度，所以 流线之间不可能相交，也不可能突然转折，流线 只能是一条光滑的曲线。
连续性假定：质点指的是一个含有大量分子的流体微团，
其尺寸远小于设备尺寸、但比分子自由程却大的多。假 定流体是由大量质点组成的、彼此间没有间隙、完全充 满所占空间的连续介质。 运动的考察方法 拉格朗日法：选定一个流体质点，对其进行考察，描述 u f x, y, z, 其运动参数与时间的关系。
p1 p2 v H hw g g 2g
• 即液压泵吸油口的真空度为
2 2
1 2 1 2 pa p2 gH v ghw gH v p 2 2
• 由此可知，液压泵吸油口的真空度由三 部分组成，包括产生一定流速v2所需的 压力，把油液提升到高度H所需的压力 和吸油管的压力损失。
• 流过整个通流截面A的流量为
q udA
A
• 对于实际液体的流动，速度u的分布规律很复杂 (见图l-9b)，故按上式计算流量是困难的。因此， 提出一个平均流速的概念，即假设通流截面上 各点的流速均匀分布，液体以此均布流速p流过 通流截面的流量等于以实际流速流过的流量， 即
q udA vA
一、拉格朗日(Lagrange)法与质点系
• 如果用质点初始坐标 (a,b,c)与时间变量t共同表 达质点的运动规律，则 (a,b,c,t)叫作拉格朗 日变数， 用拉格朗口变数描述流体 运动的方法叫拉格朗日法。
二、欧拉法(Euler)与控制体
描述流体运动的另一种方法是欧拉法，这种方法适 应于流体运动的特点，在流体力学上获得广泛应用。 • 因为流体是连续介质，质点紧密相接，在运动过 程中，一定的空间点可能被无数质点前出后进地依次 占据，所以我们无需关心某一个质点的运动历程，只 要能够找到整个流场中物理量的变化规律，则此流场 的运动性质及流场中流体与固体边界的相互作用都是 可以顺利解决的。这种以数学场论为基础、着眼于任 何时刻物理量在场上的分布规律的流体运动描述方法 叫作欧拉法。欧拉法中用质点的空间坐标(z,y,z)与时间 变量t来表达流场中的流体运动规律，(z,y,z,t)叫作欧拉 变数。