数学二次函数的专项培优易错试卷练习题(含答案)附答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知，点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y＝mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．

（1）判断顶点M是否在直线y＝4x+1上，并说明理由．

（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．

（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（1

4

，y1），D（

3

4

，y2）

都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．

【答案】（1）点M在直线y＝4x+1上；理由见解析；（2）x的取值范围是x＜0或x＞

5；（3）①当0＜b＜1

2

时，y1＞y2，②当b＝

1

2

时，y1＝y2，③当

1

2

＜b＜

4

5

时，y1＜

y2．

【解析】

【分析】

（1）根据顶点式解析式，可得顶点坐标，根据点的坐标代入函数解析式检验，可得答案；（2）根据待定系数法，可得二次函数的解析式，根据函数图象与不等式的关系：图象在下方的函数值小，可得答案；

（3）根据解方程组，可得顶点M的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案．【详解】

（1）点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，

∴M的坐标是（b，4b+1），

把x＝b代入y＝4x+1，得y＝4b+1，

∴点M在直线y＝4x+1上；

（2）如图1，

直线y＝mx+5交y轴于点B，

∴B点坐标为（0，5）又B在抛物线上，

∴5＝﹣（0﹣b）2+4b+1＝5，解得b＝2，

二次函数的解析是为y＝﹣（x﹣2）2+9，

当y＝0时，﹣（x﹣2）2+9＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，

∴A（5，0）．

由图象，得

当mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1时，x的取值范围是x＜0或x＞5；（3）如图2，

∵直线y＝4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于F，

A（5，0），B（0，5）得

直线AB的解析式为y＝﹣x+5，

联立EF，AB得方程组

41

5 y x

y x

=+

⎧

⎨

=-+

⎩

，

解得

4

5

21

5 x

y

⎧

=

⎪⎪

⎨

⎪

=

⎪⎩

，

∴点E（4

5

，

21

5

），F（0，1）．

点M在△AOB内，

1＜4b+1＜

21

5

，

∴0＜b＜4

5

．

当点C，D关于抛物线的对称轴对称时，b﹣

1

4

＝

3

4

﹣b，∴b＝

1

2

，

且二次函数图象开口向下，顶点M在直线y＝4x+1上，

综上：①当0＜b＜

1

2

时，y1＞y2，

②当b＝

1

2

时，y1＝y2，

③当

1

2

＜b＜

4

5

时，y1＜y2．

【点睛】

本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是把点的坐标代入函数解析式检验；解（2）的关键是利用函数图不等式的关系：图象在上方的函数值大；解（3）的关键是解方程组得

出顶点M 的纵坐标的范围，又利用了二次函数的性质：a ＜0时，点与对称轴的距离越小函数值越大．

2．已知，m ，n 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个实数根，且|m |＜|n |，抛物线y =x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），如图所示．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为D ，求出点C ，D 的坐标，并判断△BCD 的形状；

（3）点P 是直线BC 上的一个动点（点P 不与点B 和点C 重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，点Q 在直线BC 上，距离点P

为2个单位长度，设点P 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．

【答案】（1）223y x x =--；（2）C （3，0），D （1，﹣4），△BCD 是直角三角形；

（3）2213(03)2213(03)2

2t t t S t t t t ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩＜＜＜或＞ 【解析】

试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；

（2）先解方程求出抛物线与x 轴的交点，再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，从而得到结论；

（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P 在点M 上方和下方，分别计算即可． 试题解析：解（1）∵2+430x x +=，∴11x =-，23x =-，∵m ，n 是一元二次方程

2+430x x +=的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线223

y x x =--的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），∴10{3b c c -+==-，∴2{3

b c =-=-，∴抛物线解析式为223y x x =--；

（2）令y=0，则2230x x --=，∴11x =-，23x =，∴C （3，0），

∵223y x x =--=2(1)4x --，∴顶点坐标D （1，﹣4），过点D 作DE ⊥y 轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，