对“有价值的数学”的探索与思考

对“有价值的数学”的探索与思考

浙江省宁波市鄞州区鄞江镇中心小学教科室叶杰军

“学习有价值的数学”是数学课程标准中提出的基本理念之一，在今后相当长的时间内，将指导着中小学数学教学实践。因此，如何正确理解“学习有价值的数学”，对于改善中小学数学课堂教学具有重要意义。

一、什么样的数学是有价值的呢？

这是一个传统的教学材料：某水池有一进水管，单独放水需12小时把空水池放满，有一出水管，单独放水需20小时放完一池水。问同时打开进水管和出水管，几小时可以把水放满？

记忆中在讨论《课标》讨论稿时，许多专家、教师认为：像这样的数学教学内容，可以认为是没有价值的。因为这一问题情境在现实生活中是很少存在的，一般情况下是不会采用同时打开进水管和出水管来把水池放满的。

在现实生活中，是否真的没有进水管与出水管同时打开的情境呢？笔者十分赞同在2002年7-8期上发表“怎样理解‘有价值的数学’”一文的俞正强老师的观点。当俞老师把这个问题交给学生讨论时，学生们的回答出乎意料，因为他们发现，现实生活中“同时打开进水管与出水管”的现象几乎十分普遍，如：

A．排队候场。不断来排队的人和不断进场的人，来排队的人多于进场的人，就会有等候的人。

B．草场。不断生长的草和不断被吃掉的草。

C．人体的新陈代谢。不断的补充和不断的消耗。

D．社会人口的增减。不断出生的人和不断死亡的人，出生的人多于死亡的人时，人口就增加；反之则减少。……

从学生们的回答中可以发现，在学生的理解里，进、出水管同时打开是表示有进有出的一种动态平衡。这种对动态平衡意识的感情，是一种多么有价值的数学体验！

看来，我们必须认识到在理解“有价值的数学”时，应该避免表面的肤浅理解，避免实用主义。

（一）有价值的数学应具备的几个特性：

《标准》指出：“人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。”这一提法反映了义务教育阶段面向全体学生，体现基础性、普及性和发展性的基本精神，代表着一种新的数学课程理念和实践体系。从中也体现为有价值的数学应具备的三大基本特征：基础性、普及性和发展性。笔者认为从更广泛的意义上来说，有价值的数学具体还表现为具备下列特性：

1．趣味性

长期以来，我国基础教育是学科课程一统天下，教师中心、书本中心、知识中心仍占有相当显著的位置，无论是小学还是中学，也无论是文科课程还是理科课程，在学习的方式上几乎都是以接受教师讲授为主的。教师所要做的是如何准确地说明解释以使学生理解的明明白白，学生的最佳状态则是跟着教师的思路走，并把老师讲的记下来。教师常用的教学方式是例题、示范、讲解，学生习惯的学习方式是听讲、记忆、练习。尤其在数学课中，人们相当重视知识的逻辑性、系统性，为了严密、完整，不产生歧义，常常用大量的文字表述某个概念。结果，数学是枯燥的、抽象的、难学的，成为学生们对数学的普遍认识。

而兴趣是学生最好的老师，从这个意义上分析，“有价值的数学”首先应是能吸引和激发学生学习兴趣的数学，即具有趣味性。

新数学课程在教材编排上版式活泼、图文并茂，内容上顺理成章、深入浅出，将枯燥的数学知识演变得生动、有趣、有较强的可接受性、直观性和启发性，对培养学生的学习兴趣有极大的帮助。这就需要我们教师精心设计教学过程，激发他们的学习兴趣，让学生亲身去感受数学，萌发一种教学真有趣，我就要学习数学的心理。

如：学习“百分数的意义”时，可问学生：“大家经常喝牛奶，可牛奶盒上写着‘脂肪3.3%，蛋白质2.9%……，这些3.3%、2.9%表示什么意思。”又如：学完“10内各数的认识”后，我让学生用第几排第几个来描述自己坐的位置；让他们说一说家里的电话号码是由哪几个数学组成的；让他们记录一星期的气温……。学生完成题目时，兴致特别高，争先恐后地交流。他们在交流中体验到了数学就在身边，感受到了数学的乐趣。从对自己的座位表述中，他们区别了第几排和第几个；通过交流家里的电话号码，知道了由于数的排列顺序不同，构成的电话号码也不同，解决了生活中的实际问题，领悟了数学的奥秘，从中也体现出数学的价值所在。

2．生活性

数学教学不应该是刻板的知识的传授，而应该遵循源于生活、富于生活、用于生活的理念。实践表明，越贴近学生生活的，学生熟悉的内容在情感上越容易引起学生的同鸣。所以，应从熟悉的生活情境和感兴趣的事物出发，使他们体会到数学就在身边，感受到数学的趣味和作用，对数学产生亲切感。

因此有价值的数学在学习内容上应当是现实的、有趣的，富有挑战性的。

例如：在“除数是小数的除法”的教学中，教师可紧密联系学生“购物”的生活经验，创设出“一个橡皮擦0.3元，一本练习本0.45元，一付三角板0.54元，一支彩色笔0.9元，一支自动铅笔1.35元，如果你有2.7元，要买其中一种物品，算一算能买多少”的情境，引导学生思考：在日常生活中你是怎样算的？于是学生联系自己的生活经验和已有知识，很快探索出了“除数是小数的除法”的计算方法，使他们在获取数学知识的同时，也得到了积极的情感体验。

3．个性性

“有价值的数学”在解题策略、方法上更多的体现出个性性。

例1：在下面的横线上填数，便这列数具有某种规律，并说明有怎样的规律。

3，5，7，___，___，___。

我们（教师）首先应鼓励学生通过独立思考，从不同的角度去探究可能隐含的规律，并在全班进行交流。在解决这个问题时，只要学生给出一个答案，并能作出合理的解释，就可以给予肯定。下面是学生可能给出的一些答案：

（1）在横线上依次填入9，11，13，形成奇数列。

（2）在横线上依次填入11，17，27，使这列数从第三个数开始每个数都是前两个数的和减1。

（3）在横线上依次填入27，181，4879，使这列数从第三个数开始，每个数都是前两个数的积减8。

这样的教学有利于培养学生独立地思考，合作交流的能力，有利于培养学生寻求数的规律的能力，突出其个性性，这种比单纯地做几道计算题更具有挑战性，也更有价值。

从数学习题的分类来看，上例无疑可以说是一道数学开放题，相比较常规封闭题而言，虽然数学开放题在整个数学习题中所占的比例远低于封闭题，但其训练学生的实践能力和创新意识来说，数学开放题具有其独到的作用，也就是说从某一角度来说，数学开放题比封闭题更有价值。例如下面所举的例2与例2'对比题，其训练价值无疑是后者（开放题）更高一些。

例2：将一个正方形分割为四个面积相等的小正方形。（封闭题）

例2'：将一个正方形分割为四个面积相等的图形。（开放题）

4．文化性

《课标》指出：“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。”从这一层面来讲，文化性也是有价值数学的重要特性。

当今世界，数学已变得越来越重要。“数学文化”的内涵越来越丰富，数学与人类的关系越来越密切。但是，正是人们越来越需要数学的时代，数学却越来越难被人们理解、接受，审视我国小学数学教育，我们不难发现，数学教育由“开放”走向“封闭”，是十分可悲的现象；把数学学习与学生的生活、社会的发展割裂开来，更是严重的错误；让学生学习毫无“应用”之言的“数学”，对学生的发展没有任何价值。

我们知道，“数学文化”的形成，是人类在生活和生产过程中，经过无数次“经历”和“体验”，逐步抽象、概括形成的一种有自身特色的“文化”，但是，在我国数学教育漫长的发展过程中，又出现了一个严重的问题，即把数学与人们的生活和社会发展现实隔离开来，把学生封闭在狭窄的课堂里，去研究一些“纯数学”问题，使学生的数学学习严重地与他们的生活实际、社会发展实际脱节，不仅感受不到“数学文化”的魅力，体验不到数学的价值，而且使他们从心理上感到数学学习的枯燥、乏味，甚至厌倦数学，这难道不是一种可悲的现象吗？数学社会学研究表明：学生的数学学习，并不是独立于社会环境的一个体系。学生认