2012年天津高考文科数学试题(word解析版)

2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文科）注意事项：1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2. 本卷 参考公式：﹒如果事件A,B 胡斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B). ﹒棱柱的体积公式V=Sh.其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高。

﹒圆锥的体积公式V=13Sh[来源:] 其中S 表示圆锥的底面面积， H 表示圆锥的高。

[来源:学科网]一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1） i 是虚数单位，复数534i i+-=（A ）1-i （B ）-1+i （C ）1+I （D ）-1-i【解析】复数i ii i i i i i +=+=+-++=-+1171717)4)(4()4)(35(435，选C. 【答案】C（2） 设变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ,则目标函数z=3x-2y 的最小值为（A ）-5 （B ）-4 （C ）-2 （D ）3【解析】做出不等式对应的可行域如图，由y x z 23-=得223z x y -=，由图象可知当直线223z x y -=经过点)2,0(C 时，直线223z x y -=的截距最大，而此时y x z 23-=最小为423-=-=y x z ，选B.【答案】B（3） 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A ）8 （B ）18 （C ）26 （D ）80【解析】第一次循环2,2330==-=n S ，第二次循环3,83322==-+=n S ，第三次循环4,2633823==-+=n S ，第四次循环满足条件输出26=S ，选C. 【答案】C（4） 已知a=21.2，b=()12-0.2，c=2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）c<b<a （B ）c<a<b C ）b<a<c （D ）b<c<a【解析】因为122.02.022)21(<==-b ，所以ab <<1，14log 2log 2log 25255<===c ，所以a b c <<，选A.【答案】A（5） 设x ∈R ，则“x>12”是“2x 2+x-1>0”的（A ） 充分而不必要条件 （B ） 必要而不充分条件 （C ） 充分必要条件（D ） 既不充分也不必要条件【解析】不等式0122>-+x x 的解集为21>x 或1-<x ，所以“21>x ”是“0122>-+x x ”成立的充分不必要条件，选A.【答案】A（6） 下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（A ） y=cos2x ，x ∈R（B ） y=log 2|x|，x ∈R 且x ≠0（C ） y=2x xe e --，x ∈R（D ） y=x3+1，x ∈R【解析】函数x y 2log =为偶函数，且当0>x 时，函数x x y 22log log ==为增函数，所以在)2,1(上也为增函数，选B. 【答案】B（7） 将函数f(x)=sin x ω（其中ω>0）的图像向右平移4π个单位长度，所得图像经过点（34π，0），则ω的最小值是（A ）13（B ）1 C ）53（D ）2【解析】函数向右平移4π得到函数)4sin()4(sin )4()(ωπωπωπ-=-=-=x x x f x g ，因为此时函数过点)0,43(π，所以0)443(s i n =-ππω，即,2)443(πωπππωk ==-所以Z k k ∈=,2ω,所以ω的最小值为2，选D.【答案】D（8） 在△ABC 中，∠ A=90°，AB=1，设点P ，Q 满足AP =AB λ，AQ =(1-λ)AC ，λ∈R 。

若BQ∙CP=-2，则λ=（A ）13（B ）23C ）43（D ）2【解析】如图，设==, 0,21=∙==，又)1(λ-+-=+=，λ+-=+=，由2-=∙得2)1(41()(])1([-=--=--=+-∙-+-λλλλλ，即32,23==λλ，选B.【答案】B二.填空题：本答题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）集合{}|25A x R x =∈-≤中最小整数位 .【解析】3-不等式52≤-x ，即525≤-≤-x ，73≤≤-x ，所以集合}73{≤≤-=x x A ，所以最小的整数为3-。

【答案】3-（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ）,则该几何体的体积3m.【解析】由三视图可知这是一个下面是个长方体，上面是个平躺着的五棱柱构成的组合体。

长方体的体积为24243=⨯⨯，五棱柱的体积是6412)21(=⨯⨯+，所以几何体的总体积为30。

【答案】30（11）已知双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 与双曲线1164:222=-y x C 有相同的渐近线，且1C 的右焦点为F ,则a = b =【解析】双曲线的116422=-y x 渐近线为x y 2±=，而12222=-b y a x 的渐近线为x a by ±=，所以有2=a b，a b 2=，又双曲线12222=-b y a x 的右焦点为)0,5(，所以5=c ，又222b a c +=，即222545a a a =+=，所以2,1,12===b a a 。

【答案】1，2（12）设,m n R ∈,若直线:10l mx ny +-=与x 轴相交于点A,与y 轴相交于B ，且l 与圆224x y +=相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则AOB ∆面积的最小值为 。

【解析】直线与两坐标轴的交点坐标为)0,1(),1,0(mB n A ，直线与圆相交所得的弦长为2，圆心到直线的距离d 满足3141222=-=-=r d ，所以3=d ，即圆心到直线的距离3122=+-=n m d ，所以3122=+n m 。

三角形的面积为mnn m S 211121=⋅=，又312122=+≥=n m mn S ，当且仅当61==n m 时取等号，所以最小值为3。

【答案】3（13）如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于D .过点C 作BD 的平行线与圆交于点E ,与AB 相交于点F ,3AF =,1FB =,32EF =,则线段CD 的长为 .【解析】如图连结BC ，BE ，则∠1=∠2，∠2=∠A1A ∠=∠∴，又∠B=∠B ，CBF ∆∴∽ABC ∆，ACCFAB CB BC BF AB CB ==∴,,代入数值得BC=2，AC=4，又由平行线等分线段定理得FB AF CD AC =,解得CD=34. 【答案】34（14）已知函数211x y x -=-的图像与函数y kx =的图像恰有两个交点，则实数k 的取值范围是 . 【解析】函数1)1)(1(112-+-=--=x x x x x y ，当1>x 时，11112+=+=--=x x x x y ，当1<x 时，⎩⎨⎧-<+<≤---=+-=--=1,111,11112x x x x x x x y ，综上函数⎪⎩⎪⎨⎧-<+<≤---≥+=--=1,111,111112x x x x x x x x y ，，做出函数的图象，要使函数y 与kx y =有两个不同的交点，则直线kx y =必须在蓝色或黄色区域内，如图，则此时当直线经过黄色区域时)2,1(B ，k满足21<<k ，当经过蓝色区域时，k 满足10<<k ，综上实数的取值范围是10<<k 或21<<k 。

【答案】10<<k 或21<<k 。

三.解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（15题）（本小题满分13分）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查。

（I ）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目。

（II ）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， （1）列出所有可能的抽取结果；（2）求抽取的2所学校均为小学的概率。

【解析】（1）从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目之比为21:14:73:2:1= 得：从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1 （2）（i ）设抽取的6所学校中小学为123,,A A A ，中学为45,A A ，大学为6A ； 抽取2所学校的结果为：1213141516{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A ，23242526343536{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},A A A A A A A A A A A A A A454656{,},{,},{,}A A A A A A 共15种；（ii ）抽取的2所学校均为小学的结果为：121323{,},{,},{,}A A A A A A 共3种 抽取的2所学校均为小学的概率为31155=在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的分别是,,a b c ；已知2,a c A ===； （I ）求sin C 和b 的值； （II ）求cos(2)3A π+的值。

【解析】（I ）cos (0,)sin 44A A A π=-∈⇒=sin sin sin sin a c c A C A C a =⇔==22222cos 201a b c bc A b b b =+-⇔+-=⇔=（II ）23sin 22sin cos 22cos 14A A A A A ===-=-3cos(2)cos 2cos sin 2sin 3338A A A πππ-+=-=17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，,1,2AD PD BC PC PD CD ⊥====（I ）求异面直线PA 与BC 所成角的正切值； （II ）证明：平面PDC ⊥平面ABCD ；（III ）求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值。

【解析】（I ）//AD BC ⇒PAD ∠是PA 与BC 所成角 在ADP ∆中，,1,2AD PD AD BC PD ⊥===tan 2PDPAD AD∠== 异面直线PA 与BC 所成角的正切值为2（II ）,,AD PD AD DC PDDC D AD ⊥⊥=⇒⊥面PDCAD ⊂面ABCD ∴平面PDC ⊥平面ABCD （III ）过点P 作PE CD ⊥于点E ，连接BE平面PDC ⊥平面ABCD PE ⇒⊥面ABCD PBE ⇒∠是直线PB 与平面ABCD 所成角2,1201CD PD PC PDC PE DE ︒===∠=⇒==在Rt BCE ∆中，BE PB ==⇒==在Rt BPE ∆中，sin 13PE PBE PB ∠==得：直线PB 与平面ABCD已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，112a b ==44+=27a b ，44=10S b -.(Ⅰ) 求数列}{n a 与{}n b 的通项公式 (Ⅱ)记112233n n n T a b a b a b a b =++++；证明：*118(,2)n n n T a b n N n -+-=∈≥【解析】(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ；则 34434412732322710246210a b d d q S b q a d q +==⎧++=⎧⎧⇔⇔⎨⎨⎨-==+-=⎩⎩⎩ 得：31,2n n n a n b =-=(Ⅱ)1*1(31)2(34)2(37)2()k k k k k k k a b k k k c c k N ++=-⨯=-⨯--⨯=-∈ 12132111()()()(34)28n n n nnT c c c c c c c c n +++=-+-++-=-=-⨯+当2n ≥时，118n n n T a b -+-=（19）（本小题满分14分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，点)P 在椭圆上；（I ）求椭圆的离心率；（II ）设A 为椭圆的右顶点，O 为坐标原点，若Q 在椭圆上且满足AQ AO =求直线OQ的斜率的值。