利用切线方程证明一类不等式

利用切线方程证明一类不等式

湖北黄冈罗田一中：杨德兵 余咏梅（438600）

文[2]证明了三个问题：

ⅰ.通过证明)31(1091322-≥+-x x

x x ,)1,0(∈x 证明了:若1,0,,=++>c b a c b a 则01313132

22222≥+-++-++-c c c b b b a a a ; ⅱ.通过证明

)2(50

27112x x -≤+,)1,0(∈x 证明了:若1,0,,=++>c b a c b a 则10

27111111222≤+++++c b a ; ⅲ.通过证明)2(5027122x x x

x -≤+,)1,0(∈x 证明了:若1,0,,=++>c b a c b a 则109111222≤+++++c c b b a a . 本文解决两个问题: ①)31(109132

2-≥+-x x x x 和)2(5027112x x -≤+中的)31(109-x 和)2(5027x -是如何构造的? ②改进（ⅲ）的证明.统一解决类似的问题的思路.

先解决问题①

可以猜想（ⅰ）,（ⅱ）中的不等式均在31===c b a 处取等号,容易求得2

213x x x y +-=和211x

y +=在31=x 处的切线刚好分别为)31(109-=x y 和)2(5027x y -=,这难道是巧合吗？ 事实上，证明形如“已知∑=A a i ,求证∑≤B a f i )(或∑≥B a f i )(”这类不等式时,可以通过证明d cx a f i +≤)(或d cx a f i +≥)(达到目的，而d cx y +=为)(x f y =在变量取等号处的切线.若d cx a f i +≤)(或d cx a f i +≥)(在给定范围内成立，在这类问题很容易突破.

再解决问题②

下面我用上述方法改进（ⅲ）的证明.

分析: 可以猜想（ⅲ）中的不等式均在31=

==c b a 处取等号,容易得到21x x y +=在31=x 处的切线分别为)12

1(2518+=x y

证明:先证明当)1,0(∈x 时

≤+21x x )121(2518+x ≤+21x x )121(2518+x )1)(336(502x x x ++≤⇔314336023+-+≤⇔x x x 0)34()13(2≥+-⇔x x

因为0)34()13(2≥+-x x 在)1,0(∈x 成立,所以)1,0(∈x 时

≤+21x x )121(2518+x 成立. 所以≤+++++222111c

c b b a a )3121(2518⨯+++c b a =109 可以看出以上证明比原文的证明简洁.

作为这类题统一的思路，一般的，证明形如“已知

∑=A a i ,求证∑≤)()(n

A nf a f i ”这类不等式时,可以通过证明)())(()(n A f n A x n A f a f i +-'≤达到目的，而)())((n

A f n A x n A f y +-'=为)(x f y =在变量取等号处即n A x =的切线.若)())(()(n

A f n A x n A f a f i +-'≤在给定范围内成立，则∑≤)(i a f )())((n A nf n A n a n A f i +-'∑)(n

A nf =，成立. 证明形如“已知∑=A a i ,求证∑≥)()(n A nf a f i ”思路同上. 最后笔者再用上述方法证明文[2]留下的一个不等式,文[2]对该不等式提出了猜想但没有证明. 已知1,0,,,=+++>d c b a d c b a ,证明:656411113333≤+++++++d

d c c b b a a . 证明: )1,0(∈x 时,0482574839680)48127248()14(3422≥+-+⇔≥++-x x x x x x

x x x x x x x 4225)1)(483968(4225483968483968334≥++⇔≥+++⇔

)483968(4225113+≤+⇔

x x

x 所以33331111d d c c b b a a +++++++6564]448)(3968[42251=⨯++++≤d c b a 参考文献

1 安振平，梁丽平. 精彩问题来自不断的反思与探索[J]. 中学数学教学参考，2002，8 1 朱明侠，安振平. 函数与不等式的综合性问题[J]. 中学数学教学参考，2007，5