计数原理小题大做-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(解析版)
2023-2024学年高考数学计数原理专项练习题(附答案)
2023-2024学年高考数学计数原理小专题一、单选题1．从5名学生中选出4名分别参加A ，B ，C ，D 四科竞赛，其中甲不能参加A ，B 两科竞赛，则不同的参赛方案种数为（ ）A ．24B ．48C ．72D ．1202．劳动教育是教育制度的重要内容，某校计划组织学生参与各项职业体验，让学生在劳动课程中掌握一定的劳动技能，理解劳动创造价值，培养劳动自立意识和主动服务他人，服务社会的情怀．该校派遣甲、乙、丙、丁、戊五个小组到A 、B 、C 三个街道进行打扫活动，每个街道至少去一个小组，则不同的派遣方案有（ ）A ．140B ．150C ．200D ．2203．将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ）A ．90B ．135C ．270D ．3604．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ）A ．48B ．18C ．24D ．365．的展开式中的常数项为（ ）()632122x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭A ．80B ．160C ．240D ．3206．的二项展开式中，第项的系数是（ ）()nx y -m A ．B ．C ．D ．C mn 1C m n +1C m n-()111C m m n---7．核糖核酸（缩写为RNA ），存在于生物细胞以及部分病毒、类病毒中的遗传信息载体，RNA 由核糖核苷酸经磷酸二酯键缩合而成长链状分子，长链中每一个位置上都被一种称为碱基的化学成分所占据，RNA 的碱基主要有4种，分别用A ，C ，G ，U 表示．在一个RNA 分子中，各种碱基能够以任意次序出现，假设某一RNA 分子由100个碱基组成，则不同的RNA 分子的种数为（ ）A ．B ．C ．D ．4100004110021048．已知，则x 等于（ ）1893A 4A x x -=A ．6B ．13C ．6或13D ．12二、多选题9．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法错误的是（ ）A ．若任意选择三门课程，则选法总数为37A B ．若物理和化学至少选一门，则选法总数为1225C C C ．若物理和历史不能同时选，则选法总数为3175C C -D ．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，则选法总数为121255C C C -10．A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ）A ．若A 、B 两人站在一起有48种方法B ．若A 、B 不相邻共有12种方法C ．若A 在B 左边有60种排法D ．若A 不站在最左边，B 不站最右边，有72种方法11．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a ，b ，m （m ＞0）为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为（mod m ）．若，（mod 10），则b 的值可以a b =0122202020202020C C 2C 2...C 2a =+⋅+⋅++⋅a b =是（ ）A ．2011B ．2012C ．2020D ．202112．若将函数表示为， 其中5()f x x =250125()(1)(1)(1)f x a a x a x a x =+++++++ 为实数，则（ ）0125,,,,a a a a A ．B ．01a =-310a =C ．D ．511i i a ==∑()51131ii i a =-=-∑三、填空题13．若，则实数.()2311C A ,2n n n x n n -+++=∈≥N x =14．已知直线方程，若从0、1、2、3、5、7这六个数中每次取两个不同的数分0Ax By +=别作为A 、B 的值，则可表示条不同的直线．0Ax By +=15．已知的所有二项式系数之和为64，则210121(21)n n nn n x a a x a x a x a x ---=+++⋅⋅⋅++n =，.12n a a a ++⋅⋅⋅+=16．化简：．021*******C 3C 3C 3C 3n n n n n n n n ---⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=答案：1．C【分析】本题可以先从5人中选出4人，分为有甲参加和无甲参加两种情况，若有甲参加先将甲安排参加C 、D 科目，然后安排其它学生，通过分步乘法和分类加法原理，得到本题的结论【详解】从5名学生中选出4名分别参加A ，B ，C ，D 四科竞赛，其中甲不能参加A ，B 两科竞赛，可分为以下几步：（1）先从5人中选出4人，分为两种情况：有甲参加和无甲参加．有甲参加时，选法有：种；34C 4=无甲参加时，选法有：种．44C 1=（2）安排科目有甲参加时，先排甲，再排其它人．排法有：种．1323A A 12=无甲参加时，排法有种．44A 24=综上，．⨯+⨯=41212472∴不同的参赛方案种数为72．故选：C ．2．B【分析】分成两种情况，分别对每种情况单独讨论即可.【详解】当按照进行分配时，则有种不同方案，311::3353C A 60=当按照进行分配时，则有种不同方案，221::21345322C C A 90A =故共有不同的方案，150故选:B 3．B【分析】根据题意和简单计数问题，结合分步乘法计数原理即可求解.【详解】在6个盒子中任选2个，放入与其编号相同的小球，有种，2615C =剩下的4个盒子的编号与放入的小球编号不同，假设这4个盒子的编号为3,4,5,6，则3号小球可以放进4,5,6号盒子，有3种选法，剩下的3个小球放进剩下的3个盒子，有3种选法，所以不同的放法种数为种选法.1533135⨯⨯=故选：B.4．D【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理列式计算作答.【详解】正方体的两个顶点确定的直线有棱、面对角线、体对角线，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有（个）21224⨯=；对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个，不存在四个顶点确定的平面与体对角线垂直，所以正方体中“正交线面对”共有（个）.241236+=故选：D 5．D【分析】首先写出展开式的通项，原式化为从而求出6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭6632212122x x x x x ⋅+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开式的常数项.【详解】因为展开式的通项为，6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()()666316621C 212C rrrrr r rr T x x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭又因为，()6663322211122222x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⋅⎭=+所以展开式中常数项为．()632122x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭22623363662C (1)2C (1)2320--⨯-+-=故选：D ．6．D【分析】利用二项式展开式的通项公式，得出结论．【详解】的二项展开式中，第项为，()n x y -m 1111C (1)m n m m m m n T xy --+--=⋅⋅-⋅故该项的系数为，11(1)C m m n ---⋅故选：D ．7．B【分析】利用分步乘法计数原理即可求解.【详解】由100个碱基组成的长链共有100个位置，从A ，C ，G ，U 中任选1个依次填入这100个位置中，每个位置都有4种填充方法，根据分步乘法计数原理，可得不同的RNA 分子的种数为．1004故选：B 8．A【分析】根据排列数公式，化简计算，结合x 的范围，即可得答案.【详解】由题意得，8!9!34(8)!(10)!x x ⨯=⨯--化简可得，解得或6，934(10)(9)x x =⨯--13x =因为，所以且，故.819x x ≤⎧⎨-≤⎩8x ≤*x ∈N 6x =故选：A.9．ABD【分析】根据排列和组合的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，若任意选择三门课程，则选法总数为，所以A 选项错误.37C B 选项，若物理和化学至少选一门，则选法总数为，所以B 选项错误.12212525C C C C +C 选项，若物理和历史不能同时选，则选法总数为，所以C 选项正确.321725C C C -D 选项，只选物理、不选化学和历史，选法为；24C =6只选化学、不选物理，选法为；物理化学同时选、不选历史，选法为.25C =1014C =4所以选法总数是，所以D 选项错误.12125520C C C =15≠-故选：ABD 10．AC【分析】对于A ：利用捆绑法，结合排列数运算求解；对于B ：利用间接法，在总体中排除A 、B 两人站在一起的情况；对于C ：根据对称性分析求解；对于D ：利用间接法，结合组合数运算求解.【详解】对于选项A ：若A 、B 两人站在一起，则有种方法，故A 正确；2424A A 48=对于选项B ：A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站在一起，则有种方法，55A 120=所以A 、B 不相邻共有种方法，故B 错误；1204872-=对于选项C ：根据对称可知A 在B 左边有种排法，故C 正确；120602=对于选项D ：A 站在最左边，则有种方法，44A 24=B 站最右边，则有种方法，44A 24=A 站在最左边，B 站最右边，则有种方法，33A 6=所以A 不站在最左边，B 不站最右边，有种方法，故D 错误.1202424678--+=故选：AC 11．AD【分析】对变形为，得到其被10除得的余数为a 10010990010(101)C 10Cl 10C 101a =-=-+⋯-+1，即可得到答案.【详解】，20201010010990010(12)39(101)C 10Cl 10C 101a =+===-=-+⋯-+ ∴被10除得的余数为1，而2011与2021被10除得的余数是1，故选：AD ．12．ABCD【分析】根据条件，通过换元得到，对于选项ACD ，通过赋5250125(1)t a a t a t a t -=++++ 值即可得判断出相应选项的正误；对于选项B ，利用展开式的通项公式为5(1)t -，即可求出，从而判断出选项B 正确.515C (1),(05,N )r rr r T t r r -*+=-≤≤∈310a =【详解】因为，5250125(1)(1)(1)x a a x a x a x =+++++++ 令，得到，1x t +=5250125(1)t a a t a t a t -=++++ 选项A ，令，得到，所以选项A 正确；0=t 01a =-选项B ，因为展开式的通项公式为，5(1)t -515C (1),(05,N )r rr r T t r r -*+=-≤≤∈令，得到，所以，故选项B 正确；2r =23335C 10T t t ==310a =选项C ，令，得到，又，所以，故选项C 正确；1t =501i i a a =+=∑01a =-511ii a==∑选项D ，令，得到，又，所以1t =-()1515023450(2)1iii a a a a a a a a =-=-+-+--=+∑01a =-.()51131iii a=-=-∑故选：ABCD.13．6【分析】利用排列数与组合数的关系、组合数性质求解即得.【详解】依题意，，又，2311C C n n n -++=333113A C A n n ++=因此，而，333113C C A n n x ++=31C 1n +≥所以.33A 6x ==故614．22【分析】根据分类加法计数原理，分情况计算可得答案.【详解】当时，可表示1条直线；当时，可表示1条直线；0A =0B =当时，A 有5种选法，B 有4种选法，可表示条不同的直线．0AB ≠5420⨯=由分类加法计数原理，知共可表示条不同的直线．112022++=故2215．6【分析】利用二项式系数和公式求出，再利用赋值法求解系数和即可.6n =【详解】因为的所有二项式系数之和为64，所以210121(21)n n n n n x a a x a x a x a x ---=+++⋅⋅⋅++，264n =所以，令，，所以，6n =1x =60126(21)a a a a -=+++⋅⋅⋅+01261a a a a +++⋅⋅⋅+=令，，即，所以.0x =60(01)a -=01a =12601110a a a a ++⋅⋅⋅+=-=-=故；.6016．101n-【分析】逆用二项式定理结合已知条件求解【详解】021*******C 3C 3C 3C 3n n n n n n n n ---⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅()()()()()()121000212221222C 3C 3C 3C 3C 3C 3n n n n n n n n n n n n ---=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅-⋅2(31)1n =+-，101n =-故101n-。
高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 11.1计数原理
高考一轮复习热点难点精讲精析：11.1计数原理一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理※相关链接※1．如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中哪一种方法都能完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；2．在解题时，应首先分清楚怎样才算完成这件事，有些题目在解决时需要进行分类讨论，分类时要适当地确定分类的标准，按照分类的原则进行，做到不重不漏。
※例题解析※〖例〗在1到20这20个整数中，任取两个相加，使其和大于20，共有几种取法？思路解析：采用列举法分类，先确定一个加法，再利用“和大于20”确定另一个加数。
解答：当一个加数是1时，另一个加数只能是20，1种取法。
当一个加数是2时，另一个加数可以是19，20，2种取法。
当一个加数是3时，另一个加数可以是18，19，20，3种取法。
……当一个加数是10时，另一个加数可以是11，12，……，20，10种取法。
当一个加数是11时，另一个加数可以是12，13，……，20，9种取法。
……当一个加数是19时，另一个加数是20，1种取法。
由分类加法计数原理可得共有1+2+3+……+10+9+8+……=100各取法。
（二）分步乘法计数原理的应用※相关链接※1．如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，计算完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理。
2．解题时，关键是分清楚完成这件事是分类还分步，在应用分步乘法计数原理时，各个步骤都完成，才算完成这件事，步骤之间互不影响，即前一步用什么方法，不影响后一步采取什么方法，运用分步乘法计数原理，要确定好次序，还要注意元素是否可以重复选取※例题解析※〖例〗某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2无。
某人想先选定吉利号18，然后从01到17中选3个连续的号，从19到29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《计数原理与概率统计》技巧及练习题含答案
【高中数学】《计数原理与概率统计》知识点一、选择题1．已知不等式501x x -<+的解集为P ，若0x P ∈，则“01x <”的概率为（ ）． A ．14 B ．13C ．12D ．23【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】分析：解分式不等式得集合P ，再根据几何概型概率公式（测度为长度）求结果.详解：(5)(1)050101x x x x x -+<⎧-<⇒⎨+≠+⎩，∴{}|15P x x =-<<，||111x x <⇒-<<，∴1(1)15(1)3P --==--．选B ．点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．2．设某中学的女生体重y （kg ）与身高x （cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数(),i i x y ()1,2,3,,i n =L L ，用最小二乘法建立的线性回归直线方程为ˆ0.8585.71yx =-，给出下列结论，则错误的是（ ） A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．若该中学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0．85kgC ．回归直线至少经过样本数据(),i i x y ()1,2,3,,i n =L L 中的一个D ．回归直线一定过样本点的中心点(),x y 【答案】C 【解析】 【分析】根据回归直线方程的性质和相关概念，对选项进行逐一分析即可. 【详解】因为0.850k =>，所以y 与x 具有正的线性相关关系，故A 正确； 该中学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0．85kg ，故B 正确； 回归直线一定过样本点的中心点(),x y ，回归直线有可能不经过样本数据，故D 正确；C 错误. 故选：C ． 【点睛】本题考查线性回归直线方程的定义，相关性质，属基础题.3．下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；（2）已知2(2,)X N σ:，则 (2)0.5P X >=（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为ˆ23yx =-； （4）“1x ≥”是“12x x+≥”的充分不必要条件. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定． 【详解】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∀∈都有210x ->，是错误的；（2）中，已知()22,X N σ~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所以 (2)0.5P X >=是正确的；（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为ˆ23yx =-是正确；（4）中，当1x ≥时，可得12x x +≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，所以“1x ≥”是“12x x+≥”成立的充分不必要条件． 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．4．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）A．110B．35C．310D．25【答案】D【解析】【分析】【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数n=5×5=25，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=102. 255=故答案为D．5．已知点P,Q为圆C:x2+y2=25上的任意两点,且|PQ|<6,若PQ中点组成的区域为M,在圆C 内任取一点,则该点落在区域M上的概率为()A．35B．925C．1625D．25【答案】B【解析】PQ中点组成的区域M如图阴影部分所示,那么在C内部任取一点落在M内的概率为25π-16π925π25=,故选B.6．某小学要求下午放学后的17：00-18：00接学生回家，该学生家长从下班后到达学校（随机）的时间为17：30-18：30，则该学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为（）A．78B．34C．12D．14【答案】A 【解析】根据题意，设学生出来的时间为x ，家长到达学校的时间为y ，转化成线性规划问题，利用面积型几何概型求概率，即可求得概率. 【详解】解：根据题意，设学生出来的时间为x ，家长到达学校的时间为y ， 学生出来的时间为17：00-18：00，看作56x ≤≤， 家长到学校的时间为17：30-18：30，5.5 6.5y ≤≤，要使得家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子，则需要y x ≥， 则相当于565.56.5x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，即求y x ≥的概率，如图所示：约束条件对应的可行域面积为：1， 则可行域中y x ≥的面积为阴影部分面积：111712228-⨯⨯=， 所以对应的概率为：77818=，即学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为：78. 故选：A.【点睛】本题考查利用面积型几何概型求概率，考查运算求解能力.7．已知()1nx λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，()20121nn n x a a x a x a x λ+=++++L ，若12242n a a a +++=L ，则()0121nn a a a a -+-+-L 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】B【分析】由题意可得5n =，利用赋值法可求得2λ=，再令1x =-即可得解. 【详解】Q ()1nx λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，∴23n n C C =，∴5n =，令0x =，则051a =，令1x =，则()0155212422431a a a a λ+=++=+=++L ，∴2λ=，令1x =-，则()05251112a a a a -=+--+=-L . 故选：B. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，属于中档题.8．如果一个三位数，各位数字之和等于10，但各位上数字允许重复，则称此三位数为“十全九美三位数”（如235，505等），则这种“十全九美三位数”的个数是（ ） A ．54 B ．50 C ．60 D ．58【答案】A 【解析】 【分析】利用分类计数原理，分成有重复数字和无重复数字的情况，即可得答案. 【详解】利用分类计数原理，分成有重复数字和无重复数字的情况：（1）无重复数字：109，190，901，910，127，172，271，217，721，712，136，163，316，361，613，631，145，154，451，415，514，541，208，280，802，820，235，253，352，325，523，532，307，370，703，730，406，460，604，640，共40个， （2）有重复数字：118，181，811，226，262，622，334，343，433，442，424，244，550，505，共14个. 故选：A. 【点睛】本题考查分类计数原理的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不重不漏.9．某城市有3 个演习点同时进行消防演习，现将5 个消防队分配到这3 个演习点，若每个演习点至少安排1 个消防队，则不同的分配方案种数为（ ） A ．150 B ．240C ．360D ．540【答案】A试题分析：由题意得，把5个消防队分成三组，可分为1,1,3，1,2,2两类方法，（1）分为1,1,3，共有1135432210C C C A =种不同的分组方法；（2）分为1,2,2，共有1225422215C C C A =种不同的分组方法；所以分配到三个演习点，共有33(1015)150A +⨯=种不同的分配方案，故选A ．考点：排列、组合的应用．【方法点晴】本题主要考查了以分配为背景的排列与组合的综合应用，解答的关键是根据“每个演习点至少要安排1个消防队”的要求，明确要将5个消防队分为1,1,3，1,2,2的三组是解得关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中，先将5个消防队分为三组，则分配到三个演习点，然后根据分步计数原理，即可得到答案．10．某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为0.3；第一次落地没有打破，第二次落地打破的概率为0.4；前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为0.9．则透镜落地3次以内（含3次）被打破的概率是（ ）． A ．0.378 B ．0.3C ．0.58D ．0.958【答案】D 【解析】分析：分别利用独立事件的概率公式求出恰在第一次、恰在第二次、恰在第三次落地打破的概率，然后由互斥事件的概率公式求解即可.详解：透镜落地3次，恰在第一次落地打破的概率为10.3P =， 恰在第二次落地打破的概率为20.70.40.28P =⨯=， 恰在第三次落地打破的概率为30.70.60.90.378P =⨯⨯=， ∴落地3次以内被打破的概率1230.958P P P P =++=．故选D ．点睛：本题主要考查互斥事件、独立事件的概率公式，属于中档题. 解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.11．若随机变量()23,X N σ:，且()50.2P X ≥=，则()15P X ≤≤等于（ ）A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.3【答案】A 【解析】 【分析】由正态密度曲线的对称性得出()()15125P X P X ≤≤=-≥，由此可得出结果. 【详解】 由于()23,X N σ:，则正态密度曲线关于直线3x =对称，所以()()15125120.20.6P X P X ≤≤=-≥=-⨯=，故选A. 【点睛】本题考查正态分布在指定区间上概率的计算，解题时要确定正态密度曲线的对称轴，利用对称性列等式计算，考查计算能力，属于中等题.12．已知a c ≠，随机变量ξ，η的分布列如表所示.命题p ：=E E ξη，命题q ：D D ξη=，则( ) A ．p 真q 真 B ．p 真q 假C ．p 假q 真D ．p 假q 假【答案】C 【解析】 【分析】首先分别求E ξ和E η，然后比较，利用公式()()22D E E ξξξ=-，利用公式1a b c ++=，计算D D ξη-的值.【详解】12323E a b c a b c ξ=⨯+⨯+⨯=++ 12332E c b a a b c η=⨯+⨯+⨯=++ ，()2E E c a ξη-=- a c ≠Q ，E E ξη∴≠，所以命题p 是假命题，()249E a b c ξ=++，()()2223E a b c ξ=++，所以()()24923D a b c a b c ξ=++-++()294E a b c η=++，()()2232E a b c η=++，()()()()2229432D E E a b c a b c ηηη=-=++-++ ，()()()()()2283223D D c a a b c a b c ξη-=-+++-++()()()822444c a a c a b c =-+-++ ， 1a b c ++=Q ，所以()()()()880D D c a a c ξη-=-+-=， 即()()D D ξη=,所以命题q 是真命题. 综上可知p 假q 真. 故选：C 【点睛】本题考查离散型分布列的期望方差，属于重点题型，本题使用的关键公式是()()22D E E ξξξ=-，比较大小的关键是利用1a b c ++=.13．设1021001210)x a a x a x a x =++++L ，那么()(220210139)a a a a a a +++-+++LL 的值为（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．101)【答案】C 【解析】 【分析】令1x =和1x =-得到012310a a a a a ++++L ，012310a a a a a -+-++L ，再整体代入可得； 【详解】解：因为)102101210xa a x a x a x =++++L ，令1x =得)10123101a a a a a =++++L ，令1x =-得)10123101a a a a a =-+-++L ，所以()(220210139)a a a a a a +++-+++L L()()012310012310a a a a a a a a a a =++++-+-++L L))101011=⋅))1011⋅⎡⎤⎣⎦=1011== 故选：C 【点睛】本题考查利用待定系数法求二项式系数和的问题，属于中档题．14．若实数2a =，则1019228101010222a C a C a -+-+L 等于( )A ．32B ．－32C ．1 024D ．512【答案】A 【解析】 由题意可得：()()1019222101010101022222232.a C a C a a -+-+=-==L本题选择A 选项.15．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A ．12B ．13C ．16D ．112【答案】B 【解析】 【分析】求得基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=， 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为13m p n ==，故选B. 【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.16．已知()929012913x a a x a x a x -=++++L ，则019a a a +++…等于（ ） A ．92 B ．94 C ．93 D ．1【答案】B 【解析】 【分析】求出二项式()913x -展开式的通项为()193rrr T C x +=⋅-，可知当r 为奇数时，0r a <，当r 为偶数时，0r a >，然后代入1x =-即可得出019a a a ++⋯+的值.【详解】二项式()913x -展开式的通项()193rr r T C x +=⋅-，当r 为奇数时，0r a <，当r 为偶数时，0r a >，因此，()990191314a a a ⎡⎤++⋯+=-⨯-=⎣⎦.故选：B. 【点睛】本题考查利用赋值法求各项系数绝对值之和，要结合二项式定理判断各项系数的符号，考查推理能力与计算能力，属于中等题.17．若二项式2nx ⎫⎪⎭的展开式中各项的系数和为243，则该展开式中含x 项的系数为（ ） A ．1 B ．5 C ．10 D ．20【答案】C 【解析】 【分析】对2nx ⎫⎪⎭令1x =，结合展开式中各项的系数和为243列方程，由此求得n 的值，再利用二项式展开式的通项公式，求得含x 项的系数.【详解】对2n x ⎫⎪⎭令1x =得()123243n n +==，解得5n =.二项式52x ⎫⎪⎭展开式的通项公式为()515312225522rr rr rr C x xC x---⎛⎫⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，令53122r -=，解得1r =，故展开式中含x 项的系数为115210C ⋅=.故选：C. 【点睛】本小题主要考查二项式展开式各项系数之和，考查求二项式展开式指定项的系数，属于基础题.18．有一散点图如图所示，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正确的是（ ）A ．残差平方和变小B ．相关系数r 变小C ．相关指数2R 变小D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱【答案】A【解析】【分析】 由散点图可知，去掉(3,10)D 后，y 与x 的线性相关性加强，由相关系数r ，相关指数2R 及残差平方和与相关性的关系得出选项.【详解】∵从散点图可分析得出：只有D 点偏离直线远，去掉D 点，变量x 与变量y 的线性相关性变强，∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，故选A.【点睛】该题考查的是有关三点图的问题，涉及到的知识点有利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况，属于简单题目.19．数学老师给校名布置了10道数学题，要求小明按照序号从小到大的顺序，每天至少完成一道，如果时间允许，也可以多做，甚至在一天全部做完，则小明不同的完成方法种数为A ．55B ．90C ．425D ．512【答案】D【解析】利用隔板法，10道题中间有9个空格，若1天做完，有09C 种；若2天做完，从9个空格中插入一个板，分成2天，则有19C 种；若3天做完，则有29C 种；以此类推，若9天做完，则有89C 种；若10天做完，则有99C 种；故总数为012899999992512C C C C C +++⋅⋅⋅+==. 故选D.20．6件产品中有4件合格品，2件次品.为找出2件次品，每次任取一个检验，检验后不放回，则恰好在第四次检验后找出所有次品的概率为（ ）A ．35B ．13C ．415D ．15【答案】C【解析】【分析】题目包含两种情况：第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，计算概率得到答案.【详解】题目包含两种情况： 第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，2314615C p C ==； 第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，44246115C p C ==； 故12415p p p =+=. 故选：C .【点睛】 本题考查了概率的计算，忽略掉前面四次都是正品的情况是容易发生的错误.。
高考数学一轮复习专题十计数原理1计数原理与排列组合综合集训含解析新人教A版
专题十计数原理备考篇【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、计数原理、排列、组合1.分类加法计数原理,分步乘法计数原理(1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.(2)会用两个原理分析和解决一些简单的实际问题.2.排列与组合(1)理解排列、组合的概念.(2)能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.(3)能解决简单的实际问题.1.从近几年的高考命题情况看,考题难度以中低档为主,题型以选择题,填空题的形式出现.2.考查内容主要体现以下方面:(1)利用排列、组合解决实际问题或利用排列、组合解决概率有关问题;(2)利用二项式展开式的通项求指定项系数或求二项式系数问题;(3)利用二项式展开式求二项式系数最值问题或求系数最值问题,常以这些内容为考查重点,同时关注分类讨论1.在处理排列、组合的应用问题时,常采用直接法,间接法,在处理二项式问题时常采用公式法.2.用排列、组合知识解决计数问题时,如果遇到的情况较为复杂,即分类较多,标准也较多,同时所求计数的结果不太容易计算时,往往利用表格法、树状图法将其所有的可能一一列举出来,这样会更容易得出结果.3.求解二项式展开式的特定项时,即求展开式中的某一项,如第n项,常数项,有理项,字母指数为某些特殊值的项,先准确写出通项T r+1=C n r a n-r b r,再把系数与字母分离出来(注意符号),最后根据题目中指定的字母的指数所具有的特征,列出关系式求解即可.4.关注排列、组合在解决求离散型随机变量分布列中的应用,能够在不同背景下抽象的数学本质,强化在知识的形式过程,知识的迁移中渗透学科素养.二、二项式定理1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.思想在处理排列、组合问题中的应用.【真题探秘】命题立意(1)必备知识:计数原理与排列、组合.(2)考查能力:逻辑推理能力与运算求解能力.(3)核心素养:数学运算.解题过程第一步:安排甲场馆的志愿者,则甲场馆的安排方法有C61=6种,第二步:安排乙场馆的志愿者,则乙场馆的安排方法有C52=10种,第三步:安排丙场馆的志愿者,则丙场馆的安排方法有C33=1种.所以共有6×10×1=60种不同的安排方法.故选C.易错警示对于排列、组合问题,首先要分析元素是否可重复,其次要分析是排列问题,还是组合问题.知能拓展(1)原理解读:分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点是把一个原始事件分解成若干个事件来完成,两个原理的区别在于一个与分类有关,一个与分步有关.这两个计数原理是最基本也是最重要的计数原理,是解答排列与组合问题,尤其是解答较复杂的排列与组合问题的基础.(2)方法拓展:解排列问题的主要方法有直接法、优先法、捆绑法、插空法、间接法.分配问题有平均分配问题与非平均分配问题.[教师专用题组]1.真题多维细目表考题涉题型难度考点考向解题方法核心素养分2020新高考Ⅰ,3 5单项选择题易排列、组合分配问题直接法数学运算2020新高考Ⅱ,6 5单项选择题易排列、组合分配问题直接法数学运算2020课标Ⅰ理,8 5选择题中二项式定理求展开式中指定项的系数分类讨论法数学运算逻辑推理2020北京,3 4选择题易二项式定理求展开式中指定项的系数公式法数学运算逻辑推理2020天津,11 5填空题易二项式定理求展开式中指定项的系数公式法数学运算逻辑推理2.命题规律与探究1.从2020年高考情况来看,考题难度以中低档为主,主要以选择题、填空题的形式出现,分值为5分.2.本专题内容在高考试题中以排列组合的综合应用,利用二项式定理求二项式系数或求指定项系数为主,考查了学生处理问题的思维严密性和分类讨论的数学思想方法.3.在处理排列组合的应用问题时,常采用直接法、间接法;在处理二项式问题时常采用公式法.4.本章重点考查的学科核心素养为数学运算和逻辑推理.3.命题变化与趋势1.从2020年高考情况来看,考查方式及题目难度与往年变化不大,延续此前的考试风格.2.考查内容主要体现在以下方面:①利用排列、组合解决实际问题,或利用排列、组合解决概率有关问题.②利用二项展开式的通项公式求指定项系数或求二项式系数问题.③利用二项式展开式求二项式系数最值问题或求系数最值问题.常以这些内容为考查重点,同时关注分类讨论思想在处理排列、组合问题中的应用.3.加强关注排列、组合在解决求离散型随机变量分布列中的应用,能够在不同背景下抽象出数学本质.强化在知识的形成过程、知识的迁移中渗透学科素养.4.真题典例核心考点(1)排列、组合;(2)分组、分配问题.知识储备(1)解排列问题的主要方法:直接法,特殊位置或元素优先考虑法、相邻捆绑法、不相邻插空法;间接法.(2)分组分配:先分组后分配原则,必须注意是均匀分配还是非均匀分配问题;(3)排列、组合问题中注意适当分类后可避免重复计数问题.思路分析(1)这是一个定向的完全不均匀分配问题;(2)先把6名学生按人数分为1、2、3三个小组,再分别去三个场馆.易错警示本题是一个完全不均匀分组后再定向分配问题,容易出现分组再分配的错误.命题规律分组、分配问题是排列、组合的综合问题,解题思想是先分组后分配.分组问题属于“组合”问题,常见的分组方法有三种:①完全均匀分组,每组元素的个数都相等;②部分均匀分组,应注意不要重复;③完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象.§10.1计数原理与排列、组合基础篇【基础集训】考点计数原理、排列、组合1.已知某公园有4个门,从一个门进,另一个门出,则不同的走法的种数为 ()A.16B.13C.12D.10答案 C2.满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为()A.14B.13C.12D.10答案 B3.中国国家队在2018俄罗斯世界杯亚洲区预选赛12强小组赛中以1比0力克韩国国家队,赛后有六名队员打算排成一排照相,其中队长主动要求排在排头或排尾,甲、乙两人必须相邻,则满足要求的排法有()A.34种B.48种C.96种D.144种答案 C4.某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队,平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊,其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士,则不同的分配方案有()A.72种B.36种C.24种D.18种答案 B5.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,则比40000大的偶数共有 ()A.114个B.120个C.96个D.72个答案 B6.高考结束后6名同学游览某市包括日月湖在内的6个景区,每名同学任选一个景区游览,则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有()A.A62×A54种B.A62×54种C.C62×A54种D.C62×54种答案 D7.如图所示,用五种不同的颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有种.答案1808.有3女2男共5名志愿者要全部分到3个社区去参加志愿服务,每个社区1到2人,甲、乙两名女志愿者需到同一社区,男志愿者到不同社区,则不同的分法种数为.答案12[教师专用题组]【基础集训】1.(2020山西大同开学学情调研,4)从6名大学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人,组成4人知识竞赛代表队,则不同的选法共有()A.15种B.180种C.360种D.90种答案B先从6名大学生中选出队长1人,副队长1人,再从剩下的4人中选2人,故有A62C42=180种,故选B.解题关键解决此类问题的关键是判断问题与顺序有没有关系.2.(2019陕西汉中二模,10)汉中市2019年油菜花节在汉台区举办,组委会将甲、乙等6名工作人员分配到两个不同的接待处负责接待工作,每个接待处至少2人,则甲、乙两人不在同一接待处的分配方法共有()A.12种B.22种C.28种D.30种答案C将6名工作人员分成A,B两组,对应两个不同的接待处,由题可分两种情况讨论:①甲在A组,组内分到其他四人中的1人,2人或3人,则有C41+C42+C43=14种分法;②甲在B组,组内分到其他四人中的1人,2人或3人,则有C41+C42+C43=14种分法.一共有14+14=28种分法.故选C.解题关键本题考查分类加法计数原理,解题的关键是分类列出所有可能情况,属于一般题.3.(2018四川德阳三校联考,7)从5名学生中选出4名分别参加数学,物理,化学,生物竞赛,其中甲不能参加生物竞赛,则不同的参赛方案种数为()A.48B.72C.90D.96答案D根据题意,从5名学生中选出4名分别参加竞赛,分2种情况讨论:①选出的4人中没有甲,即选出其他4人参赛,有A44=24种情况;②选出的4人中有甲,由于甲不能参加生物竞赛,则甲有3种选法,在剩余4人中任选3人参加剩下的三科竞赛,有A43=24种选法,则此时共有3×24=72种选法,故共有24+72=96种不同的参赛方案.故选D.4.(2018广东中山一中第五次统测,7)从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为 ()A.85B.49C.56D.28答案B∵丙没有入选,∴只需把丙去掉,总的元素个数变为9.∵甲、乙至少有1人入选,∴由条件可分为两类:一类是甲、乙两人只选一人,选法有C21·C72=42种;另一类是甲、乙都选,选法有C22·C71=7种,根据分类计数原理知共有42+7=49种,故选B.5.一个旅游景区的游览线路如图所示,某人从P点处进,Q点处出,沿图中线路游览A,B,C三个景点及沿途风景,则不重复(除交汇点O外)的游览线路有 ()A.6种B.8种C.12种D.48种答案D从点P处进入后,参观第一个景点时,有6个路口可以选择,从中任选一个,有C61种选法;参观完第一个景点,参观第二个景点时,有4个路口可以选择,从中任选一个,有C41种选法;参观完第二个景点,参观第三个景点时,有2个路口可以选择,从中任选一个,有C21种选法,则共有C61C41C21=48(种),故选D.综合篇【综合集训】考法一排列、组合问题的解题方法1.(2019重庆万州二模,6)某中学某班主任要从7名同学(其中3男4女)中选出两名同学,其中一名担任班长,另一名担任学习委员,且这两名同学中既有男生又有女生,则不同的安排方法有()A.42种B.14种C.12种D.24种答案 D2.(多选题)(2021届山东师大附中模拟)“二进制”与我国古代的《易经》有着一定的联系,该书中有两类最基本的符号:“——”和“——”,其中“——”在二进制中记作“1”,“——”在二进制中记作“0”,其变化原理与“逢二进一”的法则相通.若从两类符号中任取2个符号排列,则可以组成的不同的十进制数为 ()A.0B.1C.2D.3答案ABCD3.(2020山东烟台期末)为弘扬我国古代的“六艺文化”,某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程,每周一门,连续开设六周.若课程“乐”不排在第一周,课程“御”不排在最后一周,则所有可能的排法种数为()A.216B.480C.504D.624答案 C4.(2019甘肃嘉峪关一中模拟)在高三某班进行的演讲比赛中,共有5位选手参加,其中3位女生,2位男生,如果2位男生不能连续出场,且女生甲不能排第一个,那么出场顺序的排法种数为.答案605.(2020广东广州执信中学月考,14)有6张卡片分别写有数字1,1,1,2,2,2,从中任取4张,可排出的四位数有个.答案14考法二分组分配问题的解题方法6.(2021届辽宁上学期测试,7)我国即将进入双航母时代,航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰,1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队,则不同的组建方法种数为()A.30B.60C.90D.120答案 D7.(2019广东肇庆第一次统测,11)将甲、乙、丙、丁、戊共5人分配到A、B、C、D共4所学校,每所学校至少一人,且甲不去A学校,则不同的分配方法有 ()A.72种B.108种C.180种D.360种答案 C8.(2019福建厦门一中月考,7)小明和小红都计划在国庆节的7天假期中到厦门“两日游”,若他们不同一天出现在厦门,则他们出游的不同方案共有()A.16种B.18种C.20种D.24种答案 C9.(2021届浙江高考选考科目9月联考,15)某地需要安排人员分别在上午、下午、前半夜、后半夜四个时间段值班,要求每班至少含一名民警和一名医务人员,且至少有一名女性,每人值一班.现有民警4人(4男),医务人员6人(5女1男),其中民警甲不排上午,男医生不排上午、下午,则不同的安排方法有种.答案8640[教师专用题组]【综合集训】考法一 排列、组合问题的解题方法1.(2018安徽合肥调研性检测,9)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3000的四位数,这样的四位数有 ( )A.250个B.249个C.48个D.24个答案 C 先考虑四位数的首位,当排数字4,3时,其他三个数位上可从剩余的4个数中任选3个进行全排列,得到的四位数都满足题设条件,因此依据分类加法计数原理可得满足题设条件的四位数共有2A 43=2×4×3×2=48个,故选C .2.(2017河南百校联考质检,7)甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排照毕业相,要求甲不站在两侧,而且乙和丙相邻、丁和戊相邻,则不同的站法种数为 ( )A.60B.96C.48D.72答案 C 第一步:先把乙和丙,丁和戊看作两个整体,和己进行全排列,共有A 33A 22A 22种站法;第二步:安排甲,因为甲不站在两侧,所以从乙和丙,丁和戊,己之间的两个空中任取一个,共有2种站法,所以共有2A 33A 22A 22=48种不同的站法,选C .3.(2020吉林延边二中9月月考,8)某次演出共有6位演员参加,规定甲只能排在第一个或最后一个出场,乙和丙必须排在相邻的顺序出场,则不同的演出顺序共有 ( )A.24种B.144种C.48种D.96种答案 D 把乙、丙看作一个元素,此时有5个元素,若甲排第一个,有A 44A 22=48种情况,若甲排最后一个,有A 44A 22=48种情况,共有48+48=96种情况,故选D.解题关键 本题主要考查排列的应用,结合特殊元素优先法以及相邻问题捆绑法是解决本题的关键.4.(2018福建福州二模,8)福州西湖公园花展期间,安排6位志愿者到4个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,不同的安排方案共有( )A.90种B.180种C.270种D.360种答案 B 根据题意,分3步进行分析:①在6位志愿者中任选1位,安排到甲展区,有C 61=6种情况;②在剩下的5位志愿者中任选1位,安排到乙展区,有C 51=5种情况;③将剩下的4位志愿者平均分成2组,然后安排到剩下的2个展区,有C 42C 22A 22×A 22=6种情况,则一共有6×5×6=180种不同的安排方案,故选B.5.(2018豫北名校联考,9)2018年元旦假期,某校高三的8名同学准备拼车去旅游,其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名.8名同学分乘甲、乙两辆汽车,每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置),其中(1)班两位同学是孪生姐妹,需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有()A.18种B.24种C.48种D.36种答案B由题意,有两类:第一类,(1)班的2名同学在甲车上,甲车上剩下2名同学要来自不同的班级,从3个班级中选2个班级,有C32=3种情况,然后分别从选择的班级中再选择1名同学,有C21C21=4种情况,故有3×4=12种情况.第二类,(1)班的2名同学不在甲车上,则从剩下的3个班级中选择1个班级的2名同学坐在甲车上,有C31=3种情况,然后再从剩下的2个班级中分别选择1名同学,有C21C21=4种情况,这时共有3×4=12种情况.根据分类加法计数原理得,共有12+12=24种不同的乘车方式,故选B.6.(2017江西八所重点中学联合模拟,13)摄像师要对已坐定一排照相的5位小朋友的座位顺序进行调整,要求其中恰有2人座位不调整,则不同的调整方案的种数为.(用数字作答)答案20解析从5人中任选3人有C53种,将3人位置全部进行调整,有C21·C11·C11种,故有C53·C21·C11·C11=20种调整方案.思路分析先考虑从5人中任选3人的方法数,再考虑3人位置全调的方法数,进而利用分步乘法计数原理得结果.7.(2019北京昌平二模,12)2019年3月2日,昌平“回天”地区开展了7种不同类型的“三月雷锋月,回天有我”社会服务活动.其中有2种活动既在上午开展、又在下午开展,3种活动只在上午开展,2种活动只在下午开展.小王参加了两种不同的活动,且分别安排在上、下午,那么不同安排方案的种数是.答案18解析不同安排方案的种数为C51C21+C21C31+C21C11=18.8.(2018北京西城一模,13)安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目,每人只参加一个项目,每个项目都有人参加.若甲、乙2人不能参加同一个项目,则不同的安排方案的种数为.(用数字作答)答案30解析不同的安排方案的种数为C31×C21×(C21+C31)=30.11 考法二 分组、分配问题的解题方法1.(2018广东珠海模拟,7)将5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则不同放法共有 ( )A.480种B.360种C.240种D.120种答案 C 根据题意,将5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则必须有2个小球放入1个盒子,其余的小球各单独放入一个盒子,分2步进行分析:①先将5个小球分成4组,有C 52=10种分法;②将分好的4组全排列,放入4个盒子,有A 44=24种情况,则不同的放法有10×24=240种.故选C.思路分析 根据题意,分2步进行分析:①先将5个小球分成4组,②将分好的4组全排列,放入4个盒子,由分步乘法计数原理计算可得答案.方法总结 本题中涉及分组分配问题:先分组再分配.若涉及均匀分组问题,在均匀分成n 组时,注意除以A C C .2.(2019辽宁大连模拟,7)把标号为1,2,3,4的四个小球分别放入标号为1,2,3,4的四个盒子中,每个盒子只放一个小球,则1号球不放入1号盒子的方法共有 ( )A.18种B.9种C.6种D.3种答案 A 由于1号球不放入1号盒子,则1号盒子有2、3、4号球三种选择,剩余的三个球可以任意放入2、3、4号盒子中,则2号盒子有三种选择,3号盒子还剩两种选择,4号盒子只有一种选择,故1号球不放入1号盒子的方法有C 31·C 31·C 21·1=18种.故选A.3.(2019山西高考考前适应性模拟(三),15)将5名学生分配到3个社区参加社会实践活动,每个社区至少分配一人,则不同的分配方案有 种.(填写数字)答案 150解析 当一个社区3人,其他社区各1人时,方案有C 53A 33=60种;当一个社区1人,其他社区各2人时,方案有C 51C 42C 22A 22·A 33=90种.故不同的分配方案共有150种.。
高考数学三轮冲刺专题计数原理练习(含解析)(2021年整理)
山东省齐河县高考数学三轮冲刺专题计数原理练习（含解析）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（山东省齐河县高考数学三轮冲刺专题计数原理练习（含解析））的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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计数原理一、选择题（本大题共12小题，共60分）1。
如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A. 24B. 18C. 12D. 9（正确答案）B解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段,每条南北向的街道被分成2段，从E到F最短的走法，无论怎样走,一定包括4段，其中2段方向相同,另2段方向相同,每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有种走法．同理从F到G，最短的走法，有种走法．小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为种走法．故选：B．从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，由组合数可得最短的走法,同理从F到G,最短的走法,有种走法,利用乘法原理可得结论．本题考查排列组合的简单应用，得出组成矩形的条件和最短走法是解决问题的关键，属基础题2。
某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为A. 1080B. 480 C。
1560 D. 300（正确答案）C解:先把6名技术人员分成4组，每组至少一人．若4个组的人数按3、1、1、1分配，则不同的分配方案有种不同的方法．若4个组的人数为2、2、1、1，则不同的分配方案有种不同的方法．故所有的分组方法共有种．再把4个组的人分给4个分厂，不同的方法有种,故选:C．先把6名技术人员分成4组,每组至少一人，再把这4个组的人分给4个分厂，利用乘法原理，即可得出结论．本题考查组合知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确分组是关键．3. 如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择要求每个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法种数为A. 84B. 72C. 64 D。
高考理数考前20天终极冲刺攻略：计数原理含答案
核心考点解读——计数原理两个计数原理（II ）排列、组合（II ） 二项式定理（II ）1.从考查题型来看，涉及本知识点的题目以选择题、填空题为主，考查计数原理及二项式展开式中特定项或其系数等问题，2.从考查内容来看，主要考查利用两个计数原理及排列数、组合数公式，结合分类讨论思想考查完成事情的方法总数；考查利用二项式定理，求解二项展开式中特定项或其系数或系数的最大或最小问题等.3.从考查热点来看，排列、组合、二项式定理是高考命题的热点，根据两个计数原理及排列数、组合数公式确定完成事情的方法总数，同时注意方法的选用.二项展开式中特定项的系数问题是主要的考查内容，着重考查学生运用公式计算的能力.1.两个计数原理(1)分类加法计数原理：完成一件事有n 类不同的方案，在第一类方案中有1m 种不同的方法，在第二类中有2m 种不同的方法，…，在第n 类方案中有n m 种不同的方法，则完成这件事的所有方法种数为12n N m m m =+++L .(2)分步乘法计数原理：完成一件事需要n 个不同的步骤，在第一个步骤中有1m 种不同的方法，在第二个步骤中有2m 种不同的方法，…，在第n 个步骤中有n m 种不同的方法，则完成这件事的所有方法种数为12n N m m m =⨯⨯⨯L .(3)两个计数原理的区别在于完成事情的方法是可以完成事情的所有，还是完成事情的某一个步骤.分类加法计数原理中的各种方法都是相互独立的，任何一种方法都能够完成这件事情；分步乘法计数原理中各个步骤的方法是相互联系的，只有各个步骤都完成，才能完成这件事情.要注意两个计数原理的综合应用. 2.排列、组合(1)排列与排列数：一般的，从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A mn 表示. 排列数公式：!A (1)(2)(1)()!mn n n n n n m n m =---+=-L .若n 为偶数，则第12n +项的二项式系数2C nn 最大；若n 为奇数，则第112n -+ 和112n ++项的二项式系数12C n n -和12C n n +最大. (3)利用二项展开式的通项求特定项的系数时，可以通过建立方程找到该项是展开式的哪一项，然后再求得该项的系数.(4)二项展开式的系数和或差问题的求解策略通常是采用赋值法，令1x =，则可以求得二项展开式中所有项的系数的和；令1x =-，则可以求得二项展开式中所有项的系数正、负相间的和；若上述两式相加或相减，则可以得到展开式中所有的奇数项系数的和与偶数项系数的和；令0x =，则可以求得展开式中常数项的系数.(5)求解两个二项式乘积中一些特定项或特定项的系数的问题可以根据多项式的乘法法则，弄清楚这些特定的项的构成规律，然后再进行具体的计算.1．（2017高考新课标I ，理6）621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．352．（2017高考新课标II ，理6）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种3．（2017高考新课标III ，理4）错误!未找到引用源。
高考数学(统考版)二轮备考小题提升精练13 概率与计数原理(理)
小题必练13：概率与计数原理1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题．2．理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题． 3．理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题． 4．会利用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．【2020全国1卷理科】25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为（）A ．5B ．10C ．15D ．202．【2020全国Ⅱ卷理科】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种．一、选择题．1．有4位教师在同一个年级的4个班中各教一个班的数学，在一次数学检测时，要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有（） A ．8种B ．9种C ．10种D ．11种2．若222C A 42n =，则!3!(3)!n n =-（）A ．7B ．8C ．35D ．403．在报名的3名男生和6名女生中，选取5人参加义务劳动，要求男生、女生都有，则不同的选取方式的种数为（） A ．120B ．126C ．240D ．2524．在二项式3)nx的展开式中，各项系数之和为A ，二项式系数之和为B ，若72A B +=，则n =（） A ．3B ．4C ．5D ．65．从集合{}1,2,3,8,9,10任取三个不同的数，使得这三个数构成等比数列，则这样的等比数列的个数有（） A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个6．2019年春节假期，旅游过年持续火爆．特别是：东北雪乡、梦回大唐、江南水乡、三亚之行这四条路线受到广大人民的热播．现有4个家庭准备去这四个地方旅游，假设每个家庭均从这四条路线中任意选取一条路线去旅源，则恰有一条路线未被选中的概率为（） A ．2764B ．C ．81256D ．11327．将多项式656510a x a x a x a ++++分解因式得5(2)(2)x x -+，则5a =（）A ．8B ．10C ．12D ．18．安排3人完成5项不同工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式种数为（） A ．60 B ．150 C ．180 D ．2409．若2016220160122016(12)x a a x a x a x -=++++，则20161222016222a a a +++的值为（） A ．2B ．0C ．1-D ．2-10．由数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，定义个位数字比十位数字大、千位数字是偶数、百位数字为奇数的没有重复数字的四位数为“特征数”，从组成的所有没有重复数字的四位数中任取一个，则这个四位数是“特征数”的概率为（） A ．320B ．310C ．34D ．2511．将6名党员干部分配到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名党员干部，则不同的分配方案共有（） A ．2640种 B ．4800种 C ．1560种 D ．7200种12．若201920011920(1)x a a x a x a x +=++++，则01910a a a a ++++的值为（）916A ．192 B ．19102012C 2- C ．19102012C 2+D ．1910202C +二、填空题．13．若5(cos )x ϕ+的展开式中3x 的系数为4，则πsin(2)2ϕ-=． 14．从集合}{9,8,7,6,5,4,3,2=M 中分别取两个不同的数作为对数的底数和真数，一共可以得到个不同的对数值．15．《中国诗词大会》亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面(可以不相邻)，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有种．16．某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为．小题必练13：概率与计数原理1． 【答案】C【解析】5()x y +展开式的通项公式为515C r r rr T x y -+=（r ∈N 且），所以与5()x y +展开式的乘积可表示为：56155C C r r rr r rr xT x xy xy --+==或54255212C C r r r r r r r T x y y y y xx x --++==，在615C rrr r xT xy -+=中，令，可得33345C xT x y =，该项中的系数为，5r ≤2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3r =33x y 10在42152C r r r r T x xy y -++=中，令，可得521332C y x T x y=，该项中的系数为， 所以的系数为，故选C ．【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题． 2． 【答案】【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，先取2名同学看作一组，选法有24C 6=，现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有33A 6=，根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种，故答案为．【点睛】本题主要考查了计数原理的实际应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．一、选择题． 1． 【答案】B【解析】设四位监考教师分别为，他们所教的班分别为， 假设监考，则余下的三人监考剩下的三个班，共有种不同的方法， 同理监考时，余下的三人监考剩下的三个班，也分别有种不同的方法， 由分步加法计数原理知，监考方法共有种． 2． 【答案】C 【解析】，∴，∴，故选C ． 1r =33x y 533x y 10515+=36∴6636⨯=36,,,A B C D ,,,a b c d A b 3A ,c d 33339++=(1)2422n n -⨯=7n =!7!353!(3)!3!4!n n ==-3． 【答案】A【解析】根据题意，报名的名男生和名女生，共名学生， 在名中选取人，参加志愿服务，有59C 126=种，其中只有女生的有56C 6=种情况，则男、女生都有的选取方式的种数为种． 4． 【答案】A【解析】∵各项系数之和为，∴二项式系数之和为．∵，∴，∴，∴．5． 【答案】D【解析】当公比为时，等比数列可为；； 当公比为时，等比数列可为；当公比为时，等比数列可为， 同时数列；；；也为等比数列， 故共有个． 6． 【答案】B【解析】所有情况为，恰有一条路线未被选中的情况为323443C C A ，故所求概率3234434C C A 9416P ==． 7． 【答案】A【解析】524(2)(2)(4)(2)x x x x -+=-+，所以展开式中的三次项系数为114C 28⋅=，所以58a =，故选A ．8．369951266120-=(13)4n n +=2n72A B +=4272nn +=28n =3n =21,2,42,4,831,3,9324,6,94,2,18,4,29,3,19,6,48444(2)x +【解析】根据题意，分步进行分析： ①将项工作分成组，若分成、、的三组，有31152122C C C 10A =种分组方法， 若分层、、的三组，有22153122C C C 15A =种分组方法，则将项工作分成组，有种分组方法；②将分好的三组全排列，对应名志愿者，有33A 6=种情况，则有种不同的分组方法，故答案为B ． 9． 【答案】C【解析】当时，左边，右边，∴， 当时，，即，故选C ． 10． 【答案】A【解析】由数字组成没有重复数字的四位数，共有46A 6543360=⨯⨯⨯=（个），第一步，考虑千位数字，情况有13C 3=（种）； 第二步，考虑百位数字，情况有13C 3=（种）；第三步，同时考虑个位数字和十位数字，情况有24C 6=（种），故共有（种）．从所有没有重复数字的四位数中任取一个，则这个数是“特征数”的概率为． 11． 【答案】C【解析】分两类考虑：第一类，其中个贫困村分配名党员干部，另外个贫困村各分配名25311312253101525+=3256150⨯=0x =1=0a =01a =12x =2016122201610222a a a ++++=201612220161222a a a +++=-1,2,3,4,5,633654⨯⨯=54336020=1331此类分配方案种数为3464C A 480=；第二类，其中个贫困村各分配名党员干部，另外个贫困村各分配名党员干部，此类分配方案种数为22464422C C A 1080A ⋅=，故不同的分配方案共有种． 12． 【答案】C【解析】令，即，又∵，1901910122a a a a ∴++++=，又，∴1910019102012C 2a a a a ++++=+．二、填空题． 13． 【答案】【解析】由二项式定理得，的系数为325C cos 4ϕ=，∴， 故2π1sin(2)cos 212cos 25ϕϕϕ-=-=-=．14． 【答案】【解析】第一步：取底数，有种选法；第二步：取真数，有种选法． 根据分步乘法计数原理可知，共得到个对数，但在这些对数中，有，，，． 所以共得到个不同的对数值． 15．222115601x =200119202a a a a ++++=019111220a a a a a a +++=+++101020a C =153x 22cos5ϕ=52878756⨯=23log 4log 9=49log 2log 3=24log 3log 9=39log 2log 4=56452-=【解析】根据题意，分步进行分析：将《将进酒》、《望岳》和另两首诗词的四首诗词全排列，共有44A 24=种顺序，由于《将进酒》排在《望岳》前面，则这四首诗词的排法有种， 这四首诗词排好后，不含最后位置总共有四个空位，在四个空位中任选两个，安排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》，有24A 12=中安排方法，则后六场的排法有种． 16．【答案】【解析】设停车位有个，这辆共享汽车都不相邻的种数：相当于先将个停车位排放好，再将这辆共享汽车，插入到所成个间隔中，故有32A n -种，恰有辆相邻的种数：先把其中辆捆绑在一起看做一个复合元素，再和另一个插入到，将个停车位排放好所成个间隔中，故有2322A A n -种，因为这辆共享汽车都不相邻的概率与这辆共享汽车恰有辆相邻的概率相等，∴322232A A A n n --=，解得．224122=1212144⨯=10n 3(3)n -3(2)n -22(3)n -(2)n -33210n =。
2023高考数学二轮复习专题复习42 计数原理(解析版)
专题42 计数原理【考点预测】知识点1、分类加法计数原理完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的办法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++种不同的方法．事事A事事事事1事事1事事2事事m 1事事事事n事事1事事2事事m nm 1事m n 事事事事事A 事事m 1+m 2+m 3+···+m n 事事事事事事知识点2、分步乘法计数原理完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =⋅⋅⋅种不同的方法.1事n 事事事事事B 事事m 1×m 2×m 3×···×m n 事事事事事事m 2事m i 事注意：两个原理及其区别分类加法计数原理和“分类”有关，如果完成某件事情有n 类办法，这n 类办法之间是互斥的，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分类加法计数原理.分步乘法计数原理和“分步”有关，是针对“分步完成”的问题.如果完成某件事情有n 个步骤，而且这几个步骤缺一不可，且互不影响（独立），当且仅当依次完成这n 个步骤后，这件事情才算完成，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分步乘法计数原理.当然，在解决实际问题时，并不一定是单一应用分类计数原理或分步计数原理，有时可能同时用到两个计数原理.即分类时，每类的方法可能运用分步完成；而分步后，每步的方法数可能会采取分类的思想求方法数.对于同一问题，我们可以从不同的角度去处理，从而得到不同的解法（但方法数相同），这也是检验排列组合问题的很好方法.知识点3、两个计数原理的综合应用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．【题型归纳目录】题型一：分类加法计数原理的应用 题型二：分步乘法计数原理的应用 题型三：两个计数原理的综合应用 【典例例题】题型一：分类加法计数原理的应用例1．（2022·上海崇明·二模）某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定： （1）每位学生每天最多选择1项；（2）每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下：【答案】14【解析】由题知：周一、二、三、四均可选阅读，体育在周一、三、四， 编程在周一、二、四.①若周一选编程，则体育在周三或周四，故为2种， 阅读在剩下的两天中选为2种，共有224⨯=种方案. ②若周二选编程，则体育在周一，周三或周四，故为3种， 阅读在剩下的两天中选为2种，共有326⨯=种方案. ③若周四选编程，则体育在周一或周三，故为2种， 阅读在剩下的两天中选为2种，共有224⨯=种方案. 综上，共有46414++=种方案. 故答案为：14例2．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}1,2,3M =-，{}4,5,6,7N =--，若从这两个集合中各取一个元素作为点的横坐标或纵坐标，则可得平面直角坐标系中第一、二象限内不同点的个数是（ ） A ．18 B ．16C ．14D ．10【答案】C【解析】分两类情况讨论：第一类，从M 中取的元素作为横坐标，从N 中取的元素作为纵坐标，则第一、二象限内的点共有326⨯=（个）； 第二类，从M 中取的元素作为纵坐标，从N 中取的元素作为横坐标，则第一、二象限内的点共有248⨯=（个），由分类加法计数原理，所以所求个数为6814+=． 故选：C例3．（2022·全国·高三专题练习）在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（允许数字重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．7【答案】B【解析】与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：①与信息0110只有两个对应位置上的数字相同，有24C 6=（个）； ②与信息0110只有一个对应位置上的数字相同，有14C 4=（个）；③与信息0110对应位置上的数字均不相同，有1个．综上，与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有64111++=（个）． 故选：B例4．（2022·全国·高三专题练习）现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（ ） A ．7种 B ．9种 C ．14种 D ．70种【答案】C 【解析】分为三类:从国画中选，有2种不同的选法;从油画中选，有5种不同的选法;从水彩画中选，有7种不同的选法， 根据分类加法计数原理，共有5+2+7= 14(种)不同的选法; 故选：C例5．（2022·全国·高三专题练习）从数字1，2，3，4中取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，则这样的三位数的个数为（ ） A ．7 B ．9 C ．10 D ．13【答案】C【解析】其中各位数字之和等于6的三位数可分为以下情形： ①由1，1，4三个数字组成的三位数：114，141，411共3个；②由1，2，3三个数字组成的三位数：123，132，213，231，312，321共6个； ③由2，2，2三个数字可以组成1个三位数，即222． ∴共有36110++=个，故选：C ．例6．（2022·湖南·株洲市南方中学高三阶段练习）用标有1克，5克，10克的砝码各一个，在一架无刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置砝码，那么可以称出的不同克数（正整数的重物）有多少种?（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】A【解析】①当天平的一端放1个砝码，另一端不放砝码时，可以成量重物的克数有1克，5克，10克； ②当天平的一端放2个砝码，另一端不放砝码时，可以成量重物的克数有156+=克，11011+=克，51015+=克；③当天平的一端放3个砝码，另一端不放砝码时，可以成量重物的克数有151016++=克 ④当天平的一端放1个砝码，另一端也放1个砝码时，可以成量重物的克数有514-=克，1019-=克，1055-=克；⑤当天平的一端放1个砝码，另一端也放2个砝码时，可以成量重物的克数有105114+-=克，10156+-=克，()10514-+=克；去掉重复的克数后，可称重物的克数有10种， 故选：A例7．（2022·上海嘉定·高三阶段练习）正整数484有个不同的正约数___________. 【答案】9【解析】22484221111211=⨯⨯⨯=⨯设d 为484的正约数，则211i j d =⨯，（i =0，1，2，j =0，1，2） 例如：0i =，0j =时，00211=11=1d =⨯⨯是484的约数，1i =，2j =时，12211=2121=242d =⨯⨯是484的约数，2i =，2j =时，22211=4121=484d =⨯⨯是484的约数，因此，484的正约数个数，即d 的不同取值个数，第一步确定i 的值，有3种可能，第二步确定j 的值，有3种可能，因此d 的取值共有339⨯=种. 故答案为：9.题型二：分步乘法计数原理的应用例8．（2022·云南·高三阶段练习）图中的矩形的个数为（ ）D ．120【答案】C【解析】由题意，矩形的两条邻边确定，矩形就确定，第一步先确定“横边”， 从5个点任选2个点可以组成一条“横边”，共有25C 种情况； 第二步再确定“竖边”，共有24C 种情况，所以图中矩形共有2254C C 10660⨯=⨯=.故选：C.例9．（2022·四川·树德怀远中学高三开学考试（理））从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（ ） A ．24 B ．18 C ．12 D ．6【答案】C【解析】根据题意，要使组成无重复数字的三位数为偶数，则从0，2中选一个数字为个位数，有2种可能，从1，3，5中选两个数字为十位数和百位数，有23A 326=⨯=种可能，故这个无重复数字的三位数为偶数的个数为2612⨯=． 故选：C ．例10．（2022·福建·高三阶段练习）为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程，甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有（ ） A ．120种 B ．150种C ．210种D ．216种【答案】C【解析】依题意，每名同学都有6种选择方法，所以这3名学生所选活动课程不全相同的选法有366210-=种. 故选：C例11．（2022·全国·高三专题练习）核糖核酸RNA 是存在于生物细胞以及部分病毒、类病毒中的遗传信息载体．参与形成RNA 的碱基有4种，分别用A ，C ，G ，U 表示．在一个RNA 分子中，各种碱基能够以任意次序出现，假设某一RNA 分子由100个碱基组成，则不同的RNA 分子的种数为（ ） A ．4100 B ．1004C ．1002D ．104【答案】B【解析】每个碱基有4种可能，根据分步乘法计数原理，可得不同的RNA 分子的种数为1004．故A ，C ，D 错误. 故选：B.例12．（2022·全国·高三专题练习）某大学食堂备有6种荤菜、5种素菜、3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（ ） A ．30 B ．14C ．33D ．90【答案】D【解析】因为备有6种素菜，5种荤菜，3种汤，所以素菜有6种选法，荤菜有5种选法，汤菜有3种选法，所以要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配制出不同的套餐有65390⨯⨯=种 故选：D题型三：两个计数原理的综合应用例13．（2022·江苏·南京市第一中学高三阶段练习）为了进一步提高广大市民的生态文明建设意识，某市规定每年4月25日为“创建文明城生态志愿行”为主题的生态活动日，现有5名同学参加志愿活动，需要携带勾子、铁锹、夹子三种劳动工具，要求每人都要携带一个工具，并且要求：带一个勾子，铁锹至少带2把，夹子至少带一个，则不同的安排方案共有（ ） A ．50种 B ．60种 C ．70种 D ．80种【答案】A【解析】携带工具方案有两类：第一类，1个勾子，1个夹子，3把铁锹，所以携带工具的方案数有3252C A 20=种； 第二类，1个勾子，2个夹子，2把铁锹，所以携带工具的方案数有2253C C 30=种；所以不同的安排方案共有50种， 故选：A例14．（2022·重庆·高三阶段练习）用1，2，3…，9这九个数字组成的无重复数字的四位偶数中，各位数字之和为奇数的共有（ ） A ．600个 B ．540个 C ．480个 D ．420个【答案】A【解析】依题意要使各位数字之和为奇数则可能是3个奇数1个偶数，或3个偶数1个奇数，若为3个奇数1个偶数，则偶数一定排在个位，从4个偶数中选一个排在个位有14C 4=种， 再在5个奇数中选出3个排在其余三个数位，有35A 60=种排法，故有1345C A 240=个数字；若为3个偶数1个奇数，则奇数不排在个位，从5个奇数中选一个排在前三位有1153C A 15=种，再在4个偶数中选出3个排在其余三个数位，有34A 24=种排法，故有113534C A A 360=个数字；综上可得一共有240360600+=个数字； 故选：A例15．（2022·全国·高三专题练习）用0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（ ） A ．36 B ．48 C ．60 D ．72【答案】C【解析】当个位数为0时，有3424A =个，当个位数为2或4时，有1233236A A =个，所以无重复数字的四位偶数有24+36=60个， 故选：C.例16．（2022·全国·模拟预测）将6盆不同的花卉摆放成一排，其中A ､B 两盆花卉均摆放在C 花卉的同一侧，则不同的摆放种数为（ ）A ．360B ．480C ．600D ．720【答案】B【解析】分类讨论的方法解决如图中的6个位置，① 当C 在位置1时，不同的摆法有55A 120=种；② 当C 在位置2时，不同的摆法有1434C A 72=种； ③ 当C 在位置3时，不同的摆法有23232333A A A A 48+=种；由对称性知C 在4､5､6位置时摆放的种数和C 在3､2､1时相同， 故摆放种数有()21207248480⨯++=. 故选：B.例17．（2022·全国·高三专题练习）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中个位､十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有___________.个（用数字作答）. 【答案】144【解析】当个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：3133A C 18=种；当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：11231333312322C C 6C A C A C 12+=种，根据分类计数原理得到共有18126144+=个． 故答案为：144．例18．（2022·全国·高三专题练习）有四张卡片，正面和背面依次分别印有数字“1，0，2，4”和“3，5，0，7”，一小朋友把这四张卡片排成四位整数，则他能排出的四位整数的个数为_________. 【答案】264【解析】当四位整数中无0出现时，则必有5和2，其中1和3二选一，4和7二选一，四个数再进行全排列，故共有114224C C A 96=种选择；当四位整数中出现一个0时，可能是从5和0种选取的，也可能是从2和0种选择的，有12C 种，0可能的位置在个位，十位或百位，从3个位置选择一个，有13C 种，另外1和3二选一，4和7二选一，有12C 12C 种，加上另一个非0数，三个数进行全排列，有33A 种，故共有1111323223C C C C A 144=种选择；当四位整数中出现两个0时，两个0的位置有23C 种选择，另外1和3二选一，4和7二选一，有12C 12C 种，这两个数再进行全排列，有22A 种，共有23C 12C 12C 22A =24种，综上：96+144+24=264种选择 故答案为：264例19．（2022·全国·高三专题练习）有0，1，2，3，4，5六个数字． (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？ (3)能组成多少个无重复数字且比1230大的四位数？ 【解析】（1）由题意组成无重复数字的四位偶数分为三类： 第一类：0在个位时，有35A 个；第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个，有14A 种，十位和百位从余下的数字中选，有24A 种，共有1244A A ⋅个；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有1244A A ⋅个，由分类加法计数原理知，共有3121254444A A A A A 156+⋅+⋅=个无重复数字的四位偶数．（2）组成无重复数字且为5的倍数的四位数分为两类： 个位上的数字是0时，满足条件的四位数有35A 个； 个位数上的数字是5时，满足条件的四位数有1244A A ⋅个，故满足条件的四位数有312544A A A 108+⋅=（个）．（3）组成无重复数字且比1230大的四位数分为四类： 第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共1345A A ⋅个； 第二类：形如13□□，14□□，15□□，共有1234A A ⋅个； 第三类：形如124□，125□，共有1123A A ⋅个； 第四类：形如123□，共有12A 个．由分类加法计数原理知，共有13121114534232A A A A A A A 284⋅+⋅+⋅+=（个）．【方法技巧与总结】要明确完成一件事所包含的内容是如何进行的，若需分类按加法数原理，若需分步按乘法计数原理.分类时要做到“不重不漏”，分步时要做到“步骤完整”.有些计数问题既需要分类，又需要分步，此时要综合运用两个原理.【过关测试】一、单选题 1．（2022·全国·高三专题练习）7个不同型号的行李箱上分别对应贴有不同的标签以作标记，其中恰有3个行李箱标签贴错的种数为（ ） A ．49 B ．70 C ．265 D ．1854【答案】B【解析】第一步，从7个行李箱中挑选3个，有37C 种方法； 第二步，3个行李箱标签贴错的方法有2种，所以恰有3个行李箱标签贴错的种数为372C 70=．故选：B2．（2022·全国·高三专题练习）在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）种 A ．34A B ．34C ．43D ．43⨯【答案】C【解析】由题意四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由乘法原理共有433333⨯⨯⨯=种．故A ，B ，D 错误. 故选：C ．3．（2022·全国·高三专题练习）将6封信投入4个邮筒，且6封信全部投完，不同的投法有（ ） A ．64种 B ．46种 C ．4种 D ．24科【答案】A【解析】将6封信投入4个邮筒，且6封信全部投完，根据乘法原理共有64444444⨯⨯⨯⨯⨯=种 故选：A4．（2022·全国·高三专题练习）某学校推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》4门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选2门进行学习，则甲､乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的选法为（ ） A ．16 B ．24 C ．12 D ．36【答案】B【解析】甲先从4门课程选择1门，有4种选法，乙再从剩下的3门中选择1门，有3种选法，甲乙再从剩下的2门中共同选择1门，有2种选法，所以根据分步乘法计数原理可得甲､乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的选法为43224⨯⨯=种. 故选：B.5．（2022·全国·高三专题练习）某医院从7名男医生（含一名主任医师），6名女医生（含一名主任医师）中选派4名男医生和3名女医生支援抗疫工作，若要求选派的医生中有主任医师，则不同的选派方案数为（ ） A ．350 B ．500 C ．550 D ．700【答案】C【解析】所选医生中只有一名男主任医师的选法有3365C C 200，所选医生中只有一名女主任医师的选法有4265C C 150， 所选医生中有一名女主任医师和一名男主任医师的选法有3265C C 200，故所选医师中有主任医师的选派方法共有200150200550种， 故选：C6．（2022·全国·高三专题练习）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且比1000大的四位奇数共有（ ） A ．36个B ．48个C ．66个D ．72个【答案】A【解析】先排末位数，有1和3在末位两种选法，再排千位有3种选法，十位和百位从剩余的3个元素中选两个进行排列有23A 6=种结果， 所以由分步乘法计数原理知共有四位奇数23636⨯⨯=个， 故选：A7．（2022·全国·高三专题练习）“回文联”是对联中的一种，既可顺读，也可倒读．比如，一副描绘厦门鼓浪屿景色的回文联：雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天．由此定义“回文数”，n 为自然数，且n 的各位数字反向排列所得自然数n '与n 相等，这样的n 称为“回文数”，如：1221，2413142．则所有5位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有（ ） A ．648个 B ．720个 C ．810个 D ．891个【答案】D【解析】根据“回文数”的特点，只需确定前3位即可，最高位即万位有9种排法，千位和百位各有10种排法，根据分步乘法计数原理，共有91010900⨯⨯=种排法，其中各位数字相同的共有9种，则所有5位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有9009891-=种. 故选：D.8．（2022·全国·高三专题练习）已知正整数有序数对(),,,a b c d 满足： ①12a b c d +++=；②225a b -=．则满足条件的正整数有序数对(),,,a b c d 共有（ ）组． A ．24 B ．12 C ．9 D ．6【答案】B【解析】由题意知，a b c d ,,,为正整数，故由225a b -=可得()()5a b a b +-=，因为||1a b -≥ ，故||5a b +≤，则满足225a b -=的数为3和2，则有序数对(,)a b 可能为(3,2),(2,3) ， 再由12a b c d +++=可得7c d += ，则(,)c d 的可能有(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)共6种情况， 故满足条件的正整数有序数对(),,,a b c d 共有2612⨯=组， 故选：B9．（2022·全国·高三专题练习）古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式．”在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美．如图所示的是清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》，其以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，无论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）．数学上把20200202这样的对称数叫回文数，若两位数的回文数共有9个（11，22，…，99），则所有四位数的回文数中能被3整除的个数是（）A．27B．28C．29D．30【答案】D【解析】要能被3整除，则四个数的和是3的偶数倍数．满足条件的回文数分为以下几类：和为6的回文数：1221,2112，3003，3个．和为12的回文数：3333，2442，4224，1551，5115，6006，6个．和为18的回文数：1881，8118，2772，7227，3663，6336，4554，5445，9009，9个．和为24的回文数：3993，9339，4884，8448，5775，7557，6666，7个．和为30的回文数：7887，8778，6996，9669，4个．和为36的回文数：9999，1个．故共有3+6+9+7+4+1＝30个．故选：D二、多选题10．（2022·全国·高三专题练习）用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（）A．可组成360个不重复的四位数B．可组成156个不重复的四位偶数C．可组成96个能被3整除的不重复四位数D．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数字为2310【答案】BC【解析】A选项，有1355300C A=个，错，B选项，分为两类：0在末位，则有3560A=种，0不在末位，则有11224496C C A=种，∴共有6096156+=种，对，C选项，先把四个相加能被3整除的四个数从小到大列举出来，即先选：(0123),,,，(0135),,,、(0234),,,、(0345),,,、(1245),,,， 它们排列出来的数一定可以被3整除，∴共有：134334496C A A ⋅+=种，对，D 选项，首位为1的有3560A =个，前两位为20的有2412A =个，前两位为21的有2412A =个，此时共有60121284++=个，因而第85个数字是前两位为23的最小数，即为2301，错，故选：BC.11．（2022·全国·高三专题练习）如图，标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点 A 向结点 B 传递消息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示他们有网线相连，则单位时间内传递的信息量可以为（ ）A ．18B ．19C ．24D ．26【答案】AB【解析】第一条线路单位时间内传递的最大信息量为 3；第二条线路单位时间内传递的最大信息量为 4；第三条线路单位时间内传递的最大信息量为 6；第四条线路单位时间内传递的最大信息量为 6．因此该段网线单位时间内可以通过的最大信息量为 346619+++=，故选：AB12．（2022·全国·高三专题练习）某校实行选课走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且生物在B 层，该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是（ ）C ．自习不可能安排在第2节D ．自习可安排在4节课中的任一节【答案】BD 【解析】由于生物在B 层，只有第2，3节有，故分两类：若生物选第2节，则地理可选第1节或第3节，有2种选法，其他两节政治、自习任意选，故有224⨯=种（此种情况自习可安排在第1、3、4节中的某节）；若生物选第3节，则地理只能选第1节，政治只能选第4节，自习只能选第2节，故有1种．根据分类加法计数原理可得选课方式有415+=种．综上，自习可安排在4节课中的任一节．故选：BD.三、填空题13．（2022·江苏·睢宁县菁华高级中学有限公司高三阶段练习）为丰富学生的校园生活，拓宽学生的视野，某学校为学生安排了丰富多彩的选修课，每学期每名同学可任选2门进行学习. 甲同学计划从A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 这7门选修课中任选2门，其中至少从课程B ，D ，E 中选一门，则甲同学的选择方法有______种.【答案】15【解析】根据题意，分2种情况讨论：①、当甲从B ，D ，E 中选1门时，另一门需要在A 、C 、F 、G 中选出，有1134C C 12=种选法，②、当甲从B ，D ，E 中选2门时，有23C 3=种选法，则甲的选择方法有12315+=种，故答案为：15．14．（2022·全国·高三专题练习）国庆放假期间，4号到7号安排甲乙丙三人值班，其中，乙和丙各值班1天，甲连续值班2天，则所有的安排方法共有________种.【答案】6【解析】甲的安排方法有3种，即4,5两天值班或5,6两天值班或6,7两天值班，再安排乙与丙两人有22A 2=种安排方法，所以所有的安排方法共有6种.故答案为：615．（2022·全国·高三专题练习）有红、蓝、黄、绿四种颜色的球各6个，每种颜色的6个球分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中任取3个标号不同的球，这3个颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数为______．【答案】96【解析】从1、2、3、4、5、6中任取3个标号不同且3个标号数字互不相邻的取法有：135、136、146、246，共4种；3个颜色互不相同的取法有：3343C A 24=种；所以满足题意的取法共有：42496⨯=种.故答案为：96.16．（2022·全国·高三专题练习）如图，一条电路从A 处到B 处接通时，可以有_____________条不同的线路（每条线路仅含一条通路）．【答案】9【解析】依题意按上、中、下三条线路可分为三类，上线路中有2种，中线路中只有1种，下线路中有236⨯=（种)．根据分类计数原理，共有2169++=（种）．故答案为：9．。
专题14 计数原理(原卷版)-3年高考2年模拟1年原创备战2020高考精品系列之数学(理)
专题14计数原理考纲解读三年高考分析1.分类加法计数原理、分步乘法计数原理(1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.(2)会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.2.排列与组合(1)理解排列、组合的概念.(2)能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.(3)能解决简单的实际问题.3.二项式定理(1)能用计数原理证明二项式定理.(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.排列组合的运用和二项式定理是考查的重点，解题时常用到二项式展开式的通项公式，排列数和组合数的计算，考查学生的数学逻辑推理能力、数学运算能力，题型以选择填空题为主，中等难度.以理解和应用排列、组合的概念为主，常常以实际问题为载体，考查分类讨论思想，考查分析、解决问题的能力，题型以选择、填空为主，难度为中档.1．【2019年新课标3理科04】（1+2x 2）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为（）A ．12B ．16C ．20D ．242．【2018年新课标3理科05】（x 2）5的展开式中x 4的系数为（）A ．10B ．20C ．40D ．803．【2017年新课标1理科06】（1）（1+x ）6展开式中x 2的系数为（）A ．15B ．20C ．30D ．354．【2017年新课标2理科06】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种5．【2017年新课标3理科04】（x +y ）（2x ﹣y ）5的展开式中的x 3y 3系数为（）A．﹣80B．﹣40C．40D．806．【2019年天津理科10】（2x）8的展开式中的常数项为．7．【2019年浙江13】在二项式（x）9展开式中，常数项是，系数为有理数的项的个数是．8．【2018年江苏06】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为．9．【2018年新课标1理科15】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种．（用数字填写答案）10．【2018年浙江14】二项式（）8的展开式的常数项是．11．【2018年浙江16】从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的四位数．（用数字作答）12．【2018年上海03】在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为（结果用数值表示）．13．【2018年天津理科10】在（x）5的展开式中，x2的系数为．14．【2017年浙江13】已知多项式（x+1）3（x+2）2＝x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，则a4＝，a5＝．15．【2017年浙江16】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法．（用数字作答）16．【2017年上海02】若排列数6×5×4，则m＝．17．【2017年天津理科14】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有个．（用数字作答）18．【2019年江苏24】设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n，n≥4，n∈N*．已知a32＝2a2a4．（1）求n的值；（2）设（1）n＝a+b，其中a，b∈N*，求a2﹣3b2的值．1．【安徽省蚌埠市2019届高三年级第三次教学质量检查】若二项式6nx⎛-⎝的展开式中含有常数项，则n 的值可以是（）A ．8B ．9C ．10D ．112．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试】已知的展开式的各项系数和为32，则展开式中的系数为（）A ．20B ．15C ．10D ．53．【甘肃省天水市一中2019届高三下学期第五次模拟考试】中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人所站的位置不做要求，那么不同的站法共有（）A ．1818A 种B ．2020A 种C ．231031810A A A 种D ．218218A A 种4．【吉林省长春市2019届高三质量监测（四)】某学校要将4名实习教师分配到3个班级，每个班级至少要分配1名实习教师，则不同的分配方案有（）A ．24种B ．36种C ．48种D ．72种5．【山东省滨州市2019届高三第二次模拟（5月)考试】某兴趣小组有5名学生，其中有3名男生和2名女生，现在要从这5名学生中任选2名学生参加活动，则选中的2名学生的性别相同的概率是（）A ．B ．C ．D ．6．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考】安排3名志愿者完成5项不同的工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A ．240种B ．150种C ．125种D ．120种7．【山东省青岛市2019届高考模拟检测】的展开式中的系数是（）A ．10B ．4C ．-10D ．-48．【湖北省武汉市2019届高三4月调研测试】某大学党支部中有2名女教师和4名男教师，现从中任选3名教师去参加精准扶贫工作，至少有1名女教师要参加这项工作的选择方法种数为()A ．10B ．12C ．16D ．209．【湖北省2019届高三4月份调研考试】甲乙2人从4门课程中各自选修2门课程，并且所选课程中恰有1门课程相同，则不同的选法方式有（）A ．36种B ．30种C ．24种D ．12种10．【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试】已知二项式2(*)nx n N⎛∈ ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则3x 的系数为（）A ．14B ．14-C ．240D ．240-11．【湖南省岳阳市第一中学2019届高三第一次模拟】在102x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，6x 的系数等于_______.12．【山东省烟台市2019届高三5月适应性练习（二)】设20|sin |n x dx π=⎰在，则12(1)n x x ⎛⎫-+⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为______．13．【江西省鹰潭市2019届高三第一次模拟】一名同学想要报考某大学，他必须从该校的8个不同专业中选出5个，并按第一志愿、第二志愿、…第五志愿的顺序填写志愿表．若A 专业不能作为第一、第二志愿，则他共有______种不同的填法（用数字作答）．14．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试】若()()()()50251251111a x a x a x a x -+-+++++-= ，则2a =_________．15．【内蒙古2019届高三高考一模】“雾霾治理”“延迟退休”“里约奧运”“量子卫星”“神舟十一号”成为现在社会关注的5个热点．小王想利用暑假时间调查一下社会公众对这些热点的关注度．若小王准备按照顺序分别调査其中的4个热点,则“量子卫星”作为其中的一个调查热点,但不作为第一个调查热点的种数为______．16．【河南省郑州市2019届高三第三次质量检测】12本相同的资料书配给三个班级，要求每班至少一本且至多六本，则不同的分配方法共有_____种．17．【北京市昌平区2019届高三5月综合练习】2019年3月2日，昌平“回天”地区开展了7种不同类型的“三月雷锋月,回天有我”社会服务活动.其中有2种活动既在上午开展、又在下午开展，3种活动只在上午开展，2种活动只在下午开展.小王参加了两种不同的活动，且分别安排在上、下午，那么不同安排方案的种数是___________.18．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷】()5212x x +-展开式中的6x的系数为_______19．【浙江省台州市2018-2019学年高二下学期期末】已知(1)n x +的展开式中第4项和第8项的二项式系数相等．(Ⅰ)求n 的值和这两项的二项式系数；(Ⅱ)在342(1)(1)(1)n x x x +++++++ 的展开式中，求含2x 项的系数（结果用数字表示）．20．【新疆自治区北京大学附属中学新疆分校2018-2019学年高二下学期期中】六个人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站在两端；（2）甲，乙必须相邻；（3）甲，乙不相邻.(4)甲，乙之间恰有两人1．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，从中任选一人参加接待外宾的活动，有m 种不同的选法；从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有n 种不同的选法，则m n +=_____．2．()()32131x x -+的展开式中4x 的系数是________3．若某学校要从5名男同学和2名女同学中选出3人参加社会考察活动，则选出的同学中男女生均不少于1名的概率是_____.4．记()()()()62601261111x a a x a x a x -=+++++++ ，则0246a a a a +++=_________5．一条街道上有10盏路灯，将路灯依次排列并编号1到10．有关部门要求晚上这10盏路灯中相邻的两盏灯不能全开，且这10盏路灯中至少打开两盏路灯．则符合要求的开法总数______．。
高考数学计数原理大题解析
高考数学计数原理大题解析计数原理是高考数学中的一个重要概念，考查学生对于排列组合和概率等知识的理解和运用能力。
本文将通过对高考数学计数原理大题的解析，帮助同学们更好地掌握该知识点。
一、排列组合（Permutation and Combination）排列组合是计数原理的基础，主要讲解不同元素之间的排列和组合方式。
在高考中经常涉及到求解不同条件下的排列组合问题，具体题型包括：从n个元素中取出r个元素进行排列、组合的情况。
例如：某班有8个男生和5个女生，要从中选出3个代表参加演讲比赛，请问有多少种不同的选择方式？解析：这是一个典型的组合问题，从13个学生中选择3个参加演讲比赛。
根据组合的定义，可以利用组合公式C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)进行计算。
代入n=13，r=3，得到C(13,3) = 13! / (3! * (13-3)!) = 286。
因此，共有286种不同的选择方式。
二、排列（Permutation）排列是指从n个元素中取r个元素进行排列，不同的排列顺序被视为不同的结果。
在高考数学中，经常涉及到排列的题目，需要理解并掌握排列的计算方法。
例如：有5个人参加马拉松比赛，其中前三名将获得奖牌，请问共有多少种不同的获奖排名方式？解析：这是一个排列问题，从5个人中选择3个进行排列。
根据排列的定义，可以利用排列公式A(n,r) = n! / (n-r)!进行计算。
代入n=5，r=3，得到A(5,3) = 5! / (5-3)! = 60。
因此，共有60种不同的获奖排名方式。
三、多重计数原理（Multinomial Principle）多重计数原理是计数原理的扩展，适用于一次抓取多个元素的排列组合问题。
在高考数学中，多重计数原理常常应用于计算拆分和分组问题。
例如：某班有8个男生和5个女生，要从中选出5人组成一个小组进行活动，请问有多少种不同的组合方式？解析：这是一个组合问题，从13个学生中选择5个组成一个小组。
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【最新考纲解读】内容要求备注A B C计数原理加法原理与乘法原理√对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.排列与组合√二项式定理√【考点深度剖析】本章知识点均是以解答题的形式进行考查，涉及到分类讨论的思想，着重考查学生运算能力和逻辑思维能力，本章知识点常与概率等知识一起考查，难度中等偏上.【课前检测训练】【判一判】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.( )(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.( )(3)在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成.( )(4)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法m i(i＝1,2,3，…，n)，那么完成这件事共有m1m2m3…m n种方法.( )(5)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( )(6)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( )(7)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.( )(8)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( )(9)(n＋1)！－n！＝n·n！.( )(10)A m n＝n A m－1n－1.( )(11)k C k n＝n C k－1n－1.( )1.×2.√3.√4.√5.√6.×7.×8.√9.√10.√11.√【练一练】1.三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过3次传递后，毽子又被踢回给甲.则不同的传递方式共有( )A.5种B.2种C.3种D.4种答案 B解析传递方式有甲→乙→丙→甲；甲→丙→乙→甲.2.从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为( )A.6B.5C.3D.2答案 B3.现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有( )A.24种B.30种C.36种D.48种答案 D解析按A→B→C→D顺序分四步涂色，共有4×3×2×2＝48种.4.用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个.(用数字作答)答案145. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有________种.答案32解析每位同学都有2种报名方法，因此，可分五步安排5名同学报名，由分步乘法计数原理，总的报名方法共2×2×2×2×2＝32(种).6.用数字1、2、3、4、5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )A.8B.24C.48D.120答案 C解析末位数字排法有A12种，其他位置排法有A34种，共有A12A34＝48种.7.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )A. 4种B.10种C.18种D.20种答案 B解析方法一不同的赠送方法有A45A22A33＝10种.方法二从2本同样的画册，3本同样的集邮册中取出4本有两种取法：第一种：从2本画册中取出1本，将3本集邮册全部取出；第二种：将2本画册全部取出，从3本集邮册中取出2本.由于画册是相同的，集邮册也是相同的，因此第一种取法中只需从4位朋友中选出1人赠送画册，其余的赠送集邮册，有C14＝4种赠送方法；第二种取法中只需从4位朋友中选取2人赠送画册，其余的赠送集邮册，有C24＝6种赠送方法.因此共有4＋6＝10种赠送方法.8. 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A.144B.120C.72D.24答案 D解析“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.9.从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，其中男女生都有的选法种数为________.答案30解析分两类：男1女2或男2女1，各有C14C23和C24C13种方法，所以选法种数为C14C23＋C24C13＝12＋18＝30.也可用间接法C37－C34－C33＝30.10.某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度要启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是________.答案60【题根精选精析】考点1:分类加法计数原理与分步乘法计数原理【1-1】【徐州2015质量检测】用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为_________【答案】252【解析】用0，1，2，…，9十个数字，所有三位数个数为：900，其中没有重复数字的三位数百位数从非0的9个数字中选取一位，十位数从余下的9个数字中选一个，个位数再从余下的8个中选一个，所以共有：9×9×8=648，所以可以组成有重复数字的三位数的个数为：900-648=252．【1-2】【2015届高考模拟考试（二）】我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼一15飞机准备着舰，如果甲.乙两机必须相邻着舰，而丙.丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法种数为_________【答案】24【解析】对甲,乙两机进行排列为22A ,把甲乙两机捆绑在一起与除丙丁外的一辆进行排列为22A ,则有三个空给丙丁去插有33A 种,根据分步计数原理可得满足要求的一共有22322324A A A =种【1-3】【2015扬州调研考试】我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有_________个【答案】15【解析】依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4、0、0组成3个数分别为400、040、004；由3、1、0组成6个数分别为310、301、130、103、013、031；由2、2、0组成3个数分别为220、202、022；由2、1、1组成3个数分别为211、121、112.共计：3＋6＋3＋3＝15(个)．【1-4】【苏州2015联考】春节期间，某单位安排甲、乙、丙三人于正月初一至初五值班，每人至少值班一天，且每人均不能连续值班两天，其中初二不安排甲值班，则共有__________种不同的值班安排方案．【答案】28【解析】每人均不能连续值班两天，其中初二不安排甲值班的方法数为2222232⨯⨯⨯⨯=种，其中包含甲乙甲乙甲，甲丙甲丙甲，乙丙乙丙乙，丙乙丙乙丙四种情况不符合，故有32428-=种．【1-5】某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车.每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有 种；【答案】24综合点评：这些题都是分类计数原理与分步计数原理的应用, 解决这一类问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么,分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和得到总数；分步要做到“步骤完整”．【基础知识】1. 分类加法计数原理（加法原理）的概念一般形式：完成一件事有n 类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，……，在第n 类方案中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N=1m +2m +……+n m 种不同的方法.2．分步乘法计数原理(乘法原理)的概念一般形式：完成一件事需要n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N=12n m m m ⨯⨯⨯…种不同的方法.3. 两个原理的区别：（1）“每类”间与“每步”间的关系不同：分类加法计数原理中的每一类方案中的任何一种方法、不同类之间的任何一种方法都是相互独立，互不依赖的，且是一次性的；而分步乘法计数原理中的每一步是相互依赖，且是连续性的.（2）“每类”与“每步”完成的效果不同：分类加法计数原理中所描述的每一种方法完成后，整个事件就完成了，而分步乘法计数原理中每一步中的每一种方法得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事.4.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行，同时要优先考虑题中的限制条件.【思想方法】.1. 计数问题中如何判定是分类加法计数原理还是分步乘法计数原理：如果已知的每类方法中的每一种方法都能单独完成这件事，用分类加法计数原理；如果每类方法中的每一种方法只能完成事件的一部分，用分步乘法计数原理．2.利用分类计数原理解决问题时： (1)将一个比较复杂的问题分解为若干个“类别”，先分类解决，然后将其整合，如何合理进行分类是解决问题的关键．(2)要准确把握分类加法计数原理的两个特点：①根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏；②分类时，注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，不能重复；③对于分类问题所含类型较多时也可考虑使用间接法．3.利用分步乘法计数原理解决问题时要注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件．(3)对完成各步的方法数要准确确定．4. 用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步．(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．(3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析，使问题形象化、直观化．(4)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．5.在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么．5. (1)分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．(2)分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．6. 分类加法计数原理的两个条件：(1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．分步乘法计数原理的两个条件：(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．(2)将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键．从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数．7. 应用两种原理解题(1)分清要完成的事情是什么？(2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；(3)有无特殊条件的限制；(4)检验是否有重漏．8. 涂色问题：涂色问题是由两个基本原理和排列组合知识的综合运用所产生的一类问题，这类问题是计数原理应用的典型问题，由于涂色本身就是策略的一个运用过程，能较好地考查考生的思维连贯性与敏捷性，加之涂色问题的趣味性，自然成为新课标高考的命题热点. 涂色问题的关键是颜色的数目和在不相邻的区域内是否可以使用同一种颜色，具体操作法和按照颜色的数目进行分类法是解决这类问题的首选方法.涂色问题的实质是分类与分步，一般是整体分步，分步过程中若出现某一步需分情况说明时还要进行分类．涂色问题通常没有固定的方法可循，只能按照题目的实际情况，结合两个基本原理和排列组合的知识灵活处理．【温馨提醒】这些题都是分类计数原理与分步计数原理的应用, 利用分步乘法计数原理解决问题时,首先将完成这件事的过程分步，然后再找出每一步中的方法多少种，求其积．注意:各步之间相互联系，依次完成后，才能做完这件事，即步与步之间的方法相互独立，逐步完成．分类加法计数原理体现了分类讨论思想在计数原理中的应用．解决此类问题的关键是确定分类标准，做到不重复、不遗漏.考点2：排列与组合【2-1】【2015安徽模拟】有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有_________种【答案】75【解析】由已知可得不同的选法共有216575C C =．【2-2】(如皋2015模拟)从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为_________【答案】112【解析】根据分层抽样，从8个人中抽取男生1人，女生2人；所以取2个女生1个男生的方法：1121428=C C .【2-3】【2015无锡模拟】数列{}n a 共有5项，其中150,2a a ==，且11,1,2,3,4i i a a i +-==，则满足条件的不同数列的个数为_________【答案】4【解析】设i i i a a b -=+1，1,2,3,4i =，则i b 等于1或-1，由554433221()()()()a a a a a a a a a =-+-+-+-1234b b b b +++=，知i b )4,3,2,1(=i 共有3个1，1个-1.这种组合共有414=C 个.【2-4】将三个1、三个2、三个3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，则不同的填写方法共有 种.【答案】12【2-5】如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫作“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．【答案】12【解析】当相同的数字不是1时，有13C 个；当相同的数字是1时，共有13C 13C 个，由分类加法计数原理知共有“好数”13C ＋13C 13C ＝12个．综合点评：这些都是排列与组合的应用问题，解决排列组合应用问题的关键是要分析问题中有无限制条件．对于有限制条件的排列组合问题要注意考虑限制条件的元素或位置．对较复杂的排列组合问题，要采用先选后排的原则．【基础知识】1. 排列的相关概念及排列数公式(1)排列的定义：从n 个不同元素中取出m (m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n 个不同元素中取出m (m n ≤)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示．(3)排列数公式：()()()121m n A n n n n m =---+这里,n m N ∈并且m n ≤(4)全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列，()()1221!n n A n n n n =--⋅⋅=(叫做n 的阶乘).排列数公式写成阶乘的形式为()!!m n n A n m =-，这里规定0!1=.2．组合的相关概念及组合数公式(1)组合的定义：从n 个不同元素中取出m (m n ≤)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n 个不同元素中取出m (m n ≤)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用m n C 表示．(3)组合数的计算公式：()()()()121!!!!m mn nm m n n n n m A n C A m m n m ---+===-，由于0!1=，所以01n C =.(4)组合数的性质：①m n m n n C C -=；②11m m m n n n C C C -+=+；③11r r n n rC nC --=. 3. 区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关．若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关．4.解决排列组合问题可遵循“先组合后排列”的原则，区分排列组合问题主要是判断“有序”和“无序”，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现“有序”和“无序”．5.要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题的理解，检验算法的正确与否，又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果．【思想方法】1. 求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．2. 解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．3. 有条件的排列问题大致分四种类型．(1)某元素不在某个位置上问题，①可从位置考虑用其它元素占上该位置，②可考虑该元素的去向(要注意是否是全排列问题)；③可间接计算即从排列总数中减去不符合条件的排列个数．(2)某些元素相邻，可将这些元素排好看作一个元素(即捆绑法)然后与其它元素排列．(3)某些元素互不相邻，可将其它剩余元素排列，然后用这些元素进行插空(即插空法)．(4)某些元素顺序一定，可在所有排列位置中取若干个位置，先排上剩余的其它元素，这个元素也就一种排法．4. 对于有条件的组合问题，可能遇到含某个(些)元素与不含某个(些)元素问题；也可能遇到“至多”或“至少”等组合问题的计算，此类问题要注意分类处理或间接计算，切记不要因为“先取再后取”产生顺序造成计算错误．5.排列、组合综合应用问题的常见解法：①特殊元素(特殊位置)优先安排法；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排法；④相邻问题捆绑法；⑤不相邻问题插空法；⑥定序问题倍缩法；⑦多排问题一排法；⑧“小集团”问题先整体后局部法；⑨构造模型法；⑩正难则反、等价转化法．6. 在计算排列组合问题时，可能会遇到“分组”问题，要特别注意是平均分组还是不平均分组．可从排列与组合的关系出发，用类比的方法去理解分组问题，比如将4个元素分为两组，若一组一个、一组三个共有1343C C 种不同的分法；而平均分为两组则有224222C C A 种不同的分法． 7.排列组合应用题的解题策略：（1）相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.（2）相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.（3）定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.（4）标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.（5）有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.（6）全员分配问题分组法:（7）名额分配问题隔板法:（8）限制条件的分配问题分类法:（9）多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.（10）交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂.（11）定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素.（12）多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理.（13）“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:（14）选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.（15）部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.（16）圆排问题单排法:把n 个不同元素放在圆周n 个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列n 个普通排列： 12323411,,,;,,,,,;,,,n n n n a a a a a a a a a a a -在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，n 个元素的圆排列数有!n n种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的1n -元素全排列. （17）可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地n 个不同元素排在m 个不同位置的排列数有nm 种方法.（18）复杂排列组合问题构造模型法:一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.（19）元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:（20）复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:（21）利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.8.排列、组合问题及对策（1）特殊优先法：对于存在特殊元素或特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊入手.先满足特殊元素或特殊位置，再去满足其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法.（2）总体淘汰法：对于含否定词的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去.（3）相邻问题用“捆绑法”：对于某些元素要求相邻的问题，可先将相邻的元素捆绑并看作一个元素并与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行排列.（4）不相邻问题用“插空法”：对于几个元素不相邻的排列问题，先将没有限制条件的元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙插入即可.（5）顺序问题用“除法”：对于几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素同其余元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.（6）分排问题用“直排法”：把n个元素排成几排的问题，若没有其它特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处理.（7）穷举法：当题目中的附加条件增多，结果数目不大，解决它的方法又不一般，采用穷举法有时能取得意想不到的效果.（8）特征分析：研究有约束条件的排数问题，需紧扣题中所提供的数字特征，结构特征，进行推理，分析求解.（9）对应：有些时候，一个事件与一个结果之间存在一一对应的关系.（10）消序：某些条件，使得元素位置确定.（11）进住法：解决允许重复排列问题要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复.把不能重复的元素看成“一封信”，能重复的元素看成“信箱”.在利用乘法原理直接求解的方法称为进住法.（12）探索：对情况复杂，不易发现规律的问题，要仔细分析，探索其中规律，再予以解决. （13）“树图”表示法：对某些分步进行的问题，可依次对每步可能出现的情况用“树”状图形表示出来.（14）用比例法：有些排列应用题，可以根据每个元素出现机会占整个问题的比例，从而求得问题的结果.以上介绍了排列应用题的几种常见求解策略.这些策略不是彼此孤立的，而是相互依存.有时解决某一问题是要综合运用几种求解策略.在处理具体问题时，应能合理分类与准确分步.首先要弄清楚：要完成的是一件什么事，完成这件事有几类方法，每类方法中，又有几个步骤.这样才会不重复、不遗漏地解决问题.【温馨提醒】这些都是排列与组合的应用问题，解决排列组合问题最基本的方法是位置分析法和元素分析法，若以位置为主，需首先满足特殊位置的要求，再处理其他位置；若以元素为主，需先满足特殊元素的要求，再处理其他元素.对于限制条件较复杂的排列组合应用题，。
高考数学压轴专题新备战高考《计数原理与概率统计》全集汇编及答案解析
【最新】数学《计数原理与概率统计》期末复习知识要点一、选择题1．河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”．把一到十分成五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中．“河图”将一到十分成五行属性分别为金，木，水，火，土的五组，在五行的五种属性中，五行相克的规律为：金克木，木克土，土克水，水克火，火克金；五行相生的规律为：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木．现从这十个数中随机抽取3个数，则这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率为（ ）A ．110B ．15C ．25D ．12【答案】C 【解析】 【分析】从这十个数中随机抽取3个数，这3个数字的属性互不相克，包含的基本事件个数1122152222()20n C C C C C =+=，这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字包含的基本事件个数为：1122122222()8,m C C C C C =+=，由此能求出这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率． 【详解】由题意得数字4，9属性为金，3，8属性为木，1，6属性为水， 2，7属性为火，5，10属性为土，从这十个数中随机抽取3个数，这3个数字的属性互不相克，包含的基本事件个数1122152222()20n C C C C C =+=，这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字包含的基本事件个数为：1122122222()8,m C C C C C =+=，∴这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率82205m p n ===． 故选：C ． 【点睛】此题考查古典概型，关键在于根据计数原理准确求解基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数.2．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A ．2B ．3C ．10D ．15【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式以及几何概型概率公式分别计算概率，解方程可得结果. 【详解】设阴影部分的面积是s ，由题意得，选C.【点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．3．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ） A ．12B ．13C ．24D ．23【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆相交，可求出k 的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率. 【详解】因为圆心(0,0)，半径1r =，直线与圆相交，所以211d k =≤+，解得2244k -≤≤ 所以相交的概率22224P ==,故选C.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.4．下列等式不正确的是（ ）A ．111m mnn m C C n ++=+ B ．12111m m m n n n A A n A +-+--= C ．11m m n n A nA --=D ．1(1)k k kn n n nC k C kC +=++【答案】A 【解析】 【分析】根据排列和组合公式求解即可. 【详解】根据组合公式得11!1(1)!1!()!1(1)!()!1mm n n n m n m C C m n m n m n m n +++++==⨯=-++-+，则A 错误；根据排列公式得122111(1)!!!(1)!(11)()!()!()!()!m mm n n n n n n n A A n n n A n m n m n m n m +-+-+--=-=+-=⋅=----，则B 正确；根据排列公式得11!(1)!()!()!mm n n n n A n nA n m n m ---==⋅=--，则C 正确；根据组合公式得()()1!!(1)(1)(1)!1!!1!k n n n k C k k n k k n k ++=+⋅=+-+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦[]!!()!()!!(1)!k kn n n n nC kC n k k n k k n k -⋅=--+-=即1(1)k k k n n n nC k C kC +=++，则D 正确；故选:A 【点睛】本题主要考查了排列和组合公式的应用，属于中档题.5．三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，若每人都选择其中两个科目，则有且仅有两人选择的科目完全相同的概率是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】D 【解析】 【分析】先求出三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，每人都选择其中两个科目的基本事件总数，再求出有且仅有两人选择的科目完全相同所包含的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式即可得到答案. 【详解】三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，每人都选择其中两个科目共有233()27C =种不同结果，有且仅有两人选择的科目完全相同共有22133218C C C ⋅⋅=种，故由古典概型的概率计算公式可得所求概率为182273=. 故选：D 【点睛】不同考查古典概型的概率计算问题，涉及到组合的基本应用，考查学生的逻辑推理与数学运算能力，是一道中档题.6．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 广告费用（万元）4235销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：4235492639543.5,4244x y ++++++====Q ， ∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4， ∴42=9．4×3．5+a ，∴ˆa=9．1， ∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5 考点：线性回归方程7．如图所示，将四棱锥S-ABCD 的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种色可供使用，则不同的染色方法种数为（ ）A ．240B ．360C ．420D ．960【答案】C 【解析】 【分析】可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论. 【详解】由题设，四棱锥S-ABCD 的顶点S 、A 、B 所染的颜色互不相同，它们共有54360⨯⨯=种染色方法.设5种颜色为1，2，3，4，5，当S 、A 、B 染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3， 若C 染2，则D 可染3或4或5，有3种染法；若C 染4，则D 可染3或5，有2种染法，若C 染5，则D 可染3或4，有2种染法. 可见，当S 、A 、B 已染好时，C 、D 还有7种染法，故不同的染色方法有607420⨯=（种）. 故选：C 【点睛】本题考查分类加法原理、分步乘法原理的综合应用，考查学生的分类讨论的思想、逻辑推理能力，是一道中档题.8．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率()|P A B 等于（ ） A ．5108B ．113C ．17D ．710【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式即可得出答案. 【详解】3311166617()216A P AB C C C +==Q ，11155561116691()1216C C C P B C C C =-=()()()72161|2169113P AB P A B P B ∴==⨯= 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用条件概率计算公式计算概率，属于中档题.9．如图，是民航部门统计的某年春运期间12个城市出售的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高.B ．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降.C ．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州.D ．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门. 【答案】D 【解析】 【分析】根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可． 【详解】由图可知，选项A 、B 、C 都正确，对于D ，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，所以错误． 故选D ． 【点睛】本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题．10．已知离散型随机变量X 服从二项分布~(,)X B n p ，且()4E X =，()D X q =，则11p q+的最小值为（ ） A ．2 B ．52C ．94D ．4【答案】C【解析】 【分析】根据二项分布()~X B n p ，的性质可得()E X ，()D X ，化简即44p q +=，结合基本不等式即可得到11p q+的最小值.【详解】离散型随机变量X 服从二项分布()X B n p :，， 所以有()4E X np ==，()()1D X q np p ==-（，所以44p q +=，即14qp +=，（0p >，0q >） 所以11114q p p q p q ⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 5592144444q p q p p q p q ⎛⎫++≥⨯=+= ⎪⎝⎭， 当且仅当423q p ==时取得等号．故选C ． 【点睛】本题主要考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题．11．根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派7名党员去甲、乙、丙三个村进行调研，其中有4名男性党员，3名女性党员现从中选3人去甲村若要求这3人中既有男性，又有女性，则不同的选法共有（ ） A ．35种 B ．30种 C ．28种 D ．25种【答案】B 【解析】 【分析】首先算出7名党员选3名去甲村的全部情况，再计算出全是男性党员和全是女性党员的情况，即可得到既有男性，又有女性的情况. 【详解】从7名党员选3名去甲村共有37C 种情况，3名全是男性党员共有34C 种情况，3名全是女性党员共有33C 种情况，3名既有男性，又有女性共有33374330C C C --=种情况.故选：B 【点睛】本题主要考查组合的应用，属于简单题.12．已知a c ≠，随机变量ξ，η的分布列如表所示.命题p ：=E E ξη，命题q ：D D ξη=，则( ) A ．p 真q 真 B ．p 真q 假C ．p 假q 真D ．p 假q 假【答案】C 【解析】 【分析】首先分别求E ξ和E η，然后比较，利用公式()()22D E E ξξξ=-，利用公式1a b c ++=，计算D D ξη-的值.【详解】12323E a b c a b c ξ=⨯+⨯+⨯=++ 12332E c b a a b c η=⨯+⨯+⨯=++ ，()2E E c a ξη-=- a c ≠Q ，E E ξη∴≠，所以命题p 是假命题，()249E a b c ξ=++，()()2223E a b c ξ=++，所以()()24923D a b c a b c ξ=++-++()294E a b c η=++，()()2232E a b c η=++，()()()()2229432D E E a b c a b c ηηη=-=++-++ ，()()()()()2283223D D c a a b c a b c ξη-=-+++-++()()()822444c a a c a b c =-+-++ ， 1a b c ++=Q ，所以()()()()880D D c a a c ξη-=-+-=， 即()()D D ξη=,所以命题q 是真命题. 综上可知p 假q 真. 故选：C 【点睛】本题考查离散型分布列的期望方差，属于重点题型，本题使用的关键公式是()()22D E E ξξξ=-，比较大小的关键是利用1a b c ++=.13．设1021001210)x a a x a x a x =++++L ，那么()(220210139)a a a a a a +++-+++LL 的值为（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．101)【答案】C 【解析】 【分析】令1x =和1x =-得到012310a a a a a ++++L ，012310a a a a a -+-++L ，再整体代入可得； 【详解】解：因为)102101210xa a x a x a x =++++L ，令1x =得)10123101a a a a a =++++L ，令1x =-得)10123101a a a a a =-+-++L ，所以()(220210139)a a a a a a +++-+++L L()()012310012310a a a a a a a a a a =++++-+-++L L))101011=⋅))1011⋅⎡⎤⎣⎦=1011== 故选：C 【点睛】本题考查利用待定系数法求二项式系数和的问题，属于中档题．14．已知()812x +展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则ba的值（ ） A ．1265B ．1285C ．1253D ．26【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质求得a ，系数的最大值为b 求得b ，从而求得ba的值． 【详解】由题意可得4870a C ==，又展开式的通项公式为182r rr r T C x +=，设第1r +项的系数最大，则11881188·2?2·2?2r r r r r r r r C C C C ++--⎧⎨⎩……，即56r r ⎧⎨⎩…„， 求得=5r 或6，此时，872b =⨯，∴1285b a =， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查二项式系数的性质，第n 项的二项式系数与第n 项的系数之间的关系，属于中档题．15．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 约等于9，据此模型预报广告费用为6 万元时，销售额为（ ） A ．54万元 B ．55万元C ．56万元D ．57万元【答案】D 【解析】试题分析：由表格可算出1(1245)34x =+++=,1(10263549)304y =+++=,根据点(),x y 在回归直线ˆˆˆy bx a =+上,ˆ9b=,代入算出ˆ3a =,所以ˆ93y x =+,当6x =时,ˆ57y =,故选D.考点：回归直线恒过样本点的中心(),x y .16．有一散点图如图所示，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正确的是（ ）A．残差平方和变小B．相关系数r变小C．相关指数2R变小D．解释变量x与预报变量y的相关性变弱【答案】A【解析】【分析】由散点图可知，去掉(3,10)D后，y与x的线性相关性加强，由相关系数r，相关指数2R 及残差平方和与相关性的关系得出选项.【详解】∵从散点图可分析得出：只有D点偏离直线远，去掉D点，变量x与变量y的线性相关性变强，∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，故选A.【点睛】该题考查的是有关三点图的问题，涉及到的知识点有利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况，属于简单题目.17．已知随机变量ξ，η的分布列如下表所示，则（）ξ123P 131216η123P 161213A ．E E ξη<，D D ξη<B ．E E ξη<，D D ξη>C ．E E ξη<，D D ξη=D ．E E ξη=，D D ξη= 【答案】C【解析】【分析】由题意分别求出E ξ，D ξ，E η，D η，由此能得到E ξ＜E η，D ξ＞D η．【详解】由题意得：E ξ111123326=⨯+⨯+⨯=116， D ξ22211111111151(1)(2)(3)636108266=-⨯+-⨯+-⨯=． E η111131236236=⨯+⨯+⨯=， D η＝（1316-）216⨯+（2136-）212⨯+（3136-）21513108⨯=， ∴E ξ＜E η，D ξ=D η．故选：C ．【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查运算求解能力，是中档题．18．我国在北宋1084年第一次印刷出版了《算经十书》，即贾宪的《黄帝九章算法细草》，刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》．这些书中涉及的很多方面都达到古代数学的高峰，其中一些“算法”如开立方和开四次方也是当时世界数学的高峰．某图书馆中正好有这十本书现在小明同学从这十本书中任借两本阅读，那么他取到的书的书名中有“算”字的概率为（ ）A ．518B ．12C ．59D ．79【答案】D【解析】【分析】现在小明同学从这十本书中任借两本阅读，基本事件总数210C 45n ==，他取到的书的书名中有“算”字包含的基本事件总数211555C C C 35m =+=，由此能求出他取到的书的书名中有“算”字的概率．【详解】解： 小明同学从这十本书中任借两本阅读，基本事件总数210C 45n ==，他取到的书的书名中有“算”字包含的基本事件总数211555C C C 35m =+=，那么他取到的书的书名中有“算”字的概率为357459m p n ===． 故选：D ．【点睛】 本题考查排列组合与古典概型的综合应用，难度一般.注意此题中的书名中有“算”字包含两种情况：仅有一本书的书名中有“算”、两本书的书名中都有“算”，分类需要谨慎.19．古代人常常会研究“最大限度”问题，下图是一个正三角形内最大限度地可以放入三个同样大小的圆，若将一个质点随机投入如图所示的正三角形ABC 中（阴影部分是三个半径相同的圆，三个圆彼此互相外切，且三个圆与正三角形ABC 的三边分别相切），则质点落在阴影部分内部的概率是（ ）A ．2334-B ．(233)4π-C ．2332-D ．(233)2π- 【答案】D【解析】【分析】设圆的半径为r ，表示出三角形的边长，分别求出圆的面积和三角形面积，根据几何概型求解概率.【详解】设“质点落在阴影部分内部”为事件M .如右图所示：设圆的半径为r ，正三角形ABC 的边长为a .因为130PBO ∠=︒，所以3tan 30r BP =︒=3BP r =.同理，3CQ r =.又因为122PQ O O r ==，所以22)BP CQ PQ r r BC a ++=++===，所以由几何概型得，点落在阴影部分内部的概率是22()P M ===. 故选：D.【点睛】此题考查求几何概型，关键在于准确求出圆的面积和三角形的面积，找出其中的等量关系即可得解.20．某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为0.3；第一次落地没有打破，第二次落地打破的概率为0.4；前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为0.9．则透镜落地3次以内（含3次）被打破的概率是（ ）．A ．0.378B ．0.3C ．0.58D ．0.958【答案】D【解析】分析：分别利用独立事件的概率公式求出恰在第一次、恰在第二次、恰在第三次落地打破的概率，然后由互斥事件的概率公式求解即可.详解：透镜落地3次，恰在第一次落地打破的概率为10.3P =，恰在第二次落地打破的概率为20.70.40.28P =⨯=，恰在第三次落地打破的概率为30.70.60.90.378P =⨯⨯=，∴落地3次以内被打破的概率1230.958P P P P =++=．故选D ．点睛：本题主要考查互斥事件、独立事件的概率公式，属于中档题. 解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.。
2021年新高考真题冲刺按题号押题：押第3题 计数原理(新高考)(解析版)
押第3题 计数原理从2020年山东新高考和往年高考来看，计数原理是高考的一个重点内容，主要考查二项展开式的通项、二项式系数、展开式的系数、排列和组合等知识.1．熟记二项式定理：011()C C C C ()n n n k n k kn n n n n n a b a ab ab b n --*+=+++++∈N ，是解决此类问题的关键.2．求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k ,再将k 的值代回通项求解,注意k 的取值范围（0,1,2,,k n =）.（1）第m 项：：此时k +1=m ,直接代入通项.（2）常数项：即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程. （3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.3．对于参数问题，通常是运用通项由题意列方程求出参数即可；有时需先求n ，计算时要注意n 和k 的取值范围及它们之间的大小关系．4．二项式系数与项的系数的区别：二项式系数是指C 0n ，C 1n ，…，C n n ，它是组合数，只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ，b 的值有关．如(a ＋bx )n 的展开式中，第r ＋1项的二项式系数是C r n ，而该项的系数是C r n a n －r b r.当然，某些特殊的二项展开式如(1＋x )n ，各项的系数与二项式系数是相等的．5．在解决排列、组合的应用题时，一定要清楚是先排列再组合，还是先组合再排列.1．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A ．120种 B ．90种 C ．60种D ．30种【答案】C 【详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C ； 然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C ； 最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有126561060C C ⋅=⨯=种.2．（2020年北京市高考数学试卷）在52)的展开式中，2x 的系数为（ ）． A ．5- B ．5C ．10-D ．10【答案】C 【详解】)52展开式的通项公式为：()()55215522r rrrrr r T CC x--+=-=-，令522r -=可得：1r =，则2x 的系数为：()()11522510C -=-⨯=-. 3．（2020年新高考全国卷Ⅱ数学考试题文档版（海南卷））要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ） A ．2种 B ．3种 C ．6种 D ．8种【答案】C 【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有12323C C =种分法 第二步，将2组学生安排到2个村，有222A =种安排方法 所以，不同的安排方法共有326⨯=种4.（2020年浙江省高考数学试卷）设52345123456(12)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则5a =________；123a a a ++=________．【答案】80 51 【详解】5(12)x +的通项为155(2)2r r r r r r T C x C x +==， 令4r =，则444455280T C x x ==，故580a =；11221235512251a a a C C ++=++=.5．（2020年天津市高考数学试卷）在522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________．【答案】10 【详解】因为522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()5531552220,1,2,3,4,5rr r rr r r T C x C x r x --+⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，令532r -=，解得1r =．所以2x 的系数为15210C ⨯=．1．（2021·山东潍坊市·高三一模）多项式()()())2112(3x x x x ++++展开式中 3x 的系数为A ．6B ．8C ．12D ．13【答案】C 【详解】 原式()()()()()()2123123xx x x x x x =+++++++，所以展开式中含3x的项包含()()()123x x x +++中x 项为12231311x x x x ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ，和()()()123x x x +++中3x 的项为3x ，这两项的系数和为11112+=.2．（2021·山东枣庄市·高三二模）若()()()()2366012361111x a a x a x a x a x =+++++++++，则3a =（ ） A ．20 B ．20- C ．15 D ．15-【答案】B 【详解】因为()6611x x =+-⎡⎤⎣⎦，所以展开式的通项为()()61611rrr r T C x -+=⋅+⋅-，令6r 3-=，则3r =，所以()3336120a C =⋅-=-，故选：B.3．（2021·山东临沂市·高三其他模拟）数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数字通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门]选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（ ） A ．60种 B ．78种 C ．84种 D ．144种【答案】B 【详解】由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为1,1,2或0,1,3或0,2,2若是1,1,2，则先将4门学科分成三组共11243222C C C A 种不同方式.再分配到三个学年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有112343232236C C C A A ⋅=种，若是0,1,3，则先将4门学科分成三组共1343C C 种不同方式，再分配到三个学年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有13343324C C A ⋅=种，若是0,2,2，则先将门学科分成三组共224222C C A 种不同方式，再分配到三个学年共有33A种不同分配方式，由乘法原理可得共有2234232218C C A A ⋅=种 所以每位同学的不同选修方式有36241878++=种，故选：B.4．（2021·山东淄博市·高三一模）有7名学生参加“学党史知识竞赛”，咨询比赛成绩，老师说：“甲的成绩是最中间一名，乙不是7人中成绩最好的，丙不是7人中成绩最差的，而且7人的成绩各不相同”.那么他们7人不同的可能位次共有（ ） A ．120种 B ．216种 C ．384种 D ．504种【答案】D 【详解】因为甲的成绩是中间一名， 所以只需安排其余6人位次， 因为乙不排第一名，丙不排最后一名，所以由间接法可得6546542720212024504A A A -+=-⨯+=,故选：D5．（2021·山东泰安市·高三一模）2020年11月，中国国际进口博览会在上海举行，本次进博会设置了“云采访”区域，通过视频连线，帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业CEO 或海外负责人．某新闻机构安排4名记者和3名摄影师对本次进博会进行采访，其中2名记者和1名摄影师负责“云采访”区域的采访，另2名记者和2名摄影师分两组（每组记者和摄影师各1人），分别负责“汽车展区”和“技术装备展区”的现场采访．如果所有记者、摄影师都能承担三个采访区域的相应工作，则所有不同的安排方案有（ ） A ．36种 B ．48种 C ．72种 D ．144种【答案】C 【详解】解：根据题意，分3步进行分析：①在4名记者中任选2人，在3名摄影师中选出1人，安排到“云采访”区域采访，有214318C C =种情况， ②在剩下的外2名记者中选出1人，在2名摄影师中选出1人，安排到“汽车展区”采访，有11224C C =种情况，③将最后的1名记者和1名摄影师，安排到“技术装备展区”采访，有1种情况， 则有18472⨯=种不同的安排方案，故选：.C（限时：30分钟）1．在象棋比赛中，参赛的任意两位选手都比赛一场，其中胜者得2分，负者得0分，平局各得1分.现有四名学生分别统计全部选手的总得分为131分，132分，133分，134分，但其中只有一名学生的统计结果是正确的，则参赛选手共有（ ） A ．11位 B ．12位 C ．13位 D ．14位【答案】B 【详解】设参赛选手共有n 位，则总比赛场次为2n C ，即(1)2n n -场，且n N +∈，2n ≥， 由题意知：任意一场比赛结束，选手的总得分为2分，故所有选手总得分为(1)n n -分且为偶数， ∴当(1)132n n -=，得12n =；当(1)134n n -=，n 无整数解； ∴12n =(位).2．在82x x 的二项展开式中，x 的系数是（ ）A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】C 【详解】由二项式通项848182r r rrrr r C T C x --+=⋅⋅=⋅，∴当41r -=时，3r =，则38432C T x =⋅.∴x 的系数是38372C =.3．()61x-⋅的展开式中2x 的系数为（ ）A ．48B ．54C ．60D ．72【答案】D 【详解】设6的展开式的通项公式为()63166=2rrr rrr r T C C x --+⎛=⋅⋅⋅-⋅ ⎝， 令1r =，2212T x =-；令2r，360T x =，所以()61x-⋅的展开式中2x 项的系数为：()()16011272⨯+-⨯-=，故选：D.4．已知52340145235(2)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则3a =（ ） A ．10 B ．20 C ．40 D ．80【答案】C 【详解】因为52340145235(2)x a a x a x a x a x a x +=+++++所以3235240a C == 故选：C5．2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到A 、B 、C 三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有（ ）A．630种B．600种C．540种D．480种【答案】C【详解】把6名工作人员分成1,1,4三组，再安排到三个村有：11436543226513219021C C CAA⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯种；把6名工作人员分成2,2,2三组，再安排到三个村有：222364233390C C CAA=种；把6名工作人员分成1,2,3三组，再安排到三个村有：12336533654321360 21C C C A⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯种；所以共有90+90+360=540种.6．小华在学校里学习了二十四节气歌，打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗，他准备在立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒6个冬季节气与立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨6个春季节气中一共选出3个节气，若冬季节气和春季节气各至少选出1个，则小华选取节气的不同方法种数是（）A．90 B．180 C．220 D．360【答案】B【详解】依题意，6个冬季节气和6个春季节气各至少选出1个，小明可以选1冬2春、2冬1春.1冬2春的不同情况有：126661590C C=⨯=种，2冬1春的不同情况有：216615690C C=⨯=种，故小华选取节气的不同方法种数是9090180+=种.故选：B.7．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遣到A，B，C三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲、乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为（）A．12B．23C．34D．56【答案】D 【详解】甲、乙、丙、丁4名干部派遣到A，B，C三个贫困县扶贫，共有234336C A=种情况，其中甲、乙2名干部被分到同一个贫困县共有336A=种情况，所以甲、乙两名干部不被分到同一个贫困县的概率为651366-=. 故选：D.8．甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次（无并列名次），己知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五．据此推测5人的名次排列情况共有（ ）种 A ．5 B ．8 C ．14 D ．21【答案】C 【详解】乙排在第五的情况有：33A ，乙不在第五的方法有112222C C A ，共有3112322214A C C A +=， 故选：C ．9．今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过20218天后是（ ） A ．星期二 B ．星期三C ．星期四D ．星期五【答案】C 【详解】()202120210122202120212021202120212021817777C C C C =+=++++所以20218被7除得余数为1，故经过20218天后是星期四 故选：C10．未来20年将是中国养老产业的黄金20年，康养小镇已上升为国家战略.康养小镇是指以“健康”为小镇开发的出发点和归宿点，以健康产业为核心，将健康､养生､养老､休闲､旅游等多元化功能融为一体，形成的生态环境较好的特色小镇.现将7位市场调查员安排到这5个产业中，共有安排方案的种数为（ ） A ．57 B ．75C ．57AD ．57C【答案】B 【详解】每位市场调查员在选择时均有5种产业可选，共有7位调查员，所以安排方案有755555555⨯⨯⨯⨯⨯⨯= 种.11．某省进行高考综合改革，要求学生从高二开始对课程进行选修，即从化学、生物、政治、地理四门课程中选择两科进行选修，则甲、乙两人所选课程中至多有一科相同的选法的种数是（ ）A ．12B ．24C ．30D ．36【答案】C 【详解】若甲、乙两人所选课程中完全不同，选法有2242C C 6=种；若甲、乙两人所选课程中有一科相同，选法有111432C C C 24=种， 所以甲、乙两人所选课程中至多有一科相同的选法有62430+=种. 故选：C.12．在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．20B ．20-C ．160D ．160-【答案】D 【详解】62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项666261662()(1)2k kkk k k k kx x T C C x，令260,3k k常数项333316(1)2=160T C ，故选：D ．13．已知多项选择题的四个选项A 、B 、C 、D 中至少有两个选项正确，规定：如果选择了错误选项就不得分．若某题的正确答案是ABC ，某考生随机选了两个选项，则其得分的概率为（ ） A ．12B ．310C ．16D ．311【答案】A 【详解】由题得从4个选项里选两个选项，共有246C =种方法， 从3个正确选项里选择两个选项，共有233C =种方法. 由古典概型的概率公式得所求的概率为3162P ==. 14．教育改革的核心是课程改革，新课程改革的核心理念就是教育以人为本，即一切为了每一位学生的发展．为满足新课程的三维目标要求，某校开设A 类选修课4门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中至少选一门，则不同的选法共有（ ）A ．24种B ．48种C ．32种D ．64种【答案】B 【详解】分两种情况：第一种，选择1门A 类选修课和2门B 类选修课，有1244C C 24=种选法； 第二种，选择2门A 选修课和1门B 类选修课，有2144C C 24=种选法， 故共有48种选法． 故选：B15．某养老院一楼有六个房间，现有6位男住户和4位女住户，要求安排其中2位女住户入住中间四个房间中的两个，安排其中4位男住户入住剩下的4个房间，则不同的安排方式有（ ） A ．25920种 B ．26890种 C ．27650种 D ．28640种【答案】A 【详解】从4位女住户中安排其中2位入住中间四个房间中的两个有2244C A 种入住方式； 从6位男住户中安排其中4位入住剩下的4个房间有46A 种入住方式；一共有22444625920C A A =安排方式.。
2022高考数学 （冲刺+模拟新题分类汇编） 计数原理 理
计数原理J1基本计数原理5．J1[2022·福建卷] 满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于的方程a2＋2＋b＝0有实数解的有序数对a，b的个数为A．14B．13C．12D．105．B [解析] 当a＝0时，2＋b＝0＝－错误!，有序数对0，b有4个；当a≠0时，Δ＝4－4ab≥0ab≤1，有序数对－1，b有4个，1，b有3个，2，b有2个，综上共有4＋4＋3＋2＝13个，故选B12．J1[2022·北京卷] 将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．12．96 [解析] 5张参观券分为4堆，有2个连号有4种分法，然后每一种全排列有A错误!种方法，所以不同的分法种数是4A错误!＝9614．J1、J2[2022·全国卷] 6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种．用数字作答14．480 [解析] 先排另外四人，方法数是A错误!，再在隔出的五个位置安插甲乙，方法数是A错误!，根据乘法原理得不同排法共有A错误!A错误!＝24×20＝480种．22．A1、A2，J1[2022·重庆卷] 对正整数n，记I n＝{1，2，…，n}，1求集合m∈I7中有3个数与I7中的3个数重复，因此m∈I14＝I14可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取A1＝{1，2，4，6，9，11，13}，B1＝{3，5，7，8，10，12，14}，则A1，B1为稀疏集，且A1∪B1＝I14当＝4时，集错误!m∈I14中除整数外剩下的数组成集错误!，可分解为下面两稀疏集的并：A2＝错误!，B2＝错误!当＝9时，集错误!m∈I14中除正整数外剩下的数组成集错误!，可分解为下面两稀疏集的并：A3＝错误!，B3＝错误!最后，集C＝错误!m∈I14，∈I14，且≠1，4，9中的数的分母均为无理数，它与错误!为正整数，＋2m展开式的二项式系数的最大值为a，＋2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b若13a＝7b，则 m＝A．5 B．6 C．7 D．89．B [解析] ＋22m展开式的二项式系数的最大值是C错误!，即a＝C错误!；＋22m＋1展开式的二项式系数的最大值是C错误!，即b＝C错误!，∵13a＝7b，∴13C错误!＝7C错误!，∴13错误!＝7错误!，易得m＝611．J3[2022·安徽卷] 若＋错误!8的展开式中4的系数为7，则实数a＝________ [解析] 二项式错误!错误!20 C4C3 C3C2a时成立，即S m2m＋1＝－m2m＋1，则i＝m＋1时，S m＋12m＋3＝S m2m＋1＋2m＋12－2m＋22＝－m2m＋1－4m－3＝－2m2＋5m＋3＝－m ＋12m＋3．综合①②可得S i2i＋1＝－i2i＋1．于是S i＋12i＋1＝S i2i＋1＋2i＋12＝－i2i＋1＋2i＋12＝2i＋1i＋1．由上可知S i2i＋1是2i＋1的倍数，而a i2i＋1＋＝2i＋1＝1，2，…，2i＋1，所以S i2i＋1＋＝S i2i ＋1＋2i＋1是a i2i＋1＋＝1，2，…，2i＋1的倍数，又S i＋12i＋1＝i＋12i＋1不是2i＋2的倍数．而a i＋12i＋1＋＝－2i＋2＝1，2，…，2i＋2，所以S i＋12i＋1＋＝S i＋12i＋1－2i＋2＝2i＋1i＋1－2i＋2不是a i＋12i＋1＋＝1，2，…，2i＋2的倍数，故当＝i2i＋1时，集合P中元素的个数为1＋3＋…＋2i－1＝i2，于是，当＝i2i＋1＋1≤≤2i＋1时，集合P中元素的个数为i2＋又2 000＝31×2×31＋1＋47故集合P2 000中元素的个数为312＋47＝1 0081．[2022·安徽示范名校联考] 如图K37－1所示，△ABC是一个边长为3的正三角形，若在每一边的两个三等分点中，各随机选取．．．．．一点连成三角形．下列命题正确的是________．写出所有正确命题的编号①依此方法可能连成的三角形一共有8个；②这些可能连成的三角形中，恰有2个是锐角三角形；③这些可能连成的三角形中，恰有3个是直角三角形；④这些可能连成的三角形中，恰有3个是钝角三角形；⑤这些可能连成的三角形中，恰有2个是正三角形．1．①②⑤[解析] 如图所示编号，边长为3，则选取三角形的边长为1，错误!或2三种之一；①每边各选1点，三角形共C错误!×C错误!×C错误!＝8个；②锐角三角形只有△DHF和△IGE两个；③直角三角形有6个满足1∶错误!∶2；④没有钝角三角形；⑤两个正三角形△DHF和△IGE边长为错误!．故选①②⑤2．[2022·湖南师大附中月考] 错误!错误!的展开式中，系数最大的项为第________项．2．3或5 [解析] 错误!错误!的展开式中系数与二项式系数只有符号差异，又中间项的二项式系数最大，中间项为第4项其系数为负，则第3，5项系数最大．3．[2022·郑州质检] 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼－15”飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法数是A．12 B．18C．24 D．483．C [解析] 分三步：把甲、乙捆绑为一个元素A，有A错误!种方法；A与戊机形成三个“空”，把丙、丁两机插入空中有A错误!种方法；考虑A与戊机的排法有A错误!种方法．可知共有A错误!A错误!A错误!＝24种不同的着舰方法．4．[2022·皖南八校联考] “2012”含有数字0，1，2，且有两个数字2，则含有数字0，1，2，且有两个相同数字2或1的四位数的个数为A．18 B．24C．27 D．364．A [解析] 由题意可分情况讨论：含有两个1或两个2的四位数，先排0有3个位置可以选，然后排另外一个不重复的数字有3个位置可以选，剩下的排重复的数字，所以满足要求的数共有2C错误!C错误!C错误!＝18个．5．[2022·肇庆期末统考] 错误!错误!的展开式中含的正整数指数幂的项数是A．0 B．2C．4 D．65．B [解析] 二项展开式的通项为T r＋1＝C r10错误!10－r·错误!错误!＝C r10－1r错误!，若展开式中含的正整数指数幂，即5－错误!r∈N*，且0≤r≤10，r∈N，所以r＝2或0所以一共有两项，故选B6．[2022·三门峡一练] 在航天员进行的一项太空实验中，要先后实验6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法种数为________用数字作答．6．96 [解析] 第一步，A程序有C错误!种不同安排方法，第二步，将B和C看成一个程序与其他3个程序有A错误!种不同安排方法，第三步，安排B和C的顺序，有A错误!种不同的方法，根据分步计数原理，则不同的安排方法共有C错误!A错误!A错误!＝96种．。
备战2023年高考数学母题题源解密(全国通用)(理科)：计数原理(解析版)
专题07计数原理-备战2023年高考数学母题题源解密（理科）（全国通用）考向一排列与组合【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科）【母题题文】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）A.12种B.24种C.36种D.48种【答案】B【试题解析】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方种不同的排式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!2224列方式，故选：B【命题意图】本题主要考查利用捆绑法和插空法求出排列总数，利用排列组合与计数原理即可得解..【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，题型多样，思路灵活，试题难度较大，是历年高考的必考题型．常见的命题角度有：（1）捆绑法；（2）插空法；（3）排列求幂法；（4）标号排位法.【得分要点】（1）有限制条件的可以采用特殊位置优先安排的方法；（2）要求几个元素必须在一起的，可以采用捆绑法；（3）要求元素不相离的，可以采用插空法考向二二项式定理【母题来源】2021年高考北京卷【母题题文】若443243210(21)x a x a x a x a x a ，则024a a a （）A.40 B.41C.40D.41【答案】B【试题解析】令1x ，则432101a a a a a ，令1x ，则 443210381a a a a a ，故420181412a a a ，故选：B.【命题意图】利用赋值法求二项式的参数值.【命题方向】这类试题在通常是以易题出现，主要以选择题、填空题的形式考查，其试题难度属中档题，是历年高考的热点．常见的命题角度有：（1）求二项式展开式中的某一项或几项的系数；（2）二项式的性质和各系数的和；（3）利用二项式定理的性质求参数.【得分要点】(1)首先求二项式展开的通项；(2)根据已知求出展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数；(3)得出结论.一、单选题1．（2022·全国·模拟预测）七辆汽车排成一纵队，要求甲车、乙车、丙车均不排队头或队尾且各不相邻，则排法有（）A ．48种B ．72种C ．90种D ．144种【答案】D 【解析】【分析】依题可知甲、乙、丙只能在第二位、第四位、第六位，由分步计数原理即可解出．【详解】由题意得，甲车，乙车、丙车均不排队头或队尾，且各不相邻，所以甲、乙、丙只能在第二位、第四位、第六位，共有33A 种排法，其他车辆任意排列，所以总排法有3434A A 144 种．故选：D ．2．（2022·全国·模拟预测）数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数222222321231112220 ．设222225a b c d ，其中a ，b ，c ，d 均为自然数，则满足条件的有序数组 ,,,a b c d 的个数是（）A ．28B ．24C ．20D ．16【答案】A 【解析】【分析】分类讨论四个数的组成后，由计数原理求解【详解】显然a ，b ，c ，d 均为不超过5的自然数，下面进行讨论．最大数为5的情况：①2222255000 ，此时共有144A 种情况；最大数为4的情况：②2222254300 ，此时共有2412A 种情况；③2222254221 ，此时共有2412A 种情况．当最大数为3时，222222223322253321 ，故没有满足题意的情况．综上，满足条件的有序数组 ,,,a b c d 的个数是4121228 ．故选：A3．（2022·江西·上高二中模拟预测（理））2022年第24届冬季奥林匹克运动会（即2022年北京冬季奥运会）的成功举办，展现了中国作为一个大国的实力和担当，“一起向未来”更体现了中国推动构建人类命运共同体的价值追求.该届冬奥会分北京、延庆、张家口三个赛区，甲、乙、丙、丁四名学生分别去这三个赛区担任志愿者，每个人只去一个赛区，每个赛区至少安排1人.学生甲不被安排到张家口赛区做志愿者且乙不被安排到延庆赛区做志愿者的方法数为（）A ．17B ．29C ．56D ．13【答案】A 【解析】【分析】先求出所有可能安排的方法数，再应用间接法求甲不被安排到张家口且乙不被安排到延庆的方法数.【详解】由题意，任意安排的方法数有2343C A 36 种，甲被安排到张家口有122332(C C )A 12 种，同理乙被安排到延庆有122332(C C )A 12 种，甲被安排到张家口，同时乙被安排到延庆有11221+C C 5 种，所以甲不被安排到张家口且乙不被安排到延庆的方法数为361212517 种.故选：A4．（2022·江西·九江实验中学模拟预测（理））2010年世界杯足球赛预计共有24个球队参加比赛，第一轮分成6个组进行单循环赛（在同一组的每两个队都要比赛），决出每个组的一、二名，然后又在剩下的12个队中按积分取4个队（不比赛），共计16个队进行淘汰赛来确定冠亚军，则一共需比赛（）场次．A ．53B ．52C ．51D ．50【答案】C 【解析】【分析】分单循环赛和淘汰赛：单循环赛共需要246C 36 场比赛，淘汰赛依次分别计算，在求总和即可．【详解】第一轮分成6个组进行单循环赛共需要246C 36 场比赛，淘汰赛有如下情况：16进8需要8场比赛，8进4需要4场比赛，4进2需要2场比赛，确定冠亚军需要1场比赛，共需要36842151 场比赛故选：C ．5．（2022·河南安阳·模拟预测（理））教育部于2022年开展全国高校书记校长访企拓岗促就业专项行动，某市3所高校的校长计划拜访当地企业，共有4家企业可供选择.若每名校长拜访3家企业，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有（）A ．60种B ．64种C ．72种D ．80种【答案】A 【解析】【分析】按照间接法，先计算3名校长在4家企业任取3家企业的所有安排情况，然后减去3名校长选的3家企业完全相同的安排方法数，即可求得所需安排情况种数.【详解】解：3名校长在4家企业任取3家企业的所有安排情况为：333444C C C 44464 种又每家企业至少接待1名校长，故3名校长选的3家企业，不全相同，因为3名校长选的3家企业完全相同有34C 4 种，则不同的安排方法共有：64460 种.故选：A.6．（2022·全国·模拟预测（理））在北京冬奥会短道速滑混合团体2000米接力决赛中，中国队成功夺冠，为中国体育代表团夺得本届冬奥会首金.短道速滑男女接力赛要求每队四名运动员，两男两女，假设男女队员间隔接力，且每位队员只上场一次，则不同的上场次序的种数为（）A ．8B ．16C ．18D ．24【答案】A 【解析】【分析】根据题意把问题分类为：（1）以男运动员排第一位的的上场次序；（2）以女运动员排第一位的上场次序；然后求和，即可求解.【详解】把问题分类：（1）以男运动员排第一位，上场次序的种数为：1122C C 4 ；（2）以女运动员排第一位，上场次序的种数为：1122C C 4 ；总的上场次序种数合计为：448故选：A7．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（理））二项式30的展开式中，其中是无理项的项数共有（）A ．27项B ．24项C ．26项D ．25项【答案】D 【解析】【分析】根据题意，可考虑求有理项，根据二项展开式的通项公式，由x 的指数值为整数，即可解出有理项的项数，进而得到无理项的项数即可【详解】二项式30的展开式中，通项公式为5153063030 C C rr r r rx ，030r ，0,6,12,18,24,30r 时为有理项共6项，故无理项的项数共有31625故选：D.8．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））已知727012723111x a a x a x a x ，则3a （）A ．280B ．35C ．35D ．280【答案】A 【解析】【分析】将727012723111x a a x a x a x 化为727012721t a a t a t a t ，利用展开式的通项求解即可.【详解】∵727012723111x a a x a x a x ，令1=x t ，则=1x t 727012721t a a t a t a t ，721t 展开式的通项为： 717C (2)1rrr r T t ，令4r ，可得 3437C 2280t t ，所以3280a .故选：A.9．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））在二项式n的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项中恰有两项相邻的概率为（）A ．14B ．12C ．512D ．1528【答案】B 【解析】【分析】先根据已知求出8,n 求出二项式展开式有3项是有理项，再利用古典概型求出恰有两项有理项相邻的概率.【详解】展开式通项为23412(0)rn r r n rr r r nn T C C x r n ，由题意1100222222,8nn n C C C n ．所以当0,4,8r 时1634r为整数，相应的项为有理项，因为二项式展开式中共有9项，其中有3项是有理项，6项是无理项，所求恰有两项有理项相邻的概率为6226379912A A A P A ．故选：B ．10．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知21nn a ，则关于123456x a x a x a x a x a x a 的展开式，以下命题错误的是（）A ．展开式中系数为负数的项共有3项B ．展开式中系数为正数的项共有4项C ．含5x 的项的系数是126D ．各项的系数之和为212【答案】C 【解析】【分析】写出展开式各项的系数判断其正负即判断选项ABC 的真假；求出各项的系数之和即可判断选项D 的真假.【详解】解：原式= 359173365x x x x x x ，所以6x 的系数为1，是正数；5x 的系数为3591733651320 ，4x 的系数为35+39+317+333+365+59++33650 ，3x 的系数为(3)(5)(9)(3)(5)(17)(17)(33)(65)0 ，2x 的系数为3591791733650 ，x 的系数为(3)(5)(9)(17)(33)+(5)(9)(17)(33)(65)0 ，常数项为3591733650 ，所以展开式中系数为负数的项共有3项，展开式中系数为负数的项共有4项，所以选项AB 正确，选项C 错误.设 ()359173365f x x x x x x x ，所以2345621(1)2222222f .所以各项的系数之和为212，所以选项D 正确.故选：C 二、填空题11．（2022·浙江温州·三模）勠力同心，共克时艰!近日，某地因出现新冠疫情被划分为“封控区”“管控区”和“防范区”，现有6位专家到这三个“区”进行一天的疫情指导工作，每个“区”半天安排一位专家，每位专家只安排半天的工作，其中专家甲只能安排在上午，专家乙不安排在“防范区”，则不同的安排方案一共有___________种.（用数字作答）【答案】240【解析】【分析】根据题意分两类：甲安排在“防范区”上午和甲不安排在“防范区”上午，分别求出其方法数，再根据分类加法原理求解即可【详解】甲安排在“防范区”上午时，则专家乙有4种可能，其余4位专家有44A 种可能，44496A ，甲不安排在“防范区”上午时，甲有2种可能，乙有3种可能，其余4位专家有44A 种可能，4423144A ，所以共有96144240 种安排方案.故答案为：24012．（2022·辽宁·育明高中一模）一张节目单上原有8个节目，现临时再插入A ，B ，C 三个新节目，如果保持原来8个节目的相对顺序不变，节目B 要排在另外两个新节目之间（也可以不相邻），则有__________种不同的插入方法．（用数字作答）【答案】330【解析】【分析】法1：先选后排，进行求解；法2：用消序法进行求解.【详解】法1：第一步，从11个位置中选3个位置，共有311C 种方法；第二步，三个位置中节目B 位置确定，节目A ，C 的顺序为22A ，由分步计数原理可得共有32112330C A 种方法.法2：先插入节目A ，再插入节目B ，最后插入节目C ，共有：91011990 种，其中节目B 与两个新节目的位置关系有3种，由消序法可得总数为9903303.故答案为：33013．（2022·上海长宁·二模）将编号为1，2，3，4的4个小球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空，若放在同一盒子里的2个小球编号不相邻，则共有__________种不同的放法．【答案】18【分析】先把4个小球分为 2,1,1一组，其中2个不连号小球的种类有 1,3， 1,4， 2,4为一组，再全排列即可，【详解】解：先把4个小球分为 2,1,1一组，其中2个不连号小球的种类有 1,3， 1,4， 2,4为一组，分组后分配到三个不同的盒子里，故共有1333C A 18 种不同的放法；故答案为：18．14．（2022·江西·模拟预测（理））随着乡村的发展，很多乡村融合本地的特点发展旅游业，某县运用本地特点和风俗习惯打造了多个特色乡村，有4名游客打算去该县的A ，B ，C 三个特色乡村旅游，每人只选择一个乡村旅游，则这4人恰好选择了两个乡村旅游的概率为___．【答案】1427【解析】【分析】首先求出基本事件总数，再按照分组分配方法求出满足条件的事件数，最后按照古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：这4名游客去A ，B ，C 4381 种结果．这4人恰好选择了两个乡村，有两种分组方法：1，3和2，2，有22134243C C C C 2!种结果，再将这两组分配给两个乡村，则有2232443123C C C C A 422!种结果，故所求概率42148127P．故答案为：142715．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学三模（理））已知 2nx y 的展开式中第二项的系数为8，则2111nx x x 展开式中所有项的系数和为___________.【答案】30【解析】【分析】根据 2nx y 的展开式中第二项的系数为8，求出n ，再令1x ，即可得出答案.解： 2nx y 的展开式中第二项为11112C 22C n n n n T x y xy ，则12C 8n ，所以4n ，令1x ，则 23401248116113x x x x ，即 2111nx x x 展开式中所有项的系数和为30.故答案为：30.16．（2022·上海徐汇·三模）已知多项式 34432123411x x x a x a x a x a ，则3a ___________.【答案】7【解析】【分析】写出展开式通项，令x 的指数为1，求出参数的值，代入通项后即可求得3a 的值.【详解】因为 31x 的展开式通项为 313C 1rrr r A x ， 41 x 的展开式通项为414C k k k B x，由3141r k ，可得23r k，所以， 223334C 1C 7a .故答案为：7.。
【高考数学重点专题 三轮冲刺演练】专题14 计数原理与概率统计小题拔高练(新高考通用)(原卷版)
【一专三练】专题14 计数原理与概率统计小题拔高练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）一、单选题1．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）现要从A ，B ，C ，D ，E 这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A 不能安排在甲岗位上，则安排的方法有（ ） A ．56种 B ．64种 C ．72种 D ．96种2．（2023·浙江·校联考模拟预测）甲、乙、丙3人去食堂用餐，每个人从,,,,A B C D E 这5种菜中任意选用2种，则A 菜有2人选用、B 菜有1人选用的情形共有（ ）A ．54B ．81C ．135D ．1623．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）若一个三位数M 的各个数位上的数字之和为8，则我们称M 是一个“叔同数”，例如“125，710”都是“叔同数”.那么“叔同数”的个数共有（ ） A ．34个 B ．35个 C ．36个 D ．37个4．（2023·江苏南通·二模）已知322()n x x +的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为（ ）A ．60B ．80C ．100D ．1205．（2023·湖北·统考模拟预测）一组数据按照从小到大的顺序排列为1，2，3，5，6，8，记这组数据的上四分位数为n ，则二项式2nx⎛ ⎝展开式的常数项为（ ） A ．160- B ．60 C ．120 D ．240 6．（2023·江苏·二模）在1220，，，这20个正整数中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是（ ）A ．257B ．119C ．338D ．137．（2023·湖南郴州·统考三模）篮球队的5名队员进行传球训练，每位队员把球传给其他4人的概率相等，由甲开始传球，则前3次传球中，乙恰好有1次接到球的概率为（ ） A ．1564 B ．932 C ．2764 D ．33648．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）现将除颜色外其他完全相同的6个红球和6个白球平均放入A 、B 两个封闭的盒子中，甲从盒子A 中，乙从盒子B 中各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，且将取出的2个球全部放入盒子A 中；若2个球异色，则乙胜，且将取出的2个球全部放入盒子B 中．按上述规则重复两次后，盒子A 中恰有8个球的概率是（ ）A ．1770B ．1735C ．12 D ．1169．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）甲、乙两人各有一个袋子，且每人袋中均装有除颜色外其他完全相同的2个红球和2个白球，每人从各自袋中随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，且将取出的2个球全部放入甲的袋子中；若2个球异色，则乙胜，且将取出的2个球全部放入乙的袋子中.则两次取球后，甲的袋子中恰有6个球的概率是（ ） A ．730 B ．715 C ．760 D ．12010．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有,,A B C 三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A 小区的概率为（ ）A ．193243B ．100243C ．23 D ．5911．（2023·广东江门·统考一模）衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（ ）A ．25B ．45C ．815D ．8912．（2023·浙江温州·统考二模）一枚质地均匀的骰子，其六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6．现将此骰子任意抛掷2次，正面向上的点数分别为12,X X ．设1121212,,X X X Y X X X ≥⎧=⎨<⎩，设1122212,,X X X Y X X X ≤⎧=⎨>⎩，记事件A =“15Y =”，B =“23Y =”，则()P B A =∣（ ） A ．19 B ．29 C ．15 D ．211二、多选题13．（2023·江苏南通·二模）已知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：t/hm 2）数据为：9.8，10.0，10.0，10.0，10.2，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：t/hm 2）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则（ ）A ．甲种的样本极差小于乙种的样本极差B ．甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数C ．甲种的样本方差大于乙种的样本方差D ．甲种的样本60百分位数小于乙种的样本60百分位数14．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布()2500,5N （单位：g ），生产线乙正常情况下生产出来包装食盐质量为x g ，随机变量x 服从正态密度函数()2200(1000)x x ϕ--，其中x ∈R ，则（ ）附：随机变量2(,)N ξμσ-，则()0.683P μσξμσ-<<+=，()220.954P μσξμσ-<<+=，()330.997P μσξμσ-<<+=．A ．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于485g 的概率为0.15%B ．生产线乙的食盐质量()2~1000,100x N C ．生产线乙产出的包装食盐一定比生产线甲产出的包装食盐质量重D ．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于515g ，于是判断出该生产线出现异常是合理的15．（2023·湖北·校联考模拟预测）爆竹声声辞旧岁，银花朵朵贺新春．除夕夜里小光用3D 投影为家人进行虚拟现实表演，表演分为“燃爆竹、放烟花、辞旧岁、迎新春”4个环节．小光按照以上4个环节的先后顺序进行表演，每个环节表演一次．假设各环节是否表演成功互不影响，若每个环节表演成功的概率均为34，则（ ） A ．事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”互斥B ．“放烟花”、“迎新春”环节均表演成功的概率为916C ．表演成功的环节个数的期望为3D ．在表演成功的环节恰为3个的条件下“迎新春”环节表演成功的概率为3416．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）在正三棱柱111ABC A B C 中，若A 点处有一只蚂蚁，随机的沿三棱柱的各棱或各侧面的对角线向相邻的某个顶点移动，且向每个相邻顶点移动的概率相同，设蚂蚁移动n 次后还在底面ABC 的概率为n P ，则下列说法正确的是（ ）A ．112P =B ．21325P = C ．12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列 D ．11111052n n P -⎛⎫=-⨯-+ ⎪⎝⎭ 17．（2023·湖南·模拟预测）已知()()()()()923901239252222x a a x a x a x a x -=+-+-+-++-，则下列结论成立的是（ ） A ．20911a a a a ++++=B ．3672a =C ．9012393a a a a a -+-+-= D ．123912398=++++a a a a 18．（2023·广东·校联考模拟预测）已知某养老院75岁及以上的老人占60%．75岁以下的老人中，需要有人全天候陪同的占10%；75岁及以上的老人中，需要有人全天候陪同的占30%．如果从该养老院随机抽取一位老人，则以下结论中，正确的是（）A．抽到的老人年龄在75岁以下的概率为35%B．抽到的老人需要有人全天候陪同的概率为22%C．抽到的老人年龄在75岁以下且需要有人全天候陪同的概率为4%D．抽到的老人年龄大于等于75岁且不需要有人全天候陪同的概率为40% 19．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）新型冠状病毒肺炎（Corona Virus Disease2019，COVID-19），简称“新冠肺炎”，世界卫生组织命名为“2019冠状病毒病”，是指2019新型冠P A B=，状病毒感染导致的肺炎.用核酸检测的方法可以诊断是否患有新冠，假设()0.999其中随机事件A表示“某次核酸检测被检验者阳性”，随机事件B表示“被检验者患有新冠”，P B=，则在该人群中（）现某人群中()0.01A．每100人必有1人患有新冠P B A=，则事件A与事件B相互独立B．若()0.99P A B=,则某人患有新冠，则其核酸检测为阳性的概率为0.999C．若()0.99D．若某人没患新冠，则其核酸检测为阳性的概率为0.00120．（2023·浙江·模拟预测）用分层随机抽样法从某校高一年级学生的数学竞赛成绩（满分150分）中抽取一个容量为120的样本，其中男生成绩的数据有80个，女生成绩的数据有40个，将这80个男生的成绩分为6组，绘制得到如图所示的频率分布直方图，下列说法正确的是（）90,110内的频率为0.015A．男生成绩的样本数据在[)B．男生成绩的样本数据的平均数为97C．男生成绩的样本数据的第75百分位数为118D．女生成绩的样本数据的平均数为91，则总样本的平均数为95三、填空题21．（2023·浙江温州·统考二模）若数列1234,,,a a a a 满足1423a a a a +=+，则称此数列为“准等差数列”．现从1,2,,9,10⋯这10个数中随机选取4个不同的数，则这4个数经过适当的排列后可以构成"准等差数列"的概率是__________．22．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）()6112x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中含2x 项的系数为______.23．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知n 的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为___________．24．（2023·江苏南京·校考一模）在二项式()13n x -的展开式中，若所有项的系数之和等于64，那么在这个展开式中，2x 项的系数是__________．（用数字作答）25．（2023·湖北·统考模拟预测）现有甲、乙两个口袋，其中甲口袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球；乙口袋内装有两个1号球，一个2号球，一个3号球．第一次从甲口袋中任取1个球，将取出的球放入乙口袋中，第二次从乙口袋中任取一个球，则第二次取到2号球的概率为__________．26．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）若()()()()82801281111x a a x a x a x -=+++++++，则5a =______． 27．（2023·湖南郴州·统考三模）若223212()(0)x x m m x ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为3，则m =__________.28．（2023·湖南岳阳·统考二模）在241(1)x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数是__________. 29．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）设m 为正整数，2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为13,()a x y +展开式的二项式系数的最大值为b ，若137a b =，则()2m x x y ++的展开式中，72x y 的系数为___________.30．（2023·广东·校联考模拟预测）在()()26121x x ++展开式中，2x 的系数是________．（用数字作答）。
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计数原理小题大做一、单选题1．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A ．60种 B ．120种 C ．240种 D ．480种【答案】C 【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得. 【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有25C 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有254!240C ⨯=种不同的分配方案， 故选：C. 【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.2．（2020年北京市高考数学试卷）在5(2)x 的展开式中，2x 的系数为（ ）． A ．5- B ．5C ．10-D ．10【答案】C 【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定2x 的系数即可. 【详解】)52x 展开式的通项公式为：()()55215522r rrrrr r T Cx C x--+=-=-，令522r -=可得：1r =，则2x 的系数为：()()11522510C -=-⨯=-. 故选：C. 【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A ．13B ．25C ．23 D ．45【答案】C 【分析】采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解. 【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有155C =种排法，若2个0不相邻，则有2510C =种排法，所以2个0不相邻的概率为1025103=+. 故选：C.4．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷精编版））（2017新课标全国卷Ⅰ理科）621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．35【答案】C 【解析】因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x++=⋅++⋅+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为22261C 15x x ⋅=，621(1)x x ⋅+展开式中含2x 的项为442621C 15x x x⋅=，故2x 的系数为151530+=，选C.点睛:对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含2x 的项共有几项，进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项展开式中的r 不同.5．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷参考版））用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 A ．24B ．48C ．60D ．72【答案】D 【详解】试题分析：由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有44A 种排法，所以奇数的个数为44372A =，故选D.【考点】排列、组合【名师点睛】利用排列、组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．6．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版））从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 A ．518B ．49 C ．59D ．79【答案】C 【详解】标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中，标奇数的有5张，标偶数的有4张，所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是115425989C C =⨯ ,选C. 【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题.江苏对古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件.7．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版））(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为 A ．-80 B ．-40C ．40D ．80【答案】C 【详解】()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2rrrr T x y -+=-可得： 当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-；当2r时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=， 则33x y 的系数为804040-=. 故选C.【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.8．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A ．120种 B ．90种 C ．60种 D ．30种【答案】C 【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解. 【详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C ； 然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C ； 最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有126561060C C ⋅=⨯=种.故选：C 【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.9．（2021·云南红河·模拟预测（理））有如下形状的花坛需要栽种4种不同颜色的花卉，要求有公共边界的两块不能种同种颜色的花，则不同的种花方式共有（ ）A ．96种B ．72种C ．48种D ．24种【答案】A 【分析】如图，由题意可知②，④同色，或者③，⑤同色，或者①，④同色，或者①，⑤同色，从而可求得结果 【详解】依题意可知，将区域标号如图.用4种颜色的花卉完成栽种，需要②，④同色，或者③，⑤同色，或者①，④同色，或者①，⑤同色，故有44496A ⨯=种.故选：A10．（2021·全国全国·模拟预测）如图为并排的4块地，现对4种不同的农作物进行种植试验，要求每块地种植1种农作物，相邻地块不能种植同一种农作物且4块地全部种上农作物，则至少同时种植3种不同农作物的种植方法种数为（ ） ① ② ③ ④A ．24B ．80C ．72D ．96【答案】D 【分析】先分同时种植4种农作物和3种农作物两种情况，再按排列或组合及计数原理进行求解. 【详解】至少同时种植3种不同农作物可分两种情况：第一种，种植4种农作物，有44A 24=种不同的种植方法；第二种，种植3种农作物，则有2块不相邻的地种植同一种农作物，有①③、②④、①④这三种情况，每一种情况都有111432C C C 24=种不同的种植方法．则至少同时种植3种不同农作物的种植方法有2432496+⨯=种． 故选：D.11．（2021·河北衡水中学模拟预测）在2020中俄高加索联合军演的某一项演练中，中方参加演习的有5艘军舰，4架飞机；俄方有3艘军舰，6架飞机．若从中、俄两方中各选出2个单位（1架飞机或一艘军舰都作为一个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同），且选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有（ ） A ．51种 B ．224种 C ．240种 D ．336种【答案】C 【分析】按中方选一架飞机或俄方选一架飞机分类讨论，每类再分步选择即可得． 【详解】不同的选法有：1120201154365436C C C C C C C 54311013660180C 240+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=（种）．故选：C ．12．（2021·广东·模拟预测）甲､乙､丙､丁四名交通志愿者申请在国庆期间到,,A B C 三个路口协助交警值勤，他们申请值勤路口的意向如下表：这4名志愿者的申请被批准，且值勤安排也符合他们的意向，若要求,,A B C 三个路口都要有志愿者值勤，则不同的安排方法数有（ ） A ．14种 B ．11种C ．8种D ．5种【答案】B 【分析】根据分类计数法进行分类讨论，然后进行求和. 【详解】 解：由题意得：以C 路口为分类标准：C 路口执勤分得人口数情况有2种，两个人或一个人 C 路口执勤分得人口数为2个，丙、丁在C 路口，那么甲、乙只能在A B 、路口执勤； C 路口执勤分得人口数为1个，丙或丁在C 路口，具体情况如下： 丙在C 路口：A（丁）B（甲乙）C（丙）；A（甲丁）B（乙）C（丙）；A（乙丁）B（甲）C（丙）；丁在C路口：A（甲乙）B（丙）C（丁）；A（丙）B（甲乙）C（丁）；A（甲丙）B（乙）C（丁）；A（乙）B（甲丙）C（丁）；A（乙丙）B（甲）C（丁）；A（甲）B（乙丙）C（丁）；.所以一共有2+3+6=11种选法.故选：B.二、填空题13．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷））从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）【答案】16【分析】首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果.【详解】根据题意，没有女生入选有344C=种选法，从6名学生中任意选3人有3620C=种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416-=种，故答案是16.【点睛】该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.14．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版））已知(13)n x+的展开式中含有2x项的系数是54，则n=_____________.【答案】4 【分析】利用通项公式即可得出． 【详解】解：（1+3x ）n 的展开式中通项公式：T r +1r n =（3x ）r ＝3r r nx r ．∵含有x 2的系数是54，∴r ＝2． ∴223n=54，可得2n =6，∴()12n n -=6，n ∈N *．解得n ＝4． 故答案为4． 【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 15．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷精编版））用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答） 【答案】1080 【详解】41345454A C C A 1080+=【考点】计数原理、排列、组合【名师点睛】计数原理包含分类计数原理（加法）和分步计数原理（乘法），组成四位数至多有一个数字是偶数，包括四位数字有一个是偶数和四位数字全部是奇数两类，利用加法原理计数.三、双空题16．（2021年浙江省高考数学试题）已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a =___________，234a a a ++=___________.【答案】5; 10. 【分析】根据二项展开式定理，分别求出43,(1(4))x x -+的展开式，即可得出结论. 【详解】332(1)331x x x x -=-+-， 4432(1)4641x x x x x +=++++，所以12145,363a a =+==-+=， 34347,110a a =+==-+=，所以23410a a a ++=. 故答案为：5,10.试卷第10页，共1页。