计数原理小题大做-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(解析版)

计数原理小题大做

一、单选题

1．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A ．60种 B ．120种 C ．240种 D ．480种

【答案】C 【分析】

先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得. 【详解】

根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有2

5C 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有254!240C ⨯=种不同的分配方案， 故选：C. 【点睛】

本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.

2．（2020年北京市高考数学试卷）在5(2)x 的展开式中，2x 的系数为（ ）． A ．5- B ．5

C ．10-

D ．10

【答案】C 【分析】

首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定2x 的系数即可. 【详解】

)

5

2x 展开式的通项公式为：()

()552

15

5

22r r

r

r

r

r r T C

x C x

--+=-=-，

令

522

r -=可得：1r =，则2x 的系数为：()()11

522510C -=-⨯=-. 故选：C. 【点睛】

二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条

件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．

3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A ．13

B ．

25

C ．

23 D ．45

【答案】C 【分析】

采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解. 【详解】

将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，

若2个0相邻，则有155C =种排法，若2个0不相邻，则有2

510C =种排法，

所以2个0不相邻的概率为102

5103

=+. 故选：C.

4．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷精编版））（2017新课标全国卷Ⅰ理科）621

(1)(1)x x

++展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．35

【答案】C 【解析】

因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x

+

+=⋅++⋅+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为22

261C 15x x ⋅=，

621(1)x x ⋅+展开式中含2

x 的项为442621C 15x x x

⋅=，故2x 的系数为151530+=，选C.

点睛:对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含2x 的项共有几项，进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项展开式中的r 不同.

5．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷参考版））用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 A ．24

B ．48

C ．60

D ．72

【答案】D 【详解】

试题分析：由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其

他位置共有44A 种排法，所以奇数的个数为4

4372A =，故选D.

【考点】排列、组合

【名师点睛】利用排列、组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．

6．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版））从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 A ．

5

18

B ．

49 C ．59

D ．

79

【答案】C 【详解】

标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中，标奇数的有5张，标偶数的有4张，所以抽

到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是

115425

989

C C =⨯ ,选C. 【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题.江苏对古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件.

7．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版））(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为 A ．-80 B ．-40

C ．40

D ．80

【答案】C 【详解】

()()

()()5

55

222x y x y x x y y x y +-=-+-，

由()5

2x y -展开式的通项公式()()515

C 2r

r

r

r T x y -+=-可得： 当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3

32

5C 2140⨯⨯-=-；