高三数学函数与方程试题

高三数学函数与方程试题

1.函数f(x)＝lnx－x－a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是()

A．(－∞，－1]B．(－∞，－1)

C．[－1，＋∞)D．(－1，＋∞)

【答案】B

【解析】函数f(x)＝lnx－x－a的零点，即为关于x的方程lnx－x－a＝0的实根，将方程lnx－x

－a＝0，化为方程lnx＝x＋a，令y

1＝lnx，y

2

＝x＋a，由导数知识可知，直线y

2

＝x＋a与曲线y

1

＝lnx相切时有a＝－1，若关于x的方程lnx－x－a＝0有两个不同的实根，则实数a的取值范围

是(－∞，－1)．故选B．

2.已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋ (x>0)．

(1)若g(x)＝m有实数根，求m的取值范围；

(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．

【答案】（1）m≥2e

（2）(－e2＋2e＋1，＋∞)

【解析】解：(1)∵g(x)＝x＋≥2＝2e等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因此，只需m≥2e，g(x)＝m就有实数根．

(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)与f(x)

的大致图象．

∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，

∴其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2．

故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，

即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．

∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．

3.设函数，，则函数的零点有个.

【答案】4

【解析】由得

所以

由，在同一坐标系内作和图像，可知有4个交点.

故答案为4

【考点】函数的解析式；函数与方程.

4.已知函数f(x)＝|ax－2|＋bln x(x>0，实数a，b为常数)．

(1)若a＝1，f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，求b的取值范围；

(2)若a≥2，b＝1，求方程f(x)＝在(0,1]上解的个数．

【答案】（1）[2，＋∞)．

（2）0

【解析】解：(1)当a＝1时，

f(x)＝|x－2|＋bln x

①当0

f′(x)＝－1＋.

由条件得－1＋≥0恒成立，即b≥x恒成立．

所以b≥2；

②当x≥2时，f(x)＝x－2＋bln x，

f′(x)＝1＋.

由条件得1＋≥0恒成立，即b≥－x恒成立．

所以b≥－2.

因为函数f(x)的图像在(0，＋∞)上不间断，综合①②得b的取值范围是[2，＋∞)．(2)令g(x)＝|ax－2|＋ln x－，即

当0

g(x)＝－ax＋2＋ln x－，

g′(x)＝－a＋＋.

因为0，

则g′(x)>－a＋＋＝≥0，

即g′(x)>0，所以g(x)在上是单调增函数；

当x>时，g(x)＝ax－2＋ln x－，

g′(x)＝a＋＋>0，

所以g(x)在上是单调增函数．

因为函数g(x)的图像在(0，＋∞)上不间断，所以g(x)在(0，＋∞)上是单调增函数．

因为g＝ln－，

而a≥2，所以ln≤0，则g<0，

g(1)＝|a－2|－1＝a－3.

①当a≥3时，因为g(1)≥0，所以g(x)＝0在(0,1]上有唯一解，即方程f(x)＝解的个数为1；

②当2≤a<3时，因为g(1)<0，所以g(x)＝0在(0,1]上无解，即方程f(x)＝解的个数为0.

5.已知函数，，的零点分别为，则（）A．B．C．D．

【答案】D

【解析】令，，分别得，，，则分别为函数的图象与函数，，的图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系下作出它们的图象，易得，，，故选．

【考点】函数图象、零点的概念.

6.若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（）

A．(－2,2)B．[－2,2]C．(-1,1)D．[-1,1]

【答案】A

【解析】函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点方程x3－3x＋a=0有三个不同的根

a=-x3+3x函数g(x)=a与函数F(x)=-x3+3x的图象有三个不同的交点

∵F′(x)＝-3x2+3=-3(x2-1)=-3(x-1)(x+1)

∴即F(x)在x=1处取得极大值2,在x=-1处取得极小值-2

∵直线g(x)=a与函数F(x)=-x3+3x的图象有三个不同的交点

∴a∈(－2,2)

7.已知二元一次方程组的增广矩阵是，若该方程组无解，则实数的值为

___________．

【答案】

【解析】二元一次方程组的增广矩阵就是把方程组中两个方程的未知数的系数及常数项分别对应的写成一行形成的矩阵．当然时，该方程组是有解的，时，该方程组无解等价于，解得．

【考点】方程组的增广矩阵及方程组解的判定．

8.方程的实数解的个数为___________．

【答案】

【解析】由题意可令函数和，分别作图如下，不难发现它们有三个交点，则方程有三个实数

解．

【考点】1.函数的图象;2.函数与方程的关系

9.若、是方程，的解，函数，则关于的方程

的解的个数是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】由题意知，、是方程，的实数根，作出函数，

与函数的图象如下图所示，则函数与函数交于点，函数与函数交于点，由于函数与函数关于直线对称，且直线与垂直，且交于点，故点、也关于直线对称，且其中点为点，因此，当时，，解方程，即，

解得或；当时，，解方程，故关于的方程的实根个数为，故选C.

【考点】1.函数的零点；2.函数的图象；3.分段函数

10.设，

（1）若的图像关于对称，且，求的解析式；

（2）对于（1）中的，讨论与的图像的交点个数.

【答案】(1)；（2）见解析.

【解析】(1)因为函数图象关于对称，故为二次函数且对称轴为∴，又，代入可求得函数解析式；（2）将问题转化为有几个解的问题，令，利用导数讨论其增减区间，当时，与的