极值的判断条件

高考数学中的条件极值问题详解

高考数学中的条件极值问题详解随着高考的临近，每年的高考数学考试都是很多考生最为头疼的一部分。

其中，条件极值问题就是很多考生容易遇到的难题。

本文将从条件极值问题的定义、解题思路和常见例题等方面来详解这一难点。

一、条件极值问题的定义条件极值问题是指在满足一定条件下，求出目标函数的最大值或最小值。

所谓目标函数，就是表示问题中要求最大值或最小值的那个函数式。

条件则是问题给出的限制条件。

例如，假设有一个长为 L、宽为 W 的矩形，求其面积最大值，那么这个“最大值” 就是目标函数，而长和宽的限制条件则是其长度 L、宽度 W 必须满足的限定范围。

二、解题思路1. 确定目标函数在解题过程中，首先要明确目标函数是什么，根据题目描述确定目标函数，通常来说是在条件下求出某个量的最大值或最小值。

2. 确定限制条件由题目中的条件限制，列出等式或不等式，这些条件是问题的限制条件，限定了问题中变量的取值范围。

3. 消去无关变量有时候，为了方便计算，我们需要将无关变量进行消去，只留下一个或两个有关的变量。

4. 联立目标函数和条件将目标函数和限制条件进行联立，并进行化简，得到一条或多个关于有关变量之间的等式或不等式关系。

5. 求导数如果是求最值，那么需要对目标函数进行求导，然后将导函数等于零的解代入原函数中，并判断取得最大值或最小值的点是否在条件限制范围之内。

三、常见例题解析1. 一个质量为 m 的圆柱体，其长度为 L，求将它铸成一个底面积为 A 的球体，所需要的最少金属材料的量。

分析：目标函数为金属的总重量，即重量 W；限制条件可以根据推导得出表达式4πR^2 = A 和V = πR^2L。

其中，R 表示球体的半径，V 表示圆柱体的体积。

根据重量 W 以 R 为单变量函数求导数，并求出导数等于零的解 R0，将其代入 W 中求得最小值。

2. 在所有等边三角形 ABC 中，以 AK、BL、CM 为三边所成的三角形P 的面积最大。

证明此三角形是等边三角形，并求其面积。

多元函数的极值与条件极值

多元函数的极值与条件极值在数学分析中，极值是一个重要的概念。

对于多元函数而言，我们可以通过求取偏导数或利用拉格朗日乘数法来确定其极值点。

在这篇文章中，我们将探讨多元函数的极值以及条件极值。

一、多元函数的极值在开始讨论多元函数的极值之前，我们先来回顾一元函数的极值。

对于一个实数域上的函数f(x)，如果存在x=a，使得在a的某个去心邻域内，函数值小于（或大于）f(a)，则称f(a)是函数f的一个极大（或极小）值。

同样地，我们可以将这一概念推广到多元函数上。

考虑一个定义在n维欧几里得空间上的函数f(x₁,x₂,...,xₙ)，其中x₁,x₂,...,xₙ是实数。

我们称向量x=(x₁,x₂,...,xₙ)为函数f的一个驻点，如果在x的某个邻域内，函数值在x点取得极值。

对于多元函数，我们需通过求取偏导数来判断其极值点。

偏导数的定义如下：对于函数f(x₁,x₂,...,xₙ)，它在x=(a₁,a₂,...,aₙ)处的偏导数∂f/∂xᵢ (i=1,2,...,n)是当变量xᵢ在点(x₁,x₂,...,xₙ)处以及其他变量a₁,a₂,...,aₙ保持不变时的导数。

求解偏导数后，我们可以通过将偏导数相应的变量取0，得到一组等式，从而解得极值点。

二、多元函数条件极值在实际问题中，我们经常会遇到有约束条件的优化问题，这就引出了条件极值的概念。

对于一个满足一组约束条件的多元函数，我们要在满足条件的前提下，找到它的极值点。

拉格朗日乘数法是求解带有约束条件的多元函数极值的常用方法。

设函数f(x₁,x₂,...,xₙ)的约束条件为g(x₁,x₂,...,xₙ)=0。

首先构建拉格朗日函数L(x₁,x₂,...,xₙ,λ)=f(x₁,x₂,...,xₙ)+λg(x₁,x₂,...,xₙ)，其中λ为拉格朗日乘数。

然后，求解函数L的偏导数∂L/∂xᵢ(i=1,2,...,n)和∂L/∂λ，并将它们置为0。

解这组方程，即可得到满足条件的极值点。

二元函数取极值的条件

二元函数取极值的条件
判断二元函数极值方法如下：
设：二元函数f(x,y)的稳定点为：(x0,y0),
即：∂f(x0,y0)/∂x = ∂f(x0,y0)/∂y = 0；
记：：A=∂²f(x0,y0)/∂x²
B=∂²f(x0,y0)/∂x∂y
C=∂²f(x0,y0)/∂y²
∆=AC-B²
如果：∆>0
A0,f(x0,y0) 为极小值；
如果：∆0
f(0,0)=0 为最小值。

求解函数极值方法：寻求函数整个定义域上的最大值和最小值是数学优化的目标。

如果函数在闭合区间上是连续的，则通过极值定理存在整个定义域上的最大值和最小值。

此外，整个定义域上最大值（或最小值）必须是域内部的局部最大值（或最小值），或必须位于域的边界上。

扩展资料
判断函数极值定义：
若函数f(x)在x₀的一个邻域D有定义，且对D中除x₀的所有点，都有f(x)<f(x ₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极大值。

同理，若对D的所有点，都有f(x)>f(x ₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极小值。

极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题。

根据极值定律，定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。

如果极值点不是边界点，就一定是内点。

因此，这里的首要任务是求得一个内点成为一个极值点的必要条件。

微积分第三章第3.6节二元函数的极值与条件极值

解为求驻点，解联立方程组
f x'( x, y) 3x2 3 y 0

f
' y
(
x,
y)

3
y2

3
x

0
得到两个驻点：（0，0），（1，1）。
由于
f
'' xx
(0,0)

0,
f xy''(0,0)

3,
f
'' yy
(0,0)

0
故[ f xy''(0,0)]2

f
'' xx
有 f ( x,0) x2 ，即函数取负值，而对原点附近任何的 y，
f (0, y) y2 ，函数取正值。因此，原点（0，0）不是函数的极值点。
如果要求二元函数的极值点，应当从驻点或一阶偏导数不存在的点中选取可能的极值点，为了判断所选的点是否是极值点，我们不加证明地给出：
定理 3.6.2 设函数 z=f（x，y）的所有的二阶偏导数都在点 ( x0 , y0 ) 附
3
3 33
在该点处 S 3 3 R2 。 4
在闭区域 D 的边界上，即在直线 x=0，y=0 及 x y 2 上，S 恒等
于零，因此 S 在 ( 2 , 2 ) 处达到最大值，换言之，当 x y z 2 时，
33
3
即内接三角形为等边三角形时，其面积最大。
Hale Waihona Puke 以上我们讨论了二元函数的极值问题，系指自变量可任意取值，在不
受限制的情况下的极值，通常被称为无条件极值(unconditional extremum)。

函数的极值

o
a
x1
x2
x3
x4
b
x
三、极值的第一充分条件
y
o
a
x1
x2
x3
x4
b
x
Байду номын сангаас极大
极小
三、极值的第一充分条件
f ( x) 在 x0 处连续，在 x0 的定理2（第一充分条件）设函数某去心邻域 U ( x0 , )内可导 f ( x) 0 ，而 x ( x0 , x0 ) 时， f ( x) 0 1）当 x ( x0 , x0 ) 时，则 f ( x) 在 x0处取得极大值； f ( x) 0 ，而 x ( x0 , x0 ) 时， f ( x) 0 2）当 x ( x0 , x0 ) 时，则 f ( x) 在 x0处取得极小值；则 f ( x) 在 x0 处没有极值。 f ( x )不改变符号， 3）当 x U ( x0 , )时，
函数的极值
一、极值定义
极值：邻域内取到的最大值（最小值），局部最值。极值只能在定义域的内部取得，不能在端点取到。区间内部的最值点是极值点。
y
o
a
x1
x2
x3
x4
b
x
二、极值的必要条件
定理1（必要条件）可导的极值点，导数为零。注：1）导数为0的点可能是极值点； 2）极值点不一定导数为0
3）导数为0的点和不可导点可能是极值点（可疑点）如果yx0 为可疑点，如何判断它是否为极值点？
六、小结
极值点实际是单调区间的分界点。
极大
极小
七、课后练习
极值点：单调区间的分界点
四、计算函数极值的步骤

二元函数极值点的判别条件

二元函数极值点的判别条件
定义设二元函数z=f(x,y)的定义域为D,点M0(x0,y0)(M∈D)的某一邻域在D内有定义,对于该邻域内异于M0的任何点(x,y),如果f(x,y)> f(xo,yo),则称点Mo(x,yo)是函数z=f(x,y)的一个极小值点,称f(x0,yo)为函数z=f(x,y)的一个极小值.如果f(x,y)< f(xo, yo),则称点Mo(xo,yo)是函数z=f(x,y)的一个极大值点,称f(xo,yo)为函数z=f(x,y)的一个极大值。

极小值点和极大值点统称极值点;极小值和极大值统称极值。

显然,如果二元函数z=f(x,y)在点(xo，yo)取得极值,则一元函数z=f(x,yo)在点x取得极值,一元函数z=f(xo,y)在点yo取得极值,此得到极值点的必要条件。

定理1(必要条件)设二元函数z=f(x,y)在点(xo,yo)取得极值,且fx(xo,yo)，fy(o,yo)存在,则fx(xo,yo)=0,fy(xo,yo)=0。

称两个偏导数都为0的点为二元函数z=f(x,y)的驻点,驻点不一定就是极值点(充分条件)设二元函数z=f(x,y)在点Mo(xo,yo)的某一邻域内连续,且有连续的一二阶偏导数,又Mo(xo,yo)是驻点,令则
(1)当△<0时,点Mo(x,yo)是极值点.且当A<0时,点Mo(xo,yo)是极大值点;当A>0时，Mo(x,y)是极小值点;
(2)当△>0时,点Mo(x0,y)不是极值点;
(3)当△=0时,Mo(x,yo)可能是极值点,也可能不是极值点,需另作讨论。

条件极值

先构造函数 L( x, y ) f ( x, y ) ( x, y ) ，其中为某一常数，可由
极值点,
Lx f x ( x , y ) x ( x , y ) 0, Lx f y ( x , y ) y ( x , y ) 0, ( x , y ) 0.
4
由于dx和dy是相互独立的, 要使上式成立，必须 f x f y g h dx＝0 x x g h dy＝0 y y
7 8
§2. 条件极值
所以函数f x , y , u, v 在某点M x , y , u, v 达到条件极值, 则在该点处应满足(5), (6), (7), (8)及g 0, h 0.
§2. 条件极值
条件极值：对自变量有附加条件的极值问题，称为条件极值问题．求f x, y, u, v 在条件
g x , y , u, v 0 h x , y , u, v 0
约束下的极值.
下面讨论f 在点 x, y, u, v 取到极值的必要条件.
解设长方体的长、宽、高为 x , y，z. 体积为 V .
则问题就是条件求函数令
2 xy 2 yz 2 xz a 2 0
下，
V xyz ( x 0, y 0, z 0) 的最大值.
2
L( x, y, z ) xyz (2 xy 2 yz 2 xz a ),
由于连续函数x 2 2 y 2在有界闭集 {( x , y ) / x 2 y 2 1}上必有最值，所以所求得的最大值为2，最小值为1。
§2. 条件极值
d L Lxx dx Lyy dy Lzz dz 2 Lxy dxdy 2 Lxz dxdz

二元函数求极限的极值与拐点判断

二元函数求极限的极值与拐点判断在数学中，二元函数是指由两个变量组成的函数，即f(x,y)。

求二元函数的极限、极值和拐点是解析几何中的重要问题之一。

本文将讨论二元函数求极限的极值与拐点判断的方法。

一、二元函数的极限对于二元函数f(x,y)，当点P(x0,y0)沿着不同的路径趋向于(x0,y0)时，如果存在一个确定的实数L，使得对于任意给定的正数ε>0，总存在正数δ>0，使得当0<√[(x-x0)²+(y-y0)²]<δ时，有|f(x,y)-L|<ε，那么L就是f(x,y)在点P(x0,y0)的极限。

二、二元函数的极值判断1. 求极值的必要条件：首先，求二元函数的极值需要满足以下必要条件，即函数在极值点处存在一阶偏导数，并且这些偏导数等于零。

2. 求极值的充分条件：其次，可以通过求解二元函数的二阶偏导数来判断极值的类型。

- 若二阶偏导数的判别式Δ=fxx·fyy-(fxy)²>0，并且fxx>0，则函数在该点处取极小值；- 若Δ>0，并且fxx<0，则函数在该点处取极大值；- 若Δ<0，则函数在该点处没有极值；- 若Δ=0，情况可能比较复杂，需要进一步分析。

三、二元函数的拐点判断拐点是指函数曲线从凸向上转为凹向上，或从凹向上转为凸向上的点。

求二元函数的拐点需要满足以下条件：1. 求拐点的必要条件：函数处于拐点，意味着函数的二阶导数存在。

因此，首先需要求解二元函数的二阶偏导数。

2. 求拐点的充分条件：通过求解二元函数的二阶偏导数可以判断函数的凸凹性。

- 若fxx·fyy-(fxy)²>0，并且fxx>0，则函数在该点处为凸向上；- 若fxx·fyy-(fxy)²>0，并且fxx<0，则函数在该点处为凹向上；- 若fxx·fyy-(fxy)²<0，则函数在该点处存在拐点。

极值的判定条件

极值的判定条件
极值是函数在某一点上取得的最大值或最小值，判定函数在某一点上的极值需要满足以下条件：
1. 导数为0或不存在：函数在极值点上的导数为0或不存在，即f'(x0)=0或f'(x0)不存在。

2. 导数变号：当函数从单调递增变为单调递减或从单调递减变为单调递增时，函数在该点上取得极值。

3. 二阶导数的符号：当函数在极值点上的二阶导数f''(x0)为正时，函数在该点上取得极小值；当f''(x0)为负时，函数在该点上取得极大值。

需要注意的是，以上三个条件只是判定极值的必要条件，不一定是充分条件。

因此，在判定极值时，还需要进行综合分析，结合函数的图像和实际问题进行判断。

经济数学7.函数的极值判定定理(第二充分条件)

求函数 f (x) x3 3x2 9x 2 的极值。
解：因为函数 f (x)的定义域为 (,)，且 f (x) 3x2 6x 9，令 f (x) 0 ，得驻点 x1 1 , x2 3 ,
又 f (x) 6x 6。
经济数学
例题
求函数 f (x) x3 3x2 9x 2 的极值。
经济数学
f (x) 6x 6
解：因为 f (1) 12 0，
所以函数 f (x) 在 x1 1处取得极大值，且极大值为 f (1) 7 ；
因为 f (3) 12 0 ，
所以函数 f (x) 在 x2 3处取得极小值，且极小值为 f (3) 25。
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函数极值判定定理（第二充分条件）
授课教师：陈笑缘教授
经济数学
1
定理
2
例题
经济数学
1
定理
经济数学
经济数学
定理
定理4.6 （极值的第二充分条件）
设 x0是函数 f ( x) 的驻点，且 f (x0 ) 存在，则
（1）当 f (x0 ) 0 时，函数 f (x)在 x0处取得极大值。（2）当 f (x0 ) 0 时，函数 f (x) 在 x0 处取得极小值。（3）当 f (x0 ) 0 时，函数 f (x)在 x0处有无极值需另外判断。
经济数学
思考
1.为什么当 f (x0 ) 0 ，则 f (x0 ) 是否为函数 f ( x)的极值还
需要进一步判断？ 2.什么情况下用极值判断的第一充分条件？什么情况下用第二充分条件？其利弊是什么?
经济数学在线开放课程经济源自学谢谢!经济数学二次函数 f (x) ax2 bx c , f (x) 2ax b , f (x) 2a ,

极值的第三充分条件

极值的第三充分条件极值是数学中一个非常重要的概念，它在很多实际问题中都有着广泛的应用。

对于一个函数而言，它的极值点包括极大值点和极小值点，是函数取得最大值和最小值的点。

在研究一个函数的极值时，除了需要找到极值点，还需要确定这个点是极大值还是极小值。

而确定这个点是极大值还是极小值，有一个非常重要的条件：极值的第三充分条件。

极值的第三充分条件是什么呢？它是指对于一个连续可微的函数f(x)，如果在x=a处取得极值，同时f'(a)=0，f''(a)不等于0，那么这个点一定是一个极值点。

同时，如果f''(a)>0，则表示在a点取得的是一个极小值，而f''(a)<0，则表示在a点取得的是一个极大值。

这个条件非常重要，因为它对于理解函数极值的判定提供了一条重要的思路。

它告诉我们，如果我们要判断一个点是极大值还是极小值，那么需要看这个点的二阶导数的符号。

如果二阶导数的符号大于0，则表示这个点是一个极小值，而小于0则表示这个点是一个极大值。

此外，极值的第三充分条件还有一个非常重要的意义，那就是它可以帮我们进一步确定函数的性质。

如果在一个点上函数的二阶导数大于0，那么说明函数在这个点处是凸的，这就意味着函数在这个点处是向上开口的。

而如果二阶导数小于0，则说明函数在这个点处是凹的，即函数在这个点处是向下开口的。

因此，函数的凸凹性也可以通过极值的第三充分条件得到很好的刻画。

总之，极值的第三充分条件是一个非常重要的判定条件，它可以帮助我们确定极值点的类型，进一步确定函数的凸凹情况，从而更好地理解函数的性质。

在学习函数的极值问题时，我们应该重视这个条件，充分理解它的含义和应用，以便更好地解决实际问题。

函数的极值及其必要条件

若函数 f :[a,b] R 满足下列条件：（1）在闭区间[a, b]上连续；（2）在开区间 (a, b) 内可导，则至少存在一点(a, b) ，使得
f (b) f (a) f (), ba
或 f (b) f (a) f ()(ba).
y y f (x) T
y
M
B
y f (x) B
A
A
o a b x o a 1
y
P
y f (x)
f (a)
oa
f (b)
b
x
罗尔定理的几何意义：如果[a, b] 上的连续曲线，除端点外处处具有不垂直于 x 轴的切线，且两端点处的纵坐标相等，那么曲线上至少有一点处的切线是水平的.
证：由于 f ( x)C[a, b] ，所以 f ( x) 在[a,b]上必有最大值 M 和最小值m . 若 M m ，因x[a, b] ，有m f ( x) M ，故 f ( x) M ，从而 f ( x)0 ，这时 (a,b) ，都有 f ()0 . 若 Mm ，则由 f (a) f (b)，知 M 与 m 中至少有一个(不妨设 M )在区间 (a,b) 内点处取得，设 f () M ，由 Fermat 引理知 f ()0 ，定理得证.
由于 f ( x) f ( x0 ), 所以
当 x (x0,
x0 )时,
有
f ( x) f ( x0 ) 0, x x0
当 x (x0 ,
x0 ) 时,
有
f ( x) f ( x0 ) 0, x x0
由极限的保号性可得：
f ( x0 )
f
(
x0
)
lim
x x
f ( x) f ( x0 ) 0, x x0

二元函数极值充分条件的附加说明

二元函数极值充分条件的附加说明
在物理学和数学中，极值是影响函数变化最大的点，给定函数
f(x)，它具有极值只有在函数满足某些准则时才会发生，这称为充分
条件。

这些条件主要有四种，分别是雅可比条件、泰勒条件、函数连
续性条件以及函数拐点条件。

首先，雅可比条件要求函数的一阶偏导数存在无限次可导，并且
在这些点的梯度为零，即函数的导数需要在不等于零的点计算出极值，也就是求出极值需要看函数的导数。

其次，泰勒条件需要判断函数的一阶偏导数及其高阶偏导数都要
满足强单调性条件，如果当其中一个或多个偏导数的符号变化时，就
会认定函数具有极值存在。

再者，函数连续性条件指定了求出极值需要满足的条件，就是函
数在某一点处必须要连续，并且不存在任何折点或跳变。

最后，函数拐点条件指的是函数在拐点处，可以看到函数的拐点
发生变化，如果函数在这一点处发生拐点，那么就可以判断函数具有
极值。

总之，一元函数具有极值的充分条件主要有上述四种，这样可以
方便我们更准确地计算出极值的值，而不用花费大量的时间及精力去
手工搜索极值点。

由此可见，充分条件对函数极值计算有着极大的帮助。

极值知识点总结

极值知识点总结一、极大值和极小值在数学中，极大值和极小值是极值的两种形式。

在一个给定的函数上，极大值指函数在某个点上的最大值，而极小值指函数在某个点上的最小值。

1.1 极大值一个函数在某个点上的极大值是指在这个点的邻域内，函数值最大的值。

如果存在一个点x0，对于任意满足|x-x0|<δ的x，f(x)≤f(x0)，那么f(x0)就是函数f(x)在x0处的极大值。

1.2 极小值同样地，一个函数在某个点上的极小值是指在这个点的邻域内，函数值最小的值。

如果存在一个点x0，对于任意满足|x-x0|<δ的x，f(x)≥f(x0)，那么f(x0)就是函数f(x)在x0处的极小值。

1.3 区间极值定理对于一个连续函数f(x)，如果函数在一个闭区间[a, b]上连续，在内部开区间(a, b)上可导，那么函数在[a, b]上至少有一个极大值和一个极小值。

1.4 极值的必要条件如果一个函数在某一点上的极值，那么该点一定是一个驻点。

这是因为一个函数在极值点上的导数一定为零，所以导数为零是函数极值的必要条件。

1.5 极值的充分条件如果一个函数在某一点上的二阶导数存在，并且在该点的二阶导数为正，那么该点为极小值点；如果二阶导数为负，则为极大值点。

1.6 极值的判定方法判断一个函数在某一点上的极值，可以通过求导数来进行判定。

求得导数后，把导数等于零的点称为临界点。

在临界点上求得的函数值即为该点的极值。

二、求解极值的方法2.1 开闭区间法对于一个函数在一个区间[a, b]上的极值，可以先求得在区间内部的导数和端点的函数值，然后通过比较得到极值的位置。

2.2 二次函数法对于一个二次函数，可以通过求导得到导函数，然后通过导函数的判定方法求得极值点的位置。

2.3 拐点法对于一个函数，如果在某点的导数从正变为负，或者从负变为正，那么该点就是函数的极值点。

这就叫做拐点法。

2.4 点与切线法对于一个函数，在某一点的切线斜率为零时，该点为极值点。

极值点问题知识点总结

极值点问题知识点总结在数学中，极值点问题是一个重要的研究领域。

极值点是指函数在某一区间内取得最大值或最小值的点。

这个问题在实际应用中具有广泛的意义，比如在优化问题中，我们常常需要找到一个函数的极值点来确定最优解。

在本文中，我们将介绍极值点问题的基本概念、求解方法以及一些常见的应用。

1.极值点的定义极值点是函数在某一区间内取得最大值或最小值的点。

如果函数在某一点的邻域内的函数值都小于（或大于）该点的函数值，那么这个点就是函数的极小值点（或极大值点）。

如果函数在某一点的邻域内存在比它更小（或更大）的函数值，那么这个点就不是极值点。

2.极值点的判定条件为了判断一个点是否为函数的极值点，我们可以使用驻点条件和二阶导数测试。

驻点条件是指函数导数为零的点，也就是函数的临界点。

通过计算函数在临界点的二阶导数，我们可以判断这个点是极小值点、极大值点还是鞍点。

3.极值点的求解方法求解极值点的方法有很多种，其中最常用的方法是求解函数的导数为零的方程。

首先，我们需要对函数进行求导，然后解方程求得临界点。

接下来，我们可以通过计算二阶导数或者绘制函数图像来进一步判断这些临界点是极大值点还是极小值点。

4.极值点问题的应用极值点问题在实际应用中有着广泛的应用。

例如，在经济学中，我们常常需要通过求解某个函数的极值点来确定最大化利润或最小化成本的策略。

在工程学中，求解函数的极值点可以帮助我们设计出最优化的系统或组件。

在物理学中，通过求解函数的极值点，我们可以找到使得能量达到最小或最大的状态。

总结起来，极值点问题是数学中的一个重要研究领域。

通过掌握极值点的基本概念和判定条件，以及掌握求解极值点的方法，我们可以在实际应用中应用这些知识来解决各种优化问题。

探索极值点问题的知识将使我们更好地理解数学的应用和实际问题的解决方法。

参考文献： - 斯图尔特. 高等代数与初等代数讲义[M]. 高等教育出版社, 2012. -郑兴东, 赵金保. 数学分析教程[M]. 高等教育出版社, 2019.。

极值与最值

又g(0) 48, g(4) 48 43 16 故f (x, y)限制在圆周边界上的最小值为 16. b、再考虑D在y轴边界的最小值限制在其边界上函数为f (x, y) 3y 2 , 其中 4 y 4 易见3y 2在 4 y 4的最小值为0
结合(1),(2)的讨论可知，
f ( x, y)在x 4, y 0处取得最小值，且最小值为 16。
有唯一驻点(1,0)
yLeabharlann 2.A 2 0 B 1 C 2 0 B2 AC 1 4 3 0
3. B2 AC 0, A 0 (1,0)为极小值点。且z极小值 1 2 1
例2. 求函数解: 1.解
的极值.
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
函数 f 在有界闭域上可达到最值
最值可疑点
驻点及偏导数不存在的点边界上的最值点
例3 求 f (x, y) 3x2 3y 2 x3 在 D {(x, y) | x2 y 2 16, x 0} 上的最小值.
解: (1)求出f (x, y)在D内的极小值可能点。
得驻点: (2, 0) , (0, 0)(舍去）在点(2,0) 处f(2,0)=4
证明见 (P229) .
二元函数求极值的步骤:
1.解：zzxy
0 0
得驻点p1、p2、p3 pk。
2.求A, B,C 在pi处验证Di B2 AC的符号。
3.若Di 0,由A(C )的正负号判定pi为极大极小值点。
例1. 求函数
的极值.
解:
1.
z 2x y 2 0 x z x 2 y 1 0
(2)求出f (x, y)在D的边界{(x, y) x2 y 2 16, x 0}上的最小值可能点

多元函数取极值的条件

多元函数取极值的条件
多元函数取极值的条件是：
各个分量的偏导数为0，这是⼀个必要条件。

充分条件是这个多元函数的⼆阶偏导数的⾏列式为正定或负定的。

如果这个多元函数的⼆阶偏导数的⾏列式是半正定的则需要进⼀步判断三阶⾏列式。

如果这个多元函数的⼆阶偏导数的⾏列式是不定的，那么这时不是极值点。

以⼆元函数为例，设函数z=f(x,y)在点（x。

,y。

）的某邻域内有连续且有⼀阶及⼆阶连续偏导数，⼜fx(x。

,y。

）,fy(x。

,y。

）=0,令
fxx(x。

,y。

)=A,fxy=(x。

,y。

）=B,fyy=(x。

,y。

）=C
则f(x,y)在（x。

,y。

）处是否取得极值的条件是
（1）AC-B*B>0时有极值
（2）AC-B*B<0时没有极值
（3）AC-B*B=0时可能有极值，也有可能没有极值
如果是n元函数需要⽤⾏列式表⽰。

如果是条件极值，那么更复杂⼀些。

数学分析极值与条件极值

并证明不等式：
3(1 1 1)1 3 3xyz , x, y, z 0 xyz
解：作拉格朗日函数：L(x, y, z) xyz (1 1 1)
xyz
令 Lx yz x2 0,
Ly xz y2 0,
Lz xy z2 0,
1 1 1 1, xyz r
x y z 3r
特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,
f (P)为极小(大) 值
f (P)为最小(大) 值
第二节条件极值与拉格朗日乘数法
三、条件极值
无条件极值: 对自变量只有定义域限制极值问题
条件极值 : 对自变量除定义域限制外,
条件极值的求法:
还有其它条件限制
方法1 代入法. 例如 ,
穷。因此，函数 f 的唯一极小值
点是函数的最小值点，即
xyz (3r)3, (x, y, z) D , r (1 1 1)1
xyz
代入得，3(1 1 1)1 3 3xyz , x, y, z 0
xyz
推广
拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.
例如, 求函数 u f (x, y, z) 在条件 (x, y, z) 0,
(x, y, z) 0下的极值.
设 F f (x, y, z) 1(x, y, z) 2 (x, y, z)
定理1 (必要条件) 函数偏导数, 且在该点取得极值 , 则有
存在
fx (x0, y0 ) 0 , f y (x0, y0 ) 0
证:
取得极值 , 故
取得极值取得极值
据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.
说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .
但驻点不一定是极值点.

函数既有极大值又有极小值的条件

函数既有极大值又有极小值的条件在数学中，函数的极值是指函数在某个区间内取得的最大值或最小值。

而当一个函数既有极大值又有极小值时，我们称之为函数存在极值。

那么，函数存在极值的条件是什么呢？下面我们将从连续性、可导性和二阶导数的角度来探讨这个问题。

一、连续性首先，我们需要知道的是，一个函数在某个区间内存在极值，必须满足该函数在该区间内是连续的。

也就是说，如果一个函数在某个点处存在极值，那么该点必须是函数的定义域内的一个连续点。

这是因为如果该点不是连续点，那么函数在该点处的极值也就没有意义了。

二、可导性其次，我们需要考虑的是函数的可导性。

如果一个函数在某个点处存在极值，那么该点必须是函数的可导点。

这是因为如果该点不是可导点，那么函数在该点处的极值也就无法求出了。

那么，如何判断一个函数在某个点处是否可导呢？我们可以使用导数的定义来判断。

如果一个函数在某个点处的左导数和右导数存在且相等，那么该函数在该点处可导。

如果左导数和右导数不相等，那么该函数在该点处不可导。

三、二阶导数最后，我们需要考虑的是函数的二阶导数。

如果一个函数在某个点处存在极值，那么该点必须是函数的二阶导数存在的点。

这是因为如果该点的二阶导数不存在，那么该点处的极值也就无法判断了。

那么，如何判断一个函数在某个点处的二阶导数是否存在呢？我们可以使用函数的导数定义来判断。

如果一个函数在某个点处的导数存在且连续，那么该函数在该点处的二阶导数也存在。

如果导数不存在或者不连续，那么该函数在该点处的二阶导数也不存在。

综上所述，一个函数在某个区间内存在极值，必须满足该函数在该区间内是连续的、可导的，并且在极值点处的二阶导数存在。

只有同时满足这三个条件，才能保证函数在该区间内存在极值。