幂函数的图像与性质表格
幂函数课件(优质课)(共20张PPT)
③y x 2 x 否
⑤y x 0 是
2 2
⑥y 1 否
2、若函数 f ( x) (a 3a 3) x 是幂函数，求a的值。 -1或4 规律
x 的系数是1
底数是单一的x 指数是常数
总结
幂函数的定义 幂函数的定义：一般地函数 y 其中x是自变量，α是常数。
上是增函数，0.5< 3 ∴ ∴ ( )2 (
3 2 3 ∴( ) ( ) 底数相同，若指数相同利用幂函数的
9 10
9 10
1.40.5 1.4 3
5
) 2∴ ( ) 2 ( ) 3 10 5 10
课堂练习 1、下列函数不是幂函数的是（ c ）
3 1 A y x B y x C y 2x D y x
定义域
y x2
R
（0，+∞）
O
x
值域
奇偶性
偶
单调性（-∞，0）减
（0，+∞）增
y
y x3
函数
y x3
定义域 R
O
x
值域
R
奇偶性 奇
单调性 增
y
1 x2
y
函数
y
1 x2
定义域 [0,+∞)
O
x
值域
[0,+∞)
奇偶性 非奇非偶
单调性
增
幂函数的性质
函数 定义域 值域 奇偶性
yx
yx
5
(
9 10
1 )3
9 2 (4)取中间量 ( ) ，∵函数 9 x 10 y ( ) 在R 上是增函数
幂函数图像及性质
幂函数图像及性质什么是幂函数？幂函数是指在极坐标或复平面上将某一点按某一规则移动，使其形成一种函数。
这种函数是关于某一点的未知函数，这一点可以表示为一个复数，且该复数可以表示某一点的坐标。
幂函数也可以用复数表示，其中一个具体的形式为：z =r^n*cos(θ+2πm) + ir^n*sin(θ+2πm)，其中r 为极径，θ为极角，m为整数，n为实常数。
幂函数的图像是一条曲线，所以它也被称为曲线函数，它的图像可以根据x，y轴的定义方法来确定。
在极坐标系中，幂函数的形状一般是环状曲线，并且其形状受n值的影响很大，比如当n=1时，图像的形状为单个圆；当n=2时，图像的形状为集中的双圆；当n=3时，图像的形状为三角形；当n=4时，图像的形状为集中的四方形；当n=5时，图像的形状为五角星状等。
幂函数的性质可以用幂函数的微积分形式来说明，即dz/dr=n*r^(n-1)，其中n 为实常数，r 为极径，z为极坐标系的一点的坐标，推导出dz/dr的值，可以用于表示幂函数的形状及特性。
此外，还可以用基本物理运算来说明，所谓幂函数是指坐标变换时r和θ之间存在一定的关系，此关系可以表示为r=f(θ)，其中f(θ)是幂函数，这里的幂函数可以通过幂函数的大小因子或者指数来表示，而指数n就是幂函数的性质，只有当n>0或者n<0时，才能使幂函数表达出不同的性质。
幂函数在物理学中也被广泛使用，例如，在声学领域，幂函数可以用来描述声波的传播规律，这就是为什么音量大小是一个幂函数的原因。
此外，在光学领域，幂函数可以用来描述光的传播规律，例如，可以用来计算光的反射系数或者折射系数。
而在数学中，幂函数不仅表示曲线的性质，还可以用来研究复数的性质，以及形成更复杂的曲线。
以上就是我们关于幂函数图像及性质的简单介绍，幂函数是一种非常有趣的曲线函数，它在物理学，数学及光学领域有着重要的应用。
虽然它看起来很复杂，但它所提供的知识却是非常有价值的，只要我们多多使用幂函数，就能够获得丰富的经验和数学知识。
幂函数的图像与性质
图象都经过点（ 图象都经过点（1，1）
在第一象限内,函数图象的变化趋势与指数有什么关系 在第一象限内 函数图象的变化趋势与指数有什么关系? 函数图象的变化趋势与指数有什么关系
幂函数在(0,+∞) １.幂函数在(0,+∞)都 幂函数在(0,+∞)都 有定义, (1,1)点 有定义,且都过 (1,1 点; ２.在x=1的右侧，越在 x=1的右侧 的右侧， 上方的图像对应的幂 函数的k值越大； 函数的k值越大； 轴与x=1之间相反。 x=1之间相反 在y轴与x=1之间相反。
幂函数的性质与图像？ 幂函数的性质与图像？
K>0
K>0
K>0
K>0
K>0
K>0
K>0
K<0
K<0
K<0
K<0
K<0
K<0
K<0
在第一象限内,函数图象的变化趋势与指数有什么关系 在第一象限内 函数图象的变化趋势与指数有什么关系? 函数图象的变化趋势与指数有什么关系
在第一象限内， 在第一象限内， 增大而上升。 当k>0时，图象随 增大而上升。 时 图象随x增大而上升 当k<0时，图象随 增大而下降 时 图象随x增大而下降
3、思想与方法 、
数形结合 寓数于形,赋形于数 互相利用 相得溢彰. 寓数于形 赋形于数,互相利用 相得溢彰 赋形于数 互相利用,相得溢彰
练 习
y=x
I
−
1 2
y=x
G
2 3
y=x
E
4 3
y= x
B
−3
y=x
C
−2
y = x
y
(完整版)幂函数图象及其性质
幕函数的图像与性质1幕函数的定义形如y=x "(a € R )的函数称为幕函数，其中 x 是自变量，a 为常数 注：幕函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同， 幕函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。
例题、(1).下列函数中不是幕函数的是()A . y 仮B . y x 3 c . y 2x D . y x 1答案：C例2.已知函数f xm 2 m 1 x 5m 3，当m 为何值时，f x图像是上升曲线。
(1)是幕函数;(2)是幕函数，且是0,上的增函数；(3)是正比例函数；(4)是反比例函数; (5) 是二次函数; 简解：(1)(2) (3) m4 (4) m5(5) m 1变式训练: 已知函数fx m 22mm为何值时,在第一象限内它的2小简解：m m 02m 2m 3 解得：m 0U 3,小结与拓展：要牢记幕函数的定义，列出等式或不等式求解。
2.幕函数的图像幕函数y = x a 的图象由于a 的值不同而不同.a 的正负：a> 0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升;在第一象限的图象下降，反之也成立；aV 0,图象不过原点,1注：在上图第一象限中如何确定y=x 3, y=x 2, y=x , y x 2 , y=x -1方法：可画出x=x o ；当x o >l 时，按交点的高低，从高到低依次为y=x 3, y=x 2, 当0<x o <l 时，按交点的高低，从高到低依次为y=x -1, yy=xy=x 2 y=x 31y x?y=x -1定义域 R R R [0, ) x| x R 且x 0 值域R[0, )R[0, )y | y R 且 y 0奇偶性 奇 偶奇非奇非偶 奇单调性增x € [0 , )时，增；x € (,0]时，减增增x € (0,+ )时，减； x € (- ,0)时，减定点(1 , 1)例.比较大小:1 1_"T ~ 3 3 1 1 2 3 0 5(1)1.52,1.72 (2)( 1.2) ,( 1.25) (3)5.25 ,5.26 ,5.26 (4)0.5 ,3 . ,log 3 0.5解: (1 )••• y X 在[0,)上是增函数，1.5 1.71.52 1.721y=x ， y x 2， y=x -1 ；1 2 23x 2，y=x ， y=x 2，y=x 3 。
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念（2）．两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ；②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。
2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m na a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)mnm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质n 为奇数 n 为偶数注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。
即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。
（二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
（2）几种常见对数2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1log 0a =，②lo g 1aa =，③lo g Na a N =，④lo g N a aN =。
幂函数图象及其性质
1.7
，∴ 1 1.52
1
1.7 2
（ 2 ） ∵ y x3 在 R 上 是 增 函 数 ， 1.2 1.25 ， ∴
(1.2)3 (1.25)3
（ 3 ） ∵ y x1 在 (0,) 上 是 减 函 数 ， 5.25 5.26 ， ∴
Where there is a will,there is a way.
幂函数 y＝xα 有下列性质：(1)单调性：当 α
＞0 时，函数在(0，＋∞)上单调递增；当 α＜0
时，函数在(0，＋∞)上单调递减．(2)奇偶性：幂
函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶
函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断．
例
3．已知幂函数
y
（ xm2 2m3
mZ
）的图象与
x
轴、
y 轴都无交点，且关于原点对称，求 m 的值．
B．y x3
C．y 2x
D．y x1
答案：C
例 2．已知函数 f x m2 m 1 x5m3 ，当 m 为何值时， f x： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是 0, 上的 增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；
（5）是二次函数；
简解：（1）m 2 或 m 1（2）m 1（3）m 4（4）m 2
幂函数图象及其性质
幂函数图象及其性质
幂函数的图像与性质
1、幂函数的定义 形如 y=xα（a∈R）的函数称为幂函数，其中 x
是自变量，α为常数
注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的
位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数
函数的自变量在指数位置。
例题、(1). 下列函数中不是幂函数的是（ ）
A．y x
幂函数图像及性质总结表格
幂函数图像及性质总结表格幂函数图像及性质总结表格________________________________________一般来说，幂函数是指形式为f(x)=x^n (n是任意实数)的函数，在数学中，它被用来描述多种实际现象，并具有很强的表示能力。
本文将介绍幂函数的图像特征以及性质总结表格。
#### 一、幂函数的图像特征1、f(x)=x^n的图像有六种不同的形式：（1）当n为正奇数时，其图像为单调递增的开口向上的抛物线；（2）当n为正偶数时，其图像为单调递增的闭合曲线；（3）当n为负奇数时，其图像为单调递减的开口向下的抛物线；（4）当n为负偶数时，其图像为单调递减的闭合曲线；（5）当n=1时，其图像为直线y=x；（6）当n=0时，其图像为直线y=1。
2、f(x)=x^n的图像的性质可以通过下表总结出来。
| 指数n | 单调性 | 凹凸性 | 函数图像 ||:------:|:---------:|:---------:|:---------:|| n>0 | 递增 | 凸 | 抛物线 || n<0 | 递减 | 凹 | 抛物线 || n=1 | 直线 | 直线 | y=x || n=0 | 常数 | 常数 | y=1 |#### 二、性质总结1、f(x)=x^n (n为正实数)在x=0处取得极小值，在x→∞时取得极大值。
2、f(x)=x^n (n为负实数)在x=0处取得极大值，在x→∞时取得极小值。
3、f(x)=x^n (n为正实数)的导数为f'(x)=n*x^(n-1)。
4、f(x)=x^n (n为正实数)的函数图像关于y轴对称。
5、f(x)=x^n (n为正实数)在区间[0,+∞)上是单调递增的；在区间(-∞,0]上是单调递减的。
6、f(x)=x^n (n为正实数)的函数图像是凹凸性的。
当n为奇数时其函数图像是凹凸向上的，当n 为偶数时其函数图像是凹凸向下的。
7、f(x)=x^n (n是实数)在任意定义域上都是连续函数。
（完整）六大基本初等函数图像及其性质
标准实用文案大全六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）≠C 0=C 平行于x 轴的直线y 轴本身定义域R 定义域R二、幂函数αx y=，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数xy =2xy =3xy =21x y =1-=xy 定义域R R R [0,+[0,+∞∞) {x|x {x|x≠≠0} 值域R [0,+[0,+∞∞) R [0,+[0,+∞∞) {y|y {y|y≠≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增[0,+[0,+∞∞) ) 增增增增(0,+(0,+∞∞) ) 减减(-(-∞∞,0] ,0] 减减(-(-∞∞,0) ,0) 减减公共点（1,11,1））xyOxy =2x y =3x y =1-=x y 21x y =O=y xCy =Oxyy1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α，他们的图形都经过原点，并当α>1>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm 时，时，n n 为偶数时函数的定义域为（为偶数时函数的定义域为（0, +0, +0, +∞），∞），∞），n n 为奇数时函数的定义域为（为奇数时函数的定义域为（--∞,+,+∞），函数的图形均经过原点和（∞），函数的图形均经过原点和（∞），函数的图形均经过原点和（1 ,11 ,11 ,1）；）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,m<n,图形于图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；轴对称；m m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，）当α为负有理数时，n n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
幂函数9种图像总结
幂函数9种图像总结幂函数是数学中的常见函数，定义如下：f(x) = x^n (n为实数)由于幂函数的图像有很多种，它们的图像类型主要有以下9种：一、指数函数图像如果n是正数，则幂函数称为指数函数。
它的图像表示为以x轴正半轴为起点向右曲线，曲线上的点接近线段。
二、平行于x轴的函数图像如果n为0，则幂函数的图像是一条平行于x轴的直线。
x轴正方向为函数的上升方向，x轴负方向为函数的下降方向。
三、单调递减函数图像如果n为负数，则幂函数可以表示为单调递减函数，也就是说曲线上的点是从右到左依次递减的。
四、交叉递增函数图像如果n为偶数，则幂函数可以表示为交叉递增函数，也就是说曲线上的点是从左到右依次递增的。
五、不规则曲线函数图像当n是奇数时，幂函数的图像就是一条不规则的曲线，曲线的形状随着n的增加而变化。
六、抛物线函数图像如果n为正奇数，则幂函数的图像表示为以x轴正半轴为焦点的抛物线，即x轴正方向为函数上升方向，x轴负方向为函数下降方向。
七、抛物线函数图像如果n为负奇数，幂函数的图像表示为以x轴负半轴为焦点的抛物线，即x轴正方向为函数下降方向，x轴负方向为函数上升方向。
八、椭圆函数图像如果n取任意实数值，幂函数的图像表示为一个椭圆，椭圆的长轴与x轴的负半轴平行，而短轴则与x轴的正半轴平行。
九、双曲线函数图像如果n为负偶数，则幂函数的图像表示为一条双曲线，双曲线一端接近x轴正半轴，另一端接近x轴负半轴。
以上就是幂函数的9种图像总结，它们分别可以用于不同环境中诸多数学问题的求解。
例如，如果要求某个函数图像的最高点，则可以使用抛物线函数图像来判断最高点的位置；如果要求某个函数的单调性，则可以使用单调递减函数图像来判断函数的单调性。
由此可见，幂函数的9种图像都具有其独特的特征，在不同的环境下都有不同的应用，其重要性不言而喻。
因此，对于学习数学知识的人来说，要掌握幂函数的9种图像是非常重要的。
只有彻底掌握这些图像，才能更好地理解数学知识，为解决数学问题提供有效的帮助。
4.1.1幂函数的的性质与图像(一)(2课时)
0.1
1
2
3
4
5
1
2
1
2
0.7 1.0
1.4
0.3 1.0
4.0
一、幂函数的概念
y xk,k 0
图像必过 (0,0), (1,1)
在 [0, ) 上为增函数
证：设 k n , n, m N *
m
6
7
0 x1 x2
0 x1n x2n 0 m x1n m x2n
x1k x2k
3
x
1
4
1
x2
0.5
x2
0.1
x3
0.0
1
2
1
0.7 1.0
0.3 1.0
0.1 1.0
2
3
1.4 1.7
4.0 9.0
8.0 27.0
二、幂函数4.54 的图像研究
3.5 3
2.5 2
1.5 1
0.5
-4
-3
-2
-1
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
x
1 -3.5
4 -4
1
-4.5
x2
0.5
x2
k 1
k 1
2.2
2
0 k 1
1.8
1.6
1.4
1.2
1
k 0
0.8
0.6
0.4 7
k0
0.2
-1
-0.5
6
6
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
-0.2
7
5
5
四、幂函数的奇偶性 -0.4
沪教版高一数学 上册4.1幂函数的性质和图像(共25张PPT)
4.1幂函数的性质 和图像
（3）函数图像间的关系
1 ) y x 1 ,y x 1 ;2 ) y x 2 2 x ,y x 2 2 x
图像y=f(x)和y=f(|x|),y=|f(x)|的关系
y=f(|x|)的图像是在y轴右侧和y=f(x)右侧一样， 左侧由y=f(x)图像在y轴右侧的翻折对称形成 的图像
，其图像在第一、二象限，且不过原点，则（
）
(A )p ,m 为 奇 数 ,n 为 偶 数 ; (B )p ,n 为 奇 数 ,m 为 偶 数 ; (C )p ,n 为 偶 数 ,m 为 奇 数 ； (D )p ,m 为 偶 数 ,n 为 奇 数
例 2 、 y x n (n Z )图 像 不 过 原 点 且 关 于 原 点 对 称 ， 则 n 为 _ _ _ _
(1)yx2 3;(2)yx1 2;(3)yx2 3;(4)yx;(5)yx3;
1
5
1
4
(6)yx3;(7)yx3;(8)yx2;(9)yx3;(10)yx2
小结
幂函数图像特点：
函数性质
定点：都经过点（1，1）
第一象限：
ｋ＞１， 图像为举手型 ———增函数 ０＜ｋ＜１，图像为眉毛型 ———增函数 ｋ＜０， 图像为双曲线型———减函数
研究函数的一般方法：定义域、奇偶性、单调性、图像 （特殊点，特殊的性质）
一、幂函数的概念
函数 yxkkQ 叫做幂函数
k为常数
例1、下面函数中，为幂函数的有____________
( 1 ) y 2 x ; ( 2 ) y x 1 ; ( 3 ) y x 0 . 3 ; ( 4 ) y x 2 ; ( 5 ) y ( x 2 ) 2
指数函数、对数函数、幂函数地图像与性质
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念（2）．两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ；②a a nn =)(（注意a 必须使n a 有意义）。
2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)mnaa m n N n *=>∈>、且;②正数的负分数指数幂: 10,,1)m nm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（2）有理数指数幂的性质n 为奇数n 为偶数①a r a s=a r+s(a>0,r、s∈Q);②(a r)s=a rs(a>0,r、s∈Q);③(ab)r=a r b s(a>0,b>0,r∈Q);.3．指数函数的图象与性质y=a x a>1 0<a<1 图象定义域R值域（0，+∞）性质（1）过定点（0，1）（2）当x>0时，y>1; x<0时,0<y<1 (2) 当x>0时，0<y<1; x<0时, y>1(3)在（-∞，+∞）上是增函数（3）在（-∞，+∞）上是减函数注：如图所示，是指数函数（1）y=a x,（2）y=b x,（3）,y=c x（4）,y=d x的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。
即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。
（二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义如果(01)xa N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log Na x =，其中a叫做对数的底数，N 叫做真数。
5、幂函数图像与性质
函数 y x 的图像
2
定义域：
R
值 域：[0,) 奇偶性： 在R上是偶函数 单调性： 在[0,)上是增函数
在(,0]上是减函数
函数 y x
1
的图像
定义域：{x x 0} 值 域：{ y
y 0}
奇偶性：在{x x 0}上是奇函数
单调性： 在(0,)上是减函数
问题引入
我们先看几个具体问题:
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需
要支付p= w 元 (2) 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积
S
yx
2
a
2
yx
y x
1 2
(3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积
V
a
3
3
(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的 边长 a 度
幂函数的图象及性质
1 -1, 2 , 时的情形。
对于幂函数，我们只讨论 =1，2，3,
五个常用幂函数的图像和性质
3 2 y x y x (1) (2) y x (3)
(4) y x
1 2
(5) y x
1
函数 y x 的图像
定义域： 值 域：
R R
奇偶性：在R上是奇函数
单调性：在R上是增函数
函数 y x 的图像
1 2性：在[0,)上是增函数
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常 数α取值的不同而不同.
y=x
定义域 值域 R R
y = x2
R [0，+∞） 偶函数
y=
x3
y x
[0，+∞） [0，+∞） 非奇非偶 函数
幂函数图像
幂函数的性质与图象(2) 如y = x 我们先看几个具体问题 :(1) 如果回收旧报纸每公斤１元，某班每年卖旧报纸ｘ公斤，所得价钱ｙ是关于ｘ的函数 果正方形的边长为ｘ，面积ｙ , 这里ｙ是关于ｘ的函数 ;(3) 如果正方体的边长为ｘ , 正方体的体积为ｙ , 这里ｙ是关于ｘ函数 ; y = x2(4) 如果一个正方形场地的面积为ｘ , 这个正方形的边长为ｙ，这 里ｙ是关于ｘ的函数 ;(5) 如果某人ｘ秒内骑车行驶了１ｋｍ , 他骑车的平均里ｙ是关于ｘ的函数 .１：以上各题目的函数关系分别是什么？以上问题中的函数具有什么共同特征？问题引入y =x3，这y =x-1一、幂函数的定义一般地，函数 y = x Ｋ叫做幂函数，其中x 是自变量， k 是常数。
(k ∈Q)1 、幂函数的解析式必须是 y = ｘＫ 的形式， 其特征可归纳为“两个系数为１，只有１项．2 、定义域与 k 的值有关系 .注意例1 、下列函数中，哪几个函数是幂函数？1答案 : ( 1) ( 4)（1 ）y =x （2 ）y=2x2（3 ）y=2x （4 ）y=12(5) y=x2 +2 (6) y=-x3作出下列函数的图象:1y=x y =x2y =x32y =x-1y=x0 x…-3-2-10123…y =x…-3-2-10123…y =x2…9410149…y =x3…-27-8-101827…1y =x 2…\\\01 2 3…y =x-1…-1/3-1/2-1\11/21/3…4321(1,1)-6-4-2 2 4 6-1(-1,-1)-2-3-443y=x2(1,1)-6-4-2246-1(-1,-1)-2-3-41x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=x 29 4 1 0 1 4 9(-2,4) 4(2,4)3y=x21(-1,1) (1,1)-6-4-2 2 4 6-1(-1,-1)-2 -3 -4x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=x29 4 1 0 1 4 9- (-2,4)4(2,4) y=x 23y=x21(-1,1)(1,1)-6-4-2246-1(-1,-1)-22-2-1--3-448 9271 01 10 - 81 - 74 9-2 y y = x 2322 33 1 01 10 -3 x(-2,4)4y=x 3(2,4) y=x 23y=x21(-1,1)(1,1)-6-4-2246-1(-1,-1)-2-3y=x 3-127-8 -10 1 8-43 42 1 20 -1 -21 -3 2 2 1 0 y x 2270 x(-2,4)4y=x 3(2,4) y=x 2321(-1,1)(1,1)y=x1y=x 2 (4,2)-6-4-224 6-1(-1,-1)-2-1/31 -3-1/2 -1 1 1/2 1-42 2 1 0 y = x 2/3x -1 y = 3 4 2 12 1-1 -20 -x 3 x(-2,4) 4 y=x3(2,4)y=x23y=x 21y=x 2 (4,2)1(-1,1) (1,1)y=x-1-6-4-2 2 4 6-1(-1,-1)-2-3-4(-2,4) 4 y=x3(2,4)y=x23y=x 21y=x 2 (4,2)1(-1,1) (1,1)y=x-1y=x0 -6-4-2 2 4 6-1(-1,-1)-2-3-4在第一象限内(-,2,4) 函数图象的变化趋势与指数有什么关系?4 y=x332(2,4)y=x2y=x 1y=x 2(4,2)1(-1,1) (1,1)y=x-1y=x0-6-4-2 2 4 6-1 (-1,-1)-2在第一象限内，当k>0 时，图象随x 增大而上升。
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幂函数的图像与性质表格幂函数的图像：
幂函数的性质：
一、正值性质
当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：
a、图像都经过点（1,1）（0,0）。
b、函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数。
c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0。
二、负值性质
当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：
a、图像都通过点（1,1）。
b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。
利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。
其余偶函数亦是如此）。
c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。
三、零值性质
当α=0时，幂函数y=xa有下列性质：
a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。
它的图像不是直线。
幂函数的单调区间
当α为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）。
当α为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。
当α为分数时（且分子为1），α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性：
①当α>0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递增。
②当α>0，分母为奇数时，函数在第一三象限各象限内单调递增。
③当α<0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递减。
④当α<0，分母为奇数时，函数在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）。