组合数学习题解答

★★★第一章：★★★

1、用六种方法求839647521之后的第999个排列。提示：先把999换算成递增或递减进位制数，加到中介数上，就不用计算序号了。

解：

字典序法递增进位

制法递减进位

制法

邻位对换法

839647521的中介数72642321

↑

67342221

↑

12224376

↓

10121372↓

999的中介

数

121211↑121211↑1670↓1670↓

839647521后999的中介数73104210

↑

67504110

↑

12230366

↓

10123362↓

839647521后999个的排列842196537 859713426 389547216 →

3

←

8

→

4

→

5

→

7

→

6

←

9

←

21

★★★第二章★★★

例5：10个数字（0到9）和4个四则运算符(+,-,×,÷) 组成的14个元素。求由其中的n个元素的排列构成一算术表达式的个数。

因所求的n个元素的排列是算术表达式，故从左向右的最后一个符号必然是数字。而第n-1位有两种可能，一是数字，一是运算符。如若第n-1位是十个数字之一，则前n-1位必然构成一算术表达式。 10a n-1

如若不然，即第n-1位是4个运算符之一，则前n-2位必然是算术表达式。40a n-2,根据以上分析，令a n表示n个元素排列成算术表达式的个数。则

a2=120指的是从0到99的100个数，以及±0,±1,...,±9,

利用递推关系(2-8-1)，得a0=1/2

特征多项式x2-10x-40 。它的根是

解方程

得

例7：平面上有一点P，它是n个域D1,D2,...,D n的共同交界点，见图2-8-4现取k种颜色对这n个域进行着色，要求相邻两个域着的颜色不同。试求着色的方案数。

令a n表示这n个域的着色方案数。无非有两种情况

（1）D1和D n-1有相同的颜色；

（2）D1和D n-1所着颜色不同。

第一种情形，域有k-1种颜色可用，即D1D n-1域所用颜色除外；而且从D1到D n-2的着色方案，和n-2个域的着色方案一一对应。后一种D n域有k-2种颜色可供使用；而且从D1到D n-1的每一个着色方案和n-1个域的着色方案一一对应。

利用(2-8-3)得a1=0,a0=k ，(2-8-3)的特征方程为

习题：

4.求由A,B,C,D组成的允许重复的排列中AB至少出现一次的排列数目。

解设a n为所求个数，b n为不出现AB的串的个数

a n+

b n=4n,

b n=4b n-1-b n-2, // b n-2：前n-2个组成的串中不出现AB的串的个数，最后两位是AB.

a n =4a n-1+

b n-2, // b n-2：前n-2个组成的串中不出现AB 的串的个数，最后两位是AB. b 1=4,b 2=15,b 0=1,b 3=56. x 2-4x+1=0 解得 x=32±。

b n =S(2+3)n +t(2-3)n

()()

⎩

⎨

⎧

=-++=+432321t S t S S=3

23

2+,t=3

232--

(

)

()

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-++-=++1

1

3213

23

2n n n b

()

()

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡-++-=++1

1

32

1

3

23

24n n n

n a

6.试求由a,b,c 三个文字组成的n 位符号串 中不出现aa 图像的符号串的数目。 解 设不出现aa 的字符串的排列数为a n

在所有符合要求的n 位串中，最后一位是a,则n-1位是b 或c ，有2a n-2;最后一位不是a ，则是b 或c, 有2a n-1.故有

a n =2a n-1+2a n-2，a 1=3，a 2=8，a 0=1.

x 2-2x-2=0,解得 x=31±。 a n =A(1+3)n +B(1-3)n

()()

⎩

⎨

⎧

=-++=+331311B A B A A=()34312+,B=()34312--

(

)

()

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡-++-=++2

2

3413

13

1n n n a

13. 相邻位不同为0的n 位2进制数中一共出现了多少个0？

解 设相邻位不同为0的n 位2进制数的个数为h n 个，这些数中一共有a n 个0， 当n 位二进制数最高位为1时,符合条件的n 位二进制数的个数为h n-1 最高位为0时，次高位必为1符合条件的n 位二进制数的个数为h n-2 21--+=n n n h h h ，h 1=2,h 2=3,h 0=1. 即h n 是F 数列

特征方程为：

解得a 、b 为2重根。 设

分析上式结构可得：

把n=2代入可解得：

代入a n

可得方程组

解得

19. 求n 位二进制数相邻两位不出现11的数的个数。

解 设所求个数为a n ,第n 位为0或1，是0，有a n-1；是1，则n-1位为0,有a n-2. 5,3,2,1 ,321021====+=--a a a a a a a n n n