2020-2021学年江苏省扬州大学附属中学(东部分校)高一上学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年江苏省扬州市某校高一(上)9月期初考试数学试卷(有答案)
2020-2021学年江苏省扬州市某校高一（上）9月期初考试数学试卷一、选择题1. 若α，β是方程x2−2x−3=0的两个实数根，则α2+β2+αβ的值为( )A.10B.9C.7D.52. 已知集合A={1,3,5,7}，B={y|y=2x+1,x∈A}，则A∩B=( )A.{1,3,5,7,9,11,15}B.{1,3,5,7}C.{3,5,9}D.{3,7}3. 已知全集U={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}，集合A={2, 7, 11}，集合B={5, 11, 13}，则(∁U A)∩B=( )A.{5}B.{13}C.{5, 13}D.{11, 13}4. 已知集合A={x|−2<x<1}，B={x|x>0}，则集合A∪B=( )A.(−2, 1)B.(0, 1)C.(0, +∞)D.(−2, +∞)5. 已知集合A={x|x−a≤0}，若2∈A，则a的取值范围为( )A.(−∞,4]B.(−∞,2]C.[2,+∞)D.[4,+∞)6. 若集合A={y|y=x2+1,x∈R}，集合B={x∈R|x+5>0}，则集合A与B的关系是( )A.A∈BB.A⊆BC.B⊆AD.A=B7. 某校运动会上，高一(1)班共有28名同学参加比赛，其中有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有2人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加田径比赛和球类比赛的人数为( )A.1B.2C.3D.48. 定义集合运算：A⊗B={z|z=(x+y)(x−y)，x∈A，y∈B}，设A={√2，√3}，B={1，√2}，则集合A⊗B的真子集个数为( )A.8B.7C.16D.15二、多选题设全集U={0, 1, 2, 3, 4}，集合A={0, 1, 4}，B={0, 1, 3}，则( )A.A∩B={0, 1}B.∁U B={4}C.A∪B={0, 1, 3, 4}D.集合A的真子集个数为8已知全集U=R，集合A，B满足A⫋B，则下列选项正确的有( )A.A∩B=BB.A∪B=BC.(∁U A)∩B=⌀D.A∩(∁U B)=⌀已知集合A={x|x2−2x−3=0}，B={x|ax−1=0}．若A∩B=B，则实数a的值可能是( )A.−1B.0C.1D.13已知全集U=R，集合A={x|x<−1}，B={x|2a<x<a+3}，且B⊆∁R A，则在下列所给数值中，a的可能取值是( )A.−2B.−1C.0D.1三、填空题已知集合A={x|−2≤x≤5}，B={x|m+1<x<2m−1}．若B⊆A，则实数m的取值范围是________.四、解答题解不等式.(1)|x+1|>2−x；(2)|x+3|+|x−2|<7.已知集合A={x|3≤x<7}，B={x|2<x<10}，求∁R(A∪B)，∁R(A∩B)，(∁R A)∩B，A∪(∁R B)．已知集合A={x|a−1<x<2a+1}，B={x|0<x≤3}，U=R.(1)若a=1，求A∪B；A∩(∁U B)；2(2)若A∩B=⌀，求实数a的取值范围．已知集合A={x|2a−3<x<3a+1}，集合B={x|−5<x<4}．(1)若A⊆B，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使得A=B？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省扬州市某校高一（上）9月期初考试数学试卷一、选择题1.【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】根据根与系数的关系，α+β=2，αβ=−3，α2+β2+αβ=(α+β)2−αβ=22−(−3)=7【解答】解：根据根与系数的关系，可得α+β=2，αβ=−3，∴α2+β2+αβ=(α+β)2−αβ=22−(−3)=7.故选C.2.【答案】D【考点】函数的值域及其求法交集及其运算【解析】根据题意，先得到B={3，7，11，15}，再求交集，即可得到答案。
2020-2021学年江苏省扬州市某校高一(上)期中考试数学试卷
2020-2021学年江苏省扬州市某校高一（上）期中考试数学试卷一、选择题)1. 设集合A={0,1,3}，集合B={2,3,4}，则A∪B( )A.{3}B.{0,1,3,3,4}C.{0,1,2,4}D.{0,1,2,3,4}2. 设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 函数f(x)=0的定义域为()√|x|−xA.(−∞, 0)B.(−∞, −1)C.(−∞, −1)∪(−1, 0)D.(−∞, 0)∪(0, +∞)4. 函数y=4x的图象大致为( )x2+1A. B.C. D.5. 已知命题p：“∃x0>0，x0+t−1=0”，若p为真命题，则实数t的取值范围是( )A.(1,+∞)B.(−∞,1)C.[1,+∞)D.(−∞,1]<0和不等式ax2+bx−2>0的解集相同，则a，b的值为( )6. 若不等式4x+1x+2A.a=−8，b=−10B.a=−4，b=−9C.a=−1，b=9D.a=−1，b=27. 下列命题中，正确的是( ) A.若a >b ，c >d ，则ac >bd B.若ac >bc ，则a >bC.若ac2<b c 2，则a <bD.若a >b ，c >d ，则a −c >b −d8. 已知函数f (x )的定义域为R ，f (x )是偶函数，f (4)=2，f (x )在(−∞,0)上是增函数，则不等式f (4x −1)>2的解集为( ) A.(−34,54) B.(−∞,−34)∪(54,+∞) C.(−∞,54) D.(−34,+∞)二、多选题)9. 已知函数f (x )是一次函数，满足f(f (x ))=9x +8，则f (x )的解析式可能为( ) A.f (x )=3x +2 B.f (x )=3x −2 C.f (x )=−3x +4 D.f (x )=−3x −410. 下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A.−√x =(−x )12B.√y 26=y 12(y <0)C.x −13=√x3x ≠0) D.[√(−x )23]34=x 12(x >0)11. 若函数f(x)同时满足：(1)对于定义域内的任意x ，有f(x)+f(−x)=0；(2)对于定义域内的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0，则称函数f(x)为“理想函数”．给出下列四个函数是“理想函数”的是( ) A.f(x)=x 2 B.f(x)=−x 3C.f(x)=x −1x D.f(x)={−x 2，x ≥0，x 2，x <012. 若a >0，b >0，则下列结论正确的有( ) A.√a 2+b 2a+b≤√22B.若1a +4b =2，则a +b ≥92 C.若ab +b 2=2，则a +3b ≥4 D.若a >b >0，则a +1b >b +1a三、填空题)13. 集合A ={a −2,2a 2+5a,12}，且−3∈A ，则a =________．14. 已知9a =3，ln x =a ，则x =________．15. 已知x 1，x 2是函数f (x )=x 2−(2k +1)x +k 2的两个零点且一个大于1，一个小于1，则实数k 的取值范围是________.16. 已知正实数a ，b 满足a +b =1，则(1)ab 的最大值是________；(2)1a+2+1b+2的最小值是________． 四、解答题)17. 已知A ={x|2≤x ≤4}，B ={x|−m +1≤x ≤2m −1}. (1)若m =2，求A ∩(∁R B)；(2)若A ∩B =⌀，求m 的取值范围.18. 计算： (1)1.5−13+80.25×√24+(√23×√3)6−√(−23)23；(2)lg 12−lg 58+lg 12.5−log 89⋅log 278．19. 已知p ：A ={x|x 2−5x +6≤0}，q ：B ={x|x 2−(a +a 2)x +a 3≤0,a >1}. (1)若a =2，求集合B ；(2)如果q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．20. 已知函数f(x)=xx 2+1． (1)判断并证明函数f(x)的奇偶性；(2)判断当x ∈(−1,1)时函数f(x)的单调性，并用定义证明；(3)若f(x)定义域为(−1,1)，解不等式f(2x−1)+f(x)<0．21. 北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品(x2−600)万作进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入16万元作为浮动宣传费用．试问：当为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x5该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．22. 已知二次函数f(x)满足f(x+1)−f(x)=−2x+1且f(2)=15.(1)求函数f(x)的解析式；(2)令g(x)=(1−2m)x−f(x).①若函数g(x)在区间[0,2]上不是单调函数，求实数m的取值范围；②求函数g(x)在区间[0,2]上的最小值．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省扬州市某校高一（上）期中考试数学试卷一、选择题1.【答案】D【考点】并集及其运算【解析】根据并集的定义即可求解.【解答】解：由题意可知，集合A={0,1,3}，集合B={2,3,4}，则A∪B={0,1,2,3,4}.故选D.2.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】由不等式解得a的范围，根据充分条件和必要条件的定义，即可判断得出结论.【解答】解：由题意可知，不等式a2>a，解得a>1或a<0，则a>1是a2>a的充分不必要条件.故选A.3.【答案】C【考点】函数的定义域及其求法【解析】由0指数幂的底数不等于0，分母中根式内部的代数式大于0，联立不等式组求得x的取值集合得答案．【解答】解：要使原函数有意义，则{x+1≠0，|x|−x>0，解得x<0且x≠−1，∴函数f(x)=0√|x|−x的定义域是(−∞, −1)∪(−1, 0)．故选C.4.【答案】A【考点】函数奇偶性的判断函数的图象【解析】根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．【解答】解：设f(x)=y=4xx2+1，由题知定义域为实数集R，∵f(−x)=4(−x)(−x)2+1=−4xx2+1=−f(x)，∴函数f(x)为奇函数，故排除CD；当x>0时，f(x)>0，故排除B.故选A.5.【答案】B【考点】全称命题与特称命题【解析】根据题目所给信息可得命题p为真命题，进而即可得到t的取值范围.【解答】解：由x0+t−1=0，得x0=1−t.已知命题p:“∃x0>0，x0+t−1=0”为真命题，即1−t>0，解得t<1，则实数t的取值范围为(−∞,1).故选B.6.【答案】B【考点】一元二次不等式的解法根与系数的关系【解析】先求出分式不等式的解集，进而即可得到另一个不等式的根的情况，利用韦达定理进行求解即可.【解答】解：已知不等式4x+1x+2<0，即(4x+1)(x+2)<0，解得−2<x<−14.又不等式4x+1x+2<0与不等式ax2+bx−2>0的解集相等，则不等式ax2+bx−2>0的解集为−2<x<−14，则方程ax2+bx−2=0的两根分别为x1=−2，x2=−14.由根与系数的关系，得x1x2=−2a =12，x1+x2=−ba=−94，解得a=−4，b=−9.故选B.7.【答案】C【考点】不等式的基本性质【解析】根据特殊值法判断A，D，根据不等式的性质判断B，C即可．【解答】解：令a=1，b=−1，c=−1，d=−5，显然A，D不成立，对于B：若c<0，显然不成立，对于C：由c2>0，得：a<b，故C正确，故选C．8.【答案】A【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】根据函数的单调性和奇偶性以及不等式进行求解即可.【解答】解：已知函数f(x)是偶函数，即该函数图象关于y轴对称.又f(x)在(−∞,0)上是增函数，则f(x)在(0,+∞)是减函数.因为f(4)=2，所以f(4x−1)>2，即f(4x−1)>f(4)，且x∈R，则|4x−1|<4，解得−34<x<54.故选A.二、多选题9.【答案】A,D【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】利用待定系数法求解，设f(x)=kx+b，由题意可知f(f(x))=k(kx+b)+b= k2x+kb+b=9x+8，从而得{k2=9kb+b=8，进而求出k和b的值【解答】解：由题意，设f (x )=kx +b ，则f(f (x ))=k (kx +b )+b =k 2x +kb +b =9x +8， 即{k 2=9，kb +b =8， 解得{k =3,b =2 或{k =−3，b =−4,所以f (x )=3x +2或f (x )=−3x −4. 故选AD ． 10.【答案】 C,D【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】根据题目所给信息利用根式与分式指数幂互化的法则，逐一进行筛选即可. 【解答】解：对于选项A ，−√x =−x 12≠(−x )12，故选项A 错误； 对于选项B ，√y 26=−y 13(y <0)，故选项B 错误；对于选项C ，x−13=√x3≠0)成立，故选项C 正确；对于选项D ，当x >0时，[√(−x)23]34=[|−x|23]34=x 12，故选项D 正确. 故选CD . 11.【答案】 B,D【考点】函数单调性的判断与证明 函数奇偶性的判断 函数新定义问题【解析】由“理想函数”的定义可知：若f(x)是“理想函数”，则f(x)为定义域上的单调递减的奇函数，将四个函数一一判断即可． 【解答】解：对于定义域上的任意x ，恒有f(x)+f(−x)=0，即f(−x)=−f(x)， 故函数f(x)是奇函数.对于定义域上的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0，即(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]<0，∴ 当x 1<x 2时，f(x 1)>f(x 2)，即函数f(x)是单调递减函数，故f(x)为定义域上单调递减的奇函数．A，f(x)=x2在定义域R上是偶函数，所以不是“理想函数”，故选项A不符合题意；B，f(x)=−x3在定义域R上是奇函数，且在R上单调递减，所以是“理想函数”，故选项B符合题意；C，f(x)=x−1x在定义域(−∞, 0)，(0, +∞)上分别单调递增，所以不是“理想函数”，故选项C不符合题意；D，f(x)={−x2，x≥0，x2，x<0在定义域R上既是奇函数，又是减函数，所以是“理想函数”，故选项D符合题意．故选BD.12.【答案】B,C,D【考点】基本不等式在最值问题中的应用不等式性质的应用【解析】根据基本不等式，对选项逐一分析即可．【解答】解：A，若a>0，b>0，由基本不等式，得a2+b2≥2ab，即2(a2+b2)≥(a+b)2，即√2(a2+b2)≥√(a+b)2=a+b，故√a2+b2a+b ≥√22，当且仅当a=b时取等号，故A选项错误；B，因为a>0，b>0，12(1a+4b)=1，所以a+b=12(a+b)(1a+4b)=12(5+ba+4ab)≥12(5+2√ba⋅4ab)=92，当且仅当1a +4b=2，ba=4ab，即a=32，b=3时取等号，故B选项正确；C，由a>0，b>0，ab+b2=(a+b)b=2，由基本不等式，得a+3b=(a+b)+2b≥2√2b(a+b)=4，当且仅当ab+b2=2，a+b=2b，即a=b=1时取等号，故C选项正确；D，若a>b>0，则1b >1a>0，此时a+1b >b+1a成立，故D选项正确.故选BCD．三、填空题13.【答案】−3 2【考点】元素与集合关系的判断【解析】利用−3∈A，求出a的值，推出结果即可．【解答】解：集合A={a−2,2a2+5a,12}，且−3∈A，所以a−2=−3或2a2+5a=−3，解得a=−1或a=−32.当a=−1时，a−2=2a2+5a=−3，不符合题意，舍去.所以a=−32．故答案为：−32．14.【答案】√e【考点】对数的运算性质【解析】由指数的运算性质化简等式右边，等式两边化为同底数的对数后可得x的值．【解答】解：由9a=3，得a=12，∴ln x=12=ln√e，解得x=√e.故答案为：√e.15.【答案】{k|0<k<2}【考点】函数的零点【解析】（1）由已知,关于x的方程的两个根一个大于1，一个小于1，可得f(1)<0，由此构造关于k的不等式，解不等式，即可得到k的取值范围．【解答】解：∵ x1，x2是函数f(x)=x2−(2k+1)x+k2的两个零点且一个大于1，一个小于1，∴ f(1)<0，即1−(2k+1)+k2<0，解得0<k<2.故答案为：{k|0<k<2}.16.【答案】14,45【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】（1）由基本不等式可求解本题;【解答】解：(1)因为a +b =1，所以由基本不等式，ab ≤(a+b 2)2=14， 当且仅当a =b 时等号成立，所以ab 的最大值是14；(2)因为a +b =1，所以a +2+b +2=5，所以1a+2+1b+2=15(a +2+b +2)(1a +2+1b +2) =15(2+b +2a +2+a +2b +2) ≥15(2+2√b+2a+2⋅a+2b+2)=45, 当且仅当b+2a+2=a+2b+2，即a =b =12时等号成立,所以1a+2+1b+2的最小值为45.故答案为：14；45.四、解答题17.【答案】解：(1)当m =2时，B ={x|−1≤x ≤3}，所以∁R B ={x|x <−1或x >3}.又A ={x|2≤x ≤4}，所以A ∩(∁R B)={x|3<x ≤4}.(2)当B =⌀时，2m −1<−m +1，解得m <23；当B ≠⌀时，则{2m −1≥−m +1,−m +1>4或 {2m −1≥−m +1,2m −1<2, 解得23≤m <32.综上所述，m 的取值范围是(−∞,32).【考点】交、并、补集的混合运算集合关系中的参数取值问题【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当m =2时，B ={x|−1≤x ≤3}，所以∁R B ={x|x <−1或x >3}.又A ={x|2≤x ≤4}，所以A ∩(∁R B)={x|3<x ≤4}.(2)当B =⌀时，2m −1<−m +1，解得m <23；当B ≠⌀时，则{2m −1≥−m +1,−m +1>4或 {2m −1≥−m +1,2m −1<2, 解得23≤m <32.综上所述，m 的取值范围是(−∞,32).18.【答案】解：(1)原式=(23)13+234×214+22×33−(23)13=2+4×27=2+108=110.(2)原式=−lg 2−lg 5+lg 8+lg 12.5−23log 23⋅log 32 =−(lg 2+lg 5)+(lg 8+lg 12.5)−23=−1+lg (8×12.5)−23=−1+lg 100−23=−1+2−23=13.【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算对数的运算性质换底公式的应用【解析】(1)通过根式与分数指数幂的互化及其化简运算求解即可．(2)利用导数的运算法则直接求解即可．【解答】解：(1)原式=(23)13+234×214+22×33−(23)13 =2+4×27=2+108=110.(2)原式=−lg 2−lg 5+lg 8+lg 12.5−23log 23⋅log 32 =−(lg 2+lg 5)+(lg 8+lg 12.5)−23=−1+lg (8×12.5)−23=−1+lg 100−23=−1+2−23=13.19.【答案】解：(1)当a =2时，x 2−(a +a 2)x +a 3=x 2−6x +8.由x 2−6x +8≤0，解得2≤x ≤4，即B ={x|2≤x ≤4}，故B =[2,4] .(2)由题意可知，A ={x|x 2−5x +6≤0}，∴ A =[2,3]．又B ={x|x 2−(a +a 2)x +a 3≤0,a >1}，∴ B =[a,a 2].∵ q 是p 的必要条件，可得 {a ≤2，a 2≥3，解得√3≤a ≤2.【考点】一元二次不等式的解法根据充分必要条件求参数取值问题【解析】【解答】解：(1)当a =2时，x 2−(a +a 2)x +a 3=x 2−6x +8.由x 2−6x +8≤0，解得2≤x ≤4，即B ={x|2≤x ≤4}，故B =[2,4] .(2)由题意可知，A ={x|x 2−5x +6≤0}，∴ A =[2,3]．又B ={x|x 2−(a +a 2)x +a 3≤0,a >1}，∴ B =[a,a 2].∵ q 是p 的必要条件，可得 {a ≤2，a 2≥3，解得√3≤a ≤2.20.【答案】解：(1)函数f(x)为奇函数. 证明如下：∵ 函数定义域为R ，又f(−x)=−x (−x)2+1=−x x 2+1=−f(x)，∴ f(x)=xx 2+1为奇函数.(2)函数f(x)在(−1, 1)上单调递增. 证明如下：任取x 1，x 2∈(−1, 1)，且x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12+1−x2x 22+1 =x 1(x 22+1)−x 2(x 12+1)(x 12+1)(x 22+1)=(x 2−x 1)(x 1x 2−1)(x 12+1)(x 22+1).∵ x 1，x 2∈(−1, 1)，且x 1<x 2，∴ x 2−x 1>0，x 1x 2−1<0，x 12+1>0，x 22+1>0，∴ f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，∴ f(x)在(−1, 1)上单调递增.(3)由(1)可知，f(x)为奇函数，∴ f(2x −1)+f(x)<0等价于f(2x −1)<−f(x)=f(−x)，由(2)可知，f(x)在(−1,1)上单调递增，∴ {2x −1<−x,−1<2x −1<1,−1<x <1,解得0<x <13，∴ 不等式的解集为{x|0<x <13}. 【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明不等式的基本性质函数奇偶性的性质【解析】（1）利用函数的奇偶性的定义即可判断；（2）任取x1，x2∈(−1, 1)，且x1<x2，通过作差可判断f(x1)与f(x2)的大小，根据单调性的定义即可作出判断；（3）利用函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”，从而转化为具体不等式，注意考虑函数的定义域；【解答】解：(1)函数f(x)为奇函数. 证明如下：∵函数定义域为R，又f(−x)=−x(−x)2+1=−xx2+1=−f(x)，∴f(x)=xx2+1为奇函数.(2)函数f(x)在(−1, 1)上单调递增. 证明如下：任取x1，x2∈(−1, 1)，且x1<x2，则f(x1)−f(x2)=x1x12+1−x2x22+1=x1(x22+1)−x2(x12+1) (x12+1)(x22+1)=(x2−x1)(x1x2−1)(x12+1)(x22+1).∵x1，x2∈(−1, 1)，且x1<x2，∴x2−x1>0，x1x2−1<0，x12+1>0，x22+1>0，∴f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(−1, 1)上单调递增.(3)由(1)可知，f(x)为奇函数，∴f(2x−1)+f(x)<0等价于f(2x−1)<−f(x)=f(−x)，由(2)可知，f(x)在(−1,1)上单调递增，∴{2x−1<−x,−1<2x−1<1,−1<x<1,解得0<x<13，∴不等式的解集为{x|0<x<13}.21.【答案】解：(1)设每件定价最多为t元.由题意，得(8−t−251×0.2)t≥25×8，整理，得t2−65t+1 000≤0，解得25≤t≤40，所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)由题意可知，当x>25时，不等式ax≥25×8+50+16(x2−600)+15x有解，即当x >25时，a ≥150x +16x +15有解． 由于150x +16x ≥2 √150x ⋅x 6=10， 当且仅当150x =x 6，即x =30时等号成立，所以a ≥10.2，所以，当该商品改革后的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时商品的每件定价为30元．【考点】一元二次不等式的应用基本不等式在最值问题中的应用【解析】(1)设每件定价为x 元，可得提高价格后的销售量，根据销售的总收人不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；(2)由题意，x >25时，不等式ax ≥25×8+50+16(x 2−600)+15x 有解，等价于x >25时，a ≥150x +16x +15有解，利用基本不等式，我们可以求得结论． 【解答】解：(1)设每件定价最多为t 元.由题意，得(8−t−251×0.2)t ≥25×8，整理，得t 2−65t +1 000≤0，解得25≤t ≤40，所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)由题意可知，当x >25时，不等式ax ≥25×8+50+16(x 2−600)+15x 有解， 即当x >25时，a ≥150x +16x +15有解． 由于150x +16x ≥2 √150x ⋅x 6=10， 当且仅当150x =x 6，即x =30时等号成立，所以a ≥10.2，所以，当该商品改革后的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时商品的每件定价为30元．22.【答案】解：(1)由题意，设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0).∵ f (x +1)−f (x )=−2x +1 ，即a(x +1)2+b(x +1)+c −ax 2−bx −c=2ax +a +b =−2x +1，∴ {2a =−2，a +b =1，解得a =−1，b =2.又f (2)=15，即4a +2b +c =15， 解得c =15，∴ f (x )=−x 2+2x +15.(2)①由(1)可知，f (x )=−x 2+2x +15， 则g(x)=(1−2m)x −f(x)=x 2−(2m +1)x −15， 故对称轴为x =m +12.∵ 函数g (x )在区间[0,2]上不是单调函数， ∴ 0<m +12<2， ∴ m ∈(−12,32).②由①可知，函数g (x )的对称轴为x =m +12. 当m +12≤0时，即m ≤−12时，g (x )min =g (0)=−15；当0<m +12<2，即−12<m <32时， g (x )min =g (m +12)=−m 2−m −614；当m +12≥2，即m ≥32时，g (x )min =g (2)=−4m −13.综上所述， g(x)min ={ −15，m ≤−12，−m 2−m −614，−12<m <32，−4m −13，m ≥32. 【考点】函数解析式的求解及常用方法二次函数的性质二次函数在闭区间上的最值【解析】【解答】解：(1)由题意，设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0). ∵ f (x +1)−f (x )=−2x +1 ，即a(x +1)2+b(x +1)+c −ax 2−bx −c =2ax +a +b =−2x +1，∴ {2a =−2，a +b =1，解得a =−1，b =2.又f (2)=15，即4a +2b +c =15，解得c =15，∴ f (x )=−x 2+2x +15.(2)①由(1)可知，f (x )=−x 2+2x +15， 则g(x)=(1−2m)x −f(x)=x 2−(2m +1)x −15， 故对称轴为x =m +12. ∵ 函数g (x )在区间[0,2]上不是单调函数， ∴ 0<m +12<2，∴ m ∈(−12,32). ②由①可知，函数g (x )的对称轴为x =m +12. 当m +12≤0时，即m ≤−12时， g (x )min =g (0)=−15；当0<m +12<2，即−12<m <32时， g (x )min =g (m +12)=−m 2−m −614； 当m +12≥2，即m ≥32时，g (x )min =g (2)=−4m −13.综上所述， g(x)min ={ −15，m ≤−12，−m 2−m −614，−12<m <32，−4m −13，m ≥32.。
江苏省扬州中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题(PDF版含答案)
二、多选题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对得 3 分．)
BD AD CD BCD
三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，多空题，第一空 2 分，第二空 3 分，共 20 分．)
13、 x R,3x2 2x 1 0
（2）函数 f x =0 在0, 2上有解，即方程 x a x 2b 在0, 2上有解；
设
h
x
{
x
2
x
ax 2 ax
x
(x
a
a)
，
当a
0 时，则 h x
x2
ax,
x
0,
2
，且
h
x
在
0,
2
上单调增，∴
h
x
min
h0
0，
h
x
max
h2
4 2a ，则当 0
2b
4
2a
时，原方程有解，则
a
A．
x
1
y
1 4
B．
1 x
1 y
1
C． xy 2
D．
1 xy
1
7．已知函数
f
(x)
x2 ax 5，(x1)
a x
，( x
1)
是
R
上的增函数，则 a
的取值范围是（
）
A． 3a 0
B． 3a 2
C． a 2
D． a 0
8．设平行于 x 轴的直线 l 分别与函数 y 2x 和 y 2x1 的图象相交于点 A，B，若在函数
2
由(1)知集合 A
江苏省扬州中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题 答案和解析
江苏省扬州中学【最新】高一上学期期中考试数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{}{}0,1,2,3,2,3,4,5A B ==，全集{0,1,2,3,4,5}U =,则()U C A B =_______．2．函数()f x =的定义域是__________． 3．已知幂函数()f x x α=的图像经过点2)，则(2)f =_________．4．已知 3.5 2.5 3.52,2,3a b c ===，请将,,a b c 按从小到大的顺序排列________． 5．已知(1)x f x e -=，则(1)f -=_______．6．已知扇形的中心角为3π，所在圆的半径为10cm ，则扇形的弧长等于__________cm . 7．函数()log 12(01)a y x a a =++>≠且恒过定点A ，则A 的坐标为_____．8．已知函数22,2()21,2x ax x f x x x ⎧+≥=⎨+<⎩，若((1))0f f >，则实数a 的取值范围是______.9．设函数()24x f x x =+-的零点为0x ，若()0,1x k k ∈+则整数k = ___________. 10．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x >时，()2x f x x =+，则当0x <时， ()f x =__________________.11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间[0,)+∞上单调递增，若实数a 满足212(log )(log )2(1),f a f a f -≤则实数a 的取值范围是____________.12．设函数22,2(),2x a x f x x a x ⎧+>=⎨+≤⎩，若()f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围是_______． 13．已知函数f(x)=|x 2−4|+a|x −2|,x ∈[−3,3]，若f(x)的最大值是0，则实数a 的取值范围是___________.14．已知m R ∈,函数221,1()log (1),1x x f x x x ⎧+<=⎨->⎩，2()221g x x x m =-+-，若函数[()]y f g x m =-有6个零点，则实数m 的取值范围是__________.二、解答题15．求值：（Ⅰ） ()122301329.6348-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（Ⅱ）1lg25lg22+- 16．设集合{}221|24,|230(0)32x A x B x x mx m m -⎧⎫=≤≤=+-≤>⎨⎬⎩⎭ （1）若2m =，求A B ;(2)若A B ⊇,求实数m 的取值范围。
2020-2021学年江苏省扬州大学附中东部分校高一(下)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年江苏省扬州大学附中东部分校高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知直线l，m和平面θ，下列命题中正确的是()A. 若l//θ，m⊂θ，则l//mB. 若l//θ，m//θ，l//mC. 若l//m，m⊂θ，则l//θD. 若l//m，l//θ，则m//θ或m⊂θ2.下列命题中是假命题的是()A. 自然数集是非负整数集B. 复数集与实数集的交集是实数集C. 实数集与虚数集的交集{0}D. 纯虚数集与实数集的交集为空集3.若三条线段的长为5、6、7，则用这三条线段()A. 能组成直角三角形B. 能组成锐角三角形C. 能组成钝角三角形D. 不能组成三角形4.设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=3+4i，则z1z2=()A. 25B. −25C. 7−24iD. −7−24i5.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，O为上底面A1B1C1D1的中心，直线OC与平面ABCD所成角的正切值等于()A. 2B. √2C. √3D. 126.若θ∈[π4,π2]，sin2θ=3√78，则sinθ=()A. 35B. 45C. √74D. 347.已知向量a⃗与b⃗ 的夹角为θ，定义a⃗×b⃗ 为a⃗与b⃗ 的“向量积”，且a⃗×b⃗ 是一个向量，它的长度|a⃗×b⃗ |=|a⃗||b⃗ |sinθ，若u⃗=(2,0)，u⃗−v⃗=(1,−√3)，则|u⃗×(u⃗+v⃗ )|= ()8. 已知ΔABC 中，sinA +2sinBcosC =0，则tanA 的最大值是( )A. √33B. 2√33C. √3D. 4√33二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 利用斜二测画法得到的下列结论中正确的是( )A. 三角形的直观图是三角形B. 正方形的直观图是正方形C. 菱形的直观图是菱形D. 平行四边形的直观图是平行四边形10. 下列命题中，错误的是( )A. 若z 1，z 2∈C ，且z 1−z 2<0，则z 1<z 2B. 若x +yi =1+i(x,y ∈C)，则x =y =1C. 若z =a +bi(a,b ∈R)则当且仅当a =0且b =0时，z =0D. 若z 1，z 2∈C ，且z 12+z 22=0，则z 1=z 2=011. 关于平面向量a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ ，下列说法中不正确的是( )A. 若a ⃗ //b ⃗ 且b ⃗ //c ⃗ ，则a⃗ //c ⃗ B. (a ⃗ +b ⃗ )⋅c ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ +b ⃗ ⋅c ⃗C. 若a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ ，且a ⃗ ≠0⃗ ，则b ⃗ =c ⃗D. (a ⃗ ⋅b ⃗ )⋅c ⃗ =a ⃗ ⋅(b ⃗ ⋅c ⃗ )12. 如图，在四边形ABCD 中，AB//CD ，AB ⊥AD ，AB =2AD =2DC ，E 为BC 边上一点，且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，F 为AE 的中点，则( ) A. BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知cos(x +y)=513，cosy =45，x ，y 均为锐角，则sinx = ______ ．14. 已知正三角形ABC 的边长为3，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =______．15.如图，中国象棋的左半个棋盘上有一只“马”，开始下棋时，它位于点A，这只“马”第一步有______ 种可能的走法，______ (填“能”或“否”)从任一交叉点出发，走到棋盘上的其他任何一个交叉点．16.复数z=sin2θ+i(cos2θ−1)是纯虚数，则θ=______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在①cosA=35，cosC=2√55，②csinC=sinA+bsinB，B=60°，③c=2，cosA=18三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，_______，求△ABC的面积S．18.已知m∈R，复数z=2m2+m−3m+3+(m2−3m−18)i．(1)当m为何值时，复数z为实数？(2)当m为何值时，复数z为虚数？(3)当m为何值时，复数z为纯虚数？19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，AB//CD ，AB ⊥AD ，CD =2AB ，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD.E 和F 分别是CD 和PC 的中点，求证： (Ⅰ)PA ⊥底面ABCD ； (Ⅱ)BE//平面PAD ； (Ⅲ)平面BEF ⊥平面PCD ．20. 已知A(−2,1)，B(2,−2)，C(−3,−5)，D(3,3)．(1)求证：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ；(2)求AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影向量； (3)求由这四个点作为顶点的四边形的面积．21. 已知向量m⃗⃗⃗ =(√3sin x4,1)，n ⃗ =(cos x4,cos 2x4)，记f(x)=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ． π(Ⅱ)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a−c)cosB=bcosC，求f(2A)的取值范围．22.如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC，设∠AOB=α(0<α<π)．(1)当α为何值时，四边形OACB面积最大，最大值为多少；(2)当α为何值时，OC长最大，最大值为多少．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A：若l//θ，m⊂θ，则l//m或异面，∴A错误，B：若l//θ，m//θ，则l与m相交，异面或平行，∴B错误，C：若l//m，m⊂θ，则l//θ或l⊂θ，∴C错误，D：若l//m，l//θ，则m//θ或m⊂θ，∴D正确．故选：D．利用线线平行、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别判断各选项即可．本题考查了线线平行、线面平行的性质定理和判定定理的运用，熟练掌握定理是关键，属基础题．2.【答案】C【解析】解：自然数集是非负整数集，故A是真命题；实数集是复数集的子集，故复数集与实数集的交集是实数集，故B是真命题；实数集与虚数集无公共元素，故实数集与虚数集的交集为空集，故C是假命题；纯虚数集与实数集公共元素，故纯虚数集与实数集的交集为空集，故D是真命题故选：C．根据自然数集，复数集，实数集，虚数集，纯虚数集元素的特征，逐一分析四个答案的真假，可得结论．本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，本题综合性强，但难度不大，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：∵三条线段的长为5、6、7，∴满足任意两边之和大于第三边，∴能构成三角形，可排除D；设此三角形最大角为A，∵52+62−72=25+36−49=12>0，∴cosA>0，故选B．利用余弦定理可判断最大角，从而可得答案．本题考查三角形的形状判断，着重考查余弦定理的应用，属于中档题．4.【答案】A【解析】解：∵z1=3+4i，且复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，∴z2=3−4i，则z1z2=(3+4i)(3−4i)=32−(4i)2=9+16=25，故选：A．由已知求得z2，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．5.【答案】B【解析】解：如图，过O点作OE⊥面ABCD，垂足为E，则E为底面ABCD的中心，连接EC，则∠OCE为直线OC与平面ABCD所成角，设正方体的棱长为2，在Rt△OEC中，OE=2，CE=12AC=12√22+22=√2，∴tan∠OCE=OECE=√2．故选：B．由正方体的结构特征，过O点作OE⊥面ABCD，垂足为E，则∠OCE为直线OC与平面ABCD所成角，解Rt△OEC即可得到答案．本题考查的知识点是直线与平面所成的角，根据正方体的几何特征，做出直线与平面所成的角是解答本题的关键，属基础题．6.【答案】D【解析】解：由θ∈[π4,π2]，得2θ∈[π2,π]，又sin2θ=3√78，∴cos2θ=−√1−sin 22θ=−√1−(3√78)2=−18，∵cos2θ=1−2sin 2θ，sinθ>0， ∴sinθ=√1−cos2θ2=√1+182=34，故选：D ．由θ的范围求出2θ的范围，再由平方关系求出cos2θ，根据倍角的余弦公式变形求出sinθ的值．本题考查了平方关系和倍角的余弦公式的应用，注意角的范围确定，以及三角函数值的符号问题，是中档题．7.【答案】D【解析】解：由题意v ⃗ =u ⃗ −(u ⃗ −v ⃗ )=(1,√3)， 则u ⃗ +v ⃗ =(3,√3)，∴(u ⃗ +v ⃗ )⋅u ⃗ =6，|u ⃗ +v ⃗ |=√32+(√3)2=2√3，|u ⃗ |=2． ∴cos <u ⃗ ,u ⃗ +v ⃗ >=u ⃗⃗ ⋅(u ⃗⃗ +v ⃗ )|u ⃗⃗ | |u ⃗⃗ +v ⃗ |=2×2√3=√32． 即cos <u ⃗ ,u ⃗ +v ⃗ >=√32，得sin <u ⃗ ,u ⃗ +v ⃗ >=12， 由定义知|u⃗ ×(u ⃗ +v)⃗⃗⃗⃗ |=|u ⃗ |⋅|u ⃗ +v ⃗ |sin <u ⃗ ,u ⃗ +v ⃗ >=2×2√3×12=2√3， 故选：D ．利用数量积运算和向量的夹角公式可得cos <u ⃗ ,u ⃗ +v ⃗ >=u ⃗⃗ ⋅(u ⃗⃗ +v ⃗ )|u ⃗⃗ | |u ⃗⃗ +v ⃗ |.再利用平方关系可得sin <u ⃗ ,u ⃗ +v ⃗ >，利用新定义即可得出．本题考查了数量积运算、向量的夹角公式、三角函数的平方关系、新定义，考查了计算能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、诱导公式、和差公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．sinA +2sinBcosC =0，利用三角形内角和定理与诱导公式可得：sin(B +C)+2sinBcosC =0，展开化为：3sinBcosC +cosBsinC =0，cosC ≠0，cosB ≠0， 因此3tanB =−tanC.可得：B 为锐角，C 为钝角．tanA =−tan(B +C)展开代入利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：∵sinA +2sinBcosC =0，∴sin(B +C)+2sinBcosC =0， ∴3sinBcosC +cosBsinC =0，cosC ≠0，cosB ≠0． 化为3tanB =−tanC ，∵sinA +2sinBcosC =0，，，，可得：A ，B 为锐角，C 为钝角，∴tanA =−tan(B +C)=−tanB +tanC1−tanBtanC=−(tanB −3tanB)1+3tan 2B=21tanB+3tanB ≤2√3=√33，当且仅当tanB=√33时取等号． ∴tanA 的最大值是√33．故选：A ．9.【答案】AD【解析】解：根据斜二测画法的规则可知，平行于坐标轴的直线平行性不变，平行x 轴的线段长度不变，平行于y 轴的长度减半，对于A ，三角形的直观图中，三角形的高与底边的夹角为45°或135°，长度减少为原来的一半，依然是三角形，所以A 正确；对于B ，正方形中的直角，在直观图中变为45°或135°角，不是正方形，故B 错误； 对于C ，菱形的对角线垂直平分，在直观图中对角线的夹角变为45°，所以菱形的直观图不是菱形，故C 错误．对于D ，根据平行性不变知，平行四边形的直观图还是平行四边形，故D 正确．根据平面图形直观图的画法规则，判断命题的正误即可． 本题考查了对斜二测画法的理解与应用问题，属于基础题．10.【答案】ABD【解析】解：对于A ，若z 1，z 2∈C ，当z 1=i ，z 2=1+i 时，z 1−z 2=−1<0， 但z 1，z 2是两个虚数，不能比较大小，故A 错误；对于B ，若x +yi =1+i(x,y ∈C)，则x =y =1，是假命题，如x =i ，y =−i ，故B 错误；对于C ，若z =a +bi(a ∈R,b ∈R)，则当且仅当a =0且b =0时，z =0，故C 正确；对于D ，若z 1，z 2∈C ，且z 12+z 22=0，则z 1=z 2=0，是假命题，如z 1=i ，z 2=1，故D 错误． 故选：ABD ．举例说明A ，B ，D 为假命题；利用复数相等的概念说明C 是真命题． 本题考查命题的真假判断，复数相等和复数的运算，属于基础题．11.【答案】ACD【解析】解：对于A ，若b ⃗ =0⃗ ，因为0⃗ 与任意向量平行，所以a ⃗ 不一定与c ⃗ 平行，故A 错； 对于B ，向量数量积满足分配律，故B 对； 对于C ，向量数量积不满足消去率，故C 错；对于D ，(a ⃗ ⋅b ⃗ )⋅c ⃗ 是以c ⃗ 为方向的向量，a ⃗ ⋅(b ⃗ ⋅c ⃗ )是以a ⃗ 为方向的向量，故D 错． 故选：ACD ．利用向量数量积所具备的相关性质逐一进行判断即可．本题考查命题真假性的判断，掌握向量的相关性质即可，属于基础题．12.【答案】ABC【解析】解：由AB =2AD =2DC 知： ∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BC⃗⃗⃗⃗⃗ =−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +1AB ⃗⃗⃗⃗⃗=−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故A 选项正确．又∵AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12×23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故B 选项正确．∵BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故C 正确．∵CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， D 不正确． 故选：ABC ．利用向量的加法法则，先用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，进而表示出AF ⃗⃗⃗⃗⃗ , BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 和CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 本题考查向量的加法法则的合理运用，解题时要注意向量间的关系以及转化的思想．13.【答案】3365【解析】解：sinx =sin(x +y −y)=sin(x +y)cosy −cos(x +y)siny ， ∵x ，y 均为锐角，∴x +y ∈(0,π)， ∵cos(x +y)=513，∴sin(x +y)=√1−cos 2(x +y)=1213， ∵cosy =45，∴siny =√1−cos 2y =35， ∴sinx =1213⋅45−513⋅35=3365． 故答案为：3365．利用sinx =sin(x +y −y)，展开，分别求出sin(x +y)，sin y 代入sin x 中求解即可． 本题考查了三角恒等变换求值，考查了转化思想，属于中档题．14.【答案】−72【解析】解：正三角形ABC 的边长为3，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FA⃗⃗⃗⃗⃗ ， 可得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =19AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+29AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +49AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =19×3×3×(−12)−29×32+29×3×3×12−49×3×3×12=−72．故答案为：−72．利用已知条件求出数量积中的两个向量，然后利用向量的数量积的运算法则求解即可． 本题考查向量的数量积的应用，是基础题．15.【答案】3 能【解析】解：由马走“日”可知，若马从A 出发，可到A 1，A 2，A 3任意一点，共3种可能走法；要判断能否从任一交叉点出发，走到棋盘上的其他任何一个交叉点，只需判断能否从该交叉点走到相邻点即可，如图，若从A 出发，则可通过先到A 2，再到A 4，再到B ，说明可以走到相邻的点， 故能从任一交叉点出发，走到棋盘上的其他任何一个交叉点． 故答案为：3；能．由中国象棋中马的走法规则可知共3种走法，而要判断能否从任一交叉点出发，走到棋盘上的其他任何一个交叉点，只需判断能否从该交叉点走到相邻点即可，由此容易得出结论．本题以中国象棋为背景，考查简单的合情推理，属于基础题．16.【答案】kπ+π2 , k ∈Z【解析】解：∵复数z =sin2θ+i(cos2θ−1)是纯虚数， ∴sn2θ=0，cos2θ−1≠0， ∴2θ=kπ，2θ=2kπ，k ∈z ∴2θ=2kπ+π，θ=kπ+π2, k ∈Z 故答案为：kπ+π2, k ∈Z根据所给的复数是一个纯虚数，得到实部为0，且虚部不为0，得到关于角θ的正弦和余弦的要求，可解结果．本题考查复数的基本概念，考查三角函数的有值求角的化简求值，本题解题的关键是对于得到的三角函数式，一个是等式，另一个是不等式，注意对角的要求，本题是一个基础题．17.【答案】解：选①∵cosA =35，cosC =2√55，∴sinA =45，sinC =√55，∴sinB =sin(A +C)=sinAcosC +cosAsinC =45×2√55+35×√55=11√525， 由正弦定理得b =asinB sinA =3×11√52545=33√520， ∴S =12absinC =12×3×33√520×√55=9940．选②∵csinC =sinA +bsinB ， ∴由正弦定理得c 2=a +b 2． ∵a =3，∴b 2=c 2−3． 又∵B =60°，∴b 2=c 2+9−2×3×c ×12=c 2−3， ∴c =4，∴S =12acsinB =3√3． 选③∵c =2，cosA =18， ∴由余弦定理得18=b 2+22−322b×2，即b 2−b2−5=0，解得b =52或b =−2(舍去)． 又sinA =3√78， ∴△ABC 的面积S =12bcsinA =12×52×2×3√78=15√716．【解析】选①时，利用三角形的内角和定理与正弦定理，即可求得三角形的面积． 选②时，利用正弦、余弦定理，也可以求出三角形的面积． 选③时，利用余弦定理求出b ，再计算△ABC 的面积．本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：(1)若复数z 为实数，则虚部为0，即m 2−3m −18=0，解得m =6或m =−3，又当m =−3时，实部没有意义，故m =6；(2)若复数z 为虚数，则虚部不为0，即m 2−3m −18≠0，解得m ≠−3且m ≠6； (3)若复数z 为纯虚数，则实部为0，且虚部不为0，即{2m 2+m−3m+3=0m 2−3m −18≠0，解得m =1或m =−32．【解析】(1)若复数z 为实数，则虚部为0，由此可求得m 的值； (2)若复数z 为虚数，则虚部不为0，由此可求得m 的值；(3)若复数z 为纯虚数，则实部为0，且虚部不为0，由此可求得m 的值． 本题考查复数的有关概念，考查运算求解能力，属于基础题．19.【答案】解：(Ⅰ)∵PA ⊥AD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，由平面和平面垂直的性质定理可得PA ⊥平面ABCD ．(Ⅱ)∵AB//CD ，AB ⊥AD ，CD =2AB ，E 和F 分别是CD 和PC 的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE//AD ．又AD ⊂平面PAD ，BE 不在平面PAD 内，故有BE//平面PAD ．(Ⅲ)平行四边形ABED 中，由AB ⊥AD 可得，ABED 为矩形，故有BE ⊥CD ①． 由PA ⊥平面ABCD ，可得PA ⊥AB ，再由AB ⊥AD 可得AB ⊥平面PAD ， ∴CD ⊥平面PAD ，故有CD ⊥PD ．再由E 、F 分别为CD 和PC 的中点，可得EF//PD ， ∴CD ⊥EF ②．而EF 和BE 是平面BEF 内的两条相交直线，故有CD ⊥平面BEF ． 由于CD ⊂平面PCD ，∴平面BEF ⊥平面PCD ．【解析】(Ⅰ)根据条件，利用平面和平面垂直的性质定理可得PA ⊥平面ABCD ． (Ⅱ)根据已知条件判断ABED 为平行四边形，故有BE//AD ，再利用直线和平面平行的判定定理证得BE//平面PAD ．(Ⅲ)先证明ABED 为矩形，可得BE ⊥CD ①.现证CD ⊥平面PAD ，可得CD ⊥PD ，再由三角形中位线的性质可得EF//PD ，从而证得CD ⊥EF ②.结合①②利用直线和平面垂直的判定定理证得CD ⊥平面BEF ，再由平面和平面垂直的判定定理 证得平面BEF ⊥平面PCD ．本题主要考查直线和平面垂直的判定定理，直线和平面平行的判定定理，平面和平面垂直的判定定理、性质定理的应用，属于中档题．20.【答案】解：(1)证明：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2)−(−2,1)=(4,−3)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,3)−(−3,−5)=(6,8)． ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4×6−3×8=0，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ． (2)AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,3)−(−2,1)=(5,2)， AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4×5−3×2=14，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗|=√42+(−3)2=5， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影向量=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=14(4,−3)25=(5625,−4225). (3)|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5，|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√62+82=10， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴由这四个点作为顶点的四边形的面积S =12×|AB ⃗⃗⃗⃗⃗|×|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12×5×10=25．【解析】(1)只要证明AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即可得出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ． (2)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影向量=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |． (3)根据AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得由这四个点作为顶点的四边形的面积S =12×|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |. 本题考查了向量的有关计算、数量积运算性质、投影向量、四边形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．21.【答案】解：(Ⅰ)向量m ⃗⃗⃗ =(√3sin x4,1)，n ⃗ =(cos x4,cos 2x4)，记f(x)=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =√3sin x4cos x4+cos 2x4=√32sin x 2+12cos x 2+12=sin(x 2+π6)+12，因为f(x)=1，所以sin(x2+π6)=12， 所以cos(x +π3)=1−2sin 2(x2+π6)=12，(Ⅱ)因为(2a −c)cosB =bcosC ，由正弦定理得(2sinA −sinC)cosB =sinBcosC 所以2sinAcosB −sinCcosB =sinBcosC 所以2sinAcosB =sin(B +C)=sinA ，sinA ≠0， 所以cosB =12，又0<B <π2，所以B =π3， 则A +C =2π3，即A =2π3−C ，又0<C <π2，则π6<A <π2，得π3<A +π6<2π3，所以√32<sin(A +π6)≤1，又f(2A)=sin(A +π6)+12，所以f(2A)的取值范围(√3+12,32].【解析】(Ⅰ)利用向量的数量积公式求出f(x)的解析式，然后求值；(Ⅱ)由正弦定理将边角的混合等式化为角的等式，利用三角函数公式化简求出角A 的范围，然后求三角函数值的范围．本题考查了向量的数量积运算以及利用正弦定理以及化简三角函数式、解三角形；角的范围的确定是关键．22.【答案】解：(1)由题意，在△OAB 中，AB 2=5−4cosα，三角形S △AOB =sinα，三角形S △ABC =√34AB 2=54√3−√3cosα四边形OABC的面积为S=S△AOB+S△ABC=2sin(α−π3)+54√3．∵0<α<π，∴当α−π3=π2，即α=56π时，四边形OABC的面积最大，故得当α=56π，四边形OABC的面积最大且最大值为2+54√3．(2)△OAB中，sin∠OAB=OBsin∠AOBAB =√5−4cosα∴cos∠OAB=√1−sin2∠OAB=2−cosα√5−4cosα∴cos∠OAC=cos(∠OAB+60°)=√3sinα2√5−4cosα．△OAC中，OC2=OA2+AC2−2OA⋅AC⋅cos∠OAC=2√3sinα−2cosα+5即OC=√4sin(α−π6)+5(α∈(0,π))∵α−π6∈(−π6,5π6)，∴α−π6=π2，即α=23π时，OC有最大值．故得当α=23π时，OC有最大值3．【解析】(1)OA=2，B为半圆上任意一点，那么△OAB是直角三角形，AB2=5−4cosα.三角形S△AOB=sinα，三角形S△ABC=√34AB2=54√3−√3cosα，两个三角之和，可得四边形OACB面积，利用三角函数的有界限，即可求解最大值．(2)在△OAB中，利用正弦定理，把OC用三角函数关系式表示出来，利用三角函数的有界限，即可求解最大值．本题考查三角函数的有界性，考查转化思想以及计算能力．属于中档题．。
江苏省扬州大学附属中学东部分校2020-2021学年高一上学期期中数学试卷及解析
江苏省扬州大学附属中学东部分校2020-2021学年高一上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知幂函数y f x =的图象过点(，则()81f =（ ） A.3B.13C.9D.192.已知集合{}{}20,1,4A B x x ==≤，则A B =（ ）A.{}0,1B.{}0,1,2C.{}02x x ≤<D.{}02x x ≤≤3.已知10x y -<<<，比较2211,,,x y x y的大小关系得（ ） A.2211x y y x<<< B.2211y x x y<<< C.2211y x y x <<< D.2211y x y x<<< 4.下列图形中，表示函数图象的个数是（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个5.已知函数y =f(x)，部分x 与y 的对应关系如表：则f(f(4))=( )A. −1B. −2C. −3D. 36.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，则对实数a 、b ，“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.下列命题为真命题的是（ ） A.若ac bc >，则a b > B.若22a b >，则a b >C.若11a b>，则a b < D.<a b <8.已知函数()3122xx f x x =+-，若()()2120f a f a -+≤，则实数a 的取值范围为（ ） A.(]1,1,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭ B.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.[)1,1,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦D.11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦第II 卷（非选择题）二、填空题210x >的解”的否定________，并判断其真假_________（填“真命题”或“假命题”）. 10.若0,0x y >>，化简:21113333243x yx y ---⎛⎫÷- ⎪⎝⎭得__________. 11.设lg 6,lg12a b ==，用,a b 表示lg 75得__________. 12.下列几个命题:①下列函数中2y =；y 2log 2x y =；2log 2xy =，与函数y x =相同的函数有2个；②函数()f x x x bx c =++的图象关于点()0,c 对称；③函数y =是偶函数，但不是奇函数；④()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()221f x x x =+-，则当0x ≥时，()221f x x x =-++；⑤函数3222xx y -=+的值域是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.其中正确命题的序号有__________.三、解答题13.设集合1{|()8}22xA x =<<，{|||1}B x x a =+<． （1）若3a =，求AB ；（2）设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．14.已知一次函数()y f x =满足()12f x x a -=+， . 在所给的三个条件中，任选一个补充到题目中，并解答. ①()5f a =，②142a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，③()()41226f f -=. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）若()()()g x x f x f x x λ=⋅++在[]0,2上的最大值为2，求实数λ的值. 15.已知a ∈R ，且a ≠1，比较a +2与31a-的大小. 16.已知函数2()f x x x m =-+.（1）当2m =-时，解不等式()0f x >； （2）若0m >， ()0f x <的解集为(,)a b ，求14a b+的最小値. 17.某渔场鱼群的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际的养殖量x 要小于m ，留出适当的空闲量，空闲量与最大养殖量的比值叫空闲率，已知鱼群的年增加量y （吨）和实际养殖量x （吨）与空闲率的乘积成正比（设比例系数k >0）. （1）写出y 与x 的函数关系式，并指出定义域； （2）求鱼群年增长量的最大值；（3）当鱼群年增长量达到最大值时，求k 的取值范围.18.已知函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，()11x xe f x e -=+. （1）求当0x <时，函数()f x 的解析式； （2）判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性并证明；（3）设函数()()()2g x f ax f x a =--+，使函数()g x 有唯一零点的所有a 构成的集合记为M ，求集合M .四、新添加的题型） A.若1x >，则21x > B.=x y =C.若220x x +-=，则1x =D.若x AB ∈，则x A B ∈20.对任意实数,,a b c ，下列命题中正确的是（ ） A.“5a <”是“3a <”的必要条件 B.“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件C.“a b =”是“ac bc =”的充要条件D.“a b >”是“22a b >”的充分条件21.已知函数()225,1,1x ax x f x a x x⎧++<⎪=⎨-≥⎪⎩在区间(),-∞+∞上是减函数，则整数a 的取值不可以为（ ） A.-2B.-1C.0D.122.关于定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，()22f x x x =+，则下列说法正确的是（ ）A.0x <时，函数解析式为()22f x x x =- B.函数在定义域R 上为增函数C.不等式()328f x -<的解集为40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D.不等式()210f x x x ---<恒成立参考答案1.C【解析】1.设幂函数解析式，代入点的坐标，求出幂函数解析式，即可求得结果. 由题意设()y f x x α==，图象过点(，得3α=解得12α=， ∴()12f x x=，()1281819f ==；故选：C. 2.A【解析】2.利用一元二次不等式的解法化简集合B ，再利用交集的定义求解即可. 因为{}{}20,1,{|4}22A B x x x x ==≤=-≤≤，所以{}0,1AB =，故选：A. 3.C【解析】3.利用不等式的性质求解即可. 由10x y -<<<， 得22110y x y x<<<<， 故选：C. 4.B【解析】4.利用函数的定义判断即可.利用函数的定义，在定义域内的任一个x ，都有唯一确定的y 与之对应， 观察图像得第一个图和第二个图正确，第三个图和第四个图不正确； 故选：B. 5.D【解析】5. 先求f(4)=−3，再求f(−3)=3通过表格可以得到f(4)=−3，f(f(4))=f(−3)=3故选：D 6.A【解析】6.本道题结合偶函数满足f (x )=f (−x )以及单调递增关系,前后推导,即可.结合偶函数的性质可得f (x )=f (−x ),而当a >|b |,−a <b <a ,所以结合f (x )在 [0,+∞)单调递增,得到f (a )=f (−a )>f (b ),故a >|b |可以推出f (a )>f (b ).举特殊例子,f (−3)=f (3)>f (1),但是−3<|1|,故由f (a )>f (b )无法得到a >|b |,故a >|b |是f (a )>f (b )的充分不必要条件,故选A.7.D【解析】7.根据不等式的性质判断各个命题．A 中若0c <，则得不出a b >，错误；B 中，若0,0a b <<，则有a b <，错误；C 中若0,0a b ><，则仍然是a b >，错误；由不等式的性质知D 正确．故选：D. 8.D【解析】8.先求出函数的定义域，再利用函数奇偶性的定义判断奇偶性，最后利用幂函数和指数函数的单调性判断函数的单调性，即可解不等式. 由()3122xxf x x =+-定义域为R ，()()33112222x xx xf x x x f x ---=-+-=--+=-， 所以函数()f x 为奇函数，利用幂函数和指数函数的单调性易知：函数()f x 为R 上的增函数，()()()()()()2221201212f a f a f a f a f a f a -+≤⇒-≤-⇒-≤-，则211212a a a -≤-⇒-≤≤， 故选：D.9.存在大于3的自然数不是不等式210x >的解 假命题【解析】9.利用“改量词，否结论.”求命题的否定，判断原命题的真假即可判断. 由命题：大于3的自然数是不等式210x >的解，得命题的否定为：存在大于3的自然数不是不等式210x >的解， 因为大于3的自然数有4,5,6，它们的平方一定大于10，即大于3的自然数都是不等式210x >的解， 故该否定为假命题.故答案为：存在大于3的自然数不是不等式210x >的解；假命题. 10.6x -【解析】10.利用指数幂的运算法则求解即可. 由0,0x y >>， 得2111213333113333234432x yx y x y ---+-+⎛⎫÷-=-⨯ ⎪⎝⎭066xy x =-=-；故答案为：6x -. 11.432a b -+【解析】11.由题意条件得出lg 2lg3lg32lg 2ab+=⎧⎨+=⎩，解出lg 2和lg 3，由此可得出lg 75lg32lg 22=-+，代入即可得出答案.lg6lg 2lg3a =+=， lg12lg32lg 2b =+=，即lg 2lg3lg32lg 2ab +=⎧⎨+=⎩，解得lg 2lg32b aa b=-⎧⎨=-⎩，753lg 75lg2lg 2lg32lg 224321004a b ∴=+=+=-+=-+， 故答案为：432a b -+. 12.②⑤【解析】12.对于选项①：判断函数的定义域与对应关系是否相等即可判断；对于选项②：求解()()2f x f x c +-=即可判断；对于选项③：先求函数的定义域，写出函数解析式即可判断；对于选项④：利用函数为定义在R 上的奇函数，则()00f =，即可判断；对于选项⑤：令()20xt t =>，原函数变为：()25351222t t y t t t -++-===-++++，利用t 的范围求解即可判断.对于选项①：由2y =定义域为{}0x x ≥，y x ==，2log 2x y x ==，2log 2x y =定义域为{}0x x >，得与函数y x =相同的函数只有1个；故①不正确； 对于选项②：由()f x x x bx c =++，得()()2f x f x x x bx c x x bx c c +-=++--+=， 则函数()f x x x bx c =++的图象关于点()0,c 对称；故②正确；对于选项③：由函数y ，得2210110x x x ⎧-≥⇒=±⎨-≥⎩，所以()01y x ===±即是偶函数，也是奇函数；故③不正确；对于选项④：因为()f x 是定义在R 上的奇函数， 则()00f =，而题干中，当0x ≥时，()221f x x x =-++；此时()01f =，故不满足题意， 故④不正确；对于选项⑤：令()20xt t =>，原函数变为：()25351222t t y t t t -++-===-++++ 因为5522,022t t +><<+， 则531122t -<-<+， 所以函数3222xx y -=+的值域是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，故⑤正确； 故答案为：②⑤. 13.（1）(4,1)A B =-（2）[0,2]【解析】13.(1)将3a =代入B ,求得B ,再求得AB ;(2)将问题转化为集合B 是集合A 的真子集,再根据真子集关系列式可得. （1）由已知可得(3,1)A =-，(4,2)B =--，∴(4,1)A B =-．（2）由题意可得集合B 是集合A 的真子集，∵(1,1)B a a =---+，∴1311a a ---⎧⎨-+<⎩或1311a a -->-⎧⎨-+⎩，∴02a ，∴实数a 的取值范围是[0,2]． 14.（1）()23f x x =+（2）2λ=-【解析】14.利用待定系数法求出()22f x x a =++，（1）根据所选条件，都能求出1a =，可得()23f x x =+；（2）根据对称轴与区间中点值的大小分两种情况讨论求出最大值，结合已知最大值可求得λ的值.设()f x kx b =+(0)k ≠，则(1)2k x b x a -+=+，即2kx k b x a -+=+， 所以2k =，2b a ，所以()22f x x a =++，若选①，（1）由()5f a =得225a a ++=，得1a =，所以()23f x x =+.（2）()(23)(23)g x x x x x λ=++++=22(42)3x x λλ+++，区间[]0,2的中点值为1，对称轴为()22x λ+=-，当()212λ+-≤，即4λ≥-时，max()(2)8843716f x f λλλ==+++=+，所以7162λ+=，解得2λ=-；当()212λ+->，即4λ<-时，max()(0)3f x f λ==，所以32λ=，解得23λ=（舍）， 综上所述：2λ=-. 若选②， （1）由142a f ⎛⎫=⎪⎝⎭得14222a a =⨯++，解得1a =，所以()23f x x =+； （2）()(23)(23)g x x x x x λ=++++=22(42)3x x λλ+++，区间[]0,2的中点值为1，对称轴为()22x λ+=-，当()212λ+-≤，即4λ≥-时，max()(2)8843716f x f λλλ==+++=+，所以7162λ+=，解得2λ=-；当()212λ+->，即4λ<-时，max()(0)3f x f λ==，所以32λ=，解得23λ=（舍）， 综上所述：2λ=-. 若选③，（1）由()()41226f f -=得4(22)2(42)6a a ++-++=，解得1a =，所以()23f x x =+；（2）()(23)(23)g x x x x x λ=++++=22(42)3x x λλ+++，区间[]0,2的中点值为1，对称轴为()22x λ+=-，当()212λ+-≤，即4λ≥-时，max()(2)8843716f x f λλλ==+++=+，所以7162λ+=，解得2λ=-；当()212λ+->，即4λ<-时，max()(0)3f x f λ==，所以32λ=，解得23λ=（舍）， 综上所述：2λ=-. 15.当1a <时，321a a +<-；当1a >时，321a a+>-【解析】15.利用作差的方法比较数值的大小关系22213()3(2)(1)31124(2)11111a a a a a a a a a a a a a +++-----+++-====----- 我们不难发现：分式中分子始终为正值，所以：1a <时3(2)01a a+-<- 当1a >时，3(2)01a a+->-； 故：当1a <时，321a a +<-；当1a >时，321a a+>- 16.（1）{2x x >或}1x <-；（2）最小值为9.【解析】16.（1）由一元二次不等式的解法即可求得结果；（2）由题()0f x =的根即为a ，b ，根据韦达定理可判断a ，b 同为正，且1a b +=，从而利用基本不等式的常数代换求出14a b+的最小值.（1）当2m =-时，不等式0f x >（），即为220x x -->， 可得()()210x x -+>，即不等式()0f x >的解集为{2x x >或}1x <-.（2）由题()0f x =的根即为a ，b ，故1a b +=，0ab m =>，故a ，b 同为正，则14a b +=144()559a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当13a =，23b =等号成立，所以14a b+的最小值为9.17.（1）．定义域为；（2）当时，；（3）的取值范围是．【解析】17.试题分析：（1）由题意求出空闲率，然后利用正比例关系得与的函数关系式，并确定函数的定义域；（2）利用配方法求二次函数的最值；（3）鱼群年增长量达到最大值时，应保证实际养殖量和增加量的和在0到之间，由此列不等式求解的取值范围即可． 试题解析：（1）空闲率为,由已知得：． （2）因为，所以当时，．（3）由题意得：，即,解得．又因为，所以，所以的取值范围是．18.（1）()11xxe f x e-=+；（2）函数()f x 在(),0-∞上单调递减，证明见详解；（3）{}1,0,1,2M =-.【解析】18.（1）当0x <时，0x ->，()1111x xx xe ef x e e-----==++，利用函数的奇偶性求解即可；（2）函数()f x 在(),0-∞上单调递减，利用定义证明函数的单调性即可；（3）把函数()g x 有唯一零点的问题转化为方程()()20f ax f x a --+=有唯一的解的问题，利用函数的奇偶性和单调性得到2ax x a =-+，两边平方，利用方程有唯一的解即可得出结果. （1）当0x <时，0x ->， 又函数()f x 为偶函数，则()()1111x xx xe ef x f x e e-----===++，所以函数()f x 的解析式为()11xxe f x e-=+； （2）函数()f x 在(),0-∞上单调递减， 设任意120x x <<，则()()()()()12212112212111111x x x x x x x x e e e e f x f x e e e e ----=-=++++， 因为xy e =在R 上单调递增， 所以12x x e e <，即120x x e e -<， 所以()()21f x f x <，所以函数()f x 在(),0-∞上单调递减； （3）因为函数()f x 为偶函数， 所以函数()f x 在()0,∞+上单调递减，函数()()()2g x f ax f x a =--+的零点就是方程()()20f ax f x a --+=的解， 因为函数()g x 有唯一零点，所以方程()()20f ax f x a --+=有唯一的解， 因为函数()f x 为偶函数， 所以方程变形为：()()2fax f x a =-+，因为函数()f x 在()0,∞+上单调递减， 所以2ax x a =-+， 平方得：()()()22212220a x a x a -+-+-=，当210a -=时，即1a =±，经检验方程有唯一解； 当210a -≠时，()()()222424120a a a ∆=----=，得()22200a a a -=⇒=或2a =， 综上可得：集合{}1,0,1,2M =-. 19.AD【解析】19.对于选项A ：利用不等式的性质判断即可；对于选项B =x y =即可判断；对于选项C ：解一元二次方程即可判断；对于选项D ：利用元素与集合的关系判断即可.对于选项A ：若1x >，则21x >，故选项A 正确；对于选项B =x y =或y x =-，故选项B 不正确；对于选项C ：若220x x +-=，则1x =或2x =-，故选项C 不正确； 对于选项D ：若x A B ∈，则x A B ∈，故选项D 正确；故选：AD. 20.AB【解析】20.利用充分与必要条件的定义，判定各选项中的充分性与必要性是否成立，从而选出正确答案．A 中，∵a ＜3时，得出a ＜5， ∴a ＜5是a ＜3的必要条件； ∴A 是正确的；B 中，5a +是无理数，得出a 是无理数，充分性成立；a 是无理数，得出5a +是无理数，必要性成立；∴B 是正确的；C 中，由a b =，得出ac bc =，充分性成立； 由ac bc =，不能得出a b =， 例如：c ＝0时，2×0＝3×0，2≠3， ∴必要性不成立； ∴C 是不正确的；；D 中，∵a ＞b 不能得出22a b >， 例如：1,2a b =-=得22a b <， ∴充分条件不成立； D 不正确. 故选：AB ． 21.CD【解析】21.根据题意，讨论1x <时，()f x 是二次函数，在对称轴对称轴左侧单调递减，1x 时，()f x 是反比例函数，在0a <时单调递减；再利用端点处的函数值即可得出满足条件的a的取值范围．解：由函数()225,1,1x ax x f x a x x⎧++<⎪=⎨-≥⎪⎩在区间(,)-∞+∞上是减函数，当1x <时，2(2)5f x x ax +=+，二次函数的对称轴为x a =-， 在对称轴左侧单调递减，1a ∴-，解得1a ≤-；当1x 时，()a f x x=-， 在0a <时单调递减； 又2152a a +≥-+， 即2a ≥-；综上，a 的取值范围是21a -≤≤-， 则整数a 的取值不可以为0或1； 故选：C D. 22.AC【解析】22.对于A ，利用偶函数定义求0x <时，函数解析式为()22f x x x =-；对于B ，研究当0x ≥时，()f x 的单调性，结合偶函数图像关于y 轴对称，知()f x 在R 上的单调性；对于C ，求出(2)8f =，不等式(32)8f x -<，转化为(32)(2)f x f -<，利用单调性解不等式；对于D ，分类讨论(0,)x ∈+∞与(,0)x ∈-∞两种情况是否恒成立. 对于A ，设0x <，0x ->， 则2()2f x x x -=-， 又()f x 是偶函数，所以()2()2f x f x x x =-=-，即0x <时，函数解析式为2()2f x x x =-，故A 正确； 对于B ，2()2f x x x =+，对称轴为1x =-， 所以当0x ≥时，()f x 单调递增， 由偶函数图像关于y 轴对称，所以()f x 在(),0-∞上为减函数，故B 不正确； 对于C ，当(0,)x ∈+∞时，2()28f x x x =+=， 解得12x =，24x =-（舍去）， 即(2)8f =，所以不等式(32)8f x -<， 转化为(32)(2)f x f -<， 又()f x 在R 上为偶函数， 得432203x x -<⇒<<， 所以不等式的解集为40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，故C 对； 对于D ，当(,0)x ∈-∞时，2()2f x x x =-，222()12131f x x x x x x x x --=--=-----，不恒小于0；当0x ≥时，2()2f x x x =+，222()1211f x x x x x x x x --=+---=--不恒小于0，故D 错；故选：AC.。
扬大附中东部分校2020学年度第一学期高一数学第一次月考试卷 苏教版
扬大附中东部分校2020学年度第一学期高一数学第一次月考试卷(考试时间:120分钟 分值:150分)第Ⅰ卷（选择、填空题）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.选出你认为正确的选项，填在答卷中.）1．已知集合}1|{2+==x y y A ，集合}1|{+==x y y B ，则A ∩B 等于 [ ]A ．（0，1），（1，2）B ．{（0，1），（1，2）}C ．}21|{==y y y 或D ．}1|{≥y y2．已知：集合}1|1||{>-∈=x N x A ，则集合N A 中含有元素 [ ]A ．1个B ．2个C ．3个D ．以上都不对3．不等式x 2 – 5|x| + 6 < 0的解集是 [ ]A ．{x| 2 < x < 3}B ．{x|– 3 < x < – 2或2 < x < 3}C ．{x|– 2 < x < – 3或2 < x < 3}D ．{x|– 3 < x < – 2}4．设A ，B 是两个集合，则满足条件},{b a B A =⋃的集合A ，B 组对共有 [ ]A ．10组B ．9组C ．8组D ．7组5．下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是 [ ]A ．y = 3 – xB ．y = x 2 +1C ．y = -x 2D ．y = x 2 – 2x + 36．可作为函数y = f (x)的图象的是 [ ]7．若函数y=x 2－3x －4的定义域为[0，m]，值域为[254-,4-]，则m 的取值范围是[ ]A ．(]4,0B ．[23，4]C ．[23，3] D ．[23，+∞)8．已知集合A = {x 1，x 2，x 3，…，x 10}，则集合A 的非空真子集的个数有 [ ]A ．1024B ．1023C ．1022D ．10219. 如图所示, 图中阴影部分是 [ ]A ．A UB B ．(U A)∪(U B)C ．[(U A)∩B]∪[(U B)∩A]D ．U (A ∩B) UA Bx y O x y O (A) (B) x y O x O (C) (D)y10．已知函数()()221,f x x ax b b a b R =-++-+∈对任意实数x 都有f (1 – x ) = f(1 + x) 成立，若当x ∈[- 1，1]时，f (x) > 0恒成立，则b 的取值范围是 [ ]A ．12b b <->或B ．2b >C ．10b -<<D ．不能确定二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷相应位置上.）11．函数()01()112f x x x x =++-+-的定义域为 . 12．已知集合A ≠∅，B = {1，2，3，4，5，6，7}，若x ∈A ，必有x ∈B 且8 – x ∈A 成 立，则集合A 最多有_______个.13．函数])2,31[(1∈+=x x x y 的最小值为m ，最大值为n ，则m + n = . 14．)(x f 是定义在),0(+∞上的增函数，则不等式)]2(2[)(->x f x f 的解集是 .15．已知f (x) = ⎩⎪⎨⎪⎧x + 2， (x > 0)2， (x = 0)0， (x < 0)，则)))))0(((((2008Λ4434421Λff f f f f 个= ． 16．给出五组函数：①3)5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ；②111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；③x x f =)(， 2)(x x g = ； ④x x f =)(， 33)(x x F =；⑤21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。
2022-2023学年江苏省扬州大学附属中学东部分校高一上学期期中数学试题(解析版)
【解析】
【分析】
A.将其配成顶点坐标式即可得出答案；
B.将其配成 代入 即可得其最小值；
C.函数 ，当且仅当 此时 无解
D.根据题意构造 ，将“1”替换为 ，代入用基本不等式.
【详解】解：对于A.如果 ，那么 ，当 时取得最大值，故正确；
对于B.如果 ， ， 则 整理得 ，所以 或 （舍去），当且仅当 时取得最小值，故正确；
故选：A．
6.已知集合 ，则A∩B=（）
A.{x|-2≤x<2}B.{x|-2≤x≤1}C.{x|-2≤x≤-1}D.{x|-2≤x<-1}
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合 后可求 .
【详解】 ，而 或 ，
故 ，
故选：D.
7.若函数 是定义在 上 奇函数，且满足 ，当 时， ，则当 时，函数 的解析式为（）
9.下列函数中，在 上为增函数的是（）
A. B.
C. D.
【答案】BD【解析】【分析根据基本初等函数的单调判断即可；
【详解】解：对于A： 在定义域 上单调递减，故A错误；
对于B： 在 上单调递增，故B正确；
对于C： 在 上单调递减，在 上单调递增，故C错误；
对于D： 在定义域 上单调递增，故D正确；
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据奇函数及 得出 ，把 转化为 ，根据所给解析式可求结果.
【详解】因为函数 是奇函数，所以 ，
因为 ，所以 ，
当 时， ；
因为当 时， ，所以
所以 .
故选：D.
8.“ ”是函数“ 是定义在 上的增函数”的（）
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
2020-2021学年江苏省扬州大学附中东部分校高一上学期第一次月考数学试题解析版
2020-2021学年江苏省扬州大学附中东部分校高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知集合{}{}1,2,3,4,5,6,1,2,4U M ==，则UM =A ．UB ．{}1,3,5C ．{}2,4,6D ．{}3,5,6【答案】D【解析】试题分析：因为{}{}1,2,3,4,5,6,1,2,4U M ==，所以，{}3,5,6UM =故选D.【考点】集合的运算.2．若集合{|A x N x =∈≤，a = ） A ．{}a A ⊆ B ．a A ⊆ C ．{}a A ∈ D ．a A ∉【答案】D【解析】根据集合与集合的关系、元素与集合的关系可得B 、C 错误，再根据a =为无理数可得正确的选项. 【详解】因为a 表示元素，{}a 表示集合，故B 、C 错误.因为a A ∉，且{}a A ⊆不成立，故A 也错误，D 正确， 故选：D . 【点睛】本题考查元素与集合的关系、集合与集合的关系的判断，一般地，集合与集合之间用包含或不包含，3．已知命题p“2,0x N x ∃∈≤”，则p ⌝为（ ） A ．2,0x N x ∃∉≤． B ．2,0x N x ∃∈> C ．2,0x N x ∀∉> D ．2,0x N x ∀∈> 【答案】D【解析】特称命题的否定是全称命题，由此得到选项. 【详解】特称命题的否定是全称命题，C 选项应改为x ∈N ，这里不需要否定，故C 选项错误.所以选D. 【点睛】本小题主要考查特称命题的否定是全称命题，在否定时要注意否定结论.属于基础题. 4．ac 2＞bc 2是a ＞b 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】若22ac bc >成立，则20,c a b >∴>成立；若a b >成立，而2c ≥0，则有22ac bc ≥，故22ac bc >不成立；22ac bc ∴>是a b >的充分不必要条件.故选:A 【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决问题的关键，属于基础题.5．设集合{|12}A x x =<<，{|}B x x a =<，若A B ⊆，则a 的取值范围为（ ） A ．2a ≥ B ．1a ≤C ．1a ≥D ．2a ≤【答案】A【解析】根据A B ⊆确定集合A 与集合B 区间端点的大小关系求解. 【详解】若A B ⊆，则只需满足2a ≥， 故选：A. 【点睛】本题考查利用集合间的关系求参数的取值范围，属于简单题.6．不等式组5511x x x m +<+⎧⎨->⎩的解集是{}1x x >，则m 的取值范围是（ ）A ．m 1≥B ．1mC ．0m ≥D ．0m ≤【解析】化简不等式组得到11x x m>⎧⎨>+⎩，结合不等式的解集，得出不等式11m +≤，求解即可得到m 的取值范围. 【详解】5511x x x m +<+⎧⎨->⎩,可化为11x x m >⎧⎨>+⎩ 因为不等式组5511x x x m +<+⎧⎨->⎩的解集是{}1x x >所以11m +≤，解得：0m ≤ 故选：D 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，属于基础题.7．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ） A ．62% B ．56% C ．46% D ．42%【答案】C【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅，然后根据积事件的概率公式()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+可得结果. 【详解】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅，则()0.6P A =，()0.82P B =，()0.96P A B +=，所以()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+0.60.820.960.46=+-= 所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%. 故选：C.本题考查了积事件的概率公式，属于基础题. 8．已知0,0x y >>，且21x y +=，则11x y+的最小值是（ ）A ．4B ．2+C ．2D ．3+【答案】D【解析】利用基本不等式计算可得； 【详解】解：因为0,0x y >>，且21x y +=，所以()1222131113y x x y x x x y y y ⎛⎫+=++=+++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当2y x x y =，即x =1y =时取等号，故选：D 【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题. 9．已知函数11y x x=++（0x <），则该函数的（ ）． A ．最小值为3 B ．最大值为3 C ．没有最小值 D ．最大值为1-【答案】D【解析】先由基本不等式得到12x x --≥，再转化得到111y x x=++≤-（0x <），最后判断选项即可. 【详解】解：因为0x <，所以0x ->，10x->，由基本不等式：1()()2x x-+-≥=， 当且仅当1x x-=-即1x =-时，取等号. 所以12x x --≥，即12x x +≤-，所以111y x x=++≤-（0x <），当且仅当1x x-=-即1x =-时，取等号. 故该函数的最大值为：1- 故选：D 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，是基础题.二、多选题10．下列四个不等式中，解集为∅的是（ ） A ．210x x -++≤ B ．22340x x -+<C ．23100x x ++≤ D ．2440(0)x x a a a ⎛⎫-+-+>> ⎪⎝⎭【答案】BCD【解析】根据题意，找到不等式对应的一元二次函数函数，再利用判别式判断其解集是否为空集即可. 【详解】对于A ，210x x -++≤对应函数21y x x =-++开口向下，显然解集不为∅； 对于B ，22340x x -+<，对应的函数开口向上，9320=-<，其解集为∅； 对于C ，23100x x ++≤，对应的函数开口向上9400=-<，其解集为∅； 对于D ，2440(0)x x a a a ⎛⎫-+-+>> ⎪⎝⎭对应的函数开口向下41641640a a ⎛⎫=-+≤-⨯= ⎪⎝⎭，其解集为∅；故选：BCD . 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法与应用问题，掌握一元二次不等式的解集与一元二次函数的性质之间的关系是解题的关键，属于基础题.11．已知集合{}2|1A y y x ==+，集合{}2(,)|1B x y y x ==+，下列关系正确的是（ ）． A ．(1,2)B ∈ B ．A B =C ．0A ∉D ．(0,0)B ∉【答案】ACD【解析】根据集合的定义判断，注意集合中代表元形式． 【详解】由已知集合{}1}[1,)A y y =≥=+∞，集合B 是由抛物线21y x =+上的点组成的集合， A 正确，B 错，C 正确，D 正确， 故选：ACD ． 【点睛】本题考查集合的概念，确定集合中的元素是解题关键．12．已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(,2)(3,)-∞-⋃+∞，则（ ） A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集是{|6}x x <-C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为11(,)(,)32-∞-⋃+∞【答案】ABD【解析】由20ax bx c ++>的解集为(,2)(3,)-∞-⋃+∞，可知0a >，-2和3是关于x 的方程20ax bx c ++=的两根，利用韦达定理可得,6b a c a =-=-，进而可判断选项B ，D 的正确性. 【详解】关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(,2)(3,)-∞-⋃+∞，0a ∴>，A 选项正确； 且-2和3是关于x 的方程20ax bx c ++=的两根，由韦达定理得2323b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，则,6b a c a =-=-，则60a b c a ++=-<，C 选项错误； 不等式0bx c +>即为60ax a -->，解得6x <-，B 选项正确；不等式20cx bx a -+<即为260ax ax a -++<，即2610x x -->，解得13x <-或12x >，D 选项正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解集，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于基础题目.三、填空题13．已知命题p ：a ≤x ≤a ＋1，命题q ：x 2－4x <0，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________． 【答案】()0,3【解析】化简命题q ，根据p 是q 的充分不必要条件，建立不等式组，即可求解. 【详解】令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |x 2－4x <0}＝{x |0<x <4}． ∵p 是q 的充分不必要条件，∴M ⫋N ，∴014a a >⎧⎨+<⎩，解得0<a <3.故填()0,3 【点睛】本题主要考查了充分不必要条件，属于中档题.14．已知命题“2,410x ax x ∀∈++>R ”是假命题，则实数a 的取值范围是_________________． 【答案】(,4]-∞【解析】当命题为真时，由0a >且0∆<可得4a >，故命题为假时，4a ≤，故实数a 的取值范围是(],4-∞．15．已知0x >，0y >，且3622x y+=．若247x y m m +>-成立，则m 的取值范围为________．【答案】(,3)(4,)-∞⋃+∞【解析】根据均值不等式的“1”的妙用得最值求解. 【详解】因为136132414(4)12(121222222y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当32x =，6y =时，取等号， 由题意得2127m m >-，解得4m >或3m <． 故得解.【点睛】本题考查均值不等式，属于中档题. 16．正实数,,a b c 满足11111,1a b a b c+=+=+，则实数c 的取值范围是__________. 【答案】4(1,]3【解析】利用均值不等式求()11a b a b ⎛⎫++⎪⎝⎭的范围从而求得+a b 的范围，由1a b +的范围及所给关系式即可求得c 的范围. 【详解】因为正实数,,a b c 满足11111,1a b a b c+=+=+，所以1c >，又()11224b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+=⎪⎝⎭，（当且仅当2a b ==时取等号）， 所以4a b +≥，则1104a b <≤+，11014c<-，解得 413c<. 故答案为：4(1,]3【点睛】本题考查基本不等式的应用、不等式的性质，属于中档题.四、解答题17．（1）已知0a b c >>>，试比较a c b-与b ca -的大小；（2）比较2253x x ++与242x x ++的大小. 【答案】（1）a cb cb a-->；（2）2222543x x x x ++++>. 【解析】（1）利用作差法可得出a c b-与b ca -的大小关系；（2）利用作差法可得出2253x x ++与242x x ++的大小关系. 【详解】（1）()()()()()()22a b c a b a a c b b c a b a b c a c b c b a ab ab ab-------+----===， 0a b c >>>，0a b ∴->，0a b c +->，0ab >，所以，0a c b c b a --->，因此，a c b cb a-->；（2）()()222213253102424x x x x x x x ⎛⎫++-=++=++ ⎪⎝⎭+>+， 因此，2222543x x x x ++++>. 【点睛】本题考查利用作差法比较代数式的大小关系，按照作差、因式分解、判断符号、下结论四个步骤进行，考查推理能力，属于基础题.18．已知集合{}12A x x =-≤<，集合{}1B x m x m =≤≤+. （1）当2m =-时，求()RA B ⋃；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()[)22-∞-⋃+∞，，；（2）{|11}m m -≤<【解析】（1）代入2m =-，确定集合{|21}B x x =-≤≤-，求解集合()RA B ⋃；（2）由B A ⊆，则有112m m ≥-⎧⎨+<⎩，求出m 的取值范围即可．【详解】（1）当2m =-时，{|21}B x x =-≤≤-，{|12}A x x =-≤<， ∴{|22}A B x x ⋃=-≤<， 所以()()[)22RA B ⋃=-∞-⋃+∞，， （2）B A ⊆，则有112m m ≥-⎧⎨+<⎩，所以11m -≤<实数m 取值范围是{|11}m m -≤<． 【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查集合间的关系，要注意对特殊的集合进行讨论，属于基础题.19．已知集合(){}(){}22116,880P x x Q x x a x a =->=+--≤.（1）求a 的取值范围，使它成为{}58P Q x x ⋂=<≤的充要条件； （2）求PQ .【答案】（1）[]5,3-；（2）答案见解析；【解析】（1）首先求出P ，由PQ ，得到{}|8Q x a x =-且53a a -≤⎧⎨-≥-⎩，解得即可；（2）对参数a 分类讨论，分别求出集合Q ，再根据交集的定义计算可得； 【详解】解：（1）因为(){}(){}22116,880P x x Q x x a x a =->=+--≤所以{|3P x x =<-或5}x >，()(){}80Q x x a x =+-≤ 因为{}58P Q x x ⋂=<≤ 所以{}|8Q x a x =-且53a a -≤⎧⎨-≥-⎩，解得53a -≤≤，所以当a 取值范围是区间[]5,3-时，就是{}58P Q x x ⋂=<≤的充要条件； （2）①当3a >时，{}8Q x a x =-≤≤，所以[)(],35,8P Q a =--②当53a -时，{}8Q x a x =-≤≤，所以(]5,8P Q = ③当85a -<-时，{}8Q x a x =-≤≤，所以[],8P Q a =-④当8a <-时，{}8Q x x a =≤≤-，所以[]8,P Q a =-【点睛】本题考查含参一元二次不等式的解法，以及交集的结果求参数的取值范围，考查分类讨论思想，属于中档题.20．已知m R ∈，命题:p 对[]0,1x ∀∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题[]:1,1q x ∃∈-，使得m x ≤成立.（1）若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）若命题p 和命题q 有且仅有一个为真，求m 的取值范围. 【答案】（1）[]1,2；（2）()(],11,2-∞【解析】（1）对任意[0x ∈，1]，不等式2223x m m --恒成立，2(22)3min x m m --．利用函数的单调性与不等式的解法即可得出．（2）存在[1x ∈-，1]，使得m x 成立，可得1m ，命题q 为真时，1m ．p ，q 中一个是真命题，一个是假命题，分类讨论分别计算再取并集． 【详解】解：（1）对任意[0x ∈，1]，不等式2223x m m --恒成立，2(22)3min x m m ∴--．即232m m --．解得12m ．因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[]1,2．（2）存在[1x ∈-，1]，使得m x 成立，1m ∴，所以命题q 为真时，1m ． p ，q 中一个是真命题，一个是假命题．当p 真q 假时，则121m m ⎧⎨>⎩解得12m <； 当p 假q 真时，121m m m ⎧⎨⎩或，即1m <． ∴实数m 的取值范围是()(],11,2-∞．【点睛】 本题考查了函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（1）设0x ≥，求函数()()231x x y x ++=+的最小值. （2）若关于x 的不等式()2221x ax -<的解集中整数恰好有3个，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3； （2）2549(,]916. 【解析】（1）化简函数()()232(1)311x x y x x x ++==+++++，集合基本不等式，即可求解；（2）由不等式()2221x ax -<，化为2(4)410a x x --+<，得到40a ∆=>且40a ->，结合一元二次不等式的解法，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()()223562(1)3111x x x x y x x x x ++++===++++++ 因为0x ≥，可得11x +≥，则2(1)3331x x +++≥=+，当且仅当211xx+=+时，即21x=-时等号成立，所以函数()()231x xyx++=+的最小值223+.（2）由题意，不等式()2221x ax-<，即2(4)410a x x--+<，其中40a∆=>且40a->，解得04a<<，可得不等式的解集为22xa a<<+-，由11422a<<+，可得解集中一定含有整数1,2,3，可得342a<≤-，所以5374aa⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得2549916a<≤，即实数a的取值范围是2549(,]916.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值，以及含有参数的一元二次不等式的解集的应用，其中解答中根据函数的解析式构造基本不等式的条件，以及判定得出>0∆且40a->，结合不等式的解法，列出不等式组是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 22．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形1111DCBA的休闲区和环公园人行道（阴影部分）组成．已知休闲区1111DCBA的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米（如图）．（1）若设休闲区的长和宽的比1111(1)A Bx xB C=>，求公园ABCD所占面积S关于x的函数()S x的解析式；（2）要使公园所占面积最小，则休闲区1111DCBA的长和宽该如何设计？【答案】（1）80000()41608(0)S x x xx=++>；（2）长100米、宽为40米.【解析】【详解】(1)设休闲区的宽为a米，则长为ax米，由a2x＝4000，得a.则S(x)＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160＝4000＋(8x＋＋160＝＋4160(x>1)．)＋4160＝1600＋4160＝5760.当且仅当x＝2.5时，等号成立，此时a＝40，ax＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米．。
江苏省扬州大学附属中学东部分校2020-2021学年高一第一学期第二次模块学习效果调查数学试题
扬大附中东部分校2020-2021学年第一学期第二次模块学习效果调查高一年级数学学科试题(本卷满分:150分;考试时间:120分钟)一､单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若{|A y y =,{|B x y ==,则()A.A B =B.A B ⋂=∅C.A B ⊆D.B A ⊆2.已知扇形的周长为8cm,圆心角为2,则扇形的面积为()A.1B.2C.4D.53.若2a log m =,5a log n =,则3m m a -=()A.11B.13C.30D.40 4.已知幂函数()()22322n n f X n n x -=+-⋅在()0,+∞上是减函数,则n 的值为()A.-3B.1C.3D.1或-3 5.已知3a sin =,31log 2b =,0.53c =,则a,b,c 的大小关系是() A.a b c << B.a c b <<C.b a c <<D.b c a << 6.已知cos ,0()2(1)1,0x x f x f x x π⎧≤⎪=⎨⎪-+>⎩,则()()2f =-∞ A.2 B.12- C.-3 D.37.设tana=3,则sin()cos()sin()cos()22a a a a ππππ-+-=-++() A.103 B.53 C.3 D.28.定义在R 上的偶函数f(x)满足:对任意的1x ,(]()212,0x x x ∈-∞≠,有()()21210f x f x x x -<-,且()20f =,则不等式()()205f x f x x +-<解集是()A.()(),22,-∞-⋃+∞B.()(),20,2-∞-⋃C.()()2,02,-⋃+∞D.()()2,00,2-⋃ 二､多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.若α是第二象限的角,则下列各式中成立的是()A.sin tan cos ααα=- sin cos αα=-C.cos α=sin cos αα=+ 10.下列函数中,既是偶函数又是区间()1,+∞上的增函数有()A.||13x y -=B.()ln 1ln(1)y x x =++-C.22y x =+D.221y x x=+ 11.下列叙述中正确的是()A.函数()41f x x x =++的最小值是3 B.“B =∅"是"A B B ⋂=”的充分不必要条件C.在ABC 中,“222AB AC BC +=”是“ABC ∆为直角三角形”的充要条件D.若函数2(21)1,0()(2),0b x b x f x x b x x -+->⎧=⎨-+-≤⎩在R 上为增函数，则实数b 的取值范围是[1,2] 12.下列有关说法正确的是() A.当0x >时,12lgx lgx +; B.若22a b c c>,则22a c b c ->- C.函数()2f x =的最小值为2D.若()321log a b +=+则2a b +的最小值为3三､填空题(每小题5分共4小题20分,其中15题第一空3分,第二空2分.13.若5613sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则3cos πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________. 14.若函数()f x 是定义R 上的周期为2的奇函数,当01x <<时,()4x f x =,则()522f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭________.15.函数12y log =________.值单调递增区间为________.16.下列命题中所有正确的序号是________.①函数()()131x f x a a -=+>在R 上是增函数;②函数()1f x -的定义域是()1,3,则函数()f x 的定义域为()2,4;③已知()538f x x ax bx =++-,且()28f -=,则()28f =-; ④()11122x f x =--为奇函数 ⑤函数()216f x x =-值域为[]0,4四､解答题(本题共6小题,共70分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤)17.(本题满分10分)计算下列各式:(1))2034181251617lg lg -⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭; (2)252525634sincos tan πππ⎛⎫++- ⎪⎝⎭.18.(本题满分12分) 已知命题p:“方程210x mx -+=有两个不相等的实根”,命题p 是真命题.(1)求实数m 的取值集合M;(2)设不等式()()40x a x a ---<的解集为N,若x N ∈是x M ∈的充分条件,求a 的取值范围.19.(本题满分12分)已知()()()()()()223sin cos tan f sin tan παπαπαπααπα-⋅-⋅-+=-+⋅-+(1)化简()f α;(2)若()18f α=,且42ππα<<,求cos sin αα-的值.20.(本题满分12分)已知函数()|23|4f x x x =--+.(1)求不等式()6f x 的解集M;(2)若t 为集合M 中的最大元素,且()110,02t a b a b +=>>,求92a b +的最小值.21.(本题满分12分)某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可以近似地表示为: 2221805040,[20,144)3120080000,[144,500)2x x x x y x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪--∈⎪⎩ 且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元,若该项目不获利,政府将给予补贴.(1)当[]200,300x ∈时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润:如果不获利,则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损?(2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?22.(本题满分12分)已知二次函数()y f x =的图象与直线1y =-只有一个交点,满足()00f =且函数()1f x +是偶函数.(1)求二次函数()y f x =的解析式;()若对任意()21,8,304f log x m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立,求实数m 的取值范围; (3)若函数()()727x x f g x +=与()2742x h x t t =⋅+-的图象有且只有一个公共点,求实数t 的取值范围.。
江苏省扬州市扬州大学附属中学2020-2021学年第一学期期中考试高一数学(无答案)
江苏省扬州市扬州大学附属中学2020-2021学年第一学期期中考试高一数学（本卷满分：150分 考试时间：120分钟）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1、已知集合{}{}A n n x x B A ∈==--=,,4,1,2,32，则=B A （ ） A 、{}16,9 B 、{}3,2 C 、{}4,1 D 、{}2,12、设R c a b ∈>>,0，下列不等式中正确的是（ ）A 、22bc ac <B 、a b >C 、a b 11>D 、bc a c > 3、函数142+=x x y 的图象大致为（ ） A 、B 、C 、D 、 4、若2log 3=a ，则a a -+33的值为（ ）A 、3B 、4C 、23 D 、25 5、下列函数: ①12+=x y ；②(]2,2,2-∈=x x y ；③11-++=x x y ；④()21-=x y . 其中是偶函数的有（ ）A 、①B 、①③C 、①②D 、②④ 6、狄利克雷是德国著名数学家，函数()1,0,R x Q D x x Q ∈⎧=⎨∈⎩被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数()x D 的结论中，正确的是（ ）A 、()x D 是奇函数B 、若x 是无理数，则()()0=x D DC 、函数()xD 的值域是[]1,0 D 、若0≠T 且T 为有理数，则()()x D T x D =+对任意的R x ∈恒成立7、若定义运算⎩⎨⎧<≥=*ba ab a b b a ,,，则函数()()()2422+-*+--=x x x x g 的值域为（ ） A 、(]4,∞- B 、(]2,∞- C 、[)+∞,1 D 、()4,∞-8、已知()()11log 2log 22=-+-b a ，则b a +2取到最小值时，b a 2+的值为（ ）A 、223+B 、9C 、8D 、215 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9、在区间()+∞,0上是单调递增函数的是（ ）A 、12+=x yB 、1-=x yC 、xy 2-= D 、122+-=x x y 10、若2,0,0=+>>b a b a ，则下列不等式正确的有（ ）A 、1≥abB 、2≤+b a C 、222≥+b a D 、211≥+ba 11、下列说法正确的是（ ）A 、命题“1,2->∈∀x R x ”的否定是“1,2-<∈∃x R x ”B 、“22y x >”是“y x >”的既不充分也不必要条件C 、已知函数()x f 是R 上的偶函数，若R x x ∈21,，则“()()021=-x f x f ”是“021=+x x ”的必要不充分条件D 、设()()+∞∈,11,0, b a ，则“b a =”是“a b b a log log =”的充分不必要条件12、下列结论正确的是（ ）A 、函数()x f y =的定义域为[]3,1，则函数()12+=x f y 的定义域为[]1,0B 、函数()x f 的值域为[]2,1，则函数()1+x f 的值域为[]3,2C 、若函数42++-=ax x y 有两个零点，一个大于2，另一个小于-1，则a 的取值范围是()3,0D 、已知函数()R x x x x f ∈+=,32，若方程()01=--x a x f 恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为()()+∞,91,0三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=1,311,2x xx x x x f ，则()()2f f 的值为 . 14、已知函数()13++=xa x x f ，若()62020=-f ，则()=2020f . 15、若m x x ≥++1422恒成立，则实数m 的取值范围是 . 16、已知函数()x f 是定义在R 上的奇函数，且()01=-f ，若对任意()0,,21∞-∈x x ，且21x x ≠，都有()()0212211>--x x x f x x f x 成立，则不等式()0<x f 的解集为 .四、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（本题满分10分）计算:（1）()202143325.08116--+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--π； （2）()01.0lg 20lg 5lg 2lg 2+⨯+.18、（本题满分12分）已知集合()(){}{}132,033+≤≤-=≤-+=m x m x B x x x A .（1）当1-=m 时，求B A ；（2）若B B A = ，求m 的取值范围.19、（本题满分12分）已知R a ∈，命题:p “[]0,2,12≤-∈∀a x x ”，命题:q “022,2=-++∈∃a ax x R x ”. （1）若命题p 是真命题，求实数a 的取值范围；（2）若q p 、有且只有一个真命题，求实数a 的取值范围.20、（本题满分12分）由于疫情影响，某公司欲定期租借某种型号快艇向距离码头50海里的小岛A 运送物资，经调查发现: 该型号快艇每小时花费的燃料费y 与快艇航行速度v 的平方成正比，比例系数为k ，快艇的最大速度为15海里/小时，当快艇速度为10海里/小时，它的燃料费是每小时48元，其余航运费用（不论速度如何）总计是每小时75元. 假定航行过程中快艇总以速度v 匀速航行.（1）求k 的值；（2）求租一艘快艇运送一次物资的总费用W （往返的燃料费+航运费用）的最小值.21、（本题满分12分）已知函数()432++=ax b x x f 是定义在()2,2-上的偶函数，且()531=f . （1）求b a ,的值；（2）判断函数()x f 在区间()2,0上的单调性，并证明；（3）解不等式()()2212->+m f m f .23、（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，对于点()b a A ,，若函数()x f y =满足:[]1,1+-∈∀a a x ，都有[]1,1+-∈b b y ，则称这个函数是点A 的“界函数”.（1）若函数x y =是点()b a A ,的“界函数”，求b a ,需满足的关系；（2）若点()n m B ,在函数221x y -=的图象上，是否存在m 使得函数221x y -=是点B 的“界函数”? 若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.。
2020-2021学年江苏省扬州大学附中东部分校高一(下)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年江苏省扬州大学附中东部分校高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知直线l，m和平面θ，下列命题中正确的是()A. 若l//θ，m⊂θ，则l//mB. 若l//θ，m//θ，l//mC. 若l//m，m⊂θ，则l//θD. 若l//m，l//θ，则m//θ或m⊂θ2.下列命题中是假命题的是()A. 自然数集是非负整数集B. 复数集与实数集的交集是实数集C. 实数集与虚数集的交集{0}D. 纯虚数集与实数集的交集为空集3.若三条线段的长为5、6、7，则用这三条线段()A. 能组成直角三角形B. 能组成锐角三角形C. 能组成钝角三角形D. 不能组成三角形4.设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=3+4i，则z1z2=()A. 25B. −25C. 7−24iD. −7−24i5.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，O为上底面A1B1C1D1的中心，直线OC与平面ABCD所成角的正切值等于()A. 2B. √2C. √3D. 126.若θ∈[π4,π2]，sin2θ=3√78，则sinθ=()A. 35B. 45C. √74D. 347.已知向量a⃗与b⃗ 的夹角为θ，定义a⃗×b⃗ 为a⃗与b⃗ 的“向量积”，且a⃗×b⃗ 是一个向量，它的长度|a⃗×b⃗ |=|a⃗||b⃗ |sinθ，若u⃗=(2,0)，u⃗−v⃗=(1,−√3)，则|u⃗×(u⃗+v⃗ )|= ()8. 已知ΔABC 中，sinA +2sinBcosC =0，则tanA 的最大值是( )A. √33B. 2√33C. √3D. 4√33二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 利用斜二测画法得到的下列结论中正确的是( )A. 三角形的直观图是三角形B. 正方形的直观图是正方形C. 菱形的直观图是菱形D. 平行四边形的直观图是平行四边形10. 下列命题中，错误的是( )A. 若z 1，z 2∈C ，且z 1−z 2<0，则z 1<z 2B. 若x +yi =1+i(x,y ∈C)，则x =y =1C. 若z =a +bi(a,b ∈R)则当且仅当a =0且b =0时，z =0D. 若z 1，z 2∈C ，且z 12+z 22=0，则z 1=z 2=011. 关于平面向量a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ ，下列说法中不正确的是( )A. 若a ⃗ //b ⃗ 且b ⃗ //c ⃗ ，则a⃗ //c ⃗ B. (a ⃗ +b ⃗ )⋅c ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ +b ⃗ ⋅c ⃗C. 若a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ ，且a ⃗ ≠0⃗ ，则b ⃗ =c ⃗D. (a ⃗ ⋅b ⃗ )⋅c ⃗ =a ⃗ ⋅(b ⃗ ⋅c ⃗ )12. 如图，在四边形ABCD 中，AB//CD ，AB ⊥AD ，AB =2AD =2DC ，E 为BC 边上一点，且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，F 为AE 的中点，则( ) A. BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知cos(x +y)=513，cosy =45，x ，y 均为锐角，则sinx = ______ ．14. 已知正三角形ABC 的边长为3，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =______．15.如图，中国象棋的左半个棋盘上有一只“马”，开始下棋时，它位于点A，这只“马”第一步有______ 种可能的走法，______ (填“能”或“否”)从任一交叉点出发，走到棋盘上的其他任何一个交叉点．16.复数z=sin2θ+i(cos2θ−1)是纯虚数，则θ=______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在①cosA=35，cosC=2√55，②csinC=sinA+bsinB，B=60°，③c=2，cosA=18三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，_______，求△ABC的面积S．18.已知m∈R，复数z=2m2+m−3m+3+(m2−3m−18)i．(1)当m为何值时，复数z为实数？(2)当m为何值时，复数z为虚数？(3)当m为何值时，复数z为纯虚数？19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，AB//CD ，AB ⊥AD ，CD =2AB ，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD.E 和F 分别是CD 和PC 的中点，求证： (Ⅰ)PA ⊥底面ABCD ； (Ⅱ)BE//平面PAD ； (Ⅲ)平面BEF ⊥平面PCD ．20. 已知A(−2,1)，B(2,−2)，C(−3,−5)，D(3,3)．(1)求证：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ；(2)求AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影向量； (3)求由这四个点作为顶点的四边形的面积．21. 已知向量m⃗⃗⃗ =(√3sin x4,1)，n ⃗ =(cos x4,cos 2x4)，记f(x)=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ． π(Ⅱ)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a−c)cosB=bcosC，求f(2A)的取值范围．22.如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC，设∠AOB=α(0<α<π)．(1)当α为何值时，四边形OACB面积最大，最大值为多少；(2)当α为何值时，OC长最大，最大值为多少．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A：若l//θ，m⊂θ，则l//m或异面，∴A错误，B：若l//θ，m//θ，则l与m相交，异面或平行，∴B错误，C：若l//m，m⊂θ，则l//θ或l⊂θ，∴C错误，D：若l//m，l//θ，则m//θ或m⊂θ，∴D正确．故选：D．利用线线平行、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别判断各选项即可．本题考查了线线平行、线面平行的性质定理和判定定理的运用，熟练掌握定理是关键，属基础题．2.【答案】C【解析】解：自然数集是非负整数集，故A是真命题；实数集是复数集的子集，故复数集与实数集的交集是实数集，故B是真命题；实数集与虚数集无公共元素，故实数集与虚数集的交集为空集，故C是假命题；纯虚数集与实数集公共元素，故纯虚数集与实数集的交集为空集，故D是真命题故选：C．根据自然数集，复数集，实数集，虚数集，纯虚数集元素的特征，逐一分析四个答案的真假，可得结论．本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，本题综合性强，但难度不大，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：∵三条线段的长为5、6、7，∴满足任意两边之和大于第三边，∴能构成三角形，可排除D；设此三角形最大角为A，∵52+62−72=25+36−49=12>0，∴cosA>0，故选B．利用余弦定理可判断最大角，从而可得答案．本题考查三角形的形状判断，着重考查余弦定理的应用，属于中档题．4.【答案】A【解析】解：∵z1=3+4i，且复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，∴z2=3−4i，则z1z2=(3+4i)(3−4i)=32−(4i)2=9+16=25，故选：A．由已知求得z2，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．5.【答案】B【解析】解：如图，过O点作OE⊥面ABCD，垂足为E，则E为底面ABCD的中心，连接EC，则∠OCE为直线OC与平面ABCD所成角，设正方体的棱长为2，在Rt△OEC中，OE=2，CE=12AC=12√22+22=√2，∴tan∠OCE=OECE=√2．故选：B．由正方体的结构特征，过O点作OE⊥面ABCD，垂足为E，则∠OCE为直线OC与平面ABCD所成角，解Rt△OEC即可得到答案．本题考查的知识点是直线与平面所成的角，根据正方体的几何特征，做出直线与平面所成的角是解答本题的关键，属基础题．6.【答案】D【解析】解：由θ∈[π4,π2]，得2θ∈[π2,π]，又sin2θ=3√78，∴cos2θ=−√1−sin 22θ=−√1−(3√78)2=−18，∵cos2θ=1−2sin 2θ，sinθ>0， ∴sinθ=√1−cos2θ2=√1+182=34，故选：D ．由θ的范围求出2θ的范围，再由平方关系求出cos2θ，根据倍角的余弦公式变形求出sinθ的值．本题考查了平方关系和倍角的余弦公式的应用，注意角的范围确定，以及三角函数值的符号问题，是中档题．7.【答案】D【解析】解：由题意v ⃗ =u ⃗ −(u ⃗ −v ⃗ )=(1,√3)， 则u ⃗ +v ⃗ =(3,√3)，∴(u ⃗ +v ⃗ )⋅u ⃗ =6，|u ⃗ +v ⃗ |=√32+(√3)2=2√3，|u ⃗ |=2． ∴cos <u ⃗ ,u ⃗ +v ⃗ >=u ⃗⃗ ⋅(u ⃗⃗ +v ⃗ )|u ⃗⃗ | |u ⃗⃗ +v ⃗ |=2×2√3=√32． 即cos <u ⃗ ,u ⃗ +v ⃗ >=√32，得sin <u ⃗ ,u ⃗ +v ⃗ >=12， 由定义知|u⃗ ×(u ⃗ +v)⃗⃗⃗⃗ |=|u ⃗ |⋅|u ⃗ +v ⃗ |sin <u ⃗ ,u ⃗ +v ⃗ >=2×2√3×12=2√3， 故选：D ．利用数量积运算和向量的夹角公式可得cos <u ⃗ ,u ⃗ +v ⃗ >=u ⃗⃗ ⋅(u ⃗⃗ +v ⃗ )|u ⃗⃗ | |u ⃗⃗ +v ⃗ |.再利用平方关系可得sin <u ⃗ ,u ⃗ +v ⃗ >，利用新定义即可得出．本题考查了数量积运算、向量的夹角公式、三角函数的平方关系、新定义，考查了计算能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、诱导公式、和差公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．sinA +2sinBcosC =0，利用三角形内角和定理与诱导公式可得：sin(B +C)+2sinBcosC =0，展开化为：3sinBcosC +cosBsinC =0，cosC ≠0，cosB ≠0， 因此3tanB =−tanC.可得：B 为锐角，C 为钝角．tanA =−tan(B +C)展开代入利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：∵sinA +2sinBcosC =0，∴sin(B +C)+2sinBcosC =0， ∴3sinBcosC +cosBsinC =0，cosC ≠0，cosB ≠0． 化为3tanB =−tanC ，∵sinA +2sinBcosC =0，，，，可得：A ，B 为锐角，C 为钝角，∴tanA =−tan(B +C)=−tanB +tanC1−tanBtanC=−(tanB −3tanB)1+3tan 2B=21tanB+3tanB ≤2√3=√33，当且仅当tanB=√33时取等号． ∴tanA 的最大值是√33．故选：A ．9.【答案】AD【解析】解：根据斜二测画法的规则可知，平行于坐标轴的直线平行性不变，平行x 轴的线段长度不变，平行于y 轴的长度减半，对于A ，三角形的直观图中，三角形的高与底边的夹角为45°或135°，长度减少为原来的一半，依然是三角形，所以A 正确；对于B ，正方形中的直角，在直观图中变为45°或135°角，不是正方形，故B 错误； 对于C ，菱形的对角线垂直平分，在直观图中对角线的夹角变为45°，所以菱形的直观图不是菱形，故C 错误．对于D ，根据平行性不变知，平行四边形的直观图还是平行四边形，故D 正确．根据平面图形直观图的画法规则，判断命题的正误即可． 本题考查了对斜二测画法的理解与应用问题，属于基础题．10.【答案】ABD【解析】解：对于A ，若z 1，z 2∈C ，当z 1=i ，z 2=1+i 时，z 1−z 2=−1<0， 但z 1，z 2是两个虚数，不能比较大小，故A 错误；对于B ，若x +yi =1+i(x,y ∈C)，则x =y =1，是假命题，如x =i ，y =−i ，故B 错误；对于C ，若z =a +bi(a ∈R,b ∈R)，则当且仅当a =0且b =0时，z =0，故C 正确；对于D ，若z 1，z 2∈C ，且z 12+z 22=0，则z 1=z 2=0，是假命题，如z 1=i ，z 2=1，故D 错误． 故选：ABD ．举例说明A ，B ，D 为假命题；利用复数相等的概念说明C 是真命题． 本题考查命题的真假判断，复数相等和复数的运算，属于基础题．11.【答案】ACD【解析】解：对于A ，若b ⃗ =0⃗ ，因为0⃗ 与任意向量平行，所以a ⃗ 不一定与c ⃗ 平行，故A 错； 对于B ，向量数量积满足分配律，故B 对； 对于C ，向量数量积不满足消去率，故C 错；对于D ，(a ⃗ ⋅b ⃗ )⋅c ⃗ 是以c ⃗ 为方向的向量，a ⃗ ⋅(b ⃗ ⋅c ⃗ )是以a ⃗ 为方向的向量，故D 错． 故选：ACD ．利用向量数量积所具备的相关性质逐一进行判断即可．本题考查命题真假性的判断，掌握向量的相关性质即可，属于基础题．12.【答案】ABC【解析】解：由AB =2AD =2DC 知： ∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BC⃗⃗⃗⃗⃗ =−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +1AB ⃗⃗⃗⃗⃗=−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故A 选项正确．又∵AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12×23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故B 选项正确．∵BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故C 正确．∵CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， D 不正确． 故选：ABC ．利用向量的加法法则，先用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，进而表示出AF ⃗⃗⃗⃗⃗ , BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 和CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 本题考查向量的加法法则的合理运用，解题时要注意向量间的关系以及转化的思想．13.【答案】3365【解析】解：sinx =sin(x +y −y)=sin(x +y)cosy −cos(x +y)siny ， ∵x ，y 均为锐角，∴x +y ∈(0,π)， ∵cos(x +y)=513，∴sin(x +y)=√1−cos 2(x +y)=1213， ∵cosy =45，∴siny =√1−cos 2y =35， ∴sinx =1213⋅45−513⋅35=3365． 故答案为：3365．利用sinx =sin(x +y −y)，展开，分别求出sin(x +y)，sin y 代入sin x 中求解即可． 本题考查了三角恒等变换求值，考查了转化思想，属于中档题．14.【答案】−72【解析】解：正三角形ABC 的边长为3，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FA⃗⃗⃗⃗⃗ ， 可得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =19AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+29AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +49AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =19×3×3×(−12)−29×32+29×3×3×12−49×3×3×12=−72．故答案为：−72．利用已知条件求出数量积中的两个向量，然后利用向量的数量积的运算法则求解即可． 本题考查向量的数量积的应用，是基础题．15.【答案】3 能【解析】解：由马走“日”可知，若马从A 出发，可到A 1，A 2，A 3任意一点，共3种可能走法；要判断能否从任一交叉点出发，走到棋盘上的其他任何一个交叉点，只需判断能否从该交叉点走到相邻点即可，如图，若从A 出发，则可通过先到A 2，再到A 4，再到B ，说明可以走到相邻的点， 故能从任一交叉点出发，走到棋盘上的其他任何一个交叉点． 故答案为：3；能．由中国象棋中马的走法规则可知共3种走法，而要判断能否从任一交叉点出发，走到棋盘上的其他任何一个交叉点，只需判断能否从该交叉点走到相邻点即可，由此容易得出结论．本题以中国象棋为背景，考查简单的合情推理，属于基础题．16.【答案】kπ+π2 , k ∈Z【解析】解：∵复数z =sin2θ+i(cos2θ−1)是纯虚数， ∴sn2θ=0，cos2θ−1≠0， ∴2θ=kπ，2θ=2kπ，k ∈z ∴2θ=2kπ+π，θ=kπ+π2, k ∈Z 故答案为：kπ+π2, k ∈Z根据所给的复数是一个纯虚数，得到实部为0，且虚部不为0，得到关于角θ的正弦和余弦的要求，可解结果．本题考查复数的基本概念，考查三角函数的有值求角的化简求值，本题解题的关键是对于得到的三角函数式，一个是等式，另一个是不等式，注意对角的要求，本题是一个基础题．17.【答案】解：选①∵cosA =35，cosC =2√55，∴sinA =45，sinC =√55，∴sinB =sin(A +C)=sinAcosC +cosAsinC =45×2√55+35×√55=11√525， 由正弦定理得b =asinB sinA =3×11√52545=33√520， ∴S =12absinC =12×3×33√520×√55=9940．选②∵csinC =sinA +bsinB ， ∴由正弦定理得c 2=a +b 2． ∵a =3，∴b 2=c 2−3． 又∵B =60°，∴b 2=c 2+9−2×3×c ×12=c 2−3， ∴c =4，∴S =12acsinB =3√3． 选③∵c =2，cosA =18， ∴由余弦定理得18=b 2+22−322b×2，即b 2−b2−5=0，解得b =52或b =−2(舍去)． 又sinA =3√78， ∴△ABC 的面积S =12bcsinA =12×52×2×3√78=15√716．【解析】选①时，利用三角形的内角和定理与正弦定理，即可求得三角形的面积． 选②时，利用正弦、余弦定理，也可以求出三角形的面积． 选③时，利用余弦定理求出b ，再计算△ABC 的面积．本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：(1)若复数z 为实数，则虚部为0，即m 2−3m −18=0，解得m =6或m =−3，又当m =−3时，实部没有意义，故m =6；(2)若复数z 为虚数，则虚部不为0，即m 2−3m −18≠0，解得m ≠−3且m ≠6； (3)若复数z 为纯虚数，则实部为0，且虚部不为0，即{2m 2+m−3m+3=0m 2−3m −18≠0，解得m =1或m =−32．【解析】(1)若复数z 为实数，则虚部为0，由此可求得m 的值； (2)若复数z 为虚数，则虚部不为0，由此可求得m 的值；(3)若复数z 为纯虚数，则实部为0，且虚部不为0，由此可求得m 的值． 本题考查复数的有关概念，考查运算求解能力，属于基础题．19.【答案】解：(Ⅰ)∵PA ⊥AD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，由平面和平面垂直的性质定理可得PA ⊥平面ABCD ．(Ⅱ)∵AB//CD ，AB ⊥AD ，CD =2AB ，E 和F 分别是CD 和PC 的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE//AD ．又AD ⊂平面PAD ，BE 不在平面PAD 内，故有BE//平面PAD ．(Ⅲ)平行四边形ABED 中，由AB ⊥AD 可得，ABED 为矩形，故有BE ⊥CD ①． 由PA ⊥平面ABCD ，可得PA ⊥AB ，再由AB ⊥AD 可得AB ⊥平面PAD ， ∴CD ⊥平面PAD ，故有CD ⊥PD ．再由E 、F 分别为CD 和PC 的中点，可得EF//PD ， ∴CD ⊥EF ②．而EF 和BE 是平面BEF 内的两条相交直线，故有CD ⊥平面BEF ． 由于CD ⊂平面PCD ，∴平面BEF ⊥平面PCD ．【解析】(Ⅰ)根据条件，利用平面和平面垂直的性质定理可得PA ⊥平面ABCD ． (Ⅱ)根据已知条件判断ABED 为平行四边形，故有BE//AD ，再利用直线和平面平行的判定定理证得BE//平面PAD ．(Ⅲ)先证明ABED 为矩形，可得BE ⊥CD ①.现证CD ⊥平面PAD ，可得CD ⊥PD ，再由三角形中位线的性质可得EF//PD ，从而证得CD ⊥EF ②.结合①②利用直线和平面垂直的判定定理证得CD ⊥平面BEF ，再由平面和平面垂直的判定定理 证得平面BEF ⊥平面PCD ．本题主要考查直线和平面垂直的判定定理，直线和平面平行的判定定理，平面和平面垂直的判定定理、性质定理的应用，属于中档题．20.【答案】解：(1)证明：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2)−(−2,1)=(4,−3)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,3)−(−3,−5)=(6,8)． ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4×6−3×8=0，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ． (2)AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,3)−(−2,1)=(5,2)， AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4×5−3×2=14，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗|=√42+(−3)2=5， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影向量=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=14(4,−3)25=(5625,−4225). (3)|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5，|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√62+82=10， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴由这四个点作为顶点的四边形的面积S =12×|AB ⃗⃗⃗⃗⃗|×|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12×5×10=25．【解析】(1)只要证明AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即可得出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ． (2)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影向量=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |． (3)根据AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得由这四个点作为顶点的四边形的面积S =12×|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |. 本题考查了向量的有关计算、数量积运算性质、投影向量、四边形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．21.【答案】解：(Ⅰ)向量m ⃗⃗⃗ =(√3sin x4,1)，n ⃗ =(cos x4,cos 2x4)，记f(x)=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =√3sin x4cos x4+cos 2x4=√32sin x 2+12cos x 2+12=sin(x 2+π6)+12，因为f(x)=1，所以sin(x2+π6)=12， 所以cos(x +π3)=1−2sin 2(x2+π6)=12，(Ⅱ)因为(2a −c)cosB =bcosC ，由正弦定理得(2sinA −sinC)cosB =sinBcosC 所以2sinAcosB −sinCcosB =sinBcosC 所以2sinAcosB =sin(B +C)=sinA ，sinA ≠0， 所以cosB =12，又0<B <π2，所以B =π3， 则A +C =2π3，即A =2π3−C ，又0<C <π2，则π6<A <π2，得π3<A +π6<2π3，所以√32<sin(A +π6)≤1，又f(2A)=sin(A +π6)+12，所以f(2A)的取值范围(√3+12,32].【解析】(Ⅰ)利用向量的数量积公式求出f(x)的解析式，然后求值；(Ⅱ)由正弦定理将边角的混合等式化为角的等式，利用三角函数公式化简求出角A 的范围，然后求三角函数值的范围．本题考查了向量的数量积运算以及利用正弦定理以及化简三角函数式、解三角形；角的范围的确定是关键．22.【答案】解：(1)由题意，在△OAB 中，AB 2=5−4cosα，三角形S △AOB =sinα，三角形S △ABC =√34AB 2=54√3−√3cosα四边形OABC的面积为S=S△AOB+S△ABC=2sin(α−π3)+54√3．∵0<α<π，∴当α−π3=π2，即α=56π时，四边形OABC的面积最大，故得当α=56π，四边形OABC的面积最大且最大值为2+54√3．(2)△OAB中，sin∠OAB=OBsin∠AOBAB =√5−4cosα∴cos∠OAB=√1−sin2∠OAB=2−cosα√5−4cosα∴cos∠OAC=cos(∠OAB+60°)=√3sinα2√5−4cosα．△OAC中，OC2=OA2+AC2−2OA⋅AC⋅cos∠OAC=2√3sinα−2cosα+5即OC=√4sin(α−π6)+5(α∈(0,π))∵α−π6∈(−π6,5π6)，∴α−π6=π2，即α=23π时，OC有最大值．故得当α=23π时，OC有最大值3．【解析】(1)OA=2，B为半圆上任意一点，那么△OAB是直角三角形，AB2=5−4cosα.三角形S△AOB=sinα，三角形S△ABC=√34AB2=54√3−√3cosα，两个三角之和，可得四边形OACB面积，利用三角函数的有界限，即可求解最大值．(2)在△OAB中，利用正弦定理，把OC用三角函数关系式表示出来，利用三角函数的有界限，即可求解最大值．本题考查三角函数的有界性，考查转化思想以及计算能力．属于中档题．。
扬州2020—2021学年度第一学期期中检测试题
x 1.1⎩ <⎛2 ⎪2020—2021 学年度第一学期期中检测试题高三数学一、单项选择题∶本大题共8 小题，每小题5 分，共计40 分.（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数z 满足(1 - i)z= 2 ，i 为虚数单位，则z 等于（）A.1 - iB.1 + iC.1-1i2 2D.1+1i2 22.已知集合A ={x (x +1)(x -2)≤ 0}，B ={x < 2}，则A B =（）A. [-1, 0]B. [0,1]C. (0, 2]D. [0, 2]3.已知a = log 0.9 ，b = 0.91.1 ，c = 1.10.9 ，则a, b, c 的大小关系为（）A.a <b <c⎧x - 5,B.a <c <bx ≥ 6C.b <a <cD.b <c <a4.已知函数f (x )=⎨f (x + 2)+1,，则f (5)的值为（）x 6A.2B.3C.4D.55.函数f (x ) = cos x -⎝π⎫⋅ln (e x⎭+e -x)的图象大致为（）6.在△ABC 中，内角A, B, C 的对边分别为a, b, c ，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A. a = 8, b=10, A = 45︒B. a = 60, b= 81, B = 60︒C, a = 7, b= 5, A = 80︒ D. a =14, b= 20, A = 45︒7.我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”这可视为中国古代极限思想的佳作.割圆术可以视为将一个圆内接正n 边形等分成n 个等腰三角形（如图所示），当n 变3 得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，可得到sin 2︒ 的近似值为（）（π 取近似值 3.14） A.0.035B.0.026C.0.018D.0.0338.已知一个球的半径为 3，则该球内接正六棱锥的体积的最大值为（）A.10B.27 3 2C.16D.35 3 2二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分） 9.下列命题中正确的是（）A.命题“ ∀x ∈ R , sin x ≤ 1”的否定是“ ∃x ∈ R , sin x > 1”B.“ a > 1”是“ 1< 1”的充分不必要条件aC.在△ABC 中，内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ，若 a 2 + b 2 > c 2 ，则△ABC 为锐角三角形D.在△ABC 中，内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ，若sin 2A = sin 2B ，则 A = B10.若函数 f (x ) = sin 2x 的图象向右平移π个单位得到的图象对应的函数为 g (x )，则下列说法中正确的是（）6A. g (x )的图象关于 x = 5π对称B.当 x ∈ ⎡0,π⎤时， g (x )的值域为 ⎡- , 3 ⎤12 ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎢ 2 2 ⎥ ⎣ ⎦C. g (x )在区间⎛ 5 π, 11π⎫上单调递减 D.当 x ∈[0,π]时，方程 g (x ) = 0 有 3 个根 12 12 ⎪ ⎝ ⎭ 11.已知函数 f (x )的定义域为 R ， f (x + 1)为奇函数，且 f (2 + x ) = f (2 - x )，则（）A. f (1) = 0C. f (x + 1) = - f (x -1)B. f (x ) = f (x + 4)D. y = f (x )在区间[0,50]上至少有 25 个零点12.已知正数 x , y , z ，满足3x = 4y = 6z ，则下列说法中正确的是（）A. 1 + 1 = 1B. 3x > 4 y > 6zC. x + y > ⎛ 3 + 2 ⎫ zD. xy > 2z 2x 2 y z2 ⎪ ⎝ ⎭三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.已知幂函数 y = f (x )的图象过点⎛ 2, 1 ⎫，则曲线 y = f (x )在点(1,1)处的切线方程为.4 ⎪ ⎝ ⎭ 14.在△ABC 中， ∠BAC = π， AB = 2 ， AC = 3 ， = ，则 ⋅ = .BD 2DC 3AD BC332 3 ( ) ⎝ ⎭ 15.黄金比例，用希字母Φ 表示，借用古希腊数学家欧几里德的话：当整条线段的长度与线段中较长段的比例等于较长段与较短段的比例时，就是根据黄金比例来分割一线段.从下图我们可以更直观地受黄金比例：用 A , B 分别表示长段与较短段的线段长度，于是将欧几里德的描述用代数方法表示出来： Φ = A = A + B，从B A 而可以解出Φ 的值.类似地，可以定义其他金属比例.假设把线段分成 n + 1 段，其中有 n 段长度相等，记这 n 段 的每一段长为 A ，而剩下的一段长为 B （长度较短的）.如果 A 与 B 之比等于整条线段的长与 A 之比，我们用λn 来表示这个比例，即λ = A，对于 n (n ∈ N * )的每个值对应一个λ ，称λ 为金属比例，当 n = 1时，即为黄金n Bn n比例，此时Φ = 5 + 1；当 n = 2 时，即为白银比例，我们用希腊字母σ表示该比例，则σ= . 2 ⎧x 2 - 4x , 16.已知函数 f x = ⎨⎩4 - x ,x ≤ ax > a ，其中 a > 0 ，若函数 g (x ) = f (x ) - 3 x 有两个零点，则实数 a 的取值范围是 .四、解答题（本大题共 6 小题，计 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分 10 分）在① a = ，② S = c cos B ，③ C = π这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对其进行求解.2 3问题：在△ABC 中，内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ，面积为 S ，3b cos A = a cos C + c cos A ， b = 1，，求 c 的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.（本小题满分 12 分）已知函数 f (x ) = 3 cos 2 x + sin ⎛ x + π⎫ sin ⎛ x - π⎫-.3 ⎪ 6 ⎪2⎝ ⎭ ⎝ ⎭（1）求 f (x )的最小正周期及对称中心；（2）若 f (α) = 1 ，且α∈ ⎛ π ,π⎫，求cos 2α的值.612 3 ⎪19.（本小题满分 12 分）已知函数 f (x ) = a x + k - a - x （ a > 0 且 a ≠ 1）是定义在 R 上的奇函数. （1）求实数 k 的值；（2）若 f (1) < 0 ，且不等式 f (3tx + 4) + f (-2x 2 + 1)≤ 0对任意t ∈[-1,1]成立，求实数 x 的取值范围.20.（本小题满分 12 分）如图，在三棱柱 ABC - A B C 中，四边形 ABB A 和 AA CC 均为菱形，平面 ABB A ⊥ 平面 AA C C ，∠A AC = π，1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 3∠A AB = π， E 为棱 AA 上一点， BE ⊥ AA . 1 41 1（1）求证： BE ⊥ A 1C 1 ；（2）设 AB = 2 ，求二面角 B - CC 1 - A 的余弦值.21.（本小题满分 12 分）某校从高二年级随机抽取了 20 名学生的数学总评成绩和物理总评成绩，记第i 位学生的成绩为(x i , y i )（ i = 1, 2, 3, , 20 ），其中 x i 、y i 分别为第i 位学生的数学总评成绩和物理总评成绩，抽取的数据列表如下（按数学成绩降序整理）：序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学总评成绩 x 95 92 91 90 89 88 88 87 86 85 物理总评成绩 y96 90 89 87 92 81 86 88 83 84 序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 数学总评成绩 x 83 82 81 80 80 79 78 77 75 74 物理总评成绩 y8180828580787981807820202= 202（1）根据统计学知识，当相关系数 r ≥ 0.8时，可视为两个变量之间高度相关.根据抽取的数据，能否说明数学总评成绩与物理总评成绩高度相关？请通过计算加以说明.参考数据： ∑(x i - x )(y i - y ) = 485,∑ (x i - x ) 678,∑ (y i - y ) = 476 . i =1i =1ni =1参考公式：相关系数 r ∑(xi- x )( y i - y ).（2）规定：总评成绩大于等于 85 分者为优秀，小于 85 分者为不优秀.对优秀赋分 1，对不优秀赋分 0，从这 20 名学生中随机抽取 2 名学生，若用 X 表示这 2 名学生两科赋分的和，求 X 的分布列和数学期望.22.（本小题满分 12 分）已知函数 f (x ) = e x - mx - 2 ， g (x ) = e x - sin x - x cos x - 1 . （1）当 x ≥ π时，若不等式 f (x ) > 0恒成立，求正整数 m 的值；2 （2）当 x ≥ 0 时，判断函数 g (x )的零点个数，并证明你的结论.π参考数据： e 2 ≈ 4.8。
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2020-2021学年江苏省扬州大学附属中学（东部分校）高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知幂函数()y f x =的图象过点(，则()81f =（ ） A ．3 B ．13C ．9D ．19【答案】C【分析】设幂函数解析式，代入点的坐标，求出幂函数解析式，即可求得结果. 【详解】由题意设()y f x x α==，图象过点(，得3α=解得12α=， ∴()12f x x=，()1281819f ==；故选：C.2．已知集合{}{}20,1,4A B x x ==≤，则AB =（ ）A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}02x x ≤<D ．{}02x x ≤≤【答案】A【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合B ，再利用交集的定义求解即可. 【详解】因为{}{}20,1,{|4}22A B x x x x ==≤=-≤≤，所以{}0,1AB =，故选：A.3．已知10x y -<<<，比较2211,,,x y x y的大小关系得（ ） A ．2211x y y x <<< B ．2211y x x y<<<C ．2211y x y x<<<D ．2211y x y x<<< 【答案】C【分析】利用不等式的性质求解即可. 【详解】由10x y -<<<，得22110y x y x<<<<， 故选：C.4．下列图形中，表示函数图象的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】利用函数的定义判断即可.【详解】利用函数的定义，在定义域内的任一个x ，都有唯一确定的y 与之对应， 观察图像得第一个图和第二个图正确，第三个图和第四个图不正确； 故选：B.5．已知函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如表： x 3-2-1-0 1 2 3 4y32 11- 2- 3-则()()4(f f =) A ．1- B ．2-C ．3-D ．3【答案】D【分析】先求()43f =-，再求()33f -= 【详解】通过表格可以得到()43f =-，()()()433f f f =-=故选D【点睛】本题考查了复合函数值的求法，属基础题．6．已知偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，则对实数a b 、，“>||a b ”是“()()f a f b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】本道题结合偶函数满足()()f x f x =-以及单调递增关系,前后推导,即可. 【详解】结合偶函数的性质可得()()f x f x =-,而当,a b a b a >-<<,所以结合()f x 在[)0,+∞单调递增,得到()()()f a f a f b =->,故a b >可以推出()()f a f b >.举特殊例子,()()()331f f f -=>,但是31-<,故由()()f a f b >无法得到a b >,故a b >是()()f a f b >的充分不必要条件,故选A.【点睛】本道题考查了充分不必要条件的判定,关键结合偶函数的性质以及单调关系,判定,即可,属于较容易的题.7．下列命题为真命题的是（ ） A ．若ac bc >，则a b > B ．若22a b >，则a b >C ．若11a b>，则a b < D <a b <【答案】D【分析】根据不等式的性质判断各个命题．【详解】A 中若0c <，则得不出a b >，错误；B 中，若0,0a b <<，则有a b <，错误；C 中若0,0a b ><，则仍然是a b >，错误；由不等式的性质知D 正确． 故选：D.【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题基础． 8．已知函数()3122xxf x x =+-，若()()2120f a f a -+≤，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(]1,1,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)1,1,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦D ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】先求出函数的定义域，再利用函数奇偶性的定义判断奇偶性，最后利用幂函数和指数函数的单调性判断函数的单调性，即可解不等式. 【详解】由()3122xxf x x =+-定义域为R ， ()()33112222x x x x f x x x f x ---=-+-=--+=-，所以函数()f x 为奇函数，利用幂函数和指数函数的单调性易知：函数()f x 为R 上的增函数，()()()()()()2221201212f a f a f a f a f a f a -+≤⇒-≤-⇒-≤-，则211212a a a -≤-⇒-≤≤， 故选：D.【点睛】关键点睛：判断函数的奇偶性和单调性是解题的关键.二、多选题9．在给出的四个命题中，正确的命题是（ ）A ．若1x >，则21x >B =x y =C ．若220x x +-=，则1x =D ．若x AB ∈，则x A B ∈【答案】AD【分析】对于选项A ：利用不等式的性质判断即可；对于选项B ：=则x y =即可判断；对于选项C ：解一元二次方程即可判断；对于选项D ：利用元素与集合的关系判断即可.【详解】对于选项A ：若1x >，则21x >，故选项A 正确；对于选项B =x y =或y x =-，故选项B 不正确；对于选项C ：若220x x +-=，则1x =或2x =-，故选项C 不正确； 对于选项D ：若x A B ∈，则x A B ∈，故选项D 正确；故选：AD.10．对任意实数,,a b c ，下列命题中正确的是（ ） A ．“5a <”是“3a <”的必要条件 B ．“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件C ．“a b =”是“ac bc =”的充要条件D ．“a b >”是“22a b >”的充分条件 【答案】AB【分析】利用充分与必要条件的定义，判定各选项中的充分性与必要性是否成立，从而选出正确答案．【详解】A 中，∵a ＜3时，得出a ＜5， ∴a ＜5是a ＜3的必要条件； ∴A 是正确的；B 中，5a +是无理数，得出a 是无理数，充分性成立；a 是无理数，得出5a +是无理数，必要性成立；∴B 是正确的；C 中，由a b =，得出ac bc =，充分性成立； 由ac bc =，不能得出a b =， 例如：c ＝0时，2×0＝3×0，2≠3， ∴必要性不成立； ∴C 是不正确的；；D 中，∵a ＞b 不能得出22a b >， 例如：1,2a b =-=得22a b <， ∴充分条件不成立； D 不正确. 故选：AB ．【点睛】关键点睛：解题的关键是判定充分性与必要性是否成立.11．已知函数()225,1,1x ax x f x a x x⎧++<⎪=⎨-≥⎪⎩在区间(),-∞+∞上是减函数，则整数a 的取值不可以为（ ） A ．-2 B ．-1C ．0D ．1【答案】CD【分析】根据题意，讨论1x <时，()f x 是二次函数，在对称轴对称轴左侧单调递减，1x 时，()f x 是反比例函数，在0a <时单调递减；再利用端点处的函数值即可得出满足条件的a 的取值范围．【详解】解：由函数()225,1,1x ax x f x a x x⎧++<⎪=⎨-≥⎪⎩在区间(,)-∞+∞上是减函数，当1x <时，2(2)5f x x ax +=+，二次函数的对称轴为x a =-， 在对称轴左侧单调递减，1a ∴-，解得1a ≤-；当1x 时，()a f x x=-， 在0a <时单调递减； 又2152a a +≥-+， 即2a ≥-；综上，a 的取值范围是21a -≤≤-， 则整数a 的取值不可以为0或1； 故选：C D.【点睛】思路点睛：利用分段函数的单调性求参数的问题.解决分段函数的单调性问题，先在各自的区间内利用单调性求参数的范围，再利用上，下段端点值的大小关系.12．关于定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，()22f x x x =+，则下列说法正确的是（ ）A ．0x <时，函数解析式为()22f x x x =- B ．函数在定义域R 上为增函数C ．不等式()328f x -<的解集为40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．不等式()210f x x x ---<恒成立【答案】AC【分析】对于A ，利用偶函数定义求0x <时，函数解析式为()22f x x x =-；对于B ，研究当0x ≥时，()f x 的单调性，结合偶函数图像关于y 轴对称，知()f x 在R 上的单调性；对于C ，求出(2)8f =，不等式(32)8f x -<，转化为(32)(2)f x f -<，利用单调性解不等式；对于D ，分类讨论(0,)x ∈+∞与(,0)x ∈-∞两种情况是否恒成立. 【详解】对于A ，设0x <，0x ->， 则2()2f x x x -=-，又()f x 是偶函数，所以()2()2f x f x x x =-=-，即0x <时，函数解析式为2()2f x x x =-，故A 正确； 对于B ，2()2f x x x =+，对称轴为1x =-， 所以当0x ≥时，()f x 单调递增， 由偶函数图像关于y 轴对称，所以()f x 在(),0-∞上为减函数，故B 不正确； 对于C ，当(0,)x ∈+∞时，2()28f x x x =+=， 解得12x =，24x =-（舍去）， 即(2)8f =，所以不等式(32)8f x -<， 转化为(32)(2)f x f -<， 又()f x 在R 上为偶函数， 得432203x x -<⇒<<， 所以不等式的解集为40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，故C 对； 对于D ，当(,0)x ∈-∞时，2()2f x x x =-，222()12131f x x x x x x x x --=--=-----，不恒小于0；当0x ≥时，2()2f x x x =+，222()1211f x x x x x x x x --=+---=--不恒小于0，故D 错；故选：AC.【点睛】方法点睛：考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是：（1）把不等式转化为[][]()()f g x f h x >的模型；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别.考查了利用奇偶性求函数解析式，求函数解析式常用的方法： （1）已知函数类型，用待定系数法求解析式； （2）已知函数奇偶性，用奇偶性定义求解析式；（3）已知()f x 求[()]f g x ，或已知[()]f g x 求()f x ，用代入法、换元法或配凑法； （4）若()f x 与1()f x或()f x -满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解；三、填空题13．写出命题：“大于3的自然数是不等式210x >的解”的否定________，并判断其真假_________（填“真命题”或“假命题”）.【答案】存在大于3的自然数不是不等式210x >的解 假命题 【分析】利用“改量词，否结论.”求命题的否定，判断原命题的真假即可判断. 【详解】由命题：大于3的自然数是不等式210x >的解， 得命题的否定为：存在大于3的自然数不是不等式210x >的解， 因为大于3的自然数有4,5,6，它们的平方一定大于10，即大于3的自然数都是不等式210x >的解， 故该否定为假命题.故答案为：存在大于3的自然数不是不等式210x >的解；假命题. 14．若0,0x y >>，化简:21113333243x y x y ---⎛⎫÷- ⎪⎝⎭得__________. 【答案】6x -【分析】利用指数幂的运算法则求解即可. 【详解】由0,0x y >>， 得2111213333113333234432x yx y x y ---+-+⎛⎫÷-=-⨯ ⎪⎝⎭066xy x =-=-；故答案为：6x -.15．设lg 6,lg12a b ==，用,a b 表示lg 75得__________.【答案】432a b -+ 【分析】由题意条件得出lg 2lg3lg32lg 2ab+=⎧⎨+=⎩，解出lg 2和lg 3，由此可得出lg 75lg32lg 22=-+，代入即可得出答案.【详解】lg6lg 2lg3a =+=，lg12lg32lg 2b =+=，即lg 2lg3lg32lg 2a b +=⎧⎨+=⎩，解得lg 2lg32b a a b =-⎧⎨=-⎩，753lg 75lg2lg 2lg32lg 224321004a b ∴=+=+=-+=-+， 故答案为：432a b -+.【点睛】思路点睛：解题时要充分利用对数的运算性质并结合方程思想求解. 16．下列几个命题:①下列函数中2y =；y ；2log 2xy =；2log 2x y =，与函数y x =相同的函数有2个；②函数()f x x x bx c =++的图象关于点()0,c 对称；③函数y =是偶函数，但不是奇函数；④()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()221f x x x =+-，则当0x ≥时，()221f x x x =-++；⑤函数3222xx y -=+的值域是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.其中正确命题的序号有__________. 【答案】②⑤【分析】对于选项①：判断函数的定义域与对应关系是否相等即可判断；对于选项②：求解()()2f x f x c +-=即可判断；对于选项③：先求函数的定义域，写出函数解析式即可判断；对于选项④：利用函数为定义在R 上的奇函数，则()00f =，即可判断；对于选项⑤：令()20xt t =>，原函数变为：()25351222t t y t t t -++-===-++++，利用t的范围求解即可判断.【详解】对于选项①：由2y =定义域为{}0x x ≥，y x ==，2log 2x y x ==，2log 2x y =定义域为{}0x x >，得与函数y x =相同的函数只有1个；故①不正确； 对于选项②：由()f x x x bx c =++，得()()2f x f x x x bx c x x bx c c +-=++--+=， 则函数()f x x x bx c =++的图象关于点()0,c 对称；故②正确；对于选项③：由函数y =，得2210110x x x ⎧-≥⇒=±⎨-≥⎩，所以()01y x ===±即是偶函数，也是奇函数；故③不正确；对于选项④：因为()f x 是定义在R 上的奇函数， 则()00f =，而题干中，当0x ≥时，()221f x x x =-++；此时()01f =，故不满足题意， 故④不正确；对于选项⑤：令()20xt t =>，原函数变为：()25351222t t y t t t -++-===-++++ 因为5522,022t t +><<+， 则531122t -<-<+， 所以函数3222xx y -=+的值域是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，故⑤正确； 故答案为：②⑤.【点睛】易错点睛：判断函数是否相等要考虑定义域与对应关系；判断函数的奇偶性要注意定义域，以及()f x -与()f x 的关系；换元法求值域，要注意换元以后自变量的取值范围.四、解答题 17．设集合11{|()8}22xA x =<<，{|||1}B x x a =+<． （1）若3a =，求AB ；（2）设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）(4,1)AB =-（2）[0,2]【分析】(1)将3a =代入B ,求得B ,再求得AB ;(2)将问题转化为集合B 是集合A 的真子集,再根据真子集关系列式可得. 【详解】（1）由已知可得(3,1)A =-，(4,2)B =--，∴(4,1)A B =-．（2）由题意可得集合B 是集合A 的真子集， ∵(1,1)B a a =---+，∴1311a a ---⎧⎨-+<⎩或1311a a -->-⎧⎨-+⎩，∴02a ，∴实数a 的取值范围是[0,2]．【点睛】本题考查了集合的运算,集合之间的关系以及充分必要条件,属中档题. 18．已知一次函数()y f x =满足()12f x x a -=+， . 在所给的三个条件中，任选一个补充到题目中，并解答. ①()5f a =，②142a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，③()()41226f f -=. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）若()()()g x x f x f x x λ=⋅++在[]0,2上的最大值为2，求实数λ的值. 【答案】（1）()23f x x =+（2）2λ=- 【分析】利用待定系数法求出()22f x x a =++， （1）根据所选条件，都能求出1a =，可得()23f x x =+；（2）根据对称轴与区间中点值的大小分两种情况讨论求出最大值，结合已知最大值可求得λ的值.【详解】设()f x kx b =+(0)k ≠，则(1)2k x b x a -+=+，即2kx k b x a -+=+， 所以2k =，2b a ，所以()22f x x a =++，若选①，（1）由()5f a =得225a a ++=，得1a =，所以()23f x x =+.（2）()(23)(23)g x x x x x λ=++++=22(42)3x x λλ+++，区间[]0,2的中点值为1，对称轴为()22x λ+=-，当()212λ+-≤，即4λ≥-时，max()(2)8843716f x f λλλ==+++=+，所以7162λ+=，解得2λ=-；当()212λ+->，即4λ<-时，max()(0)3f x f λ==，所以32λ=，解得23λ=（舍），综上所述：2λ=-. 若选②， （1）由142a f ⎛⎫=⎪⎝⎭得14222a a =⨯++，解得1a =，所以()23f x x =+； （2）()(23)(23)g x x x x x λ=++++=22(42)3x x λλ+++，区间[]0,2的中点值为1，对称轴为()22x λ+=-，当()212λ+-≤，即4λ≥-时，max()(2)8843716f x f λλλ==+++=+，所以7162λ+=，解得2λ=-；当()212λ+->，即4λ<-时，max()(0)3f x f λ==，所以32λ=，解得23λ=（舍），综上所述：2λ=-. 若选③，（1）由()()41226f f -=得4(22)2(42)6a a ++-++=，解得1a =，所以()23f x x =+；（2）()(23)(23)g x x x x x λ=++++=22(42)3x x λλ+++，区间[]0,2的中点值为1，对称轴为()22x λ+=-，当()212λ+-≤，即4λ≥-时，max()(2)8843716f x f λλλ==+++=+，所以7162λ+=，解得2λ=-；当()212λ+->，即4λ<-时，max()(0)3f x f λ==，所以32λ=，解得23λ=（舍），综上所述：2λ=-.【点睛】关键点点睛：第二问，讨论对称轴与区间中点值的大小求最大值是解题关键. 19．已知a ∈R ，且a ≠1，比较a +2与31a-的大小. 【答案】当1a <时，321a a +<-；当1a >时，321a a+>- 【分析】利用作差的方法比较数值的大小关系【详解】22213()3(2)(1)31124(2)11111a a a a a a a a a a a a a +++-----+++-====----- 我们不难发现：分式中分子始终为正值，所以：1a <时3(2)01a a+-<- 当1a >时，3(2)01a a+->-； 故：当1a <时，321a a +<-；当1a >时，321a a+>- 【点睛】本题考查数值比较的方法（作差法）及化简，分类讨论的数学思想 20．已知函数2()f x x x m =-+. （1）当2m =-时，解不等式()0f x >； （2）若0m >， ()0f x <的解集为(,)a b ，求14a b+的最小値. 【答案】（1）{2x x >或}1x <-；（2）最小值为9.【分析】（1）由一元二次不等式的解法即可求得结果；（2）由题()0f x =的根即为a ，b ，根据韦达定理可判断a ，b 同为正，且1a b +=，从而利用基本不等式的常数代换求出14a b+的最小值. 【详解】（1）当2m =-时，不等式0f x >（），即为220x x -->， 可得()()210x x -+>，即不等式()0f x >的解集为{2x x >或}1x <-.（2）由题()0f x =的根即为a ，b ，故1a b +=，0ab m =>，故a ，b 同为正，则14a b +=144()55249a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当13a =，23b =等号成立，所以14a b+的最小值为9.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和基本不等式的知识，考查逻辑推理能力和计算能力，属中档题.21．某渔场鱼群的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际的养殖量x 要小于m ，留出适当的空闲量，空闲量与最大养殖量的比值叫空闲率，已知鱼群的年增加量y （吨）和实际养殖量x （吨）与空闲率的乘积成正比（设比例系数0k >）. （1）写出y 与x 的函数关系式，并指出定义域； （2）求鱼群年增长量的最大值；（3）当鱼群年增长量达到最大值时，求k 的取值范围. 【答案】（1）．定义域为；（2）当时，；（3）的取值范围是．【解析】试题分析：（1）由题意求出空闲率，然后利用正比例关系得与的函数关系式，并确定函数的定义域；（2）利用配方法求二次函数的最值；（3）鱼群年增长量达到最大值时，应保证实际养殖量和增加量的和在0到之间，由此列不等式求解的取值范围即可． 试题解析：（1）空闲率为,由已知得：． （2）因为，所以当时，．（3）由题意得：，即,解得．又因为，所以，所以的取值范围是．【解析】函数模型的选择与应用．22．已知函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，()11x x e f x e -=+.（1）求当0x <时，函数()f x 的解析式； （2）判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性并证明；（3）设函数()()()2g x f ax f x a =--+，使函数()g x 有唯一零点的所有a 构成的集合记为M ，求集合M .【答案】（1）()11xxe f x e-=+；（2）函数()f x 在(),0-∞上单调递减，证明见详解；（3）{}1,0,1,2M =-.【分析】（1）当0x <时，0x ->，()1111x xx xe ef x e e-----==++，利用函数的奇偶性求解即可；（2）函数()f x 在(),0-∞上单调递减，利用定义证明函数的单调性即可；（3）把函数()g x 有唯一零点的问题转化为方程()()20f ax f x a --+=有唯一的解的问题，利用函数的奇偶性和单调性得到2ax x a =-+，两边平方，利用方程有唯一的解即可得出结果.【详解】（1）当0x <时，0x ->， 又函数()f x 为偶函数，则()()1111x x x xe ef x f x e e-----===++， 所以函数()f x 的解析式为()11xxe f x e-=+； （2）函数()f x 在(),0-∞上单调递减， 设任意120x x <<，则()()()()()12212112212111111x x x x x x x x e e e e f x f x e e e e ----=-=++++，因为x y e =在R 上单调递增， 所以12x x e e <，即120x x e e -<， 所以()()21f x f x <，所以函数()f x 在(),0-∞上单调递减； （3）因为函数()f x 为偶函数， 所以函数()f x 在()0,∞+上单调递减，函数()()()2g x f ax f x a =--+的零点就是方程()()20f ax f x a --+=的解， 因为函数()g x 有唯一零点，所以方程()()20f ax f x a --+=有唯一的解， 因为函数()f x 为偶函数， 所以方程变形为：()()2fax f x a =-+，因为函数()f x 在()0,∞+上单调递减， 所以2ax x a =-+， 平方得：()()()22212220a xa x a -+-+-=，当210a -=时，即1a =±，经检验方程有唯一解； 当210a -≠时，()()()222424120a a a ∆=----=，得()22200a a a -=⇒=或2a =， 综上可得：集合{}1,0,1,2M =-.【点睛】关键点睛：把函数()g x 有唯一零点的问题转化为方程()()20f ax f x a --+=有唯一的解的问题是解决本题的关键.。