2020-2021学年江苏省扬州大学附属中学(东部分校)高一上学期期中数学试题(解析版)

2020-2021学年江苏省扬州大学附属中学（东部分校）高一上
学期期中数学试题
一、单选题
1．已知幂函数()y f x =的图象过点(，则()81f =（ ） A ．3 B ．
13
C ．9
D ．
19
【答案】C
【分析】设幂函数解析式，代入点的坐标，求出幂函数解析式，即可求得结果. 【详解】由题意设()y f x x α
==，
图象过点(，
得3α=
解得12
α=
， ∴()1
2f x x
=，
()12
81819f ==；
故选：C.
2．已知集合{}{}
2
0,1,4A B x x ==≤，则A
B =（ ）
A ．{}0,1
B ．{}0,1,2
C ．{}
02x x ≤<
D ．{}
02x x ≤≤
【答案】A
【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合B ，再利用交集的定义求解即可. 【详解】因为{}{}
2
0,1,{|4}22A B x x x x ==≤=-≤≤，
所以{}0,1A
B =，
故选：A.
3．已知10x y -<<<，比较
22
11,,,x y x y
的大小关系得（ ） A ．
2211
x y y x <<< B ．
2211
y x x y
<<<
C ．22
11y x y x
<<<
D ．22
11y x y x
<<
< 【答案】C
【分析】利用不等式的性质求解即可. 【详解】由10x y -<<<，
得
2211
0y x y x
<<<<， 故选：C.
4．下列图形中，表示函数图象的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】B
【分析】利用函数的定义判断即可.
【详解】利用函数的定义，在定义域内的任一个x ，都有唯一确定的y 与之对应， 观察图像得第一个图和第二个图正确，第三个图和第四个图不正确； 故选：B.
5．已知函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如表： x 3-
2-
1-
0 1 2 3 4
y
3
2 1
1- 2- 3-
则()()4(f f =
) A ．1- B ．2-
C ．3-
D ．3
【答案】D
【分析】先求()43f =-，再求()33f -= 【详解】通过表格可以得到()43f =-，()()()433f f f =-=
故选D
【点睛】本题考查了复合函数值的求法，属基础题．
6．已知偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，则对实数a b 、，“>||a b ”是“()()f a f b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】本道题结合偶函数满足()()f x f x =-以及单调递增关系,前后推导,即可. 【详解】结合偶函数的性质可得()()f x f x =-,而当,a b a b a >-<<,所以结合
()f x 在
[)0,+∞单调递增,得到()()()f a f a f b =->,故a b >可以推出()()f a f b >.举特
殊例子,()()()331f f f -=>,但是31-<,故由()()f a f b >无法得到a b >,故
a b >是
()()f a f b >的充分不必要条件,故选A.
【点睛】本道题考查了充分不必要条件的判定,关键结合偶函数的性质以及单调关系,判定,即可,属于较容易的题.
7．下列命题为真命题的是（ ） A ．若ac bc >，则a b > B ．若22a b >，则a b >
C ．若
11
a b
>，则a b < D <
a b <
【答案】D
【分析】根据不等式的性质判断各个命题．
【详解】A 中若0c <，则得不出a b >，错误；B 中，若0,0a b <<，则有a b <，错误；C 中若0,0a b ><，则仍然是a b >，错误；由不等式的性质知D 正确． 故选：D.
【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题基础． 8．已知函数()3
122
x
x
f x x =+-
，若()()2
120f a f a -+≤，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．(]1,1,2⎡⎫
-∞-+∞⎪
⎢⎣⎭
B ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
C ．[)1,1,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝
⎦
D ．11,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
【答案】D
【分析】先求出函数的定义域，再利用函数奇偶性的定义判断奇偶性，最后利用幂函数和指数函数的单调性判断函数的单调性，即可解不等式. 【详解】由()3
1
22x
x
f x x =+-
定义域为R ， ()()3311
2222
x x x x f x x x f x ---=-+-=--+=-，
所以函数()f x 为奇函数，
利用幂函数和指数函数的单调性易知：函数()f x 为R 上的增函数，
()()()()()()2221201212f a f a f a f a f a f a -+≤⇒-≤-⇒-≤-，
则2
1
1212
a a a -≤-⇒-≤≤， 故选：D.
【点睛】关键点睛：判断函数的奇偶性和单调性是解题的关键.
二、多选题
9．在给出的四个命题中，正确的命题是（ ）
A ．若1x >，则21x >
B =x y =
C ．若220x x +-=，则1x =
D ．若x A
B ∈，则x A B ∈
【答案】AD
【分析】对于选项A ：利用不等式的性质判断即可；对于选项B ：=
则x y =即可判断；对于选项C ：解一元二次方程即可判断；对于选项D ：利用元素与集合的关系判断即可.
【详解】对于选项A ：若1x >，则21x >，故选项A 正确；
对于选项B =
x y =或y x =-，故选项B 不正确；
对于选项C ：若220x x +-=，则1x =或2x =-，故选项C 不正确； 对于选项D ：若x A B ∈，则x A B ∈，故选项D 正确；
故选：AD.
10．对任意实数,,a b c ，下列命题中正确的是（ ） A ．“5a <”是“3a <”的必要条件 B ．“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充
要条件
C ．“a b =”是“ac bc =”的充要条件
D ．“a b >”是“22a b >”的充分条件 【答案】AB
【分析】利用充分与必要条件的定义，判定各选项中的充分性与必要性是否成立，从而选出正确答案．
【详解】A 中，∵a ＜3时，得出a ＜5， ∴a ＜5是a ＜3的必要条件； ∴A 是正确的；
B 中，5a +是无理数，得出a 是无理数，充分性成立；
a 是无理数，得出5a +是无理数，必要性成立；
∴B 是正确的；
C 中，由a b =，得出ac bc =，充分性成立； 由ac bc =，不能得出a b =， 例如：c ＝0时，2×0＝3×0，2≠3， ∴必要性不成立； ∴C 是不正确的；；
D 中，∵a ＞b 不能得出22a b >， 例如：1,2a b =-=得22a b <， ∴充分条件不成立； D 不正确. 故选：AB ．
【点睛】关键点睛：解题的关键是判定充分性与必要性是否成立.
11．已知函数()225,1
,1x ax x f x a x x
⎧++<⎪
=⎨-≥⎪⎩在区间(),-∞+∞上是减函数，则整数a 的取
值不可以为（ ） A ．-2 B ．-1
C ．0
D ．1
【答案】CD
【分析】根据题意，讨论1x <时，()f x 是二次函数，在对称轴对称轴左侧单调递减，
1x 时，()f x 是反比例函数，在0a <时单调递减；再利用端点处的函数值即可得出满
足条件的a 的取值范围．
【详解】解：由函数()225,1,1x ax x f x a x x
⎧++<⎪
=⎨-≥⎪⎩在区间(,)-∞+∞上是减函数，
当1x <时，2
(2)5f x x ax +=+，二次函数的对称轴为x a =-， 在对称轴左侧单调递减，
1a ∴-，解得1a ≤-；
当1x 时，()a f x x
=-
， 在0a <时单调递减； 又2152a a +≥-+， 即2a ≥-；
综上，a 的取值范围是21a -≤≤-， 则整数a 的取值不可以为0或1； 故选：C D.
【点睛】思路点睛：利用分段函数的单调性求参数的问题.
解决分段函数的单调性问题，先在各自的区间内利用单调性求参数的范围，再利用上，下段端点值的大小关系.
12．关于定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，()2
2f x x x =+，则下列说法正确
的是（ ）
A ．0x <时，函数解析式为()2
2f x x x =- B ．函数在定义域R 上为增函数
C ．不等式()328f x -<的解集为40,3
⎛⎫ ⎪⎝
⎭
D ．不等式()2
10f x x x ---<恒成立
【答案】AC
【分析】对于A ，利用偶函数定义求0x <时，函数解析式为()2
2f x x x =-；对于B ，
研究当0x ≥时，()f x 的单调性，结合偶函数图像关于y 轴对称，知()f x 在R 上的单调性；对于C ，求出(2)8f =，不等式(32)8f x -<，转化为(32)(2)f x f -<，利用单调性解不等式；对于D ，分类讨论(0,)x ∈+∞与(,0)x ∈-∞两种情况是否恒成立. 【详解】对于A ，设0x <，0x ->， 则2
()2f x x x -=-，
又()f x 是偶函数，
所以()2
()2f x f x x x =-=-，
即0x <时，函数解析式为2
()2f x x x =-，故A 正确； 对于B ，2
()2f x x x =+，对称轴为1x =-， 所以当0x ≥时，()f x 单调递增， 由偶函数图像关于y 轴对称，
所以()f x 在(),0-∞上为减函数，故B 不正确； 对于C ，当(0,)x ∈+∞时，2
()28f x x x =+=， 解得12x =，24x =-（舍去）， 即(2)8f =，
所以不等式(32)8f x -<， 转化为(32)(2)f x f -<， 又()f x 在R 上为偶函数， 得4
32203x x -<⇒<<
， 所以不等式的解集为40,3⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，故C 对； 对于D ，当(,0)x ∈-∞时，2
()2f x x x =-，
222()12131f x x x x x x x x --=--=-----，
不恒小于0；
当0x ≥时，2
()2f x x x =+，
222()1211f x x x x x x x x --=+---=--不恒小于0，故D 错；
故选：AC.
【点睛】方法点睛：考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是：
（1）把不等式转化为[][]()()f g x f h x >的模型；
（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别.
考查了利用奇偶性求函数解析式，求函数解析式常用的方法： （1）已知函数类型，用待定系数法求解析式； （2）已知函数奇偶性，用奇偶性定义求解析式；
（3）已知()f x 求[()]f g x ，或已知[()]f g x 求()f x ，用代入法、换元法或配凑法； （4）若()f x 与1
()f x
或()f x -满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解；
三、填空题
13．写出命题：“大于3的自然数是不等式210x >的解”的否定________，并判断其真假_________（填“真命题”或“假命题”）.
【答案】存在大于3的自然数不是不等式210x >的解 假命题 【分析】利用“改量词，否结论.”求命题的否定，判断原命题的真假即可判断. 【详解】由命题：大于3的自然数是不等式210x >的解， 得命题的否定为：存在大于3的自然数不是不等式210x >的解， 因为大于3的自然数有4,5,6，
它们的平方一定大于10，
即大于3的自然数都是不等式210x >的解， 故该否定为假命题.
故答案为：存在大于3的自然数不是不等式210x >的解；假命题. 14．若0,0x y >>，化简:211
13
3
33243x y x y ---⎛⎫÷- ⎪⎝⎭
得__________. 【答案】6x -
【分析】利用指数幂的运算法则求解即可. 【详解】由0,0x y >>， 得2111213
3
3311333323
4432x y
x y x y ---+-+⎛⎫÷-=-⨯ ⎪⎝⎭
066xy x =-=-；
故答案为：6x -.
15．设lg 6,lg12a b ==，用,a b 表示lg 75得__________.
【答案】432a b -+ 【分析】由题意条件得出lg 2lg3lg32lg 2a
b
+=⎧⎨
+=⎩，解出lg 2和lg 3，由此可得出
lg 75lg32lg 22=-+，代入即可得出答案.
【详解】
lg6lg 2lg3a =+=，
lg12lg32lg 2b =+=，
即lg 2lg3lg32lg 2a b +=⎧⎨+=⎩，
解得lg 2lg32b a a b =-⎧⎨=-⎩
，
753
lg 75lg
2lg 2lg32lg 224321004
a b ∴=+=+=-+=-+， 故答案为：432a b -+.
【点睛】思路点睛：解题时要充分利用对数的运算性质并结合方程思想求解. 16．下列几个命题:
①下列函数中2
y =；y ；2log 2x
y =；2log 2x y =，与函数y x =相同的
函数有2个；
②函数()f x x x bx c =++的图象关于点()0,c 对称；
③函数y =
是偶函数，但不是奇函数；
④()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()2
21f x x x =+-，则当0x ≥时，
()221f x x x =-++；
⑤函数3222x
x y -=+的值域是31,2⎛⎫- ⎪⎝
⎭.
其中正确命题的序号有__________. 【答案】②⑤
【分析】对于选项①：判断函数的定义域与对应关系是否相等即可判断；对于选项②：求解()()2f x f x c +-=即可判断；对于选项③：先求函数的定义域，写出函数解析式即可判断；对于选项④：利用函数为定义在R 上的奇函数，则()00f =，即可判断；对于选项⑤：令()20x
t t =>，原函数变为：()2535
1222
t t y t t t -++-=
==-+
+++，利用t
的范围求解即可判断.
【详解】对于选项①：由2
y =
定义域为{}0x x ≥，y x =
=，
2log 2x y x ==，
2log 2x y =定义域为{}0x x >，
得与函数y x =相同的函数只有1个；故①不正确； 对于选项②：由()f x x x bx c =++，
得()()2f x f x x x bx c x x bx c c +-=++--+=， 则函数()f x x x bx c =++的图象关于点()0,c 对称；
故②正确；
对于选项③：由函数y =
，
得22
10
110x x x ⎧-≥⇒=±⎨-≥⎩
，
所以()01y x =
==±即是偶函数，也是奇函数；
故③不正确；
对于选项④：因为()f x 是定义在R 上的奇函数， 则()00f =，
而题干中，当0x ≥时，()2
21f x x x =-++；
此时()01f =，故不满足题意， 故④不正确；
对于选项⑤：令()20x
t t =>，
原函数变为：()2535
1222
t t y t t t -++-===-+
+++ 因为55
22,022
t t +><
<+， 则531122t -<
-<+， 所以函数3222x
x y -=+的值域是31,2⎛⎫- ⎪⎝
⎭，
故⑤正确； 故答案为：②⑤.
【点睛】易错点睛：判断函数是否相等要考虑定义域与对应关系；判断函数的奇偶性要注意定义域，以及()f x -与()f x 的关系；换元法求值域，要注意换元以后自变量的取值范围.
四、解答题 17．设集合11{|
()8}22x
A x =<<，{|||1}
B x x a =+<． （1）若3a =，求A
B ；
（2）设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）(4,1)A
B =-（2）[0,2]
【分析】(1)将3a =代入B ,求得B ,再求得A
B ;
(2)将问题转化为集合B 是集合A 的真子集,再根据真子集关系列式可得. 【详解】（1）由已知可得(3,1)A =-，(4,2)B =--，∴(4,1)A B =-．
（2）由题意可得集合B 是集合A 的真子集， ∵(1,1)B a a =---+，∴1311a a ---⎧⎨
-+<⎩或13
11a a -->-⎧⎨-+⎩
，∴02a ，
∴实数a 的取值范围是[0,2]．
【点睛】本题考查了集合的运算,集合之间的关系以及充分必要条件,属中档题. 18．已知一次函数()y f x =满足()12f x x a -=+， . 在所给的三个条件中，任选一个补充到题目中，并解答. ①()5f a =，②142a f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，③()()41226f f -=. （1）求函数()y f x =的解析式；
（2）若()()()g x x f x f x x λ=⋅++在[]0,2上的最大值为2，求实数λ的值. 【答案】（1）()23f x x =+（2）2λ=- 【分析】利用待定系数法求出()22f x x a =++， （1）根据所选条件，都能求出1a =，可得()23f x x =+；
（2）根据对称轴与区间中点值的大小分两种情况讨论求出最大值，结合已知最大值可
求得λ的值.
【详解】设()f x kx b =+(0)k ≠，则(1)2k x b x a -+=+，即2kx k b x a -+=+， 所以2k =，2b a ，所以()22f x x a =++，
若选①，
（1）由()5f a =得225a a ++=，得1a =，所以()23f x x =+.
（2）()(23)(23)g x x x x x λ=++++=2
2(42)3x x λλ+++，
区间[]0,2的中点值为1，对称轴为()22
x λ+=-
，
当()212
λ+-≤，即4λ≥-时，max
()
(2)8843716f x f λλλ==+++=+，所以
7162λ+=，解得2λ=-；
当()212
λ+-
>，即4λ<-时，max
()
(0)3f x f λ==，所以32λ=，解得2
3
λ=（舍），
综上所述：2λ=-. 若选②， （1）由142a f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
得14222a a =⨯++，解得1a =，所以()23f x x =+； （2）()(23)(23)g x x x x x λ=++++=2
2(42)3x x λλ+++，
区间[]0,2的中点值为1，对称轴为()22
x λ+=-
，
当()212
λ+-
≤，即4λ≥-时，max
()
(2)8843716f x f λλλ==+++=+，所以
7162λ+=，解得2λ=-；
当()212
λ+-
>，即4λ<-时，max
()
(0)3f x f λ==，所以32λ=，解得2
3
λ=（舍），
综上所述：2λ=-. 若选③，
（1）由()()41226f f -=得4(22)2(42)6a a ++-++=，解得1a =，所以
()23f x x =+；
（2）()(23)(23)g x x x x x λ=++++=2
2(42)3x x λλ+++，
区间[]0,2的中点值为1，对称轴为()22
x λ+=-
，
当()212
λ+-
≤，即4λ≥-时，max
()
(2)8843716f x f λλλ==+++=+，所以
7162λ+=，解得2λ=-；
当()212
λ+-
>，即4λ<-时，max
()
(0)3f x f λ==，所以32λ=，解得2
3
λ=（舍），
综上所述：2λ=-.
【点睛】关键点点睛：第二问，讨论对称轴与区间中点值的大小求最大值是解题关键. 19．已知a ∈R ，且a ≠1，比较a +2与3
1a
-的大小. 【答案】当1a <时，321a a +<
-；当1a >时，321a a
+>- 【分析】利用作差的方法比较数值的大小关系
【详解】22
2
13
()3(2)(1)31124(2)11111
a a a a a a a a a a a a a ++
+-----+++-====----- 我们不难发现：分式中分子始终为正值，所以：1a <时3
(2)01a a
+-
<- 当1a >时，3
(2)01a a
+-
>-； 故：当1a <时，321a a +<
-；当1a >时，321a a
+>- 【点睛】本题考查数值比较的方法（作差法）及化简，分类讨论的数学思想 20．已知函数2()f x x x m =-+. （1）当2m =-时，解不等式()0f x >； （2）若0m >， ()0f x <的解集为(,)a b ，求
14
a b
+的最小値. 【答案】（1）{
2x x >或}1x <-；（2）最小值为9.
【分析】（1）由一元二次不等式的解法即可求得结果；（2）由题()0f x =的根即为a ，
b ，根据韦达定理可判断a ，b 同为正，且1a b +=，从而利用基本不等式的常数代换
求出
14
a b
+的最小值. 【详解】（1）当2m =-时，不等式0f x >（
），即为220x x -->， 可得()()210x x -+>，
即不等式()0f x >的解集为{
2x x >或}1x <-.
（2）由题()0f x =的根即为a ，b ，故1a b +=，0ab m =>，故a ，b 同为正，
则
14a b +=144()55249a b a b a b b a ⎛⎫⎛
⎫++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 当且仅当13a =
，2
3b =等号成立，所以14a b
+的最小值为9.
【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和基本不等式的知识，考查逻辑推理能力和计算能力，属中档题.
21．某渔场鱼群的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际的养殖量x 要小于m ，留出适当的空闲量，空闲量与最大养殖量的比值叫空闲率，已知鱼群的年增加量y （吨）和实际养殖量x （吨）与空闲率的乘积成正比（设比例系数0k >）. （1）写出y 与x 的函数关系式，并指出定义域； （2）求鱼群年增长量的最大值；
（3）当鱼群年增长量达到最大值时，求k 的取值范围. 【答案】（1）．定义域为
；
（2）当
时，
；
（3）的取值范围是
．
【解析】试题分析：（1）由题意求出空闲率，然后利用正比例关系得与的函数关系
式，并确定函数的定义域；
（2）利用配方法求二次函数的最值；
（3）鱼群年增长量达到最大值时，应保证实际养殖量和增加量的和在0到之间，由
此列不等式求解的取值范围即可． 试题解析：（1）空闲率为,由已知得：
． （2）因为
，所以当
时，
．
（3）由题意得：，即
,解得
．
又因为
，所以
，所以的取值范围是
．
【解析】函数模型的选择与应用．
22．已知函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，()1
1
x x e f x e -=+.
（1）求当0x <时，函数()f x 的解析式； （2）判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性并证明；
（3）设函数()()()2g x f ax f x a =--+，使函数()g x 有唯一零点的所有a 构成的集合记为M ，求集合M .
【答案】（1）()11x
x
e f x e
-=+；（2）函数()f x 在(),0-∞上单调递减，证明见详解；（3）{}1,0,1,2M =-.
【分析】（1）当0x <时，0x ->，()1111x x
x x
e e
f x e e
-----==++，利用函数的奇偶性求解即可；（2）函数()f x 在(),0-∞上单调递减，利用定义证明函数的单调性即可；（3）把函数()g x 有唯一零点的问题转化为方程()()20f ax f x a --+=有唯一的解的问题，利用函数的奇偶性和单调性得到2ax x a =-+，两边平方，利用方程有唯一的解即可得出结果.
【详解】（1）当0x <时，0x ->， 又函数()f x 为偶函数，
则()()1111x x x x
e e
f x f x e e
-----===++， 所以函数()f x 的解析式为()11x
x
e f x e
-=+； （2）函数()f x 在(),0-∞上单调递减， 设任意120x x <<，
则()()()()()
1221
2112212111111x x x x x x x x e e e e f x f x e e e e ----=-=++++，
因为x y e =在R 上单调递增， 所以12x x e e <，即120x x e e -<， 所以()()21f x f x <，
所以函数()f x 在(),0-∞上单调递减； （3）因为函数()f x 为偶函数， 所以函数()f x 在()0,∞+上单调递减，
函数()()()2g x f ax f x a =--+的零点就是方程()()20f ax f x a --+=的解， 因为函数()g x 有唯一零点，
所以方程()()20f ax f x a --+=有唯一的解， 因为函数()f x 为偶函数， 所以方程变形为：()()2f
ax f x a =-+，
因为函数()f x 在()0,∞+上单调递减， 所以2ax x a =-+， 平方得：
()()()2
2
2
12220a x
a x a -+-+-=，
当210a -=时，即1a =±，经检验方程有唯一解； 当210a -≠时，()(
)()
2
2
2
424120a a a ∆=----=，
得()2
2200a a a -=⇒=或2a =， 综上可得：集合{}1,0,1,2M =-.
【点睛】关键点睛：把函数()g x 有唯一零点的问题转化为方程
()()20f ax f x a --+=有唯一的解的问题是解决本题的关键.。