成比例线段(知识讲解)九年级数学上册基础知识讲与练(北师大版)

专题4.1 成比例线段（知识讲解）

【学习目标】

1.了解两条线段的比和比例线段的概念；

2.能根据条件写出比例线段；

3.会运用比例线段解决简单的实际问题.

【要点梳理】

线段的比：

如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段

的比是a:b=m:n，或写成a m

b n =．

注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定；

(2)度量线段的长，单位多种，但求比值必需在同一长度单位下比值一定是正数，

比值与采用的长度单位无关.

(3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB:CD.

成比例线段：

对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．

比例的基本性质：

几个重要的比例定理：

类型一、线段的比

1．如图所示，有矩形ABCD 和矩形A B C D ''''，

AB ＝8cm ，BC ＝12cm ，A B ''＝4cm ，B C ''＝6cm ．

(1)求

A B AB ''

和B C BC

''； (2)线段A B ''，AB ，B C ''，BC 是成比例线段吗？

【答案】(1)1

2，1

2(2)线段A B ''，AB ，B C ''，BC 是成比例线段． 【分析】

（1）根据已知条件，代入A B AB ''

和B C BC

''，即可求得结果； （2）根据

A B AB ''

和B C BC

''的值相等，即可判断线段A ′B ′，AB ，B ′C ′，BC 是成比例线段． 解：(1)∵AB ＝8cm ，BC ＝12cm ，A ′B ′＝4cm ，B ′C ′＝6cm ．

∵

A B AB ''＝48＝12 ，B C BC ''＝612

＝12 (2)由（1）知A B AB ''＝48＝12 ，B C BC ''＝612

＝1

2； ∵

A B AB ''

＝B C BC

''， ∵线段A′B′，AB ，B ′C ′，BC 是成比例线段．

【点拨】本题考查了比例线段，知道成比例线段的条件是解题的关键． 【变式1】（1）若

x y =115

，求代数式2x y

y -的值；

（2）已知2a =3b =5

c ≠0，求代数式23a b c

a b c -+-+的值．

【答案】（1） 15 （2） 1

4

【分析】

（1）先把原式化为11

5

x y =

，进而可得出结论； （2）直接利用已知得出2,3,5a k b k c k ===，进而代入原式求解． 解：（1）∵

x y =115

， ∵11

5

x y =

， ∵11

22155

y y

x y y y --==；

（2）设2a =3b =5

c

=k ，则2,3,5a k b k c k ===，

∵

23a b c a b c -+-+=

23541

22335164

k k k k k k k

k -+=

=⨯-+⨯． 【点拨】本题考查了比例式的性质，解题的关键是正确用k 表示a 、b 、c ． 【变式2】在ABC 中，90,10cm B AB BC ∠=︒==；在DEF 中，

12cm,8cm ED EF DF ===，求AB 与EF 之比，AC 与DF 之比．

【答案】

56AB EF =

，AC DF = 【分析】在直角△ABC 中，利用勾股定理求得AC 的值，然后根据在同一长度单位下，两条线段的长度的比叫做这两条线段的比求解即可．

解：如图，在Rt △ABC 中，

根据勾股定理知，

AC =

cm ， 则

105126

AB EF ==，

AC DF ==

【点拨】本题考查了勾股定理的应用．在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了两条线段的比的求法．

类型二、比例的性质

2

．已知

a b c +＝b c a +＝c a

b

+＝x ，求x 的值．

【答案】1-或2

【分析】分两种情况讨论：当a +b +c ＝0，当a +b +c ≠0，再进行计算即可． 解：若a +b +c ＝0，则a +b ＝-c ，b +c ＝-a ，c +a ＝-b ，

此时，x ＝-1， 若a +b +c ≠0，则2a b b c c a a b b c c a

x

c

a

b

a b c

，

综上所述，x 的值为-1或2．

【点拨】本题考查的是比例的基本性质，掌握“比例的等比性质”是解本题的关键． 【变式1】已知a ：b ：2c =：3：4，且23215a b c +-=，求23a b c -+的值． 【答案】24

【分析】由已知条件设a =2k ，则b =3k ，c =4k ，根据等式得到关于k 的方程，解方程求得k ，即求得a 、b 、c 的值，从而可求得代数式的值．

解：∵a ：b ：c =2：3：4，

∵设a =2k ，则b =3k ，c =4k ． ∵2a +3b -2c =15， ∵4k +9k -8k =15， 解得：k =3， ∵a =6，b =9，c =12， ∵a -2b +3c =6-18+36=24．

【点拨】本题考查了比例关系，解方程及求代数式的值，由比例关系设a =2k ，则b =3k ，c =4k 是关键．

【变式2】已知3a b ＝4b c +＝5

c a

+，求a b c c a b ---+的值．

【答案】－1 【分析】设

3a b ＝4b c +＝5

c a

+＝k ，则a ＋b ＝3k ，b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，把三式相加得到a +b +c =6k ，再利用加减消元法可计算出a =2k ，b =k ，c =3k ，然后把a =2k ，b =k ，c =3k 代入

a b c

c a b

---+中进行分式的化简求值即可．

解：设

3a b ＝4b c +＝5

c a

+＝k ， 则a ＋b ＝3k ，b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ， 三式相加得a +b +c =6k ∵

用∵式分别减去上述三个式子，可得出 解得a ＝2k ，b ＝k ，c ＝3k ，