三对角矩阵的压缩存储公式推导

三对角矩阵的压缩存储公式推导

三对角矩阵是指除了主对角线上的元素，只有主对角线上方和下方相邻的两条对角线上的元素不为零，其余元素都为零的矩阵。压缩存储是指将矩阵中的非零元素存储在一个一维数组中。

假设一个n阶的三对角矩阵为A，可以表示为：

A = [a[i][j]] 0 < |i - j| <= 1

其中a[i][j]为矩阵A的元素。

我们需要将A压缩存储到长度为n的一维数组B中。

推导压缩存储的过程如下：

1. 创建一个长度为3n-2的一维数组B，用于存储矩阵A的非

零元素。

2. 遍历矩阵A中的每个元素a[i][j]，判断其在数组B中的位置。

a) 当 i = j 时，a[i][j]为主对角线上的元素，存储在数组B的

第i个位置。

b) 当 i = j+1 时，a[i][j]为主对角线上方的元素，存储在数组

B的第n-1+j个位置。

c) 当 i = j-1 时，a[i][j]为主对角线下方的元素，存储在数组

B的第2n-1+j个位置。

3. 遍历完成后，数组B中存储了矩阵A的所有非零元素。即可得到三对角矩阵A的压缩存储公式：

B[i] = a[i][i] (i = 1, 2, ..., n)

B[n-1+j] = a[j+1][j] (j = 0, 1, ..., n-2)

B[2n-1+j] = a[j][j+1] (j = 0, 1, ..., n-2)

其中B为存储矩阵A的一维数组。