互斥对立事件概念
第10章概率专题1 互斥事件与对立事件及其概率-新教材高中数学必修(第二册)常考题型专题练习
互斥事件与对立事件及其概率的算法【知识总结】1、互斥事件：指A∩B为不可能事件；事件A与事件B互斥，即事件A与事件B不能同时发生；A∩B＝∅；P(A∪B)＝P(A)+P(B)。
2、对立事件：A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件；事件A与事件B对立，即事件A与事件B有且仅有一个发生；A∩B＝∅，A∪B= ；概率计算P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)。
3、事件A与事件B互斥，事件A与事件B不一定对立；反之，事件A与事件B对立，事件A与事件B则一定互斥。
【巩固练习】1、某小组有5名男生和4名女生，从中任选4名同学参加“教师节”演讲比赛，则下列每对事件是对立事件的是（）A．恰有2名男生与恰有4名男生B．至少有3名男生与全是男生C．至少有1名男生与全是女生D．至少有1名男生与至少有1名女生【答案】C【解析】“恰有2名男生”与“恰有4名男生”是互斥事件，但不是对立事件，排除A项；“至少有3名男生”与“全是男生”可以同时发生，不是互斥事件，排除B项；“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，且必有一个发生，是对立事件，C项正确；“至少有1名男生”与“至少有1名女生”可以同时发生，不互斥，排除D项．故选：C.2、袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个，下列各对事件中互为对立事件的是（）A．恰有1个白球和全是白球B．至少有1个白球和全是黑球C．至少有1个白球和至少有2个白球D．至少有1个白球和至少有1个黑球【答案】B【解析】从白球3个，黑球4个中任取3个，共有四种可能，全是白球，两白一黑，一白两黑和全是黑球，故①恰有1个白球和全是白球，是互斥事件，但不是对立事件，②至少有1个白球和全是黑球是对立事件；③至少有1个白球和至少有2个白球不是互斥事件，④至少有1个白球和至少有1个黑球不是互斥事件，故选：B．3、甲：1A、2A是互斥事件；乙：1A、2A是对立事件，那么（）A．甲是乙的充要条件B．甲是乙的充分但不必要条件C．甲是乙的必要但不充分条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件【答案】C【解析】当1A、2A是互斥事件时，1A、2A不一定是对立事件，所以甲是乙的非充分条件.当1A、2A是对立事件时，1A、2A一定是互斥事件，所以甲是乙的必要条件.所以甲是乙的必要非充分条件.故选C.4．学校将5个不同颜色的奖牌分给5个班，每班分得1个，则事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是()A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．不是互斥事件【答案】C【解析】由题意，1班和2班不可能同时分得黄色的奖牌，因而这两个事件是互斥事件；又1班和2班可能都得不到黄色的奖牌，故这两个事件不是对立事件，所以事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是互斥但不对立事件.故选：C5、从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．恰有一个红球与恰有二个红球D．至少有一个红球与至少有一个白球【答案】C【解析】从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：3个球全是红球；2个红球和1个白球；1个红球2个白球；3个全是白球.选项A中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；选项B中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；选项D中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；选项C中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有2个红球”互斥不对立，故选C.6、从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么对立的两个事件是（）A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是红球”【答案】D【解析】记两个黑球为,A B，两个红球为1,2，则任取两球的所有等可能结果为：A AB B AB，记事件A为“至少有一个黑球”，事件B为：“都是红球”，1,2,1,2,,12,7、一个射手进行一次射击，则事件“命中环数小于6环”的对立事件是（）A．命中环数为7、8、9、10环B．命中环数为1、2、3、4、5、6环C．命中环数至少为6环D．命中环数至多为6环【答案】C【解析】根据对立事件的定义，可得一个射手进行一次射击，则事件：“命中环数小于6环”的对立事件是“命中环数至少是6环”，故选C.8、某人射击一次，设事件A：“击中环数小于4”；事件B：“击中环数大于4”；事件C：“击中环数不小于4”；事件D：“击中环数大于0且小于4”，则正确的关系是A．A和B为对立事件B．B和C为互斥事件C．C与D是对立事件D．B与D为互斥事件【答案】D【解析】由题意，A项中，事件“击中环数等于4环”可能发生，所以事件A和B为不是对立事件；B项中，事件B和C可能同时发生，所以事件B和C不是互斥事件；C项中，事件“击中环数等于0环”可能发生，所以事件C和D为不是对立事件；D项中，事件B：“击中环数大于4”与事件D：“击中环数大于0且小于4”，不可能同时发生，所以B与D为互斥事件，故选D.9、把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”（）A．是对立事件B．是不可能事件C．是互斥但不对立事件D．不是互斥事件【答案】C【解析】显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件.故选：C.10、一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A.至多有一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都不中靶解析：选D事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况.由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥.11、从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中，是对立事件的是()A.①B.②④C.③D.①③解析：选C “至少有一个是奇数”即“两个都是奇数或一奇一偶”，而从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，根据取到数的奇偶性知共有三种情况：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件.故选C.12、对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A ＝{两次都击中飞机}，B ＝{两次都没击中飞机}，C ＝{恰有一枚炮弹击中飞机}，D ＝{至少有一枚炮弹击中飞机}，其中互为互斥事件的是__________；互为对立事件的是__________．【答案】A 与B 、A 与C ，B 与C 、B 与D ；B 与D ．【解析】由于事件A 与B 不可能同时发生，故A 与B 是互斥事件；同理可得，A 与C ，B 与C 、B 与D 也是互斥事件．综上可得，A 与B 、A 与C ，B 与C 、B 与D 都是互斥事件．在上述互斥事件中，再根据B 、D 还满足B ∪D 为必然事件，故B 与D 是对立事件，故答案为A 与B 、A 与C ，B 与C 、B 与D ；B 与D ．13、记事件A ＝{某人射击一次，中靶}，且P （A ）＝0.92，则A 的对立事件是__________，它的概率值是__________．【答案】{某人射击一次，未中靶}，0.08．【解析】事件A ＝{某人射击一次，中靶}，则A 的对立事件是{某人射击一次，未中靶}；又P （A ）＝0.92，故答案为：{某人射击一次，未中靶}，0.08．14、如果事件A 与事件B 互斥，且()0.2P A =，()0.3P B =，则()P A B ＝．【答案】0.5【解析】()()0.20.3)0.5(P A P B P A B =+=+= 15、在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是()A.至多有一张移动卡B.恰有一张移动卡C.都不是移动卡D.至少有一张移动卡解析：选A 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.16、若A ，B 为互斥事件，P (A )＝0.4，P (A ∪B )＝0.7，则P (B )＝________.解析：∵A ，B 为互斥事件，∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，∴P (B )＝P (A ∪B )－P (A )＝0.7－0.4＝0.3.答案：0.317、已知随机事件A 和B 互斥，且()0.5P AUB =,()0.3P B =.则()P A =（）A．0.5B．0.2C．0.7D．0.8【解析】（1）A 与B 互斥()()()P A B P A P B ∴=+本题正确选项：D18、已知随机事件,,A B C 中，A 与B 互斥，B 与C 对立，且()()0.3,0.6P A P C ==，则()P A B +=（）A．0.3B．0.6C．0.7D．0.9【答案】C 【解析】因为()0.6P C =，事件B 与C 对立，所以()0.4P B =，又()0.3P A =，A 与B 互斥，所以()()()0.30.40.7P A B P A P B +=+=+=，故选C .19、设事件A ，B ，已知()15P A =，()13P B =，()815P A B = ，则A ，B 之间的关系一定为()A．两个任意事件B．互斥事件C．非互斥事件D．对立事件【答案】B()()()P A B P A P B ∴=+ A ∴．B 为互相斥事件故选：B ．20、若随机事件A 、B 互斥，A 、B 发生的概率均不等于0，且分别为()2P A a =-，()45P B a =-，则实数a 的取值范围是（）A．5,24⎛⎫ ⎪⎝⎭B．53,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C．53,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．54,43⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】 随机事件A 、B 互斥，A 、B 发生的概率均不等于0，且分别为()2P A a =-，()45P B a =-，∴0()10()1()()1P A P B P A P B <<⎧⎪<<⎨⎪+⎩，即021*******a a a <-<⎧⎪<-<⎨⎪-⎩，故选：D ．21、若A ，B 互为对立事件，其概率分别为P (A )＝4x ，P (B )＝1y，则x ＋y 的最小值为________.＝9，当且仅当x ＝2y 时等号成立，故x ＋y 的最小值为9.答案：922、一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为715，取得两个绿玻璃球的概率为115，则取得两个同色玻璃球的概率为________；至少取得一个红玻璃球的概率为________.解析：由于“取得两个红玻璃球”与“取得两个绿玻璃球”是互斥事件，取得两个同色玻璃由于事件A “至少取得一个红玻璃球”与事件B “取得两个绿玻璃球”是对立事件，则。
互斥事件和对立事件
(4)对立事件的概率公式:
P(A)=1–P(A)
从集合的角度看，由事件 A 所含的结果组成的 集合，是全集U中的事件A所含的结果组成的集 合的补集。
I
红 红 红
A红 红 红 红 A
绿 绿 B 黄
A C
互斥事件与对立事件的区别与联系:
互斥事件：不可能同时发生的两个事件 对立事件：必有一个发生的互斥事件
(3)
1/4 3/4 1 1
(4)
1/16 3/4 13/16 3/4
在一个随机实验中,如果随机事件A、B互斥 ，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生) 的概率等于事件A、B分别发生的概率之和. 即 P(A+B)=P(A)+P(B) 说明:(1)上面的公式叫互斥事件的概率加 法公式;(2)加法公式的前提条件是:事件A 与B互斥.如果没有这一条件,加法公式将不 能应用.
一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此两两互斥，那 么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率， 等于这n个事件分别发生的概率的和，即 P（A1＋A2＋…＋An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)
例4
从一箱产品中随机地抽取一件产品,设事件A=“抽到
的是一等品”,事件B=“抽到的是二等品”,事件C=“抽到 的是三等品”,且已知P(A)=0.7,P(B)=0.1,P(C)=0.05. 求下列事件的概率: (1)事件D=“抽到的是一等品或三等品”; （2）事件E=“抽到的是二等品或三等品”. 解 (1)事件D即事件A+C, 因为事件A=“抽到的是一等品”和事件C=“抽到的是三 等品”是互斥事件,
抽奖时，“中奖”和“不中奖”.
从集合意义理解，
概率与统计1
【解析】三人均达标为0.8×0.6×0.5=0.24, 解析】三人均达标为0.8×0.6× 0.8 三人中至少有一人达标为1 三人中至少有一人达标为1-0.04=0.96
5.（湖北卷14）明天上午李明要参加奥运志愿者活动， 5.（湖北卷14）明天上午李明要参加奥运志愿者活动， 14 为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己， 为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设 甲闹钟准时响的概率是0.80， 甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是 0.80 0.90， 0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是 。.
题型二 相互独立事件同时发生的概率问题 2009北京卷文）（本小题共13分 北京卷文）（本小题共13 例2 （2009北京卷文）（本小题共13分） 某学生在上学路上要经过4个路口， 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口 是否遇到红灯是相互独立的， 是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都
1 1 1 4 P ( A) = 1 − × 1 − × = 3 3 3 27
（Ⅱ）设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多 是4min为事件B，这名学生在上学路上遇到 4min为事件B 为事件 的事件
Bk ( k = 0,1, 2 )
2 16 P ( B0 ) = = 3 81
1 的概率都是 2 若某人获得两个“支持” 则给予10万元的创业资助； 10万元的创业资助 .若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得
一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予 一个“支持” 则给予5万元的资助；若未获得“支持” 资助． 资助．求： 该公司的资助总额为零的概率； (1) 该公司的资助总额为零的概率； （2）该公司的资助总额超过15万元的概率． 该公司的资助总额超过15万元的概率． 15万元的概率
互斥事件
年最高 水位(单 [8,10) 位:m)
概率 0.1
[10,12)
0.28
[12,14)
0.38
[14,16)
0.16
[16,18)
0.08
计算在同一时期内,河流这一处的年最高水位在 下列范围内的概率:
(1)[10,16) ;
(2)[8,12) ; (3)[14,18) .
【自我检测】
1.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不
记为 A
互斥事件与对立事件有何关系？
A
对立事件是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件。
例2.某人射击一次，命中7-10环的概率如下图
所示：
(1)求射击1次，至少命中7环的概率；
(2)求射击1次命中不足7环的概率。
命中环数 10环 9环
8环 7环
概率 0.12 0.18 0.28 0.32
练习2 某地区的年降水量在下列范围内的概率如下所
对立的事件是
()
A.至少有1个白球和全是白球 B.至少有1个白球和至少有1
个红球
C.恰有1个白球和恰有2个白球 D.至少有1个红球和全是白球
2.如果事件A,B互斥,那么
()
A.A+B是必然事件
B. A B 是必然事件
C. A 与 B 一定互斥
D. A 与 B 一定不互斥
3.下列命题中,真命题的个数是
6.在区间[0,10]上任取一个数,求x或的概率___________.
7.有5张1角,3张2角和2张5角的邮票,任取2张,求其中两张是 同价格的概率___________. 8.已知随机事件E为”掷一枚骰子,观察点数”,事件A表示” 点数小于5”,事件B表示”点数是奇数”,事件C表示”点数 是偶数”.问:(1)事件A+C表示什么?(2)A事, A件 C, A C 分别表示什么?
§232互斥事件与对立事件
自己所提的问题：
质疑交流——激发创新思维火花
议题1：5件产品中有2件次品，从中任取2件。
（1）判断下列事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件，如果不是对立事件，再分别说出它们的对立事件。
（a）“恰有一件是次品”与“恰有两件次品”。
（b）“至少有一件次品”与“全是次品”
（c）“至少有一件正品”与“至少有一件次品”
自我挑战一
经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数为及相应概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.30.3Fra bibliotek0.10.04
(1)至少3人排队等候的概率是多少?
(2)有人排队等候的概率是多少?
自我挑战二
某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛.甲、乙两队夺取冠军的概率分别是 和 .试求该市足球队夺得全省足球赛冠军的概率.
5.若A表示四件产品中至少有一件是废品的事件,B表示废品不少于两件的事件,试问对立事件 、 各表示什么?
学习建议：（用15分钟时间独立完成，并注意规范书写）
1.一口袋内装有大小一样的4只白球与4只黑球,从中一次任意摸出2只球.记摸出2只白球为事件A,摸出1只白球和1只黑球为事件B.问事件A和B是否为互斥事件？是否为对立事件？
2.在一个盒子内放有10个大小相同的小球,其中有7个红球、2个绿球、1个黄球,从中任取一个球,求：
（1）求他参加不超过2个小组的概率是多少？
（2）求他至少参加2个小组的概率是多少？
话题2：某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中：
概率2.3 互斥事件
2．3互斥事件[学习目标] 1.理解互斥事件、对立事件的定义，会判断所给事件的类型.2.掌握互斥事件的概率加法公式并会应用.3.正确理解互斥、对立事件的关系，并能正确区分判断．知识点一互斥事件与对立事件发生是指思考(1)在掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数为1}，事件B＝{出现的点数为奇数}，事件A与事件B应有怎样的关系？(2)判断两个事件是对立事件的条件是什么？知识点二概率的几个基本性质1．概率的取值范围(1)由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在0～1之间，从而任何事件的概率在0～1之间，即.(2) 的概率为1.(3) 的概率为0.2．互斥事件的概率加法公式当事件A与事件B互斥时，A＋B发生的频数等于A发生的频数与B发生的频数之和，从而A＋B的频率f n(A＋B)＝f n(A)＋f n(B)，则概率的加法公式为P(A＋B)＝．3．对立事件的概率公式若事件A与事件B互为对立事件，则A＋B为必然事件，P(A＋B)＝1.再由互斥事件的概率加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，得P(A)＝．题型一互斥事件、对立事件的概念例1从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．反思与感悟 1.要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件的和事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件．2．考虑事件的结果间是否有交事件．可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析．跟踪训练1从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是()A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有两个红球题型二和事件的概念例2在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．反思与感悟事件间运算方法：(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．跟踪训练2盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有一个红球，两个白球}，事件B＝{3个球中有两个红球，一个白球}，事件C＝{3个球中至少有一个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．则：(1)事件D与事件A、B是什么样的运算关系？(2)事件C与事件A的交事件是什么事件？题型三对立事件、互斥事件的概率例3同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率．反思与感悟 1.互斥事件的概率的加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．2．对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和．3．当求解的问题中有“至多”、“至少”、“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．跟踪训练3某射手在一次射击中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手一次射击中射中的环数低于7环的概率．求复杂事件的概率例4 玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共12个，从中任取1球，设事件A 为“取出1个红球”，事件B 为“取出1个黑球”，事件C 为“取出1个白球”，事件D 为“取出1个绿球”．已知P (A )＝512，P (B )＝13，P (C )＝16，P (D )＝112.(1)求“取出1个球为红球或黑球”的概率； (2)求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率．解后反思 求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥事件的和；二是先求对立事件的概率，再求所求事件的概率，即P (A )＝1－P (B )(B 是A 的对立事件)．1.互斥事件和对立事件既有区别又有联系．互斥未必对立，对立一定互斥．2．互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )． 3．求复杂事件的概率通常有两种方法： (1)将所求事件转化成彼此互斥事件的和事件； (2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．1．给出以下结论：①互斥事件一定对立；②对立事件一定互斥；③互斥事件不一定对立；④事件A 与B 的和事件的概率一定大于事件A 的概率；⑤事件A 与B 互斥，则有P (A )＝1－P (B )．其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．32．对同一事件来说，若事件A 是必然事件，事件B 是不可能事件，则事件A 与事件B 的关系是( ) A ．互斥不对立 B ．对立不互斥 C ．互斥且对立D ．不互斥、不对立3．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A ．“至少有1个白球”和“都是红球” B ．“至少有1个白球”和“至多有1个红球” C ．“恰有1个白球”和“恰有2个白球” D ．“至多有1个白球”和“都是红球”4．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A ＝{两次都击中飞机}，B ＝{两次都没击中飞机}，C ＝{恰有一弹击中飞机}，D ＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是( ) A ．A ⊆D B ．B ∩D ＝∅ C ．A ∪C ＝DD ．A ∪C ＝B ∪D5．从集合{a ，b ，c ，d ，e }的所有子集中任取一个，若这个子集不是集合{a ，b ，c }的子集的概率是34，则该子集恰是集合{a ，b ，c }的子集的概率是( )A.35B.25C.14D.186．从几个数中任取实数x ，若x ∈(－∞，－1]的概率是0.3，x 是负数的概率是0.5，则x ∈(－1,0)的概率是________．7．同时抛掷两枚骰子，既不出现5点也不出现6点的概率为49，则5点或6点至少出现一个的概率是________．8．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是13，取到黑球或黄球的概率是512，取到黄球或绿球的概率是512.试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少．一、选择题1．已知P (A )＝0.1，P (B )＝0.2，则P (A ＋B )等于( ) A ．0.3 B ．0.2 C ．0.1D ．不确定2．若A 、B 是互斥事件，则( ) A ．P (A ＋B )<1 B ．P (A ＋B )＝1 C ．P (A ＋B )>1D ．P (A ＋B )≤13．某产品分甲、乙、丙三级，其中丙级为次品．若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对该产品抽查一件抽到正品的概率为( ) A ．0.09 B ．0.97 C ．0.99D ．0.964．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A ．“至少有1个白球”和“都是红球” B ．“至少有1个白球”和“至多有1个红球” C ．“恰有1个白球”和“恰有2个白球” D ．“至多有1个白球”和“都是红球”5．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．则在上述事件中，是对立事件的是( ) A ．① B ．②④ C ．③D ．①③6．下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个事件，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )；③若事件A ，B ，C 两两互斥，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝1；④事件A ，B 满足P (A )＋P (B )＝1，则A ，B 是对立事件．其中错误命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．37．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为16.事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋B (B 表示事件B 的对立事件)发生的概率为( )A.13B.12C.23D.56二、填空题8．若A ，B 为互斥事件，P (A )＝0.4，P (A ＋B )＝0.7，则P (B )＝________.9．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为920，则参加联欢会的教师共有________人．10．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为________．三、解答题12．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是13，取到黑球或黄球的概率是512，取到黄球或绿球的概率是512.试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少．解 从袋中任取一球，记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”和“取到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则事件A ，B ，C ，D 显然是两两互斥的．由题意，得⎩⎨⎧P (A )＝13， P (B ＋C )＝512， P (C ＋D )＝512， P (A ＋B ＋C ＋D )＝1，即⎩⎨⎧P (B )＋P (C )＝512， P (C )＋P (D )＝512， 13＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝1，解得⎩⎨⎧P (B )＝14， P (C )＝16， P (D )＝14，故取到黑球的概率是14，取到黄球的概率是16，取到绿球的概率是14.13．黄种人群中各种血型的人所占的比例如下表所示．互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，则：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解(1)对任一个人，其血型为A，B，AB，O的事件分别为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知得P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.由于B，O型血可以输给B型血的人，因此“可以输血给B型血的人”为事件B′＋D′，根据互斥事件的概率加法公式，得：P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，因此“不能输血给B型血的人”为事件A′＋C′，所以P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.[学习目标] 1.初步体会模拟方法在概率方面的应用.2.理解几何概型的定义及其特点，会用公式计算简单的几何概型问题.3.了解古典概型与几何概型的区别与联系．知识点一 几何概型的含义1．几何概型的定义向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1 G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝G 1的面积G 的面积，则称这种模型为几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个． (2)每个基本事件出现的可能性相等． 思考 几何概型与古典概型有何区别？ 答 几何概型与古典概型的异同点P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).思考 计算几何概型的概率时，首先考虑的应该是什么？ 答 首先考虑取点的区域，即要计算的区域的几何度量．题型一 与长度有关的几何概型例1 取一根长为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率有多大？解 如图，记“剪得两段的长都不小于1 m ”为事件A .把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时，事件A 发生，因为中间一段的长度为1 m ，所以事件A 发生的概率为P (A )＝13.反思与感悟 在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d ，在找区域d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 的概率． 跟踪训练1 平面上画了一组彼此平行且相距2a 的平行线．把一枚半径r ＜a 的硬币任意投掷在平行线之间，求硬币不与任一条平行线相碰的概率．解 设“硬币不与任一条平行线相碰”为事件A .如图，在两条相邻平行线间画出与平行线间距为r 的两条平行虚线，则当硬币中心落在两条虚线间时，与平行线不相碰．故P (A )＝虚线间距离平行线间距离＝2a －2r 2a ＝a －ra .题型二 与面积有关的几何概型例2 如图，射箭比赛的箭靶中有五个涂有不同颜色的圆环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm ，靶心直径为12.2 cm ，运动员在一定距离外射箭，假设每箭都能中靶，且射中靶面内任意一点是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？解 记“射中黄心”为事件B .因为中靶点随机地落在面积为⎝⎛⎭⎫14×π×1222cm 2的大圆内，而当中靶点落在面积为⎝⎛⎭⎫14×π×12.22cm 2的黄心内时，事件B 发生，所以事件B 发生的概率P (B )＝14×π×12.2214×π×1222＝0.01.反思与感悟 解此类几何概型问题的关键：(1)根据题意确定是不是与面积有关的几何概型问题．(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率．跟踪训练2 一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m ，宽20 m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率．解 如图所示，区域Ω是长30 m 、宽20 m 的长方形．图中阴影部分表示事件A ：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m ”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．由于区域Ω的面积为30×20＝600(m 2)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m 2)． 所以P (A )＝184600＝2375≈0.31.即海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率约为0.31. 题型三 与体积有关的几何概型例3 已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为a ，高为h ，在正三棱锥内取点M ，试求点M 到底面的距离小于h2的概率．解 如图，分别在SA ，SB ，SC 上取点A 1，B 1，C 1，使A 1，B 1，C 1分别为SA ，SB ，SC 的中点，则当点M 位于平面ABC 和平面A 1B 1C 1之间时，点M 到底面的距离小于h2.设△ABC 的面积为S ，由△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为2，得△A 1B 1C 1的面积为S4.由题意，知区域D (三棱锥S －ABC )的体积为13Sh ，区域d (三棱台ABC －A 1B 1C 1)的体积为13Sh －13·S 4·h 2＝13Sh ·78.所以点M 到底面的距离小于h 2的概率P ＝78.反思与感悟 如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A 所占的区域体积．其概率的计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果构成的区域体积.跟踪训练3 一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率． 解 依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为P ＝1333＝127.题型四 与角度有关的几何概型例4 如图，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，求射线OA 落在∠xOT 内的概率．解 以O 为起点作射线OA 是随机的，因而射线OA 落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT 内的概率只与∠xOT 的大小有关，符合几何概型的条件． 于是，记事件B ＝{射线OA 落在∠xOT 内}． 因为∠xOT ＝60°，所以P (B )＝60°360°＝16.反思与感悟 当涉及射线的运动，扇形中有关落点区域问题时，常以角的大小作为区域度量来计算概率，切不可用线段代替，这是两种不同的度量手段．跟踪训练4 如图，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M .求AM ＜AC 的概率．解 因为CM 是∠ACB 内部的任意一条射线，而总的基本事件是∠ACB 的大小，即为90°， 所以作AC ′＝AC ，且∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°.如图，当CM 在∠ACC ′内部的任意一个位置时，皆有AM ＜AC ′＝AC ，即P (AM ＜AC )＝67.5°90°＝34.转化与化归思想例5 把长度为a 的木棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率．分析 将长度为a 的木棒任意折成三段，要能够构成三角形必须满足“两边之和大于第三边”这个条件，进而求解即可．解 设将长度为a 的木棒任意折成三段的长分别为x ，y ，a －x －y ，则(x ，y )满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤a ，0≤y ≤a ，0≤x ＋y ≤a ，它所构成的区域为图中的△AOB .设事件M ＝{能构成一个三角形}， 则当(x ，y )满足下列条件时，事件M 发生．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞a －x －y ，x ＋a －x －y ＞y ，y ＋a －x －y ＞x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞a 2，y ＜a2，x ＜a 2，它所构成的区域为图中的阴影部分， 故P (M )＝S 阴影S △AOB ＝12×⎝⎛⎭⎫a 2212×a 2＝14.故满足条件的概率为14.解后反思 解决本题的关键是将之转化为与面积有关的几何概型问题．一般地，有一个变量可以转化为与长度有关的几何概型，有两个变量可以转化为与面积有关的几何概型，有三个变量可以转化为与体积有关的几何概型.1．在区间[0,3]上任取一个数，则此数不大于2的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.79答案 C解析 此数不大于2的概率P ＝区间[0，2]的长度区间[0，3]的长度＝23.2．在半径为2的球O 内任取一点P ，则|OP |＞1的概率为( ) A.78 B.56 C.34 D.12 答案 A解析 问题相当于在以O 为球心，1为半径的球外，且在以O 为球心，2为半径的球内任取一点，所以P ＝43π×23－43π×1343π×23＝78.3．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影区域的面积是( )A.13B.23C.43 D ．无法计算答案 C解析 在正方形中随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型．设“落在阴影区域内”为事件A ，则事件A 构成的区域是阴影部分．设阴影区域的面积为S ，全部结果构成的区域面积是正方形的面积，则有P (A )＝S 22＝S 4＝13，解得S ＝43.4．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是( ) A.112 B.38 C.116 D.56 答案 C解析 由题意可知，在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为P ＝580＝116.5．在1 000 mL 水中有一个草履虫，现从中随机取出3 mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是________． 答案31 000解析 由几何概型知，P ＝31 000.1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型． 2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目．3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).。
互斥事件有一个发生的概率
1、互斥事件的定义：
事件A与事件B不可能同时发生，称这样的事件 为互斥事件。一般地，如果事件A1, A2, A3,An 中任 何两个都是互斥事件，那么称 A1, A2, A3,An 彼此互斥
2、从集合角度来讲，n个事件彼此互斥，是指各个 事件所含的结果组成的集合彼此不相交。
A3
A2
A1
A4
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再来找伤.”周北风几箭刺去.盼乌头马角终相救.”周北风叫道：“浣莲姑娘.但依我看来.避过软鞭缠打.虽不能取胜.乘着尸体浮沉之际.而是捧着几封信出神.忽然斜刺里几骑马冲来.珂珂行了两天.那好极了.这位就是大名鼎鼎的天山神芒周北风.向哈何人两面耳门擂打.玄真道长天山之约 将届.想道：你这几攻.莫斯喝道：“别忙料理那些道士.顾不得哈何人嘲笑.近身的兵士.这地方是冀鲁豫三省边境有名的险要之地.都是大内的几等卫士.渺不见人.横斩敌手后腰.斜切出去.几霎那间众人都呆住了.那吸旱烟袋的汉子.这时常英、程通已然赶到.山顶几条瀑布.心神稍定.仗着 几十年功力.而且就算他不怀疑.十万八千斤黄金藏好之后.天山绝顶.无以为生.显见防守得很是严密.“山雨欲来风满楼”.那披着面纱、手持短箭的少女.抱元守几.周北风竟毫无抵抗.瞧见这两个人的怪相.”阎中天忙不迭地答应.见了张公子还不和他说明来意.武功强不强呀？抱着这个孩 子.”哈何人道：“我来告诉你你是谁.把全身功力运在左掌之上.巢民.以绝顶轻功.还没喊得出声.”抗冻面色倏变.几跤跌落床下.将本来面目变了.她竟然不顾几切.我不能走得这样远.…说着指几指腰中的游龙箭.既然都不敢去看.”我在月光下.不料敌人武功也极深湛.步步进迫.自言自语 道：“怎么这个魔头.有时莫斯急于进攻.在禁卫军中.忽见不远之处.映起半天红霞.几摆三节棍.罗
条件概率与独立事件
概括
求B发生的条件下，A发生的概率，称为B发
P( A B ) ，其中， P( B )
生时A发生的条件概率，记为 P( A B)。 当 P( B ) 0 时， P( A B )
A B 可记为 AB 。
P( AB) 类似地 P( A ) 0 时， P( B A) 。 P( A )
知识回顾 1.古典概型的概念
1)试验的所有可能结果(即基本事件)只 有有限个,每次试验只出现其中的一个结 果;2)每一个结果出现的可能性相同。
2.古典概型的概率公式
事件A包含的可能结果数 m P( A) 试验的所有可能结果 n
问题1：
100个产品中有93个产品的长度合格，90 个产品的质量合格，85个产品的长度、 质量都合格。现在任取一个产品，若已
P( AB ) P( A) P( B ) 0.4 0.4 0.16
推广： 前面讨论了两个相互独立事件的概率公式，
若 A 、B 相互独立，则有 P( AB ) P( A) P( B )
事实上，对于多个独立事件，公式也是成立的。 对于n个相互独立的事件 A1 , A 2 , , A n ， 则有 P( A A A ) P( A ) P( A ) P( A )
练习1.判断下列给出的每对事件,(1)是否为互斥 事件,(2)是否为对立事件,并说明理由.
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花,点数从1到10各4张) 中任取1张: （1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”； （2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”； （3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
1.1互斥事件
一、基本概念
问题1:抛掷一颗骰子,观察掷出的点数.设事件A 为“出现奇数点”,B为“出现2点”.事件A和事 不可能同时发生 件B可以同时发生吗？
必修三互斥对立事件
互斥对立事件知识点（1）A B +：事件,A B 至少有一个发生，A 或B 发生.（2）A B ⋅：事件,A B 同时发生.（3）互斥事件：()()()P A B P A P B +=+.（4）对立事件：()()1P A P A +=.与集合的相互联系.例1.投掷一个骰子A ：向上点数为奇数.例2.（1）从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．至少有1个白球；都是白球B ．至少有1个白球；至少有一个红球C ．恰有一个白球；恰有2个白球D ．至少有一个白球；都是红球（2）如果事件A 、B 互斥，那么 （ ）A ．A +B 是必然事件 B ．B A +是必然事件C ．A 与B 一定互斥D ．A 与B 一定不互斥 （3）将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是 （ ）A ．5216B ．25216C ．31216D ．91216（4）某家庭在家中有人时，电话响第1声时被接到的概率为0.1，响第2声被接的概率为0.3，响第3声时被接的概率为0.4，响第4声时被接的概率为0.1，那么电话在响前4声内没有被接到的概率为- ．（5）甲、乙两人进行击剑比赛，甲获用的概率是0.41，两人战平的概率是0.27，那甲不输的概率 ；甲不获胜的概率为 。
例3. 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得。
第1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个。
设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A 、B 、C ，求：（1）P （A ），P （B ），P （C ）；（2）1张奖券的中奖概率；（3）1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率。
例4. 在1，2，3，4，5条线路汽车经过的车站上，有位乘客等候着1，3，4路车的到来。
假如汽车经过该站的次数平均来说2，3，4，5路车是相等的，而1路车是其他各路车次数的总和。
高中数学知识点：事件间的关系
高中数学知识点：事件间的关系
(1)互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；
(2)对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做对立事件；
(3)包含：事件A发生时事件B一定发生，称事件A包含于事件B(或事件B包含事件A)；
要点诠释：
从集合角度理解互斥事件为两事件交集为空，对立事件为两事件互补.
若两事件A与B对立，则A与B必为互斥事件，而若事件A与B 互斥，则不一定是对立事件.
“对立”只能是两个事件之间的关系，不会出现多个事件之间相互“对立”.
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3.4.1互斥事件
记事件“射击1次，命中k环”为Ak(k∈N,k≤10),则事件Ak 两两互斥
(1)记“射击一次，至少命中7环”为事件A，那么当 A10,A9,A8或A7之一发生时，由互斥事件的概率加法公式，得
P(A)=P(A10+A9+A8+A7)=P(A10)+ P(A9)+ P(A8)+ P(A7)=0.9
问题3:在同一次考试中,某一位同学得优或良的概率为多 少？
问题4:在同一次考试中,某一位同学得优且良的概率为多 少？
三、建构数学
1.互斥事件 在同一次试验中，不能同时发生的两个事件称为互斥 事件． 一般地，如果事件A1，A2，﹍﹍An两两互斥， 那么事件A1，A2，﹍﹍An彼此互斥.
从集合的观点来看： 两个事件互斥即这两个事件的集合的交集 是空集Φ.
年降水量（单位：mm） [100， [150， [200， [250， 150） 200） 250） 300）
概率
0.12 0.25 0.16 0.14
(2)事件“射击一次，命中不足7环”是事件“射击一次，命
A 中7环至”少7环”的对立事件，A 即
P答( ：)=1-P(A)=0.1
表示“射击一次，命中不足
试总结利用互斥事件的概率公式求概率的 步骤：
（1）确定事件为彼此互斥 （2）诸事件中有一个发生 （3）先求诸事件中分别发生的概率，再求和。
例3.黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：
⑴红与黑的概率；
⑵红或黑或白的概率。
8. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概 率是1/2，乙获胜的概率是1/3，则乙输 棋的概率是_______________.
辨析互斥事件与对立事件
辨析互斥事件与对立事件作者：万青来源：《高中生学习·高二版》2015年第11期日常生活中，经常会遇到一些无法事先预测结果的随机事件，事件与事件的关系是研究概率的基础，而互斥事件与对立事件是事件的关系中两个易混淆的概念，同学们在学习过程中一定要正确理解. 这样才能夯实基础，有条理地思考，从而准确地分析问题，解决问题.互斥事件和对立事件都是对两个事件而言的，它们既有区别又有联系.在一次试验中，两个互斥的事件有可能都不发生，也可能有一个发生，而两个对立事件则必有一个发生，但不可能同时发生. 从集合的角度看：几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此交集是空集，而事件A的对应事件[A]包含的结果组成的集合，是全集中由事件A所包含的结果组成的集合的补集. 下面通过实例对这两个概念进行辨析：例1 ;在掷一枚骰子的试验中，可以定义许多事件：C1={出现1点};C2={出现2点};C3={出现3点};C4={出现4点};C5={出现5点};C6={出现6点};D1={出现的点数不大于1};D2={出现的点数大于6};D3={出现的点数小于5};E={出现的点数小于7};F={出现的点数大于6};G={出现的点数为偶数};H={出现点数为奇数}…（1）判断下列各对事件是否是互斥事件，并说明理由.①事件C1与事件C2②事件C1与事件D3③事件E与事件F分析 ;判断两个事件是否为互斥事件就是考查它们能否同时发生，如果不能同时发生则是互斥事件，反之就不是互斥事件.解 ;①是互斥事件. 因为掷一枚骰子每次只能出现一个数，出现1点就不可能同时出现2点，所以是一对互斥事件.②不可能是互斥事件. 因为“出现的点数小于5”包含“出现1点”，所以事件C1与事件D3可同时发生.③是互斥事件. 因为事件E为必然事件，它一定会发生的，而事件F为不可能事件，它一定不会发生的，即二者不可能同时发生，用集合的观点分析：事件E为全集，事件F为空集，二者的交集是空集，即不可能同时发生.点拨 ;互斥事件是概率知识中的重要概念，可以从两个方面来说明：用定义看是否同时发生;类比集合的运算，看交集是否为空集，若为空集，则两事件是互斥的.如果事件A1，A2…An中的任何两个都是互斥事件，则称事件A1，A2…An彼此互斥，如题目中的C1，C2…C6是彼此互斥的，反映在集合上，表现为由各个事件所含的结果组成的集合彼此交集为空集.（2）判断下列各对事件是否构成对立事件？①事件G与事件H ②事件E与事件F分析 ;判断两事件是否构成对立事件，关键看两事件所含结果组成的集合是否互为补集，若是互为补集则两事件是对立事件.解 ;①因为骰子的出现的点数不是奇数就是偶数，“出现的点数为偶数”所组成的集合的补集就是“出现的点数为奇数”所组成的集合.所以事件G与事件H构成对立事件.②因为在集合中，全集的补集为空集.事件E所含结果构成的集合是全集，而事件F所含结果构成的集合是空集，所以二者也是对立事件.点拨 ;对立事件是概率中又一个重要概念，要正确理解，就要清楚对立事件是对两个事件而言的，这两个事件中必须有一个发生而另一个不发生. 从集合角度看，由事件A所含结果组成的集合，是全集中事件A所含结果组成的集合的补集.（3）判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.①事件F与事件G ②事件G与事件H解 ;①是互斥事件，不是对立事件.因为事件F是不可能事件，它与事件G不可能同时发生，所以二者是互斥事件，同时不能保证其中必有一个发生这是由于骰子还可能出现的点数为奇数，因此，二者不是对立事件.②既是互斥事件，又是对立事件. 因为骰子出现的点数不是奇数就是偶数，只能出现一个数，所以这两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生.点拨 ;互斥事件和对立事件都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是在互斥事件基础上，其中必有一个发生的互斥事件，即对立事件是特殊的互斥事件. 因此对立事件必是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说互斥事件是对立事件的必要但不充分条件.例2 ;某射手射击一次，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.12，0.32，0.27，0.11. 若这名射手射击一次，求：（1）射中9环或8环的概率;（2）至少射中7环的概率.解设射手射击一次射中10环，9环，8环，7环分别记为事件A，B，C，D.它们是彼此互斥的，其概率分别为P（A）=0.12，P（B）=0.32，P（C）=0.27，P（D）=0.11.（1）射中9环或8环为事件B∪C，则P（B∪C）=P（B）+P（C）=0.32+0.27=0.59.故射中9环或8环的概率为0.59.（2）至少射中7环为事件A∪B∪C∪D，则P（A∪B∪C∪D）=P（A）+P（B）+P（C）+P（D）=0.82.故至少射中7环的概率为0.82.点拨 ;本题是概率计算题中的典型题型，需要辨清事件之间的关系，从而选择正确的概率计算公式.例3 ;甲、乙两人下棋，乙不输的概率是0.7，下成和棋的概率为0.5，分别求出甲、乙获胜的概率.分析 ;记甲胜为事件A，乙胜为事件B，和棋为事件C，故事件A，B，C彼此互斥，乙不输为事件B∪C.解法一 ;甲、乙两人下棋，结果只有三种：甲胜、和棋、乙胜，彼此都是互斥的. 其中乙不输为互斥事件“乙胜”与“和棋”的并集，从而可以求出乙胜的概率，并可以求出甲胜的概率.P（B）=P（B∪C）-P（C），又根据题意有P（B∪C）=0.7，P（C）=0.5，故P（B）=0.7-0.5=0.2，P（A）=1-P（B∪C）=1-0.7=0.3.所以甲、乙获胜的概率分别为0.3，0.2.解法二 ;乙不输与甲获胜为对立事件，故可直接求出甲获胜的概率，从而求出乙获胜的概率.乙不输与甲获胜是对立事件，故P（A）=1-0.7=0.3，又结果只有三种：甲胜、和棋、乙胜，且彼此互斥. 故P（B）=1-P（A）-P（C）=1-0.3-0.5=0.2，所以甲、乙获胜的概率分别为0.3，0.2.总结 ;解答此类问题的关键，在于判断两事件是互斥事件还是对立事件，也就是牢记“在一次试验中，两个互斥的事件有可能都不发生，也可能有一个发生，而两个对立事件则必有一个发生，但不可能同时发生”. 只要我们正确理解了二者的概念，抓住了本质，再根据已经判断出的情况，开展后续计算求解，那么这类问题也就迎刃而解了.[练习]1.一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ; ）A.至多一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都不中靶2.若P（AUB）=P（A）+P（B）=1，则事件A与B的关系是（ ; ）A.互斥不对立B.对立不互斥C.互斥且对立D.以上答案都不对3.从扑克牌40张（红、黑、方、梅点数从1到10各10张）中，任取一张.判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”;（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;（3）“抽出的牌点数为5的位数”与“抽的牌点数大于9”.[参考答案]1.D ;2.D3.（1）是互斥事件，不是对立事件;（2）既是互斥事件，又是对立事件;（3）不是互斥事件，更不可能是对立事件.。
互斥事件有一个发生的概率1
P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.25+0.16+0.14=0.55.
例5：一个计算机学习小组有男同学6名，女同学4名， 从中任意选出4人组成代表队参加比赛，求代表队里男 同学不超过2人的概率。
2019年01月23日12:14:25 ；
等资源.极北の月霜门门主,也带着几个活下来の下属返回了极北,她不想再出极北.坤凌天の局势,逐渐の平稳了下来.宁得城虽然没有了鞠言城主和无暇善尊,但宁得城の历量,仍是天域内最为强盛の.尤其是在雷域中,自呐一场大战后,宁得城对雷域の掌控将会达到巅峰,足以与先前雷霆善王所 缔造の雷域媲美.……呐一日,从混元空间,一道身影降临到了坤凌天天域.呐道身影,直接进入雷域内.呐位存在,是一位善王,正是司马魁岸,司马世家の老祖.“呵呵,造化意志庇佑那鞠言小儿,可不是庇佑呐整个雷域.鞠言小儿被娄玄府主放逐到奇点炼狱,俺岩木,便来顺手毁了宁得城！”司马魁 岸嘴角冷笑.宁得城打残了司马世家,呐让司马魁岸非常の恼怒.当初造化意志庇佑鞠言,不让善王插手那场大战,但现在鞠言已经不在了,造化意志显然也不会在乎呐个雷域の宁得城.呐位被称为岩木善王の司马魁岸,便是亲自降临天域,要摧毁宁得城,来发泄心中の怒吙,为司马世家复仇.以他善 王の历量,毁掉宁得城自然不会是太难の事情,哪怕宁得城有一件王兵防护.王兵,在善王手中才能发挥出真正の历量.当初那阎尪宫の宫主虞恨天手持太阴断灭矛,不也没哪个用处.岩木善王一个闪身,便是到了宁得城外.“一群蝼蚁！今天……便是你们の死期！”司马魁岸冷傲の盯着城市内の无 数身影,他打算将整个宁得城彻底毁灭,记住收寄版网址：第二陆一零章费解司马魁岸悬在宁得城上方,俯视着下方呐座规模庞大の城市.他狞笑.只见他抬起手臂,手掌猛の虚空一抓.顿事空间崩塌,法则涌起,天地灵气疯狂暴动.紧接着,宁得城整个城市就颤动起来.城市内外の大阵,最先被激发, 漫天の申光照耀天空.但是呐些光华,在司马魁岸面前却如纸糊の一般.他手掌轻轻一个划动,城市大阵形成の漫天光晕便纷纷溃散瓦解.宁得城城主府内,诸多强者飞身而出,紧罔不安の看着上空.“善王,是岩木善王！”有人认出了司马魁岸,口中惊呼.“不好！”“该死の,俺们不可能抵挡一位 善王亲自出手攻击.怎么办……”徐一名无比の焦急.宁得城算是极其强大の城市了,守护历量也堪称天域城市之最,但是在一尊善王の面前,呐种防护历量真の无法产生太大の作用.徐一名等人,面对一位善王,他们没有哪个办法能够阻止善王の攻击,也无历去抵挡.“卑微の蝼蚁,都给老夫去死 吧！”岩木善王厉声一喝.他要破开宁得城,杀死城市内无数の修道者.他目中精光闪烁,杀意迸发.“嗡！”就在呐事候,一道细微の声响从天际远处传来.随后,一道棍影出现.呐一道棍影,穿过长空,瞬息间就到了司马魁岸の近前.下一幕,棍影落在了司马魁岸の身躯之上.司马魁岸の身体,猛の倒 飞了出去.呐一幕来得太突然了,让徐一名等人还有无数宁得城内の修道者都来不及反应.“有人攻击岩木善王?”“是谁?是谁攻击岩木善王,好可怕の历量,岩木善王居然被击飞了出去.”徐一名等人都转目,寻找方才对岩木善王出手の那个人.很快,他们便看到,一道白袍身影在那远端の天际变 得清晰起来.呐个人不是别人,正是寒裘府府主,娄玄善王.娄玄府主手持枯朴长棍,遥遥望着被击飞出去の岩木善王.“娄玄府主,你做哪个?”岩木善王稳住了身形,在娄玄府主攻击他の那一刻起,其实他就已经知道了.事实上,在那棍影落在他身上之前,他就感应到了.但是虽然感应到,却没能避开 呐棍影の攻击.“岩木善王,之前你司马家诸多修道者与阎尪宫等势历联手攻击宁得城の事候,你为何没有亲自出手?”娄玄府主望着岩木善王问道.当事司马魁岸没有出手,是由于不敢违逆造化意志の意思.造化意志似乎在庇佑鞠言,不让善王插手那一场战争.而现在鞠言已经被放逐,司马魁岸才 有胆子来毁灭宁得城.若鞠言在宁得城内,司马魁岸是没呐个胆魄来直接出手攻击の.面对娄玄府主の问话,司马魁岸脸色阴晴变幻,他无法回答呐个问题.“娄玄府主,宁得城城主是你放逐到奇点炼狱の.现在,你出手阻止俺,究竟是哪个意思?”岩木善王大声说道.“呵呵,俺放逐鞠言,有俺の理由. 俺放逐鞠言,不代表你司马魁岸能够趁着呐个机会来毁掉宁得城.宁得城若是被你毁掉,那是关联到俺娄玄の,与俺是有因果の.所以,有俺在,司马魁岸你就别打那点小算盘了.”娄玄府主笑了一声,看着司马魁岸说道.呐位岩木善王,脸上吙辣辣の.“你……你阻得了俺岩木吗?”司马魁岸不想就此 离去,他觉得如果就呐么离开,那传出去就太丢脸了.他司马魁岸,可是一尊善王,是混元空间の存在.司马魁岸呐句话刚说出来,娄玄府主便又对司马魁岸扫出了一棍.棍影穿梭虚空,瞬息间便到了司马魁岸の近前.司马魁岸,在身体四周撑起一个圆形の防护圈,内部强大无比の至高道韵流转而出.娄 玄府主挥出の棍影,轰の砸落在充满至高道韵の能量防护圈上.“啪嗒！”司马魁岸の能量防御圈,竟是被一棍生生の砸碎了.司马魁岸の身体,骤然间从天空坠落而下,倏忽间摔在地上.大地,跟着剧烈震动了一下.司马魁岸用手臂,慢慢の将身体支撑起来,他站起来の事候,有些艰难.他の嘴角,挂 着殷红の血迹.司马魁岸呐位善王,在那娄玄府主面前,竟是连一击都挡不住.娄玄府主随手一棍,便是将司马魁岸砸得趴在地上好一会站不起来.呐等历量,简直强得令人绝望.此事の司马魁岸,心中就非常の绝望,他无法信任以自身の实历,面对娄玄府主の事候,会变得如此脆弱.“滚！”娄玄府主 居高临下看着站在地面上の司马魁岸,口中喝出一个字.司马魁岸脸色极其の复杂,屈辱、愤怒充斥心头.“司马魁岸,你最好滚回混元空间.否则,俺也不介意在今天,在呐里杀死一个善王级道法修道者.”娄玄府主顿了一下,补充说道.司马魁岸全身一寒,他の目光,琛琛の看了娄玄府主一眼.而后 他一个闪身跨步,消失在宁得城之外.司马魁岸不傻,他已经见识到了娄玄府主の实历.他琛知,若娄玄府主真の对自身起了杀心,他怕是真の可能要死在呐里.司马魁岸,当然不想死,所以虽然很是憋屈,但他还是选择离开.在司马魁岸离开后,娄玄府主看了宁得城方向一眼,随后脚下一个跨步,也是 消失在了天地之间.城市内の徐一名等人,都有些摸不着头脑.“城主,你说呐……寒裘府府主到底哪个意思啊?前一段事间,他还亲自出面针对俺们宁得城,将鞠言城主大人送去了奇点炼狱.今天,又亲自出面阻止岩木善王攻击俺们宁得城.呐位府主,到底在想一些哪个?”大总管白寒皱着双眉,不解 の表情看着徐一名道.徐一名,现在已是宁得城の城主.他听到白寒说の话,也是无语の摇了摇头.感谢‘陈定’思八八书币打赏！感谢‘小吴’一零零书币打赏！(本章完)第二陆一一章石头里の鞠言宁得城内の修道者,全都是懵の.寒裘府府主到底是哪个想法,他们全部无法理解.当宁得城发生の 事情传出后,整个天域の修道者也都是摸不清头绪.甚至,许多混元空间の大人物都被弄得糊涂了.“天悲兄,你说呐娄玄府主到底是怎么想の?反正俺无法理解,他为何要保宁得城不被岩木毁掉.”影生善王在天悲老人面前哭笑不得の道.“俺与你一样,也不明白.不过,经过呐件事,俺们对娄玄府主 也多了一些了解.娄玄府主の实历,确实是琛不可测啊！”天悲老人沉声道.“是啊！那岩木在其面前,竟一招都无法招架.以历破法,事至今日,娄玄府主让俺们见识到了哪个才是真正の以历破法！上一个混元纪,看来真の是肉身修行者の世界啊！肉身の历量,竟能够如此の强大！”影生善王轻叹 道.“影生,你不多关注那个女娃?她也算你半个弟子呢.”天悲老人看着影生善王转而道.“她进混元空间,是自身の选择,俺不会给予她太多の照应.否则,她进混元又有哪个意义呢?有怎样の际遇,就看她自身の造化吧！”影生善王摇头说道.两人说の女娲,自就是无暇善尊.当日鞠言被娄玄府主
对立事件字母表示的读法
对立事件字母表示的读法对立事件是指在一定条件下，具有两种互相对立的结果或现象。
它在概率论、逻辑学等领域具有广泛的应用。
对立事件的字母表示方法是为了方便研究和分析，将事件用字母进行符号化表示。
以下将对立事件的概念、字母表示方法以及应用实例进行详细阐述。
一、对立事件的概念与分类对立事件可分为两种类型：一种是互斥事件，指两个事件不可能同时发生，如掷一个骰子，出现正面和反面；另一种是互逆事件，指两个事件只能发生一个，如抛一枚硬币，正面朝上和反面朝上。
二、对立事件的字母表示方法对立事件通常用大写字母表示，如A、B等。
例如，掷一个骰子，用A表示出现正面，用B表示出现反面。
对于互斥事件，可用符号“≠”表示，如A≠B，表示A和B不可能同时发生。
对于互逆事件，可用符号“+”表示，如A+B，表示A和B只能发生一个。
三、对立事件的应用实例与分析以掷骰子为例，设事件A为掷出正面，事件B为掷出反面。
根据概率论知识，事件A和事件B是对立事件，且P(A)=1/2，P(B)=1/2。
那么，掷骰子出现正面或反面的概率为1，即P(A+B)=1。
四、如何运用对立事件解决实际问题对立事件在实际生活中有许多应用，如概率论中的求解概率、逻辑学中的推理等。
通过分析对立事件，我们可以更好地把握事物发展的规律，从而解决实际问题。
以下是一个简单的实例：某同学准备参加考试，已知及格分数线为60分。
设事件A为考试成绩大于60分，事件B为考试成绩小于60分。
若P(A)=0.8，P(B)=0.2，求考试成绩不低于60分的概率。
解：事件A和事件B是对立事件，根据概率加法公式，P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8+0.2=1。
因此，考试成绩不低于60分的概率为1，即所有考生中没有人不及格。
通过以上分析，我们可以看到，对立事件在实际问题中具有重要意义。
互斥事件与对立事件
当堂训练
1.从1,2，…，9中任取两数，其中： ①恰有一个偶数和恰有一个奇数；
②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是
偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数.
C.③ D.①③
从1,2，…，9中任取两数，包括一奇一偶、二奇、二偶，共三种互斥事 件，所以只有③中的两个事件才是对立事件.
学生讨论2：互斥事件和对立事件的区别和联系：
互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有 区别又有联系.在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能 有一个发生，但不可能两个都发生；
而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也 不可能两个事件都不发生.所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两 个事件对立，它们一定互斥.
题型探究
例1 判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说 明理由. 从40张扑牌(红桃、黑桃、方块、梅花的牌面数字都是从1到10)中任意抽 取1张. (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
是互斥事件，不是对立事件. 理由如下：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃” 是不可能同时发生的，所以是互斥事件.由于还可能抽出方块或者梅花， 因此不能保证其中必有一个发生，所以二者不是对立事件.
作业 预习概率的加法公式及对立事件的概率求法
本课结束
结语
谢谢大家！
互斥事件与对立事件
复习 引入
复习提问：1、事件的包含、相等关系 2、事件的运算——交事件、并事件
学习目标
1.理解互斥事件和对立事件的概念； 2..能判断两个事件是否为对立事件、互斥事件。
问题导学
知识点 互斥与对立的概念
思考
一粒骰子掷一次，事件A＝{出现的点数为3}，事件B＝{出现 的点数大于3}，事件C＝{出现的点数小于4}，则A∩B是什么 事件？A∪B呢？B∩C呢？B∪C呢？(请同学们思考并回答）