经济管理数学模型案例教程(总)

[2-1-12] 利益分配的合作博弈模型

1、问题的提出

在经济和社会活动中，若干实体（如个人、公司、党派、国家等）相互合作结成联盟或者集团，常能获利得比他们单独行动时更大的经济或社会效益，并且，通常这种利益是非对抗性的。合理地分配这些效益的方案是促成合作的前提，那么，应该如何分配利益才算是合理？

2、模型的构建

若干方合作获利的效益分配问题，称为合作博弈。1953年，L.S.Shapley 给出了n 人合作博弈问题的一种方法。

假定在n 方合作博弈中，若干人的每一种组合（特别，单人也看作为一种组合）都会得到一定的效益，合作中人数的增加不会引起效益的减少，于是，全体人员的合作将带来最大效益，在这种假定下，Shapley 提出了一系列的公理的唯一的分配这个最大效益的一种方案，并且严格证明了这种方案是满足这组公理的唯一的分配。

设},,2,1{n I =为合作博弈的n 方。对于参加者的某种组合(即I 的一个子集)S,以)(S v 记其相应的效益(它是一种有特定含义的特征函数).。用i P 表示I 中第

i 位成员从合作收益中应得到的一份收入。称T n v p v p v p P ))(,),(),((21 =为

Shapley 值，它由效益函数)(S v 确定它的计算公式为

∑∈=-=i

S s i n

i i S v S v S w p )17.1.2(,,2,1)],\()()[(

其中i S 是I 中包含i 的所有子集，S 是子集S 中的元素个数（组合S 中的参加者数量），)(S w 是加权因子

!

)!

1()!()(n S S n S w --=

注意到)(S v 是有第i 方参加的某种合作方案S 的获利，

)\(i S v 表示在这种合作方

式中第i 方退出以后的获利。因此，)\()(i S v S v -可以看成在这种合作方案中第

i 方的“贡献”。根据前面的假设，任何一方在任何合作方案中的贡献都是非负

的。而i P ()v 则是在各种有第i 方参加的合作方案i S 中第i 方“贡献”的加权总和。通俗地说，就是按照贡献大小分配利益。

可以证明，这种分配方案满足：i ）不贡献的不得利（即如果他在各种合作方案中所有的贡献值都为零，则他的获利为零）：ii ）各合作方的获利总和等于总收益。

3模型求解与应用

下面通过实例说明模型如何根据)17.1.2(求解合作获利的效益分配，沿河有1、2、3三个城镇，地理位置及各城镇的距离如图2-9所示。

城镇排放的污 需经过处理才能排入河中，三个城镇既可以单独建污水处理厂，也可以联合建厂，用管道将污 集中处理（污水 必须从上游城镇送往下游城镇，处理厂必须建在下游位置。）按照经验公式，建造污水处理厂的费用1p 和铺设管道的费用2p 分别为

)(73712.01千元Q p =

02=p )(66.51.0千元L Q

其中Q 表示污水处理量（吨/秒），L 表示管道长度（km ）、如果三城镇的污水量分别为===62135，Q ，Q Q 6，试从节约总投资的角度为三城镇制定建厂方案。如果联合建厂，费用应如何分担。 三城镇建厂方案一共有以下5种 （1） 城镇分别建造，建造费用分别为

73)1(=F ×，。)(23057120千元=⨯=73)2(F )(1603712.0千元=

，

F )(260673)3(712.0千元=⨯=

总投资额为)(650)3()2()1(千元=++F F F

（2） 城1，2合作，在城2处建厂，城3单独建，建造费用为

)(35020566.0)35(73)2,1(51.0712.0千元=⨯⨯++⨯=F ，总投资额为)(610)3()2,1(千元=+F F 。

（3） 城2，3合作，在城3处建厂，城1单独建.建造费用为

)(39038366.0)63(73)3,2(51.0712.0千元=⨯⨯++⨯=F ，总投资额为)(620)1()3,2(千元=+F F 。

（4） 城1，3合作，在城3处建厂，城2单独建.建造费用为

)(49058566.0)65(73)3,1(51.0712.0千元=⨯⨯++⨯=F ，总投资额为)(650)2()3,1(千元=+F F 。 （5） 三方合作建厂.建造费用为

)(58038)35(66.020566.0)635(73)3,2,1(51.051.0712.0千元=⨯+⨯+⨯⨯+++⨯=F 比较以上方案，费用最省的自然是第5种，三城镇自然都会考虑合作建设。那么，应该如何分担这笔合作建造费用？

如果不采用Shapley 的方法，人们首先会想到根据排放污水量平均分担的办法.于是，城1应该分担

)(2075806

355

)1(千元=⨯++=

V ，

同样，城2应分担)(124)2(千元=V ，城3应分担)(249)3(千元=V 。

然而，按照这样的方案，城1可以节省23千元。城3可以节省36千元，城3 却只能节省11千元似乎并不尽合理。

考虑到合作建厂的费用由建处理厂和铺设管道两部分组成，城3提出另外的方案：建处理厂费用应按排污量平均分担，而2，3段管道费用应由1，2两城分担，1，2段管道费用由城1单独承担.这种方案貌似公平，但仔细算来，城3只需承担费用

)(205)635(736

356

)3(712.0千元=++⨯⨯++=

V

而城2和城1的费用将分别达到130千元和245千元（计算略）.城1甚至超过

单独建厂的费用,这显然更是不合理的。

如果采用Shapley 的方法，我们可以把合作方案节省的投资额看成收益，它将符合特征函数的要求，因此，可以要Shapley 值计算各方节省的资金额。更方便地，可以直接用各种合作方案的建造费用作为效益函数计算 Shapley 值，其结果就是各方应承担的投资费用.用上述数据计算，以第1城为例，可得下表

表2-1-6

即得)(2101千元=p 。类似地可以计算得到)(1252千元=p ，

)(2453千元=p .也就是说，如果三方合作，则各方投资应按上述比例分摊.这时，各方按排污量平均每秒吨的投资额分别为42千元、41.67千元、和40.83千元.排放距离即铺设管道长些，承担费用略大些。各方节省额的差额比按照排放污水量平均分担方案小些，这种分摊结果还是更合理些。

[2-4-1]钢管的订购和运输模型

1、问题的提出

2000年全国大学生数学建模竞赛B 题《钢管的订购种运输》，问题是要铺设天