椭圆的简单几何性质 2022-2023学年高二数学同步精品讲义(人教A版2019选择性必修第一册)

3.1.2 椭圆的简单几何性质课程标准核心素养 1.掌握椭圆的简单几何性质．2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合的思想.直观想象 数学运算知识点1 椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 范围－a ≤x ≤a 且－b ≤y ≤b－b ≤x ≤b 且－a ≤y ≤a顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0),_ B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a ),B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴长 长轴长＝2a ，短轴长＝2b焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距 |F 1F 2|＝2c对称性 对称轴x 轴和y 轴，对称中心(0,0) 离心率 e ＝ca (0<e <1)（注：e ＝1－b 2a2＝11＋b 2c2.）注：(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上．(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a ＋c ，最小值为a －c .(4)椭圆有四个顶点、两个焦点，共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置．(5)已知椭圆的四个顶点，可以使用几何作图找出其焦点，方法是：以短轴的端点为圆心，a 为半径作弧交长轴于两点，这两点就是该椭圆的焦点．(6)椭圆的离心率e 的大小反映椭圆的扁平程度，e 越大，椭圆越扁；e 越小，椭圆越圆． 拓展：用离心率e ＝ca来刻画椭圆的扁平程度．如图所示，在Rt △BF 2O 中，cos ∠BF 2O ＝c a ，记e ＝ca ，则0<e <1，e 越大，∠BF 2O 越小，椭圆越扁；e 越小，∠BF 2O 越大，椭圆越接近于圆．(7)常用椭圆方程的设法①与椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为：12222=+++m b y m a x )(2b m ->②有相同离心率：k b y a x =+2222（0>k ，焦点在x 轴上）或k bxa y =+2222（0>k ，焦点在x 轴上）【即学即练1】求椭圆x 2＋9y 2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 【解析】把已知方程化成标准方程为x 281＋y 29＝1，于是a ＝9，b ＝3，c ＝81－9＝62，所以椭圆的长轴长2a ＝18，短轴长2b ＝6，离心率e ＝c a ＝223.两个焦点的坐标分别为F 1(－62，0)，F 2(62，0)，四个顶点的坐标分别为A 1(－9,0)，A 2(9,0)，B 1(0，－3)，B 2(0,3)．【即学即练2】椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( ) A ．(±10,0) B ．(±69，0) C ．(0，±13)D ．(0，±69)【解析】由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．故选D【即学即练3】已知椭圆2222:1(0)1+=>+x y C a a a 的短轴长和焦距相等，则a 的值为（ ） A ．1 B 2 C ．32D 3【解析】由题设易知：椭圆参数b c =，即有2221+-=a a a ，可得1a =． 故选：A【即学即练4】比较椭圆①x 2＋9y 2＝36与②x 29＋y 25＝1的形状，则________更扁(填序号)．【解析】x 2＋9y 2＝36化为标准方程为x 236＋y 24＝1，故离心率e 1＝426＝223；x 29＋y 25＝1的离心率e 2＝23.因为e 1＞e 2，故①更扁．【即学即练5】焦点在x 轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程为( )A.x 24＋y 23＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.y 24＋x 23＝1 D ．x 2＋y 24＝1 【解析】依题意，得a ＝2，a ＋c ＝3，故c ＝1，b ＝22－12＝3，故所求椭圆的标准方程是x 24＋y 23＝1.故选A【即学即练6】与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( ) A.x 22＋y 24＝1 B ．x 2＋y 26＝1C.x 26＋y 2＝1 D.x 28＋y 25＝1 【解析】椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，可知焦点在y 轴上，焦点坐标为(0，±5)，故可设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，则c ＝ 5.又2b ＝2，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6，则所求椭圆的标准方程为 x 2＋y 26＝1.故选B【即学即练7】若椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为________．【解析】∵椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，∴1m ＝2，∴m ＝14. 【即学即练8】椭圆C ：2221(3)3x y a a +=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，经过点1F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2ABF 的周长为16，则椭圆C 的离心率为（ ） A 13B 11C ．12D 3【解析】由题可知416a =，即4a =，所以椭圆C 的离心率16313e -==. 故选：A.【即学即练9】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上存在点P ，使得213PF PF =，其中1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】由椭圆的定义得122PF PF a +=，又∵213PF PF =，∵132PF a =，212PF a =，而12122PF PF F F c -≤=，当且仅当点P 在椭圆右顶点时等号成立，即31222a a c -≤，即2a c ≤，则12c e a =≥，即112e ≤<.故选：D ．知识点2 点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的位置关系：点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b2>1.【即学即练10】已知点(2,3)在椭圆x 2m 2＋y 2n2＝1上，则下列说法正确的是( )A ．点(－2,3)在椭圆外B ．点(3,2)在椭圆上C ．点(－2，－3)在椭圆内D ．点(2，－3)在椭圆上【解析】D【即学即练11】已知直线l 过点(3，－1)，且椭圆C ：x 225＋y 236＝1，则直线l 与椭圆C 的公共点的个数为( ) A ．1 B ．1或2 C ．2D ．0【解析】因为直线过定点(3，－1)且3225＋(－1)236＜1，所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l 与椭圆有2个公共点．故选C知识点3 直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系，判断方法：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消y 得一元二次方程．当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．【即学即练12】对不同的实数值m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 24＋(x ＋m )2＝1， 整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0. Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)． 当－5<m <5时，Δ>0，直线与椭圆相交； 当m ＝－5或m ＝5时，Δ＝0，直线与椭圆相切； 当m <－5或m >5时，Δ<0，直线与椭圆相离．【即学即练13】若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( )A.63 B ．－63C ．±63D ．±33【解析】把y ＝kx ＋2代入x 23＋y 22＝1，得(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0，由题意知Δ＝0，∴k 2＝23，∴k ＝±63. 故选C知识点4 直线与椭圆相交的弦长公式1．定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． 2．求弦长的方法(1)交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．(2)根与系数的关系法：如果直线的斜率为k ，被椭圆截得弦AB 两端点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则弦长公式为：|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.注：（1）已知弦AB 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的一条弦，中点M 坐标为00(,)x y ，则AB 的斜率为2020b x a y -，运用点差法求AB 的斜率，设11(,)A x y ，22(,)B x y ；A 、B 都在椭圆上，22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b--+=，1212121222()()()()0x x x x y y y y a b -+-+-= 即22012122212120b x y y x x b x x a y y a y -+=-⋅=--+，故2020AB b x k a y =- （2）弦AB 的斜率与弦中心M 和椭圆中心O 的连线的斜率之积为定值：22ab -【即学即练14】已知椭圆x 225＋y 216＝1，过椭圆的右焦点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点，则|AB |＝________.【解析】易求得a ＝5，b ＝4，所以|AB |＝2b 2a ＝2×425＝325.【即学即练15】已知F 是椭圆x 225＋y 29＝1的一个焦点，AB 为过椭圆中心的一条弦，则△ABF的面积最大值为( )A ．6B ．15C ．20D ．12【解析】由题意知，S △ABF ＝12|OF |·|y 1－y 2|≤12|OF |·2b ＝12.故选D【即学即练16】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，过F 作一条倾斜角为45的直线与椭圆C 交于,A B 两点，若()3,2M -为线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率是（ ） A 3B ．12C ．25D 5【解析】设点1122(,),(,)A x y B x y ，依题意，2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=，因直线AB 的倾斜角为45，即直线AB 的斜率为12121y yx x -=-，又()3,2M -为线段AB 的中点，则126x x +=-，124y y +=，因此有22460a b -=，即2223b a =，所以椭圆C 的离心率222231a b b e a --. 故选：A【即学即练17】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>3直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点且线段AB 的中点为()3,2M ，则直线l 的斜率为________.【解析】由题意可得2231c b e a a ==-6a =，设()()1122,,,A x y B x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b +=+=，两式相减可得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=，AB 的中点为(3,2)M ，12126,4x x y y +=+=∴，则直线斜率212122*********y y x x b k x x a y y -+==-⋅=-⨯=--+. 故答案为：1-.考点一 由标准方程研究几何性质解题方略：用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式； (2)确定焦点位置； (3)求出a ，b ，c ； (4)写出椭圆的几何性质．注：长轴长、短轴长、焦距不是a ，b ，c ，而应是a ，b ，c 的两倍．【例1-1】已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．【解析】(1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35；(2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1，性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10； ②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)； ④焦点：(0,6)，(0，－6)； ⑤离心率：e ＝35.【例1-2】椭圆2213x y m+=-的一个焦点坐标为()0,1-，则实数m 的值为（ ） A ．2 B ．4 C ．4- D ．2-【解析】根据焦点坐标可知，椭圆焦点在y 轴上，所以有31m --=，解得4m =-． 故选：C.变式1：已知椭圆2214x y m+=的焦距为3m 的值不可能为（ ） A ．1B ．7C ．1-D 7【解析】由题知，3c若4m >，则2a m =，24b =，所以7m =，即7m =±；若4m <，则24a =，1b m ==，即1m =±. 故选：D【例1-3】【多选】已知椭圆222212:55,:11612+=+=x y C x y C ，则（ ） A ．12,C C 的焦点都在x 轴上 B ．12,C C 的焦距相等 C ．12,C C 没有公共点D ．2C 比1C 更接近圆【解析】对于A ，因为椭圆1C 的标准方程为2215y x +=，所以1C 的焦点在y 上，所以A 不正确；对于B ，因为椭圆1C 的焦距为2514-，椭圆2C 的焦距为216124-=，所以B 正确； 对于C ，作出椭圆12,C C 的图象，由图象可知，椭圆12,C C 没有公共点，所以C 正确；对于D ，因为椭圆1C 的离心率为125=e ，2C的离心率为22142==e ，所以12e e >，所以D正确. 故选：BCD.变式1：已知椭圆22194x y +=与椭圆()221494x y k k k +=<--，则下列结论正确的是（ ） A ．长轴长相等 B ．短轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等【解析】∵4k <，9k ∴->40k ->且9(4)94k k ---=-，∴椭圆22194x y +=与椭圆221(4)94x y k k k +=<--的关系是有相等的焦距． 故选：C ．考点二 利用几何性质求标准方程解题方略：利用椭圆的几何性质求标准方程的思路利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： (1)确定焦点位置；(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有b 2＝a 2－c 2，e ＝ca 等．注：（1）与椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为：12222=+++mb y m a x)(2b m ->（2）有相同离心率：k b y a x =+2222（0>k ，焦点在x 轴上）或k bxa y =+2222（0>k ，焦点在x 轴上）【例2-1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是10，离心率是45；(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 【解析】(1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 由已知得2a ＝10，a ＝5. 又∵e ＝c a ＝45，∴c ＝4.∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.∴椭圆方程为x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1.(2)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．如图所示，△A 1FA 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，则c ＝b ＝3，a 2＝b 2＋c 2＝18， 故所求椭圆的方程为x 218＋y 29＝1.变式1：已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55， 且过P (－5,4)，则椭圆的方程为________________．【解析】∵e ＝c a ＝55，∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15， ∴5a 2－5b 2＝a 2即4a 2＝5b 2.设椭圆的标准方程为x 2a 2＋5y 24a 2＝1(a >0)，∵椭圆过点P (－5,4)，∴25a 2＋5×164a 2＝1.解得a 2＝45.∴椭圆方程为x 245＋y 236＝1.答案：x 245＋y 236＝1变式2：若直线240x y ++=过椭圆()222210x y a b a b+=>>短轴端点和左顶点，则椭圆方程为（ ） A ．22142x y +=B ．221164x y += C ．221416x y +=D ．221129x y +=【解析】直线240x y ++=交x 轴于(4,0)-，交y 轴于(0,2)-，依题意，4,2a b ==， 所以椭圆方程为221164x y +=. 故选：B变式3：古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的中心为原点，焦点1F ，2F 均在y 轴上，椭圆C 的面积为23π，且短轴长为23C 的标准方程为（ ） A ．22112x y +=B ．22143x y +=C ．22134x y +=D ．221163x y +=【解析】因为椭圆C 的焦点在y 轴上，故可设其方程为22221y xa b+=，根据题意可得23ab ，223b =，故可得2,3a b ==， 故所求椭圆方程为：22134x y +=.故选：C.变式4：已知F (3,0)是椭圆的一个焦点，过F 且垂直x 轴的弦长为3（ ）A ．245x + 236y = 1B ．236x + 227y = 1C ．227x + 218y = 1D ．218x + 29y = 1【解析】依题意2222324333,32c ba b a a b c=⎧⎪⎪=⇒==⎨⎪=+⎪⎩所以椭圆方程为2212718x y +=.故选：C考点三 点与椭圆的位置关系解题方略：点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的位置关系：点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b2>1. （一）点和椭圆位置关系的判断【例3-1】点(1,1)与椭圆22132x y +=的位置关系为（ ）A ．在椭圆上B ．在椭圆内C ．在椭圆外D ．不能确定【解析】1151326+=<，可知点(1,1)在椭圆内．故选：B.（二）根据点和椭圆位置关系求参数【例3-2】点(),1A a 在椭圆22142x y +=的外部，则a 的取值范围是（ ）A ．(2,2B ．(),22,-∞-⋃+∞C ．()2,2-D ．()1,1-【解析】因为点(),1A a 在椭圆22142x y +=的外部，所以21142a +>,解得(2)(2)a ∈-∞+∞，，,故选：B.变式1：若点()1,A m 在椭圆22:142x y C +=的内部，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(6,6B ．66⎛ ⎝⎭C ．66,,2⎛⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．33⎛ ⎝⎭【解析】221142m +<，所以66m ⎛∈ ⎝⎭，故选：B.（三）点和椭圆位置关系的应用【例3-3】若直线9mx ny +=和圆229x y +=没有公共点，则过点(),P m n 的直线与椭圆221109x y +=的交点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定【解析】因为直线9mx ny +=和圆229x y +=没有交点， 所以圆心()0,0到直线90mx ny +-=的距离2293d m n-=>+，可得：229m n +<，即点(,)m n 在圆229x y +=内，又因为圆229x y +=内切于椭圆221169x y +=，所以点(),m n 在椭圆221169x y +=内， 即过点(),m n 的直线与椭圆221169x y +=有两个交点.故选：C.变式1：已知椭圆2214x y +=经过点(),P m n ，则22m n +的取值范围是（ ）A ．(]0,1B ．(]0,4C ．[)4,+∞D ．[]1,4【解析】因为椭圆2214x y +=经过点(),P m n ，所以2214m n +=，所以2214m n =-，则2222231144m m m n m +=+-=+． 因为椭圆2214x y +=经过点(),P m n ，所以22m -≤≤，即204m ≤≤，故22m n +的取值范围是[]1,4． 故选：D ．考点四 求椭圆的离心率解题方略：求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca 求解．若已知a ，b 或b ，c 可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝ca求解．(2)方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围． （一）求椭圆的离心率【例4-1】若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A.12 B.32 C.34D.64【解析】如图，△BF 1F 2是正三角形，∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，|BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°， ∴cos 60°＝c a ＝12，即椭圆的离心率e ＝12，故选A.变式1：若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被点⎝⎛⎭⎫b 2，0分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为( )A.1617 B.41717C.45D.255【解析】依题意得c ＋b 2c －b 2＝53，∴c ＝2b ，∴a ＝b 2＋c 2＝5b ，∴e ＝c a ＝2b 5b ＝255.故选D.变式2：已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P ，若AP ―→＝2PB ―→，则椭圆的离心率是( )A.32B.22C.13D.12【解析】如图，∵AP ―→＝2PB ―→，∴OA ＝2OF ，∴a ＝2c ，∴e ＝12.故选D变式3：已知椭圆E ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与直线y ＝b 相交于A ，B 两点，O 是坐标原点，如果△AOB 是等边三角形，那么椭圆E 的离心率等于( )A.36B.34C.33D.32【解析】不妨设点B 在第一象限，则B ⎝⎛⎭⎫bc a ，b ，由题意知OB 的倾斜角是60°，所以b bc a＝a c＝3，则椭圆的离心率e ＝c a ＝33.故选C.变式4：F 是椭圆的左焦点，A ，B 分别是其在x 轴正半轴和y 轴正半轴的顶点，P 是椭圆上一点，且PF ⊥x 轴，OP ∥AB ，那么该椭圆的离心率为( )A.22B.24C.12D.32【解析】如图所示，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，P (－c ，m )．∵OP ∥AB ，∴△PFO ∽△BOA ， ∴c a ＝mb ，①又∵P (－c ，m )在椭圆上，∴c 2a 2＋m 2b 2＝1，②将①代入②得2c 2a 2＝1，即e 2＝12，∴e ＝22，故选A.变式5：已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，2BF 的延长线交C 于Q ，1BQ FQ =，则C 的离心率e =（ ） A ．12B ．23C ．22D ．33【解析】由椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，可得：()()()120,,,0,,0B b F c F c -.如图示：1212,BF BF a OF OF c ====. 设2QF m =，则1FQ BQ a m ==+. 由椭圆的定义可得：122FQ F Q a +=，即2a m m a ++=，解得：12m a =. 所以在1BQF 中，1133,,22BF a BQ a FQ a ===，所以1111122cos 332BF aQBF BQ a ∠===. 在12BF F △中，1212,2BF BF a F F c ===，所以()222111cos cos 22cos 121b F BF OBF OBF a ⎛⎫∠=∠=∠-=- ⎪⎝⎭.所以21213b a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即223b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以22222113c b e a a ==-=，所以e =3e =3. 故选：D变式6：椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ）A 3B ．22C ．12D ．13【解析】设而不求 设()11,P x y ，则()11,Q x y - 则由14AP AQk k ⋅=得：21112211114AP AQ y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+， 由2211221x y a b +=，得()2221212b a x y a-=， 所以()2221222114b a x a x a -=-+，即2214b a =， 所以椭圆C的离心率2231c b e a a =- A.变式7：已知直线l ：)3y x c =+过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点F ，与椭圆在x 轴上方的交点为P ，Q 为线段PF 的中点，若OQ c =，则椭圆的离心率为（ ） A 31- B 31 C 2D ．12【解析】直线l ：过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点F ，设椭圆的右焦点为M ，所以60PFM ∠=︒，又O 是FM 的中点，Q 是PF 的中点，所以1||||2OQ PM =，又||OQ c =，所以||2PM c =，又||2FM c =，所以PFM △是等边三角形， 所以||2PF c =，又P 在椭圆上，所以||||222PM PF a c c +==+， 所以24a c =，所以离心率为12c e a ==， 故选：D ．（二）求椭圆的离心率的取值范围【例4-2】已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为________． 【解析】依题意可得2c ≥2b ，即c ≥b . 所以c 2≥b 2，从而c 2≥a 2－c 2， 即2c 2≥a 2，e 2＝c 2a 2≥12，所以e ≥22. 又因为0<e <1，所以椭圆离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫22，1.变式1：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点是A (a,0)，其上存在一点P ，使∠APO ＝90°，求椭圆离心率的取值范围．【解析】设P (x ，y )，由∵APO ＝90°知，点P 在以OA 为直径的圆上，圆的方程是⎝⎛⎭⎫x －a 22＋y 2＝⎝⎛⎭⎫a 22. ∵y 2＝ax －x 2.∵又P 点在椭圆上，故x 2a 2＋y 2b2＝1.∵把∵代入∵化简，得(a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0，即 (x －a )[(a 2－b 2)x －ab 2]＝0，∵x ≠a ，x ≠0， ∵x ＝ab 2a 2－b 2，又0<x <a ，∵0<ab 2a 2－b 2<a ，即2b 2<a 2. 由b 2＝a 2－c 2，得a 2<2c 2，∵e >22. 又∵0<e <1，∵22<e <1. 变式2：已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，对于C 上的任意一点P ，圆222:O x y b +=上均存在点M ，N 使得60MPN ∠=︒，则C 的离心率的取值范围是（ ） A ．3⎛ ⎝⎦B ．3⎡⎢⎣C ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】如上图，当P 位于右端点（做端点也相同），如果60MPN ︒∠≥，则对于C 上任意的点P ，在圆O 上总存在M ，N 点使得60MPN ︒∠= ，此时，130,sin 2b MPO MPO a ︒∠≥∠=≥ ，222332,,4c b a e e a ∴≥=≤≤ ； 故选：A.变式3：已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左､右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相交，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）A ．6⎛ ⎝⎭B ．6⎫⎪⎪⎝⎭C ．2⎫⎪⎪⎝⎭D ．2⎛ ⎝⎭. 【解析】由题设，以线段12A A 为直径的圆为222x y a +=，与直线20bx ay ab -+=相交， 22a ab <+，可得222233()b ac a =-<，即223e >，又01e <<， 61e <<. 故选：B变式4：已知1F ，2F 是椭圆C ：()222210x ya b a b+=>>的左、右焦点，O 为坐标原点，点M是C 上点（不在坐标轴上），点N 是2OF 的中点，若MN 平分12F MF ∠，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】因为O 是12F F 的中点，N 是2OF 的中点，所以123NF NF =， 因为MN 平分12F MF ∠，所以12MF MF =123NF NF =，因为122MF MF a +=，所以132aMF =，22a MF =，由32a a c a c -<<+（或2a a c a c -<<+），得椭圆C 的离心率12c e a =>，又1e <，所以椭圆C 的离心率的取值范围是1,12⎛⎫⎪⎝⎭．故选：A ．（三）由椭圆的离心率求参数（范围）【例4-3】已知椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率e ＝12.求k 的值．【解析】分两种情况进行讨论．(1)当椭圆的焦点在x 轴上时，由a 2＝k ＋8，b 2＝9，得 c 2＝k －1.∵e ＝12，∴k －1k ＋8＝14，解得k ＝4.(2)当椭圆的焦点在y 轴上时， 由a 2＝9，b 2＝k ＋8，得c 2＝1－k . ∵e ＝12，∴1－k 9＝14.解得k ＝－54.综上可得，k ＝4或k ＝－54.变式1：已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为13，则a b =（ ）A ．98B 32C ．43D 32【解析】因为22213c a b e a a -=，则2289a b =，所以32a b = 故选：D变式2：设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈⎝⎛⎭⎫12，1，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0,3)B.⎝⎛⎭⎫3，163 C ．(0,3)∪⎝⎛⎭⎫163，＋∞D ．(0,2)【解析】当0＜k ＜4时，e ＝ca ＝4－k 2∈⎝⎛⎭⎫12，1，即12＜4－k 2＜1⇒1＜4－k ＜4，即0＜k ＜3； 当k ＞4时，e ＝c a ＝k －4k∈⎝⎛⎭⎫12，1，即12＜k －4k ＜1⇒14＜k －4k ＜1⇒14＜1－4k ＜1⇒0＜4k ＜34⇒k ＞163.综上，实数k 的取值范围为(0,3)∪⎝⎛⎭⎫163，＋∞. 故选C考点五 直线与椭圆的位置关系解题方略：判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离． 【例5-1】直线21y x =-与椭圆22194x y +=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定【解析】220111944+=<，()0,1∴-在椭圆内， 21y x =-恒过点()0,1-，∴直线21y x =-与椭圆22194x y +=相交.故选：A.变式1：若直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，求m 的取值范围．【解析】∵直线y ＝kx ＋1过定点A (0,1)． 由题意知，点A 在椭圆x 25＋y 2m ＝1内或椭圆上，∴025＋12m ≤1，∴m ≥1. 又椭圆焦点在x 轴上∴m <5， 故m 的取值范围为[1,5).变式2：若直线2y kx =+与焦点在x 轴的椭圆()2221016x yb b+=>恒有两个公共点，则实数b的范围_____．【解析】直线2y kx =+恒过定点()0,2，要保证直线与椭圆有两个公共点，定点需在椭圆内，∴2041,216b b+<∴>，又∵椭圆的焦点在x 轴上，∴()2164,2,4b b b <⇒<∴∈． 故答案为：(2，4)﹒变式3：已知过圆锥曲线221x y m n +=上一点(),o o P x y 的切线方程为001x x y y m n+=.过椭圆221124x y +=上的点()3,1A -作椭圆的切线l ，则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（ ） A ．30x y --= B ．-20x y += C ．2330x y +-=D ．3100x y --=【解析】过椭圆221124x y +=上的点()3, 1A -的切线l 的方程为()31124y x -+=，即40x y --=，切线l 的斜率为1.与直线l 垂直的直线的斜率为-1，过A 点且与直线l 垂直的直线方程为()13y x +=--，即20x y +-=.故选：B考点六 弦长及中点弦问题解题方略：解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y22b 2＝1， ②由①－②，得1a 2(x 21－x 22)＋1b 2(y 21－y 22)＝0，变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0，即k AB＝－b 2x 0a 2y 0.（一）弦长问题【例6-1】已知斜率为1的直线l 过椭圆22143x y +=的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，则弦AB 的长为（ ） A ．207B ．227C ．247D ．267【解析】由椭圆知，224,3a b ==，所以21c =， 所以右焦点坐标为()1,0，则直线l 的方程为1y x =-， 设()()1122,,,A x y B x y ，联立221143y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得，27880x x --=，则121288,77x x x x +=⋅=-，所以()222121288241424777AB k x x x x ⎛⎫=++-⋅=+⨯ ⎪⎝⎭. 即弦AB 长为247. 故选：C.变式1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长是短轴长的2倍，左焦点、右顶点和下顶点分别为,,F A B ，坐标原点O 到直线AB 45FAB 的面积为（ ） A ．3B ．4C ．423+D ．43-【解析】设(),0F c -，由题意可知()(),0,0,A a B b -，其中2a b =， 所以AB 的方程为1x ya b+=-，即220x y b --= 所以原点O 到直线AB 2455b -=，所以2b =，即4a =，2223c a b -； 所以直线AB 的方程为240x y --=， 所以()23,0F -到直线AB 23442355--+=；又()()220025AB a b =-++所以FAB 的面积为42342351252+⨯+= 故选：C.变式2：已知直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M ，N 两点，且|MN |＝423，求k 的值．【解析】设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，消去y 并化简得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0， 所以x 1＋x 2＝－4k1＋2k 2，x 1x 2＝0. 由|MN |＝423，得(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝329， 所以(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝329，所以(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329，即(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋2k 22＝329.化简得k 4＋k 2－2＝0，所以k 2＝1，所以k ＝±1.变式3：过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为________．【解析】过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a ＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c ＝1，将x ＝1代入x 24＋y 23＝1，得124＋y 23＝1，解得y 2＝94，即y ＝±32，所以最短弦的长为2×32＝3. 答案：4,3（二）中点弦问题【例6-2】若直线l 与椭圆22162x y +=交于点A 、B ,线段AB 的中点为(1,1)P ,则直线l 的方程为( )A ．340x y +-=B ．320x y -+=C ．320x y --=D ．340x y +-=【解析】设()()1122,,,A x y B x y .则222211221,16262x y x y +=+= 两式相减得()()()()12121212062x x x x y y y y +-+-+=即1212121211062y y y y x x x x +-+⋅⋅=+- 因为,线段AB 的中点为(1,1)P ,所以12122,2y y x x +=+= 所以121213ABy y k x x 所以直线l 的方程为()1113y x -=--,即340x y +-= 故选: A变式1：若过椭圆22142x y +=内一点11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（ ）A ．102x y --= B ．302x y +-=C ．3202x y --= D ．20x y -=【解析】设弦AB 被P 点平分，弦的两个端点,为1111(,),(,)A x y B x y ，则2211142x y +=，2222142x y += ， 两式作差变形可得22221212042x x y y --+= ,即121212122()4()y y x x x x y y -+=--+ ， 而12122,1x x y y +=+= ， 故12121y y x x -=--，即弦AB 的斜率为-1， 所以弦AB 的方程为1(1)2y x -=-- ，即302x y +-= ， 故选：B.变式2：已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>3l 与椭圆C 交于A ，B 两点且线段AB 的中点为()3,2M ，则直线l 的斜率为________. 【解析】由题意可得2231c b e a a ==-6a =，设()()1122,,,A x y B x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b +=+=，两式相减可得()()()()12121212220x x x x y a b -+-+=，AB 的中点为(3,2)M ，12126,4x x y y +=+=∴，则直线斜率212122*********y y x x b k x x a y y -+==-⋅=-⨯=--+. 故答案为：1-.变式3：直线AB 过椭圆22142x y +=内一点()1,P n ，若点P 为弦AB 的中点，设1k 为直线AB 的斜率，2k 为直线OP 的斜率，则12k k ⋅的值为（ ） A ．12-B ．3C ．12D ．2【解析】设点()11,A x y 与()22,B x y ， 则1212x x +=，122y y n +=，所以12112y y k x x -=-，121212122212y y y y nx x k x x ++===++，又点A 与B 在椭圆上，所以2211142x y +=，2222142x y +=， 作差可得22221212042--+=x x y y ， 即()2222121212y y x x -=--， 所以()()()()22121212122212121212y y y y y y k k x x y y x x -+-⋅===----， 故选：A.考点七 求椭圆的参数或范围问题【例7-1】已知椭圆22143x y +=上存在关于直线2y x m =+对称的点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,43⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,34⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】设椭圆上关于直线2y x m =+的对称的两点分别为()()1122,,,C x y D x y ， CD 的中点为()00,G x y ，直线CD 的方程为12y x n =-+， 联立直线CD 与椭圆的方程，得2214312x y y x n ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消元可得2230x nx n -+-=， ()222431230n n n ∴∆=--=->， 12x x n +=，24n ∴<，02n x =， 001324y x n n ∴=-+=，3,24n G n ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又点G 在直线2y x m =+上，3242nn m ∴=⨯+，4n m ∴=-，()244m ∴-<，解得1122m -<<，所以实数m 的取值范围为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：C变式1：已知点P 是椭圆2214x y +=上的一点，1F ，2F 是椭圆的两个焦点，则当12F PF ∠为钝角时，点P 的横坐标可以为______．【解析】设00(,)P x y ，由题意可知120PF PF ⋅<，即((22212000003330⋅=⋅+=+-<PF PF x x y x y ．因为点P 在椭圆上，所以22014x y =-，所以22001304x x ⎛⎫+--< ⎪⎝⎭，解得02626x <<0x 可以取1（只要在262633⎛- ⎝⎭内即可）． 故答案为：1（答案不唯一）．变式2：已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若C 上存在无数个点P ，满足：12π2F PF ∠>，则ba的取值范围为（ ） A ．3⎛ ⎝⎭B ．3⎫⎪⎪⎝⎭C ．2⎫⎪⎪⎝⎭D ．2⎛ ⎝⎭【解析】设椭圆的半焦距为c ，因为C 上存在无数个点P 满足：12π2F PF ∠>， 所以以12F F 为直径的圆与椭圆有4个交点， 所以c b >，所以222a b b ->，所以20b a < 故选：D变式3：椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为1A ，2A ，点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[3-，1]-，那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ） A ．1[4，3]4B ．1[2，3]4C ．1[2，1]D ．3[4，1]【解析】由题意得：由椭圆22:143x y C +=可知其左顶点1(2,0)A -，右顶点2(2,0)A ．设0(P x ，00)(2)y x ≠±，则得2020344y x =--． 记直线1PA 的斜率为1k ，直线2PA 的斜率为2k ，则201220344y k k x ==-- 直线2PA 斜率的取值范围是[3-，1]-， ∴直线1PA 斜率的取值范围是1[4，3]4故选：A考点八 求椭圆的最值问题解题方略：求与椭圆有关的最值、范围问题的方法(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解．(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围．【例8-1】椭圆22143x y +=上的点P 到直线l ：30x y ++=的距离的最小值为（ ） A 37-B 37+ C 3214- D 3214+ 【解析】由222cos 1433x x y y θθ=⎧⎪+=⇒⎨=⎪⎩，设(2cos 3)P θθ， 设点P 到直线l ：30x y ++=的距离d ， 所以有222cos 3sin 37sin()37sin()32211d θθθϕθϕ++++++===+其中23tan (0,))2πϕϕ=∈， 所以当2()2k k Z πθϕπ+=-∈时，d 3732142--=，故选：C变式1：已知动点(,)P x y 在椭圆22198x y 上，若A 点坐标为()1,0，1AM =，且0PM AM ⋅=，则PM 的最小值为（ ） A ．3B 2C ．2D 3【解析】因为0PM AM ⋅=，所以PM AM ⊥，即PAM △为直角三角形，即21PM AP =-，要使得PM 最小，则2AP 最小，[]22222281||(1)21829,3,399x PA x y x x x x x =-+=-++-=-+∈-，则2AP 的最小值为21323949⨯-⨯+=，即PM 的最小值为413- 故选：D变式2：已知F 为椭圆:C 2214x y +=的右焦点，,P Q 为椭圆C 上两个动点，且满足FP FQ ⊥，则FP QP ⋅的最小值为（ ） A 3B ．2C ．73-D ．23【解析】由题意得，由FP FQ ⊥,得0FP FQ ⋅=， 则222()EP QP FP FP FQ FP FP FQ FP FP ⋅=⋅-=-⋅==, 设(,)P x y (22x -≤≤)，由(3,0)F ，得(3,)FP x y =， 则2222221(3)(3)(1)(34)44x FP x y x x =+=+-=-，又22x -≤≤，由二次函数的性质可知，22min 1()(324)7434FP =-=-所以EP QP ⋅的最小值为73- 故选：C.考点九 椭圆的定点、定值问题【例9-1】已知椭圆2222:1(0)x y C a b +=>>经过点(21)A ， ，离心率为2，过点(30)B ，的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线AM 和直线AN 的斜率分别为AM k 和AN k ，求证：AM AN k k +为定值 【解析】（1）由题意椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(21)A ， 2，可得222224112a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得6,3a b =，故椭圆C 的方程为22163x y +=（2）由题意可知直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程为(3)y k x =-， 由22(3)163y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得2222(12)121860k x k x k +-+-=，由于直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，则42221444(12)(186)24(1)0k k k k ∆=-+-=->，解得11k -<<， 设1122(,),(,)M x y N x y ,则2212122212186,1212k k x x x x k k -+==++， 11(3)y k x =-22(3)y k x =-， 故121221121211(31)(2)(31)(2)22(2)(2)AM AN y y kx k x kx k k x k x x x x -----+---+=+=---- 121212122(51)()1242()4kx x k x x k x x x x -++++=-++2222222(186)(51)12(124)(12)186244(12)k k k k k k k k k --+⋅+++=--++2244222k k -+==--， 即AM AN k k +为定值.变式1：已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左焦点为()11,0F -，上、下顶点分别为A ，B ，190AF B ∠=︒．(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆上有三点P ，Q ，M 满足OM OP OQ =+，证明：四边形OPMQ 的面积为定值． 【解析】（1）依题意1c =，又190AF B ∠=︒，所以1b c ==， 所以222a b c +， 所以椭圆方程为2212x y +=.（2）证明：设(),M x y ，()11,P x y ，()22,Q x y ，因为OM OP OQ =+，所以四边形OPMQ 为平行四边形，且1212x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，所以()()22121212x x y y +++=，即2212112122221222x x y y x x y y ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎭+ ⎝⎝+⎭=⎪， 又221112x y +=，222212x y +=，所以121212x x y y +=-， 若直线PQ 的斜率不存在，M 与左顶点或右顶点重合， 则2P Q x x ==3P Q y y ==所以16222OPMQ P P S x y =⨯⨯=若直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y kx t =+，代入椭圆方程整理得()222124220k xktx t +++-=，所以()228210k t ∆=+->，122412kt x x k -+=+，21222212t x x k -=+，所以()()()2212121212=++=+++y y kx t kx t k x x kt x x t222222241212t kt k kt t k k --⎛⎫=⋅+⋅+ ⎪++⎝⎭所以()22222224212211212t kt k kt t k k --⎛⎫+⋅+⋅+=- ⎪++⎝⎭， 整理得22412t k =+，又()22221281211k t PQ k x k +-=+-=+又原点O 到PQ 的距离21t d k =+所以2212122POQk t t SPQ d +-⋅==， 将22412t k =+代入得22362POQt t S ⋅==所以62PO OP Q QM SS == 综上可得，四边形OPMQ 6 变式2：已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点是M （2，0），离心率为12．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)过点T （4，0）作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，点B 关于x 轴的对称点为D ，问直线AD 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．【解析】（1）由右顶点是M （2，0），得a ＝2，又离心率12c e a==，所以1c =， 所以2223b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，显然直线l 的斜率存在．直线l 的方程为()4y k x =-，联立方程组()224,3412y k x x y ⎧=-⎨+=⎩ 消去y 得()2222433264120k x k x k +-+-=，由0∆>，得1122k -<<，所以21223243k x x k +=+，2122641243k x x k -=+．因为点()22,D x y -，所以直线AD 的方程为()()1211124y y y x x k x x x +=-+--． 又()12128y y k x x +=+-， 所以直线AD 的方程可化为()()()()()1121212121218424kx x x k x x x ky x x x x +---=++--， 即()()()()()()()2222121212424241434343k k ky x x x x k x x k x x k =-=--+-+-+， 所以直线AD 恒过点（1，0）．（方法二）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为4x my =+，联立方程组224,3412x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得()223424360m y my +++=， 由0∆>，得2m >或2m <-，所以1222434m y y m +=-+，1223634y y m =+． 因为点()22,D x y -，则直线AD 的方程为()121112y y y x x y x x +=-+-． 又()12121244x x my my m y y -=+--=-， 所以直线AD 的方程可化为。