高中数学回归课本(导数)

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回归课本(十四)导数

一．考试内容：

导数的概念.导数的几何意义.几种常见函数的导数.

两个函数的和、差、积、商和导数.复习函数的导数.基本导数公式.

利用导数研究函数的单调性和极值.函数的最大值和最小值.

二．考试要求：

(1)了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.

(2)熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.

(3)理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.

三．基础知识:

1.)(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商）

000000()()()lim lim

x x x x f x x f x y

f x y x x

=∆→∆→+∆-∆''===∆∆. 2.瞬时速度

00()()

()lim lim

t t s s t t s t s t t t

υ∆→∆→∆+∆-'===∆∆. 3.瞬时加速度

00()()

()lim lim

t t v v t t v t a v t t t

∆→∆→∆+∆-'===∆∆. 4.)(x f 在),(b a 的导数

()dy df f x y dx dx ''===00()()

lim lim

x x y f x x f x x x

∆→∆→∆+∆-==∆∆. 5. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义

函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.

6.几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数）.

(2) '1

()()n n x nx n Q -=∈.

(3) x x cos )(sin ='. (4) x x sin )(cos -='. (5) x x 1)(ln =

'；e a x

x a log 1)(log ='. (6) x x e e =')(; a a a x

x ln )(='.

7.导数的运算法则

（1）'

'

'

()u v u v ±=±. （2）'

'

'

()uv u v uv =+.

（3）''

'2

()(0)u u v uv v v v

-=≠. 8.复合函数的求导法则

设函数()u x ϕ=在点x 处有导数''

()x u x ϕ=，函数)(u f y =在点

x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ϕ=在点x

处有导数，且'''x u x y y u =⋅，或写作'''

(())()()x f x f u x ϕϕ=.

9.常用的近似计算公式（当x 充小时）

(1)x x 2111+

≈+;x n

x n 1

11+≈+； (2)(1)1()x x R α

αα+≈+∈；

x x

-≈+111； (3)x e x

+≈1； (4)x x l n ≈+)1(；

(5)x x ≈sin （x 为弧度）；

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(6)x x ≈tan （x 为弧度）； (7)x x ≈arctan （x 为弧度）

10.判别)(0x f 是极大（小）值的方法当函数)(x f 在点0x 处连续时，

（1）如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，则)(0x f 是极大值；

（2）如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，则)(0x f 是极小值.

四．基本方法和数学思想

1.导数的定义：f(x)在点x 0处的导数记作

x

x f x x f x f y x x x ∆-∆+='='

→∆=)()(lim

)(000

00

；

2.根据导数的定义，求函数的导数步骤为：（1）求函数的增量 （2）);()(x f x x f y -∆+=∆(2)求平均变化率

x

x f x x f x y ∆-∆+=

∆∆)

()(; （3）取极限,得导数x

y x f x ∆∆='→∆0lim )(;

3.可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x 0处可导，那么函数y=f(x)在点x 0处连续；但是y=f(x)在点x 0处连续却不一定可导；

4.导数的几何意义：曲线y ＝f （x ）在点P （x 0,f(x 0)）处的切线的斜率是).(0x f '相应地，切线方程是);)((000x x x f y y -'=-

5.导数的应用：（1）利用导数判断函数的单调性：设函数y ＝f （x ）在某个区间内可导，如果,0)(>'x f 那么f(x)为增函数；如果,0)(<'x f 那么f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有,0)(='x f 那么f(x)为常数； （2）求可导函数极值的步骤：①求导数)(x f '；②求方程0)(='x f 的根；③检验)(x f '在方程0)(='x f 根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得最小值；

（3）求可导函数最大值与最小值的步骤：①求y=f(x)在(a,b)内的极值；②将y=f(x)在各极值点的极值与f （a ）、f （b ）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值 6导数与函数的单调性的关系

㈠0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。

0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。如函数3)(x x f =在),(+∞-∞上单调递增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件。

㈡0)(≠'x f 时，0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。

若将0)(='x f 的根作为分界点，因为规定0)(≠'x f ，即抠去了分界点，此时)(x f 为增函数，就一定有0)(>'x f 。∴当0)(≠'x f 时，0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分必要条件。

㈢0)(≥'x f 与)(x f 为增函数的关系。

)(x f 为增函数，一定可以推出0)(≥'x f ，但反之不一定，因为0)(≥'x f ，即为0)(>'x f 或0)(='x f 。当函数在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f 为常数，函数不具有单调性。∴0)(≥'x f 是)

(x f 为增函数的必要不充分条件。

函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。

五．高考题回顾

一、曲线的切线：

1.（04年重庆卷.理14）曲线2212x y -

=与24

1

3-=x y 在交点处的切线夹角是 .（以弧度数作答）

2.（湖北卷）在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于

4

π的点中，