估计矩阵特征值的范围例题
矩阵特征值的估计
解
A
m∞
= n max aij = 3 × 2 = 6,
1≤i , j ≤ n
1 A + AH 2 1 A − AH 2
m∞
m∞
1 0 m = 0, = ∞ 2 1 1 H = A− A = 2A m∞ 2 2
m∞
6, =
由定理2知， λ ≤ 6，Re λ = 0，Im λ ≤ 6.
由此可知，A的特征值为0或纯虚数.
= i 1= j 1
证
∑∑ a η η
ij i
n
n
j
≤ ∑∑ aij ηi η j
= i 1= j 1
n
n
≤ max aij
1≤i , j ≤ n
= i 1= j 1
∑∑ η
n
n
i
ηj
n n 1 2 ≤ max aij ∑∑ ηi + η j 2 1≤i , j ≤ n = i 1= j 1
(
2
)
G′j = z ∈ C z − a jj ≤ R′j 为A的第j个列盖尔圆.
{
} ( j =1, 2, , n )
0.02 0.11 1 0.14 如A = 0.01 i 0.02 0.01 0.5 的三个盖尔圆为： G1 = G2 G3
i
R2 = 0.15
于是 AF =
n 2 = i 1 2
R F tr ( R H R ) =
2 1≤i < j ≤ n = i 1
= ∑ λi +
∑
rij ≥ ∑ λi .
2 2
n
§5.2 矩阵特征值的分布区域
一、圆盘定理 1. Gerschgorin圆（盖尔圆） 定义1
第五章 矩阵特征值问题 一、内容提要
第五章 矩阵特征值问题一、内容提要§5.1 特征值与特征向量1．定义设A 为n 阶方阵，如果存在数λ以及一个非零n 维列向量ξ，使得关系式 λξξ=A 成立，则称λ为A 的一个特征值，非零向量ξ为A 的属于特征值λ的特征向量。
2．求特征值和特征向量的步骤：（1） 计算特征多项式A I −λ；（2） 求A 的特征方程A I −λ=0的全部根，它们就是A 的所有特征值；（3） 对于A 的每一个特征值λ，求解齐次线性方程组()0=−X A I λ。
设它的一个 基础解系为,,,,21r n −ξξξL （其中)(A I r r −=λ），则A 的属于λ的全部特征向量为,2211r n r n k k k −−+++ξξξL其中r n k k k −,,,21L 是不全为零的任意数。
3．性质z 方阵A 与其转置矩阵T A 有相同的特征多项式，从而有相同的特征值； z )(21A tr n =+++λλλL , A n =λλλL 21；z 可逆矩阵A 与1−A 的特征值互为倒数；z 设λ是矩阵A 的特征值，)(x g 是一个多项式，则)(λg 是)(A g 的特征值； z 如果n 阶矩阵A 有n 个不同的特征值，则A 有n 个线性无关的特征向量； z 设s λλλ,,,21L 是矩阵A 的s 个互不相同的特征值，而i in i i ααα,,,21L 是A 的分别对应于特征值i λ的线性无关的特征向量组，则向量组111211,,,n αααL ; 222221,,,n αααL ; ...; ssn s s ααα,,,21L 线性无关.§5.2 矩阵的相似性1．定义设A ，B 都是n 阶方阵，如果阶可逆矩阵P ，使B AP P =−1，则称矩阵A 与B 相似，记为B A ~。
如果P 为正交矩阵，则称A 与B 正交相似。
2．命题相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，相同的行列式和迹。
第5章 特征值的估计
在例 5.2.1 中，圆盘 S1 与 S 2 相交，S1 S 2 构成一个连通区域，而 S 3 与
S 4 是孤立的．
一般地， 由矩阵的 k 个相交的盖尔圆的并集构成的连通区域称为一个连 通部分， 并说它是由 k 个盖尔圆组成． 一个孤立的盖尔圆组成一个连通部分． 圆盘定理 5.2.1 只说明矩阵的特征值均在其全部盖尔圆的并集内，并没 有明确指出哪个盖尔圆中有多少个特征值，圆盘定理 5.2.2 更准确地说明特 征值的分布情况．
第5章 特征值的估计
矩阵的特征值在理论上和实际应用中都是十分重要的， 但是特征值的计算一般是非常麻烦的，尤其当矩阵的阶数
比较高时，要精确计算出矩阵的特征值是相当困难的，因
此，由矩阵元素的简单关系式估计出特征值的范围就显得 尤为重要．本章将主要给出特征值的估计与圆盘定理，以 及谱半径的估计．
5.1 特征值界的估计
则有
U H BU U H U H CU U H
n
A AH T T H U ， 2 2 A AH T T H U ， 2 2
2
| Re k | | Re i | |
2 i 1 n
n
i i
2
i 1 n
t ii t ii 2 | | | ， 2 i 1
设 A, B, C 的特征值分别为
k , k ， i k （ i 1, k 1,2,n) ，且满足 | 1 || 2 | | n | ， 1 2 n ，
1 2 n ．
定理 5.1.2 设 A (aij ) C 则
值，于是
2 2 2 2 | | | t | | t | | t | i ii ii ij T i 1 n
(8) 第三部分 特征值,矩阵的相似对角化及二次型——典型例题
() ( )
⎝
1
⎠
( )
22 December 2012
科大考研辅导——线性代数
第三部分 特征值与特征向量,矩阵的对角化及二次型——典型例题
19
例48 已知二次型
f ( x1 , x2 , x3 )
四 化二次型为标准形
(06)
2 2 = (1 − a ) x12 + (1 − a ) x2 + 2 x3 + 2(1 + a ) x1 x2
求二次曲面
x + 2x + Yx + 2 x1 x2 + 2 Xx1 x3 = 1
2 1 2 2 2 3
为椭球面的概率
22 December 2012
22 December 2012
科大考研辅导——线性代数
第三部分 特征值与特征向量,矩阵的对角化及二次型——典型例题
10
二 反求参数问题
⎛2 0 0 ⎞ ⎛2 0 0⎞ 例37 设A = ⎜ 0 0 1 ⎟ 与B = ⎜ 0 y 0 ⎟相似, 则( ⎜ 0 0 −1 ⎟ ⎜0 1 x⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
22 December 2012
科大考研辅导——线性代数
第三部分 特征值与特征向量,矩阵的对角化及二次型——典型例题
6
例32 已知 A1 , A2 , A3 为3个非零的3阶矩阵，
A = Ai (i = 1, 2, 3), Ai A j = 0 (i ≠ j ),
2 i
证明0，1一定是 Ai (i = 1, 2, 3) 的特征值. 为3维单位列向量，且 α T β = 0, 例33 设α , β T T . A = αβ + βα , 则A的特征值为
第8章矩阵特征值计算
(2) 如果 A∈Rn×n 有 m 个(m≤n)不同的特征值 λ1 ,λ2 ,…,λm , 则对应的特征向 量 x1 ,x2 ,…xm 线性无关.
5
数值分析
第8章 矩阵特征值计算
定理 7(对称矩阵的正交约化) 设 A∈Rn×n 为对称矩阵，则 (1) A 的特征值均为实数； (2) A 有 n 个线性无关的特征向量； (3) 存在一个正交矩阵 P 使得
定理 8 (Gerschgorin 圆盘定理) (1) 设 A=(aij)n×n ,则的每一个特征值必属于下属某个圆盘之中
n
| aii | ri
| aij |
j 1, j i
或者说, A 的特征值都在复平面上 n 个圆盘的并集中. (2) 如果 A 有 m 个圆盘组成一个连通的并集 S, 且 S 与余下 n-m 个圆盘 是分
uk
vk
k
vk1 Auk
if
vk1 vk
输出vk 1和k
26
数例值分1析：利用幂法求下列矩阵A 的模 第82章 矩1阵特0征值计算
最大的特征值及相应的特征向量. A 1 3 1
(取初始向量为 v0 (1 1 1)T )
0 1 4
解：Step0
0 u0
v1
vv00
1
(1
0
Au0 (3
1
10
数值分析
D2 :
第8章 矩阵特征值计算
n
| | r2 | a2 j | 2 j 1 j2
D3 :
n
| 4 | r3 | a3 j | 2 j 1 j3
由上述定理结论可知A的三个特征值位于 三个圆盘的并集中，
11
数值分析
第8章 矩阵特征值计算
矩阵论-特征值的估计
故i
n
G
i
n
G'i .
i1 i1
2)取适当正数d1, d2 ,
, dn , 令D=diag{d1, d2 ,
, dn}.则B=DAD-1= aij
di dj
nn
.
B的盖尔圆的圆心仍为aii (1 i n).A与B相似故有相同的特征值.通常
选取di的办法为：
若取di 1，其余为1，则使第i个盖尔圆Gi缩小，其余放大. 若取di 1，其余为1，则使第i个盖尔圆Gi放大，其余缩小.
9 1 1
例3：估计
A=
1
i
1 的特征值分布范围.
1 1 3
解 A 的三个盖尔圆为： G1：z 9 2, G2：z i 2, G3：z 3 2.
G2
G3
G1
我们希望G2与G3变小，不相交，故令D=diag{2,1,1}.
9 2 2
则B=DAD-1
=
0.5
i
1 .B 的三个盖尔圆为：
n
定义（盖尔圆盘）设A=(aij ) Cnn，令i＝ aij (即第i行非对角线 j 1
ji
元素的模的和)，i=1, ,n.令
Gi {z C | z aii i},i=1, ,n.
即G
i为复平面上以aii为圆心，
为半径的闭圆盘,称之为
i
A的一个盖尔圆.A有n个盖尔圆.
定理2：(盖尔圆盘定理)设A=(aij ) Cnn的n个盖尔圆为G1， , Gn,则
0.5 1 3
G'1：z 9 4, G'2：z i 1.5, G'3：z 3 1.5.
G '2
G '3
G '1
2021中国海洋大学《矩阵分析》期末复习题
题型1：求V ∩M 的一个基 方法：课本习题一第9题1.求R 4的子空间V = {( a1 , a2 , a3 , a4 ) |a1 - a2 + a3 - a4 = 0} , W = {( a1 , a2 , a3 , a4 ) |a1 + a2 + a3 + a4 = 0} 的交V ∩ W 的一个基.（课本习题一第9题）2. 求3R 的子空间}02|),,{(}032,0|),,{(32132131321321=++==+=+-=a a a a a a W a a a a a a a a V的交W V⋂的一组基。
题型2：求V1+V2的维数及一个基 方法：课本习题一第10题1．)0,2,4(),0,1,2(),4,0,2(),2,0,1(2121====ββαα.若),(),,(212211ββααL V L V ==，求21V V +的维数及一组基。
初等行变换可参考/lesson_crs78/self/j_0022/soft/ch0603.html方法：课本习题二第3题方法：课本习题二第6题1.设321,,e e e 是三维欧氏空间的一组标准正交基，证明：)22(31),22(31),22(31321332123211e e e e e e e e e -+=++=+-=ααα也是一组标准正交基。
题型5：求方程组的标准正交基 方法：课本习题二第7题1.求齐次线性方程组022043214321=---=+-+x x x x x x x x 的解空间（作为的子空间）的一组标准正交基。
正交化标准化可参考https:///article/5bbb5a1be10d4813eba179ce.html方法：课本习题二第11题1.证明:如果一个上三角矩阵是正交矩阵, 则A 必为对角形矩阵, 且主对角线上的元素a ii = ±1 ( i = 1 , 2 , ⋯, n ) . （习题二第11题）方法：如下例题1.如果矩阵是正交矩阵, 求a ij ( i = 1，2 ,3，4；i<=j) .题型8：求最小二乘解方法：课本P32例2-9方法：课本习题二13题1.设Q P ,各为m 阶及n 阶方阵，证明：若n m +阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Q B P A 0是酉矩阵，则Q P ,也是酉矩阵，且B 是零矩阵。
矩阵特征值的估计
第三部分矩阵特征值的估计§1. 特征值界的估计引理1. n阶复矩阵A，酉相似于一个上（或下）三角矩阵，且三角矩阵的对角线元素是A的特征值。
即存在一个酉矩阵U和三角矩阵T，使引理2. 设，则Proof:设则引理3. A为正规矩阵A酉相似于对角矩阵。
（注：正规矩阵：）即存在酉矩阵U使Th1.设A为n阶矩阵，为其特征值，则：A为正规矩阵，等号成立。
Proof:由引理1.存在酉阵U，使（三角阵）——①对①两边取共轭转置：——②①②（为酉阵）即设令，则A=B+C：其中B为Hermit阵（即）实C为反Hermit阵（即）虚注：引入B,C的目的是为了研究A的特征值的实部和虚部的估计。
Th2.设A,B,C如上所设，为A的特征值，则有：①②③Proof:由,同理可证：其它两个注：该定理对A特征值进行了界的估计，以及特征值的实部和虚部都有了界的估计，下面给出对A特征值虚部估计更精确的一个定理。
Th3.设，则其中，为上述C的第i行第j列元素Proof:（略）eg1.设则由Th3.易见，Th3.比Th2.中③要精确。
据上述定理可得如下推论：推论1：实对称矩阵的特征值令为实数。
推论2：Hermit矩阵的特征值令为实数。
推论3：反Hermit矩阵的特征值令为虚数或零。
Proof1:A为实对称，则，则即由Th2即为实数Proof2:A为H—阵，则，则，即为实数Proof3: A为反H—阵，则，设为特征值，由Th2.即为纯虚数或零。
Th4.幂等阵的特征值为0或1Proof:设为A的特征值，Z为A的对应于的特征向量。
即或1.Th5.设A,B为n阶实对称矩阵，矩阵B半正定（B的特征值非负），则其中分别为A+B和A的特征值，且即A+B与A的特征值按递减顺序排列。
§2. 圆盘定理及其推广上节我们对矩阵的特征值作了大致的估计，本节所有讲的圆盘定理是对矩阵的特征值在复平面上的具体位置作了更精确的估计。
Th1.圆盘定理：设，则A的特征值（即都在复平面上的n个圆盘内）其中（称为盖尔圆盘）Proof:设为A的特征值，X为特征向量，则，取即说明：①圆盘；称为Gerschgorin圆盘，简称盖尔圆盘。
矩阵特征值问题的数值计算
矩阵特征值问题的计算方法特征值问题：A V=λV¾直接计算：A的阶数较小,且特征值分离得较好 特征值：det(λI-A)=0,特征向量：(λI-A)V=0¾迭代法：幂法与反幂法¾变换法：雅可比方法与QR方法内容：一、 特征值的估计及其误差问题二、 幂法与反幂法三、 雅可比方法四、 QR方法一、 特征值的估计及其误差问题 （一）特征值的估计结论 1.1：n 阶矩阵()ij n n A a ×=的任何一个特征值必属于复平面上的n 个圆盘：1,||||,1,2,ni ii ij j j i D z z a a i n =≠⎧⎫⎪⎪=−≤=⎨⎬⎪⎪⎩⎭∑"（10.1） 的并集。
结论1.2：若（10.1）中的m个圆盘形成一个连通区域D，且D与其余的n-m个圆盘不相连，则D中恰有A的m个特征值。
（二）特征值的误差问题结论1.3：对于n 阶矩阵()ij n n A a ×=，若存在n 阶非奇异矩阵H ，使得11(,,)n H AH diag λλ−=Λ="， （10.2）则11min ||||||||||||||i p p p i nH H A λλ−≤≤−≤∆ （10.3）其中λ是A A +∆的一个特征值，而(1,,)i i n λ="是A 的特征值，1,2,p =∞。
结论1.4：若n 阶矩阵A 是实对称的，则1min ||||||i p i nA λλ≤≤−≤∆。
（10.4）注：（10.4）表明，当A 是实对称时，由矩阵的微小误差所引起的特征值摄动也是微小的。
但是对于非对称矩阵而言，特别是对条件数很大的矩阵，情况未必如此。
二、 幂法与反幂法（一） 幂法：求实矩阵按模最大的特征值与特征向量假设n 阶实矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量,1,iV i n ="，则对于任意的0nX R ∈，有 01ni ii X a V ==∑，从而有01111112((/))n nk k k i i i i ii i nk k i i i i A X a A V a V a V a V λλλλ======+∑∑∑.若A 的特征值分布如下：123||||||||n λλλλ>≥≥≥"，则有01111()k kk A X a V λλ→∞⎯⎯⎯→为对应的特征向量须注意的是，若1||1λ<，则10kλ→，出现“下溢”，若1||1λ>，则1kλ→∞，出现“上溢”，为避免这些现象的发生，须对0kA X 进行规范化。
特征值的估计
值，于是
n
n
n
| i |2
| tii |2
| tii |2
| tij
|2
T
2．
F
（7.1.2）
i 1
i1
i1
i j
由于在酉相似下矩阵的 F 范数不变，所以
n
| i |2 T
2 F
A2． F
i 1
由（7.1.2）式知结论中等号成立当且仅当
| tij |2 0 ．
i j
即 T 为对角阵，因此结论中等号成立当且仅当 A 酉相似于对角阵， 即 A 为正规矩阵．
例 7.1.1 已知矩阵
3 i 2 3i 2i
A 1
0 0
0
1
0
的一个特征值为 2，估计其它两个特征值的上界．
解 记 1 2 ，A 的其它两个特征值为 2 ，3 ，由定理 7.1.1 得
n
n
| k
|2
| i
i 1
|2
| aij
i, j 1
|2
n2 max i, j
| aij
|2 ，
即
|
k
|
n max | i, j
aij
|．
由舒尔定理，存在酉矩阵U 使得
U H AU T ， U H AHU T H ， 其中T 为上三角矩阵，T 的对角线元素 tii (i 1,2,n) 为 A 的特征值，
定理 7.1.2 效果好得多． 例 7.1.2 设矩阵
0 0.2 0.1 A 0.2 0 0.2
0.1 0.2 0
估计特征值的实部与虚部的范围．
矩阵盖尔圆1
A的特征值都是实数
A的特征值都有正数
返回
akj x j xk
j 1
j 1 n
xk ( akk )
akj x j
jk
| xk || akk | |
akj x j | | akj || x j || xk | | akj |
jk jk jk
| akk | Rk
返回
例 1 估计矩阵
5
S4
;
S3 :| z 5 | 1;
S1
S4 :| z 5i | 1
O
3
S3
1 2
5
推论 1 设A C nn ,则A的任一特征值
i Gi
j 1
返回
n
定理 2 (圆盘定理2) 设n阶方阵A的n个盖尔圆盘中
有k个圆盘的并形成一连通区域G，且它与余下 的n - k个圆盘都不相交，则在该区域G中恰好有 A的k个特征值.
2 圆盘定理
定义 1
设A C
nn
行盖尔圆盘 列盖尔圆盘
Si {z C :| z aii | Ri | aij |}
j i
Gi {z C :| z aii | Ci | a ji |}
j i
定理 1 (圆盘定理1) 设A C nn ,则A的任一特征值
则A相似于对角阵.
推论 4 设n阶实阵A的n个盖尔圆盘两两互不相交，
则A特征值全为实数.
返回
D diag( p1 , p2 , , pn ) pi 0
1 D AD p2 p1 a1n p1 pn a2 n p2 ann pn
特征值估计和表示
则称A按列(弱)对角占优。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
二、特征值旳包括区域
1. 定义5.3 设A=(aij)Cn×n，称区域 Gi: |z-aii|Ri 为 矩阵A旳第i个盖尔圆，其中 Ri=ji|aij| 称为盖尔 圆Gi旳半径(i=l，…，n)。
向量系x1，…，xn称为按B原则正交化向量系。 2. 按B原则正交化向量系旳性质： • 性质1 xj0 (j=1, 2, …, n) (j=1，…，n)； • 性质2 x1，…， xn线性无关。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
§5.3 对称矩阵特征值旳极性
一、实对称矩阵旳Rayleigh商旳极性
Ax
|
x
Vk
,
||
x
||2
1}
k
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
二、广义特征值旳极小极大原理
1. 定义 ：设A，B为n阶实对称矩阵，且B正定， xRn．称R(x)=(xTAx)/(xTBx)， x0为矩阵A相对 于矩阵B旳广义Rayleigh商． ．
2. 广义Rayleigh商能够只在椭球面SB={x|xRn, xTBx =1}上讨论。
j 1
|2
2
|
j
|
max
1i, jn
|
aij
|
n
2
n
|| B ||m
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
4. 定理5.2：设ACn×n，则A旳任一特征值 满足 (1) ||||A||m (2) |Re()|0.5||A+AH||m (3) |Im()| 0.5||A－AH||m。
第五章 特征值估计及对称矩阵的极性-1
三,广义特征值分解算法
3. GEVD的总体最小二乘算法: 步一,对阵A进行SVD: A=U∑VH≈U1∑1V1H , 其中∑1是的主奇异值阵; 步 二 , 把 A-λB 左 乘 U1H 并 右 乘 V1 , 得 ∑ 1λU1HBV1 , 从 而 转 化 成 新 的 矩 阵 束 (∑1 , λU1HBV1)的GEVD问题. 该方法适合于有噪情况下的主特征对的计算. 参见张贤达的《矩阵分析与应用》的第8 参见张贤达的《矩阵分析与应用》的第8.8节.
Api=λipiR(pi)=λi.
§5.3 对称矩阵特征值的极性
推论1:在S上p1和pn分别是R(x)的一个极小点和极 大点,即R(p1)=λ1,R(pn)=λn 推论2 若λ1=…=λk (1≤k≤n).则在||x||2=l上R(x)的所 有极小点为[p1,…,pk]β,||β||2=1. 定理:设x∈L(pr,…,ps) , 1≤r≤s≤n ,则有 ∈ ≤≤≤ minxR(x)=λr,maxxR(x)=λs Courant-Fischer定理:设实对称矩阵A的特征值按升 序排列,则A的第k个特征值λk=minVkmax{xTAx |x∈Vk, || x||2=1},其中Vk是Rn的任意—个k维子空间 ,1<k<n.
2.
§5.3 对称矩阵特征值的极性
性 质 3 x∈L(x0)( x0≠0) 时 , R(x) 是 一 常 数. 性质4 R(x)的最大值和最小值存在,且能 够在单位球面S={x|x∈Rn,||x||2=1}上达到. 证: S 是闭集,在 S 上 R(x)=xTAx 连续,所 以必有 x1 , x2∈S ,使得 minx∈SR(x)=R(x1) , n maxx∈SR(x)=R(x2) ; 任 取 0≠y∈R , 令 y0=Ν(y) , 则 y0∈S , 根 据 性 质 3 , 有 R(y)=R(y0),从而R(x1)≤R(y)≤R(x2).
圆盘定理估计特征值的范围
圆盘定理估计特征值的范围
圆盘定理是一种用于估计特征值范围的重要方法。
在数学中，特征值是矩阵或线性变换的性质之一，它们可以告诉我们关于这些对象的重要信息。
而圆盘定理则提供了一种简单而有效的方式来估计特征值的范围。
圆盘定理的基本思想是将矩阵或线性变换视为一个圆盘，特征值则是这个圆盘的边界上的点。
根据定理的定义，特征值的范围应该在这个圆盘内。
为了更好地理解圆盘定理，我们可以通过一个具体的例子来说明。
假设我们有一个2x2的矩阵A，我们想要估计它的特征值范围。
根据圆盘定理，我们可以将矩阵A视为一个圆盘，而特征值则是这个圆盘上的点。
为了估计特征值的范围，我们可以找到矩阵A的特征多项式，并计算它的系数。
通过观察这些系数，我们可以得出特征值的一些性质。
例如，如果特征多项式的系数都是正数，那么特征值的范围应该在圆盘内。
如果系数有正有负，那么特征值可能会超出圆盘的范围。
除了特征多项式的系数，我们还可以通过计算矩阵A的迹和行列式来进一步估计特征值的范围。
这些运算可以提供关于特征值的一些重要信息，从而帮助我们更准确地估计特征值的范围。
总的来说，圆盘定理是一种重要的工具，可以帮助我们估计特征值
的范围。
通过将矩阵或线性变换视为一个圆盘，我们可以利用特征多项式的系数、矩阵的迹和行列式等信息来进行估计。
这种方法简单而直观，可以在实际问题中得到广泛应用。
无论是在物理、工程还是经济学领域，圆盘定理都是一种重要的工具，可以帮助我们更好地理解和分析问题。
矩阵特征值的求法举例
矩阵特征值的求法举例矩阵特征值的求法是线性代数中一个重要的内容，它在解决相应的数学问题中发挥着关键的作用。
在本文中，我们将重点介绍矩阵特征值的求法的基本概念和方法，并通过具体的例子来解释其求解过程。
让我们来了解一下矩阵特征值的概念。
矩阵特征值是指方阵在特定变换下所呈现的特征性质，它是一种描述矩阵变换行为的重要指标。
在线性代数中，矩阵特征值通常表示为λ，其计算过程是通过对矩阵进行特征值分解来获得的。
我们来介绍一下矩阵特征值的计算方法。
对于一个n阶方阵A，其特征值满足特征多项式的根，即满足方程|A-λI|=0的λ值。
其中I为n阶单位矩阵。
而方程|A-λI|=0又称为特征方程，它是一个n次多项式方程，通过解特征方程即可求得矩阵的特征值。
但是直接求解n次特征方程并不是一种高效的方法，所以我们常常采用其他技巧来简化计算，比如将特征方程转化为二次方程组来求解。
下面，我们通过一个具体的例子来说明矩阵特征值的求法。
假设我们有一个2阶方阵A= [1 2; 3 4]，我们要求解其特征值。
我们列出特征方程：|A-λI|=0即，|1-λ 2; 3 4-λ|=0展开计算后得到：(1-λ)(4-λ)-2*3=0化简得到λ^2-5λ+2=0解这个二次方程，我们可以使用求根公式，也可以通过配方法或相乘得到两个因子后分别求解。
我们用求根公式得到：λ1=(5+√17)/2，λ2=(5-√17)/2由此可得该矩阵A的两个特征值分别为(5+√17)/2和(5-√17)/2。
通过这个例子，我们可以清晰地看到矩阵特征值的求解过程。
我们首先列出特征方程，然后通过求解特征方程得到特征值。
这个过程是非常直观的，但是对于更高阶的方阵来说，直接求解特征方程是非常繁琐且复杂的。
所以在实际计算中，我们要采用更加高效的算法来求解特征值。
除了通过特征方程求解特征值外，我们还可以通过其他方法来求解矩阵的特征值。
比如通过矩阵的迹和行列式来计算。
矩阵的迹是指方阵主对角线上元素的和，行列式是矩阵的一种特定性质，对于2阶矩阵A=[a b; c d]，其行列式为 ad-bc。
第八讲矩阵特征值估计与广义特征值问题
第八讲 矩阵特征值估计与广义特征值问题特征值计算较困难，希望找到简便的特征值界限或分布范围的估计方法。
一、 特征值界的估计定理1. 设n n A R ⨯∈，λ为A 的任意特征值，则有()Im λ≤其中，ij ji1i,j na a M max2≤≤-=证明：设x 为A 的属于特征值λ的单位特征向量，即Ax x =λ，H x x 1=，则Hx Ax λ= → ()HHH H x Ax x A x λ==()()()H H H T 2jIm x A A x x A A x λ-λ=λ=-=- 将x 写成[]T12n x ,,,=ξξξ()()n nHTiijji j i 1j 1xA A x aa ==-=ξ-ξ∑∑()()()n niijji ji 1j 1nn i ij ji ji 1j 12Im aa a a ====λ=ξ-ξ≤ξ-ξ∑∑∑∑n'i j ij ji i,j 1a a ==ξξ-∑ （'∑表示不含i ＝j ）n'i j i,j 12M =≤ξξ∑()2n22'i j i,j 1Im M =⎛⎫λ≤ξξ ⎪⎝⎭∑()n22'i j i,j 1M n n 1=≤-ξξ∑()n222'i j i,j 1M n n 1==-ξξ∑nnn nn2222424'i j i j i i i i,j 1i,j 1i 1i 1i 1=====ξξ=ξξ-ξ≤ξ-ξ∑∑∑∑∑()n22ii i 11==ξ-ξ∑不妨写为： ()()()n2222221122i i i 3111==ξ-ξ+ξ-ξ+ξ-ξ∑()()()222222n112222iii 311122=⎛⎫⎛⎫ξ+-ξξ+-ξ ⎪⎪≤++ξ-ξ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑12≤取等号的条件为221212ξ=ξ=，但2x 1=，所以其它2i 0ξ= ∴ ()Im λ≤定理2. 设n n A R ⨯∈，λ为A 的任意特征值，则有 n λ≤ρ ()1R e n 2λ≤τ ()1Im ns 2λ≤ 其中，ij 1i,j nmax a ≤≤ρ=，ij ji 1i,j nmax a a ≤≤τ=+，ij ji 1i,j ns max a a ≤≤=-二、 盖尔圆法 定义：设()n nij n nA a C⨯⨯=∈,由方程nii i ij j 1i jz a R a =≠-≤=∑所确定的圆称为A 的第i 个盖尔圆，i R 称为盖尔圆的半径。
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估计矩阵特征值的范围例题
估计矩阵特征值的范围是一个重要的数学问题，它在实际应用
中具有广泛的意义。
在估计矩阵特征值的范围时，可以采用多种方法。
其中一种常见的方法是使用Gershgorin圆盘定理。
该定理指出，对于一个n阶矩阵A，其特征值位于以矩阵A的每行对角线元素为
圆心、以该行对角线元素绝对值之和为半径的圆盘内。
因此，通过
计算每行对角线元素的绝对值之和，可以得到特征值的范围估计。
另外，还可以利用Rayleigh商来估计矩阵特征值的范围。
Rayleigh商是一种特征值的估计方法，通过对矩阵A和一个非零向
量x计算Rayleigh商的方式来估计特征值。
具体而言，对于非零向
量x，其Rayleigh商定义为x^T A x / (x^T x)，其中^T表示
向量的转置。
通过对不同的非零向量x计算Rayleigh商，可以得到
特征值的范围估计。
此外，还可以利用幂法等数值方法来估计矩阵特征值的范围。
幂法是一种迭代算法，通过不断迭代矩阵A的幂次方和向量的乘积
来逼近矩阵A的主特征值和对应的特征向量。
通过幂法得到的特征
值的估计值，可以帮助我们对矩阵特征值的范围进行估计。
除了上述方法外，还有一些其他的方法可以用来估计矩阵特征值的范围，比如使用Hilbert-Schmidt范数、谱半径等。
这些方法在不同的情况下都有其适用的场景，可以根据具体的问题和矩阵的性质来选择合适的方法进行估计。
总的来说，估计矩阵特征值的范围是一个复杂而重要的数学问题，需要结合矩阵的特点和具体的应用背景来选择合适的方法进行估计。
不同的方法有不同的优缺点，可以相互印证，以得到更加准确和全面的特征值范围估计。