七年级(下)数学 三角形的概念、性质及内角和

三角形是平面解析几何中一种基本的几何图形，本章我们将对三角形的构成和性质进行探究和研究，由此获得的知识和经验，是认识其他图形的基础．本节主要针对构成三角形的边角之间的关系进行讲解，通过训练，让同学们更好的掌握三角形的相关概念．知识点1：三角形的概念（1）三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．（2）三角形的边、角：组成三角形的三条线段叫做三角形的边，每两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角．（3）三角形的表示方法：三角形用符号“∆”表示，三角形ABC可记作“∆ABC”或“∆BCA”或“∆ACB”．（4）三角形的外角：三角形的内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角，一个三角形的每个顶点上各有两个外角，这两个外角是对顶角．注意：三角形的外角必须是由“内角的一边与另一边的反向延长线”所组成．三角形的概念和性质内容分析模块一：三角形的有关概念知识精讲知识结构知识点2：三角形中的主要线段（1）三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线；（2）三角形的中线：连结三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线；（3）三角形的高：从三角形的三个顶点向它的对边（或其延长线）引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高；（4）一个三角形有三条角平分线，三条中线，三条高．注意：①三角形的角平分线、中线、高各有三条，并且各自交于一点；②三角形的角平分线、中线都在三角形内部，而高线可以在内部（锐角三角形），可以在外部（钝角三角形），也可以在三角形的边上（直角三角形）；③三角形的角平分线、中线、高线都是线段．知识点3：三角形三条线段之间的关系任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．知识点4：三角形的分类按角分：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；按边分：不等边三角形和等腰三角形．例题解析【例1】下列说法正确的是（）A．三角形的高、中线是线段，角的平分线是射线B．三角形的三条高线中，至少有一条在三角形的内部C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部D．在三角形中，联结一个顶点和它对边中点的直线叫做三角形的中线【例2】下列说法中错误的是（）A．三角形的三条角平分线相交于三角形内一点2/ 15B．三角形三条中线相交于三角形内一点C．三角形三条高所在的直线相交于三角形内一点D．等边三角形三边的垂直平分线相交于三角形内一点【例3】下列命题正确的是（）A．三角形的中线就是过顶点平分对边的直线B．三角形的高就是顶点到对边的距离C．三角形的角平分线就是三角形内角的角平分线D．三角形的三条中线必相交于一点【例4】现有两根木棒，它们的长分别是30cm，40cm，若要钉成一个三角形木架，则在下列四根木棒中应选取（）A．10cm B．40cm C．70cm D．100cm【例5】三角形的三边为3、1-2a、8，求a的取值范围．【难度】★★【答案】【解析】【例6】已知一个三角形中两条边长分别为a、b，且a>b，求这个三角形周长L的取值范围．+++--的值．【例7】设a、b、c是△ABC三边，化简a b c a b c【例8】等腰三角形中两边为3厘米，4厘米，求该三角形的周长．【例9】等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求这个等腰三角形底边的长．【例10】不等边三角形的最长边为9，最短边为4，若第三边长为整数，求第三边的长．【例11】不等边三角形ABC的两边高分别为4和12，若第三条高的长也是整数，求第三边高的长度．【例12】已知一个三角形的周长为12，求这个三角形的最长边的取值范围．【例13】等腰三角形的周长为8，各边长为整数，求该等腰三角形的腰长．AB D Ecab4/ 15E DCBA【例14】 周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？【例15】 三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度.在下图中，E位于线段CA 上，D 位于线段BE 上. （1）证明：AB +AE ＞DB +DE ； （2）证明：AB +AC ＞DB +DC ；（3）AB +BC +CA 与2（DA +DB +DC ）哪一个更大?证明你的结论； （4）AB +BC +CA 与DA +DB +DC 哪一个更大?证明你的结论.三角形角与角的关系：① 三角形内角和定理：三角形的内角和等于180︒ ② 三角形的外角性质： <a >三角形的外角和等于360︒<b >三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 <c >三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性．模块二：三角形的角的关系知识精讲6 / 15【例16】 在一个三角形中，下列说法中错误的是（）A ． 至少有两个锐角B ． 最多能有两个钝角C ． 至多有一个直角D ． 最多能有三个锐角【例17】 填空：（1） △ABC 中，∠C =90°，∠A =50°，则∠B =________； （2） 在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C =1:2:3，则∠A +∠B =_______．【例18】 （1）一个三角形中，若其中一个内角等于另外两个内角的和，那么这个三角形一定是_________；（2）任意一个三角形至少有________个锐角．【例19】 △ABC 中，∠A -∠B =2∠B -∠C =20°，求∠A 、∠B 和∠C ．【例20】 在△ABC 中∠ABC ：∠C ：∠BAC =1:2:5，BD ⊥AC 于D ，求∠ABD 的度数．例题解析ABCDFEDPCA【例21】 △ABC 中，∠A 是最小角，∠B 是最大角，且有5∠A =2∠B ，若∠B 的最大值是m °，最小值是n °，求m +n 的值．【例22】 如图，在三角形ABC 中，∠B =∠C ，ED ⊥BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，∠AED =148°，求∠EDF 的度数．【例23】 已知点D 是△ABC 内一点，试说明D A ∠>∠．【例24】 在△ABC 中，三个内角的度数均为整数，且∠A <∠B <∠C ，7∠A =4∠C ， 求∠B 和∠C 的度数．【例25】 若三角形三个内角∠A 、∠B 和∠C 的关系是3A B ∠>∠，2C B ∠<∠，试按角的分类判断这个三角形的形状．【例26】 四边形ABCD 两组对边AD ，BC 与AB ，DC 延长线分别交于点E ，F ，∠AEB 、∠AFD 的平分线交于点P .∠A =64°，∠BCD =136°，则下列结论中正确的是（ ） ①∠EPF =100°； ②∠ADC +∠ABC =160°； ③∠PEB +∠PFC +∠EPF =136°； ④∠PEB +∠PFC =136°．A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④21ABC DEFA BCD8 / 15CDM BA ENDCB A【例27】 在五角星ABCDE 中，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ．【例28】 平面内，四条线段AB ，BC ，CD ，DA 首尾顺次连接，∠ABC =24°，∠ADC =42°． （1）∠BAD 和∠BCD 的角平分线交于点M （如图1），求∠AMC 的大小；（2）点E 在BA 的延长线上，∠DAE 的平分线和∠BCD 平分线交于点N （如图2）， 求∠ANC 的度数．图1 图2ABCDE【例29】 （1）如图1△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线相交于点P ，则有：________BPC A ∠=∠；（2）如图2：△ABC 中，∠ABC 的外角角平分线和∠ACB 的外角角平分线相交于点P ， 则有：________BPC A ∠=∠；（3）如图3：△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的外角角平分线相交于点P ，则有：________BPC A ∠=∠．A B CP图1ABCP 图2ABCP图310 / 15【例30】 如图1，A 、B 为直线a 上两点，A 在B 的左侧，C 为直线b 上的另一点，且a ⊥b ，垂足为o ，CD ∥a ，CD =2，OC =2. （1）求△BCD 的面积；（2）如图2，若∠BCO =∠BAC ，作AQ 平分∠BAC 交直线b 于P ，交BC 于Q . 求证：∠CPQ =∠CQP ；（3）如图3，若∠ADC =∠DAC ，点B 在直线a 上O 的右侧运动，∠ACB 的平分线交直线AD 于E ，DF ∥AC 交直线b 于F ，FM 平分∠DFC 交DE 于M ，2BCF DMFE∠-∠∠的值是否发生变化?证明你的结论.bBC D Oa图1 b图2O ABCDE Fb aM图3DAB CO P Qa【习题1】 已知在三角形ABC 中，1122A B C ∠=∠=∠，则_______B ∠=．【习题2】 下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A ．1cm ，2cm ，3.5cmB ．4cm ，5cm ，9cmC ．5cm ，8cm ，15cmD ．6cm ，8cm ，9cm【习题3】 （1）在ABC ∆中，AB =3，BC =7，则AC 的取值范围是_________________；（2）已知三角形两边的长分别为1和2，如果第三边为整数，那么第三边长为________．【习题4】 如图，在△ABC 中，90C ∠=。

，EF //AB ，150∠=。

，则B ∠的度数为（）A ．50。

B .60。

C .30。

D .40。

【习题5】 如图，△ABC 中，∠A ＝70°，∠B ＝60°，点D 在BC 的延长线上，则∠ACD等于（ ） A ．100°B ．120°C ．130°D ．150°【习题6】 若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，则该三角形的一个底角为（）随堂检测ABCD1ABCE F12 / 15321EGFDC BAA ．32.5°B ．57.5°C ．65°或57.5°D ．32.5°或57.5．【习题7】 已知ABC △的一个外角为50°则ABC △一定是（） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形或锐角三角形【习题8】 如图， Rt ABC △中， 90ACB =∠°，DE 过点C ，且DE AB ∥，若 55ACD =∠°， 则∠B 的度数是（ ）A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°【习题9】 已知周长小于15的三角形三边长都是质数，且其中一边的长为3，这样的三角形有多少个？【习题10】 锐角三角形三个角的度数都是正整数，最小角的度数是最大角的度数的14， 求所有满足此条件的锐角三角形三个角的度数．【习题11】 如图，已知∠3=∠1+∠2，求证：∠A +∠B +∠C +∠D =180°.ABCDE【作业1】 如果△ABC 中，AB =5，BC =10，则AC 的取值范围是_________．【作业2】 判断题：（1）三角形的三条高一定交于一点（）（2）三角形的三条中线一定交于三角形内一点（ ） （3）三角形的三条角平分线一定交于三角内一点（）【作业3】 （1）如果△ABC 中，∠ACB ＝900，CD 是AB 边上的高，则与∠A 相等的角是__________；（2）如果△ABC 的一个外角等于1500，且∠B ＝∠C ，则∠A ＝_______．【作业4】 如图，已知ABC ACB ∠∠和的平分线BD 、CE 相交于点50O A ∠=︒，，则_______BOC ∠=．【作业5】 （1）若三角形三条边的长分别是7，10，x ，求x 的范围； （2）若三边分别为2，x －1，3，求x 的范围．课后作业A B CD OE14 / 15T ED GHCBA F【作业6】 如图，已知//DE BC CD ACB ∠，是的平分线，7050B ACB ∠=︒∠=︒，，求EDC ∠和BDC ∠的度数．【作业7】 在ABC ∆中，AD 是高，AE BF 、是角平分线，且相交于点O ，5070BAC C ∠=︒∠=︒，，求DAC BOA ∠∠、的度数．【作业8】 如图，在△ABC 中，BD ，BE 分别是高和角平分线，点F 在CA 的延长线上，FH ⊥BE 交BD 于G ，交BC 于H .下列结论： ①∠DBE =∠F ；②2∠BEF =∠BAF +∠C ；③∠F =12（∠BAC -∠C ）； ④∠BGH =∠ABE +∠C ,其中正确的是（）A .①②③B .①③④C .①②③D .①②③④【作业9】 已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长为4，但不是最短边，这样的三角形有多少个？ABCD E【作业10】 如图，（1） 求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的度数；（2） 若∠CGE = ，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F 的度数.EDCB AαGFEDCBA（1）（2）。