第3讲 有理数的乘除及乘方 -提高班

第3讲有理数的乘除及乘方
中考内容
中考要求
A B C
有理数的运
算理解有理数的运算律；
理解乘方的意义
掌握有理数的加、减、
乘、除、乘方及简单的
混合运算（以三步以内
为主）
运用运算律简化运算；
运用有理数的运算解
决简单问题
科学记数法和近似数会用科学记数法表示数；了解近似数；会按实际问题的要求对结果取近似值
中考大纲知识网络图
3.1有理数的乘法
一． 有理数的乘法
1. 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
任何数同0相乘，都得0．
2. 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值．
3. 有理数乘法的应用：要得到一个数的相反数，只要将它乘1-．
4. 多个有理数相乘：
（1）几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数
时，积为负数，即“奇负偶正”．
（2）几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0． 5. 有理数乘法运算律：
（1）乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．
ab ba =
（2）乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先
把后两个数相乘，积相等．
()()ab c a bc =
（3）分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别
同这两个数相乘，再把积相加．
()a b c ab ac +=+
二． 倒数
1． 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数． （1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数．
（2）互为倒数的两个数的乘积一定是1，即a ，b 互为倒数，则1a b ⨯=；反之亦然． （3）0没有倒数．
2． 求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可． （1）非零整数可以看作分母为1的分数； （2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数．
知识概述
【例】（2017秋•顺义区期末）四个互不相等的整数的积为4，那么这四个数的和是（ ） A ．0 B ．6
C ．﹣2
D ．2
【练习】（2017秋•蓬溪县期末）如果a +b ＜0，并且ab ＞0，那么（ ） A ．a ＜0，b ＜0 B ．a ＞0，b ＞0 C ．a ＜0，b ＞0 D ．a ＞0，b ＜0
【例】（2016秋•芝罘区期末）已知abc ＞0，a ＞c ，ac ＜0，下列结论正确的是（ ） A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＞0，b ＞0，c ＜0 C ．a ＞0，b ＜0，c ＜0 D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0
【例】（2017秋•滨海新区期末）对于有理数a 、b ，如果ab ＜0，a +b ＜0．则下列各式成立的是（ ）
A ．a ＜0，b ＜0
B ．a ＞0，b ＜0且|b |＜a
C ．a ＜0，b ＞0且|a |＜b
D ．a ＞0，
b ＜0且|b |＞a
3.2有理数的除法
一．有理数的除法
1. 有理数除法法则：
（1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．
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总述
思考：多个不是的数相乘，先做哪一步，再做哪一步？
知识概述
1
a b a b
÷=⋅，(0b ≠)
（2）法则的另一说法：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．
0除以任何一个不等于0的数，都得0．
2. 有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．
3. 分数：分数可以理解为分子除以分母．
二．有理数的乘除混合运算
先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果． 注意：乘除混合运算要“从左到右”运算．
【例】（2017秋•临沂月考）若x=（﹣1.125）×÷（﹣）×，则x 的倒数是（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．±1 D ．2
【练习】（2017秋•郯城县月考）÷（﹣10）×（﹣
）÷（﹣
）
【例】（2017秋•昌平区期末）计算：（﹣3）×6÷（﹣2）×．
【练习】（2017秋•安图县期末）÷（﹣1）×．
【例】（2017秋•怀柔区期末）计算：3×（﹣）÷（﹣1）．
5．（2017秋•城关区校级期中）计算： （1）﹣5÷（﹣1）；
（2）（﹣）÷（﹣）÷（﹣1）．
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3.3有理数的乘方
一． 有理数的乘方
1. 乘方的概念：求n 个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．
（1）一般地，n 个相同的因数a 相乘，即n a a a a
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅个
，记作，读作“a 的n 次方”；
（2）在中，a 叫做底数，n 叫做指数；
（3）当看作a 的n 次方的结果时，读作a 的n 次幂． 注意：()2
24-=，其底数为()2-，()()()2
2224-=-⨯-=；
224-=-，其底数为2，()()22
2121224-=-⨯=-⨯⨯=-；
2
39=749⎛⎫
⎪⎝⎭
，其底数为37，2
333977749⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭； 239=77，其底数为3，23339777
⨯==； 2
2
1391224⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算．
2. 一个数可以看作这个数本身的一次方，例如，5就是15，指数1通常省略不写．
3. 幂的正负规律：
（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”； （2）正数的任何次幂都是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0． 二． 科学记数法
n a n a n a 总述
思考：加减乘除混合运算的运算顺序是什么？
知识概述
1． 科学记数法：把一个大于10的数表示成10n a ⨯的形式（其中110a ≤<，n 是正整数）．
2． 用科学记数法表示一个n 位整数，其中10的指数是1n -，10的指数比整数的位数少1． 3． 万410=，亿810= 三．近似数
1． 准确数：表示实际数量的数．
2． 近似数：在一定程度上反映被考察量的大小，能说明实际问题的意义，与准确数非
常地接近．
3． 精确度：表示近似数与准确数的接近程度． 4． 精确度的类型： （1）纯数字类
按四舍五入法对圆周率π取近似数时 3π≈（精确到个位）
3.1π≈（精确到十分位，或叫精确到0.1）
3.14π≈（精确到百分位，或叫精确到0.01） 3.142π≈（精确到千分位，或叫精确到0.001）
（2）带单位类
近似数2.6万（精确到千位） （3）科学记数法类
近似数43.5110⨯（精确到百位）
【例】（2018•金牛区校级模拟）下列各数|﹣2|，﹣（﹣2）2，﹣（﹣2），（﹣2）
3中，负数的个数有（
）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【练习】（2018•河北二模）下列各对数中，数值相等的是（ ） A ．+32与+22 B ．﹣23与（﹣2）3 C ．﹣32与（﹣3）2 D ．3×22与（3×2）2
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【练习】（2018•绵阳）四川省公布了2017年经济数据GDP排行榜，绵阳市排名全省第二，GDP总量为2075亿元，将2075亿用科学记数法表示为（）A．0.2075×1012B．2.075×1011C．20.75×1010D．2.075×1012
【例】（2018•绍兴）绿水青山就是金山银山，为了创造良好的生态生活环境，浙江省2017年清理河湖库塘淤泥约116 000 000方，数字116 000 000用科学记数法可以表示为（）
A．1.16×109B．1.16×108C．1.16×107D．0.116×109
【例】（2016秋•吴中区期末）阅读下列各式：（a•b）2=a2b2，（a•b）3=a3b3，（a•b）4=a4b4…
回答下列三个问题：
（1）验证：（2×）100=____，2100×（）100=_____；
（2）通过上述验证，归纳得出：（a•b）n=_____；（abc）n=______．
（3）请应用上述性质计算：（﹣0.125）2017×22016×42015．
总述
总结：“奇负偶正”你了解全了吗？
3.4有理数的混合运算
知识概述
一．有理数混合运算顺序：
1.先乘方，再乘除，最后加减；
2. 同级运算，从左到右进行；
3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行． 二． 进行有理数混合运算时的易错点：
1. 乘方概念错误，如326=等．
2. 底数错误，如2(2)4-=-，224-=等．
3. 运算顺序发生错误，如1
232123
÷⨯=÷=等．
4. 分配律运算错误，如11
2(2)22241522
-⨯-=-⨯-⨯=--=-等．
【例】（2017秋•招远市期末）形如的式子叫做二阶行列式，其运算法则用
公式表示为
=xn ﹣ym ，依此法则计算
的结果为（ ）
A ．17
B ．﹣17
C ．1
D ．﹣1
【练习】（2017秋•费县期末）现定义一种新运算“*”，规定a*b=ab +a ﹣b ，如1*3=1×3+1﹣3，则（﹣2*3）*5等于（ ） A ．71 B ．47 C ．﹣47 D ．﹣71
【例】（2017秋•揭西县期末）计算：（﹣2）2÷×（﹣2）﹣=______．
【练习】（2017秋•河口区期末）计算8﹣23÷的值为_____．
【例】（2017秋•泸县期末）计算：﹣14﹣×[2﹣（﹣3）2]．
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【例】（2018•杭州二模）计算：﹣23+6÷3×
圆圆同学的计算过程如下：
原式=﹣6+6÷2=0÷2=0
请你判断圆圆的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．【练习】（2018•邵阳县模拟）计算：﹣14+16÷（﹣2）3×|﹣3﹣1|．
【巩固】（2017秋•贵阳期末）计算：
（1）1﹣43×（﹣）
（2）7×2.6+7×1.5﹣4.1×8．。