高中数学公式积化和差公式
高中数学三角函数公式大全全解
高中数学三角函数公式大全全解三角函数公式1.正弦定理：$a/\sin A=b/\sin B=c/\sin C=2R$（$R$为三角形外接圆半径）。
2.余弦定理：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$。
$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$。
$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。
3.海伦公式：$S_{\triangle}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$。
其中$p=(a+b+c)/2$，$S_{\triangle}$为三角形面积。
4.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。
sin(-\alpha)=-\sin\alpha$，$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$，$\cos(-\alpha)=\cos\alpha$，$\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$，$\tan(-\alpha)=-\tan\alpha$，$\tan(\pi-\alpha)=\tan\alpha$，$\cot(-\alpha)=-\cot\alpha$，$\cot(\pi-\alpha)=-\cot\alpha$。
5.和差角公式：sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta $，$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$，$\tan(\alpha\pm\beta)=(\tan\alpha\pm\tan\beta)/(1\mp\tan\alpha\tan \beta)$。
6.二倍角公式：（含万能公式）sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta=2\tan\theta/(1+\tan^2\theta)$，$\cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=1-2\sin^2\theta= (1-\tan^2\theta)/(1+\tan^2\theta)$，$\tan 2\theta=2\tan\theta/(1-\tan^2\theta)$。
高中必修一数学和差公式：积化和差_知识点总结
高中必修一数学和差公式：积化和差_知识点总结高中阶段对于三角函数的考察重点在于对三角函数公式的掌握，其中当然少不了对数学和差公式的了解，具体的数学和差公式如下：两角和与差的三角函数：sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]数学和差公式常见的就是以上四类，大家可以根据类型分类进行记忆，预祝大家可以学好三角函数，取得优异的成绩。
2024版新教材高中数学第二章第2课时和差化积与积化和差公式导学案湘教版必修第二册(含答案)
新教材高中数学湘教版必修第二册：第2课时和差化积与积化和差公式教材要点要点状元随笔(1)这两组公式均可由和差角公式推导得到，而这两组公式亦可以互推．(2)和差化积公式可由以下口诀记忆“正弦和正弦在前；正弦差余弦在前；余弦和只见余弦；余弦差负不见余弦”．(3)两组公式中的倍数关系可通过值域(最值)的对比发现，y＝sinα±sinβ与cos α±cosβ的值域应为[－2，2]而y＝sinαsinβ等的值域应为[－1，1]，所以应给积乘2或者和(差)乘1.2基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)sin (A＋B)＋sin (A－B)＝2sin A cos B．( )(2)sin (A＋B)－sin (A－B)＝2cos A sin B．( )(3)cos (A＋B)＋cos (A－B)＝2cos A cos B．( )(4)cos (A＋B)－cos (A－B)＝2sin A cos B．( )2．把2sin 10°cos 8°化成和或差的形式为( )A．sin 18°－sin 2° B．sin 18°＋cos 2°C．sin 18°＋sin 2° D．cos 18°＋cos 2°3．把sin 15°＋sin 5°化成积的形式为( )A．sin 5°sin 15° B．2cos 10°cos 5°C．2sin 10°sin 5° D．2sin 10°cos 5°4．cos 37.5°cos 22.5°＝______.题型 1 和差化积公式的应用例1 把下列各式化成积的形式．(1)cos 3x＋cos x；(2)cos 40°－cos 52°；(3)sin 15°＋sin 35°；(4)sin 6x－sin 2x.方法归纳套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来．跟踪训练1 把下列各式化成积的形式．(1)cos 8＋cos 2；(2)cos 100°－cos 20°；(3)sin 40°＋sin 150°；(4)sin (x＋2)－sin x．题型 2 积化和差的应用例2 把下列各式化成和或差的形式．(1)2sin 64°cos 10°；(2)sin 80°cos 132°；(3)cos π6cos π4；(4)sin 2sin 1.方法归纳积化和差公式可以把某些三角函数的积化为和或差的形式．需要注意三角函数名称的变化规律．跟踪训练2 (1)sin 15°cos 165°的值是( )A ．14B ．12C ．－14D ．－12(2)sin (π4+α)cos (π4+β)化成和差的形式为( )A ．12sin (α＋β)＋12cos (α－β)B ．12cos (α＋β)＋12sin (α－β) C ．12sin (α＋β)＋12sin (α－β)D ．12cos (α＋β)＋12cos (α－β)题型 3 和差化积与积化和差公式的综合应用 角度1 化简与求值 例31sin 40°+cos 80°sin 80°＝________．方法归纳当条件或结论式比较复杂时，往往先将它们化为最简形式，再求解．角度2 证明恒等式例4 求证：sin αsin (60°＋α)sin (60°－α)＝14sin 3α.方法归纳当要证明的不等式一边复杂，另一边非常简单时，我们往往从复杂的一边入手证明，类似于化简．跟踪训练3 (1)计算：sin 70°+sin 50°sin 80°＝________．(2)求证：2cos 20°+2sin 20°−12cos 20°−2sin 20°−1·tan 25°＝cos 15°sin 15°.课堂十分钟1．sin 75°－sin 15°的值为( ) A ．12 B ．√22 C ．√32 D ．－122．cos 72°－cos 36°的值为( ) A ．3－2√3 B ．12 C ．－12D ．3＋2√33．sin 37.5° cos 7.5°等于( ) A ．√22 B ．√24 C ．√2+14 D ．√2+244．求证：sin 15°sin 30°sin 75°＝18.第2课时 和差化积与积化和差公式新知初探·课前预习[基础自测]1．答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 2．解析：2sin10°cos 8°＝sin (10°＋8°)＋sin (10°－8°)＝sin 18°＋sin 2°. 答案：C3．解析：sin 15°＋sin 5°＝2sin 15°+5°2cos15°−5°2＝2sin 10°cos 5°答案：D4．解析：cos 37.5°cos 22.5°＝12(cos 60°＋cos 15°) ＝14+12cos 15°＝2+√6+√28.答案：2+√6+√28题型探究·课堂解透例1 解析：(1)cos 3x ＋cos x ＝2cos 3x+x 2cos3x−x 2＝2cos 2x cos x .(2)cos 40°－cos 52°＝－2sin 40°+52°2sin40°−52°2＝－2sin 46°sin (－6°)＝2sin 46°sin 6°.(3)sin 15°＋sin 35°＝2sin15°+35°2cos15°−35°2＝2sin 25°cos (－10°)＝2sin 25°cos 10°. (4)sin 6x －sin 2x ＝2cos 6x+2x 2sin6x−2x 2＝2cos 4x sin 2x .跟踪训练1 解析：(1)cos 8＋cos 2＝2cos 8+22cos8−22＝2cos 5cos 3.(2)cos 100°－cos 20°＝－2sin 100°+20°2sin100°−20°2＝－2sin 60°sin 40°＝－√3sin 40°.(3)sin 40°＋sin 150°＝2sin40°+150°2cos40°−150°2＝2sin 95°cos (－55°)＝2cos 5°cos 55°. (4)sin (x ＋2)－sin x ＝2cosx+2+x 2sinx+2−x 2＝2cos (x ＋1)sin 1.例2 解析：(1)2sin 64°cos 10°＝sin (64°＋10°)＋sin (64°－10°) ＝sin 74°＋sin 54°.(2)si n 80°cos 132°＝cos 132°sin 80°＝12[sin (132°＋80°)－sin (132°－80°)]＝12(sin 212°－sin 52°) ＝－12(sin 32°＋sin 52°)．(3)cos π6cos π4＝12[cos (π6+π4)+cos (π6−π4)] ＝12[cos 5π12+cos (−π12)]＝12(cos 5π12+cos π12).(4)sin 2sin 1＝－12[cos (2＋1)－cos (2－1)]＝－12(cos 3－cos 1)．跟踪训练2 解析：(1)sin 15°cos 165°＝12[sin (15°＋165°)＋sin (15°－165°)]＝12sin 180°－12sin 150°＝－14.(2)sin (π4+α)cos (π4+β) ＝12[sin (π4+α+π4+β)+sin (π4+α−π4−β)]＝12[sin (π2+α+β)+sin(α−β)] ＝12cos (α＋β)＋12sin (α－β)．答案：(1)C (2)B 例3 解析：原式＝2cos 40°+cos 80°sin 80°＝cos 40°+2cos 60°cos 20°sin 80°＝cos 40°+cos 20°sin 80°＝2cos 30°cos 10°sin 80°＝2cos 30°＝√3.答案：√3例4 证明：左边＝sin α·(−12)(cos 120°－cos 2α) ＝14sin α＋12sin αcos 2α＝14sin α＋14[sin 3α＋sin (－α)]＝14sin α＋14sin 3α－14sin α＝14sin 3α＝右边． 跟踪训练3 解析：(1)sin 70°+sin 50°sin 80°＝sin (60°+10°)+sin (60°−10°)sin 80°＝2sin 60°cos 10°cos 10°＝2sin 60°＝√3. (2)证明：左边＝2cos 20°sin 25°+2sin 20°sin 25°−sin 25°2cos 20°cos 25°−2sin 20°cos 25°−cos 25° ＝sin 45°−sin (−5°)−cos 45°+cos (−5°)−sin 25°cos 45°+cos (−5°)−sin 45°−sin (−5°)−cos 25° ＝sin 5°+cos 5°−sin 25°sin 5°+cos 5°−cos 25° ＝sin 5°+sin 85°−sin 25°cos 85°+cos 5°−cos 25° ＝sin 5°+2cos 55°sin 30°−2sin 55°sin 30°+cos 5°＝sin 5°+cos 55°cos 5°−sin 55°＝sin 5°+sin 35°cos 5°−cos 35° ＝sin 20°cos (−15°)−sin 20°sin (−15°) ＝cos 15°sin 15°＝右边所以原等式成立． [课堂十分钟]1．解析：sin 75°－sin 15°＝2cos 45°sin 30°＝2×√22×12＝√22.答案：B2．解析：原式＝－2sin72°+36°2sin72°−36°2＝－2sin 54°·sin 18°＝－2cos 36°cos 72° ＝－2·sin 36°cos 36°cos 72°sin 36°＝－sin 72°cos 72°sin 36°＝－sin 144°2sin 36°＝－12. 答案：C3．解析：sin 37.5°cos 7.5°＝12[sin (37.5°＋7.5°)＋sin (37.5°－7.5°)]＝12(sin 45°＋sin 30°)＝12×(√22+12)＝√2+14. 答案：C4．证明： sin 15°sin 30°sin 75°＝12sin 15°sin 75°＝－14[cos (15°＋75°)－cos (15°－75°)]＝－14(cos 90°－cos 60°)＝－14×(−12)＝18.。
人教B版高中数学必修四§3.3 三角函数的积化和差与和差化积
§3．3 三角函数的积化和差与和差化积课时目标1．能从两角和与差的正、余弦公式推导积化和差与和差化积公式．2．了解积化和差与和差化积的简单运用．一、选择题1．cos 215°＋cos 275°＋cos15°cos75°的值是( ) A ．32B ．62C ．34D ．542．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的最大值是( )A ．2B ．1C ．12D ． 33．cos20°＋cos60°＋cos100°＋cos140°的值为( )A ．－12B ．12C ．32D ．224．化简1＋sin 4α－cos 4α1＋sin 4α＋cos 4α的结果是( )A ．cot2αB ．tan2αC ．cot αD ．tan α5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的非奇非偶函数D ．最小正周期为π的非奇非偶函数6．cos 2α－cos αcos(60°＋α)＋sin 2(30°－α)的值为( ) A ．12B ．32C ．34D ．14二、填空题7．sin 35°－sin 25°cos 35°－cos 25°的值是________． 8．给出下列关系式：①sin5θ＋sin3θ＝2sin8θcos2θ； ②cos3θ－cos5θ＝－2sin4θsin θ；③sin3θ－sin5θ＝－12cos4θcos θ；④sin5θ＋cos3θ＝2sin4θcos θ；⑤sin x sin y ＝12[cos(x －y )－cos(x ＋y )]．其中正确的序号是________．9．sin20°cos70＋sin10°sin50°的值是________．10．已知cos 2α－cos 2β＝m ，那么sin(α＋β)·sin(α－β)＝________．三、解答题11．求证：1＋cos x ＋cos x 2＝4cos x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6．12．求值：cos40°cos80°＋cos80°cos160°＋cos160°cos40°．能力提升13．求证：sin A ＋sin B －sin C ＝4sin A 2sin B 2cos C2．14．已知sin α－sin β＝－13，cos α－cos β＝12，求sin(α＋β)的值．1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记公式而忽视对思想方法的体会．只要对上述思想方法有所感悟，公式不必记很多，记住cos(α－β)即可．2．和差化积、积化和差公式不要求记忆，但要注意公式推导中应用的数学思想方法，同时注意这些公式与两角和与差公式的联系．3．除了课本上所列的积化和差公式、和差化积公式外，公式1－cos α＝2sin2α2，1＋cos α＝2cos2α2，a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)也应视作和差化积公式；同样sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2也应视作积化和差公式．§3．3 三角函数的积化和差与和差化积答案知识梳理 12[sin(α＋β)＋sin(α－β)] 12[sin(α＋β)－sin(α－β)] 12[cos(α＋β)＋cos(α－β)] －12[cos(α＋β)－cos(α－β)] 2sin θ＋φ2cos θ－φ2 2cos θ＋φ2sin θ－φ2 2cos θ＋φ2cos θ－φ2－2sin θ＋φ2sin θ－φ2作业设计1．D [原式＝1＋cos 30°2＋1＋cos 150°2＋cos 90°＋cos 60°2＝54．]2．B [y ＝2sin x cos π3＝sin x ．]3．B [原式＝(cos20°＋cos140°)＋cos100°＋cos60°＝2cos80°cos60°＋cos100°＋cos60°＝cos80°－cos80°＋cos60°＝12．]4．B [原式＝2sin 22α＋2sin 2αcos 2α2cos 22α＋2sin 2αcos 2α＝2sin 2α(sin 2α＋cos 2α)2cos 2α(cos 2α＋sin 2α)＝tan2α．] 5．D [f (x )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin π2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋12∴T ＝2π2＝π，f (x )为非奇非偶函数．]6．C [原式＝1＋cos 2α2－12[cos(60°＋2α)＋cos60°]＋1－cos (60°－2α)2＝1＋12cos2α－12cos(60°＋2α)－14－12cos(60°－2α)＝34－12[cos(60°＋2α)＋cos(60°－2α)]＋12cos2α ＝34－12×2cos60°cos2α＋12cos2α＝34．] 7．－ 3解析 原式＝2sin 5°cos 30°－2sin 30°sin 5°＝－cos 30°sin 30°＝－2cos30°＝－2×32＝－3． 8．⑤解析 ①②③④都错，只有⑤是正确的． 9．14解析 原式＝12(sin90°－sin50°)＋12(cos40°－cos60°)＝12－12sin50°＋12cos40°－14＝14． 10．－m解析 cos 2α－cos 2β＝(cos α＋cos β)(cos α－cos β)＝2cos α＋β2cos α－β2⎝⎛⎭⎪⎫－2sin α＋β2sin α－β2＝－2sin α＋β2cos α＋β2·2sin α－β2cos α－β2＝－sin(α＋β)sin(α－β)＝m ∴sin(α＋β)·sin(α－β)＝－m ． 11．证明 左边＝2cos 2x 2＋cos x2＝2cos x 2⎝⎛⎭⎪⎫cos x 2＋12＝2cos x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2＋cos π3＝2cos x 2·2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＝4cos x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＝右边．12．解 原式＝12(cos120°＋cos40°)＋12(cos240°＋cos80°)＋12(cos200°＋cos120°)＝12(cos40°＋cos80°＋cos200°)－34 ＝12(2cos60°cos20°－cos20°)－34 ＝12(cos20°－cos20°)－34＝－34． 13．证明 左边＝sin(B ＋C )＋2sin B －C 2cos B ＋C2＝2sin B ＋C 2cos B ＋C 2＋2sin B －C 2cos B ＋C 2＝2cos B ＋C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B ＋C 2＋sin B －C 2＝4sin A 2sin B 2cos C2＝右边．14．解 sin α－sin β＝2sinα－β2cosα＋β2＝－13，①cos α－cos β＝－2sin α－β2sin α＋β2＝12．②∴由②①得：tan α＋β2＝32∴sin(α＋β)＝2sin α＋β2cos α＋β2＝2sin α＋β2cosα＋β2sin 2α＋β2＋cos2α＋β2＝2tan α＋β21＋tan 2α＋β2＝2×321＋94＝1213．。
三角函数高中所有公式
三角函数高中所有公式三角函数是高中数学中的重要内容，以下是其所有公式及详细介绍：基础三角函数公式：正弦函数：sin(x) = y/r余弦函数：cos(x) = x/r正切函数：tan(x) = y/x余切函数：cot(x) = x/y正割函数：sec(x) = r/x余割函数：csc(x) = r/y诱导公式：sin(x) = cos(x - π/2)cos(x) = sin(x + π/2)tan(x) = cot(x) = 1/tan(x)sec(x) = 1/cos(x)csc(x) = 1/sin(x)和差公式：sin(x + y) = sinxcosy + cosxsinysin(x - y) = sinxcosy - cosxsinycos(x + y) = cosxcosy - sinxsinycos(x - y) = cosxcosy + sinxsiny倍角公式：sin2x = 2sinxcosxcos2x = cos²x - sin²xtan2x = 2tanx / (1 - tan²x)sin(x/2) = ±√[(1 - cosx)/2]cos(x/2) = ±√[(1 + cosx)/2]tan(x/2) = ±√[(1 - cosx)/(1 + cosx)]和差化积公式：sinxcosy = 1/2 * (sin(x + y) + sin(x - y)) cosxcosy = 1/2 * (cos(x + y) + cos(x - y)) sinxsiny = 1/2 * (cos(x - y) - cos(x + y))积化和差公式：sinxcosy = 1/2 * (sin(x + y) + sin(x - y)) cosxcosy = 1/2 * (cos(x + y) - cos(x - y)) sinxsiny = 1/2 * (cos(x + y) - cos(x - y))双角公式：sin2α = 2sinαcosαcos2α = cos²α - sin²αtan2α = 2tanα / (1 - tan²α)辅助角公式：sinx = 2tan(x/2) / [1 + tan²(x/2)]cosx = [1 - tan²(x/2)] / [1 + tan²(x/2)]tanx = 2tan(x/2) / [1 - tan²(x/2)]倍角辅助角公式：sin30° = 1/2，cos30° = √3/2，tan30° = √3/3 sin45° = √2/2，cos45° = √2/2，tan45° = 1 sin60° = √3/2，cos60° = 1/2，tan60° = √3sin3α = 3sinα - 4sin³αcos3α = 4cos³α - 3cosα四倍角公式：sin4α = 8sin²α - 8sin⁴α + 1cos4α = 8cos⁴α - 8cos²α + 1五倍角公式：sin5α = (30sin³α - 10sinα + 2sin(-α)) / 16 cos5α = (30cos³α + 10cosα + 8cos(-α)) / 16。
三角函数的积化和差公式
三角函数的积化和差公式三角函数是高中数学中的重要概念之一，它与三角比例、三角恒等式等内容相互关联，构成了计算三角函数值的基础。
而在三角函数的学习中，积化和差公式是常用的运算技巧之一，能够帮助我们将一个三角函数表达式转化为另一个更为简洁的形式。
本文将详细介绍三角函数的积化和差公式的定义、公式推导以及应用实例，以帮助读者更好地理解和运用这一知识点。
1. 积化和差公式的定义积化和差公式是指将两个三角函数乘积的表达式转化为一个或两个三角函数的和或差的表达式。
常用的积化和差公式有正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）的公式。
下面分别介绍它们的定义和表达形式。
（1）正弦的积化和差公式对于任意的角度A和B，正弦的积化和差公式可以表示为：sin(A±B) = sinAcosB ± cosAsinB（2）余弦的积化和差公式对于任意的角度A和B，余弦的积化和差公式可以表示为：cos(A±B) = cosAcosB ∓ sinAsinB（3）正切的积化和差公式对于任意的角度A和B，正切的积化和差公式可以表示为：tan(A±B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA·tanB)2. 积化和差公式的推导积化和差公式的推导可以通过观察三角函数的图像、利用三角恒等式以及应用三角函数的和差化积公式来完成。
这里以正弦的积化和差公式为例，进行推导说明。
（1）观察图像法我们可以通过观察正弦函数图像的周期性和对称性来推导积化和差公式。
具体步骤如下：a. 观察sin(A±B)的图像，推断其周期性和对称性；b. 对sin(A±B)进行周期性推广，得到sinAcosB ± cosAsinB的表达形式。
（2）三角恒等式法利用三角恒等式也可以推导积化和差公式。
具体步骤如下：a. 根据三角恒等式sin(A±B) = sinAcosB ± cosAsinB，可以直接得到积化和差的表达形式。
和差化积、积化和差、万能公式
正、余弦和差化积公式指高中数学三角函数部分的一组恒等式sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】以上四组公式可以由积化和差公式推导得到证明过程sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，将以上两式的左右两边分别相加，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，设α+β=θ，α-β=φ那么α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2把α，β的值代入，即得sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]正切的和差化积tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边∴等式成立注意事项在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。
三角函数和差化积与积化和差公式口诀
三角函数和差化积与积化和差公式口诀三角函数是高中数学中的一个重要内容，其中包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
在解决数学问题中，我们常常会用到三角函数的和差化积与积化和差公式，这两个口诀是帮助我们简化计算的重要工具。
三角函数的和差化积公式是指将两个三角函数的和或差转化为一个三角函数的积，从而简化计算过程。
对于正弦函数和余弦函数来说，和差化积公式如下：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB对于正切函数来说，和差化积公式如下：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)这两个公式的使用可以大大简化计算过程，特别是在解决三角函数的和差问题时，能够显著提高解题效率。
而积化和差公式则是将两个三角函数的积转化为一个三角函数的和或差，同样也是为了简化计算过程。
对于正弦函数和余弦函数来说，积化和差公式如下：sinAcosB = 1/2 [sin(A + B) + sin(A - B)]cosAsinB = 1/2 [sin(A + B) - sin(A - B)]对于正切函数来说，积化和差公式如下：tanA + tanB = sin(A + B) / (cosAcosB)tanA - tanB = sin(A - B) / (cosAcosB)积化和差公式的使用也能够帮助我们简化计算，特别是在解决三角函数的积问题时，能够提高解题效率。
通过掌握三角函数的和差化积与积化和差公式，我们可以更加灵活地运用三角函数来解决各种问题。
下面我们通过几个例子来说明这两个公式的具体应用。
例1：计算sin75°根据和差化积公式，可以将75°分解为45°+30°，即sin75° = sin(45°+30°)。
和差化积积化和差万能公式
和差化积积化和差万能公式和差化积、积化和差以及和差万能公式是高中数学中较为重要的内容，它们在解题中具有重要的作用。
下面详细介绍这些内容。
一、和差化积和差化积是一种将两个角的和（或差）转化为一个角的积的方法。
这种方法适用于解决一些三角函数表达式的展开、简化和求值问题。
1.正弦的和差化积公式：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB - cosAsinB从公式中可以看出，只需要知道sinA、sinB、cosA和cosB的值，就可以通过和差化积公式求得sin(A+B)和sin(A-B)的值。
2.余弦的和差化积公式：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB类似地，只需要知道sinA、sinB、cosA和cosB的值，就可以通过和差化积公式求得cos(A+B)和cos(A-B)的值。
3.正切的和差化积公式：tan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)tan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)通过和差化积公式，我们可以将两个角的和（或差）转化为一个角的正切值。
4.余切的和差化积公式：cot(A+B) = (cotAcotB - 1) / (cotA + cotB)cot(A-B) = (cotAcotB + 1) / (cotA - cotB)通过和差化积公式，我们可以将两个角的和（或差）转化为一个角的余切值。
和差化积的公式可以使得我们将复杂的三角函数表达式转化为简单的一步计算，节省了计算的时间和精力。
同时，它们也有助于我们更好地理解三角函数之间的关系。
二、积化和差积化和差是和差化积的逆过程，即将两个角的积转化为一个角的和（或差）。
这种方法适用于解决一些三角函数表达式的合并、求和和简化问题。
1.正弦的积化和差公式：sinAcosB = 1/2 * [sin(A+B) + sin(A-B)]从公式中可以看出，通过将sinAcosB转化为sin(A+B)和sin(A-B)的和的一半，可以实现两个角的积转化为一个角的和（或差）。
高中教育数学必修第二册《4.2.4 积化和差与和差化积公式》教学课件
α＋β ∴③÷④得 tanα＋2 β＝32，∴sin(α＋β)＝1＋2tatann2α2＋2 β＝1123.
方法归纳 在解决有关三角函数求值问题时，不同的思路与方法求出的值可 能不同，但最终结果应该是相同的，因此选择合适的公式是解决此类 题目的关键，应尽量避开函数值正负不能确定的情况．
跟踪训练 1 已知 sinθ＋π6sinθ－π6＝2110，求 tan θ.
2.4 积化和差与和差化积公式
[教材要点]
要点一 积化和差公式 cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos (α－β)]； sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
解析：原式＝21sin α(cos 2α－cos 120°) ＝21sin αcos 2α＋14sin α ＝41(sin 3α－sin α)＋41sin α ＝41sin 3α.
题型三 利用积化和差与和差化积公式证明——师生共研 例 3 求证：cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
＝2cos α2cos β2.
答案：(1)21sin198°－41
αβ (2)2cos 2cos 2
题型一 利用积化和差与和差化积公式求值——师生共研 例 1 若 cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝13，求 sin(α＋β)的值．
解析：已知 cos α－cos β＝12，①
sin α－sin β＝－13，② 将①②两式左边和差化积，得－2sinα＋2 βsinα－2 β＝12，③ 2cosα＋2 βsinα－2 β＝－31，④ 由④得 cosα＋2 β≠0，sinα－2 β≠0，
和差化积、积化和差、万能公式
是否同名乘积，仍然要根据证明记忆。
注意两角和差公式中，余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积，正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。
所以，余弦的和差化作同名三角函数的乘积；正弦的和差化作异名三角函数的乘积。
(α-β)/2的三角函数名规律为：和化为积时，以cos(α-β)/2的形式出现；反之，以sin(α-β)/2的形式出现。
由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。
如果要使和化为积，那么α和β调换位置对结果没有影响，也就是若把(α-β)/2替换为(β-α)/2，结果应当是一样的，从而(α-β)/2的形式是cos(α-β)/2；另一种情况可以类似说明。
余弦-余弦差公式中的顺序相反/负号 这是一个特殊情况，完全可以死记下来。
当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如(0,π]内余弦函数的单调性。
因为这个区间内余弦函数是单调减的，所以当α大于β时，cosα小于cosβ。
但是这时对应的(α+β)/2和(α-β)/2在(0,π)的范围内，其正弦的乘积应大于0，所以要么反过来把cosβ放到cosα前面，要么就在式子的最前面加上负号。
项调换位置对结果没有影响，从而结果的形式应当是和；另一种情况可以类似说明。
正弦-正弦积公式中的顺序相反/负号 这是一个特殊情况，完全可以死记下来。
当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如[0,π]内余弦函数的单调性。
因为这个区间内余弦函数是单调减的，所以cos(α+β)不大于cos(α-β)。
但是这时对应的α和β在[0,π]的范围内，其正弦的乘积应大于等于0，所以要么反过来把cos(α-β)放到cos(α+β)前面，要么就在式子的最前面加上负号。
万能公式 【词语】：万能公式 【释义】：应用公式sinα=[2tan(α/2)]/{1+[tan(α/2)]^2} cosα=[1-tan(α/2)^2]/{1+[tan(α/2)]^2} tanα=[2tan(α/2)]/{1-[tan(α/2)]^2} 将sinα、cosα、tanα代换成tan（α/2）的式子，这种代换称为万能置换。
【高中数学】高中数学：积化和差公式_高中数学公式
【高中数学】高中数学：积化和差公式_高中数学公式积化和差，指初等数学三角函数部分的一组恒等式。
公式sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2【注意右式前的负号】cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]/twosinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]/two证明方法1积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。
也就是说，只有用两个角度的和差公式将方程的右侧分开，才能证明：sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]=-1/2[（cosαcosβ-sinαsinβ）-（cosαcosβ+sinαsinβ）]=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]另外三个公式也用同样的方法证明。
(该证明法逆向推导可用于和差化积的计算，参见和差化积)方法2根据欧拉公式，e^ix=cosx+isinx设x=a+B得e^i(a+b)=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos(a+b)+isin(a+b)所以cos（a+b）=cosacosb sinasinbsin(a+b)=sinacosb+sinbcosa记忆法积化和差公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出了特点各自的简单记忆方法。
【1】记住这一点最简单的方法是判断三角函数的取值范围。
sin和COS的取值范围均为[-1,1]，和与差的取值范围应为[-2,2]，而积的值域确是[-1,1]，因此除以2是必须的。
也可以通过它的证明记住它，因为在展开两个角度的和差公式后，两个不偏移的项是相同的，导致系数为2，例如：cos(α-β)-cos(α+β)=（cosαcosβ+sinαsinβ）-（cosαcosβ-sinαsinβ）=2sinαsinβ所以我们需要除以2。
积化和差与和差化积公式高中数学北师大版2019必修第二册
[解]
(1)原式＝csoins
A＋2cos B＋2cos
120°cos B 120°sin A
A＋B B－A
＝cos sin
A－cos B－sin
B＝ A
2sin
2 sin A＋B
B－2 A＝tan
A＋B 2.
2cos 2 sin 2
(2)原式＝ssiinn3AA＋＋ssiinn57AA＋＋22ssiinn35AA
[思路探究] 利用积化和差公式化简求值，注意角的变换，尽 量出现特殊角．
[解] (1)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50° ＝12(sin 90°－sin 50°)－12(cos 60°－cos 40°) ＝14－12sin 50°＋12cos 40° ＝14－12sin 50°＋12sin 50°＝14.
(2)原式＝cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°
＝
3 2 cos
10°cos
50°cos
70°
＝
2312cos
60°＋cos
40°·cos
70°
＝
3 8 cos
70°＋
3 4 cos
40°cos
70°
＝ 83cos 70°＋ 83(cos 110°＋cos 30°)
＝ 83cos 70°＋ 83cos 110°＋136＝136.
∴2cosα＋2 βsinα－2 β＝－13.
②
∵sinα－2 β≠0，
∴由①②，得－tanα＋2 β＝－32，即tanα＋2 β＝32. α＋β α＋β
∴sin(α＋β)＝si2ns2iαn＋2 2β＋ccooss2α2＋2 β ＝1＋2tatannα2＋α2＋2β β＝12＋×9432＝1132.
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也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有 系数 2，如： cos(α-β)-cos(α+β) =(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβsinαsinβ) =2sinαsinβ 故最后需要除以 2。 以上就是小编为大家准备的高中数学公式知识点：积化和差公式，希望给大家带来 帮助。
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高中数学公式知识点：积化和差公式
高中数学公式知识点：积化和差公式 公式 sinαsinβ=-[1][cos(α+β)-cos(α-β)]/2【注意等式右边 前端的负号】 cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2 这里用到了 sin(-α)=-sinα 即 sin(α-β)= - sin(β-α) 证明 法 1 积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。
妙用积化和差公式优秀
妙用积化和差公式优秀积化和差公式是高中数学中非常重要的一个知识点，也是数学中的利器之一、它可以将一个难以计算的问题转化为一个容易计算的问题，广泛应用于各个数学领域。
下面我将详细介绍积化和差公式的妙用，并结合具体例子解释其优秀之处。
积化和差公式的基本形式为：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。
首先，积化和差公式在因式分解中起到了重要的作用。
通过将一个多项式因式分解成两个平方差的形式，可以简化计算。
例如，对于一个平方差多项式$x^2-4$，我们可以将其视为$(x+2)(x-2)$，这样就简化了计算过程。
同样地，对于$x^2-9$，我们可以将其写成$(x+3)(x-3)$，即$(x+3)(x-3)=x^2-9$。
这种用积化和差公式进行因式分解的方法可以极大地简化计算，提高效率。
其次，积化和差公式在三角函数中也有广泛的应用。
在三角函数的运算过程中，经常需要将一些复杂的表达式转化为简单的形式，这时就可以借助积化和差公式。
例如，对于 $\sin^2x$，我们可以使用积化和差公式将其转化为 $\frac{1-\cos2x}{2}$。
同样地，对于 $\cos^2x$，我们可以将其转化为 $\frac{1+\cos2x}{2}$。
这样可以简化三角函数的运算过程，并且更容易进行复杂表达式的化简。
再次，积化和差公式在几何问题中也有很多的应用。
通过将一些复杂的几何关系进行转化，可以得出简单的结果。
例如，在求解两个平方差的乘法过程中，我们可以使用积化和差公式来展开，这样可以避免中途出现繁琐的计算。
另外，在证明几何问题的过程中，积化和差公式也能够起到很好的辅助作用，将问题转化为一个更容易处理的形式。
最后，积化和差公式还经常用于求解方程和不等式。
通过使用积化和差公式，可以将方程和不等式转化为相对简单的形式，进而解得解的范围和具体值。
例如，对于方程$x^2-3x+2=0$，我们可以使用积化和差公式将其转化为$(x-1)(x-2)=0$，进而得到解$x=1$和$x=2$。
2021年高中数学公式知识点：积化和差公式知识点总结
2021年高中数学公式知识点：积化和差公式知识点总结【摘要】为大家带来____年高中数学公式知识点：积化和差公式，希望大家喜欢下文!
公式
sinsin=-[cos(+)-cos(-)]/2【注意右式前的负号】
coscos=[cos(+)+cos(-)]/2
sincos=[sin(+)+sin(-)]/2
cossin=[sin(+)-sin(-)]/2
证明
法1
积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。
即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明：
nasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos(a+b)+isin(a+b)
所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa
记忆方法
积化和差公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出了特点各自的简单记忆方法。
【1】这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。
sin和cos的值域都是[-1,1]，其和差的值域应该是
[-2,2]，而积的值域确是[-1,1]，因此除以2是必须的。
也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如：
cos(-)-cos(+)
=(coscos+sinsin)-(coscos-sinsin)
=2sinsin
故最后需要除以2。
考生们只要加油努力，就一定会有一片蓝天在等着大家。
以上就是的编辑为大
家准备的____年高中数学公式知识点：积化和差公式。
和差化积公式
正弦、余弦的和差化积正弦、余弦的和差化积公式公式指高中数学三角函数部分的一组恒等式指高中数学三角函数部分的一组恒等式sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(αsinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α--β)/2]sinαsinα--sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(αsinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α--β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(αcosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α--β)/2]cosαcosα--cosβ=cosβ=--2sin[(α+β)/2]·sin[(α2sin[(α+β)/2]·sin[(α--β)/2] 【注意右式前的负号】【注意右式前的负号】 以上四组公式可以由积化和差公式推导得到以上四组公式可以由积化和差公式推导得到证明过程证明过程sin α+sin β=2sin[（α+β）/2]·/2]·cos[cos[（α-β）/2]的证明过程的证明过程 因为因为sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(αsin(α--β)=sinαcosββ)=sinαcosβ--cosαsinβ，将以上两式的左右两边分别相加，得将以上两式的左右两边分别相加，得sin(α+β)+sin(αsin(α+β)+sin(α--β)=2sinαcosβ，设α+β=θ，α-β=φ那么那么α=（θ+φ）/2，β=（θ-φ）/2 把α，β的值代入，即得的值代入，即得sinθ+sinφ=2sin[（θ+φ）/2]cos[(θ/2]cos[(θ--φ）/2] 正切的和差化积正切的和差化积tanα±tanβ=s tanα±tanβ=sin in （α±β）/(cosα·cosβ）（附证明））（附证明）cotα±cotβ=sin （β±α）/(sinα·sinβ）tanα+cotβ=cos （α-β）/(cosα·sinβ）tanαtanα--cotβ=cotβ=-cos -cos （α+β）/(cosα·sinβ）【注意右式前的负号】）【注意右式前的负号】 证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ=(sinα·cosβ±cosα·sinβ）/(cosα·cosβ）=sin （α±β）/(cosα·cosβ）=右边右边∴等式成立∴等式成立编辑本段编辑本段编辑本段注意事项在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。
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积化和差，指初等数学三角函数部分的一组恒等式。
公式
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2【注意右式前的负号】
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2
证明
法1
积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的'右手端来证明。
即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明：
sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]
=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]
=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]
其他的3个式子也是相同的证明方法。
(该证明法逆向推导可用于和差化积的计算，参见和差化积)
法2
根据欧拉公式，e^ix=cosx+isinx
令x=a+b
得e ^I(a+b)=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-
sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos(a+b)+isin(a+b)
所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa
记忆方法
积化和差公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出了特点各自的简单记忆方法。
【1】这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。
sin和cos的值域都是[-1,1]，其和差的值域应该是
[-2,2]，而积的值域确是[-1,1]，因此除以2是必须的。
也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如：
cos(α-β)-cos(α+β)
=(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)
=2sinαsinβ
故最后需要除以2。