拓扑期末试题及答案

拓扑期末试题及答案

一、选择题

1. 下面哪个选项不是拓扑的基本概念？

A. 连通性

B. 邻域

C. 紧致性

D. 可分性

答案：B. 邻域

2. 拓扑空间的定义中包括以下哪些要素？

A. 集合

B. 拓扑

C. 运算

D. 距离

答案：A. 集合，B. 拓扑

3. 以下哪个定理用于判断一个集合是否为紧致集？

A. Heine-Borel定理

B. Bolzano-Weierstrass定理

C. 单调有界定理

D. Cantor定理

答案：A. Heine-Borel定理

4. 一个空间若每个点都有至少一个可数邻域，则称该空间满足：

A. 可分性

B. 连通性

C. 紧致性

D. 完备性

答案：A. 可分性

5. 以下哪个不是拓扑空间上的基本拓扑？

A. 离散拓扑

B. 序拓扑

C. 紧致拓扑

D. Hausdorff拓扑

答案：C. 紧致拓扑

二、填空题

1. 在连通空间中，_________只有一个子集，即空集和整个集合本身。

答案：极大连通子集

2. 设X是一个度量空间，如果序列{an}在X中收敛到点x，则它的任意一个子列也在X中收敛到点x，这个定理称为_________定理。

答案：Bolzano-Weierstrass定理

3. 设X、Y是两个度量空间，f:X→Y是一个映射，若对X中任意一致收敛的序列{an}都有序列{f(an)}一致收敛于f(a)，则称f是一个

_________映射。

答案：连续映射

4. 在一个度量空间中，若集合E能被包含在一列开集内，即

E⊆∪(n=1)∞O(n)，则E称为_________集。

答案：可分集

5. 在度量空间中，_________是指个别的点被聚集成簇，而某个区域内不能含有过多的点。

答案：Hausdorff性

三、计算题

1. 已知拓扑空间X为实数集R上的子集，其基本拓扑为以区间(a,b)为开集的集合族T，计算X中元素x=1的极限点。

解答：首先，极限点是指一个点周围存在无穷多的序列点。对于

x=1来说，我们可以构造一个序列{a_n}，其中a_n = 1+1/n。显然，{a_n}收敛于x=1。因此，1是X中x=1的一个极限点。

2. 已知度量空间X为实数集R上的子集，其度量为d(x,y) = |x-y|，计算点x=2和点y=5之间的距离。

解答：由度量空间的定义可知，两个点之间的距离即为它们之差的绝对值，即d(x,y) = |2-5| = 3。

3. 判断拓扑空间X = {1,2,3}上的拓扑T =

{{∅},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}是否是一致拓扑。

解答：一致拓扑是指拓扑空间中任意两个元素有交集时，它们的交集也必须属于该拓扑。对于给定的拓扑空间X和拓扑T，我们可以发现{1}和{2}的交集{∅}不属于T，因此该拓扑不是一致拓扑。

四、证明题

证明：如果度量空间X中有一列闭集{F_n}，满足

F_1⊇F_2⊇F_3⊇…⊇F_n⊇…，并且对于所有n，F_n ≠ ∅，那么交集

∩(n=1)∞F_n也是一个闭集。

证明过程略。

此处省略证明过程。

综上所述，本文介绍了拓扑期末试题及答案，涵盖了选择题、填空题、计算题和证明题四个方面。希望通过本文的详细介绍和解答，能够帮助您更好地理解和掌握拓扑学的相关知识。感谢阅读！