八年级数学下册《勾股定理》单元测试卷(带答案解析)

八年级数学下册《勾股定理》单元测试卷(带答案解析)
一、单选题
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=√10，则BC的长为()
A. 3√3
B. √5+1
C. √10−1
D. √10+1
2.下列长度的线段中，能组成直角三角形的一组是()
A. 1，√3，2
B. 2，3，4
C. 4，5，6
D. 5，6，7
3.如图，在ΔABC中，三边a，b，c的大小关系是()
A. a<b<c
B. c<a<b
C. c<b<a
D. b<a<c
4.下列各组数中，能成为直角三角形的三条边长的是()
A. 3，5，7
B. 5，7，8
C. 4，6，7
D. 1，√3，2
，则AC的长为()
5.如图，点A，B都在格点上，点C在线段AB上，每个小格长度为1，若BC=2√13
3
A. √13
B. 4√13
C. 2√13
D. 3√13
3
6.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM=√2，则线段BN的长为()
B. √2
C. 1
D. 2−√2
A. √2
2
7.在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是(0,3)、(−4,0)，则原点到直线AB的距离是()
A. 2
B. 2.4
C. 2.5
D. 3
8.等腰三角形的一边长为4，另一边长为6，则这个等腰三角形的面积是()
A. 3√7
B. 8√2
C. 6√7
D. 3√7或8√2
9.如图，一只蚂蚁从长宽高分别是3，2，6的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是()
A. √61
B. 11
C. 7
D. 8
10.若一个三角形的三边长分别为a，b，c，满足(a−3)2+√b−4+|c−5|=0，则这个三角形的形状是()
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 不能确定
二、填空题
11.如图，直角三角形的两直角边长分别为6 cm和8 cm，分别以三边为直径作半圆，则阴影部分的面积为
_______________.
12.已知直角三角形的三边长分别为6，7，x，则x2=_______________.
13.△ABC中，∠C=90°，AB=8，BC=6，则AC的长是 ______.
14.如图，在△ABC 中，点D 是BC 上一点，已知：AB =15，AD =12，AC =13，CD =5，则BC 的长为 ______.
15.如图，学校有一块长方形花圈，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，踩伤了花草，则他们仅仅少走了 ______步路．(假设2步为1米)
16.ΔABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，BC =3.以BC 为边作等边ΔBCD ，连接AD ，则AD 的长为____．
17.如图，P 是∠AOB 的平分线OC 上一点，PD ⊥OB ，PE ⊥OA ，垂足分别为D ，E ，若PD =3，则PE 的长是 ______.
18.如图，等腰ΔABC 的底边BC =20，面积为120，点F 在边BC 上，且BF =3FC ，EG 是腰AC 的垂直平分线，若点D 在EG 上运动，则ΔCDF 周长的最小值为______．
三 、解答题
19.在数轴上表示下列各数，并用“<”连接.
−12，0，√3，√−83，(−1)2.
20.如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“奇妙三角形”．
(1)如图，在△ABC中，AB=AC=2√5，BC=4，求证：△ABC是“奇妙三角形”；
(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2√3，若△ABC是“奇妙三角形”，求BC的长．
21.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上．
(1)线段AB的长是______；
(2)在图中画出一条线段EF，使EF的长为√13，并判断AB、CD、EF三条线段的长能否成为一个直角三角
形三边的长？说明理由．
22.如图，某工人在两墙AB，CD之间施工(两墙与地面垂直)，架了一架长为2.5m的梯子DE，此时梯子底
端E距离墙角C点O.7m，由于E点没有固定好，向后滑动到墙角B处，使梯子顶端D沿墙下滑了0.4m到F处，求梯子底端E向后滑动的距离BE的长．
23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6.BE平分∠ABC交AC于点E.求CE的长．
24.如图，矩形ABCD是一个底部直径BC为12cm的杯子的示意图，在它的正中间竖直放一根筷子EG，筷子漏出杯子外2cm，当筷子倒向杯壁时(筷子底端E不动)，筷子顶端正好触到杯口，求筷子EG的长度．
25.请阅读下列材料：
已知：如图(1)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE= 45°.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
(1)猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；
(2)当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图(2)，其它条件不变，(1)中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；
(3)已知：如图(3)，等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．
参考答案与解析
1.【答案】D;
【解析】解：在Rt△ACD中，由勾股定理得：
CD=√AD2−AC2=√10−9=1，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD，
∵∠ADC=2∠B，
∴∠B=∠BAD，
∴BD=AD=√10，
∴BC=√10+1.
故选：D.
由勾股定理求出CD=1，再根据∠ADC是△ABD的外角，证出∠B=∠BAD，从而有BD=AD，即可求出BC的长．
此题主要考查了勾股定理、三角形外角的性质等知识，利用外角证出∠B=∠BAD是解答该题的关键．
2.【答案】A;
【解析】解：A、∵12+(√3)2=22，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意；
B、∵22+32≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵52+62≠72，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：A.
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
此题主要考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答该题的关键．
3.【答案】D;
【解析】解：根据勾股定理，得a=√1+9=√10；b=√1+4=√5；c=√4+9=√13.
∵5<10<13，∴b<a<c.
故选：D.
先分析出a、b、c三边所在的直角三角形，再根据勾股定理求出三边的长，进行比较即可．
此题主要考查了勾股定理及比较无理数的大小，属中学阶段的基础题目．
4.【答案】D;
【解析】解：A、因为32+52≠72，所以不能构成直角三角形，此选项错误；
B、因为52+72≠82，所以不能构成直角三角形，此选项错误；
C、因为42+62≠72，所以不能构成直角三角形，此选项错误；
D、因为12+(√3)2=22，能构成直角三角形，此选项正确．
故选D.
分别计算每一组中，较小两数的平方和，看是否等于最大数的平方，若等于就是直角三角形，否则就不是直角三角形．
此题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．
5.【答案】B;
【解析】解：∵点A，B都在格点上，点C在线段AB上，每个小格长度为1，
∴AB=√62+42=2√13，
∵BC=2√13
3
，
∴AC=AB−BC=2√13−2√13
3=4√13
3
，
即AC的长为4√13
3
，
故选：B.
由勾股定理求出AB的长，即可得出结论．
此题主要考查了勾股定理，由勾股定理求出AB的长是解答该题的关键．
6.【答案】C;
【解析】解：过M点作MH⊥AC于H点，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠HAM=45°．
∴ΔHAM是等腰直角三角形，
∴HM=√2
2
AM=1．
∵CM平分∠ACB，MH⊥AC，MB⊥CB，
∴BM=HM=1，∠ACM=∠BCN．
∵∠BMN=45°+∠ACM，∠BNM=45°+∠BCM，
∴∠BMN=∠BNM．
∴BN=BM=1．
故选：C．
过M点作MH⊥AC于H点，在等腰直角ΔHAM中可求HM=√2
2
AM=1，根据角平分线的性质可得BM=
MH=1，再证明BN=BM即可．
这道题主要考查了正方形的性质、角平分线的性质，解决这类问题一般会利用到正方形对角线平分90°得到等腰直角三角形，涉及角平分线时作角两边的垂线段是常见辅助线．
7.【答案】B;
【解析】解：∵点A、B的坐标分别是(0,3)、(−4,0)，
∴OA=3，OB=4，
∴AB=5，
ΔAOB是直角三角形，
∴O到AB的距离为3×4
5=12
5
；
故选：B．
由ΔAOB是直角三角形，利用直角三角形面积相等，将O到AB的距离转化为直角三角形OAB斜边上的高求解；
该题考查坐标平面内点的特征；将将O到AB的距离转化为直角三角形OAB斜边上的高是解答该题的关键；
8.【答案】D;
【解析】
该题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解答该题的关键．因为已知长度为4和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
解：①当4为底时，其它两边都为6，
4、6、6可以构成三角形，
底边上的高为√62−22=4√2，
∴等腰三角形的面积=1
2
×4×4√2=8√2；
②当4为腰时，
其它两边为4和6，
∵4+4>6，
∴4、4、6能构成三角形．
∴底边上的高为=√42−32=√7，
∴等腰三角形的面积=1
×√7×6=3√7．
2
故选D．
9.【答案】A;
【解析】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
(1)展开前面右面由勾股定理得AB2=(3+2)2+62=61；
(2)展开前面上面由勾股定理得AB2=(2+6)2+32=73；
(3)展开左面上面由勾股定理得AB2=(3+6)2+22=85.
所以最短路径的长为AB=√61(cm).
故选：A.
把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．
此题主要考查了平面展开−最短路径问题及勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
10.【答案】B;
【解析】解：∵(a−3)2+√b−4+|c−5|=0，
∴a−3=0，b−4=0，c−5=0，
解得：a=3，b=4，c=5，
则a2+b2=c2，
故这个三角形的形状是直角三角形；
故选：B.
利用绝对值以及偶次方的性质和二次根式的性质得出a，b，c的值，进而判断出三角形的形状即可．
此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握两边的平方和等于第三边的平方，这个三角形是直角三角形．
11.【答案】24cm2;
【解析】略
12.【答案】85或13;
【解析】略
13.【答案】2√7;
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8，BC=6，
则AC=√AB2−BC2=√82−62=2√7，
故答案为：2√7.
根据勾股定理计算即可．
此题主要考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
14.【答案】14;
【解析】解：∵AD=12，AC=13，CD=5，
∴AC2=169，AD2+CD2=144+25=169，
即AD2+CD2=AC2，
∴△ADC为直角三角形，且∠ADC=90°，
∴∠ADB=90°，
∵AB=15，AD=12，
∴BD=√AB2−AD2=√152−122=9，
∴BC=BD+CD=9+5=14.
故答案为：14.
在△ADC中，由三边长，利用勾股定理的逆定理判断出△ADC为直角三角形，可得出AD与BC垂直，在直角三角形ABD中，由勾股定理求出BD，再根据线段的和差关系即可求解．
此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．
15.【答案】4;
【解析】解：由勾股定理，得
路长=√32+42=5(m)，
少走(3+4−5)×2=4步，
故答案为：4.
根据勾股定理，可得答案．
此题主要考查了勾股定理，利用勾股定理得出路的长是解题关键．
16.【答案】3或3√7;
【解析】
该题考查了勾股定理、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质是解答的关键.本题分两种情况，①D在AB边上，由直角三角形的性质解答即可；②D在三角形外面，由等边三角形的性质得出
三角形ΔBCE和ΔDCA全等的条件，得出ΔBCE≌ΔDCA，推出BE=AD，由勾股定理得出BE，也就得出AD 了．
解：分两种情况：
①如图所示：D在AB边上，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=3，
∴AD=CD=BC=3；
②D在三角形外面，以AC为边做等边ΔACE，连接BE，如图所示：
∵ΔBCD和ΔACE是等边三角形，
∴BC=DC，CE=CA，∠BCD=∠ACE=60°，
∴∠BCE=∠DCA=60°+90°=150°，
∴ΔBCE≌ΔDCA，
∴BE=AD，
∵在RtΔABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=3，
∴AB=2BC=6，AC=√AB2−BC2=3√3，
∵ΔACE为等边三角形，
∴∠CAE=60°，AE=3√3，
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=30°+60°=90°，
∴BE=√AB2+AE2=√62+(3√3)2=3√7，
∴AD=BE=3√7，
综上所述，AD=3或3√7．
故答案为3或3√7．
17.【答案】3;
【解析】解：∵P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE=PD，
∵PD=3，
∴PE=3.
故答案为：3.
根据角平分线的性质定理可得答案．
此题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．
18.【答案】18;
【解析】解：如图作AH⊥BC于H，连接AD．
∵EG垂直平分线段AC，
∴DA=DC，
∴DF+DC=AD+DF，
∴当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长，
∵1
⋅BC⋅AH=120，
2
∴AH=12，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH=10，
∵BF=3FC，
∴CF=FH=5，
∴AF=√AH2+HF2=√122+52=13，
∴DF+DC的最小值为13．
∴ΔCDF周长的最小值为13+5=18；
故答案为18．
如图作AH⊥BC于H，连接AD.由EG垂直平分线段AC，推出DA=DC，推出DF+DC=AD+DF，可得当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长；
该题考查轴对称−最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解答该题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型．
19.【答案】解：√3≈1.73，√−83=-2，（-1）2
=1，在数轴上表示如下：
∴√−83＜-12＜0＜（-1）2
＜√3．; 【解析】
根据实数的符号和绝对值，在数轴上表示即可；依据数轴表示数的特征，右边的数总比左边的大，比较大小．
此题主要考查数轴表示数的意义和方法，理解符号和绝对值是确定实数的两个必要条件．
20.【答案】（1）证明：过点A 作AD ⊥BC 于D ，
∵AB=AC ，AD ⊥BC ，
∴BD=12BC=2，
由勾股定理得，AD=√AB 2−BD 2=4，
∴AD=BC ，
即△ABC 是“奇妙三角形”；
（2）解：当AC 边上的中线BD 等于AC 时，BC=√BD 2−CD 2=3，
当BC 边上的中线AE 等于BC 时，
AC 2=AE 2-CE 2，即BC 2-（12BC ）2=（2√3）2
， 解得BC=4．
综上所述，BC 的长是3或4．;
【解析】
(1)过点A 作AD ⊥BC 于D ，根据等腰三角形的性质求出BD ，根据勾股定理求出AD ，根据“奇妙三角形”的定义证明；
(2)分AC 边上的中线BD 等于AC ，BC 边上的中线AE 等于BC 两种情况，根据勾股定理计算．
此题主要考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2.
21.【答案】null;
【解析】解：(1)线段AB的长是：√12+22=√5；
故答案为：√5；
(2)如图所示：EF即为所求，
AB、CD、EF三条线段的长能成为一个直角三角形三边的长
理由：∵AB2=(√5)2=5，DC2=8，EF2=13，
∴AB2+DC2=EF2，
∴AB、CD、EF三条线段的长能成为一个直角三角形三边的长．
(1)直接利用勾股定理得出AB的长；
(2)直接利用勾股定理以及勾股定理逆定理分析得出答案．
此题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，正确结合网格分析是解题关键．
22.【答案】解：由题意得：∠DCE=90°，BF=DE=2.5m，CE=0.7m，DF=0.4m，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：DC=√DE2−CE2=√2．52−0．72=2.4（m），∴CF=DC-DF=2.4-0.4=2（m）
在Rt△BCF中，由勾股定理得：CF=√BF2−CF2=√2．52−22=1.5（m），
∴BE=BC-CE=1.5-0.7=0.8（m），
答：梯子底端E向后滑动的距离BE的长为0.8m．;
【解析】
由勾股定理得DC=2.4m，再由勾股定理得BC=1.5m，即可得出结论．
此题主要考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是两次运用勾股定理．
23.【答案】解：如图，过E作ED⊥AB于D，
∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，
∴EC⊥BC，AC=√AB2−BC2=√102−62=8，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，
∴CE=DE，
在Rt△BDE和Rt△BCE中，
{DE=CE
BE=BE，
∴Rt△BDE≌Rt△BCE（HL），
∴BD=BC=6，
∴AD=AB-BD=10-6=4，
设CE=DE=x，则AE=AC-CE=8-x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：42+x2=（8-x）2，
解得：x=3，
即CE的长为3．;
【解析】
过E作ED⊥AB于D，由勾股定理得AC=8，再证Rt△BDE≌Rt△BCE(HL)，得BD=BC=6，则AD= AB−BD=10−6=4，设CE=DE=x，则AE=AC−CE=8−x，然后在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
此题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，由勾股定理得出方程是解答该题的关键．
24.【答案】解：设杯子的高度是x cm，则筷子的高度为（x+2）cm，
∵杯子的直径为12cm，
∴DF=6cm，
在Rt△DEF中，由勾股定理得：
x2+62=（x+2）2，
解得x=8，
∴筷子EG=8+2=10cm．;
【解析】
设杯子的高度是xcm，则筷子的高度为(x+2)cm，在RtΔDEF中，利用勾股定理列出方程：x2+62=(x+ 2)2，解方程即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，运用方程思想是解答该题的关键，属于常考题．25.【答案】解：（1）DE2=BD2+EC2；
（2）关系式DE2=BD2+EC2仍然成立．
证明：将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE
∴△AFD≌△ABD，
∴AF=AB，FD=DB，
∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD，
又∵AB=AC，
∴AF=AC，
∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°，
∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-（∠DAE-∠DAB）=45°+∠DAB，
∴∠FAE=∠EAC，
又∵AE=AE，
∴△AFE≌△ACE，
∴FE=EC，∠AFE=∠ACE=45°，∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135°
∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90°，
∴在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，
即DE2=BD2+EC2；
解法二：将△EAC绕点A顺时针旋转90°得到△TAB．连接DT．
∴∠ABT=∠C=45°，AT=AE，∠TAE=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠TBC=∠TBD=90°，
∵∠DAE=45°，
∴∠DAT=∠DAE，
∵AD=AD，
∴△DAT≌△DAE（SAS），
∴DT=DE，
∵DT2=DB2+EC2，
∴DE2=BD2+EC2；
（3）当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．
如图，与（2）类似，以CE为一边，作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，
可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA．
∴AD=DF，EF=BE．
∴∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°．
若使△DFE为等腰三角形，只需DF=EF，即AD=BE，
∴当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角∠DFE为120°．;
【解析】
(1)DE2=BD2+EC2，将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE，容易证明△AFD≌△ABD，然后可以
得到AF=AB，FD=DB，∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD，再利用已知条件可以证明△AFE≌△ACE，从而可以得到∠DFE=∠AFD−∠AFE=135°−45°=90°，根据勾股定理即可证明猜想的结论；
(2)根据(1)的思路一样可以解决问题；
(3)当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与(1)类似，以CE为一边，作
∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA，然后可以得到AD=DF，EF=BE.由此可以得到∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°，这样就可以解决问题．
此题比较复杂，考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理的应用等知识点，此题关
键是正确找出辅助线，通过辅助线构造全等三角形解决问题，要掌握辅助线的作图根据．。