高一数学必修一总复习教案

一、教学内容：

必修一总复习 ［本讲的主要内容］ 1、集合及其基本运算

2、函数的概念及其基本性质

3、二次函数与幂、指、对数函数

4、函数的应用

二、学习目标

1、了解集合语言是现代数学语言的重要组成部分，可以简洁、准确地表述数学对象和结构；学会运用集合等数学语言来刻画世界和运用数学语言学习数学、进行交流的能力；

2、加深对函数概念本质的认识和理解；加强对变量数学的认识，认识到函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型；并能结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程与方法，了解指数函数、对数函数和幂函数是三类不同的函数增长模型；通过收集函数的应用实例，了解函数模型的广泛应用。

三、知识要点

1、集合的概念与基本运算

①一组对象的全体形成一个集合；常用大写拉丁字母来标记，如集合M ，集合A …… ②集合中的元素有三大特征，即无序性、确定性和互异性，这是判断集合形成和区分集合的重要依据；

③集合的表示：穷举法、描述法和图示法

④集合的运算：指的是子、交、并、补四种运算，其结果仍然是一个集合；

,{|}{|}

{|}U A B x A x B C A B C x x A x B C A

B C x x A x B M C A M x x U x A ⊆⇔∀∈∈=⇔=∈∈=⇔=∈∈=⇔=∈∉都有且或且

⑤以下题型的结果要用集合表述：求定义域、求值域、求不等式的解集、求方程（组）的解集以及集合运算的结果等。 2、函数的概念与基本性质

①函数概念的三种表述：运动的观念，集合的观念，映射的观念； ②函数的两大要素：定义域和对应法则；

③函数的三种表示方法：解析法，列表法和图像法； ④函数的两大重要性质：奇偶性和单调性； ⑤对分段函数、复合函数的认识。 3、二次函数与幂、指、对数函数 ①二次函数学习中的几个要点：二次函数解析式的三种形式；二次函数的图像的开口方向、位置、零点及最值与系数的关系；含参数的二次函数的研究（参数分别在函数式中和定义区间

中）；三个二次的关系；

②幂函数学习中的要点：幂函数的定义；幂函数的图像与性质；在同一坐标系中不同指数的幂函数的图像的位置关系；

③指数函数学习中的要点：指数式的运算；指数函数的定义；指数函数的图像与性质；在同一坐标系中不同底的指数函数图像的位置关系；

④对数函数学习中的要点：对数式的运算；对数函数的定义；对数函数的图像与性质；在同一坐标系中不同底的对数函数图像的位置关系；对数函数与指数函数互为反函数的关系。 4、函数的应用：函数的应用主要包括两种类型，其一是函数与方程思想在解题中的综合应用；其二是函数模型在解决实际问题中的应用，常见的有效益最大化和成本最低问题。

四、考点解析与典型例题 考点一对集合概念的考查

例1. 试写出如图阴影部分所表示的集合

①②③

解：各阴影部分的表示方法均不唯一。

① [（A ∩B ）∩C ∪C]∪[（A ∩C ）∩C ∪B]∪[（B ∩C ）∩C ∪A] ② [C ∪（A ∩B ∩C ）]∩（A ∪B ∪C ） ③A ∪（B ∩C ）

考点二对集合运算的考查

例2. 试写出下列集合运算的结果

{}.{|66},|,,?

44.{|16},|50,?{|463},?

R A x x B x k x k k Z A B A x x B x x x A B A x x x C A ππππ⎧⎫

=-<<=-+<<+∈=⎨⎬⎩⎭

=-<<=><==<<<=①②或③.或

解：

355377.|6644444444.{|3346}

R A B x x x x x x A B R

C A x x x x ππππππππ-⎧⎫

=-<<<<-<<-<<-<<⎨⎬

⎩⎭

==≤-≤≤≥①或或或或②③.或或

考点三对函数概念的考查

例3. 求形如22

22,0ax bx c y a d dx ex f

++=+≠++的函数值域时，可以先将该函数式变形为一个关

于x 的一元二次方程，然后再令判别式0≥∆即可求出该函数的值域。试说明为什么会有0≥∆？

答：由于函数22

22

,0ax bx c y a d dx ex f

++=+≠++是建立在两个非空数集上的映射，故对由其变形得到的关于x 的一元二次方程而言，其解集非空，故有0≥∆。

考点四求函数的定义域

例4. 求函数0.5()log (43)f x x =-的定义域。 解：

0.54303

04311log (43)0

4x x x x ->⎧⇒<-≤⇒<≤⎨

-≥⎩ 故该函数的定义域为：3|14x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭

。

考点五求函数的值域 例5. 求函数()234f x x x =

+-+的值域。

解：令222,0t x x t t =

+⇒=-≥

代入函数解析式可得：2

()310,0f x t t t =-++≥，故可求得其值域为121|12y y ⎧

⎫≤⎨⎬⎩

⎭

考点六对函数的两个重要性质的考查

例6. 奇函数()y f x =满足：①(3)0f -=；②当0()x y f x >=时为增函数，试解不等式()0.x f x ⋅<

解：由奇函数的对称性：(3)0f =；

例7 试判断函数2

23

1()2x x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭

的单调性。

解：设21,232u

y u x x ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，则函数223

1()2x x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭

可视为这两个函数的复合函数，